Solución - IES Francisco Ayala

IES Mediterráneo de Málaga
Solución Julio 2010
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción A
αx − y + 2 z = 1

Ejercicio A.1- Discutir el siguiente sistema en función del parámetro α  x − 2 y = 0
 αx + y − z = 1

Resolver el sistema para α = 1
α −1 2
1
A = 1 − 2 0 = 2α + 2 + 4 α − 1 = 6 α + 1 ⇒ Si A = 0 ⇒ 6 α + 1 = 0 ⇒ 6 α = −1 ⇒ 6 α = −
6
α 1 −1
 1
∀α ∈ ℜ − −  ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
 6
Si α = −
 1
−
 6
 1
− 1
 6

1
6

2 1  1
6 − 12 − 6   1 6 − 12 − 6   1 6 − 12 − 6 

 
 
 
− 2 0 0 ≡  1 − 2
0 0  ≡  0 − 8 12 6  ≡  0 − 2
3 2 ≡

− 3 0 
− 6 6   0 12 − 18 0   0 2
1 − 1 1   − 1 6

 1 6 − 12 − 6 


≡ 0 − 2
3 2  ⇒ Sistema Incompatible
0 0
0 2 

−1
Si α = 1
1 − 1 2 1  1 − 1 2 1   1 − 1 2 1 

 
 

−2 2
= ⇒
 1 − 2 0 0  ≡  0 − 1 − 2 − 1  ≡  0 − 1 − 2 − 1  ⇒ −7 z = −2 ⇒ z =
−7 7
1 1 − 1 1 0 2 − 3 0  0 0 − 7 − 2 

 
 

2
4 3
3
2
3 4 6
= −1 ⇒ y = 1 − = ⇒ x − + 2 ⋅ = 1 ⇒ x = 1 + − = ⇒
7
7 7
7
7
7 7 7
6 3 2
Solución (x , y , z ) =  , , 
7 7 7 
− y −2⋅
1
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Solución Julio 2010
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio A.2.- Se consideran los puntos del espacio A(4 , 1 , 1) y B(2 , u , 3).Los puntos A y B son
simétricos respecto a un plano.
Calcular de forma razonada la ecuación de dicho plano en función de u.
¿Existe algún valor de u para el cual el punto (0 , 0 , 0) pertenezca al plano?
El vector AB es perpendicular al plano π , por lo tanto es el vector director de él. Además un punto del plano
es el punto P punto medio de los puntos dados. El vector AB y el vector PG, siendo G el punto generador o
genérico del plano, son perpendiculares y su producto escalar es nulo y la ecuación pedida del plano
 2 + 4 u + 1 3 + 1  u + 1 
Sabiendo que P (x , y , z ) = 
,
,
, 2
 = 3 ,
2
2  
2

 2

AB = v π = (2 , u , 3 ) − (4 , 1 , 1) = (− 2 , u − 1 , 2 )

u +1

 ⇒ v π ⊥ PG ⇒ v π ⋅ PG = 0 ⇒
 u +1  
(
)
PG
x
,
y
,
z
3
,
,
2
x
3
,
y
,
z
2
=
−
−
−
=
−





2
2

 


(− 2 , u − 1 , 2 ) ⋅  x − 3 , y − u + 1 , z − 2  = 0 ⇒ −2 x + 6 − (u − 1)y + u + 1 + 2 z − 4 = 0 ⇒
2

u+1
π ≡ 2 x + (u − 1) y − 2 z − 2 −
=0
2

2
Para que sea punto del plano O(0 , 0 , 0 ) ⇒ 2 ⋅ 0 + (u − 1) ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 − 2 −
−
u+1
u+1
= 0 ⇒ −2 −
=0⇒
2
2
u+1
= 2 ⇒ u + 1 = −4 ⇒ u = −3
2
Ejercicio A.3.- Un comerciante vende café a 2 euros y 75 céntimos el kilo. El comerciante tiene dos tipos de
gastos, el transporte de la mercancía y un impuesto de hacienda. Por cada kilo que vende el transporte le
supone un gasto de 25 céntimos de euro. Para calcular los euros que debe de pagarse a hacienda por el
impuesto hay que dividir el cuadrado de la cantidad de kilos que se vende entre 1200.
Con estos datos calcular el número de kilos que debe de vender el comerciante para que el beneficio sea
máximo y calcular dicho beneficio máximo
Siendo k el número de kilos vendido
k2
k2
dB
2k
⇒ B = 2' 5 ⋅ k −
⇒ B' =
= 2' 5 −
dk
1200
1200
1200
2k
Máximo o Mínimo ⇒ B' = 0 ⇒ 2' 5 −
= 0 ⇒ 3000 − 2 k = 0 ⇒ 2 k = 3000 ⇒ k = 1500 ⇒
1200
d 2B
2
1
B' ' =
=−
=−
< 0 ⇒ Máximo ⇒ k = 1500 kg .
2
1200
600
dk
B = 2'75 ⋅ k − 0' 25 ⋅ k −
B = 2'75 ⋅ 1500 − 0' 25 ⋅ 1500 −
1500 2
= 4125 − 375 − 1875 = 1875 euros
1200
2
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Solución Julio 2010
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio A.4.- La recta tangente en el punto (4 , 0) a la función f(x) = x(x – 4), la gráfica de la función f y el
eje OY limitan un recinto del plano del primer cuadrante.
Trazar un esquema gráfico de dicho de dicho recinto y calcular su área mediante cálculo integral
Ecuación de la recta tan gente en (4 , 0 ) ⇒ f ' (x ) = (x − 4 ) + x = 2 x − 4 ⇒ m = f ' (4 ) = 2 ⋅ 4 − 4 = 4 ⇒
Ecuación ⇒ y − 0 = 4 (x − 4 ) ⇒ y = 4 (x − 4 ) ⇒ g (x ) = 4 (x − 4 )

x=0

 y = 0 ⇒ x (x − 4 ) = 0 ⇒ 
Puntos de corte de las funciones con OX ⇒ 
x − 4 = 0 ⇒ x = 4 ⇒
 y = 0 ⇒ 4 (x − 4 ) = 0 ⇒ x − 4 = 0 ⇒ x = 4

Puntos de corte entre funciones ⇒ x(x − 4 ) = 4 (x − 4 ) ⇒ x 2 − 4 x = 4 x − 16 ⇒ x 2 − 8 x + 16 = 0 ⇒
8± 0
= 4 ⇒ En (4 , 0 )
2
 f (2 ) = 2(2 − 4 ) = 2 ⋅ (− 2 ) = −4 ⇒ f (x ) < 0 ⇒ 0 < x < 4
⇒ f (x ) > g (x )

 g (2 ) = 4 (2 − 4 ) = 4 ⋅ (− 2 ) = −8 ⇒ g (x ) < 0 ⇒ 0 < x < 4
∆ = (− 8 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 64 − 64 = 0 ⇒ x =
2
5
Y
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
X
-5
-10
-15
-20
4
4
0
0
4
4
4
0
0
0
(
)
4
A = ∫ 4 (x − 4 ) dx − ∫ x(x − 4 ) dx = − ∫ 4 (x − 4 ) dx + ∫ x(x − 4 ) dx = ∫ x 2 − 4 x dx − ∫ (4 x − 16 ) dx
4
(
)
4
(
)
A = ∫ x 2 − 4 x − 4 x + 16 dx = ∫ x 2 − 8 x + 16 dx =
0
0
(
)
(
[ ]
1 3
⋅ x
3
4
0
0
[ ]
1
− 8 ⋅ ⋅ x2
2
4
0
+ 16 ⋅ [x ]0
4
)
1
64
64 2
A = ⋅ 4 3 − 0 3 − 4 ⋅ 4 2 − 0 2 + 16 ⋅ (4 − 0 ) =
− 64 + 64 =
u
3
3
3
3
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Solución Julio 2010
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio A.5.- Un cubo sólido de madera de lado 20 cm. se pinta de rojo. Luego, con una sierra, se hacen
cortes paralelos a las caras, de centímetro en centímetro, hasta obtener
203 = 8000 cubitos de lado 1 cm. ¿Cuántos de estos cubitos tendrán, al menos, una cara pintada de rojo?
Con una sola cara pintada 182 . 6 caras = 324 . 6 = 1944
Pintado en dos caras 18 . 12 aristas = 216
Pintado en tres caras 1 . 8 vértices = 8
Total = 2168 cubitos
4
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Solución Julio 2010
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción B
 x + y + αz = 1

Ejercicio B.1- Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones  x + αy + z = 1 en función
 x+ y+z =1

del parámetro α
Resolver en los caso de indeterminación
1 1 α
A = 1 α 1 = α + 1 + α − α 2 − 1 − 1 = −α 2 + 2α − 1 ⇒ Si A = 0 ⇒ −α 2 + 2α − 1 = 0 ⇒ α 2 − 2α + 1 = 0 ⇒
1 1 1
2± 0
=1
2
∀α ∈ ℜ − {1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
∆ = (− 2 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 0 ⇒ x =
2
Si α = 1
 1 1 1 1  1 1 1 1 

 

 1 1 1 1 ≡  0 0 0 0  ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
 1 1 1 1  0 0 0 0 

 

x + y + z = 1 ⇒ x = 1 − y − z ⇒ Solución(1 − λ − η , λ , η)
Ejercicio B.2.- Calcular la distancia del punto P = (3 , 2 , -1) a la recta que pasa por los puntos A = (0 , 1 ,
2) y B = (1 , 0 , 2)
Describe de forma razonada los pasos seguidos para dicho cálculo.
Calcularemos un plano π que contiene al punto P y que es perpendicular a la recta AB, para ello
utilizaremos como vector director del plano el de la recta que es perpendicular al vector formado por P y el
punto genérico G, siendo su producto escalar igual a cero y la ecuación del plano buscado. Después
hallaremos el punto Q de intersección de la recta AB con el plano hallado y la distancia de P a Q es la
distancia pedida
 AB = v π = (1 , 0 , 2 ) − (0 , 1 , 2 ) = (− 1 , − 1 , 0 ) ≡ (1 , 1 , 0 )
⇒ v π ⊥ PG ⇒ v π ⋅ PG = 0 ⇒

 PG = (x , y , z ) − (3 , 2 , − 1) = (x − 3 , y − 2 , z + 1)
(1 , 1 , 0 ) ⋅ (x − 3 , y − 2 , z + 1) = 0 ⇒ x − 3 + y − 2 = 0 ⇒ π ≡ x + y − 5 = 0
x=2
 x=λ



AB ≡  y = 1 + λ ⇒ λ + (1 + λ ) − 5 = 0 ⇒ 2λ − 4 = 0 ⇒ 2λ = 4 ⇒ λ = 2 ⇒ Q  y = 1 + 2 = 3 ⇒ Q(2 , 3 , 2 )
 z=2

z=2


d (P , π ) = d (P , Q ) =
(3 − 2 )2 + (2 − 3)2 + (− 1 − 2 )2
= 12 + (− 1) + (− 3 ) = 1 + 1 + 9 = 11 u
2
2
Ejercicio B.3.- Calcular el punto de la gráfica de la función f(x) = x2 – 6x + 8 en que la tangente en dicho
punto es paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. Hacer una representación gráfica y calcular
dicha recta tangente
5
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ecuación de la bi sec triz y = − x ⇒
 f ' (x ) = 2 x − 6
5
5
5 5
⇒ f ' (x ) = m ⇒ 2 x − 6 = −1 ⇒ 2 x = 6 ⇒ x = ⇒ f   =   − 6 ⋅   + 8 ⇒

2
2 2
2
 m = −1
25
25
25 − 28
3
3
5  4 y + 3 − 2x + 5
 5  25 30

f =
−
+8=
− 15 + 8 =
−7 =
= − ⇒ y + = (− 1) ⋅  x −  ⇒
=
2
4
4
4
4
4
2
4
2
2 4

4 y + 3 − 4 x + 10
7
=
⇒ 4 x + 4 y − 7 = 0 ⇒ 4 y = 7 − 4 x ⇒ y = − x ⇒ Ecuación de la recta tan gente
4
4
4
2
Y
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
X
2
1
0
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2
-3
-4
-5
Ejercicio B.4.- Explicar brevemente en que consiste el método de integración por partes, y aplicarlo para el
cálculo de la integral indefinida que sigue:
∫ (2 x + 3) sen (5 x + 7 ) dx
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
Se descompone el integrando en dos partes, u y dv, y utilizamos la fórmula:
∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du
Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de
reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso.
6
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Ejercicio B.4
1
 1
I = ∫ (2 x + 3) sen (5 x + 7 ) dx = (2 x + 3) ⋅  −  ⋅ cos (5 x + 7 ) − ∫ − ⋅ cos (5 x + 7 ) ⋅ 2 dx
5
 5
2 x + 3 = u ⇒ 2 dx = du


sen (5 x + 7 ) dx = dv ⇒ v = sen (5 x + 7 ) dx = − 1 ⋅ cos (5 x + 7 )
∫

5
dt 1
1
1
∫ sen (5 x + 7 ) dx = ∫ sen t 5 = 5 ∫ sen t = − 5 ⋅ cos t = − 5 ⋅ cos (5 x + 7 )
dt
5 x + 7 = t ⇒ 5 dx = dt ⇒ dx =
5
2x + 3
2
I = ∫ (2 x + 3) sen (5 x + 7 ) dx = −
⋅ cos (5 x + 7 ) + ∫ cos (5 x + 7 ) dx
5
5
2x + 3
2
dt
2x + 3
2
I =−
⋅ cos (5 x + 7 ) + ∫ cos t
=−
⋅ cos (5 x + 7 ) +
cos t dt
5
5
5
5
25 ∫
2x + 3
2
2x + 3
2
I =−
⋅ cos (5 x + 7 ) +
⋅ sen t = −
⋅ cos (5 x + 7 ) +
⋅ sen (5 x + 7 ) + K
5
25
5
25
Ejercicio B.5.- De entre los 100 primeros números naturales, se consideran aquellos que no son múltiplos
de 3. Calcular de forma razonada la suma de dichos números
Hallaremos la suma de los 100 primeros números que es una seria aritmética, que comienza en 1 y termina
en 100 con 100 números de diferencia de diferencia 1
Hallaremos la suma de los 100 primeros números que son múltiplos que es una serie aritmética, que
comienza en 3 y termina en 99 diferencia 3, tendremos que hallar cuantos son los miembros de la serie
Después restaremos ambos resultados
Sabiendo que la suma de una serie aritmetica es S 1− n =
(a1 + a n ) ⋅ n
2
 a1 = 1
a = 100
(1 + 100 ) ⋅ 100 = 101 ⋅ 50 = 5050
 100
⇒ S 1−100 =

2
 d =1
 n = 100
a1 = 3


a n = 99
(1 + 99 ) ⋅ 33 = 50 ⋅ 33 = 1650

⇒ S 1−33 =

d =3
2

96
⇒ n = 33
99 = 3 + (n − 1) ⋅ 3 ⇒ n − 1 =
3

Suma pedida = 5050 − 1650 = 3400
7