M2-Medidas de tendencia central y de dispersión

SEMINARIO DE
INVESTIGACIÓN
CIENTÍFICA
Cátedra de Bioestadística e
Informática
Material de Lectura 2
Este material es recopilación del libro “Estadística para las
Ciencias Sociales”, de Ferris J. Ritchey, 2007.
Dina Raquel Paniagua C.
[email protected]
SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
CÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
Compendio
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de los de
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capítulos
IV y V del
ESTIMACIÓN
DE PROMEDIOS
Introducción
Todos estamos familiarizados con el concepto general de promedio: calificación promedio,
ingreso promedio, puntuación promedio, etc. Si alguien tiene un “promedio” de alguna
manera —altura, peso, inteligencia, etc.— esta persona no es atípica. Poseer un promedio
significa ser como la mayoría de las personas.
En una distribución de puntuaciones, un promedio caerá entre las puntuaciones
extremas, en alguna parte del área media de la distribución de puntuaciones. Por ejemplo, la
mayoría de los hombres no son demasiado altos o bajos; están sobre el “promedio”.
Llamamos a esta puntuación típica la tendencia central de la variable. Un estadígrafo de
tendencia central proporciona una estimación de la puntuación típica, común o normal
encontrada en una distribución de puntuaciones en bruto. Por ejemplo, las alturas de los
hombres [paraguayos] tienden a agruparse alrededor de los 1.69 metros. O, por ejemplo, si
[Roberto] tiene un promedio de 165 puntos en el boliche, no esperamos que obtenga esa
puntuación exacta en cada juego, pero conseguirá cercanamente esa puntuación la mayoría de
las veces.
La media
La media aritmética de una distribución de puntuaciones (o simplemente media) consiste en
un estadígrafo de tendencia central que es familiar a cualquier estudiante que haya calculado
el promedio de las calificaciones en un examen para algún curso. La media es la suma de
todas las puntuaciones dividida entre el número de puntuaciones observadas (es decir, el
tamaño de la muestra).
La media es el estadígrafo de tendencia central más útil. Con un cálculo matemático
rápido, ofrece un resumen de las puntuaciones típicas o promedio de una distribución. Puesto
que emplea la operación matemática de división, la media se aplica a las variables de
intervalo/razón.
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Existen tres estadígrafos de tendencia central comunes: la media, la mediana y la
moda. ¿Por qué tres? Porque cada una tiene fortalezas, pero también debilidades potenciales.
En ocasiones, informar cualquier estadígrafo de tendencia central solo, conduciría a errores o
no proporcionaría información suficiente.
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Para una variable X (cualquier variable de intervalo/razón que definamos), el símbolo
para la media calculada con esos datos de la muestra es X , que se lee “X barra”, y se calcula
como sigue:
X =
∑X
n
donde
X = media de la variable
ΣX = la suma de todas las puntuaciones individuales para la variable X
n = el número de observaciones (tamaño de la muestra)
La media no dice cuáles serían las puntuaciones X en una muestra si cada sujeto de la
muestra tuviera la misma puntuación. Es útil, entonces, pensar en la media como una
medición de “partes iguales”. La media también puede ser considerada como un punto de
equilibrio, es decir, el punto en el cual se equilibran las diferencias entre la media de X y las
puntuaciones individuales de X en la distribución.
Al calcular los estadígrafos de tendencia central, particularmente la media, debe
tenerse cuidado para no incluir las puntuaciones codificadas como casos perdidos. Al
determinar la media sólo se incluyen los casos “válidos”. Por ejemplo, si en una muestra de
49 personas 2 no informaron sus edades, la suma de edades se dividiría entre 47 —el número
de puntuaciones válidas— en lugar de dividirla entre el tamaño de la muestra (49).
X ( grupo1) =
=
X ( grupo2) =
=
ΣX ( grupo1)
n( grupo1)
=
7 + 10 + 7 + 12 + 16 + 7 + 14 + 10
8
83
= 10.38 días de vacaciones
8
ΣX ( grupo2 )
n( grupo2)
=
60 + 30 + 30
3
120
= 40.00 días de vacaciones
3
Si calculamos incorrectamente la media de la oficina completa sumando estas dos
medias y dividiendo el resultado entre 2, obtendríamos la respuesta errónea de 25.19 días de
vacaciones. El cálculo correcto para esta media combinada es:
3
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Como la media es el estadígrafo de tendencia central más ampliamente usado, es
importante que tengamos un buen sentido de proporción respecto de su cálculo. Una situación
donde se comete un error común suele ser cuando combinamos las medias de dos grupos
sumando las dos medias y dividiendo el resultado entre 2. Por ejemplo, observe el número de
días de vacaciones por año (X) para el grupo 1 (ocho secretarias de un banco), y para el grupo
2 (tres vicepresidentes):
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X ( grupo1+ grupo2) =
=
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ΣX ( grupo1) + ΣX ( grupo2)
n( grupo1) + n( grupo2 )
83 + 120 203
=
= 18.45 días de vacaciones
8+3
11
Cuando se reporta un estadígrafo de tendencia central, tendemos a suponer que su
valor es representativo de puntuaciones típicas en la parte central de una distribución. En
ocasiones, cuando se informa la media, puede conducir a errores al respecto. Éste es el caso
porque el cálculo de la media puede inflarse (aumentar) o desinflarse (disminuir) debido a
puntuaciones o valores extremos. Puntuaciones muy altas, inflan el valor de la media
“agrandando” la suma de X (es decir, ΣX). Puntuaciones sumamente bajas, o valores extremos
negativos, desinflan el valor de la media “encogiendo” ΣX. Por ejemplo, suponga que
calculamos la media del dinero en efectivo que llevan 10 estudiantes. Idealmente, esta media
debe indicarnos cuál es la cantidad típica. Pero suponga que un estudiante cobró un cheque
por $400. Nuestro cálculo, por razones obvias, daría como resultado una media que no
representa la cantidad promedio o la tendencia central que los alumnos suelen portar en
efectivo. En este caso la media es engañosa.
El cálculo de la media se distorsiona por la presencia de un valor extremo. Tenga
presente que nuestro objetivo es usar estadígrafos para estimar los parámetros de una
población. Si se reporta una media muestral inflada o disminuida, se presentará un resumen
distorsionado de las puntuaciones de la población. Esta limitación de la media es un problema
especial con muestras pequeñas; cuanto menor sea la muestra, mayor será la distorsión que
genere un valor extremo. En tales casos, los valores extremos deben eliminarse, y la media
debe calcularse de nuevo sin ellos.
La mediana (Mdn) es la puntuación de la mitad en una distribución ordenada —aquel valor
de una variable que divide la distribución por la mitad, la puntuación por arriba de la cual
queda la mitad de los casos y por debajo queda la otra mitad—. Por ejemplo, si la media del
ingreso de los hogares en la Ciudad [Hernadarias] es de [Gs 1.200.000], la mitad de los
hogares de esta ciudad tienen ingresos mayores a Gs 1.200.000; y la otra mitad, ingresos
menores a Gs 1.200.000. Conceptualmente, la mediana es un punto de localización —la
puntuación de la mitad—. La mediana es igual al percentil 50, es el punto en el que 50 por
ciento de las observaciones caen debajo. Entre los tres estadígrafos de tendencia central, la
mediana es más útil cuando la distribución está sesgada (es decir, tiene pocas puntuaciones
hacia un lado). Por ejemplo, la mediana del precio de las ventas recientes de viviendas es
preferible a la media del precio, porque unas cuantas ventas de alto precio incrementará el
valor de la media.
Para calcular la mediana de una distribución, primero deben ordenarse las
puntuaciones para una variable X; es decir, las puntuaciones deben colocarse en orden de
tamaño, de menor a mayor o de mayor a menor. Divida el tamaño de la muestra n entre 2 para
acercarse a la puntuación de la mitad en la distribución. Si n es un número impar, la mediana
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La mediana
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será un caso real en la muestra. Si n es un número par, la mediana se localiza entre las dos
puntuaciones de la mitad y se calcula tomando la media de esas dos puntuaciones. Mire lo
ejemplos:
Para n impar:
Ubicación de la Mdn
Orden de los casos
Valores de X
1
2
3
4
5
$ 3 540
$ 4 675
$ 7 350
$ 9 860
$ 19 000
Mdn = un valor de X
Ubicación de la Mdn
Para n par:
Ubicación de la Mdn
Orden de los casos
Valores de X
1
2
3
4
5
6
$ 3 540
$ 4 675
$ 7 350
$ 9 860
$ 19 000
$ 20 000
Mdn = $ 8 605
Como la mediana se basa en la ubicación ordenada de puntuaciones en una
distribución, es insensible a los valores de las puntuaciones; es decir, sin tener en cuenta los
valores de X que la rodean, la mediana es la puntuación de la mitad determinada por el
número de puntuaciones (n) en la muestra. Por ejemplo, las siguientes dos distribuciones de
puntuaciones en un examen tiene la misma mediana; aunque estén compuestas de
puntuaciones muy diferentes:
Aula 1: 39, 51, 77, 78, 81
Mdn
Aula 2: 74. 75, 77, 94, 98
Afirmar que la calificación promedio del examen en ambas clases es 77 sería
impreciso porque sugiere que las dos tuvieron igual desempeño. (De hecho, el aula 2 lo hizo
mucho mejor, con una media de 83.6, comparado con la media de 65.2 para el aula 1). La
mediana no se afecta por los valores X.
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La mediana puede utilizarse con variables de intervalo/razón, así como con variables
ordinales.
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Pero, mientras que es insensible para los valores X, la mediana es sensible a cualquier
cambio en el tamaño de la muestra (n). Por ejemplo, suponga que en el aula 1 dos estudiantes
hacen el examen tarde; lo realizan mal, que es típico de estudiantes que llegan tarde a una
evaluación. Cuando sus puntuaciones se incluyen en la distribución, la mediana cambia
drásticamente de 71 a 51:
Aula 1 (incluyendo puntuaciones tardías): 34, 36, 39, 51, 77, 78, 81
Mdn
La mediana, entonces, tiene dos debilidades potenciales: 1) es insensible para los
valores de las puntuaciones en una distribución, y 2) es sensible a cualquier cambio en el
tamaño de la muestra. Antes de reportar la mediana asegúrese de que ninguna de estas
debilidades potenciales lo llevará a conclusiones erróneas.
La moda
La moda (Mo) es la puntuación que ocurre con mayor frecuencia en una distribución.
Conceptualmente, la moda es la puntuación “más popular”.
Una nota precautoria. No confunda la moda (la “puntuación que ocurre con mayor
frecuencia”) con la “mayoría de las puntuaciones”. Una mayoría simple sería “más de la
mitad” o 50 por ciento de los casos en una muestra más por lo menos, uno.
En general, por sí misma la moda es el estadígrafo de tendencia central menos útil
porque tiene un alcance informativo limitado. Mientras identifica la puntuación que ocurre
más frecuentemente, no sugiere nada sobre las puntuaciones que ocurren alrededor de este
valor de la puntuación. Así, la moda es muy útil cuando se presenta en conjunto con la
mediana y la media.
La moda puede ser engañosa cuando se usa sola porque es insensible tanto a los
valores de las puntuaciones en una distribución como al tamaño de la muestra. Esto significa
que usted puede tener cualquier número de distribuciones con formas totalmente diferentes, y
aún todas podrían tener la misma moda.
Existe al menos una situación en la cual la moda es un estadígrafo de tendencia central
apropiado por sí mismo e informar la media y la mediana es confuso. Ocurre cuando las
puntuaciones de X son en esencia del mismo valor para todos los casos, excepto para unos
cuantos. Un ejemplo es la estructura de sueldos en los restaurantes de comida rápida, donde
todos, excepto los gerentes, tienen un mismo sueldo bajo (ver tabla 4). La media aquí es [Gs
10.719], y está “inflada” por las puntuaciones extremas de los sueldos de los gerentes. Para
alguien que busca empleo, esta media deja la falsa impresión de que el restaurante, en
promedio, ofrece un sueldo por arriba del sueldo mínimo. La mediana es [Gs 8.125], igual que
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La moda es útil con variables de todos los niveles de medición. La moda es fácil de
reconocer en un gráfico. En un gráfico de pastel, es la categoría con la rebanada más grande;
en un gráfico de barras, la barra más alta; en un histograma, la columna más alta; en un
polígono, la puntuación del punto más alto, o el pico.
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la moda; pero informar esta mediana lleva a la interpretación incorrecta de que la mitad de los
empleados ganan más que esa cantidad, lo cual no es el caso. Informar la moda, [Gs 8.125],
significa que a muchos empleados se les paga este sueldo bajo.
TABLA 4
Distribución de sueldos en un restaurante de comida rápida
Sueldo (Gs)
f
Clasificación de empleados
8.125
13
Empleados regulares
20.250
2
Gerentes nocturnos
25.390
1
Gerente en jefe
Total
16
Curvas de distribución de frecuencias: relaciones
entre la media, la mediana y la moda
Una curva de distribución de frecuencias es un sustituto de un histograma de
frecuencias o polígono, donde reemplazamos estos gráficos con una curva suavizada. Esta
situación es apropiada porque la curva suavizada no se ve tanto como una ilustración de la
distribución de la muestra, sino más bien como una estimación de la manera en que se
distribuyen las puntuaciones en la población. Como con un histograma, las puntuaciones de
una variable se ilustran de izquierda (el más bajo) a derecha (el más alto); es decir, las
puntuaciones se ordenan sobre el eje horizontal. El área bajo la curva de distribución de
frecuencias representa el número total de sujetos de la población y es igual a una proporción
de 1.00 o a un porcentaje de 100 por ciento. Nuestra preocupación está en evaluar la forma de
una distribución y examinar las ubicaciones relativas de la media, la mediana y la moda, para
estimar la forma de una distribución de frecuencias.
La distribución normal
Una distribución normal es aquella donde la media, la mediana y la moda de una variable son
iguales entre sí y la distribución de las puntuaciones tiene forma de campana. También nos
referimos a esto como una “curva normal”. La figura 7 ilustra las puntuaciones de CI, que
están normalmente distribuidos con una media de 100. una distribución normal es simétrica
(es decir, equilibrada en cada lado). Su media, mediana y moda se localiza en el centro de la
distribución. La presencia de mediana aquí asegura la simetría porque, por definición, la
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Puesto que cada uno de los estadígrafos de tendencia central tiene debilidades potenciales,
vale la pena observarlos como un conjunto de estadígrafos que se van a interpretar juntos.
Estos tres estadígrafos son especialmente útiles cuando se examinan de manera gráfica. Una
forma informativa de entender la relación entre estos tres estadígrafos consiste en localizar los
valores de cada uno en una curva de distribución de frecuencias.
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mediana divide por la mitad una distribución ordenada de puntuaciones. Puesto que la moda
está en el punto central de una distribución normal, el pico de la curva se localiza allí.
FIGURA 7
Curvas de distribución
de frecuencias
comunes y ubicaciones
relativas de la media,
la mediana y la moda,
donde X es una
variable de intervalo/
razón (datos ficticios)
A. La distribución normal o curva normal
Puntuación
baja
Puntuación
alta
X (puntuación CI)
X = 100
Mdn = 100
Mo = 100
B. Distribución positivamente sesgada o sesgo a la derecha
X (Ingreso en miles de $)
Mo = $26
Mdn = $34
X = $46
X (examen de grado de
estudiantes de último año)
X = 76
Mdn = 82
Mo = 86
Una distribución sesgada es aquella en la cual la media, la mediana y la moda de una
variable son desiguales y muchos de los sujetos tienen puntuaciones sumamente altas o bajas.
Cuando éste es el caso, la distribución se alarga hacia un lado.
Como la más central de los tres estadígrafos, la mediana es el mejor de las tres pobres
opciones para una distribución sesgada, cuando sólo un estadígrafo debe reportarse.
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C. Distribución negativamente sesgada o sesgo a la izquierda
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IV y V del
CAPÍTULO
5
MEDICIÓN DE LA
DISPERSIÓN O VARIACIÓN
EN UNA DISTRIBUCIÓN
DE PUNTUACIONES
Introducción
Reportar un estadígrafo de tendencia central por sí mismo no es suficiente para comunicar la
forma de una distribución de puntuaciones. Dos muestras con las mismas medias pueden tener
formas sumamente diferentes. La figura 8 presenta dos distribuciones de edades: para una
muestra de alumnos de escuela primaria (desde jardín de niños hasta sexto grado) y para una
clase de tercer grado de una segunda escuela. La edad media de los alumnos en ambas
escuelas es de 8.5 años. En la primera escuela, sin embargo, los niños tienen entre 5 y 12
años. En la clase del tercer grado de la segunda escuela ninguno de los alumnos es menor de 7
o mayor de 10 años de edad. Aunque estas dos distribuciones de edades tienen la misma
tendencia central, sus puntuaciones se dispersan de manera muy diferente, con una mayor
dispersión de edades en la primera escuela.
7
5
4
3
2
1
Media = 8.5 años
0
5
6
7
8
9
10
11
Muestra de edades de los grados de la prim era escuela
9
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6
Frecuencia
FIGURA 8
Comparación de la
dispersión de edades
de alumnos en dos
muestras con las
mismas medias.
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12
Frecuencia
10
8
6
4
2
Media = 8.5 años
0
5
6
7
8
9
10
11
12
Muestra de edades del grado 3
El tema de este capítulo es la dispersión, es decir, cómo se extienden las puntuaciones
de una variable de intervalo/razón de la menor a la mayor y la forma de la distribución entre
éstas. Existe un número infinito de posibles formas de distribución para una variable con una
media dada. Todas las puntuaciones podrían agruparse alrededor de la media con la clara
forma de una curva de campana; pero la curva podría ser de diferentes tamaños, dependiendo
del tamaño de la muestra. O las puntuaciones podrían estar ligera o grandemente sesgadas
hacia un lado. Además de esto, una sola variable puede tener diferentes dispersiones de una
población a otra. Por ejemplo, el ingreso familiar anual para residentes en Estados Unidos
varía desde cero hasta decenas de millones de dólares; mientras el ingreso familiar de los
pobres que viven en proyectos de asistencia social varía desde cero hasta unos cuantos miles
de dólares.
El rango es una expresión de cómo las puntuaciones de una variable de
intervalo/razón se distribuyen de la menor a la mayor —la distancia entre las puntuaciones
mínima y máxima en una muestra—. Se calcula como la diferencia entre las puntuaciones
máxima y mínima.
Puesto que el rango utiliza las puntuaciones más extremas de una distribución, un
valor extremo inflará enormemente su cálculo. Omitir el valor extremo e indicarlo como una
excepción es una forma razonable de ajustar esta limitación del rango.
La desviación estándar es otra medida sumaria de la dispersión o la variación de las
puntuaciones en una distribución. Este estadígrafo es muy diferente del rango. Al enfocarse en
los extremos de la distribución, el rango se aproxima a la dispersión desde los “exteriores” o
extremos de la distribución. En contraste, la desviación estándar describe cómo las
puntuaciones de una variable de intervalo/razón se extienden a lo largo de la distribución, en
relación con la puntuación media. La media es un estadígrafo de tendencia central y como tal
proporciona un punto de enfoque que se centra “dentro” de la distribución.
La desviación estándar se calcula determinando qué tan lejos está cada puntuación de
la media —qué tan lejos se desvía de la media—. En este sentido, la desviación estándar es un
derivado de la media, y las dos medidas siempre se informan juntas. De hecho, la frase “la
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Los estadígrafos de dispersión permiten descripciones precisas de la frecuencia de
casos en cualquier punto de una distribución. Estudiar la dispersión es como pasear hacia atrás
y hacia delante a lo largo del eje x de un histograma, y observar dónde se concentran los
casos. ¿La mayoría de los casos cae alrededor de la media o están cargados hacia algún lado?
¿Cuántos casos caen entre cualesquiera dos puntos? Los dos estadígrafos de dispersión más
usados son el rango y la desviación estándar.
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media y la desviación estándar” es una de las más empleadas por los estadísticos. La
desviación estándar nos dice con qué amplitud se agrupan las puntuaciones alrededor de la
media. También es útil en conjunción con la curva normal.
Antes de calcular una desviación estándar, analicemos su fórmula:
sX =
(
ΣX −X
n
)
2
donde
s X = desviación estándar para la variable X de intervalo/razón
X = media de la X
n = tamaño de la muestra
Vale la pena aproximarnos paso a paso al cálculo de la desviación estándar. Esto
elimina el misterio de la fórmula y nos ayuda a apreciar que la desviación estándar es parte
esencial de la curva normal.
Calcule la media. Calculamos la media porque la desviación estándar está diseñada
para medir la dispersión alrededor de la media.
X =
∑X
n
Calcule las puntuaciones de la desviación: pensamiento lineal. Luego
determinamos qué tan lejos de la media cae la puntuación de cada sujeto. La diferencia entre
una puntuación y su media se llama puntuación de desviación, es decir, cuánto difiere o se
“desvía” de la media una puntuación individual:
La puntuación de desviación nos dice dos cuestiones sobre una puntuación en la
distribución: 1) la magnitud de la distancia desde la puntuación X hacia la media, y 2) la
dirección de la puntuación X: ya sea que esté abajo o arriba de la media. Cuando una
puntuación X es mayor que la media, la puntuación de desviación resultará un valor positivo,
lo cual significa que la puntuación X quedará a la derecha en una curva de distribución.
Cuando una puntuación X es menor que la media, la puntuación de desviación resultará
negativa, lo que significa que la puntuación X quedará a la izquierda de la media.
La puntuación de desviación es el cálculo matemático central al determinar la
desviación estándar. Como una medida sumaria para la muestra entera, la desviación estándar
es un promedio del cuadrado de estas puntuaciones de desviación.
El siguiente paso consiste en sumar las puntuaciones de desviación. Sin embargo, tal
suma siempre será igual a cero. En el capítulo 4 estudiamos cómo la media es un punto de
balance en la distribución. Lo que la media hace es balancear las desviaciones, para que se
cancelen ente sí.
Eleve al cuadrado las puntuaciones de desviación y sume los cuadrados. Al elevar
al cuadrado cada puntuación de desviación desaparecen los signos negativos.
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X − X = puntuación de desviación para un valor de X
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Divida la suma de cuadrados entre n. Esto nos da la variación promedio (la media
de la suma de cuadrados) de la muestra. De esta forma ajustamos la suma de cuadrados en
proporción al número de casos en la muestra. Luego de dividir la suma de cuadrados por el
tamaño de la muestra, el resultado se llama varianza. La varianza es la variación promedio
de las puntuaciones en una distribución.
Saque la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar. La
varianza es absolutamente aceptable para cálculos; pero no se interpreta de manera directa
porque las unidades de medida están al cuadrado. Así, para regresar a la unidad de medida
única, sacamos la raíz cuadrada de la varianza.
La distribución normal
Además de proporcionar un estándar de comparación entre variables y muestras diferentes,
bajo condiciones apropiadas a la media y la desviación estándar ofrecen una riqueza de
información. Éste es el caso cuando una variable tiene una distribución de puntuaciones que
es normal —formada como la curva de distribución normal—. Como lo definimos en el
capítulo 4, una distribución normal es simétrica, con su media, mediana y moda iguales entre
sí y localizadas en el centro de la curva. Sin embargo, la simetría o balance de la curva
representa la imagen completa. La curva normal también tiene una forma de campana
inconfundible, que no es muy plana ni demasiado puntiaguda. Muchas variables se
distribuyen normalmente (como altura, peso, inteligencia, etc.) Sin tener en cuenta qué
variable se examina, si está normalmente distribuida, posee las propiedades de una curva
normal.
Comprender el fenómeno de normalidad es un aspecto importante de la imaginación
estadística. Muchos fenómenos que ocurren naturalmente tienen distribuciones de frecuencias
que tienen la forma de campana de la curva normal. La curva normal ilustra el hecho de que
cuando nos desviamos más allá de la media, esperamos encontrar cada vez menos casos. Por
ejemplo, la altura física se distribuye normalmente; la mayoría de las personas está cerca del
promedio, con unas cuantas personas muy altas y muy bajas.
Uno de los rasgos más sobresalientes del fenómeno de normalidad que ocurre
naturalmente es que ofrece predicciones precisas sobre cuántas puntuaciones de una población
caen dentro de cualquier rango de puntuaciones. Para cualquier variable normalmente
distribuida:
1. Cincuenta por ciento de las puntuaciones caen por encima de la media, y 50 por ciento,
debajo. Esto se debe al hecho de que la mediana es igual a la media.
2. Virtualmente todas las puntuaciones caen dentro de 3 desviaciones estándar a partir de
la media en ambas direcciones. Esto es, una amplitud de 6 desviaciones estándar. La
cantidad precisa es 99.7 por ciento. El restante 0.3 por ciento de casos (es decir, 3 casos
de cada 1000) caen fuera de 3 desviaciones estándar y, teóricamente, la curva se
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l i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c a
p a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”
Lo que vuelve a la desviación estándar una herramienta estadística tan valiosa es que
constituye una parte matemática de la curva normal. Cuando usted sigue la curva desde su
centro (es decir, su pico) en cualquier dirección, la curva cambia de forma para acercarse al
eje de las x. Desde el pico, el punto en el cual la curva empieza a cambiar hacia fuera es 1
desviación estándar de la media.
SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
CÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
Compendio
Material
de los de
lectura 2
capítulos
IV y V del
extiende hacia el infinito en ambas direcciones. (Prácticamente hablando, las
puntuaciones para algunas variables, como el peso corporal, tienen límites finitos.)
3. Cerca del 95 por ciento de las puntuaciones de una variable normalmente distribuida
caen dentro de una distancia de 2 desviaciones estándar, en ambas direcciones de la
media.
4. Aproximadamente 68 por ciento de las puntuaciones de una variable normalmente
distribuida caen dentro de una distancia de 1 desviación estándar, en ambas direcciones
de la media.
Tenga presente que la distribución normal tiene características muy predecibles. Si una
variable se distribuye en esta peculiar forma de campana, podemos utilizar los estadígrafos
de la muestra y lo que sabemos respecto de la curva normal, para estimar cuántas
puntuaciones en una población caen dentro de cierto rango (ver figura 9).
FIGURA 9
La relación de la
desviación estándar
con la curva normal.
X
-3DE
-2DE
-1DE
0
+1DE
+2DE
+3DE
68%
95%
Para ilustrar la utilidad de la curva normal, sigamos el ejemplo siguiente: una muestra
de mujeres estudiantes de la universidad local, donde X = peso, el peso medio es de [60 kilos],
y la desviación estándar es de 2 kilos. Como se grafica en la figura 10, asumiendo la
normalidad, podemos hacer las siguientes estimaciones de los pesos de la población de
mujeres estudiantes en la universidad local:
1. La mitad de estas puntuaciones pesa arriba de 60 kilos.
2. Cerca del 68 por ciento de las mujeres estudiantes de la universidad local pesan entre
58 y 62 kilos.
3. Aproximadamente el 95 por ciento de las mujeres estudiantes de la universidad local
pesan entre 56 y 64 kilos.
4. Muy pocas pesan menos de 54 kilos o más de 66 kilos.
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p a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”
99%
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CÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
X = peso
sX = 2 kilos
X = 60 kilos
X
54
56
58
60
62
64
66
-3DE
-2DE
-1DE
0
+1DE
+2DE
+3DE
X (kilos)
68%
95%
99%
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p a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”
FIGURA 10
Uso de la curva
normal para estimar el
peso (X) en la
distribución de
mujeres estudiantes en
la universidad local.
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Material
de los de
lectura 2
capítulos
IV y V del
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