Uno – Revista - Incontri con la Matematica

801. D’Amore B. (2013). Frases que determinaron y dirigieron mi investigación. Uno – Revista de Didáctica
de la Matemática. [Barcelona, España]. 19, 62, 71-84. ISSN: 11339853.
Frases que determinaron y dirigieron mi investigación1
Bruno D’Amore
NRD Bologna - Mescud Bogotá Doctorado Interinstitucional en educación, Énfasis en Educación
Matemática, Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”, Bogotá, Colombia
[email protected]
Abstract. We remember and discuss some of the phrases that have marked the life of the author’s
research, statements obtained during interviews subsequent to research carried out on students and
teachers.
Resumen. Recordamos y discutimos algunas frases que han marcado la vida investigativa del autor,
las declaraciones obtenidas en las entrevistas posteriores a las investigaciones, realizadas con
estudiantes y profesores.
Kay words: research en mathematics education, didactic contract, TEP, mathematical objects,
learning of the mathematical infinity
Palabras llave: investigación en didáctica de la matemática, contrato didáctico, TEP, objetos
matemáticos y semiótica, aprendizaje del infinito
En 40 años de investigación en didáctica de la matemática, he tenido la oportunidad de
entrevistar a miles de estudiantes y varios centenares de profesores de diferentes niveles, desde
el nivel preescolar hasta la universidad.
A distancia de los años, quiero compartir, con quien lee aquellas frases que considero
marcaron mi vida de investigación, las que iluminaron las interpretaciones a las cuales llegué,
que indicaron los caminos que luego decidí recorrer, que condicionaron mis escritos y dictaron
mis estudios.
Teniendo en cuenta que en estos casos se quiere siempre ocultar la identidad de la persona
encuestada con el fin de proteger su privacidad, siempre uso nombres falsos; tanto que hasta
hoy no sé decir de quién estoy hablando en realidad; recuerdo perfectamente los temas de las
investigaciones, los consiguientes temas de la entrevista, el lugar donde cada frase fue
pronunciada, muchas veces también los rostros (algunos de los primeros niños entrevistados
hoy será padre o casi abuelo...). Usaré los nombres de fantasía que acuñé en ese entonces, los
únicos de los cuales puedo dar testimonio.
Cada frase pasará a ser el título de un breve párrafo; siempre citaré el artículo o el texto de
investigación en el cual dicha frase o dicha entrevista son recordadas, esto sólo si, por
1
Trabajo llevado a cabo en el ámbito de la PRIN (Programas Científicos de Investigación de Relevante
Interés Nacional) titulado: La enseñanza de la matemática: concepciones, buenas prácticas y capacitación de
los docentes, 2008, n. prot. 2008PBBWNT, Unidad Local de Bolonia (NRD, Departamento de Matemática):
Capacitar a los profesores de matemática.
casualidad, existe un subconjunto no vacío de mis lectores que quisiera saber más.
Voy a usar la terminología clásica de la didáctica de la matemática, haciendo referencia
implícita a: D’Amore B. (1999). Elementi di didattica della matematica. Bolonia:
Pitágora, una obra afortunada, ganadora de un importante premio en 2000, reimpresa
varias veces, traducida al español [(2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Editorial
Magisterio; con prefacios de Luis Rico Romero, Colette Laborde y Guy Brousseau] y al
portugués [(2007). Elementos da Didática da Matemática. São Paulo: Livraria da Física;
con prefacios de Ubiratan D’Ambrosio, Luis Rico Romero, Colette Laborde y Guy
Brousseau].2
El lector que desconozca algunos de los términos técnicos usados, puede utilizar esta
fuente.
No voy a dar todas las citas de los textos de referencia; quien quiera indagar, profundizar,
hacer más científico lo que lee, se valdrá de los textos que cito, dónde todo esto se
encuentra expuesto en detalle.
1. No, demasiado pequeño.
D’Amore B. (2004). La Didattica della Matematica: l’esempio del contratto didattico. La rivista di
pedagogia e didattica. 2-3, 159-164.
La siguiente situación la presenté en forma oral en un curso de cuarto grado de escuela
elemental, en el mes de mayo (es decir, en Italia, final del año escolar); se trata del
“problema del pastor”: «Un pastor tiene 12 ovejas y 6 cabras, ¿cuántos años tiene el
pastor?»; y solicito, igualmente, la respuesta en forma oral. La respuesta unánime en coro
«18» es impresionante, nunca escuché un coro unánime que expresara su pensamiento
con tanta fuerza. Estamos en el campo del contrato didáctico, clásico, en el fenómeno
definido por los franceses como: La edad del capitán, conocido desde los ’70.
Uno de los niños, juguetón, de quien recuerdo perfectamente el rostro, es entrevistado por
mí:
BD: ¿Por qué has respondido 18?
AL: Hice la suma.
BD: ¿Y por qué no hiciste la división.
El estudiante se detiene un instante, piensa, sonríe con picardía y responde:
AL: No, ¡demasiado pequeño!
Dos observaciones rápidas:
a) ninguna ruptura del contrato es posible en ciertas situaciones estereotipadas de aula;
b) la lógica del problema es invertida con respecto a las expectativas del adulto; primero
se aplica una operación aritmética (casi) al azar, luego se averigua si la respuesta
numérica es apropiada a la solicitud. Nunca se ha visto un pastor de 2 años, mientras que
18 años parece ser una edad razonable.
2. Si tú querías que calculáramos también el regreso, tenías que decirlo.
2
Cuando Guy Brousseau recibió una copia del libro en italiano, me escribió una carta que se ha convertido en
uno de los prólogos de las ediciones en español y portugués; él capturó a la perfección el juego del título
(Elementos de ...) y el número de capítulos (13), cariñosamente burlón y amistoso sobre mi evidente
presunción euclidiana ...
D’Amore B. (2007). Epistemologia, didattica della matematica e pratiche d’insegnamento. La matematica e
la sua didattica. 21, 3. 347-369.
La siguiente situación de investigación (1993) parte de una situación real: los niños de
segundo grado de una escuela elemental quieren hacer una excursión y necesitan hacer
varios cálculos preventivos para los cuales aún no están en capacidad; entonces piden ayuda
a los niños de cuarto grado, quienes afrontan en grupos de 2-3 estudiantes el siguiente
texto:
«Los 18 estudiantes de segundo quieren hacer una excursión de Bologna a Verona. Deben
tener en cuenta los siguientes datos:
- dos de ellos no pueden pagar;
- de Bologna a Verona hay 120 km;
- un minibús de 20 puestos cuesta 200.000 liras al día, más 500 liras por kilómetro
(incluyendo los peajes).
¿Cuánto deberá aportar cada estudiante?».
Al reunir a todos los estudiantes de la clase, el profesor se da cuenta que todos han cometido
el mismo error: en los cálculos que hicieron para dar la respuesta no tuvieron en cuenta el
viaje de regreso; el gasto total se calculó mediante la expresión: 500×120 + 200.000 en lugar
de (500×120)×2 + 200 000.
El maestro no quiere sugerir la respuesta, y decide imitar las escenas de ida y regreso de la
excursión, y de describir los diversos momentos del viaje. Los niños vuelven al escenario de
trabajo en grupo. Un niño, incluso, presenta espontáneamente la siguiente representación:
Bologna
120 Km
Verona
Verona
Bologna
120 Km
Por lo tanto, existe una conciencia plena del hecho de que en una excursión existe tanto una
ida como un regreso; pero después, ese mismo niño, en el momento de proponer la
respuesta, de nuevo utiliza sólo los datos de ida; lo hace él y lo hace también todo su grupo.
¿Cuál es la causa? ¿Contrato didáctico? Ciertamente. Uno de los niños entrevistados dijo:
«Si tú querías que calculáramos también el regreso, tenías que decirlo»; es evidente la
laguna que el niño advierte: leyendo los datos no parece lícito duplicar el gasto por el
kilometraje recorrido. ¿Cómo puedo inventar un dato que no está ahí? Los datos deben ser
numéricos y explícitos.
3. Hijo mío...
D’Amore B., Maier H. (2002). Produzioni scritte degli studenti su argomenti di matematica (TEP) e loro
utilizzazione didattica. La matematica e la sua didattica. 16, 2, 144-189.
D’Amore B., Maier H. (2003). Producciones escritas de los estudiantes sobre argumentos de matemáticas.
Espsilon. (Cádiz, España). 18(2), 53, 243-262.
Los TEP son una poderosa herramienta para el análisis de los modelos espontáneos que
construyen los estudiantes sobre los distintos objetos de la matemática, lo importante es que
dichos TEP sean totalmente autónomos y hechos por escrito. Estos son cada vez más
utilizados para la evaluación en un sentido amplio e inteligente, como una oportunidad
cognitiva y no como un momento de tensión.
La invitación para la producción del texto se obtiene a través de una apropiada incitación,
como por ejemplo la siguiente, que tuvo un gran éxito entre los estudiantes de los primeros
años de secundaria:
«Imagina ser padre [madre]... Tu hijo de 7 años escuchó a alguien decir que cada triángulo
tiene tres alturas y te pregunta: “¿Papá [mamá] ¿qué quiere decir eso?”. No hay nada peor
que evadir las preguntas de un niño, por lo tanto decides contestarle».
Aquí está el TEP producido por Simona (séptimo grado):
«Hijo mío, todavía tu no conoces la geometría, pero te voy a decir lo que significa la palabra
altura. Como tú, papá y yo, tenemos una altura que se mide desde la cabeza hasta los pies;
también los triángulos tienen una altura, pero su altura se mide desde el vértice, que es un
pequeño punto, bajando hasta la base, que es como nuestros pies. Dado que los triángulos
tienen tres pequeños puntos (vértices), tienen tres alturas porque tienen tres pares de nuestros
pies. Y puesto que nosotros sólo tenemos una cabeza y un par de pies, sólo tenemos una
altura».
Una brillante prueba de imaginación y habilidad comunicativa.
4. Serán como veintiún.
No poseo documentos escritos, pero sí tengo la grabación de un diálogo entre dos
compañeros de clase de grado tercero de educación media (octavo grado), en la región de
Toscana. Son un joven y una chica frente a una pizarra en la cual se encuentra el dibujo de
un segmento. La discusión se centra en el número de puntos contenidos en el segmento. La
niña insiste en que se trata de infinitos puntos y el joven se exaspera frente esa afirmación.
De repente, se voltea hacia el pizarrón y “cuenta” los puntos del segmento, mientras que la
chica lo mira atónita. No se ve que es lo que él está haciendo, pero utiliza las dos manos.
Después de un tiempo, sonrojado, se vuelve en parte a la niña y en parte a la cámara y
afirma, enojado y consciente de su cuenta: «¡Serán como veintiún!».
La didáctica del infinito es uno de los temas que más me apasiona; inicia en la infancia y no
termina...
Arrigo G., D’Amore B., Sbaragli S. (2010). Infiniti infiniti. Trento: Erickson.
Arrigo G., D’Amore B., Sbaragli S. (2011). Infinitos infinitos. Bogotá: Magisterio.
5. ... una línea.
D’Amore B. (1996). Un matematico al nido. Infanzia. 5, 32-35
Se narra la descarada creatividad con la que una niña de 2 años y medio interpreta sus
mismos garabatos, frente a la sorprendente crudeza semántica con la que un coetáneo suyo
interpreta, al contrario, su producto pictórico.
Niña: Es una jirafa que camina en una foresta donde está un león que mira un elefante y hay
muchos bananos que los hombres también caminan y están atentos, pues hay un árbol
grande grande que es muy grande y los cazadores que van buscando si hay algo para comer,
pues los crocodilos son peligrosos y no hay ninguna casita así que …
BD: Ah, que bien; y todo esto está aquí, que bueno.
Y, dirigiéndose al otro niño que dibujó el siguiente diseño
diseño.
BD: Y tu, niño, que dibujaste.
Niño: … una línea.
No más! Comentarios inútiles…
6. … pues, en caso contrario, habría sido demasiado fácil.
D’Amore B. (2002). La ricerca in didattica della matematica come epistemologia dell’apprendimento della
matematica. Scuola & Città.. 4, 56-82.
56
Estamos en los primeros años 90. Proponemos el siguiente texto por escrito en el tercer
grado de escuela elemental y en una clase de segunda media (séptimo grado):
grado)
«Giovanna y Paola van de compras;
compras Giovanna gasta 10.000 liras
ras y Paola gasta 20.000 liras.
li
¿Al final quién tiene más dinero en el monedero, Giovanna o Paola?».
Queremos analizar el porcentaje de niños y adolescentes que advierten la imposibilidad de
resolver el problema, para después, en un segundo momento, entrevistar a los estudiantes
que dieran como respuestas «Giovanna» o «Paola». Estamos aún en el contexto de la
investigación sobre el funcionamiento del contrato didáctico.
La respuesta deseada «No se puede resolver» es muy escasa en ambos casos. Y la respuesta
absolutamente más extendida en ambos niveles escolares es «Giovanna», como es obvio que
sea.
Aquí se muestra un prototipo de las respuestas más comunes en el grado tercero; elegí la
respuesta de Stefania, que presento exactamente cómo la escribió la estudiante:
Stefania:
Le queda más dinero en el monedero a giovanna
30-10 = 20
10×10 = 100
A continuación se muestra un prototipo de respuesta al mismo problema en el segundo
media; la presento exactamente cómo la escribió la estudiante:
Silvia:
En mi opinión, quien queda con más dinero en el monedero es Giovanna
porque:
Giovanna gasta 10.000 mientras que Paola gasta 20.000,
10.000
20.00
Giovanna
Paola
20.000 – 10.000 = 10.000 (dinero de Giovanna)
10.000 + 10.000 = 20.000 (dinero de Paola)
En un primer momento, Silvia escribe desde su intuición «Giovanna»; luego, una vez
ejecutados aquellos cálculos absurdos, acepta el resultado que obtiene a partir de estos
últimos, cancela «Giovanna» y en su lugar escribe «Paola».
Ahorro aquí el análisis relativo al contrato didáctico, me limitaré a decir que hay un
porcentaje bajo, pero no nulo, de estudiantes que contesta «Paola». Un niño de tercer grado
entrevistado, explica su elección:
AS: Yo sabía que era Giovanna.
BD: Entonces, ¿por qué has escrito Paola?
AS: … pues, en caso contrario, habría sido demasiado fácil.
A partir de este episodio surgió en mí la idea de estudiar el meta-contrato didáctico y el
deseo de analizar la vida del aula apoyándome en la sociología, trabajos que se concluyeron
con varias publicaciones.
7. Es siempre lo mismo, pero este es mejor.
D’Amore B. (1998). Oggetti relazionali e diversi registri rappresentativi: difficoltà cognitive ed ostacoli –
Relational objects and different representative registers: cognitive difficulties and obstacles. L’educazione
matematica. 1, 7-28.
D’Amore B. (1998). Objetos relacionales y registros representativos diferentes: dificultades cognitivas y
obstáculos. Uno. 15, 63-76.
En 1996, propuse a unos estudiantes de todos los niveles escolares, desde la escuela
elemental hasta la superior, 5 rectángulos de cartón en los cuales estaban escritas frases o
dibujados esquemas o figuras que representaban el mismo objeto matemático, pero en 5
registros semióticos diferentes.
Desde algunos años estaba estudiando la evolución de la obra de Raymond Duval, a quien
había conocido el año anterior en un ICMI (Catania, 1995) y con quien me conecté
inmediatamente con una profunda amistad que aún perdura. De acuerdo con las hipótesis de
investigación, pocos estudiantes habrían podido reconocer en las diferentes representaciones
el mismo objeto; al contrario, deberían haber tenido dificultades con las transformaciones
semióticas de conversión. Pero, fue sorprendente constatar que muchos más estudiantes de
los que esperábamos afirmaron que las representaciones semióticas representaban el mismo
objeto matemático (obviamente con sus palabras, no tan directas y correctamente). Yendo
un poco más a fondo, en cambio, he aquí la respuesta reveladora de un joven de la escuela
superior:
CD: Es siempre lo mismo, pero este es mejor.
Fue fulminante; cuando le conté a Raymond a Lille, me hizo mil preguntas; la idea básica es
que, si una persona con estudios avanzados, después de un cierto recorrido de aprendizaje,
acepta que el objeto matemático sea el mismo pero representado de 5 formas diferentes,
entonces una representación vale la otra y no hay una que prevalece o pueda ser preferida
sobre la otra. Pero si una es “mejor” que las otras, entonces hay que comenzar todo de nuevo
para estudiar lo que significa comprender, conocer, construir el objeto a través de sus
representaciones semióticas como una cuestión cultural. Hasta entonces no conocía los
estudios de Luis Radford, otro gran amigo con quien ahora tengo escritos comunes, con
quien se han hechos estudios y he trabajado bastante.
8. Si utilizas un dado de 8 caras, entonces sí.
D’Amore B. (2006). Oggetti matematici e senso. Le trasformazioni semiotiche cambiano il senso degli oggetti
matematici. La matematica e la sua didattica. 4, 557-583.
Sobre la base de estudios de investigación basados en el tema 7 anterior, nos hemos dado
cuenta que no es cierto que el problema complejo de la construcción semiótica sea sólo la
transformación de conversión, ya que el tratamiento tiene problemas abiertos. Nos
encontramos con alumnos de escuela primaria quienes admiten fácilmente que 3/6 expresa
la probabilidad de obtener un número par lanzando un dado y que 3/6 = 4/8 (transformación
de tratamiento), pero no admitieron que 4/8 podría, por lo tanto, expresar la misma
probabilidad. Lo más extraño es que el mismo profesor intervino para apoyar la no
aceptación por parte de los estudiantes de que 4/8 podía expresar la probabilidad de este
evento. Su conocimiento de los sólidos platónicos y de los dados no estándar, lo llevó a la
afirmación:
M: Si utilizas un dado de 8 caras, entonces sí.
Desde ese día, varios investigadores del NRD de Bologna y del MESCUD de Bogotá se han
puestos a estudiar el cambio de significado relacionado con la transformación de
tratamiento, realizando la publicación de varios trabajos de investigación; sólo para señalar:
D’Amore B. (2006). Objetos, significados, representaciones semióticas y sentido. En: Radford L., D’Amore B.
(editores) (2006). Semiotics, Culture and Mathematical Thinking. Número especial de la revista Relime
(Cinvestav, México DF., México). 177-196. http://laurentian.ca/educ/lradford/Relime_semiotic_06.pdf
D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I. (2007). How the sense of mathematical objects changes when their semiotic
representations undergo treatment and conversion. La matematica e la sua didattica. 21, 1, 87-92. Atti del:
Joint Meeting of UMI-SIMAI/SMAI-SMF: Mathematics and its Applications. Panel on Didactics of
Mathematics. Dipartimento di Matematica, Universidad de Turín, 6 julio 2006.
D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I. (2007). Change of the meaning of mathematical objects due to the passage
between their different representations. How other disciplines can be useful to the analysis of this phenomenon.
Rome, Symposium on the occasion of the 100th anniversary of ICMI, March 2008. WG5: The evolution of
theoretical framework in mathematics education, organizers: Gilah Leder and Luis Radford.
www.unige.ch/math/EnsMath/Rome2008
El tema ha dado lugar a diversas investigaciones de tesis doctorales; señalo el artículo publicado por uno de
mis ex-estudiantes sobre esta cuestión, como resultado de su tesis doctoral:
Santi G. (2011). Objectification and Semiotic Function. Educational Studies in Mathematics. 77, 285-311.
Y la tesis:
Rojas Garzón P. J. (2012). Articulación y cambios de sentido en situaciones de tratamiento de
representaciones simbólicas de objetos matemáticos. Tesis (aún no publicada) presentada en el Doctorado
Interinstitucional en Educación, Facultad de Ciencias y Educación, Universidad Distrital Francisco José de
Caldas, Bogotá, el día 28 11 2012.
9. Es un rectángulo torcido.
D’Amore B. (1997). Lingua naturale, modelli intuitivi e stereotipi nelle ore di matematica. En: Jannamorelli
B., Strizzi A. (editores) (1997). La ricerca in didattica della matematica: da ipotesi teoriche ad esperienze
didattiche. Actas del 3° Seminario Internacional de Didáctica de la Matemática, Sulmona, abril 1997. Torre
dei Nolfi: Qualevita. 57-68. [Este artículo fue publicado también en Riforma e didattica. 1, 1997, 29-36].
He aquí el texto de una prueba que se aplicó en otro país (europeo) a estudiantes de los
últimos años de la escuela secundaria (alumnos de 15-20 años) (“inspirado” en precedentes
investigaciones de Elisa Gallo):
Dibuje el rectángulo ABCD con el lado BC sobre la recta r:
Se realizaron algunas pruebas sobre papel blanco y otras sobre papel cuadriculado, con
diferentes inclinaciones de la recta r, pero siempre con el punto A puesto en “vertical” con
respecto al punto C.
Estas son algunas respuestas. Los protocolos son auténticos.
Se realizaron pruebas similares en la escuela primaria, en la escuela media y en la escuela
superior italiana. Elijo tres protocolos, uno por cada nivel de educación.
Uno de los profesores
sores de matemática, cuando le mostramos los resultados conseguidos en
su clase, ha dicho sencillamente: «Dios
«
mío».
A uno de los estudiantes que efectuó correctamente el dibujo, le pedimos
mos un comentario:
LV: Es un rectángulo torcido.
torcido
Aquel “torcido” activa la discusión;
discusión incluso quienes dieron la respuesta correcta a la
solicitud ven el rectángulo ““torcido”.
En los siguientes años, quise estudiar la relación que se establece entre estas respuestas y,
por el contrario, la dificultad conceptual de comprender el sentido de
de la solicitud en su
complejidad; el problema del uso de estereotipos, en este caso
o figúrales, según los cuales
los rectángulos deben tener las bases horizontales; etcétera.
El estereotipo geométrico es un enemigo siempre al acecho.
10. El numero 1 debe escribirlo después... infinitos ceros... ¿Infinitos ceros?
Arrigo G., D’Amore B. (1999). “Lo vedo, ma non ci credo”. Ostacoli epistemologici e didattici al processo di
comprensione di un teorema di Georg Cantor che coinvolge l’infinito attuale. L’insegnamento della
matematica e delle scienze integrate. 22B, 5, 465-494.
Arrigo G., D’Amore B. (1999). Lo veo pero no lo creo. Obstáculos epistemológicos y didácticos para la
comprensión del infinito actual. Educación Matemática (México DF). 11, 1, 5-24.
Arrigo G., D’Amore B. (2002). “Lo vedo ma non ci credo...”, seconda parte. Ancora su ostacoli
epistemologici e didattici al processo di comprensione di alcuni teoremi di Georg Cantor. La matematica e la
sua didattica. 1, 4-57.
Arrigo G., D’Amore B. (2004). Otros hallazgos
allazgos sobre los obstáculos en la comprensión de algunos
a
teoremas
de Georg Cantor. Educación Matemática
Matemática. (México DF, México). 16, 2, 5-20.
En una investigación sobre el aprendizaje del infinito en estudiantes que terminaron la
educación básica o que siguen los primeros
primeros semestres de universidad (investigación que
tuvo una duración de cinco años
años), en algún momento se les planteó el problema de la
relación de orden que existe entre 0,5 y 0,49 . Todos los expertos saben
en que vale la igualdad,
nadie está dispuesto
sto a admitir que vale 0,5 < 0,49 ; pero la mayoría de los
l estudiantes (y no
sólo) juran que 0,5 > 0,49 . La respuesta se relaciona con el hecho de que al número
periódico le falta siempre “algo” para llegar a 0,5.
Se realiza una entrevista a F, un estudiante de 19 años, al final de su escolaridad; F quiere
abordar estudios científicos en la universidad, en unos pocos meses. F declara que
0,5 > 0,49 y que entre 0,49 y 0,5 hay una diferencia de 0,1. Se le hace observar que
0,49 + 0,1 = 0,59 lo cual él admite inmediatamente. Así que no, la diferencia no es 0,1 sino
que es 0,00000000 ... 00001, donde este 1 se pone «ahí en el fondo» y con la mano indica
cuan lejano.
GA y BD: ¿Pero cuánto en el fondo? ¿Cuándo ceros se requieren?
FF: El 1 debe ser puesto después de... infinitos ceros...
A este punto la cara de F cambia de expresión y, como dirigiéndose a sí mismo, declara:
FF: ¿Infinitos ceros? Ay, no, no. Entonces ahora entiendo, son iguales.
Se trata de un ejemplo hermoso y tranquilizador en el cual la incoherencia no es vista como
algo inevitable e indiferente en matemática; en otras investigaciones demostré como, en
muchas ocasiones, los estudiantes son indiferentes a las situaciones de incoherencia.
11. En lugar de dar las galletas a los amigos, les di amigos a las galletas.
D’Amore B. (1997). Lingua naturale, modelli intuitivi e stereotipi nelle ore di matematica. En: Jannamorelli B.,
Strizzi A. (editores) (1997). La ricerca in didattica della matematica: da ipotesi teoriche ad esperienze
didattiche. Actas del 3° Seminario Internacional de Didáctica de la Matemática, Sulmona, abril 1997. Torre dei
Nolfi: Qualevita. 57-68. [Este artículo fue publicado también en: Riforma e didattica. 1, 1997, 29-36].
Estamos en un importante centro agrícola de la provincia de Ravenna en la región italiana de
Romagna. Después de haber examinado los resultados de una prueba para identificar
modelos intuitivos de multiplicación y división, veo que a la solicitud de dar por escrito la
operación que resuelve el siguiente problema:
«15 amigos compran 5 kg de galletas, ¿cuántas les corresponden a cada uno?»
el 41% de los estudiantes que cursan el grado 9° responden con la operación: 15÷5.
Y si se hace el test rápidamente, en una situación de entrevista oral, la tasa de respuesta
15÷5 es aún mucho mayor. El modelo intuitivo, basado en una “sabia” norma tomada como
modelo parásito, es decir «se divide siempre el número grande por el número pequeño», se
ha puesto en marcha. El ensayo se realizó también en la escuela elemental, en el grado
quinto, donde aparece una respuesta idéntica dada por el 67% de los estudiantes en forma
escrita y cerca del 100% en el caso de la entrevista oral.
Cuando los niños de la escuela primaria son entrevistados individualmente, ninguno
espontáneamente admite que debe (o que puede) ejecutar la operación 5÷15, a menos que se
conviertan los 5 kg en “muchos gramos” (propuesta explícita de un profesor).
Sin embargo, las entrevistas en la escuela secundaria, van de una forma diferente: todos los
estudiantes afirman haber “caído” en este texto, cuya semántica era equivoca, y también
admiten que fueron engañados por el hecho de que el valor numérico 15 venía antes del 5;
alguien también dijo que era tan fácil ejecutar 15÷5, que el umbral de dificultad se redujo
muchísimo. Uno de los estudiantes más brillantes, que también escribió 15÷5, entiende
inmediatamente la situación, ríe, se bate la mano sobre la frente y exclama: «En lugar de
dar las galletas a los amigos, les di amigos a las galletas».
Estereotipo, modelo intuitivo, modelo parásito, semántica textual, lectura del texto de los
problemas sin reflexionar... ¡Cuántas cosas se pueden decir!
12. No, así no quiere el profesor.
D’Amore B. (1995). Uso spontaneo del disegno nella risoluzione di problemi di matematica. La matematica e
la sua didattica. 3, 328-370. [Este texto fue publicado también en: Jannamorelli B. (editor) (1995). Lingue e
linguaggi nella pratica didattica. Actas del II Seminario Internacional de Didáctica de la Matemática,
Sulmona 30-31marzo y 1 abril 1995. Sulmona: Qualevita. 79-130].
He aquí el texto de un problema bien conocido, dado en todos los niveles escolares:
«Un caracol quiere escalar una pared de 7 metros de altura; empieza a subir en la madrugada
del lunes; inicia todos los días, a la luz del sol, y durante el día sube 2 metros; pero luego,
durante la noche, se desliza hacia abajo 1 metro. ¿Después de cuántos días llegará a la
cima?».
Las (pocas) respuestas adecuadas o correctas dadas a este problema están siempre centradas
en gráficos, más o menos icónicos; ninguno de los entrevistados resuelve correctamente el
problema aritmética o algebraicamente, sino que siempre usan gráficos o esquemas.
Algunos diseños son bonitos y graciosos, pero que no ayudan en absoluto.
Otros esquemas son más representativos y eficaces, aunque menos... artísticos.
Al autor de este esquema, que lo habría podido llevar al éxito, se le sugirió escribir algunos
números enriqueciendo el diseño y así obtener la respuesta correcta; su respuesta fue
inmediata y segura:
VS: No, así no quiere el profesor.
En el sentido de que una resolución digna de ese nombre debe ser algebraica. Y esta es la
forma en que él traduce su respuesta:
«7×2 = 14
14-1 = 13»
que debiera ser, en su opinión, la respuesta correcta en forma algebraica, la esperada, según
él, por el profesor.
Que el profesor prefiera una respuesta algebraica equivocada a una gráfica correcta, es el
resultado del contrato didáctico, nuevamente.
13. No vale!
D’Amore B. (1997). Lingua naturale, modelli intuitivi e stereotipi nelle ore di matematica. En: Jannamorelli B.,
Strizzi A. (editores) (1997). La ricerca in didattica della matematica: da ipotesi teoriche ad esperienze
didattiche. Actas del 3° Seminario Internacional de Didáctica de la Matemática, Sulmona, abril 1997. Torre dei
Nolfi: Qualevita. 57-68. [Este artículo fue publicado también en: Riforma e didattica. 1, 1997, 29-36].
Escuela primaria, propongo una vez más un problema imposible. Los niños, todos,
responden simplemente sumando los datos numéricos del texto. Les explico a los niños que
el problema es imposible. Aparecen risitas nerviosas y el más vehemente se rebela:
«Ah, pero así ¡no vale! Si el problema es imposible lo debes decir. Nuestra profesora nos lo
dice».
Sí, por supuesto, contrato didáctico y cláusula de transparencia. Sí, por supuesto, efecto
Topaz. Pero también un modelo general y estereotipado de problema.
Invito a todos los docentes interesados en este tipo de investigación a consultar la página web de nuestro grupo
(www.dm.unibo.it / rsddm);
RSDDM, Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della Matematica;
Sub-sistema de este grupo es el pluri-decenal:
NRD, Nucleo di Ricerca in Didattica della Matemática.
De este grupo forman parte aquellos miembros del RSDDM quienes en los últimos años publicaron resultados
de investigación en revistas de alto valor científico, o tienen el título de PhD o son estudiantes del PhD.
La sede es en el Departamento de Matemática de la Universidad de Bologna.
Algunos de nuestros miembros forman parte del grupo:
MESCUD, Grupo de investigación en Matemática Escolar de la Universidad Distrital,
activo en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, sede de un doctorado de investigación.
Y, viceversa, algunos miembros del grupo MESCUD forman parte del NRD.