2.3.3 Teorema del muestreo de Shannon x(t) = ¨ x(k)sinc 9s(t − k) 2

2.3.3 Teorema del muestreo de Shannon
Una señal de tiempo continuo x(t) cuya Transfomada de Fourier es cero
fuera del intervalo (-ωc,ωc) está dada de manera única por sus valores en puntos
equidistantes (muestreo uniforme) si la frecuencia de muestreo ωs es mayor que
2ωc.
Además, la señal continua x(t) puede ser calculada mediante la siguiente
fórmula de interpolación
º
x(t) = S x(k)sinc
k=−º
z s (t − k)
2
En donde
sin x
sinc(x) = x para x ! 0
sinc(x) = 1 para x=0
Es importante hacer algunas observaciones sobre el teorema, para procurar
una correcta interpretación de éste.
*1
El requisito sobre la transformada de Fourier de x(t) simplemente significa
que la señal x(t) no deberá contener frecuencias mayores de ωc. Debido al
importante papel que juega la frecuencia ωN = ωs /2 , a ésta se le llama la
frecuencia de Nyquist.
*2
Nótese también que la fórmula de interpolación de Shannon nos da un
método para la reconstrucción exacta de la señal x(t) siempre y cuando ésta
no contenga frecuencias mayores que ωN.
*3
El Teorema de Shannon es un resultado teórico, en el cual se considera un
muestrador idealizado y no se consideran errores en los componentes
electrónicos utilizados para implementar de manera práctica el muestreo o la
reconstrucción de la señal. En un sistema real, la restricción teórica que
establece el Teorema (ωs > 2 ωc ), deberá ser exagerada al menos unas cinco
veces
*4
La fórmula de interpolación es no causal de manera que no puede ser
implementada en tiempo real.
*5
La hipótesis sobre el contenido de frecuencias de x(t) tampoco es
directamente aplicable a cualquier señal y aunque la mayoría de las señales
de interés tienen un contenido de frecuencias limitado, en el caso en que no
lo tengan, el teorema no se puede aplicar. Por otro lado, siempre es posible
usar filtros analógicos pasabajas para evitar problemas con el contenido de
frecuencias más altas que ωN.
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2.3.4 Reconstrucción de señales
La operación inversa al proceso de muestreo, es decir, la obtención de la
señal analógica original x(t) a partir de su versión discretizada x(k) se denomina
reconstrucción.
Como puede apreciarse en la figura 2.7(d), una manera muy sencilla de
reconstruir (aproximadamente) una señal es mediante el simple "congelamiento" de
las muestras hasta el siguiente instante de muestreo. Es fácil intuir que la
reconstrucción será mejor cuanto más pequeño sea el periodo de muestreo, sin
embargo, para reconstruir de manera exacta x(t) se requeriría en general un
periodo de muestreo cero (frecuencia infinita).
Al método que consiste en congelar la señal discreta hasta el siguiente
instante de muestreo se le denomina el retenedor de orden cero y tiene la ventaja
de ser un retenedor causal. ya que su algoritmo es simplemente como sigue
x(t) = x(k), para k [ t < k+1
Una implementación sencilla de este retenedor es la mostrada en la figura 2.8.
Un algoritmo causal un poco más complejo pero que da mejores resultados
para señales de lenta variación es el retenedor de orden uno, cuyo algoritmo es
como sigue
x(t) = x(k) + (t-k) [x(k) - x(k-1)]
Sin embargo, ninguno de los retenedores anteriores garantiza una
reconstrucción exacta. Por ello, la fórmula de interpolación de Shannon
proporciona una buena alternativa para realizar la reconstrucción de señales
cuando éstas se tienen almacenadas previamente, ya que este algoritmo es no
causal. Un ejemplo típico de este caso es en los reproductores de compact disk.
Sacrificando un poco la exactitud del reconstructor de Shannon se puede
implementar en tiempo real introduciendo un retardo de 3 o 6 muestras y truncando
la sumatoria involucrada hasta las 3 o 6 muestras respectivamente. El peso de las
muestras después de la tercera es de un 10% y después de la sexta muestra es de
un 5%.
Aliasing o confusión de frecuencia.
El fenómeno de confusión de frecuencia se produce cuando se muestrea una
señal rompiendo las condiciones del Teorema de Shannon, esto es, cuando se
muestrea una señal a una frecuencia menor que el doble de la más alta contenida
en ella. Al intentar reconstruir la señal original podemos obtener frecuencias que no
contenía la señal original, es decir, podemos confundir una frecuencia f1 con otra
f2, por ello a f2 se le llama el alias de f1.
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Para ilustrar esta situación considérese la figura 2.10, en la cual se ilustra el
muestreo de una señal de frecuencia f1 = 0.1hz y otra de frecuencia f2 = 0.9hz. La
frecuencia de muestreo en ambos casos es fs = 1hz. Como puede verse de la
figura, ambas señales se confunden a esta frecuencia de muestreo, es decir f1 es
un alias de f2 a esta frecuencia de muestreo.
0
1
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6
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9
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Figura 2.10 Confusión de una frecuencia de 0.9hz con una de 0.1hz
Esta situación se puede presentar aún cuando supuestamente la señal a
muestrear parece cumplir con la condición de Shannon debido al ruido de alta
frecuencia presente en el ambiente, por ello, si se desea evitar la aparición de alias
de frecuencia es importante el uso de filtros antialiasing que no dejen pasar
frecuencias más allá de la permitida por la condición de Shannon.
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