EJERCICIOS CON SOLUCIÓN Características generales de Funciones 1. Para cada una de las funciones, calcula la imagen de2, -2, 3, -3, 1 y -1 Expresa, de forma algebraica y mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado. 2. 3. Elabora una tabla de valores para estas funciones: 4. Dada la función que asocia a cada número entero su cuarta parte más cinco unidades: 5. ¿Cuáles de estas representaciones corresponden a la gráfica de una función? (Razonar la respuesta): a) b) c) d) SOLUCIÓN: Sólo son funciones las gráficas b y d porque a cada valor de la variable x le corresponde un único valor de la variable y. Mientras que en las gráficas a y d, existen valores de la variable x para los cuales hay má de un valor de la variable y. 6. Justifica si las gráficas corresponden a una función: 7. Calcula el dominio y el recorrido de estas funciones. 8. Halla analíticamente el Dom(f) de las siguientes funciones h) a) p) i) b) y= j) q) c) k) r) l) d) ∗ e) m) s) t) n) f) g) o) Soluc: a) IR-[-5}; b) IR-{-2,4}; c) IR-{0,4}; d) IR; e) IR; f) [-5,∞); g) (-5,∞); j) (-∞ ,3]U[3,∞); k) (-∞,-4]U[2,∞); l) (-∞,-4]U[-1,∞); m) (-4,0]U(4,∞); n) IR-{3/2}; IR; r) IR-{-1}; s) IR; t) IR) 9. Estudia la continuidad de esta función. 10. Estudia la continuidad de esta función. ¿Tiene puntos de corte con los ejes? 11. Estudia la continuidad, el crecimiento y los máximos y mínimos de la función: h) [5/2,∞); i) (-∞,4); o) IR-{2,3}; p) (4,∞); q) 12. Calcula la imagen de x=2 en cada una de las siguientes funciones: 13. Calcula f(0), f(3) y f(4) en la siguiente función: 14. Dibuja una función que tenga dos máximos y dos mínimos. 15. Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones, en el intervalo [1, 3]. 16. Estudia las siguientes funciones: 17. Observa la gráfica de la función f Para cada una de las funciones representadas a continuación, estudia: a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Los máximos y mínimos relativos y absolutos. 18. 19. Estudia todas las características de las siguientes funciones: a) Dominio y recorrido b) Continuidad c) Puntos de corte con los ejes d) Intervalos de crecimiento/decrecimiento e) Máximos/mínimos relativos y absolutos f) Tendencias g) Periodicidad h) Tasa de variación media en el intervalo [2,3] a) Dom f= ℜ − 1 {} Im f= ℜ − 0 {} b) Tiene un punto de discontinuidad en x=1 donde tiene una rama infinita. c) No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0,-1) € € d) Crecimiento: No tiene Decrecimiento: (-∞, 1)U(1, +∞) e) No tiene ni máximos ni mínimos. f) La función tiende a 0 cuando x tiende a -∞ y cuando x tiende a +∞ Para x=1 la función tiende a -∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha. g) La función no es periódica. h) TVM[2,3]= € f(3)− f(2) 0,5 −1 1 = =− 3−2 3−2 2 a) Dom f= (-∞, -1) U (-1,1) U (1, +∞) Im f= (-∞, -1] U (0, +∞) b) Tiene dos puntos de discontinuidad en x=-1 y en x=1 donde tiene ramas infinitas. c) No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0,-1) d) Crecimiento: (-∞, -1) U (-1, 0) Decrecimiento: (0,1) U (1, +∞) e) No tiene mínimos. Tiene un máximo relativo en (0,-1) f) La función tiende a 0 cuando x tiende a -∞ y cuando x tiende a +∞ Para x=-1 la función tiende a +∞ por la izquierda y a -∞ por la derecha. Para x=1 la función tiende a -∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha. g) La función no es periódica. h) TVM[2,3]= f(3)− f(2) 0,3 − 0,6 = = −0,3 3−2 3−2 € a) Dom f= (-∞,+∞)=IR Im f= [0, +∞) b) Continua en todo su dominio. c) Puntos de corte con el eje X: (-1,0) y (1,0) d) Crecimiento: (-1, 0) U (1,+∞ ) Punto de corte con el eje Y: (0,1) Decrecimiento: (-∞,-1) U (0, 1) e) Tiene dos mínimos absolutos: (-1,0) y (1,0) Tiene un máximo relativo en (0,1) f) La función tiende a +∞ cuando x tiende a -∞ y cuando x tiende a +∞ g) La función no es periódica. h) TVM[-2,-1]= f(−2)− f(−1) 3 − 0 = = −3 −2 −(−1) −2 +1 € a) Dom f= IR Im f= [-1, +∞) b) Tiene un punto de discontinuidad en x=1. Se trata de una discontinuidad de salto. c) Punto de corte con el eje X: (0,0) Punto de corte con el eje Y: (0,0) d) Crecimiento: (1, +∞) Decrecimiento: (-∞, 1) e) Tiene un mínimo absoluto en (1,-1). No tiene un máximos. f) La función tiende a +∞ cuando x tiende a -∞ y cuando x tiende a +∞ g) La función no es periódica. h) TVM[2,3]= € f(3)− f(2) 2,4 − 2 = = 0,4 3−2 3−2 TVM[-2,-1]= € f(−2)− f(−1) 2 −1 = = −1 −2 −(−1) −2 +1