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Capítulo V
V.1 Conclusiones Generales.
Dentro de la teoría del Medio Continuo hemos estudiado los modos de vibración elásticos
en heteroestructuras multicapa periódicas y cuasi-periódicas. El objetivo principal es conocer la
polarización específica de las ondas sagitales en estos sistemas. En la literatura de ondas elásticas
en general se habla de ondas mixtas, ondas longitudinales y ondas transversales. Las ondas
mixtas comparten ambas polarizaciones, la transversal y la longitudinal. Nosotros hemos
encontrado que las ondas mixtas en estructuras multicapas no siempre tienen la misma
contribución longitudinal/transversal. Entonces el objetivo de esta tesis fue determinar o entender
los criterios que hacen que una onda mixta sea más longitudinal (cuasi-longitudinal) o más
transversal (cuasi-transversal).
En la primera parte del trabajo presentamos resultados para estructuras multicapas
periódicas. Encontramos que los modos de vibración en las bandas de energía modifican sus
contribuciones longitudinal/transversal dependiendo del vector de onda paralelo a las capas. Son
las bandas proyectadas en la dirección de homogeneidad. Varios trabajos previos han reportado
este tipo de estructura de bandas. Son las bandas mixtas. Pero no han hecho un análisis del
comportamiento de la polarización lo cual es de suma importancia desde el punto de vista
experimental. Las bandas mixtas con una componente, digamos la longitudinal, muy pequeña es
prácticamente una banda transversal. Experimentalmente el acoplamiento con modos
longitudinales externos sería difícil, si no prohibido.
El Criterio de Balance de Energía, propuesto originalmente por B. Manzanares-Martínez y
F. Ramos-Mendieta ha sido utilizado en esta tesis. Con este método podemos determinar, en
promedio, la contribución a la vibración elástica total de las componentes longitudinal y
transversal. Entonces el criterio nos permite decir si el modo de vibración es principalmente
transversal o longitudinal. O en su caso, muy mixto. En la estructura periódica el promedio se
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toma sobre la celda unitaria. El resultado indica que las bandas proyectadas (propagación
oblicua) cambian su polarización. En la dirección perpendicular a las capas los modos son
estrictamente longitudinales o transversales. Pero en la dirección oblicua sus características son
diferentes.
Además de presentar la polarización de las bandas permitidas hemos introducido un
defecto material en la superred. Los estados de defectos son tales que los desplazamientos
longitudinal y transversal decaen exponencialmente al alejarse del defecto. Hemos demostrado
que los estados de polarización de los modos de defecto también dependen del ángulo de
incidencia.
Un punto importante es que las distancias de confinamiento de las vibraciones
longitudinal y transversal no necesariamente son iguales. Entonces, en los espectros de
transmisión la onda transmitida puede aparecer como cuasi-longitudinal cuando el modo en
realidad puede estar formado por vibración transversal principalmente. En este caso, aunque la
vibración longitudinal es de amplitud menor, su distancia de decaimiento puede ser mucho más
grande que la distancia de decaimiento de la vibración transversal.
También encontramos modos del tipo de resonancias. Su curva de dispersión cae sobre
una banda de volumen. Nosotros encontramos resonancias que cambian completamente su
polarización en rangos de 10 grados para el ángulo de incidencia. Es decir, un pico de
transmisión inicialmente cuasi-longitudinal cambia a un pico de transmisión cuasi-transversal al
variar el ángulo de incidencia 10 grados. Este es un efecto importante para aplicaciones prácticas
o experimentales.
Por otro lado hemos removido la periodicidad dejando el arreglo multicapa con una
estructura cuasi-cristalina. Se trata de un arreglo Fibonacci. Utilizando el método de la supercelda
calculamos los modos elásticos en placas multicapa de diferentes secuencias o niveles Fibonacci.
Como era de esperarse las curvas de dispersión de estos modos sagitales también varían su
polarización como función del vector de onda. Los modos se calculan imponiendo condiciones de
frontera extremas en los bordes de la placa: fronteras libres o fronteras fijas, o bien una
combinación de ellas. Demostramos entonces que las soluciones con fronteras libres aplican para
placas Fibonacci delimitadas por medios de impedancias bajas. También, los resultados con
fronteras fijas ayudan para interpretar la física de la placa Fibonacci delimitada por medios de
impedancia alta.
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Al estudiar la respuesta elástica de las placas Fibonacci encontramos varios resultados
interesantes desde el punto de vista de la física fundamental y que podrían tener repercusiones en
las aplicaciones. Por un lado demostramos la existencia del efecto Espejo de ondas
longitudinales. Esto es, una onda longitudinal se refleja al 100% para una frecuencia y ángulo de
incidencia específico. Las restantes tres ondas, la longitudinal transmitida, y las transversales
reflejada y transmitida se hacen cero justo en esas condiciones. Es un resultado numérico válido
para niveles Fibonacci mayores que n = 4. El análisis cualitativo y analítico de este efecto se
torna difícil debido a la presencia de cuatro ondas en cada interface y al efecto de conversión
implícito. El punto de interés es el mecanismo que hace que estas tres ondas, de diferentes
velocidades y diferentes direcciones de propagación en cada capa, se anulen simultáneamente.
Por otro lado hemos demostrado que en frecuencias bajas y niveles de Fibonacci
relativamente altos aparecen dobletes de transmisión. Son picos longitudinal y transversal
separados ligeramente en frecuencia. En general sabemos que en estructuras periódicas con o sin
defectos, los picos de transmisión longitudinal y transversal coinciden en frecuencia. Son picos
de ondas mixtas. Al parecer la cuasi-periodicidad del arreglo Fibonacci introduce una fase que
atrasa o adelanta un pico respecto al otro.
En conclusión podemos decir que el contenido de esta tesis reafirma la aplicabilidad del
Criterio de Balance de Energía para estudiar la polarización específica de las ondas con
desplazamiento elástico en el plano sagital. Las aportaciones más importantes pueden enlistarse
como sigue:
1. Descripción de la polarización de estados localizados debidos a defectos en superredes
periódicas.
2. Efectos de cambio total de la polarización de modos sagitales resonantes debidos a
defectos en superredes.
3. Cruces y repulsión de modos de defectos y su dependencia de la polarización.
4. Descripción de la polarización de los modos de vibración sagitales en placas
Fibonacci. Preservación de gaps y preservación de estados de polarización al aumentar
el nivel Fibonacci.
5. Espejo Fibonacci de ondas longitudinales.
6. Desdoblamiento de picos de transmisión en placas Fibonacci
Los últimos dos puntos siguen todavía bajo estudio.
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