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Decaimiento radioactivo .
E: Si el 5% de una sustancia radioactiva se descompone en 50 años:
a. ¿Qué porcentaje habrá al final de 500 años?
b. ¿Y después de 1 000 años?
c. ¿Cuál es la vida media de esta sustancia?
D: H Si M.t/ es la cantidad de sustancia radioactiva al cabo de t años y M0 es la cantidad inicial
de sustancia, entonces la cantidad de sustancia después de 50 años es
M.50/ D 95% de M0 ) M.50/ D .0:95/M0 :
M.t/ está dada por la solución del PVI:
M 0.t/ D kM.t/; con M.0/ D M0 y además M.50/ D 0:95M0 :
La solución general de la ecuación diferencial es M.t/ D C e kt . Tenemos también:
M.0/ D M0 ) C e 0 D M0 ) C D M0 ) M.t/ D M0 e kt :
Usando ahora la segunda condición:
M.50/ D 0:95M0 ) M0 e 50k D 0:95M0 ) e 50k D 0:95 ) 50k D ln.0:95/ )
ln.0:95/
)k D
D 0:001026 ) M.t/ D M0 e . 0:001026/t :
50
a. ¿Qué porcentaje habrá al final de 500 años?
M0 e . 0:001026/.500/
M.500/
D
De
M0
M0
0:513
D 0:5987 D 59:9% :
b. ¿Qué porcentaje habrá después de 1 000 años?
M.1 000/
M0 e .
D
M0
0:001026/.1000/
M0
De
1:026
D 0:3584 D 35:8% :
c. ¿Cuál es la vida media de esta sustancia?
1
1
1
M.tm / D M0 ) M0 e ktm D M0 ) e ktm D )
2
2
2 ln
2
1
) k tm D ln
) tm D
D
k
2
ln 2
D 675:582 D 675 años, 212 días.
0:001026
1. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010
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