Cuestiones resueltas tema 1

CUESTIONES RESUELTAS 1. VECTORES Y MATRICES
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS. 1º GRADO GESTIÓN AERONAÚTICA
1. Sea el conjunto de vectores
} tal que
a. El conjunto M es linealmente independiente.
b. El conjunto M tiene rango 2
c. El conjunto M tiene rango 1.
entonces se verifica:
2. Sea el conjunto de vectores M=
se verifica:
a. Si rg(M)=2 entonces los dos vectores no son proporcionales
b. Si rg(M)=1 entonces
para cierto valor real k
c. Si M es un conjunto linealmente dependiente entonces rg(M)=2
d. Si M es un conjunto linealmente independiente entonces rg(M)<2
un vector no nulo. Entonces se verifica:
3. Sea
a.
b. El vector
es un vector unitario
c. Si
es un vector no nulo perpendicular a
entonces
4. El conjunto de vectores M={(1,1,2,1), (0,2,3,1), (2,0,a,1)} verifica que:
a. Es linealmente independiente para todo a número real ya que Rg(M)=3
b. Si a=1, M es un conjunto linealmente dependiente.
c. Los vectores son siempre linealmente independientes ya que
(2,0,a,1)=2(1,1,2,1)-(0,2,3,1)
5. Sean A y B dos matrices cuadradas y simétricas de orden n. Entonces se verifica
que:
a. La matriz AB también es simétrica pues (AB)t=AtBt=AB
b. Si AB=BA entonces AB es simétrica pues en ese caso (AB)t=(BA)t =
=AtBt=AB
c. A+B es una matriz simétrica de orden n
6. Decimos que una matriz A es idempotente si AA=A2=A. Consideremos A una
matriz idempotente, entonces se verifica:
a. AB es una matriz idempotente.
b. La matriz identidad de orden n es una matriz idempotente.
c. La matriz nula de orden n no es una matriz idempotente
7. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, entonces se verifica:
a.
b. En general
c. A B = B A
8. ¿Cuáles de las siguientes propiedades de los determinantes no es cierta?
a. Si una línea de un determinante tiene todos sus elementos nulos, el
determinante es nulo.
b. Matrices cuadradas del mismo orden, distintas entre sí pueden tener el
mismo determinante
c. El determinante de una matriz regular es el inverso del determinante de su
matriz
d. Siendo A y B dos matrices cuadradas del mismo orden, se cumple que el
determinante de la suma de ambas es el determinante de su diferencia
1 2
9. El valor del determinante
3
5
0 1 2 3
es:
0 0 −1 −1
0 1
1
2
a. 1
b. 0
c. -1
d. Ninguno de los anteriores.
10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es correcta?
a. Una matriz regular o no singular tiene determinante distinto de 0
b. El rango de una matriz de dimensión (3,4) no puede ser superior a 3.
c. La inversa de la inversa es la matriz original
d. Una matriz y su traspuesta pueden tener distinto determinante.
1 2 3


11. Sea la matriz A =  0 2 1  . Señale cuál de las siguientes afirmaciones es
1 0 x


correcta.
a. Esta matriz nunca es singular.
b. Esta matriz siempre es regular
c. Se trata de una matriz simétrica
d. Si x=2 su rango es 2.
12. Sean A y B dos matrices cuadradas no nulas de orden n tales que B2=AB.
Entonces, se verifica que |A|=|B|.
 0 2
1 1
. y.B = 
 se tiene
2
0
1
1




a. Falso, ya que si tomamos las matrices A = 
que B2=AB y, sin embargo, |A|≠|B|.
b. Verdadero, pues como B2=AB, entonces B2-AB=(B-A)B=0n y, dado que B≠0n,
se obtiene que A=B. En consecuencia |A|=|B|.
c. Verdadero, dado que al ser B2=AB, entonces |B|2=|A||B| y, por tanto se
obtiene que |B|=|A|.
d. En general es falso, aunque sería cierto si B fuese invertible pues en este
caso, como B2=AB resulta que B2B-1=ABB-1, y en consecuencia, B=A.
1

13. Sea la matriz A =  a
a2

1
b
b2
1

c  donde a,b y c son números reales distintos
c 2 
entre sí. Entonces se verifica que |A|≠0.
a. Verdadero, ya que
1
| A |= a
a2
1
b
b2
1
1
c = a
c2 a2
0
b−a
b2 − a2
0
c − a = (b − a )(c − a )(c − b)
c2 − a2
b. Falso, ya que por ejemplo si a=0, b=1, c=2, se obtiene que |A|=0.
c. Falso, |A|=0 ya que la segunda y tercera fila son proporcionales.
a b 
 una matriz tal que |A|≠0. Entonces la matriz
c
d


 2b − d d 
 tiene rango 2.
B = 
−
2
a
c
c


14. Sea A = 
a. Verdadero, pues |B|=2bc-2ad=-2|A|≠0.
b. Falso, rg(B)<2 pues sus columnas son linealmente dependientes.
c. Verdadero, pues por las propiedades de los determinantes:
| A |=
a b
c d
=
a
c
b d
=−
b d
a
c
=−
1 2b d
1 2b − d
=−
2 2a c
2 2a − c
d
c
=
−1
| B |, y,
2
por tanto |B|≠0.
d. Verdadero, pues como B se obtiene haciendo combinaciones lineales a
partir de las filas de A, entonces |B|=|A|≠0.
b b b 


15. Dada la matriz A =  b a 0  se verifica que para todo a,b∈R, el determinante
b 0 a


de A es nulo.
a. Falso, ya que si a=b=1 el conjunto de los vectores columna
 1
1
1
 
 
 
u = 1, v =  1 , w =  0 
 1
0
1
 
 
 
tiene rango 3 y en consecuencia |A|≠0.
b. Verdadero, ya que la primera fila de A es igual a su primera columna.
c. Falso, ya que
1 1 1
b a
1 1
| A |= b b a 0 = b
+ ba
= ab(a − 2b)
b 0
b a
b 0 a
y para a≠0, b≠0 y a≠2b el determinante de A es no nulo.
x + y + z = 1

2
16. El sistema de ecuaciones  x + y + z = b
es incompatible para cualquier valor
x + y + z = b 4

de b∈R.
a. Falso, para b=1 ó b=-1, el sistema tiene solución
b. Verdadero, pues el rango de la matriz de coeficientes es 1 y el rango de la
matriz ampliada es siempre mayor que 1.
c. Verdadero, pues todo sistema que verifica que el rg(A) (donde A es la matriz
de coeficientes del sistema) es menor que el número de incógnitas es
compatible indeterminado.
17. Dada una matriz A∈Mmxn y dos vectores b, c ∈ R , si el sistema A x = b es
m
compatible determinado entonces se verifica que el sistema A x = c es también
compatible determinado.
a. Falso, sería verdadero si m=n.
b. Falso, pues no se puede asegurar la compatibilidad del sistema A x = c .
c. Verdadero. En efecto, si A x = b. y. A x = c entonces b = c y por tanto los
sistemas son equivalentes.
2
 4 
1 0
 
 


d. Verdadero, pues si A =  0 1  y b =  − 1 , c =  − 2  ambos son sistemas
2
 2 
1 1
 
 


compatibles determinados.
x + y + z = 0
18. Sea el sistema de ecuaciones 
Entonces la solución del sistema es:
 2x − y = 0
a. z=-3x; y=2x
b. Sólo admite la solución x=0, y=0, z=0
c. x=y=z
d. No admite ninguna solución.
19. Sea un sistema de ecuaciones Ax=b con más incógnitas que ecuaciones. Señalar
cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
a. El sistema nunca puede ser compatible
b. El sistema puede ser compatible determinado
c. El sistema, si es compatible, será compatible indeterminado
d. Todas las afirmaciones son incorrectas.
20. Si a,b,c, son tres números reales no nulos, distintos y no proporcionales entre sí
(dos a dos) entonces dado el sistema
ax1+bx2+cx3=0
2ax1+2bx2+2cx3=0
bx1+cx2+ax3=0
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?
a.
b.
c.
d.
Sólo tiene la solución trivial
Es un sistema incompatible
Tiene infinitas soluciones, entre ellas la trivial
Es un sistema compatible determinado.
21. El sistema de ecuaciones lineales
 x + ay + z = 1

 x + ay + z = a
es compatible indeterminado solamente si a ≠ 1.
a. Falso, porque si a ≠ 1. las ecuaciones son contradictorias y por tanto el
sistema es incompatible.
b. Falso, el sistema es compatible indeterminado para todos los valores de a ya
que hay menos ecuaciones que incógnitas.
c. Verdadero, pues si llamamos A y A* a las matrices de coeficientes y
ampliada del sistema y a ≠ 1. se verifica que
rg ( A) = rg ( A* ) = 2 < 3 = número.de.incógnitas , y por tanto el sistema es
compatible indeterminado.
22. Sea A una matriz cuadrada de orden 3 y b∈R3 tal que b=a.1 +3a.2. Entonces se
verifica que el sistema Ax=b es compatible indeterminado.
a. Falso, pues el sistema
 1 0 4  x   1 

   
 0 3 0  y  =  9 
 0 0 5  z   0 

   
satisface las condiciones del enunciado y tiene sólo como
solución
x=(1,3,0)
b. Falso, sólo sería verdadero si rg(A)<3.
c. Verdadero, ya que b=a.1+3 a.2 implica que rg(A)=rg(A|b) y por el teorema de
Rouché-Fröbenius el sistema es compatibe indeterminado.
23. Sea la ecuación matricial A.B+C.X=D-E.X. Donde todas las matices son cuadradas
del mismo orden y regulares. Entonces el valor de la matriz X es:
a. (E+C)-1.(D+A.B)
b. (D+A.B).(E+C)-1
c. (D-AB).(E+C)-1
d. (E+C)-1.(D-AB)
24. En una matriz cuadrada de orden n, la tercera columna es 5 veces la primera. En
estas condiciones, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a. Su rango es n.
b. La matriz se puede invertir
c. Su rango es menor que n.
d. Su rango es 1.
25. Sea la ecuación AX+B=Y., donde A es una matriz cuadrada de orden 3 regular, B
es una matriz cuadrada de orden 3 e Y es una matriz unitaria de orden 3. En tales
condiciones X, matriz cuadrada de orden 3 vale:
a. X=A-1(Y-B)
b. X=(Y-B)A-1
c. X=B(Y-A)-1
d. X=B-1(A-Y)
 2 3
x
; B = 
 0 1
z
26. Dadas las matrices: A = 
y
1 0
; I = 
 . Se sabe que A.B=I.
v
0 1
En tales condiciones la matriz B es:
1 / 2 1 / 3 

1 
 0
a. 
b. No existe ninguna matiz que cumpla dicha condición.
c. Es la propia matriz A
1 / 2 − 3 / 2 

1 
 0
d. 
1 1 1


27. Dada la matriz A =  2 2 2  . Señalar la afirmación que es INCORRECTA:
5 5 x


a.
b.
c.
d.
Si x=5 su rango es 1.
Para ningún valor de x dicha matriz es regular.
Si x=5 la matriz es singular.
Si x ≠ 5 su rango es 3.