Problemas resueltos de derivadas

Problemas resueltos de derivadas
Derivada de una constante
Derivada de las potencias
Derivada del producto de una función por una constante
Derivada de la suma
Derivada del producto
Derivada del cociente
Segunda derivada y derivadas de orden superior
Derivadas de las funciones trigonométricas
• Derivada del seno
La regla de la cadena
Problemas de razones de cambio
Problemas de aplicación de máximos y mínimos
Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2010
Para cualquier inquietud o consulta escribir a:
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0H
1H
2H
1
DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Si c es una constante y si f(x) = c, entonces
f’ (x) = 0
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123
f(x) = 5
f’ (x) = 0
DERIVADA DE LAS POTENCIAS
La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos
Si n es un entero negativo y x ≠ 0
d ⎛ n⎞
n -1
⎜x ⎟ = n x
dx ⎝
⎠
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124
f(x) = x8
( )
d 8
x = 8 x 8 -1
dx
f ' (x ) = 8 x 7
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124
f(x) = x
d
(x ) = x1-1
dx
f ' (x ) = x 0
f’ (x) = 1
Derivada del producto de una función por una constante
Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por
g (x) = c f(x)
y si f ’existe, entonces
g’ (x) = c f ’ (x)
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 125
f(x) = 5 x7
( )
d
d
5 x 7 = 5 (x )7
dx
dx
2
f ' (x ) = 5 (7 ) x 7-1
f ' (x ) = 35 x 6
DERIVADA DE LA SUMA
Si f y g son funciones y si h es la función definida por
h(x) = f(x) + g(x)
y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces
h’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 126
f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5
(
)
d
d
d (x )3
d
(x ) + d (5)
7 x 4 - 2 x 3 + 8 x + 5 = 7 (x )4 - 2
+8
dx
dx
dx
dx
dx
f ' (x ) = 7 (4 )(x )4-1 - 2 (3)(x )3-1 + 8 (1)(x )1-1 + 0
f ' (x ) = 28 (x )3 - 6 (x )2 + 8 (x )0 + 0
f ' (x ) = 28 x 3 - 6 x 2 + 8
Calcular la derivada
y = 3 x -4 + 3 x 4
y' =
( ) ( )
d 3x - 4 d 3x 4
+
dx
dx
y’= (3) (-4) x
y’= -12x
-5
-4 -1
+ (3) (4) x
4 -1
+ 12x 3
ordenando
12
y' = 12x 3 x5
DERIVADA DEL PRODUCTO
Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la
derivada de la primera.
Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es,
d
(uv ) = u dv + v du
d
dx
dx
La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.
3
’
’
’
En notación prima, (u v) = u v + v u
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 127
Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2)
Primer termino = (2x3 – 4x2)
Segundo termino = (3x5 + x2)
[(
)]
)(
d 2 x 3 - 4x 2 3 x 5 + x 2
dx
d
d
h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2
3 x5 + x2 + 3 x5 + x2
2 x3 − 4 x2
dx
dx
h ' (x ) =
(
) [
(
)[
](
) [
](
]
)[
h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 (5) x 5-1 + 2 x 2-1 + 3 x 5 + x 2 2 (3) x 3-1 - 4 (2 ) x 2-1
]
h ' ( x) = ⎛⎜ 2x 3 - 4x 2 ⎞⎟ ⎡ 15 x 4 + 2 x ⎤ + ⎛⎜ 3x 5 + x 2 ⎞⎟ ⎡6 x 2 - 8 x ⎤
⎥⎦ ⎝
⎥⎦
⎝
⎠ ⎢⎣
⎠ ⎢⎣
Resolviendo el polinomio
h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4 x 4 - 8 x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3
h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4x 4 - 8x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3
Reduciendo términos semejantes
h ' ( x) = 48 x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3
Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131
Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x)
Primer termino = (3 x – 2 x2)
Segundo termino = (5 + 4 x)
[(
)
]
d 3 x - 2 x 2 (5 + 4 x )
dx
d
[5 + 4 x ] + (5 + 4 x ) d 3 x − 2 x 2
f ' ( x) = 3 x - 2 x 2
dx
dx
f ' (x ) =
[
(
)
f ' ( x) = 3 x - 2 x 2
(
)[ 4] + (5 + 4 x ) [3 - 2 * 2 x 2-1 ]
(
)[ 4] + (5 + 4x ) [3 - 2 * 2x1 ]
[
]
f ' ( x) = 3x - 2x 2
]
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + (5 + 4 x ) [3 - 4 x ]
Resolviendo el polinomio
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 + 12 x - 20 x - 16 x 2
[
](
)
Reduciendo términos semejantes
4
[
](
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 - 8 x - 16 x 2
f ' ( x) = 12x - 8x 2 + 15 - 8x - 16x 2
)
f ' ( x) = 4 x - 24 x 2 + 15
Ordenando
f ' ( x) = - 24 x 2 + 4 x + 15
Ejemplo # 2 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 132
Hallar la derivada de y = (1 + x - 1) (x - 1)
Primer termino = (1 + x - 1)
Segundo termino = (x - 1)
f ' (x ) =
[(
]
)
d 1 + x - 1 (x − 1)
dx
(
) dxd [x − 1] + (x - 1) dxd [1 + x - 1 ]
(
) dxd [x − 1] + (x - 1) [1 + x - 1-1 ]
f ' ( x) = 1 + x - 1
f ' ( x) = 1 + x - 1
f ' ( x) = ⎛⎜1 + x - 1 ⎞⎟ [1] + (x - 1) ⎡- 1 x - 2 ⎤
⎢⎣
⎥⎦
⎝
⎠
[
)
(
f ' ( x) = 1 + x - 1 + (x - 1) - x - 2
]
Resolviendo el polinomio
f ' ( x) = 1 + x - 1 + - 1 x - 1 + x - 2
) [
(
]
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 1 + x - 1 - x - 1 + x - 2
f ' ( x) = 1 + x - 2
1
x2 +1
'
f ( x) = 1 +
=
x2
x2
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 4
Hallar la derivada de f(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 - 1)
Primer termino = (x2 – 2x + 1)
Segundo termino = (x3 - 1)
f ' (x ) =
[(
)(
)]
d x 2 - 2 x + 1 x3 − 1
dx
(
) dxd [x 3 − 1]+ (x 3 − 1) dxd [ x 2 - 2 x + 1]
f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1
5
(
)[
] ( )[ (2) x 2-1 - 2 x1-1 + 1]
f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[(3) x 3-1 ]+ (x 3 − 1)(2) [ x1 - 2 x 0 ]
f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[3x 2 ]+ (x 3 − 1)[ 2 x - 2]
f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1 (3) x 3-1 + x 3 − 1
Resolviendo el polinomio
) [
(
f ' ( x) = 3 x 4 - 6 x 3 + 3 x 2 + 2 x 4 - 2 x - 2 x 3 + 2
]
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 3x 4 - 6x 3 + 3x 2 + 2x 4 - 2x - 2x 3 + 2
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 5 x 4 - 8 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 2
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 5
Hallar la derivada de f(x) = (x3 – 3 x) (2 x2 + 3 x + 5)
Primer termino = (x3 – 3 x)
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 5)
f ' (x ) =
[(
)(
d x 3 - 3x 2 x 2 + 3 x + 5
dx
(
f ' ( x) = x 3 - 3 x
)]
) dxd [2 x 2 + 3 x + 5]+ (2 x 2 + 3 x + 5) dxd [ x 3 - 3 x ]
(
)[(2) x 2-1 + 3 x1-1 ]+ (2 x 2 + 3 x + 5)[ (3) x 3-1 - 3 x1-1 ]
f ' ( x) = (x 3 - 3 x )[4 x + 3] + (2 x 2 + 3 x + 5)[ 3 x 2 - 3]
f ' ( x) = x 3 - 3 x
Resolviendo el polinomio
[
](
f ' ( x) = 4 x 4 - 12 x 2 + 3 x 3 - 9 x + 6 x 4 + 9 x 3 + 15 x 2 - 6 x 2 - 9 x - 15
)
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 4x 4 - 12x 2 + 3x 3 - 9x + 6x 4 + 9x 3 + 15x 2 − 6x 2 - 9x - 15
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 10 x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 - 18 x - 15
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 6
Hallar la derivada de f(x) = (x – 1) (x2 – 3 x + 2)
Primer termino = (x – 1)
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 2)
6
[
)]
(
d (x - 1) 2 x 2 + 3 x + 2
dx
d
d
[ x - 1]
f ' ( x) = (x - 1 )
x2 − 3 x + 2 + x2 − 3 x + 2
dx
dx
f ' (x ) =
[
[
](
)
](
)
f ' ( x) = (x - 1 ) (2) x 2-1 − 3 x 1-1 + x 2 − 3 x + 2 [ x - 1]
(
)
f ' ( x) = (x - 1 ) [2 x − 3] + x 2 − 3 x + 2 [1]
Resolviendo el polinomio
f ' ( x) = 2x 2 − 2x - 3x + 3 + x 2 − 3x + 2
[
](
Reduciendo términos semejantes
[
](
f ' ( x) = 2x 2 − 5 x + 3 + x 2 − 3 x + 2
)
)
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 2x 2 - 5x + 3 + x 2 - 3x + 2
f ' ( x) = 3 x 2 - 8 x + 5
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136.
Problema 7
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
Hallar la derivada de f(x) = x 5 − 3 x ⎜⎜
⎝ x2 ⎠
Primer termino = (x5 – 3 x)
(
)
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
2
⎝x ⎠
Segundo termino = ⎜⎜
(
⎡
d ⎢ x5 - 3 x
f ' (x ) = ⎣
dx
)⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟⎤⎥
⎝
⎠⎦
f ' ( x) = x 5 - 3 x
(
) dxd ⎡⎢ x12 ⎤⎥ + ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dxd [ x 5 - 3x ]
(
) dxd [x - 2 ]+ ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dxd [ x 5 - 3 x ]
f ' ( x) = x 5 - 3 x
⎣
⎦ ⎝
⎝
⎠
⎠
⎛ 1
f ' ( x) = ⎛⎜ x 5 - 3x ⎞⎟ (- 2 ) ⎡ x - 2 -1 ⎤ + ⎜
⎥⎦ ⎜ 2
⎢⎣
⎝
⎠
⎝x
(
) [
(
)[
]
⎞ d ⎡ 5
⎟
x - 3x ⎤
⎟ dx ⎢⎣
⎥⎦
⎠
[
⎛ 1 ⎞
⎟ (5) x 5-1 - 3 x1-1
f ' ( x) = x 5 - 3 x (- 2) x - 2-1 + ⎜⎜
2⎟
⎝x ⎠
]
⎛ 1
f ' ( x) = x 5 - 3 x - 2x - 3 + ⎜⎜
⎝ x2
[
]
]
⎞
⎟⎟ 5 x 4 - 3
⎠
Resolviendo el polinomio
7
(
)
⎡ 2 ⎤ ⎛ 1
f ' ( x) = x 5 - 3 x ⎢⎥ + ⎜⎜
⎣ x3 ⎦ ⎝ x2
[
]
⎞
⎟⎟ 5 x 4 - 3
⎠
⎡- 2 x5 + 6 x ⎤ ⎛ 5 x4 - 3 ⎞
⎟
f ' ( x) = ⎢
⎥+⎜
3
2 ⎟
⎜
x
x
⎣⎢
⎦⎥ ⎝
⎠
⎡ - 2x 5 + 6x + 5x 5 - 3x ⎤
f ' ( x) = ⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
x3
Reduciendo términos semejantes
⎡3 x5 + 3 x
f ' ( x) = ⎢
x3
⎢⎣
f ' ( x) =
3 x5
+
x3
f ' ( x) = 3 x 2 +
⎤
⎥
⎥⎦
3x
x3
3
x2
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 14
Hallar la derivada de f(x) = 3 x x + 3
(
)
6
f(x) = x 2 * x 3 + 3 3 x
6
f(x) = x 5 + 3 3 x
5
1
f(x) = x 6 + 3 x 3
Se convierte en una suma
1
⎡ 5⎤
⎡
d ⎢ 6⎥
d ⎢
f ( x) =
x +
3x3
dx ⎢ ⎥ dx ⎢
⎣
⎣ ⎦
'
1
⎤
⎥
⎥
⎦
-2
5 1
f ( x) = x 6 + * 3 x 3
6
3
'
Resolviendo el polinomio
-1
-2
5
f ( x) = x 6 + x 3
6
'
f ' ( x) =
5
1
6x 6
+
1
2
x3
8
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 16
Hallar la derivada de h(x) = (x2 – 1)2
h(x) = (x2 – 1) (x2 – 1)
Primer termino = (x2 – 1)
Segundo termino = (x2 – 1)
h ' (x ) =
[(
)(
)]
d x2 - 1 x2 −1
dx
( ) dxd [x 2 − 1]+ (x 2 − 1) dxd [ x 2 - 1]
h ' ( x) = x 2 - 1
h ' ( x) = ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ [2x ] + ⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ [ 2x ]
⎝
⎠
⎝
⎠
Reduciendo términos semejantes
(
)
h ' ( x) = 2 x 2 - 1 [2 x ]
Resolviendo el polinomio
(
)
h ' ( x) = x 2 - 1 [4 x ]
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 17
Hallar la derivada de h(s) = (s3 – 2)2
h(s) = (s3 – 2) (s3 – 2)
Primer termino = (s3 – 2)
Segundo termino = (s3 – 2)
h ' (s ) =
[(
)(
d s3 - 2 s3 − 2
dx
( ) [
)]
](
) [
d 3
d 3
h ' (s) = s 3 - 2
s − 2 + s3 − 2
s -2
dx
dx
)[ ] (
(
)[
h ' (s) = s 3 - 2 3s 2 + s 3 − 2 3 s 2
]
]
Reduciendo términos semejantes
(
)[ ]
h ' (s) = 2 s 3 - 2 3 s 2
Resolviendo el polinomio
(
)[ ]
h ' (s) = s 3 - 2 6 s 2
9
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136.
Problema 20
Hallar la derivada de f(x) = (x2 – x) (x2 + 1) (x2 + x + 1)
Primer termino = (x2 – x)
Segundo termino = (x2 + 1)
Tercer termino = (x2 + x + 1)
[
]
d (x 2 - x )(x 2 + 1)(x 2 + x + 1)
dx
f ' (x ) =
(
)(
) dxd [x 2 − x ]+ (x 2 − x )(x 2 + x + 1) dxd [ x 2 + 1]+ (x 2 - x )(x 2 + 1) dxd (x 2 + x + 1)
f ' ( x) = x 2 + 1 x 2 + x + 1
f ' ( x) = ⎜⎛ x 2 + 1 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + x + 1⎞⎟ [2x − 1 ] + ⎛⎜ x 2 − x ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + x + 1⎞⎟ [ 2x ] + ⎛⎜ x 2 - x ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ (2x + 1)
⎝
⎠
⎠⎝
⎝
⎠
⎠⎝
⎝
⎠
⎠⎝
Resolviendo el polinomio
(
)
(
)(
(
)(
)
(
)(
)
f ' ( x) = x 4 + x 2 + x 3 + x + x 2 + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)
Reduciendo términos semejantes
(
)
)
)(
(
)
f ' ( x) = x 4 + 2x 2 + x 3 + x + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)
Reduciendo términos semejantes
(
) (
)(
)
(
)(
)
f ' ( x) = 2x 5 + 4x 3 + 2x 4 + 2x 2 + 2x - x 4 - 2x 2 - x 3 - x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)
) ( )(
) ( )( )
(
f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (x 4 − x 3 + x 3 - x 2 + x 2 - x ) [ 2x ] + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1)
f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1)
f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 4 - x 3 + x 2 - x ) (2x + 1)
f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - 2x 4 + 2x 3 - 2x 2 + x 4 - x 3 + x 2 - x )
f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x )
f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)
f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + 2x 5 - 2x 2 + 2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x
f ' ( x) = 6 x 5 + 4 x 3 - 3 x 2 - 1
10
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136.
Problema 21
Hallar la derivada de f(x) = (3x3 + 4x) (x - 5) (x + 1)
Primer termino = (3x3 + 4x)
Segundo termino = (x - 5)
Tercer termino = (x + 1)
f ' (x ) =
[(
]
)
d 3 x 3 + 4 x (x − 5)(x + 1)
dx
f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1)
[
](
)
(
)
d
d
d
3x 3 + 4x + 3x 3 + 4x (x + 1) [ x - 5] + 3x 3 + 4x (x - 5) ( x + 1)
dx
dx
dx
[
](
f ( x) = (x - 5x + x - 5 )[9x + 4 ]+ (3x
)
(
)
3
+ 4 x )(x + 1) + (3 x 3 + 4 x )(x - 5)
f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1) 9 x 2 + 4 + 3 x 3 + 4 x (x + 1) [ 1] + 3 x 3 + 4 x (x - 5)( 1)
'
2
2
)[
](
)
)
(
(
f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 45x 2 + 4x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5)
f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5)
f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 3 + 4x )(x - 5)
f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x )
f ' ( x) = x 2 - 4x - 5 9x 2 + 4 + 3x 3 + 4x (x + 1) + 3x 3 + 4x (x - 5)
f ' ( x) = 9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 + 3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x + 3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x
f ' ( x) = 15x 4 - 48x 3 - 33x 2 - 32x - 20
Problema 10.35 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
2-x
Derivar y = 2x 2
( )( )
Primer termino = (2x 2 )
Segundo termino =
y ' (x ) =
[( )(
d 2x 2
(
2-x
2-x
)
)]
dx
( ) dxd [ 2 − x ]+ ( 2 − x ) dxd [ 2x 2 ]
y ' = 2x 2
( ) dxd [2 − x]1 2 + ( 2 − x ) dxd [ 2x 2 ]
y ' = 2x 2
La derivada interna es (-1)
11
( ) 12 * (- 1)* [2 − x]- 1 2 + ( 2 − x )[ 4x]
y ' = 2x 2
Cancelando términos semejantes
y ' = - x 2 [2 − x ]- 1 2 + 2 − x [ 4x ]
( )
y' =
y' =
y' =
y' =
(
- x2
+
(2 - x )1 2
(
2−x
)
)[ 4x]
- x 2 + 2 - x [4x ] 2 − x
(2 - x )1 2
- x 2 + (2 - x ) [4x ]
(2 - x )1 2
- x 2 + 8x - 4x 2
(2 - x )1 2
=
8x - 5x 2
2-x
Problema 10.36 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
⎞
⎠
⎛
⎝
Derivar f (x ) = (x ) ⎜ 3 - 2x 2 ⎟
Primer termino = x
⎛
⎝
⎞
⎠
Segundo termino = ⎜ 3 - 2x 2 ⎟
⎡ ⎛
⎞⎤
d ⎢( x )⎜ 3 - 2x 2 ⎟⎥
⎝
⎠⎦
f ' (x ) = ⎣
dx
f ' (x ) = (x
)
⎤ ⎛
d ⎡
3 − 2 x 2 ⎥ + ⎜⎜ 3 − 2x 2
dx ⎢⎣
⎦ ⎝
f ' (x ) = (x
)
12 ⎛
d ⎡
3 − 2x 2 ⎤
+ ⎜⎜ 3 − 2x 2
⎥⎦
dx ⎢⎣
⎝
⎞ d
⎟⎟
[ x]
⎠ dx
⎞ d
⎟⎟
[ x]
⎠ dx
La derivada interna es (- 4x)
f ' (x ) = (x
) 1 * (- 4x ) ⎡⎢3 − 2x 2 ⎤⎥
⎣
2
[
f ' (x ) = - 2x 2 3 − 2 x 2
f ' (x ) =
-1 2
⎦
⎛
+ ⎜⎜ 3 − 2x 2
⎝
]-1 2 + ⎛⎜⎝
⎞ d
⎟⎟
[ x]
⎠ dx
⎞
3 − 2x 2 ⎟
⎠
- 2x 2
⎞
⎛
+ ⎜ 3 − 2x 2 ⎟
⎠
3 - 2x 2 ⎝
12
⎛
⎞⎛
⎞
- 2 x 2 + ⎜ 3 - 2x 2 ⎟ ⎜ 3 − 2 x 2 ⎟
⎠
⎝
⎠⎝
f ' (x ) =
3 − 2x 2
(
- 2 x 2 + 3 - 2x 2
'
f (x ) =
3 − 2x 2
f ' (x ) =
)
- 2 x 2 + 3 - 2x 2
3 − 2x 2
3 - 4x 2
f ' (x ) =
3 − 2x 2
Ejemplo # 6 Leythold.
Hallar la derivada de hx) = (2x 3 – 4x2) (3x5 + x2)
Primer termino = (2x 3 – 4x2)
Segundo termino = (3x5 + x2)
d
3x 5 + x 2 + 3x 5 + x 2
h ' ( x) = 2x 3 - 4x 2
) dx [
](
) dxd [ 2x 3 - 4x 2 ]
h ' ( x) = (2x 3 - 4x 2 )[15x 4 + 2 x ]+ (3x 5 + x 2 )[ 6x 2 - 8x ]
(
Resolviendo el polinomio
h ' ( x) = 30x 7 - 60x 6 + 4 x 4 - 8x 3 + 18x 7 + 6x 4 - 24x 6 - 8x 3
[
] [
]
Reduciendo términos semejantes
h ' ( x) = 30x 7 + 18x 7 - 60x 6 - 24 x 6 + 4x 4 + 6x 4 - 8x 3 - 8x 3
Reduciendo términos semejantes
h ' ( x) = 48x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #19
(
Hallar la derivada de f(s) = 3 s 3 - s 2
(
)
)
f(s) = 3 s 3 - s 2 = 3s 3 − 3s 2
f ' (s) = 3 3s 2 − 2 3s
f ' (s) = 3 * s(3s − 2)
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #20
Hallar la derivada de g(x) = (2x2 + 5) (4x – 1)
Primer termino = (2x2 + 5)
13
Segundo termino = (4x – 1)
(
) dxd [4x − 1] + (4x − 1) dxd [ 2x 2 + 5]
(
)
g ' (x ) = 2x 2 + 5
g ' (x ) = 2x 2 + 5 [4] + (4 x − 1) [ 4x ]
g ' (x ) = 8x 2 + 20 + 16 x 2 − 4 x
g ' (x ) = 24x 2 + 20 − 4 x
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #21
Hallar la derivada de f(x) = (2x4 - 1) (5x3 + 6x)
Primer termino = (2x4 - 1)
Segundo termino = (5x3 + 6x)
(
) dxd [5x3 + 6x]+ (5x3 + 6 x) dxd [ 2x 4 - 1]
(
)[
f ' (x ) = 2x 4 − 1
](
)[ ]
f ' (x ) = 2x 4 − 1 15 x 2 + 6 + 5 x 3 + 6 x 8x 3
(
f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40 x 6 + 48 x 4
)
Reduciendo términos semejantes
f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40x 6 + 48 x 4
f ' (x ) = 76x 6 − 15 x 2 + 60 x 4 − 6
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #22
Hallar la derivada de f(x) = (4x2 + 3)2
f(x) = (4x2 + 3) * (4x2 + 3)
Primer termino = (4x2 + 3)
Segundo termino = (4x2 + 3)
(
) dxd [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dxd [ 4x 2 + 3]
(
)
f ' ( x) = 4x 2 + 3
(
)
f ' ( x) = 4x 2 + 3 [8x ] + 4x 2 + 3 [ 8x ]
Resolviendo el polinomio
f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ]
(
)
Reduciendo términos semejantes
14
)
(
f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ]
f ' ( x) = 64 x 3 + 48x
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema # 23
Hallar la derivada de G(y) = (7 – 3y3)2
G(y) = (7 – 3y3) * (7 – 3y3)
Primer termino = (7 – 3y3)
Segundo termino = (7 – 3y3)
( ) dxd [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dxd [ 4x 2 + 3]
f ' ( x) = (4x 2 + 3 )[8x ] + (4x 2 + 3)[ 8x ]
f ' ( x) = 4x 2 + 3
Resolviendo el polinomio
f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ]
)
(
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ]
(
)
f ' ( x) = 64 x 3 + 48x
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #24
Hallar la derivada de F(t) = (t3 – 2t + 1) (2t2 + 3t)
Primer termino = (t3 – 2t + 1)
Segundo termino = (2t2 + 3t)
(
) [
(
)
](
) [
]
d 3
d
t − 2t + 1
2t 2 + 3t + 2t 2 + 3t
F ' (t ) = t 3 − 2t + 1
dx
dx
)[
(
F ' (t ) = t 3 − 2t + 1 [4t + 3] + 2t 2 + 3t 3t 2 − 2
]
Resolviendo el polinomio
F ' (t ) = 4t 4 - 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t
[
][
]
Reduciendo términos semejantes
F ' (t ) = 4t 4 − 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t
F ' (t ) = 10t 4 − 12t 2 - 8t + 12t 3 + 3
Ejemplo Calculo Purcell pag 111.
15
Hallar la derivada de F(x) = (3x2 - 5) (2x4 - x)
Primer termino = (3x2 - 5)
Segundo termino = (2x4 - x)
(
) dxd [2x 4 - x ]+ (2x 4 - x ) dxd [ 3x 2 − 5]
(
)[
F ' ( x) = 3x 2 − 5
](
)
F ' ( x) = 3x 2 − 5 8x 3 - 1 + 2x 4 - x [ 6x ]
Resolviendo el polinomio
F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2
Reduciendo términos semejantes
F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2
F ' ( x) = 36x 5 - 40x 3 - 9x 2 + 5
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 23
Hallar la derivada de f(x) = (x) (x2 + 1)
Primer termino = (x)
Segundo termino = (x2 + 1)
]( )
f ' ( x) = (x ) [2x ] + (x 2 + 1)[ 1]
f ' ( x) = (x )
[
d
d 2
[ x]
x +1 + x2 +1
dx
dx
Resolviendo el polinomio
f ' ( x) = 2x 2 + x 2 + 1
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 2x 2 + x 2 + 1
f ' ( x) = 3x 2 + 1
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 24
Hallar la derivada de y = (3x) (x3 - 1)
Primer termino = (3x)
Segundo termino = (x3 - 1)
y ' = (3x )
[ ]( )
d
d 3
[ 3x ]
x -1 + x3 -1
dx
dx
16
[ ]( )
y ' = (3x ) 3x 2 + x 3 - 1 [ 3]
Resolviendo el polinomio
y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3
Reduciendo términos semejantes
y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3
y ' = 12x 3 − 3
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 26
Hallar la derivada de y = (- 3x + 2)2
y = (- 3x + 2) (- 3x + 2)
Primer termino = (- 3x + 2)
Segundo termino = (- 3x + 2)
y ' = (- 3x + 2 )
d
[- 3x + 2] + (- 3x + 2) d [ - 3x + 2]
dx
dx
y ' = (- 3x + 2 ) [- 3] + (- 3x + 2 ) [ - 3]
Resolviendo el polinomio
y ' = 2 (- 3x + 2 ) [- 3]
Reduciendo términos semejantes
y ' = (- 3x + 2 ) [- 6]
y ' = 18x - 12
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 27
Hallar la derivada de y = (x2 + 2) (x3 + 1)
Primer termino = (x2 + 2)
Segundo termino = (x3 + 1)
y ' (x ) =
[(
)(
)]
d x 2 + 2 x3 + 1
dx
( ) dxd [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dxd [ x 2 + 2]
y ' = (x 2 + 2 )[3x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 2x ]
y' = x 2 + 2
Resolviendo el polinomio
y ' = 3x 4 + 6 x 2 + 2x 4 + 2 x
Reduciendo términos semejantes
y ' = 3x 4 + 6 x 2 + 2x 4 + 2 x
17
y ' = 5x 4 + 6 x 2 + 2 x
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 28
Hallar la derivada de y = (x4 - 1) (x2 + 1)
Primer termino = (x4 - 1)
Segundo termino = (x2 + 1)
y ' (x ) =
[(
)(
)]
d x4 - 1 x2 + 1
dx
( ) dxd [x 2 + 1]+ (x 2 + 1) dxd [ x 4 − 1]
y ' = (x 4 − 1)[2x + 1] + (x 2 + 1)[ 4x 3 ]
y' = x 4 −1
Resolviendo el polinomio
y ' = x 4 − 1 [2x + 1] + x 2 + 1 4x 3
)
(
)[ ]
(
Reduciendo términos semejantes
y ' = 2x 5 - 2x + 4x 5 + 4x 3
y ' = 6x 5 - 2x + 4x 3
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 29
Hallar la derivada de y = (x2 + 17) (x3 – 3x + 1)
Primer termino = (x2 + 17)
Segundo termino = (x3 – 3x + 1)
h ' (x ) =
[(
)(
)]
d x 2 + 17 x 3 − 3 x + 1
dx
( ) dxd [x 3 − 3x + 1]+ (x 3 - 3x + 1) dxd [ x 2 + 17]
y ' = (x 2 + 17 )[3x 2 − 3]+ (x 3 - 3x + 1)[ 2x ]
y ' = x 2 + 17
Resolviendo el polinomio
y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x
Reduciendo términos semejantes
y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x
y ' = 5x 4 + 42x 2 - 3x 2 - 51 + 2x
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 30
Hallar la derivada de y = (x4 + 2x) (x3 +2x2 + 1)
Primer termino = (x4 + 2x)
18
Segundo termino = (x3 +2x2 + 1)
( ) dxd [x 3 + 2x 2 + 1]+ (x 3 + 2x 2 + 1) dxd [ x 4 + 2x]
y ' = (x 4 + 2 x )[3x 2 + 4x ]+ (x 3 + 2x 2 + 1)[ 4x 3 + 2]
y ' = x 4 + 2x
Resolviendo el polinomio
y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2
Reduciendo términos semejantes
y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2
y ' = 7x 6 + 12x 3 + 12x 5 + 12x 2 + 2
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 31
Hallar la derivada de y = (5x2 -7) (3x2 -2x + 1)
Primer termino = (5x2 -7)
Segundo termino = (3x2 -2x + 1)
( ) dxd [3x 2 - 2x + 1]+ (3x 2 − 2x + 1) dxd [ 5x 2 − 7]
y ' = (5x 2 - 7 )[6x - 2] + (3x 2 − 2x + 1)[ 10x ]
y ' = 5x 2 - 7
Resolviendo el polinomio
y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x
Reduciendo términos semejantes
y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x
y ' = 60x 3 - 32x - 30x 2 + 14
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 32
Hallar la derivada de y = (3x2 +2x) (x4 - 3x + 1)
Primer termino = (3x2 +2x)
Segundo termino = (x4 - 3x + 1)
) dxd [x 4 - 3x + 1]+ (x 4 − 3x + 1) dxd [ 3x 2 + 2x]
(
y ' = (3x 2 + 2x )[4x 3 - 3]+ (x 4 − 3x + 1)[ 6x + 2]
y ' = 3x 2 + 2x
Resolviendo el polinomio
y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2
Reduciendo términos semejantes
19
y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2
y ' = 18x 5 + 10x 4 - 27x 2 - 6x + 2
Sección 3.2 Calculo Thomas.
Problema # 13
Hallar la derivada de y = (3 - x2) (x3 - x + 1)
Primer termino = (3 - x2)
Segundo termino = (x3 - x + 1)
( ) dxd [x 3 - x + 1]+ (x 3 − x + 1) dxd [ 3 - x 2 ]
y ' = (3 - x 2 )[3x 2 - 1]+ (x 3 − x + 1)[ - 2x ]
y' = 3 - x 2
Resolviendo el polinomio
y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x
Reduciendo términos semejantes
y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x
y ' = 12x 2 - 5x 4 - 3 - 2x
Sección 3.2 Calculo Thomas.
Problema # 14
Hallar la derivada de y = (x - 1) (x2 + x + 1)
Primer termino = (x - 1)
Segundo termino = (x2 + x + 1)
y ' = (x - 1 )
[
](
)
d
d 2
[ x - 1]
x + x +1 + x2 + x +1
dx
dx
(
)
y ' = (x - 1 ) [2x + 1] + x 2 + x + 1 [ 1]
Resolviendo el polinomio
y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1
Reduciendo términos semejantes
y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1
y ' = 3x 2
Hallar la derivada de y = (x3 - 1) (x3 + 1)
Primer termino = (x3 - 1)
Segundo termino = (x3 + 1)
y ' (x ) =
[(
)(
)]
d x 3 - 1 x3 + 1
dx
20
( ) dxd [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dxd [ x 3 - 1]
y ' = (x 3 - 1 )[3 x 3 -1 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 3 -1 ]
y ' = (x 3 - 1 )[3 x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 2 ]
y' = x3 -1
Resolviendo el polinomio
y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2
Reduciendo términos semejantes
y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2
y' = 6 x5
DERIVADA DEL COCIENTE
Si u y v son diferenciables en x y v(x) ≠ 0, entonces el cociente u/v es diferenciable en x, y
d ⎛u⎞
⎜ ⎟=
dx ⎝ v ⎠
v
du
dv
-u
dx
dx
(v )2
Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 17
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
2x + 5
3x - 2
⎛ 2x + 5 ⎞
d⎜
⎟
3x -2⎠
⎝
y' =
dx
y=
y' =
y' =
(3x - 2)⎡⎢ d(2x + 5) ⎤⎥ - (2x + 5)⎡⎢ d(3x - 2) ⎤⎥
⎣
⎦
dx
⎣
dx
⎦
(3x - 2)2
(3x - 2)[2] - (2x + 5)[3]
(3x - 2)2
Cancelando términos semejantes
y' =
y' =
6x - 4 - 6x _ 15
(3x - 2)2
- 19
(3x - 2)2
Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 18
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
y=
2x + 1
x 2 -1
21
⎛ 2x + 1 ⎞
⎟
d⎜
⎜ 2 ⎟
y' = ⎝ x - 1 ⎠
dx
⎡ d ⎛ x 2 - 1⎞ ⎤
⎟⎥
⎢ ⎜
(
)
+
d
2x
1
⎡
⎤
⎠
2
⎛⎜ x - 1⎞⎟
- (2x + 1)⎢ ⎝
⎥
⎢
⎥
⎝
⎠ ⎣ dx ⎦
dx
⎢
⎥
⎣
⎦
y' =
2
⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟
⎝
⎠
2
⎛⎜ x - 1⎞⎟[2] - (2x + 1)[2](x )2 −1
⎠
y' = ⎝
2
⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟
⎝
⎠
2
x - 1 [2] - (2x + 1) [2] (x )
y' =
y' =
y' =
( )
(x 2 - 1)2
2x 2 - 2 - (2x + 1)(2x )
(x 2 - 1)2
2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x
2
⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟
⎝
⎠
Cancelando términos semejantes
y' =
y' =
2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x
2
⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟
⎝
⎠
2
- 2x - 2 - 2x
2
⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟
⎝
⎠
- 2 ⎛⎜ x 2 + x + 1⎞⎟
⎠
y' = ⎝
2
⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟
⎝
⎠
Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 19
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
g(x ) =
x2 - 4
x + 0,5
⎛ x2 - 4 ⎞
⎟
d⎜
⎜ x + 0,5 ⎟
⎠
g' (x ) = ⎝
dx
2
⎤
⎡
(x + 0,5)⎢ d x - 4 ⎥ - x 2 - 4 ⎡⎢ d(x + 0,5)⎤⎥
dx
⎣
⎦
⎢⎣ dx ⎥⎦
g' (x ) =
(x + 0,5)2
(
) (
)
22
( )(
)
g' (x ) =
(x + 0,5)[2] x 2 -1 - x 2 - 4 [1]
(x + 0,5)2
g' (x ) =
(x + 0,5)[2](x ) - x 2 - 4
(x + 0,5)2
g(x )' =
(
)
(x + 0,5)(2x ) - x 2 + 4
(x + 0,5)2
Cancelando términos semejantes
g' (x ) =
2x 2 + x - x 2 + 4
(x + 0,5)2
g' (x ) =
x2 + x + 4
(x + 0,5)2
Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 20
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
f (t ) =
t 2 -1
t2 + t - 2
⎛ t 2 -1 ⎞
⎟
d⎜
⎜ 2
⎟
t +t -2⎠
f ' (t ) = ⎝
dx
⎡ d ⎛ t 2 - 1⎞ ⎤
⎡ d⎛ t 2 + t - 2 ⎞ ⎤
⎜
⎟⎥
⎜
⎟⎥
⎢
⎝
⎠
⎠
⎛⎜ t 2 + t - 2 ⎞⎟
⎛ 2 ⎞⎢ ⎝
⎢
⎥ - ⎜ t - 1⎟ ⎢
⎥
⎝
⎠ ⎢ dx ⎥ ⎝
⎠⎢
dx
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
f ' (t ) =
2
⎛⎜ t 2 + t - 2 ⎞⎟
⎝
⎠
⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2]⎛ t 2 -1 ⎞ - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t )2 −1 + 1
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
f ' (t ) = ⎝
2
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2](t ) - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t ) + 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
⎠
f ' (t ) = ⎝
2
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ t 2 + t - 2 ⎞(2t ) - ⎛ t 2 - 1⎞(2t + 1)
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
⎠
f ' (t ) = ⎝
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
2
Cancelando términos semejantes
23
2t 3 + 2t 2 - 4t - 2t 3 + 2t - t 2 + 1
f ' (t ) =
f ' (t ) =
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜
⎟
⎠
⎝
2
(t - 1)(t - 1) = (t - 1)(t - 1)
2 [(t + 2)(t - 1)]2 (t + 2)2 (t - 1)2
⎛ t 2 + t - 2⎞
t 2 - 2t + 1
⎜
⎝
f ' (t ) =
=
⎟
⎠
1
(t + 2)2
Calcular la derivada
y=
5
x2
y = 5x -2
y' =
( )
d 5x - 2
dx
y’= (-2) (5) x -2-1
y’= -10x -3
y' = -
10
x3
Otra forma (aplicando cocientes)
y=
5
x2
⎛ 5
d⎜
⎜ 2
x
y' = ⎝
dx
⎞
⎟
⎟
⎠
⎡ d⎛ x 2 ⎞ ⎤
⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥
(
)
d
5
⎡
⎤
x2 ⎢
5
⎥
⎥ ⎢
⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥
⎣⎢
⎦⎥
y' =
2
⎛⎜ x 2 ⎞⎟
⎝ ⎠
x 2 [0] - 5⎡2 x 2 -1 ⎤
⎢⎣
⎥⎦
y' =
⎛⎜ x 2 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 ⎞⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
24
y' =
x 2 [0] - 5[2 x ]
(x 2 )(x 2 )
y' =
- [10x ] - 10
=
x3
x4
y' =
- 10
x3
Calcular la derivada
y=
1
3x 2
y=
1 -2
x
3
⎛1
⎞
d⎜ x - 2 ⎟
3
⎠
y' = ⎝
dx
y’= (-2) (1/3) x -2-1
y’= - 2/3 x -3
y' = -
2
3 x3
Otra forma (aplicando cocientes)
y=
1
3x 2
⎛ 1
d⎜
⎜ 2
3x
y' = ⎝
dx
⎞
⎟
⎟
⎠
⎡ d⎛ 3x 2 ⎞ ⎤
⎜
⎟⎥
⎡ d(1) ⎤ ⎢ ⎝
⎠
2
3x ⎢
1
⎥
⎥ ⎢
⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥
⎦⎥
⎣⎢
y' =
2
⎛⎜ 3x 2 ⎞⎟
⎝
⎠
y' =
y' =
[
]
(3x 2 )(3x 2 )
3x 2 [0] - 1 (2 )(3)x 2 -1
(3x 2 )[0] - 1[(2)(3)(x)]
(3x 2 )(3x 2 )
25
y' =
y' =
- 1[6x ]
9x 4
=
- 6x
9x 4
=
-2
3x 3
-2
3x 3
Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129
Ejemplo 2
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
f (x ) =
2 x3 + 4
x2 +1
⎛ 2 x3 + 4 ⎞
⎟
d⎜
⎜ 2
⎟
x +1 ⎠
⎝
f ' (x ) =
dx
⎡ d⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ ⎤
⎡ d⎛ x 2 + 1⎞ ⎤
⎜
⎜
⎟⎥
⎟⎥
⎠ - ⎛ 2 x3 + 4⎞ ⎢ ⎝
⎠
⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎢ ⎝
⎟⎢
⎢
⎥ ⎜
⎥
⎝
⎠
⎝
⎠⎢
dx
dx
⎢
⎥
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
f ' (x ) =
2
⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟
⎝
⎠
2
⎛⎜ x + 1⎞⎟ [2] (3)(x )3-1 - ⎛⎜ 2 x 3 + 4 ⎞⎟ [2] (x )2 −1
⎠
⎝
⎠
f ' (x ) = ⎝
2
⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟
⎝
⎠
⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ 6 x 2 - ⎛⎜ 2 x 3 + 4 ⎞⎟ 2 x
⎠
⎝
⎠
f ' (x ) = ⎝
2
⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟
⎝
⎠
6 x 4 + 6 x 2 - 4 x 4 - 8x
f ' (x ) =
2
⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟
⎝
⎠
Cancelando términos semejantes
f ' (x ) =
2 x 4 + 6 x 2 - 8x
2
⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟
⎝
⎠
Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129
Ejemplo 3
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
x =
3
x5
26
⎛ 3 ⎞
⎟
d⎜
⎜ 5⎟
x ⎠
x' = ⎝
dx
⎡ d⎛ x 5 ⎞ ⎤
⎢ ⎜ ⎟⎥
⎡ d (3) ⎤
5
x ⎢
- (3) ⎢ ⎝ ⎠ ⎥
⎥
⎣ dx ⎦
⎢ dx ⎥
⎥⎦
⎢⎣
x '=
2
⎛⎜ x 5 ⎞⎟
⎝ ⎠
x 5 [0] - (3) ⎡(5)x 5 -1 ⎤
⎢⎣
⎥⎦
y' =
⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ x 5 ⎞⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
- (3) ⎡(5)x 4 ⎤
⎢⎣
⎥⎦
y' =
⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ x 5 ⎞⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
- 15 x 4
y' =
⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ x 5 ⎞⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
- 15
- 15
=
6
x ⎛⎜ x 5 ⎞⎟ x
⎝ ⎠
y' =
Calcular la derivada
2
y=
(x + 1)2
⎛ 2 ⎞
⎟
d⎜
⎜ ( x + 1)2 ⎟
⎠
y' = ⎝
dx
⎡
2⎤
⎥
dx
⎥⎦
(x + 1)2 ⎡⎢ d(2) ⎤⎥ - 2 ⎢ d (x + 1)
⎣ dx ⎦
y' =
⎢⎣
⎡(x + 1)2 ⎤
⎢⎣
⎥⎦
y' =
(x + 1)2 (0) - 2⎡⎢(2)(x + 1)2 −1 ⎤⎥
y' =
y' =
2
⎣
[(x + 1)]4
⎦
- 2[(2 )(x + 1)]
[(x + 1)]4
-4
- 4(x + 1)
=
(x + 1)4 (x + 1)3
27
y' =
-4
(x + 1)3
Calcular la derivada
y=
x
x 2 −1
⎛ x ⎞
⎟
d⎜
⎜ 2
⎟
x −1⎠
⎝
y' =
dx
⎡ d ⎛ x 2 − 1⎞ ⎤
⎟⎥
⎜
⎠
⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ ⎡ d(x ) ⎤ - x ⎢ ⎝
⎢
⎥
⎠ ⎢⎣ dx ⎥⎦ ⎢
⎝
dx
⎥
⎣⎢
⎦⎥
y' =
2
⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟
⎠
⎝
⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ [1] - x ⎡(2 ) x 2 -1 ⎤
⎥⎦
⎢⎣
⎝
⎠
y' =
2
⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟
⎝
⎠
y' =
x 2 - 1 - x [2x ]
2
⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟
⎝
⎠
reduciendo términos semejantes
x 2 - 1 - 2x 2
y' =
(x 2 − 1)2
- ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟
⎝
⎠
=
y' =
2
2
⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟
⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
2
x +1
y' = 2
⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟
⎝
⎠
-1 - x 2
28
Calculo Thomas
29
SEGUNDA DERIVADA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
30
La derivada y’ = dy/dx es la primera derivada (derivada de primer orden) de y con respecto a x. la
derivada en si bien puede ser una función diferenciable.
dy ' d ⎡ dy ⎤ d 2 y
'
'
y =
=
=
dx dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ dx 2
Se llama la segunda derivada (derivada de segundo orden ) de y con respecto a x.
Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 130
Ejemplo 4
Encuentre todas las derivadas.
f (x) = 8 x4 + 5 x3 – x2 + 7
‘
f (x) = 8 (4) x4 - 1 + 5 (3) x3-1 – (2) x2-1 + 0
‘
f (x) = 32 x3 + 15 x2 – 2 x
‘‘
f (x) = 32 (3) x3-1 + 15 (2) x2-1 – 2 x1-1
‘‘
f (x) = 96 x2 + 30 x – 2
‘‘‘
f (x) = 96 (2) x2-1 + 30 x1-1 – 0
‘‘‘
f (x) = 192 x + 30
4
f (x) = 192 x1-1 + 0
4
f (x) = 192
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
DERIVADA DEL SENO
En pocas palabras, la derivada del seno es el coseno.
d
(sen x ) = cos x
dx
Calcular la derivada
y = x3 sen x
Aplicando la derivada del producto
Primer termino = (x3)
Segundo termino = (sen x)
(
)
d x 3 sen x
dx
d
[sen x ] + (sen x ) d x 3
y' = x3
dx
dx
y' =
[ ]
( )
y ' = (x 3 )[cos x ] + (sen x ) [3x 2 ]
y ' = x 3 cos x + 3x 2 senx
31
Calcular la derivada
y = (x sen x)3
d (x sen x )3
dx
d
[sen x ]3 + (sen x )3 d x 3
y' = x3
dx
dx
d (x sen x )
y ' = 3[x sen x ]3 −1
dx
d (x sen x )
y ' = 3[x sen x ]2
dx
y' =
[ ]
( )
Aplicando derivada del producto
⎡ d (senx )
⎛ d ( x ) ⎞⎤
y ' = 3[x sen x ]2 ⎢(x )
+ (senx )⎜
⎟⎥
dx
⎝ dx ⎠⎦
⎣
y ' = 3[x sen x ]2 [(x ) cos x + (senx )(1)]
y ' = 3[x sen x ]2 [x cos x + senx]
Otra forma (aplicando la derivada interna)
y = (x sen x)3
y = x3 (sen x)3
Aplicando la derivada del producto
Primer termino = (x3)
Segundo termino = (sen x)3
[
]
d x 3 (senx )3
dx
d
[sen x ]3 + (sen x )3 d x 3
y' = x3
dx
dx
y' =
( )
[ ]
( )
[ ]
y ' = x 3 3(cos x ) [sen x ]3 - 1 + (sen x )3 3 x 3 - 1
La derivada interna de (sen x)3 es: cos x
y ' = 3 x 3 (cos x ) [sen x ]2 + (sen x )3 3 x 2
y ' = 3 x 3 (cos x ) sen 2 x + 3x 2 sen 3 x
Factor común
y ' = 3 x 2 sen 2 x[x cosx + sen x ]
Calcular la derivada
y = sen x
y = sen x = (sen x )1 2
32
[
]
d (sen x )1 2
dx
d[(sen x )]
1
y' = (sen x )1 2 −1
dx
2
y' =
1
(sen x )1 2 −1 * (1)cos x
2
1
y' = (sen x ) − 1 2 (cos x )
2
1
(cos x )
y' =
2(sen x )1 2
cos x
cos x
=
y' =
2(sen x )1 2 2 sen x
cos x
y' =
2 sen x
y' =
Calcular la derivada
y=
ln x
x −1
⎛ x ⎞
d⎜
⎟
x −1⎠
⎝
y' =
dx
(x - 1)⎡⎢ d(ln x )⎤⎥ - ln x ⎡⎢ d(x - 1)⎤⎥
⎣ dx ⎦
⎣ dx ⎦
y' =
[x − 1]2
(x - 1) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎡⎢ d(x )⎤⎥ - ln x [1]
⎝ x ⎠ ⎣ dx ⎦
y' =
[x − 1]2
(x - 1) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ [1] - ln x
⎝x⎠
y' =
[x − 1]2
⎛ x -1⎞
(x - 1) - x ln x
⎟ - ln x
⎜
(x - 1) - x ln x = x - 1 - x ln x
x ⎠
x
y' = ⎝
=
=
2
2
[x − 1]
(x - 1)
x (x - 1)2
x (x - 1)2
x - 1 - x ln x
y' =
x (x - 1)2
Calcular la derivada
y = tag (2x + 1)
33
d [tag (2x + 1)]
dx
d
y ' = sec 2 (2x + 1) [2x + 1]
dx
y' =
y ' = sec 2 (2x + 1) [2]
y ' = 2 sec 2 (2x + 1)
1
= tag x sec x
cos x
Calcular la derivada
y' = tag x *
1
cos x
1
y=
= sec x
cos x
y' = sec x tag x
y=
y' =
d(sec x )
dx
d(x )
dx
y' = sec x tag x (1)
y' = sec x tag x
y' = sec x tag x
Otra forma (utilizando el cociente)
y=
1
cos x
⎛ 1 ⎞
d⎜
⎟
cos x ⎠
⎝
y' =
dx
⎡ d(1) ⎤ ⎡ d(cos x ) ⎤
-1
cos x ⎢
dx ⎥⎦ ⎢⎣ dx ⎥⎦
⎣
y' =
(cos x )2
y' =
cos x [0] - 1[− sen x ]
(cos x )2
- 1[− sen x ]
y' =
=
(cos x )2
sen x
sen x
1
*
=
cos x (cos x ) cos x cos x
Otra forma (utilizando el exponente)
1
cos x
1
y=
= (cos x )−1
cos x
y=
y' =
d(cos x )−1
dx
d (cos x )
dx
d(cos x )
y' = (- 1)(cos x )- 2
dx
-1
d (cos x )
y' =
2
(cos x ) dx
-1
y' =
* (- sen x )
(cos x )2
sen x
y' =
(cos x )2
sen x
sen x 1
y' =
=
*
(cos x )(cos x ) cos x cos x
y' = (- 1)(cos x )-1 -1
y' = tag x sec x
Hallar la derivada de y = (x5) (esen x)
Primer termino = (x5)
Segundo termino = (esen x)
y' =
[ ( )]
d (x )5 e senx
dx
( ) dxd [e senx ]+ (esen x ) dxd [x 5 ]
y' = x5
34
d (senx ) ⎤ ⎛ sen x ⎞ ⎡ 5 -1 ⎤
⎡
+ ⎜e
y ' = ⎢⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ e senx ⎞⎟
⎟ (5) ⎢ x
⎥⎦
⎠ ⎣
⎝
⎠
⎝
⎠
dx ⎥⎦ ⎝
⎣
d (x ) ⎤
⎡
+ 5 ⎛⎜ e sen x ⎞⎟ ⎡ x 4 ⎤
y ' = ⎢⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ e senx ⎞⎟ (cos x )
⎝
⎠ ⎢⎣ ⎥⎦
⎠
dx ⎥⎦
⎣⎝ ⎠ ⎝
y ' = ⎡⎢⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ e senx ⎞⎟ (cos x )(1)⎤⎥ + 5 ⎛⎜ e sen x ⎞⎟ ⎡ x 4 ⎤
⎠
⎝
⎠ ⎢⎣ ⎥⎦
⎣⎝ ⎠ ⎝
⎦
y ' = x 5 (cos x ) ⎛⎜ e sen x ⎞⎟ + 5x 4 ⎛⎜ e sen x ⎞⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
y ' = x 4 ⎛⎜ e sen x ⎞⎟ [x cos x + 5]
⎝
⎠
Calcular la derivada
y = sen 1 - 2 x
y = sen 1 - 2 x = sen (1 - 2x )1 2
1 2⎤
⎡
d ⎢ sen⎛⎜1 - 2 x ⎞⎟ ⎥
⎠ ⎥
⎢ ⎝
⎦
y' = ⎣
dx
1 2⎤
⎡
d ⎢⎛⎜1 − 2 x ⎞⎟ ⎥
⎠ ⎥
1 2 ⎢⎣⎝
⎦
y' = cos ⎛⎜1 - 2 x ⎞⎟
⎠
⎝
dx
⎛
d ⎛⎜1 − 2 x ⎞⎟ ⎞⎟
⎜1
⎠⎟
y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎝
dx
⎜2
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛1
⎞
y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎛⎜ − 2 x ln 2 ⎞⎟ ⎟
⎝
⎠
⎝2
⎠
)(
)
⎛
⎞
1
− 2 x ln 2 ⎟⎟
y' = cos 1 - 2 x ⎜⎜
⎝ 2 1 - 2x
⎠
(
⎛ ⎛ - 2 x ln 2 ⎞ ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎠⎟
x
y' = cos 1 - 2 ⎜ ⎝
⎜ 2 1 - 2x ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
(
)
⎛⎜ - 2 x ln2 ⎞⎟ ⎛⎜ cos 1 - 2 x
⎝
⎠ ⎜⎝
y' =
2 1- 2x
⎞
⎟⎟
⎠
35
Calcular la derivada
y = cos x
y = cos x = cos (x )1 2
d ⎡cos (x )1 2 ⎤
⎢
⎥⎦
y' = ⎣
dx
⎛1⎞
y' = - sen (x )1 2 ⎜ ⎟ (x )1 2 − 1
⎝2⎠
⎛1⎞
y' = - sen x ⎜ ⎟ (x )- 1 2
⎝2⎠
⎛1⎞⎛ 1 ⎞
y' = - sen x ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝2⎠⎝ x ⎠
y' =
- sen x
2 x
Calcular la derivada
y = (x) (sen x)3
Primer termino = (x)
Segundo termino = (sen x)3
y' =
[
d (x )(senx )3
dx
y ' = (x )
]
[
]
d
(sen x )3 + (sen x )3 d [x ]
dx
dx
y ' = (x )(cos x )3
[ ]
d
(x )3 + (sen x )3 [1]
dx
[
]
y ' = (x )(cos x )3 [(3)(x )2 ]+ (sen x )3
y ' = (x )(cos x )3 (3)(x )3 −1 + (sen x )3
y ' = 3 (x )(x )2 (cos x )3 + (sen x )3
y ' = 3 x 3 (cos x )3 + (sen x )3
Calcular la derivada
y = ln [sen (x2 + 5)]
36
[( (
)]
⎞ ⎡ d (sen (x 2 + 5) ⎤
⎟⎢
⎥
d ln sen x 2 + 5
'
y =
dx
⎛
1
y' = ⎜
⎜ sen x 2 + 5 ⎟ ⎢
⎝
⎠⎣
)
(
dx
⎥⎦
⎛
⎞
⎜
⎟
1
'
⎟ ⎡cos ⎛⎜ x 2 + 5 ⎞⎟(2 )(x )2 −1 ⎤
y = ⎜
⎥⎦
⎝
⎠
⎜ sen⎛⎜ x 2 + 5 ⎞⎟ ⎟ ⎢⎣
⎜
⎟
⎝
⎠⎠
⎝
⎛
⎞
⎜
⎟
1
⎟ ⎡cos ⎛⎜ x 2 + 5 ⎞⎟(2 )(x )⎤
y' = ⎜
⎥⎦
⎝
⎠
⎜ sen⎛⎜ x 2 + 5 ⎞⎟ ⎟ ⎢⎣
⎜
⎟
⎝
⎠⎠
⎝
⎛ ⎛
⎞⎞
2
⎜ 2x ⎜ cos ⎛⎜ x + 5 ⎞⎟ ⎟ ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎟
y' = ⎜
⎜
⎞ ⎟
⎛ 2
⎜ sen⎜⎝ x + 5 ⎟⎠ ⎟
⎠
⎝
y' =
(
2x cos x 2 + 5
(
sen x 2 + 5
(
)
)
y ' = (2x ) cot x 2 + 5
)
Calcular la derivada
y = ln
1+ x2
1− x2
⎛ 1+ x2 ⎞
⎟
d⎜ ln
⎜
⎟
2
1− x ⎠
y' = ⎝
dx
⎡ ⎛1+ x2 ⎞⎤
⎟⎥
⎢d⎜
⎜
⎟
2
⎢
1− x ⎠⎥
1
⎢ ⎝
⎥
y' =
dx
⎥
1+ x2 ⎢
⎢
⎥
⎥
1 - x 2 ⎢⎣
⎦
⎡ ⎛1 + x2 ⎞ ⎤
⎟⎥
⎢ d⎜
⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎜1 − x2 ⎟ ⎥
⎠⎥
⎟⎢ ⎝
y' = ⎜
⎜
⎟
2 ⎢
dx
⎥
⎝1+ x ⎠ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
37
⎡
⎛ d ⎛1 - x 2 ⎞ ⎞ ⎤
⎛ d ⎛1 + x 2 ⎞ ⎞
⎟ ⎟⎥
⎟⎟
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎢⎛
⎠⎟
⎝
⎠ ⎟ - ⎛1 + x 2 ⎞ ⎜ ⎝
2
⎥
⎢ ⎜1 - x ⎞⎟ ⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
dx
dx
⎟⎥
⎟
⎜
⎜
⎢
⎟
⎟
⎜
⎜
⎛ 1- x2 ⎞ ⎢
⎠⎥
⎠
⎝
⎝
⎟
y' = ⎜
⎥
⎢
⎜
⎟
2
2
⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟
⎥
⎝1+ x ⎠ ⎢
⎥
⎢
⎝
⎠
⎥
⎢
⎥
⎢
⎦
⎣
⎛ 1- x2
y' = ⎜
⎜
2
⎝1+ x
⎡
2⎞
2 -1 - ⎛1 + x 2 ⎞ (− 2 )(x )2 −1 ⎤⎥
⎛
⎜
⎟
⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x )
⎠
⎝
⎠
⎟ ⎢⎝
⎥
⎟⎢
2
⎥
2
⎛⎜1 - x ⎞⎟
⎠⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
⎡
⎤
2⎞
2⎞
⎛
⎛
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2)(x ) ⎥
⎠
⎝
⎠
⎟ ⎢⎝
⎥
y' = ⎜
⎜
⎟
2
2
⎢
⎥
⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟
⎝1+ x ⎠ ⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
⎡
⎤
2⎞
2⎞
⎛
⎛
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2 x ) ⎥
⎠
⎝
⎠
⎟ ⎢⎝
⎥
y' = ⎜
⎟⎢
⎜
2
2
⎥
+
1
x
2
⎛⎜1 - x ⎞⎟
⎠⎢
⎝
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
⎡
⎤
2⎞
2⎞
⎛
⎛
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) + ⎜1 + x ⎟ (2 x ) ⎥
⎠
⎝
⎠
⎟ ⎢⎝
⎥
y' = ⎜
⎜
⎟
2
2
⎢
⎥
⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟
⎝1+ x ⎠ ⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 2x - 2x 3 + 2x + 2x 3 ⎤
⎥
⎟⎢
y' = ⎜
2
⎥
⎜1 + x 2 ⎟ ⎢
⎝
⎠ ⎣⎢
1- x2
⎦⎥
( )
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 4x ⎤
⎥
⎟⎢
y' = ⎜
2
⎥
⎜1+ x2 ⎟ ⎢
⎝
⎠ ⎣⎢ 1 - x 2 ⎥⎦
( )
4x - 4x 3
y' =
⎛⎜1 + x 2 ⎞⎟ ⎛⎜1 − x 2 ⎞⎟
⎝
⎠⎝
⎠
2
Calcular la derivada
y = e1 x
d ⎛⎜ e1 x ⎞⎟
⎝
⎠
y' =
dx
⎛1⎞
d⎜ ⎟
x
y' = ⎛⎜ e1 x ⎞⎟ ⎝ ⎠
⎝
⎠ dx
38
d ⎛⎜ x −1 ⎞⎟
⎠
y' = ⎛⎜ e1 x ⎞⎟ ⎝
⎝
⎠ dx
y' = ⎛⎜ e1 x ⎞⎟ (- 1)(x )-1-1
⎝
⎠
( )
y' = e1 x (- 1)(x )- 2
y' =
- e1 x
x2
LA REGLA DE LA CADENA
Si y = f(u) es función derivable de u y
u = g(x) es función derivable de x
entonces y = f(g(x)) es función derivable de x, con
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
d
[f (g(x ))] = f ' (g(x )) g ' (x ) ’
dx
Sección 3.5 Ejemplo # 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 139
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
y = (x2 + 1)3
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
Se halla primero
dy
du
3
dy d ⎛ 2
=
⎜ x + 1⎞⎟
⎠
du du ⎝
3 −1
dy
= (3) ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟
⎝
⎠
du
2
dy
= (3) ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟
⎝
⎠
du
Después se halla
du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (x2 + 1)
39
y = (x2 + 1)3 = (u)3
d⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟
du
⎠ = 2x 2 -1
= ⎝
dx
dx
du
= 2 x 2 -1
dx
du
= 2x
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
2
dy
= (3) ⎛⎜ x 2 + 1 ⎞⎟ (2x )
⎝
⎠
dx
2
dy ⎛ 2
= ⎜ x + 1 ⎞⎟ (6x )
⎠
dx ⎝
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 25
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
y = (2x + 1)2
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
Se halla primero
dy
du
dy d
(2 x + 1)2
=
du du
dy
= (2 )(2 x + 1)2 −1
du
dy
= (2 )(2 x + 1)
du
Después se halla
du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (2 x + 1)
y = (2 x + 1)2 = (u)2
40
du d (2 x + 1)
=
= 2x 1-1
dx
dx
du
= 2 x0
dx
du
= 2
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
= (2 )(2x + 1 )(2 )
dx
dy
= 4 (2 x + 1 )
dx
Problema 10.8 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 93
Derivar s = (t2 – 3)4
Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (2t)
s’ = 4 *(t2 – 3)3 *(2t)
s’ = (t2 – 3)3 (8t)
Problema 10.30 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
Derivar y = (1 – 5x)6
Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (-5)
y ’ = 6 *(1 – 5x)5 * (- 5)
y ’ = (1 – 5x)5 (- 30)
Problema 10.31 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
Derivar y = (3x – x3 + 1)4
Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (3 – 3x2 )
y ’ = (3x – x3 + 1)4
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * (3 – 3x2 )
Factor común 3
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * 3 * (1 – x2 )
y ’ = 12 (3x – x3 + 1)3 (1 – x2 )
Problema 10.32 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
Derivar y = (3 + 4x – x2 )1/2
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
41
Se halla primero
dy
du
1
dy d ⎛
2
⎞
=
⎜3 + 4 x - x ⎟ 2
⎠
du du ⎝
1
−1
dy ⎛ 1 ⎞ ⎛
2
⎞
= ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟ 2
⎠
du ⎝ 2 ⎠ ⎝
1
−
dy ⎛ 1 ⎞ ⎛
2
⎞
= ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟ 2
⎠
du ⎝ 2 ⎠ ⎝
⎛
⎞
⎜
⎟
dy ⎜
1
⎟
=⎜
⎟
1
2
du
⎜ 2⎛⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝ ⎝
⎠
Después se halla
du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (3 + 4x – x2 )
y = (3 + 4x – x2 )1/2 = (u)1/2
d⎛⎜ 3 + 4 x - x 2 ⎞⎟
du
⎠
= ⎝
dx
dx
du
= 4x1 -1 - 2 x 2 -1
dx
du
= 4x 0 - 2 x1
dx
du
= 4-2x
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
⎡
⎤
⎢
⎥
dy ⎢
1
⎥ (4 - 2x
=
12⎥
dx ⎢ ⎛
⎢ 2⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟
⎥
⎠
⎣ ⎝
⎦
)
42
⎡
⎤
⎢
⎥
dy ⎢
4 - 2x
2 (2 - x )
⎥=
=
1
2
12
⎢
⎥
dx
⎢ 2⎛⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟
⎥ (2 ) ⎛⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟
⎠
⎝
⎠
⎣ ⎝
⎦
dy
(2 - x )
=
12
dx
⎛⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟
⎠
⎝
REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS
Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un numero racional, entonces
dy
⎛ du ⎞
= n [u (x )]n -1 ⎜ ⎟
dx
⎝ dx ⎠
O lo que es lo mismo
d ⎡ n⎤
u = n [u ]n -1 u '
dx ⎢⎣ ⎦⎥
Sección 3.5 Ejemplo # 4 calculo Larson Edic 5 Pág. 140
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
f (x) = (3x – 2x2)3
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
Se halla primero
dy
du
3
dy d ⎛
2
=
⎜ 3x - 2x ⎞⎟
⎠
du du ⎝
dy
= (3) ⎛⎜ 3x - 2x 2
⎝
du
⎞⎟
⎠
dy
= (3) ⎛⎜ 3x - 2x 2
⎝
du
⎞⎟
⎠
3 −1
2
Después se halla
du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (3x – 2x2)
y = (3x – 2x2)3 = (u)3
43
d⎛⎜ 3x - 2x 2 ⎞⎟
du
⎝
⎠
=
= 3 x1-1 - 2 (2 )x 2 -1
dx
dx
du
= 3 -4x
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
= (3) ⎛⎜ 3x - 2x 2
⎝
dx
dy ⎛
= ⎜ 3x - 2x 2
dx ⎝
⎞⎟
⎠
⎞⎟
⎠
2
2
(3 -
4x )
(9 - 12x )
Sección 3.5 Ejemplo # 6 calculo Larson Edic 5 Pág. 141
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
2
y = 3 ⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟
⎠
⎝
23
y = ⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟
⎝
⎠
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
Se halla primero
dy
du
23
dy d ⎛ 2
=
⎜ x + 2 ⎞⎟
⎠
du du ⎝
dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2
=⎜ ⎟⎜x + 2
du ⎝ 3 ⎠ ⎝
⎞⎟
⎠
2 3 −1
−1 3
dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2
= ⎜ ⎟ ⎜ x + 2 ⎞⎟
⎠
du ⎝ 3 ⎠ ⎝
dy
2
2
=
=
1
3
du
3 3 ⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟
3 ⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Después se halla
du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (x2 + 2)
44
y = (x2 + 2)2/3 = (u)2/3
d⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟
du
⎝
⎠
= 2 x 2 -1 + 0
=
dx
dx
du
= 2x
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
⎡
⎤
dy ⎢
2
⎥ (2x )
=
⎥
dx ⎢ 3 2
⎣3 x + 2 ⎦
dy
4x
=
dx
3
3 x2 + 2
Sección 3.5 Ejemplo # 7 calculo Larson Edic 5 Pág. 141
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
g(t ) =
-7
(2t - 3)2
-2
g(t) = (-7) (2t – 3)
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero: du
dy d
(− 7 )(2t - 3)− 2
=
du du
dy
= (- 7 )(- 2 )(2t - 3 )− 2 −1
du
dy
= (14 )(2t - 3 )− 3
du
dy
14
=
du (2t - 3)3
du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (2t - 3)
45
y = (2t - 3)
-2
-2
= (u)
du d(2t - 3 )
=
= 2 t1-1 - 0
dx
dx
du
= 2
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy ⎡ 14 ⎤
⎥ (2 )
=⎢
dx ⎢ (2t - 3)3 ⎥
⎦
⎣
dy
28
=
dx (2t - 3)3
Sección 3.5 Ejemplo # 8 calculo Larson Edic 5 Pág. 142
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
f (x ) = x 2 1 - x 2
12
f (x ) = x 2 ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟
⎝
⎠
Primer termino = (x2)
12
Segundo termino = ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟
⎝
f ' (x ) = (x )2
⎠
12
12 d
d ⎡
⎡ x2⎤
1- x2 ⎤
+ ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟
⎢
⎥
⎥⎦
⎣
⎦
⎝
⎠
dx
dx ⎣⎢
La derivada interna de (1 – x2) es (- 2x)
La derivada de (x2) es (2x)
1 2 -1
12
⎛1⎞
[2x ]
f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤
+ ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟
⎥⎦
⎢⎣
⎝
⎠
⎝2⎠
⎛1⎞
f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤
⎥⎦
⎢⎣
⎝2⎠
(x )2 (− 2 x ) + ⎛ 1 - x 2
f ' (x ) =
⎜
⎝
2 1- x2
f ' (x ) =
-1 2
12
[2x ]
+ ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟
⎝
⎠
⎞
⎟ (2x )
⎠
(x )2 (− x ) + ⎛
1- x2
⎞
⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x )
⎝
⎠
46
⎛
⎞
⎛
⎞
- x 3 + ⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x ) ⎜ 1 - x 2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
f ' (x ) =
1- x2
f ' (x ) =
- x 3 + ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ (2x )
⎝
⎠
1- x2
f ' (x ) =
- x 3 + 2x - 2x 3
f ' (x ) =
- 3x 3 + 2x
1- x2
=
1- x 2
(x ) ⎛⎜ 2 - 3x 2 ⎞⎟
⎝
⎠
f ' (x ) =
1- x2
2x - 3x 3
1- x2
Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
f (x ) =
x
3 2
x +4
En este caso se utiliza la derivada del producto
−1 3
f (x ) = (x ) ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
Primer termino = (x)
−1 3
Segundo termino = ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
1
3
-1 3 d
d
[ x]
+ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
f ' (x ) = (x ) ⎡ x 2 + 4⎤
⎥⎦
⎝
⎠
dx ⎢⎣
dx
La derivada interna de (x2 + 4) es (2x)
La derivada de (x) es (1)
-1 3 -1
-1 3
⎛ 1⎞
[1]
f ' (x ) = (x ) ⎜ − ⎟ ( 2x ) ⎡ x 2 + 4 ⎤
+ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎥⎦
⎢⎣
⎝
⎠
⎝ 3⎠
-4 3
-1 3
⎛ - 2x ⎞ ⎡ 2
+ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
f ' ( x ) = (x ) ⎜
⎟ ⎢ x + 4 ⎤⎥
⎦
⎝
⎠
⎝ 3 ⎠⎣
⎛ - 2 x2 ⎞
-4 3
-1 3
⎟ ⎡x 2 + 4 ⎤
+ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
f ' (x ) = ⎜
⎥⎦
⎜ 3 ⎟ ⎢⎣
⎝
⎠
⎝
⎠
47
⎛
⎞
⎜
⎟
2
-2x
1
⎜
⎟
'
f (x ) = ⎜
+
⎟
43
⎜⎜ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎟⎟ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
⎠
⎝ ⎝
⎠
⎞
⎛
⎟
⎜
2
⎟
⎜
2
x
1
f ' (x ) = ⎜
⎟ +
4
⎜ 3⎛ 2
⎞ ⎟ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎜ 3 ⎜ x + 4⎟ ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎠
⎝
1
− 2 x2
f ' (x ) =
+
4 3⎛ 2
⎜ x + 4 ⎞⎟
3 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
− 2 x 2 + ⎡⎢3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟⎤⎥
⎠⎦ - 2x 2 + 3x 2 + 12
⎣ ⎝
f ' (x ) =
=
4
3 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
3 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
x 2 + 12
f ' (x ) =
3 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
f (x ) =
f (x ) =
x
3 2
x +4
x
13
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
En este caso se utiliza la derivada del cociente
⎛
⎞
⎜
⎟
x
⎜
⎟
d⎜
13⎟
⎜⎜ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎟⎟
⎠ ⎠
⎝
f ' (x ) = ⎝
dx
13⎤
⎡
2
⎢ d ⎛⎜ x + 4 ⎞⎟ ⎥
1 3 ⎡ d(x ) ⎤
⎠ ⎥
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
- (x ) ⎢ ⎝
⎢
⎥
⎠
⎝
⎢
⎥
dx
⎣ dx ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
y' =
2
1 3⎤
⎡ 2
⎢⎛⎜ x + 4 ⎞⎟ ⎥
⎠ ⎥
⎝
⎣⎢
⎦
La derivada interna de (x2 + 4) es (2x)
La derivada de (x) es (1)
48
⎡ ⎛ 2
⎞⎤
13
1 3 - 1 ⎢ d ⎜⎝ x + 4 ⎟⎠ ⎥
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ [1] - (x ) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎢
⎥
⎠
⎠
⎝
dx
⎝ 3⎠⎝
⎢
⎥
⎣
⎦
y' =
2
1 3⎤
⎡ 2
⎢⎛⎜ x + 4 ⎞⎟ ⎥
⎠ ⎥
⎢⎣⎝
⎦
13
1 3 -1
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ [1] - (x ) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
[2x ]
⎠
⎠
⎝
3⎠⎝
⎝
y' =
2
1 3⎤
⎡ 2
⎞
⎛
⎢⎜ x + 4 ⎟ ⎥
⎠ ⎥
⎢⎣⎝
⎦
13 ⎛x⎞
-2 3
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
[2x ]
- ⎜ ⎟ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
⎠
⎝ 3⎠⎝
y' =
2
1 3⎤
⎡ 2
⎛
⎞
⎢⎜ x + 4 ⎟ ⎥
⎝
⎠ ⎥
⎣⎢
⎦
1 3 ⎛ 2 x2
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
- ⎜
⎜ 3
⎝
⎠
⎝
y' =
⎞
-2 3
⎟ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎟⎝
⎠
⎠
2
1 3⎤
⎡ 2
⎛
⎞
⎢⎜ x + 4 ⎟ ⎥
⎠ ⎥
⎢⎣⎝
⎦
23
13
⎡
⎤
⎛
⎞
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
- 2x 2 ⎥
⎢
⎜
⎟
13 ⎜
⎝
⎠
⎝
⎠
2 x2
⎟
⎣⎢
⎦⎥
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
- ⎜
⎟
23
⎝
⎠
2
3
⎜⎜ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎟⎟
3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
=
y' =
23
23
⎡ x 2 + 4⎤
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎢⎣
⎥⎦
⎝
⎠
Producto de extremos es igual al producto de medios
⎡3⎛ x 2 + 4 ⎞ - 2x 2 ⎤
⎟
⎢⎣ ⎜⎝
⎥⎦
⎠
23
3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
3 x 2 + 12 - 2x 2
⎝
⎠
y' = =
=
23
23
23
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
3⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
x 2 + 12
y' = =
43
⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
Sección 3.5 Ejemplo # 10 calculo Larson Edic 5 Pág. 142
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
⎛ 3x - 1 ⎞
⎟
y=⎜
⎜ 2
⎟
⎝ x + 3⎠
2
49
En este caso se utiliza la derivada del cociente
⎛ 3x - 1 ⎞
⎟
d⎜
⎟
⎜ 2
x + 3⎠
⎝
f ' (x ) =
dx
2
⎛ 3x - 1 ⎞
⎟
Es necesario hallar la derivada interna de ⎜
⎟
⎜ 2
⎝ x + 3⎠
⎛ 3x - 1 ⎞ d ⎛ 3x - 1 ⎞
dy
⎟
⎜
⎟
= (2) ⎜
⎟
⎟ dx ⎜ 2
⎜ 2
dx
⎝ x + 3⎠
⎝ x + 3⎠
dy ⎛⎜ 6x - 2 ⎞⎟ d ⎛⎜ 3x - 1 ⎞⎟
=
dx ⎜⎝ x 2 + 3 ⎟⎠ dx ⎜⎝ x 2 + 3 ⎟⎠
⎡⎧
⎫⎤
⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ d (3x - 1) - (3x - 1) d ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ ⎪⎥
⎢
⎪
dy ⎛⎜ 6x - 2 ⎞⎟ ⎢ ⎪ ⎝
⎠ dx
⎠ ⎪⎥
dx ⎝
=
⎨
⎬⎥
⎟
⎜
⎢
2
2
dx ⎝ x + 3 ⎠ ⎪
⎪⎥
2
⎛
⎞
⎢⎪
⎜ x + 3⎟
⎪⎭⎦
⎝
⎠
⎩
⎣
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
⎤
⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ (3) - (3x - 1)(2x ) ⎥
⎝
⎠
⎥
2
⎥
⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟
⎥
⎝
⎠
⎦
⎤
⎥
2
2
3x + 9 - 6x + 2x ⎥
2
⎥
⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟
⎥
⎝
⎠
⎦
⎤
⎥
- 3x 2 + 9 + 2x ⎥
2 ⎥
⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟
⎥
⎝
⎠
⎦
⎤
⎡
⎢
2
⎛ 3x - 1 ⎞ - 3x + 9 + 2x ⎥
⎥
⎟⎢
= (2 )⎜
⎜ 2
⎟⎢
2
⎥
⎝ x + 3⎠
2
⎥
⎢ ⎛⎜ x + 3 ⎞⎟
⎠
⎦
⎣ ⎝
⎡
⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢
⎟⎢
=⎜
⎜ 2
⎟
⎝ x + 3⎠ ⎢
⎢
⎣
⎡
⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢
⎟⎢
=⎜
⎜ 2
⎟
⎝ x + 3⎠ ⎢
⎢
⎣
⎡
⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢
⎟⎢
=⎜
⎜ 2
⎟
⎝ x + 3⎠ ⎢
⎢
⎣
⎤
⎡
⎥
⎢
2
- 3x + 9 + 2x ⎥
= (2)(3x - 1) ⎢
3 ⎥
⎢
2
⎥
⎢ ⎛⎜ x + 3 ⎞⎟
⎠
⎦
⎣ ⎝
(2)(3 x - 1) ⎛⎜ - 3x 2 + 9 + 2x ⎞⎟
⎠
⎝
=
3
⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟
⎝
⎠
Problema 10.37 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
50
⎛
⎝
⎞
x 2 − 2x + 2 ⎟
⎠
Derivar f (x ) = (x - 1) ⎜
Primer termino = (x – 1)
⎛
⎞
⎝
⎠ ⎝
12
Segundo termino = ⎜⎜ x 2 − 2 x + 2 ⎟⎟ = ⎛⎜ x 2 - 2x + 2 ⎞⎟
f ' (x ) = (x - 1 )
[
⎠
]
12 ⎛
d 2
⎞ d
x - 2x + 2
+ ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟ [ x - 1]
dx
⎠ dx
⎝
La derivada interna es (2x - 2)
[
]
-1 2 ⎛
1
⎞
f ' (x ) = (x - 1 ) * (2x - 2 ) x 2 - 2x + 2
+ ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟[ 1]
2
⎠
⎝
f ' (x ) =
(x - 1)(2 x − 2)
⎛
⎞
+ ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟
⎠
x 2 - 2x + 2 ⎝
2
f ' (x ) =
⎛
⎞
x 2 - 2x + 2 ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟
⎝
⎠
(x - 1)(2 x − 2) + 2
x 2 - 2x + 2
2
(
(
x - 1)(2 x − 2 ) + 2 x 2 - 2x + 2
'
f (x ) =
2 x 2 - 2x + 2
f ' (x ) =
2x 2 - 2x - 2x + 2 + 2x 2 - 4x + 4
2
x 2 - 2x + 2
2
2(2x 2 - 4x + 3)
x 2 - 2x + 2
2
f ' (x ) =
x 2 - 2x + 2
4x 2 - 8x + 6
f ' (x ) =
f ' (x ) =
)
2 x 2 - 4x + 3
x2 - 2 x + 2
Sección 3.5 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 141
Descomposición de una función compuesta
y = f(g(x))
1
y=
x +1
y = sen 2x
y = 3x 2 − x + 1
y = tg2 x
u = g(x)
u = 2x
Y = f(u)
1
y=
u
y = sen u
u = 3x2 –x + 1
y= u
u = tg x
y = (u)2
u=x+1
51
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Completar la tabla siguiendo el modelo del ejemplo 2
y = f(g(x))
y = (6x - 5)4
1
y=
x +1
u = g(x)
u = 6x -5
y = x2 −1
u = x2 - 1
y= u
⎛ 3x ⎞
u =⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
u = (x2 - 3x + 4)
u = (5x - 2)
y = (u )2
2
⎛ 3x ⎞
y=⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
y = (x2 - 3x + 4)6
y = (5x - 2)3/2
u=x+1
y = f(u)
y = (u)4
1
y=
u
y = (u)6
y = (u)3/2
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 7
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
y = (2x - 7)
3
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero: du
dy d
(2x - 7 )3
=
du du
dy
= (3)(2x - 7 )3 −1
du
dy
= (3)(2x - 7 )2
du
du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (2x – 7)
y = (2x – 7)3 = (u)3
du d (2x - 7 )
=
= 2 x1-1 - 0
dx
dx
du
= 2
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
52
dy
= (3)(2x - 7 )2 (2 )
dx
dy
= (2x - 7 )2 (6 )
dx
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 8
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
4
y = (3 x2 + 1)
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du
(
)
(
(
)
)
4
dy d
=
3x 2 + 1
du du
4 −1
dy
= (4 ) 3 x 2 + 1
du
3
dy
= (4 ) 3 x 2 + 1
du
du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (3 x2 + 1)
y = (3 x2 + 1)4 = (u)4
)
(
du d 3 x 2 + 1
=
= 2 (3) x 2 -1 + 0
dx
dx
du
= 6x
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
)
(
3
dy
= (4 ) 3 x 2 + 1 (6x )
dx
(
)
3
dy
= 3 x 2 + 1 (24x )
dx
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 9
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
53
4
g (x) = 3 (9x - 4)
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du
dy d
=
3 (9 x - 4 )4
du du
dy
= (3)(4 )(9 x - 4 )4 −1
du
dy
= (12 )(9 x - 4 )3
du
du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (9 x - 4)
y = (9x - 4)4 = (u)4
du d (9x - 4 )
=
= 9 x1-1 - 0
dx
dx
du
= 9
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
= (12 )(9x - 4 )3 (9 )
dx
dy
= (9 x - 4 )3 (108 )
dx
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 10
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
f (x) = 2 (x2 - 1)
3
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du
dy d ⎛ 2 ⎞ 3
2 ⎜ x - 1⎟
=
du du ⎝
⎠
54
3 −1
dy
= (2 )(3) ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟
⎝
⎠
du
2
dy
= (6 ) ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟
⎝
⎠
du
du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = ( x2 - 1)
y = (x2 - 1)2 = (u)2
d⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟
du
⎠
⎝
= 2 x 2 -1 - 0
=
dx
dx
du
= 2x
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
2
dy
= (6 ) ⎛⎜ x 2 - 1 ⎞⎟ (2 x )
⎠
⎝
dx
2
dy ⎛ 2
= ⎜ x - 1 ⎞⎟ (12 x )
⎠
dx ⎝
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 11
Hallar la derivada
1
y=
x−2
⎛ 1 ⎞
d⎜
⎟
x -2⎠
⎝
y' =
dx
y' =
y' =
y' =
(x − 2 )
d
(1) - (1) d (x - 2)
dx
dx
2
(x - 2)
(x − 2)(0) - (1)(1)
(x - 2)2
−1
(x - 2)2
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
55
Problema # 12
Hallar la derivada
1
s (t) =
t 2 + 3t − 1
⎛
⎞
1
⎟
d⎜
⎜ 2
⎟
t + 3t - 1 ⎠
s' = ⎝
dx
⎛⎜ t 2 + 3t − 1⎞⎟ d (1) - (1) d ⎛⎜ t 2 + 3t - 1⎞⎟
⎠ dx
⎠
dx ⎝
s' = ⎝
2
⎛⎜ t 2 + 3t - 1⎞⎟
⎝
⎠
⎛⎜ t 2 + 3t − 1⎞⎟ (0 ) - (1)(2 t + 3)
⎠
'
s =⎝
2
⎛⎜ t 2 + 3t - 1⎞⎟
⎠
⎝
s' =
- (2 t + 3)
⎛⎜ t 2 + 3t - 1⎞⎟
⎝
⎠
2
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 13
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
2
⎛ 1 ⎞
f (t ) = ⎜
⎟
⎝ t -3⎠
En este caso se utiliza la derivada del cociente
⎛ 1 ⎞
d⎜
⎟
t - 3⎠
⎝
f ' (t ) =
dx
2
⎛ 1 ⎞
Es necesario hallar la derivada interna de ⎜
⎟
⎝ t -3⎠
⎛ 1 ⎞ d ⎛ 1 ⎞
f ' (t ) = (2) ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ t - 3 ⎠ dx ⎝ t - 3 ⎠
⎛ 2 ⎞ d ⎛ 1 ⎞
f ' (t ) = ⎜
⎜
⎟
⎟
⎝ t - 3 ⎠ dx ⎝ t - 3 ⎠
⎧
(t - 3) d (1) - (1) d (t - 3) ⎫⎪⎪
⎪
2
⎪
⎞
⎛
dx
dx
f ' (t ) = ⎜
⎟⎨
⎬
2
⎝ t -3⎠ ⎪
(t - 3)
⎪
⎪⎩
⎪⎭
56
⎛ 2 ⎞ ⎧⎪ (t - 3)(0) - (1)(1) ⎫⎪
f ' (t ) = ⎜
⎟⎨
⎬
⎝ t - 3 ⎠ ⎪⎩
(t - 3)2 ⎪⎭
⎛ 2 ⎞ ⎧⎪ (t - 3)(0) - (1) ⎫⎪
f ' (t ) = ⎜
⎟⎨
⎬
⎝ t - 3 ⎠ ⎪⎩ (t - 3)2 ⎪⎭
⎛ 2 ⎞ ⎧⎪ - (1) ⎫⎪
f ' (t ) = ⎜
⎟⎨
⎬
⎝ t - 3 ⎠ ⎪⎩ (t - 3)2 ⎪⎭
⎛ 2 ⎞ ⎛⎜ - 1
f ' (t ) = ⎜
⎟
⎝ t - 3 ⎠ ⎜⎝ (t - 3)2
f ' (t ) =
f ' (t ) =
⎞
⎟
⎟
⎠
-2
(t - 3)(t - 3)2
-2
(t - 3)3
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 14
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
-4
y=
(t + 2)2
la derivada del cociente (Recomendable utilizar la regla del exponente)
⎡ -4 ⎤
⎥
d⎢
⎢⎣ (t + 2 )2 ⎥⎦
y'=
dx
Es necesario hallar la derivada interna de (t + 2)
⎧
⎫
d
d
(
t + 2 )2 ⎪
⎪ (t + 2) (- 4 ) - (- 4)
⎪
⎪⎡ d
⎤
dx
dx
y' = ⎨
⎬⎢ (t + 2 )⎥
2
⎦
⎪
⎪⎣ dx
⎡( t + 2 ) 2 ⎤
⎪⎩
⎪⎭
⎢⎣
⎥⎦
⎧
⎛ d
⎞⎫
⎪ (t + 2)(0 ) - (- 4)(2)(t + 2)⎜ dx (t + 2 )⎟ ⎪
⎪
⎝
⎠ ⎪[1]
y' = ⎨
⎬
[t + 2]4
⎪
⎪
⎪⎭
⎪⎩
⎧⎪ 8(t + 2)(1) ⎫⎪
y' = ⎨
⎬
⎪⎩ [t + 2]4 ⎪⎭
8 (t + 2 )
y' =
(t + 2)4
y' =
8
(t + 2)3
57
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 14
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
-4
y=
(t + 2)2
(Recomendable utilizar la regla del exponente)
y = - 4 (t + 2)
-2
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du
dy d
- 4 ( t + 2 )− 2
=
du du
dy
= (- 4 )(- 2 )(t + 2 )− 2 −1
du
dy
= (8)(t + 2 )− 3
du
du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = ( t + 2)
y = (t + 2)
-2
= (u)
-2
du d (t + 2 )
=
= x1-1 + 0
dx
dx
du d (t + 2 )
=
= 1
dx
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
= (8)(t + 2 )- 3 (1)
dx
dy
= (8)(t + 2 )- 3
dx
8
dy
=
dx (t + 2 )3
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 15
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
58
f (x ) =
3
( x 3 - 4)
(Recomendable utilizar la regla del exponente)
F (x) = 3 (x3 - 4)
-1
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du
dy d ⎛ 3 ⎞ −1
3 ⎜ x - 4⎟
=
⎠
du du ⎝
−1−1
dy
= (3)(- 1) ⎛⎜ x 3 - 4 ⎞⎟
⎝
⎠
du
2
−
dy
= (- 3) ⎛⎜ x 3 - 4 ⎞⎟
⎝
⎠
du
du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (x3 - 4)
y = (x3 - 4)
-1
= (u)
-1
d⎛⎜ x 3 − 4 ⎞⎟
du
⎠ = (3) x 3-1 − 0
= ⎝
dx
dx
d⎛⎜ x 3 − 4 ⎞⎟
du
⎠ = 3 x2
= ⎝
dx
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
= (8)(t + 2 )- 3 (1)
dx
dy
= (8)(t + 2 )- 3
dx
dy
8
=
dx (t + 2 )3
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 17
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
59
f(x) = x2 (x - 2)4
(Recomendable utilizar la regla del producto)
⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
f ' (x ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du
f ' (x ) =
d ⎛ 2
4
⎜ x (x - 2 ) ⎞⎟
⎠
du ⎝
f ' (x ) = x 2
d ⎛
d ⎛ 2⎞
⎜ (x - 2 )4 ⎞⎟ + (x − 2 )4
⎜x ⎟
⎠
du ⎝
dx ⎝ ⎠
f ' (x ) = x 2 (4 )(x − 2 )4 -1 + (x − 2 )4 (2 )(x )2 −1
f ' (x ) = 4x 2 (x − 2 )3 + (x − 2 )4 (2 )(x )
f ' (x ) = 4x 2 (x − 2 )3 + (2 x )(x − 2 )4
Factor común
2x(x – 2)3
f ' (x ) = ⎡ 2x (x − 2 )3 ⎤ [2x + (x − 2 ) ]
⎢⎣
⎥⎦
f ' (x ) = ⎡2x (x − 2 )3 ⎤ [2x + x - 2 ]
⎢⎣
⎥⎦
f ' (x ) = ⎡ 2x (x − 2 )3 ⎤ [3x - 2 ]
⎢⎣
⎥⎦
f ' (x ) = (2x )(x - 2 )3 [3x - 2 ]
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Problema # 19
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
f (t ) = 1 - t
f (t ) = 1 - t = (1 - t )1 2
(Recomendable utilizar la regla del exponente)
⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
f ' (t ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du
60
f ' (t ) =
d ⎛
⎜ (1 - t )1 2 ⎞⎟
⎠
du ⎝
⎛1⎞
f ' (t ) = ⎜ ⎟ (1 - t )−1 2 −1
⎝2⎠
⎛1⎞
f ' (t ) = ⎜ ⎟ (1 - t )−1 2
⎝2⎠
⎛
⎞
1
⎟
f ' (t ) = ⎜
⎜ 2 (1 - t )1 2 ⎟
⎝
⎠
du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (1 - t)
f (t ) = (1 - t )1 2
f (t ) = (u )1 2
du d (1 - t )
=
= −1
dx
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
1
(- 1)
=
dx 2 (1 - t )1 2
dy
-1
=
dx 2 (1 - t )1 2
dy
-1
=
dx 2 1 - t
PROBLEMAS DE RAZONES DE CAMBIO
Sección 3.7 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 153
Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas
(fig. 3.27). El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de 30 cm/seg. Cuando su radio es
120 cm. A que ritmo esta creciendo el área total A de la zona perturbada.?
si el radio de la onda circular concéntrica es r, el radio crece
a ritmo constante de 30 cm/seg. Luego la razón de cambio
del radio es:
dr
cm
= 30
dt
seg
61
r = 120 cm.
dA
Calcular dt cuando el radio = 120 cm.
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario
utilizar una ecuación que relacione el área de la onda
circular con el radio.
A = π r2
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dA
dr
= (2 ) π r
dt
dt
Pero:
dr
cm
= 30
dt
seg
r = 120 cm.
Reemplazando
dA
dr
= (2 ) π r
dt
dt
dA
cm 2
= (2 ) π (120 )(30 )
dt
seg
dA
cm 2
= (7200 ) π
dt
seg
dA
cm 2
= 22619,46
dt
seg
Sección 3.7 Ejemplo 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 154
Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4,5 cm3/min. Hallar la razón de cambio del radio
cuando este es de 2 cm.
Si el radio del globo es r, su volumen V crece 4,5 cm3/min. Luego la razón de cambio del volumen
dV
cm 3
= 4,5
dt
min.
dr
Calcular dt cuando el radio = 2 cm.
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el
volumen del globo con el radio.
4
cm 3
3
V= π r
3
min.
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
62
dV
4
dr
= (3) π r 2
dt
3
dt
Cancelando términos semejantes.
dV
dr
= (4 ) π r 2
dt
dt
dr
Despejamos dt
1
dV
dr
=
dt
4 π r 2 dt
dV
cm 3
=
4,5
Pero: dt
min.
radio = 2 cm.
Reemplazando
1
(4,5) =
4 π (2 )2
4,5
dr
=
4 π (4 ) dt
dr
4,5
=
dt 50,265
cm
dr
= 0,089
dt
min
dr
dt
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158
Problema # 5
El radio de un círculo crece 2 cm/min. Hallar la razón de cambio del área cuando
a) r = 6 cm
b) r = 24 cm
dr
cm
=2
dt
min
A = π r2
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dr
dA
= (2 ) π r
dt
dt
Pero:
cm
dr
=2
dt
min
r = 6 cm
Reemplazando
63
dr
dA
= (2 ) π r
dt
dt
cm 2
dA
= (2 ) π (6 )(2 )
dt
min
cm 2
dA
= 24 π
min
dt
b) r = 24 cm
el área del circulo es:
A = π r2
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dr
dA
= (2 ) π r
dt
dt
Pero:
cm
dr
=2
dt
min
r = 24 cm
Reemplazando
dr
dA
= (2 ) π r
dt
dt
cm 2
dA
= (2 ) π (24 )(2 )
dt
min
cm 2
dA
= 96 π
dt
min
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158
Problema # 5
El radio de una esfera crece 2 cm/min.. hallar la razón de cambio del área cuando
a) r = 6 cm.
b) r = 24 cm.
cm
dr
=2
dt
min
el área de la esfera es:
A = 4 π r2 (cm)2
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dr
dA
= (2 ) 4 π r
dt
dt
64
Pero:
cm
dr
=2
dt
min
r = 6 cm
Reemplazando
dr
dA
= (2 ) 4 π r
dt
dt
cm 2
dA
= (2 ) 4π (6 )(2 )
dt
min
2
cm
dA
= 96 π
dt
min
b) r = 24 cm.
cm
dr
=2
dt
min
el área de la esfera es:
A = 4 π r2 (cm)2
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dr
dA
= (2 ) 4 π r
dt
dt
Pero:
cm
dr
=2
dt
min
r = 24 cm
Reemplazando
dr
dA
= (2 ) 4 π r
dt
dt
cm 2
dA
(
)
(
)(
)
= 2 4π 24 2
dt
min
2
cm
dA
= 384 π
dt
min
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158
Problema # 9
Un globo esférico se hincha a razón de 20 pies3/min. Como varia el radio en el instante en que el
radio es
a) 1 pie
b) 2 pies?
65
a) 1 pie
pies 3
dV
= 20
dt
min.
dr
Calcular dt cuando el radio = 1 pie.
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el
volumen del globo con el radio.
V=
4
pie 3
π r3
3
min.
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
4
dV
dr
= (3) π r 2
dt
3
dt
Cancelando términos semejantes.
dV
dr
= (4 ) π r 2
dt
dt
dr
Despejamos dt
1 dV
dr
=
dt
4 π r 2 dt
pies 3
dV
20
=
Pero: dt
min.
Reemplazando
1
4 π (1)2
(20 ) =
radio = 1 pie.
dr
dt
Cancelando términos semejantes.
5
π
=
dr
dt
d r 5 pies
=
dt π seg
b) 2 pies?
pies 3
dV
= 20
dt
min.
dr
Calcular dt cuando el radio = 2 pie.
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el
volumen del globo con el radio.
V=
4
pie 3
π r3
3
min.
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
66
4
dV
dr
= (3) π r 2
dt
3
dt
Cancelando términos semejantes.
dV
dr
= (4 ) π r 2
dt
dt
dr
Despejamos dt
1 dV
dr
=
dt
4 π r 2 dt
pies 3
dV
20
=
Pero: dt
min.
Reemplazando
1
4 π (2 )2
(20 ) =
radio = 2 pie.
dr
dt
Cancelando términos semejantes.
5
dr
=
4π
dt
dr
5 pies
=
dt 4 π seg
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158
Problema # 10
La formula para el volumen de un cono es:
V=
π 2
r h
3
dv
Hallar la razón de cambio del volumen dt
pulg.
dr
2
=
si dt
min y h = 3 r cuando:
a) r = 6 pulg.
b) r = 24 pulg.
a) r = 6 pulg.
El volumen del cono es:
h=3r
π
V = r2 h
3
h=3r
se reemplaza
V=
V=
r
π 2
r h
3
π
3
(r )2 (3 r )
67
V=
3π 3
(r )
3
Cancelando términos semejantes.
V = π r3
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h
dr
dV
= (3) π r 2
dt
dt
pulg.
dr
=2
r= 6 pulg.
min
dt
dV
= (3) π (6 )2 (2 )
dt
pulg 3
dV
= 216 π
min
dt
b) r = 24 pulg.
El volumen del cono es:
V=
π 2
r h
3
h=3r
se reemplaza
V=
V=
π 2
r h
3
π
(r )2 (3 r )
3
3π 3
(r )
V=
3
Cancelando términos semejantes.
V = π r3
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h
dr
dV
= (3) π r 2
dt
dt
pulg.
dr
2
=
r= 6 pulg.
min
dt
dV
= (3) π (6 )2 (2 )
dt
pulg 3
dV
= 216 π
min
dt
68
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158
Problema # 11
Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies3/min. El diámetro de la base del cono es
aproximadamente tres veces su altura. A que ritmo esta cambiando la altura del montón cuando
su altura es 15 pies?
pies 3
dV
= 10
min
dt
h = 15 pies.
El diámetro de la base del cono = 3 altura del cono
h = 15 pies
como el diámetro = 2 radio
2 radio = 3 altura del cono
altura del cono = 1/3 * 2 radio
h =
r
2
r
3
Despejamos el radio
r =
3
h
2
Elevamos al cuadrado
⎛3 ⎞
r2 = ⎜ h⎟
⎝2 ⎠
r2 =
2
9 2
h
4
el volumen del cono es:
V=
π 2
r h
3
Pero:
r2 =
9 2
h
4
se reemplaza
V=
π 2
r h
3
π ⎛9
⎞
V = ⎜ h 2 ⎟ (h )
3 ⎝4
⎠
Cancelando términos semejantes.
V=
3π 3
h
4
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
dV
3π 2 d h
= (3)
h
dt
dt
4
69
Reduciendo términos semejantes.
d V 9π 2 d h
=
h
dt
4
dt
Despejamos
dh
dt
4 dV
dh
=
dt 9π h 2 dt
Pero: h = 15 pies.
pies 3
dV
= 10
min
dt
dh
=
dt 9π
dh
=
dt 9π
4
dV
(h )2 dt
4
(10 )
(15)2
8 pies
8
40
40
dh
=
=
=
=
dt 9π (15)2 (9 )π (225 ) (9 ) π (45) 405 π min.
8 pies
dh
=
dt 405 π min.
Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
En una fábrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia abajo de 20 m. de altura y 5
metros de radio, al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el nivel del
liquido esta a 10 m de altura. Hallar:
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
5m
5m
r
20 m
10 m
r
20 m
10 m
A que velocidad sube el nivel del liquido, cuando h = 10 metros?
m3
dV
=1
min
dt
Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA)
h = 20 metros
r = 5 metros
70
h=4r
Despejando r
r =
h
4
Elevamos al cuadrado
⎛h ⎞
r2 = ⎜ ⎟
⎝4 ⎠
h2
r2 =
16
2
el volumen del cono es:
V=
π 2
r h
3
Pero:
r2 =
h2
16
se reemplaza
π ⎛⎜ h 2 ⎞⎟
h
V=
3 ⎜ 16 ⎟
⎝
⎠
π 3
V=
h
48
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
π
dh
dV
= (3) h 2
dt
dt
48
Reduciendo términos semejantes.
dV π 2 dh
=
h
dt
dt
16
Despejamos
dh
dt
16 d V
dh
=
dt π h 2 dt
Pero: h = 10 m.
m3
dV
=1
min
dt
16 d V
dh
=
dt π h 2 dt
16
dh
(1)
=
dt π (10 )2
71
m
16
16
16
dh
=
=
=
= 0,05
min.
dt π (10 )2 π (100 ) 314,15
m
dh
= 0,05
min.
dt
El nivel del líquido sube a razón de 0,05 m/min.
h=4r
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
dr
dh
=4
dt
dt
dr
Despejamos dt
1 dh dr
=
dt
4 dt
m
dh
= 0,05
Pero: dt
min.
dr 1 dh
=
dt 4 dt
dr 1
= (0,05 )
dt 4
m
dr
= 0,0125
min
dt
A que velocidad aumenta el área de la superficie libre del liquido?
La superficie libre del líquido es:
A = π r2
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dr
dA
= (2 ) π r
dt
dt
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
5m
Pero:
m
dr
= 0,0125
min
dt
Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA)
20 5
=
10 r
Despejando
20 r = 50
r
20 m
10 m
50
20
5
r = metros
2
r=
Reemplazando
72
dr
dA
= (2 ) π r
dt
dt
dA
m2
⎛5⎞
= (2 ) π ⎜ ⎟ (0,0125 )
dt
min
⎝2⎠
m2
dA
= π (5)(0,0125 )
min
dt
m2
dA
= π (5)(0,0125 )
min
dt
m2
dA
= 0,196
min
dt
la superficie libre del liquido aumenta a razon de 0,196 m2/min.
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior?
P=2πr
dr
dP
= 2π
dt
dt
Pero:
m
dr
= 0,0125
min
dt
Reemplazando
dr
dP
= 2π
dt
dt
dP
= 2 π (0,0125 )
dt
m
dP
= 0,078
min
dt
El perímetro de la superficie libre aumenta a velocidad constante de 0,078 m/min.
A que velocidad aumenta el área mojada ?
POR PITAGORAS
L = h2 + r2
El área mojada por el liquido es:
A= πrL
A =π r h2 + r2
12
A = π r ⎛⎜ h 2 + r 2 ⎞⎟
⎝
⎠
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
73
(
)
(
)
)
(
1 2 -1 ⎛
1 2 ⎛ dr ⎞⎤ ⎫
dA ⎧ ⎡ ⎛ 1 ⎞ 2
dh
dr ⎞
+ 2r ⎟ + h 2 + r 2
= ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟ h + r 2
⎜ ⎟⎥ ⎬
⎜ 2h
dr
dt ⎠
dt ⎩ ⎣ ⎝ 2 ⎠
⎝ dt ⎠⎦ ⎭
⎝
-1 2 ⎛
1 2 ⎛ dr ⎞ ⎤ ⎫
dA ⎧ ⎡ ⎛ 1 ⎞ 2
dh
dr ⎞
+ 2r ⎟ + h 2 + r 2
= ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟ h + r 2
⎜ ⎟ ⎥⎬
⎜ 2h
dr
dt ⎠
dt ⎩ ⎣ ⎝ 2 ⎠
⎝ dt ⎠ ⎦ ⎭
⎝
(
)
⎧ ⎡
dh
dr
⎤⎫
2h
+ 2r
⎪
1
2
⎢
dA ⎪
⎛1⎞
⎛ dr ⎞ ⎥ ⎪⎪
dt
dt + h 2 + r 2
= ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎥⎬
12
dt ⎪ ⎢ ⎝ 2 ⎠ 2
⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
2
h +r
⎪⎩ ⎢⎣
⎥⎦ ⎪⎭
(
(
)
)
⎧ ⎡
dh
dr
⎤⎫
h
+r
⎪
1
2
⎢
dA ⎪
⎛1⎞
⎛ dr ⎞ ⎥ ⎪⎪
dt + h 2 + r 2
= ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟(2 ) dt
⎜ ⎟ ⎥⎬
dt ⎪ ⎢ ⎝ 2 ⎠
2
2
⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
h +r
⎪⎩ ⎣⎢
⎦⎥ ⎪⎭
(
⎧ ⎡
dh
dr
h
+r
dA ⎪⎪ ⎢
dt + h 2 + r 2
= ⎨π ⎢(r ) dt
dt ⎪ ⎢
h2 + r2
⎪⎩ ⎢⎣
)
⎤⎫
dr
⎛ ⎞ ⎥ ⎪⎪
⎜ ⎟ ⎥⎬
⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
⎥⎦ ⎪⎭
pero:
L = h2 + r2
L2 = 102 + 2,52
L2 = 100 + 6,25
L2 = 106,25
r = 2,5 m
L = 106,25
L= 10,3 metros
10 m
L
h 2 + r 2 = 10,3 metros
r = 2,5 metros
h = 10 metros
dh
m
= 0,05
dt
min.
dr
m
= 0,0125
dt
min
reemplazar
⎧ ⎡
dh
dr
⎤⎫
h
+r
⎪
⎢
dA ⎪
dt + h 2 + r 2 ⎛⎜ dr ⎞⎟ ⎥ ⎪⎪
= ⎨π ⎢(r ) dt
⎥⎬
dt ⎪ ⎢
⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
h2 + r2
⎪⎩ ⎢⎣
⎥⎦ ⎪⎭
74
⎧ ⎡
⎤⎫
(10 ) dh + (2,5) dr
dA ⎪⎪ ⎢
dr
dt
dt + (10,3) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ ⎪⎪
= ⎨π ⎢(2,5)
⎥⎬
dt ⎪ ⎢
10,3
⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
⎪⎩ ⎢⎣
⎥⎦ ⎪⎭
(10 )(0,05) + (2,5)(0,0125 ) + (10,3)(0,0125 ) ⎤ ⎫
dA ⎧ ⎡
= ⎨π ⎢(2,5 )
⎥⎬
dt ⎩ ⎣
10,3
⎦⎭
(0,5) + (0,031) + (0,128 ) ⎤ ⎫
dA ⎧ ⎡
= ⎨π ⎢(2,5 )
⎥⎬
dt ⎩ ⎣
10,3
⎦⎭
(0,531) + (0,128 ) ⎤ ⎫
dA ⎧ ⎡
= ⎨π ⎢(2,5 )
⎥⎬
dt ⎩ ⎣
10,3
⎦⎭
dA
= {π [(2,5)(0,051) + (0,128 ) ]}
dt
dA
= {π [(0,128 ) + (0,128 ) ]}
dt
dA
= {π [(0,256 ) ]}
dt
dA
m2
= 0,8
min
dt
El área mojada aumenta a razón de 0,8 m2/min
Problema 3.32 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Un globo sonda de forma esférica se eleva pero pierde gas a razón de 4 cm3/seg.
Con que rapidez disminuye el radio, cuando su diámetro es de 4 metros.
Si el radio del globo es r, su volumen V decrece 4 cm3/seg. Luego la razón de cambio del
dV
cm 3
=4
volumen dt
seg.
dr
Calcular dt cuando el diámetro = 4 m.
Por lo tanto el radio = 2 metros.= 200 cm
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el
volumen del globo con el radio.
V=
4
cm 3
π r3
3
min.
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dV
4
dr
= (3) π r 2
dt
3
dt
Cancelando términos semejantes.
dV
dr
= (4 ) π r 2
dt
dt
dr
Despejamos dt
75
dV
dr
=
dt
4 π r 2 dt
1
dV
cm 3
=-4
Pero: dt
seg.
radio = 200 cm.
Reemplazando
1
4 π (200 )2
(- 4 ) =
dr
dt
Cancelando términos semejantes.
-1
dr
=
π (40000 ) dt
dr
-1
=
dt 125663,706
dr
cm
= 7,95 x 10 - 6
dt
seg
Problema 3.71 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Una esfera de metal se dilata por el calor. En un instante dado su radio es de 10 cm. y aumenta a
razón de 3 cm /min.
A que velocidad aumenta el volumen ?
Si el radio del globo es r, su radio r crece 3 cm/min. Luego la razón de cambio del radio
dr
cm
=3
dt
min.
dV
Calcular dt cuando el radio = 10 cm.
Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del
globo con el radio.
V=
4
cm 3
π r3
3
min.
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dV
4
dr
= (3) π r 2
dt
3
dt
Cancelando términos semejantes.
dV
dr
= (4 ) π r 2
dt
dt
dr
cm
=3
Pero: dt
min.
radio = 10 cm.
Reemplazando
dV
dr
= (4 ) π r 2
dt
dt
76
dV
cm 3
2
= (4 ) π (10 ) (3)
min
dt
dV
= (4 ) π (10 )2 (3)
dt
dV
= (4 ) π (100 )(3)
dt
dV
cm 3
= (1200 ) π
min
dt
dV
cm 3
= 3769,91
min
dt
El volumen aumenta a 3769,91 cm3/min.
A que velocidad aumenta la superficie?
Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el área del globo
con el radio.
La superficie de la esfera es:
A = 4 π r2
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dA
dr
= (2 )(4 ) π r
dt
dt
dA
dr
= (8) π r
dt
dt
Pero:
dr
cm
=3
dt
min.
cuando el radio = 10 cm.
Reemplazando
dA
dr
= (8) π r
dt
dt
dA
cm 2
(
)
(
)(
)
= 8 π 10 3
min
dt
2
dA
cm
= (240 ) π
dt
seg
dA
cm 2
= 753,98
dt
seg
La superficie aumenta a razón de 753,98 cm2/seg.
77
Sección 3.7 Ejemplo 5 calculo Larson Edic 5 Pág. 156
Se arroja arena en un montón cónico a razón de 2 m3/min. Hallar la razón de cambio de la altura
del montón cuando su altura es 1,5 metros. Supóngase que el radio del cono es igual a su altura.
h = 1,5 metros
radio del cono = altura del cono
r=h
h
dV
m3
=2
min
dt
el volumen del cono es:
V=
π 2
r h
r
3
radio del cono = altura del cono
r=h
r2 = h2
se reemplaza
V=
V=
V=
π 2
r h
3
π
3
π
3
(h )2 (h )
(h )3
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h
π
dV
dh
= (3) (h )2
dt
3
dt
Cancelando términos semejantes.
dV
dh
=π h2
dt
dt
dh
Despejamos dt
dh
1 dV
=
dt π h 2 dt
radio del cono = altura del cono = 1,5 metros
dV
m3
=2
min
dt
dh
1
(2)
=
dt π (1,5 )2
78
dh
2
2
metros
=
=
= 0,2829
dt π (2,25 ) 7,068
min.
Problema 3.21 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Una cinta transportadora vierte arena en un piso horizontal formando un montón de forma cónica
en el que por el coeficiente de rozamiento de los granos siempre la altura es igual a la tercera
parte del diámetro de la base.
Si la cinta descarga arena a razón de 720 dm3/min. Y la salida del punto de descarga esta a 5
dm. Sobre el nivel del piso, calcular la velocidad de variación de la altura del cono, en el momento
en que alcanza el nivel del orificio.
dV
dm 3
= 720
min
dt
h = 5 dm.
altura del cono = 1/3 del diámetro de la base
como el diámetro = 2 radio
altura del cono = 1/3 * 2 radio
h = 5 dm.
2
h = r
3
Despejamos el radio
r =
3
h
2
r
Elevamos al cuadrado
⎛3 ⎞
r2 = ⎜ h⎟
⎝2 ⎠
9
r2 = h2
4
2
el volumen del cono es:
V=
π 2
r h
3
Pero:
r2 =
9 2
h
4
se reemplaza
V=
π 2
r h
V=
π ⎛9 2⎞
⎜ h ⎟ (h )
3
3 ⎝4
⎠
Cancelando términos semejantes.
V=
3π 3
h
4
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h
79
dV
3π 2 d h
= (3)
h
dt
4
dt
Reduciendo términos semejantes.
d V 9π 2 d h
=
h
dt
4
dt
dh
Despejamos dt
dh
4 dV
=
dt 9π h 2 dt
h = 5 dm.
dV
dm 3
= 720
min
dt
dh
=
dt 9π
dh
=
dt 9π
4
dV
(h )2 dt
4
(720 )
(5)2
dh
2880
2880
2880
dm
=
=
=
= 4,07
dt 9π (5)2 (9 )π (25) 706,85
min.
De un tubo sale arena a razón de 16 dm3 / seg. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo
cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base con que rapidez aumenta la pirámide cuando
tiene 4 dm. De altura?
dV
dm 3
= 16
dt
seg
h = 4 dm.
altura del cono = 1/4 del diámetro de la base
h = 4 dm.
como el diámetro = 2 radio
altura del cono = 1/4 * 2 radio
h =
1
r
2
r
Despejamos el radio
r =2h
Elevamos al cuadrado
r 2 = (2 h )2
r2 = 4 h2
el volumen del cono es:
80
V=
π 2
r h
3
Pero:
r2 = 4 h2
se reemplaza
V=
π 2
r h
3
π
V = ⎛⎜ 4 h 2 ⎞⎟ (h )
3⎝
V=
⎠
4π 3
h
3
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
dV
4π 2 d h
= (3)
h
dt
3
dt
Reduciendo términos semejantes.
dV
dh
= 4π h2
dt
dt
dh
Despejamos dt
dh
1
dV
=
dt 4 π h 2 dt
h = 4 dm.
dV
dm 3
= 16
seg
dt
dh
1
dV
=
dt 4 π h 2 dt
dh
1
(16 )
=
dt 9π (4 )2
dh
16
16
1
1
dm
=
=
=
=
= 0,035
dt 9π (4 )2 (9 )π (16 ) (9 ) π 28,27
seg.
Problema 3.145 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Una cortadora de madera vierte aserrín seco sobre un piso horizontal a razón de 2800 cm3/hora.
el cual va formando una pila cónica.
El aserrín tiene un coeficiente interno de rozamiento de 3 lo que corresponde a un ángulo
constante con la horizontal de 600.
Calcular la velocidad a la cual crecen el radio y la altura del cono de aserrín cuando la altura es de
1,2 metros?
81
El volumen de aceite contenido en el cono
Para un radio ( r) y una altura ( h) es:
V=
π 2
r h
3
Como el ángulo de la base es constante = 600 la relacion
Entre la altura ( h) y elredio ( r) es:
μ = tag 60 0 =
h
r
h = 1,2 m
h
r
h
3=
r=
Ө = 600
3
r2 = (
r2 =
h 2
)
3
r
h2
3
se reemplaza
V=
V=
V=
π 2
r h
3
π ⎛h⎞
2
⎜ ⎟
3 ⎝3⎠
π
9
(h )
h3
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
dV
dh
π
= (3) h 2
dt
9
dt
Reduciendo términos semejantes.
dV π 2 dh
= h
dt
3
dt
Despejamos
dh
dt
dh
3 dV
=
dt
π h 2 dt
h = 1,2 m = 120 cm.
dV
cm 3
= 2800
dt
hora
82
dh
3
(2800 )
=
dt
π (120 )2
dh
8400
8400
=
=
π (14400 ) 45238,934
dt
dh
cm
= 0,1856
dt
hora
μ = tag 60 0 =
μ= 3=
h
r
h
r
h= 3r
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
dh
=
dt
3
dr
dt
dr
Despejar dt
dr
1 dh
=
dt
3 dt
Pero:
dh
cm
= 0,1856
dt
hora
dr
1
(0,1856 )
=
dt
3
dr
cm
= 0,1071
dt
hora
La altura aumenta a razón de 0,185 cm/hora y el radio aumenta a 0,1071 cm/hora
Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
En una fabrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia debajo de 20 metros de
altura y 5 metros de radio. Al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el
nivel del liquido esta a 10 metros de altura
Hallar: a que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt?
A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido?
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior.
A que velocidad aumenta el área mojada?
A que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt?
el volumen del liquido es:
V=
π 2
r h ecuación 1
3
83
Por semejanza de triángulos
5m
20 5
=
h r
20 r = 5 h
4r= h
h = 20 m.
Despejando el radio (r)
r=
h
4
2
h2
⎛h⎞
r2 = ⎜ ⎟ =
16
⎝4⎠
r2 =
h2
16
Ecuación 2
5m
Reemplazando la ecuación 2 en ecuación 1.
V=
π 2
r h
V=
π ⎛⎜ h 2 ⎞⎟
h
3
3 ⎜ 16 ⎟
⎝
⎠
V =π
V=
h = 20 m
r
h2
h
48
π
48
h3
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
dV
dh
π
= (3) h 2
dt
48
dt
Reduciendo términos semejantes.
dV π 2 dh
=
h
dt
16
Despejamos
dt
dh
dt
dh
16 dv
=
dt π h 2 dt
dv
m3
=1
Cuando h= 10 metros dt
min
16
dh
(1)
=
dt π (10 )2
84
dh
16
16
=
=
dt π 100 314,15
dh
m
= 0,05
dt
min
A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido?
La superficie libre del líquido es:
A = π r2
2
2=h
r
Pero:
16
A =π
h2
16
dA
⎛ π ⎞ dh
= (2 ) ⎜ ⎟ h
dt
⎝ 16 ⎠ dt
d A ⎛ π ⎞ dh
= ⎜ ⎟h
dt
⎝ 8 ⎠ dt
dh
m
=
0,05
Cuando h = 10 metros dt
min
d A ⎛π ⎞
= ⎜ ⎟ (10 )(0,05 )
dt ⎝ 8 ⎠
d A ⎛ 1,5707 ⎞
=⎜
⎟
dt ⎝ 8 ⎠
dA
m2
= 0,196
min
dt
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior.
p=2πr
h
r
=
pero;
4
p=2 π
p= π
h
4
h
2
dp
π dh
=
dt
2 dt
Pero
dh
m
= 0,05
dt
min
85
dp
π
(0,05 )
=
dt
2
dp
m
= 0,078
min
dt
A que velocidad aumenta el área mojada?
h
4
10
r=
4
r=
r
r = 2,5 metros
l2 = r2 + h2
h = 10 m
l = r2 +h2
l
l2 = 2,52 + 102
l2 = 6,252 + 100
l2 = 106,25
l=
106,25
l = 10,3 cm.
A=πrl
Pero:
l =
r2 +h2
A = π (r )
r2 +h2
h
r=
Pero:
4
r2 =
⎛ 2
⎛h⎞ ⎜h
A =π ⎜ ⎟ ⎜
⎝ 4 ⎠ ⎜ 16
⎝
h2
16
⎞
⎟
2
⎟ +h
⎟
⎠
⎛
2
⎛ h ⎞ ⎜ 17 h
A =π ⎜ ⎟ ⎜
⎝ 4 ⎠ ⎜ 16
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ h ⎞ ⎛ 17 ⎞⎟
A = π ⎜ ⎟ (h )⎜
⎝ 4 ⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠
A=
π ⎛ 2⎞
⎜ h ⎟ 17
16 ⎝
⎠
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
86
π
dA
dh
= (2 ) (h ) 17
dt
16
dt
dA π
dh
= (h ) 17
dt
8
dt
Pero h = 10 metros
dh
m
=
0,05
Pero dt
min
dA π
= (10 ) 17 (0,05)
dt
8
dA 129,53
=
(0,05)
dt
8
dA
= 16,191 (0,05)
dt
m2
dA
= 0,8095
dt
seg.
Problema 3.67 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
La generatriz de un cono circular recto mide 4 metros y su ángulo en el vértice es 2Ө.
Si Ө aumenta a razón de 2 0/seg. Calcular a que velocidad cambia el volumen cuando el angulo
mitad Ө es de 300.
Los valores de r y h en función de la generatriz y del ángulo Ө son:
sen θ =
r
4
r = 4 sen Ө
r2 = (4 sen Ө)2
r2 = 16 sen2 Ө
cos θ =
(ecuación 1)
h
4
h = 4 cos Ө
(ecuación 2)
r
El volumen del cono es:
Reemplazar:
V=
π 2
r h
3
(
16 sen 2 θ )(4 cos θ )
3
64 π
(sen 2 θ )(cos θ )
V=
3
V=
h
l = 4 m.
π
2Ө
Derivada de un producto
87
[
)]
(
dV 64 π
(2)(sen θ )(cos θ )(cos θ ) + (- sen θ ) sen 2θ dθ
=
dt
3
dt
(
)
dV ⎡ 64 π
(2)(sen θ )(cos θ )2 - 64π sen θ sen 2θ ⎤⎥ dθ
=⎢
dt ⎣ 3
3
⎦ dt
dV ⎡128 π
(sen θ )(cos θ )2 - 64π sen 3 θ ⎤⎥ dθ
=⎢
dt ⎣ 3
3
⎦ dt
Pero Ө = 300
dθ
grados
=2
dt
seg
2π rad
3600
X
20
0,0349065 rad.
dV ⎡128 π
(sen 30 )(cos 30 )2 - 64π sen 3 30 ⎤⎥ dθ
=⎢
dt ⎣ 3
3
⎦ dt
2
⎡
3⎤
dV ⎢128 π ⎛ 1 ⎞⎛⎜ 3 ⎞⎟ 64π ⎛ 1 ⎞ ⎥
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟ (0,0349065 )
3 ⎝2⎠ ⎥
dt ⎢ 3 ⎝ 2 ⎠⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎣
⎦
dV ⎡128 (3) π 64π ⎛ 1 ⎞⎤
=
⎜ ⎟ (0,0349065 )
3 ⎝ 8 ⎠⎥⎦
dt ⎢⎣ 24
dV ⎡ 384 π 64 π ⎤
(0,0349065 )
=
24 ⎥⎦
dt ⎢⎣ 24
dV ⎡ 320 π ⎤
(0,0349065 )
=
dt ⎢⎣ 24 ⎥⎦
dV
= 41,887 (0,0349065 )
dt
m3
dV
= 1,46
seg
dt
Problema 3.109 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Un tanque en forma de cono circular recto tiene el vértice hacia abajo, su radio superior es de 80
cm y su altura es 1,4 metros.
Esta parcialmente lleno de aceite y presenta un escape por el fondo y el aceite sale a una
velocidad proporcional a la raíz cuadrada de la altura y a las características del orificio e igual a :
m3
0,08 h
min
Calcular la velocidad de descenso del nivel de aceite en el tanque en el momento en que la altura
del liquido sea de 50 cm?
88
El volumen de aceite contenido en el cono
Para un radio ( r) y una altura ( h) es:
V=
.80 m
π 2
r h
3
h = 1,4 m.
Por semejanza de triángulos
h
r
=
0,8 1,4
1,4 r = 0,8 h
r=
0,8 h
1,4
0,80 m
r = 0,571428 h
r 2 = (0,571428 h) 2
r 2 = 0,3265 h 2
h = 1,4 m
reemplazando
V=
V=
π 2
r h
r
h
3
(
0,3265 h 2 ) h
3
π
V = 0,3419 h 3
derivamos
dV
dh
= 0,3419 (3) h 2
dt
dt
dV
dh
= 1,0257 h 2
dt
dt
Pero h = 0,5 metros
dV
dt
dV
dt
dV
dt
dV
dt
dV
dt
= 0,08 h
= 0,08 0,5
= 0,08 (0,7071)
= 0,056
m3
min
= 1,0257 h 2
dh
dt
0,056 = 1,0257 (0,5)2
dh
dt
89
dh
0,056
0,056
m
=
=
= 0,2184
dt 1,0257 (0,25 ) 0,2564
min
Dos lados de un triangulo miden 4 y 5 metros y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de
0,06 rad/seg. Calcule la rapidez con que el área y la altura del triangulo se incrementan cuando el
ángulo entre los lados es de π/3.
dθ
rad
= 0,06
dt
seg
1800
x
π
π/3.
π
x= 3
(180 )
π
sen θ =
= 60 0
h
5
Despejamos la altura del triangulo
h = 5 sen Ө
ecuación 1
El área del triangulo es:
1
A = (base )(altura )
2
1
A = (4 )(h )
2
1
A = (4 )(5 sen θ )
2
5m
h
Ө
4m
Reduciendo términos semejantes.
A = 10 sen Ө
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
dA
dθ
= 10 cos θ
dt
dt
Pero:
Ө = 600
dθ
rad
= 0,06
dt
seg
dA
dθ
= 10 cos θ
dt
dt
dA
= 10 cos 60 (0,06 )
dt
dA
= 0,6 cos 60
dt
90
dA
= 0,6 (0,5 )
dt
dA
m2
= 0,3
dt
seg
h = 5 sen Ө
ecuación 1
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
dh
dθ
= 5 cos θ
dt
dt
Pero:
Ө = 600
rad
dθ
= 0,06
dt
seg
dh
dt
dh
dt
dh
dt
dh
dt
dh
dt
= 5 cos θ
dθ
dt
= 5 cos 60 (0,06 )
= 0,3 cos 60
= 0,3 (0,5 )
= 0,15
m
seg
Problema 27 calculo Larson Edic 8
Un campo de béisbol tiene forma cuadrada de 90 pies de lado. Un jugador que dista 30 pies de la
tercera base esta corriendo a 28 pies/seg.
A que ritmo esta cambiando su distancia al punto de recepción?
2 BASE
Por Pitágoras
S2 = X2 + 902
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
2S
dS
dx
= 2x
dt
dt
X = 30 pies
3 BASE
1 BASE
dS
dx
S
= x
dt
dt
S
Despejamos
dS x d x
=
dt
S dt
90 pies
90 pies
Por Pitágoras
S2 = X2 + 902
91
Pero X = 30 metros
S2 = X2 + 902
S2 = 302 + 902
S2 = 900 + 8100
S2 = 9000
S=
9000
S = 94,868 pies
dx
pies
= 28
dt
seg
dS
=
dt
dS
=
dt
dS
=
dt
x dx
S dt
30
(28)
94,868
pies
8,85
seg
Sección 3.7 Problema 29 calculo Larson Edic 5 Pág. 160
Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/seg. Alejándose de una farola cuya bombilla esta a
una altura de 15 pies. Sobre el suelo (véase la figura). Cuando el hombre esta a 10 pies de la
base de la farola
dx
pies
= 5
dt
seg
A que velocidad se mueve el extremo de su sombra?
dy
=
dt
A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra?
y – x es la longitud de la sombra
15 pies
6 pies
Por semejanza de triángulos
15
6
=
y
y-x
x
y-x
y
15 (y – x) = 6 y
15 y – 15x) = 6 y
15 y – 6 y = 15x
9 y = 15x
Despejamos y
15
(x )
9
5
y = (x )
3
y=
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
92
dy 5 dx
=
dt
3 dt
Pero:
dx
pies
= 5
dt
seg
dy 5
= (5)
dt
3
d y 25 pies
=
dt
3 seg
A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra?
y – x es la longitud de la sombra
d (y - x ) d y d x
=
dt
dt dt
Pero:
d y 25 pies
=
dt
3 seg
dx
pies
= 5
dt
seg
d (y - x ) 25
=
-5
dt
3
d (y - x )
=
dt
d (y - x )
=
dt
25 15 10 pies
- =
3 3
3 seg
10 pies
3 seg
Si Angélica mide 1,80 metros de altura y se aleja de la luz de un poste de alumbrado público, que
esta a 9 metros de altura, a razón de 0,6 metros por segundo, entonces:
Con que rapidez aumenta la longitud de su sombra cuando Angélica esta a 7,2 metros del poste, a
9 metros?
Con que rapidez se mueve el extremo de su sombra?
dy
=
dt
Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su
sombra mide 1,8 metros de largo?
dx
m
= 0,6
dt
seg
A que velocidad se mueve el extremo de su sombra?
y – x es la longitud de la sombra
9m
1,8 m
Por semejanza de triángulos
9
1,8
=
y
y-x
9 (y – x) = 1,8 y
Ө
x
y-x
y
93
9 y – 9x) = 1,8 y
9 y – 1,8 y = 9 x
7,2 y = 9 x
Despejamos y
9
(x )
7,2
y = 1,25 (x )
y=
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
dy
dx
= 1,25
dt
dt
Pero:
dx
m
= 0,6
dt
seg
dy
= 1,25 (0,6 )
dt
dy
m
= 0,75
dt
seg
Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su
sombra mide 1,8 metros de largo?
La longitud de la sombra es: ver grafica
y – x = 1,8 metros
tg θ =
opuesto
adyacente
1,8
y-x
1,8
y-x =
tg θ
tg θ =
y - x = 1,8 (tg θ )−1
1,8 m
Ө
y-x
opuesto
adyacente
1,8
tg θ =
=1
1,8
tg θ =
tg Ө = 1
Ө = arc tg 1
Ө = 450
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
d (y - x )
dθ
= (- 1) sec 2 θ
dt
dt
94
d (y ) d x
dθ
= (- 1) sec 2 θ
dt
dt
dt
Pero;
dx
m
= 0,6
dt
seg
dy
m
= 0,75
dt
seg
dθ
0,75 - 0,6 = (- 1)(sec θ )2
dt
dθ
0,15 = (- 1)(sec θ )2
dt
dθ
DESPEJAMOS dt
-
0,15
dθ
=
dt
sec 2 θ
Pero Ө = 450
-
0,15
(sec 45)2
=
dθ
dt
dθ
- 0,15 (cos 45 )2 =
dt
dθ
= - 0,15 (0,7071)2
dt
dθ
rad
= - 0,15 (0,5 )
dt
seg
dθ
rad
= 0,075
dt
seg
A que velocidad se mueve el extremo de su sombra?
y – x es la longitud de la sombra
d (y - x ) d y d x
=
dt
dt dt
Pero:
dy
pies
= 0,75
dt
seg
dx
m
= 0,6
dt
seg
d (y - x )
= 0,75 - 0,6
dt
d (y - x )
m
= 0,15
dt
seg
95
Ejemplo # 4 calculo Larson pag. 155 edic 5.
Un avión vuela a 6 millas de altitud en línea recta hacia la posición de un radar. Sea S la distancia
en millas entre el avión y el radar. Si S esta decreciendo a razón de 400 millas por hora cuando S
es 10 millas. Cual es la velocidad del avión?
S = 10 millas
6 millas
x
dS
millas
= - 400
dt
hora
dx
dt
S = 10 millas.
Por el teorema de Pitágoras
S2 = X2 + 62
102 = X2 + 62
100 = X2 + 36
100 - 36 = X2
X2 = 64
X = 8 millas
S2 = X2 + 62
Derivando implícitamente con respecto a x
dx
dS
=2x
dt
dt
dx
dS
s
= x
dt
dt
2s
s dS dx
=
x dt
dt
reemplazando
10
(- 400) = dx
8
dt
millas
dx
= - 500
hora
dt
Luego la velocidad es de 500
millas
hora
Problema 3.31 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca)
96
Un avión bombardero vuela horizontalmente hacia su objetivo a una velocidad de 800 km/hora. Y
a 8 km de altura.
a) A que velocidad se aproxima a su blanco cuando dista horizontalmente 10 km de el?
b) A que velocidad gira el angulo de mira en ese momento?
S
8 km
X = 10 km
Por el teorema de Pitágoras
S2 = X2 + 82
S2 = 102 + 82
S2 = 100 + 64
S2 = 164
S = 2 41
tg θ =
ctg θ =
8
x
x
8
θ = arc ctg
x
(rad)
8
S2 = X2 + 82
Derivando implícitamente con respecto a x
dx
dS
2s
=2x
dt
dt
dS
dx
s
= x
dt
dt
dS x dx
=
dt
s dt
km
dx
Pero
= - 800
hora
dt
x = 8 km.
dS x dx
=
s dt
dt
dS
10
(- 800)
=
dt
2 41
97
dS - 4000 - 4000
km
=
=
= 625
dt
6,4
hora
41
Derivando implícitamente con respecto a t
x
ctg θ =
8
dθ 1 d x
2
=
- csc θ
8 dt
dt
- 1 d x ⎛ rad ⎞
dθ
=
⎜
⎟
dt
8 csc 2 θ dt ⎝ hora ⎠
8
s
s
csc θ =
8
sen θ =
⎛s⎞
csc 2 θ = ⎜ ⎟
⎝8⎠
2
s2
pero: S2 = 164
64
164
csc 2 θ =
64
- 1 d x ⎛ rad ⎞
dθ
=
⎜
⎟
dt
8 csc 2 θ dt ⎝ hora ⎠
csc 2 θ =
dθ
=
dt
- 1 dx
⎛ 164 ⎞ dt
8⎜
⎟
⎝ 64 ⎠
dθ
-1
(- 800)
=
dt
⎛ 164 ⎞
8⎜
⎟
⎝ 64 ⎠
dθ
-1
(- 800)
=
dt
⎛ 164 ⎞
⎜
⎟
⎝ 8 ⎠
dθ
800
=
dt
⎛ 164 ⎞
⎜
⎟
⎝ 8 ⎠
dθ
6400
rad
=
= 39,02
dt
164
hora
Problema 3.33 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca)
Dos aviones vuelan a la misma altura en dos rutas paralelas distantes 50 km siempre en dirección
Este. Sus velocidades respectivas son 240 km/hora. y 180 km/hora. A las 12:00 horas, uno de
ellos esta al norte del otro.
Con que velocidad se separan a las 14:00 horas.
Pasado un tiempo t, la distancia entre los aviones es la grafica de vuelo.
98
X = Xa - Xb
S
50 km
X es la diferencia de recorrido lineal entre los aviones a causa de la diferencia de velocidades
Va = 240
km
hora
Xa = 240 km/hora * 2 horas = 480 km
Vb = 180
km
hora
Xb = 180 km/hora * 2 horas = 360 km
X = Xa - Xb = 480 km - 360 km = 120 km.
X = 120 km.
Por el teorema de Pitágoras
S2 = X2 + 502
S2 = 1202 + 502
S2 = 1202 + 502
S2 = 14400 + 2500
S2 = 16900
S = 130 km
Derivando implícitamente con respecto a t
S2 = X2 + 502
dS
dx
=2x
dt
dt
dS
dx
s
= x
dt
dt
2s
dS x dx
=
dt
s dt
dx
km
Pero:
= 60
dt
hora
dS
=
dt
dS
=
dt
X = 120 km.
S = 130 km
120 km
(60) km
130 km
hora
7200 km
130 hora
dS
km
= 55,38
dt
hora
99
Problema 3.49 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca)
Los dos brazos de un puente levadizo giran hacia arriba alrededor de un eje comun. La longitud
del mas corto es de 3 metros y la del mas largo es de 4 metros y giran a la misma velocidad de 5
rad/seg.
Hallar a que velocidad se acercan o separan las dos extremidades cuando ambos marcan un
angulo de 45 grados con la horizontal?
Ver la grafica
Ө + β + Ө = 1800
a
2Ө + β = 1800
2Ө = 1800 - β
Derivando implícitamente con respecto a t
2Ө = 1800 - β
c=3m
β
b=4m
Ө
Ө
dθ
dβ
=dt
dt
dθ
rad
= 5
dt
seg
2
Reemplazando
dβ
dt
dβ
rad
= - 10
dt
seg
2 (5) = -
2Ө + β = 1800
Pero Ө = 450
2(45) + β = 1800
90 + β = 1800
β = 1800 -900
β = 900
dθ
rad
= 5
dt
seg
b = 4 metros
c = 3 metros
Aplicando ley de coseno
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos β
a2 = 42 + 32 – 2 (4) (3) cos β
a2 = 16 + 9 – 24 cos β
a2 = 25 – 24 cos β
100
a=
25 - 24 cosβ
a = (25 - 24 cosβ ) 1 2
Derivando implícitamente con respecto a t
a = (25 - 24 cosβ ) 1 2
da ⎛1⎞
dβ
= ⎜ ⎟ (25 - 24 cos β )- 1 2 (- (- 24 senβ ))
dt ⎝ 2 ⎠
dt
da ⎛1⎞
dβ
= ⎜ ⎟ (25 - 24 cos β )- 1 2 (24 senβ )
dt ⎝ 2 ⎠
dt
da
dβ
= (25 - 24 cos β )- 1 2 (12 senβ )
dt
dt
(12 sen β ) dβ
da
=
dt
(25 - 24 cos β )1 2 dt
Pero:
β = 900
dβ
rad
= - 10
dt
seg
Reemplazar
(12 sen β ) dβ
da
=
dt
(25 - 24 cos β )1 2 dt
(12 sen 90) (- 10)
da
=
dt
(25 - 24 cos 90)1 2
(12 ) (- 10)
da
=
dt
(25 )1 2
d a (12 )
(- 10)
=
dt
5
d a − 120
=
dt
5
da
m
= - 24
dt
min
Los extremos de los brazos se aproximan uno al otro a razón de 24 m/min.
101
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Sección 3.7 calculo Larson edic 8 Pág. 218
Ejemplo #1 Determinación del volumen máximo
Un fabricante quiere diseñar una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial
de 108 pulg2 como se muestra en la figura. Que
Dimensiones producirá una caja con un volumen
máximo?
Debido a que la caja tiene una base cuadrada,
su volumen es:
V=x*x*h
V = x2 * h Ecuación 1
El área de la superficie de la caja es:
A = (área de la base) + (área de los cuatro lados)
A = x * x + 4 (x * h)
A = x2 + 4 x h = 108 pulg2
x2 + 4 x h = 108
Despejamos h
x2 + 4 x h = 108
4 x h = 108 – x2
h=
108 - x 2
4x
Ecuación 2
Reemplazamos Ecuación 2 en la ecuación 1
V = x2 * h Ecuación 1
108 - x 2
V = x2 (
)
4x
Simplificando
108 - x 2
V=x(
V=
4
)
108x - x 3 108x x 3
=
4
4
4
Simplificando
x3
V = 27x -
Derivar
4
dV
dx
dV
3 x2
= 27 dx
4
Se iguala la derivada a cero.
102
3x2
=0
4
27 -
Despejando x
3x2
27 =
4
3 x 2 = 108
108
x2 =
= 36
3
x = ± 36
x = 6 pulg.
Si x = 6 se halla el volumen
x3
V = 27x -
V = 27(6) -
4
(6)3 = 162 - 216 = 162 - 54 = 108
4
V = 108 pulg3
4
se reemplaza el valor de x = 6 para hallar h
A = x2 + 4 x h = 108
x2 + 4 x h = 108
(6)2 + 4 (6) h = 108
(6)2 + 4 (6) h = 108
36 + 24h = 108
24h = 108 - 36
24h = 72
h=
72
=3
24
h = 3 pulg.
V=x*x*h
Las dimensiones de la caja es = 6pulg. * 6 pulg. * 3 pulg.
Sección 3.7 calculo Larson edic 8 Pág. 220
Ejemplo # 2 Determinación de la distancia mínima.
Que puntos sobre la grafica de y = 4 – x2 son mas cercanos al punto (0,2)?
La figura muestra que hay dos puntos a una distancia mínima del punto (0,2). La distancia entre el
punto (0,2) y el punto (x, y) sobre la grafica de y = 4 – x2 esta dada por:
d=
(x - 0)2 + (y - 2)2 Ecuación 1
103
La ecuación,
y = 4 – x2 Ecuación 2
se reemplaza la ecuac. 2 en la ecuac. 1.
d = (x - 0 )2 + (y - 2 )2
d=
(x )2 + ⎛⎜ 4 - x 2 - 2 ⎞⎟
d=
(x )2 + ⎛⎜ 2 - x 2
⎝
⎝
2
⎠
⎞
⎟
⎠
2
d = x 2 + 4 - 4x 2 + x 4
d = x 4 - 3x 2 + 4
f (x) = x4 – 3x2 + 4
Se deriva la parte interna del radical
f ’(x) = 4x3 – 6x
Se iguala la derivada a cero.
4x3 – 6x = 0
2x (2x2 – 3) = 0
Resolviendo
2x = 0
x=0
2x2 – 3 = 0
2x2 = 3
3
2
3
x=±
2
x2 =
Las tres raíces son :
x =0,
3
3
, 2
2
x = 0 produce un máximo.
x=
3
y x= 2
3
producen una distancia mínima.
2
En la ecuación, se reemplaza los dos valores de x para encontrar el valor de y.
y = 4 – x2 Ecuación 2
y = 4 – x2
pero x =
3
2
104
x2 =
3
2
y= 4y=
3
2
5
2
Los puntos mas cercanos son:
⎛ 3 5⎞
⎛
⎜
, ⎟ y ⎜−
⎜ 2 2⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
3 5 ⎞⎟
,
2 2 ⎟⎠
Problema 3 calculo Larson edic 8
Encontrar dos números positivos, que la suma es S y el producto = 192 es un máximo?
x = es un numero
y = el otro numero
S = x + y ecuación 1
x * y = 192 ecuación 2
Despejamos la y
y=
192
ecuación 3
x
Se reemplaza la ecuación 3 en la ecuación 1
S= x +
192
x
S = x + 192 x - 1
ds
Derivamos
dx
ds
= 1 + (- 1)(192 ) x - 2
dx
ds
192
=1dx
x2
Iguala la derivada a cero
192
1=0
x2
1=
192
x2
X2 = 192
x = 192
y=
192
ecuación 3
x
Reemplazando x = 192
105
y=
192 192
192 192
192 192
=
=
=
= 192
192
x
192
192 * 192
y = 192
S es un mínimo cuando x = y = 192
Problema 6 calculo Larson edic 8
Encontrar dos números positivos. El segundo numero es el reciproco del primero y la suma es un
minimo?
x = es un numero
1
es el reciproco
x
1
= x + x -1
x
ds
Derivamos
dx
S= x +
ds
= 1 + (- 1) x - 2
dx
ds
1
=1dx
x2
Iguala la derivada a cero
1
1=0
x2
1=
1
x2
x2 = 1
x=1
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
ds
1
=1dx
x2
d2 s
1
= - (- 2 )
d x2
x3
d2 s
2
=
> 0 cuando x = 1
2
dx
x3
Cuando la segunda derivada es positiva, se encuentra un mínimo.
Si x = 1
1 1
= =1
x 1
106
La suma es un mínimo cuando x = 1 y
1
=1
x
Problema 9 calculo Larson edic 8
Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene el perímetro = 100 metros y un área
máxima.
El perímetro = 2x + 2y
2x + 2y = 100
y
Reduciendo términos semejantes
x + y = 50
despejamos y
x
y = 50 – x ecuación 1
área del rectángulo = x * h
A = x * y ecuación 2
Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2
A=x*y
A = x * (50 – x)
A = 50x – x2
Derivamos
dA
dx
dA
= 50 - 2x
dx
Iguala la derivada a cero
50 – 2x = 0
50 = 2x
50
x =
= 25
2
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
dA
= 50 - 2x
dx
d2 A
= -2
d x2
d2 A
= - 2 < 0 cuando x = 25
d x2
Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un MAXIMO.
107
Si x = 25
x + y = 50
25 + y = 50
y = 25
el área es máxima cuando x = y = 25 metros
Problema 11 calculo Larson edic 8
Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene 64 pies2 de área y un perímetro mínimo.
área del rectángulo = x * h
A=x*y
x * y = 64
y
despejamos y
x
64
ecuación 1
x
El perímetro = 2x + 2y
y=
P = 2 x + 2 y ecuación 2
Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2
P=2x+2y
64
P = 2 x + (2 )
x
128
P=2x+
x
dP
Derivamos
dx
dP
= 2 + (- 1)(128)(x )- 2
dx
dP
128
=2−
dx
x2
Iguala la derivada a cero
2−
128
=0
x2
2=
128
x2
X2 = 64
x2 =
128
2
x=
64 = 8
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
dP
128
=2−
dx
x2
d2 P
= - (- 2 )(128) (x )− 3
2
dx
108
d 2 P 256
=
2
x3
dx
d 2 P 256
=
> 0 cuando x = 8
d x2
x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un MINIMO.
64
x
64
y=
8
y = 8 pies
y=
el PERIMETRO es mínimo cuando cuando x = y = 8 metros
Problema 4.1 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Se desea construir un tanque metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica vertical,
abierto por su parte superior y de un volumen dado. Calcular las dimensiones del radio y de la
altura para emplear en su construcción la menor cantidad de material posible.
la lamina metálica empleada en la construcción de la pared
lateral y el fondo del tanque deberá tener la menor área posible.
r
Esta área será:
A = π r2 + 2 π r h ecuación 1
El volumen es:
V = π r2 h
h
Despejamos h
V
ecuación 2
h=
π r2
Reemplazar la ecuación 2 en la ecuación 1
A = π r2 + 2 π r ecuación 1
V
A =π r2 + 2 π r
π r2
Reduciendo términos semejantes
V
A =π r2 + 2
r
2
A = π r + 2 V r -1
Derivamos
dA
dr
dA
= 2π r + 2 (- 1)V r - 2
dr
dA
= 2π r - 2 V r - 2
dr
109
dA
2V
= 2π r dr
r2
Iguala la derivada a cero
2V
2π r =0
r2
2π r =
2V
r2
2π r 3 = 2 V
Reduciendo términos semejantes
π r3 = V
Despejamos r
V
r3 =
π
V
r=3
π
1
⎛ V ⎞3
r=⎜ ⎟
⎝π ⎠
2
⎛V ⎞3
2
r =⎜ ⎟
⎝π ⎠
Se halla el valor de h reemplazando el valor de r2
V
ecuación 2
h=
π r2
h=
V
2
⎛V⎞3
π⎜ ⎟
⎝π ⎠
V
h=
π
(V )2 3
(π )2 3
=
V (V )− 2 3
π
(π )2 3
=
3 2
V3 3
(π )(π )− 2 3
=
V1 3
V1 3 3 V 3 V
=
=
=
π
π 3 3- 2 3 π1 3 3π
V
h= 3
π
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
2V
dA
= 2π r dr
r2
dA
= 2π r - 2 V r - 2
dr
d2 A
= 2 π - (- 2 )(2 ) (V )(r )− 3
2
dr
110
d2 A
V
= 2π + 4
2
dr
r3
d2 A
V
V
= 2π + 4
> 0 cuando r = 3
π
d r2
r3
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un MINIMO.
2
V
V
V
⎛
⎞
2
r =⎜ ⎟3
y r=3
h= 3
π
π
⎝π ⎠
La superficie (A) de la lamina es:
A = π r2 + 2 π r h ecuación 1
2 3
1 3
1 3
⎛V⎞
⎛V⎞
⎛V⎞
A =π ⎜ ⎟
+ 2π ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝π ⎠
⎝π ⎠
⎝π ⎠
⎛V⎞
A =π ⎜ ⎟
⎝π ⎠
2 3
⎛V⎞
A = 3π ⎜ ⎟
⎝π ⎠
⎛V⎞
+ 2π ⎜ ⎟
⎝π ⎠
2 3
2 3
El área de la lámina metálica es mínima cuando;
V
r=h= 3
π
Problema 4.6 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Se desea construir un depósito metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica
vertical, con dos tapas y se dispone de una lamina rectangular de superficie dada A.
Sin tener en cuenta los sobrantes de material, determinar el radio y la altura del cilindro que
permitan obtener un tanque de capacidad máxima.
r
El volumen es:
V = π r2 h ecuación 1
Esta área será:
A = π r2 + π r2 + 2 π r h
A = 2 π r2 + 2 π r h
h
Despejamos h
A - 2 π r2 = 2 π r h
2π r h = A - 2π r2
A - 2π r 2
h=
ecuación 2
2π r
Reemplazar la ecuación 2 en la ecuación 1
V = π r2 h ecuación 1
111
A - 2π r 2
V =π r2 (
)
2π r
Reduciendo términos semejantes
A - 2π r 2
V=r(
)
2
A r - 2π r 3
V=
2
A r 2 π r3
V=
2
2
Ar
V=
- π r3
2
dV
dr
dV A
= - 3π r2
dr 2
Derivamos
Iguala la derivada a cero
A
- 3π r2 = 0
2
A
= 3π r2
2
Despejamos r
A
r2 =
2(3 π )
r2 =
A
6π
r=
A
6π
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
dV A
= - 3π r2
dr 2
d2 V
= - (2 )(3 π )(r )
d r2
d2 V
= - 6π r
2
dr
A
d2 V A
- 6 π r < 0 cuando r =
=
6π
2
d r2
Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un MAXIMO.
Se halla el valor de h reemplazando el valor de A
A
r2 =
6π
Despejamos A
112
A = 6 π r2
Despejamos h
A - 2π r 2
ecuación 2
2π r
A
2π r2
h=
2π r 2π r
h=
h=
A
-r
2π r
h=
6π r2
-r
2π r
h =3r -r
h=2r
h = diámetro
El volumen será máximo cuando la altura (h) del cilindro sea iguala al diámetro.
Problema 4.3 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para ello
una lamina metálica cuadrada de 120 cm. De lado, recortando un cuadrado pequeño en cada
esquina y doblando los bordes hacia arriba.
Determinar la longitud de los lados para obtener una caja de volumen máximo.
El volumen de la caja será:
V = Área de la base * altura
x
V = (120 – 2 x) * (120 - 2x) * x
V = (120 – 2 x)2 * x
120 cm
120 - 2x
dV
Derivamos
dx
dV
= (2 )(120 - 2x )(- 2x ) + (1) (120 - 2x )2
dx
dV
= - 4x (120 - 2x ) + (120 - 2x )2
dx
x
120 - 2x
x
120 cm
dV
= - 480x + 8x 2 + (120 )2 - (2 )(120 )(2 x ) + (2x )2
dx
dV
= - 480x + 8x 2 + 14400 - 480x + 4x 2
dx
x
x
120 - 2x
120 - 2x
dV
= 12 x 2 - 960 x + 14400
dx
113
Iguala la derivada a cero
12 x 2 - 960 x + 14400 = 0
Cancelando términos semejantes, se divide toda la ecuación por 12
x 2 - 80 x + 1200 = 0
Dos números que multiplicados sean 1200 y que restados sean - 80
(x - 60) * (x - 20) = 0
(x - 60) = 0
x = 60 esta solución no es posible, ver la grafica.
(x - 20) = 0
x = 20 cm
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
dV
= 12 x 2 - 960 x + 14400
dx
d2 V
= (2 )(12 x ) - 960
2
dx
d2 V
= 24 x - 960
d x2
d2 V
= 24 x - 960 < 0 cuando x = 20
d x2
Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un volumen MAXIMO.
El lado de la caja es = 120 -2x (ver la grafica).
El lado de la caja es = 120 - 2 * 20
El lado de la caja es = 120 - 40
El lado de la caja es = 80 cm
El volumen de la caja será:
V = Área de la base * altura
V = (120 – 2 x) * (120 - 2x) * x
V = (120 – 2 x)2 * 20
V = (120 – 2 *20)2 * 20
V = (120 – 40)2 * 20
V = (80)2 * 20
V = 6400 * 20
V = 128000 cm3
La caja de volumen máximo, tiene base 80 cm * 80 cm y una altura de 20 cm.
114
Un granjero quiere bordear un área de 1500.000 pies2 en un campo rectangular y entonces
dividirlo a la mitad con un bordo paralelo aun lado del rectángulo. Como puede hacerlo para
minimizar el costo de la borda?
A = 1500.000 pies2
El área del campo rectangular es:
A=x*y
1500.000 = x * y
Despejamos y
1500.000
y =
ecuación 1
x
La longitud total de la cerca es: (ver la grafica).
L = 2 y + 3 x ecuación 2
x = ancho
Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2
L = 2 y + 3 x ecuación 2
y = largo
⎛ 1500.000 ⎞
L =2⎜
⎟+3x
x
⎝
⎠
L = 3000.000 x - 1 + 3 x
Derivamos
dL
dx
dL
= (- 1)(3000.000 )(x )− 2 + 3
dx
d L - 3000.000
=
+3
dx
x2
Iguala la derivada a cero
- 3000.000
+3=0
x2
3000.000
=3
x2
3000.000 = 3 x2
Reduciendo términos semejantes
1000.000 = x2
x = 1000.00
x = 1000 pies.
1500.000
ecuación 1
x
1500.000
y =
1000
y = 1500 pies
y =
115
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
d L - 3000.000
=
+3
dx
x2
dL
= - 3000.000 x - 2 + 3
dx
d2 L
= (- 2 )(- 3000,000 )(x )- 3
2
dx
d 2 L 6000.000
=
d x2
x3
d 2 L 6000.000
=
2
dx
x3
d 2 L 6000.000
=
> 0 cuando x = 1000
d x2
x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un volumen MINIMO.
Para minimizar los costos de la borda es necesario que tengan las siguientes medidas
x = 1000 pies. y = 1500 pies
Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000 cm3
encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.
El volumen de la caja será:
V = Área de la base * altura
h
V = (x) * (x) * h
32000 = (x)2 * h
x
x
Despejamos h
32000
h=
ecuación 1
x2
El área de la caja es:
A = x2 + 4 x h ecuación 2
Reemplazamos ecuación 1 en la ecuación 2.
32000
A = x2 + 4 x (
)
x2
Simplificando
32000
A = x2 + 4 (
)
x
A = x 2 + 128000 x - 1
Derivamos
dA
dx
dA
= 2 x + (- 1)(128000)(x )− 2
dx
116
dA
128000
=2xdx
x2
Iguala la derivada a cero
128000
2x=0
x2
2x=
128000
x2
2 x3 = 128000
Simplificando
x3 = 64000
x = 3 64000
x = 40 cm
h=
32000
ecuación 1
x2
h=
32000 32000
=
= 20 cm
(40)2 1600
h = 20 cm
Se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
dA
128000
=2xdx
x2
dA
= 2 x - 128.000 x - 2
dx
d2 A
= (2 ) - (- 2)(128.000 )(x )- 3
2
dx
d2 A
512000
= 2+
d x2
X3
d2 A
512.000
= 2+
> 0 cuando x = 40
d x2
x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un volumen MINIMO.
Para que el material usado sea mínimo las medidas son:
x = 40 cm y h = 20 cm
Problema 20 calculo Larson edic 8
Un ganadero tiene 200 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares
adyacentes (ver la figura). Que dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada
será un máximo.
La longitud total de la cerca es: (ver la grafica).
L = 200 pies
117
L = 2 x + 2 x + 3y
200 = 2 x + 2 x + 3y
200 = 4 x + 3y
Despejamos y
200 = 4 x + 3y
200 - 4 x = 3y
y =
200 - 4x
ecuación 1
3
El área del campo rectangular es:
A = 2x * y ecuación 2
Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2
A = 2x * y ecuación 2
⎛ 200 - 4 x ⎞
A = (2 x ) * ⎜
⎟
3
⎝
⎠
2
400 x - 8x
A =
3
400 x 8 x 2
A =
3
3
Derivamos
dA
dx
d A 400 ⎛ 8 ⎞
- ⎜ ⎟ (2 )(x )
=
dx
3 ⎝ 3⎠
d A 400 ⎛ 16 ⎞
- ⎜ ⎟ (x )
=
3 ⎝ 3⎠
dx
Iguala la derivada a cero
400 ⎛ 16 ⎞
- ⎜ ⎟ (x ) = 0
3 ⎝ 3⎠
400 ⎛ 16 ⎞
= ⎜ ⎟ (x )
3 ⎝ 3⎠
Reduciendo términos semejantes
400 =16 x
400
x=
= 25
16
x = 25 pies.
y =
200 - 4x
ecuación 1
3
y =
200 - 4 (25) 200 - 100 100
=
=
3
3
3
118
y =
100
pies
3
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
d A 400 ⎛ 16 ⎞
- ⎜ ⎟ (x )
=
dx
3 ⎝ 3⎠
d 2 A - 16
=
3
d x2
d 2 A - 16
=
< 0 cuando x = 25
3
d x2
Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un volumen MAXIMO.
Para que el área sea máxima es necesario que tengan las siguientes medidas
100
pies
x = 25 pies. y =
3
Problema 33 calculo Larson edic 8
Un paquete rectangular que se va a enviar por un servicio postal puede tener una longitud y un
perímetro que tiene máximo de 108 pulg. Ver la figura. Determinar las dimensiones del paquete de
volumen máximo que puede enviarse. (Suponer que la sección transversal es cuadrada).
x es el lado del paquete que es cuadrado.
y es la longitud del paquete
el perímetro del paquete es:
P = 108 pulg.
4x + y = 108
Despejamos y
4x + y = 108
y = 108- 4 x ecuación 1
el volumen del paquete es:
V = x2 y ecuación 2
Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2
V = x2 y ecuación 2
V = x2 * (108 – 4x)
V = 108 x2 – 4 x3
Derivamos
dV
dx
dV
= (2 )108 x - 4 (3) x 2
dx
dV
= 216 x - 12 x 2
dx
119
Iguala la derivada a cero
216 x - 12 x 2 = 0
Reduciendo términos semejantes
108 x – 6 x2 = 0
54 x – 3 x2 = 0
18 x – x2 = 0
x (18 – x) = 0
x = 0 el cual no tiene sentido
(18 – x) = 0
x = 18 pulg.
y = 108 - 4 x ecuación 1
y = 108 - 4 (18)
y = 108 - 72
y = 36 pulg.
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
dV
= 216 x - 12 x 2
dx
d2 V
= 216 - 24 x
d x2
d2 V
= 216 - 24 x < 0 cuando x = 18
d x2
Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un volumen MAXIMO.
El volumen es máximo cuando x = 18 pulg. y
y = 36 pulg.
Problema 29 calculo Larson edic 8
Una página rectangular contendrá 30 pulg2 de texto impreso. Los márgenes de cada lado son de 1
pulg. Encontrar las dimensiones de la página de manera tal que se use la menor cantidad de
papel.
El área de la parte escrita
A=x*y
30 = x * y
Despejamos y
30
y=
ecuación 1
x
x+2
1 pulg
x
Y+2
y
El área de la página es:
A = (x + 2) * (y + 2) ecuación 2
Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2
A = (x + 2) * (y + 2) ecuación 2
1 pulg
1 pulg
1 pulg
120
⎛ 30
⎞
A = (x + 2 ) * ⎜ + 2 ⎟
⎝ x
⎠
A = (x + 2 ) * ⎛⎜ 30 x - 1 + 2 ⎞⎟
⎝
⎠
dA
Derivamos
dx
dA
= (1 ) * ⎛⎜ 30 x - 1 + 2 ⎞⎟ + (- 1) 30 x - 2 (x + 2)
⎝
⎠
dx
dA ⎛
= ⎜ 30 x - 1 + 2 ⎞⎟ − 30 x - 2 (x + 2 )
⎠
dx ⎝
⎛
d A 30
30 ⎞⎟
(x + 2)
=
+2 −⎜
⎜ 2⎟
dx x
⎝x ⎠
d A 30
30 x + 60
=
+2 −
dx x
x2
Iguala la derivada a cero
30
30 x + 60
+2 −
=0
x
x2
30 + 2 x
30 x + 60
−
=0
x
x2
30 + 2 x
30 x + 60
=
x
x2
Reduciendo términos semejantes
30 x + 60
30 + 2 x =
x
x (30 + 2 x) = 30 x + 60
30 x + 2 x2 = 30 x + 60
2 x2 = 60
x2 = 30
x = 30 pulg.
y=
y=
30
ecuación 1
x
30
30
y=
30 30
30
( 30 )
=
30 30
30
y = 30 pulg.
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
30 x + 60
d A 30
=
+2 −
dx x
x2
121
dA
30 x 60
= 30 x - 1 + 2 −
dx
x2 x2
dA
= 30 x - 1 + 2 − (30 x ) ⎛⎜ x - 2 ⎞⎟ - (60 ) x - 2
⎝
⎠
dx
dA
= 30 x - 1 + 2 − (30 ) ⎛⎜ x -1 ⎞⎟ - (60 ) x - 2
⎝
⎠
dx
dA
= 2 - (60 ) x - 2
dx
d2 A
= - (- 2) 60 x
d x2
d2 A
= 120 x
d x2
d2 A
= 120 x > 0 cuando x = 30
d x2
Cuando la segunda derivada es POSITIVO, se encuentra un MINIMO.
la mínima área se consigue cuando x = 30 pulg. y
y = 30 pulg.
Sección 3.7 calculo Larson edic 8 Pág. 220
Ejemplo # 3 Hallando el área mínima.
Una pagina rectangular ha de contener 96 cm2 de texto Los márgenes superior e inferior tienen 3
cm de anchura y los laterales 2 cm. Que dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel
requerido.
y +4
El área de la parte escrita = 96 cm2
A=x*y
96 = x * y
Despejamos y
96
y=
ecuación 1
x
3 cm
y
x+6
x
El área de la página es:
A = (x + 6) * (y + 4) ecuación 2
Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2
A = (x + 6) * (y + 4) ecuación 2
⎛ 96
⎞
A = (x + 6 ) * ⎜ + 4 ⎟
x
⎠
⎝
1
A = (x + 6 ) * ⎛⎜ 96 x + 4 ⎞⎟
⎝
⎠
dA
Derivamos
dx
dA
= (1 ) * ⎛⎜ 96 x - 1 + 4 ⎞⎟ + (- 1) 96 x - 2 (x + 6 )
⎝
⎠
dx
dA ⎛
= ⎜ 96 x - 1 + 4 ⎞⎟ − 96 x - 2 (x + 6 )
⎠
dx ⎝
3 cm
2 cm
2 cm
122
⎛ 96 ⎞
d A 96
⎟ (x + 6 )
=
+ 4 −⎜
⎜ 2⎟
dx x
⎝x ⎠
d A 96
96 x + 576
=
+4 −
dx x
x2
dA
96 x 576
= 96 x - 1 + 4 −
dx
x2 x2
dA
= 96 x - 1 + 4 − 96 x (x )- 2 - 576 (x )- 2
dx
dA
= 96 x - 1 + 4 − 96 (x )- 1 - 576 (x )- 2
dx
Iguala la derivada a cero
96
96 x + 576
+4 −
=0
x
x2
96 + 4 x
96 x + 576
−
=0
x
x2
96 + 4 x
96 x + 576
=
x
x2
Reduciendo términos semejantes
96 x + 576
96 + 4 x =
x
x (96 + 4 x) = 96 x + 576
96 x + 4 x2 = 96 x + 576
4 x2 = 576
x2 = 144
x = 12 cm.
96
ecuación 1
y=
x
96
y=
12
y = 8 cm.
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
dA
= 96 x - 1 + 4 − 96 (x )- 1 - 576 (x )- 2
dx
dA
= 4 - 576 (x )- 2
dx
d2 A
= - (- 2 )(576 ) x - 2 -1
2
dx
123
d2 A
= 1152 x - 3
2
dx
d 2 A 1152
=
> 0 cuando x = 12
d x2
x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVO, se encuentra un MINIMO.
la mínima área se consigue cuando x = 12 cm. y y = 8 cm.
Las dimensiones de la pagina deben ser:
x + 6 = 12 + 6 = 18 cm
y + 4 = 8 + 4 = 12 cm.
Problema 4.42 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un triangulo
equilátero de 10 cm de lado., si la base del rectángulo coincide con la base del triangulo.
El área del rectángulo es:
A = x y ecuación 1
En el triangulo equilátero la altura h es:
Por Pitágoras
2
2
10 = h + 5
x
2
102 - 52 = h2
100 - 25 = h2
h
10 cm
10 cm
h2 = 75
h = 75 = 25 * 3
h
y
h =5 3
10 cm
Por figuras semejantes:
y
h
=
x
5
5−
2
(h ) ⎛⎜ 5 - x ⎞⎟ = 5 y
⎝ 2⎠
Pero h = 5 3
⎛ x⎞
5 3 ⎜5 - ⎟ = 5 y
⎝ 2⎠
y
x
2
x
2
5 cm
5−
x
2
5−
5 cm
10 cm
x
2
5 cm
( )
Reduciendo términos semejantes
⎛ x⎞
3 ⎜ 5 - ⎟ = y ecuación 2
⎝ 2⎠
Reemplazar la ecuación 2 en la ecuación1
A=xy
ecuación 1
124
A = (x )
( 3 )⎛⎜ 5 - x2 ⎞⎟
⎝
A= 5 3x-
⎠
2
3x
2
dA
Derivamos
dx
⎛ 3⎞
dA
⎟( )
= 5 3 - (2 ) ⎜
⎜ 2 ⎟x
dx
⎝
⎠
dA
= 5 3 - 3x
dx
(
)
(
)(
)
Iguala la derivada a cero
5 3 - 3 x =0
( )( )
(5 3 ) = ( 3 x )
x = 5 cm
⎛ x⎞
3 ⎜ 5 - ⎟ = y ecuación 2
⎝ 2⎠
⎛ 5⎞
3 ⎜5 - ⎟ = y
⎝ 2⎠
⎛ 5⎞
3⎜ ⎟=y
⎝ 2⎠
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
(
)(
dA
= 5 3 dx
3x
)
d2 A
= - 3
d x2
d2 A
= - 3 < 0 cuando x = 5
d x2
Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un MAXIMO.
la máxima área se consigue cuando x = 5 cm. y
⎛ 5⎞
3⎜ ⎟=y
⎝ 2⎠
el área del rectángulo es :
A = x y ecuación 1
⎛ 5⎞
A = (5) 3 ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎛ 25 ⎞
2
A= 3⎜
⎟ cm
⎝ 2 ⎠
Problema 4.47 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
Determinar el área del mayor rectángulo que puede inscribirse en una circunferencia de radio R.
125
X
En el triangulo rectángulo por el teorema de
Pitágoras
2
⎛ y⎞
⎛x⎞
R2 =⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2⎠
y
2
2
Y
y
2
Despejamos y
2
⎛ y⎞
⎛x⎞
R -⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2⎠
2
2 2
R
2
R
2
2
⎛ y⎞
⎛x⎞
-⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2⎠
2
x
2
x
2
x2 y2
=
4
4
2
y2
4 2 x
=
R 4
4
4
R2 -
4 R 2 - x 2 = y2
y = 4R 2 - x 2
El área del rectángulo es:
A=XY
Reemplazando
A = x y = (x ) 4R 2 - x 2
(
A = (x ) 4R 2 - x 2
Derivamos
(
(
)1 2
dA
dx
)
)
(
)
(
)
12
dA
⎛1⎞
= 4R 2 - x 2
+ ⎜ ⎟(x ) 4R 2 - x 2 - 1 2 (- 2x )
dx
⎝2⎠
12 ⎛1⎞
(2x )
dA
= 4R 2 - x 2
- ⎜ ⎟ (x )
12
dx
⎝2⎠
4R 2 - x 2
Igualando a cero
(4R 2 - x 2 )1 2 - ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎟⎠ (x )
(2x )
(4R 2 - x 2 )1 2
=0
126
(4R 2 - x 2 )1 2 = ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎟⎠ (x )
(2x )
(4R 2 - x 2 )1 2
(4R 2 - x 2 )1 2 (4R 2 - x 2 )1 2 = ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎟⎠ (x )(2x )
(4R 2 - x 2 ) = ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎟⎠ (x )(2x )
(4R 2 - x 2 ) = x 2
4R 2 = x 2 + x 2
4R 2 = 2 x 2
2 R2 = x2
x= R 2
REEMPLAZAMOS
y = 4R 2 - x 2
(
y = 4R 2 - R 2
)2
y = 4R 2 - 2(R )2
y = 2(R )2
y=R 2
El área del rectángulo es:
A=XY
Reemplazando
(
)(
A= R 2 R 2
)
A = 2R2
127