Relación 6 1. Sea f ∈ L p(R) para algún 1 <p< ∞. Probar que la

Relación 6
1. Sea f ∈ Lp (R) para algún 1 < p < ∞. Probar que la función g(x) =
en L1 (R) y que existe una constante c(p) tal que
kgk1 ≤ c(p)kf kp
f (x)
1+|x|
está
.
¿Qué ocurre si p = ∞ ?. Encontrar dos funciones f y g en L1 ([0, 1]) tal que
fg ∈
/ L1 ([0, 1]).
α
2. Si f (x) = 1/kxk en R3 y 1 ≤ p < +∞, determinar los valores de α para los que
f ∈ Lp (B1 ). ¿ Cuáles son los valores de α para los que f ∈ Lp (R3 \ B1 ) ?. Estudiar
la respuesta a las mismas preguntas cambiando el espacio R3 por Rn , n ≥ 1.
3. Estudiar la convergencia puntual, uniforme, en L1 (R) y en L2 (R) de las sucesiones de funciones
2
−3 −n/(2x2 )
nx
e
n
ne−x
1 sin (π/x) ,
1
,
, ℵ[ n+1
,n]
n2 x2 + 1
n2 x2 + 1
2
1
4. Si g(x) = 1+x
2 , comprobar las siguientes afirmaciones:
q
(a) g ∈ L (R) para todo 1 ≤ q ≤ ∞.
(b) Si {fn } es una sucesión de funciones que converge a f en L2 (R), entonces
Z
Z
fn (x)
f (x)
lim
dx =
dx .
2
n→+∞ R 1 + x2
R 1+x
5. Probar las siguientes afirmaciones:
0
(a) Si 1 ≤ p ≤ ∞, fn → f en Lp (dµ) y gn → g en Lp (dµ), entonces fn gn → f g
en L1 (dµ).
(b) Si c es la medida de contar en N y 1 ≤ p < ∞,
p
L (dc) = lp = {{xn } ⊂ R :
+∞
X
|xn |p < +∞}
n=0
y
k{xn }kp =
+∞
X
! p1
|xn |p
.
n=0
∞
(c) ¿Qué es L (dc) = l∞ ?.
(d) Escribir la desigualdad de Hölder asociada a los espacios lp y lp0 si
y 1 ≤ p < ∞ en términos de sucesiones.
1
p
+ p10 = 1
6. Probar que las siguientes afirmaciones son ciertas:
(a) Si µ(X) < +∞, ϕ : R −→ R+ es una función convexa y f : X −→ R es
medible, entonces
Z
Z
1
1
ϕ
f dµ ≤
ϕ ◦ f dµ (Desigualdad de Jensen).
µ(X)
µ(X)
1
2
Escribir la desigualdad correspondiente para ϕ(x) = x2 , ϕ(x) = ex , X = [a, b]
y dµ = dx.
(b) Si µ(X) < ∞, f ∈ Lq (dµ) y 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces f ∈ Lp (dµ) y
1
1
µ(X)− p kf kp ≤ µ(X)− q kf kq
.
Esto muestra que bajo dichas hipótesis, Lq (dµ) ⊂ Lp (dµ). En particular, el
espacio Lq ([0, 1]) está contenido en Lp ([0, 1]) si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞.
(c) Lq ([0, 1]) ( Lp ([0, 1]) si 1 ≤ q < p ≤ ∞.
(d) Probar que en R ninguna de las inclusiones Lp (R) ⊂ Lq (R) es cierta para
p 6= q.
(e) Si f ∈ Lp (R) ∩ Lq (R) para algún par 1 ≤ p < q ≤ ∞, entonces f ∈ Lr (R)
para todo r tal que p ≤ r ≤ q.
(Sugerencias: En (a) y (b) se puede suponer para simplificar que µ(X) = 1.
Mostrar primero que (a) es cierto para f = S una función simple y positiva. (b)
se puede probar utilizando (a) con ϕ(x) = xq/p o con la desigualdad de Hölder
haciendo g ≡ 1. Para (e), dividir la integral en dos regiones, donde |f | ≤ 1 y donde
|f | > 1).
Rt
7. Si T (f )(t) = 0 f (s)ds, mostrar que V es un operador lineal acotado de H =
L2 (0, 1) en sı́ mismo, con norma kV k ≤ √12 en L(H, H).
8. Comprobar las siguientes afirmaciones,
√
(a) f / x ∈ L1 ([0, 1]) si 2 < p ≤ ∞ y f ∈ Lp ([0, 1]).
(b) El operador,
Z x
f (y)
T (f )(x) =
√ dy ,
y
0
es lineal y acotado de Lp ([0, 1]) en L∞ ([0, 1]) si 2 < p ≤ ∞.
9. Sea K(x, y) =
1
y 1/3 x1/4 (x+y+1)
. Mostrar que,
(a) K ∈ L2 ((0, 1) × (0, 1)).
R1
(b) El operador, T (f )(x) = 0 K(x, y)f (y)dy, es lineal y acotado de L2 (0, 1) en
L2 (0, 1).
√
R
|x−y|
10. Sea T (f )(x) = R 1+(x−y)2 f (y) dy. Mostrar que T es un operador lineal y
acotado de L2 (R) en L∞ (R) y que su norma, kT k, verifica la desigualdad, kT k ≤ 1.
11. Sea
Z
T f (x) =
0
+∞
√
x
f (y) dy
1 + xy
si
x>0
.
Probar que T es un operador lineal y acotado de L2 (0, +∞) en L∞ (0, +∞) cuya
norma verifica, kT k ≤ 1.
12. Probar las siguientes afirmaciones:
3
(a) Sea w ≥ 0 y µ la medida definida por µ(E) =
f : R −→ R+ es medible,
Z
R
E
w(y)dy. Entonces, si
Z
f (y)dµ(y) =
R
f (y)w(y)dy
.
R
(b) Escribir la desigualdad de Hölder para los espacios Lp (wdx).
(c) Si 1 ≤ p < ∞, f ∈ Lp (R) y g ∈ L1 (R), entonces f ∗ g ∈ Lp (R) y
kf ∗ gkp ≤ kf kp kgk1
.
1
(Sugerencia : Para (c), observar que, |g(y)| = |g(y)| p
Hölder mostrar que
p
Z
|f ∗ g| (x) ≤
p
y con la desigualdad de
p/p0
Z
|f (x − y)| |g(y)|dy
Rn
+ p10
|g(y)|dy
Rn
Integrar esta desigualdad con respecto a la variable x).
.