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Optimización.
E: Si se cuenta con 1000 cm2 . de material para hacer una caja con base cuadrada, encuentre el
volumen máximo posible de la caja.
y
y
x
x
D: H
Total de material usado en la caja con tapa, según la figura
A = 2x2 + 4xy = 1000
Volumen de la caja. Función que se desea optimizar:
V = x2 y
Despejando y de la “restricción”, esto es, de la fórmula del área:
1 1000
1000 − 2x2
=
− 2x
y=
4x
4
x
1
1 2 1000
− 2x =
1000x − 2x3
V = x
4
x
4
El volumen se encuentra ahora con una sola variable
1
V 0 = (1000 − 6x2 )
4
1
V 00 = (−12x) < 0
4
Para calcular los puntos crı́ticos, igualamos la primera derivada a cero:
0
2
2
V = 0 ⇒ 1000 − 6x = 0 ⇒ 6x = 1000 ⇒ xM in =
18
canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
1
r
1000
=
6
r
500
3
2
Mı́nimo absoluto.
1000
r
1 1000
500
= 6 r 6 − 1 500 = 6
r
yM in =
−
2
4 500
3 4 500
3
3 4
3
3
r
r
6 2 500
500
= ×
=
= xM in
4 3
3
3
r
500 500
V = x2 y =
3
3
r
r
500 1
−
3
3
r
500
3
!
=
0
