LÓGICA DE PREDICADOS 6. LA SEMÁNTICA DE PRIMER ORDEN Juan Carlos León Universidad de Murcia Esquema del tema 6.1. Noción de interpretación de primer orden 6.2. Las reglas de valoración semántica 1 Lógica de predicados 6. La semántica de primer orden 6.1. Noción de interpretación de primer orden Interpretaciones intuitivas Hasta ahora hemos interpretado las fbfs de forma intuitiva. Por ejemplo, interpretando “Fxy” como “x ama a y”, tendríamos Fyx ∃x∀y Fxy ∀x∃y (Fyx ∧ ∀z Fyz) ∀x∃y Todos son amados Alguien ama a todos Todos son amados por alguien que ama a todos Pero ahora hemos de plantearnos la teoría de las posibles interpretaciones semánticas de una manera más sistemática, más rigurosa y más formal 2 Ejemplo Para interpretar semánticamente las tres fbfs anteriores tendremos que hacer dos cosas: establecer un conjunto no vacío D como dominio (de individuos) al cual remiten las variables “x”, “y” y “z” (al que se suele llamar también el rango de las variables o el universo de discurso) indicar el conjunto de pares ordenados de individuos del dominio en que se supone que el primero ama al segundo imaginemos que ese conjunto fuera {Ana, Juan, Pedro} imaginemos que fuera {〈Juan, Ana〉, 〈Pedro, Ana〉, 〈Pedro, Juan〉, 〈Pedro, Pedro〉} Con esta interpretación las tres fbfs anteriores resultarían verdaderas ¿Amor o números de DNI? La cuestión crucial es que el valor de verdad de esas fbfs complejas queda fijado en cuanto determinamos de qué pares de individuos es verdadera la letra “F”; no importa nada qué es lo que hace que “F” sea verdadera de ellos Supongamos (como sería posible que ocurriera) que los pares de individuos en los que el primer miembro amase al segundo coincidieran con aquellos en los que el primero tuviese un número de DNI que multiplicado por el del segundo diera como resultado un número par En tal caso, los valores de verdad de las tres fbfs anteriores serían los mismos, sin importar cuál de esos dos modos de identificar los pares hayamos usado 3 Extensionalidad Para determinar el valor de verdad de las fbfs en que aparezcan símbolos como “F”, no necesitamos saber en rigor cuál es el contenido significativo exacto de “F” (la intensión del predicado) Es suficiente saber de qué pares de objetos resulta ser verdadero “F” (la extensión del predicado) En lógica proposicional ocurría algo similar: para determinar el valor de verdad de una fbf compleja, sólo necesitábamos conocer el valor de verdad de las letras proposicionales Lógica y teoría del significado La semántica de primer orden es radicalmente extensional: no tiene en consideración los significados o intensiones Desde luego que amar a alguien es muy distinto del hecho de tener un número de DNI que multiplicado por el de la otra persona resultase ser par, pero eso es irrelevante para determinar el valor de verdad de las proposiciones expresables en lógica de primer orden La lógica no puede agotar la explicación filosófica del significado: es sólo una parte de ella 4 Asignaciones básicas En lógica proposicional, una interpretación semántica se limitaba a asignar valores de verdad a las letras proposicionales Una interpretación de primer orden es sensiblemente más compleja. Las asignaciones básicas de que se compone son: 1) Un dominio de objetos no vacío D, que se asigna como extensión a todos los cuantificadores; o sea, D = I(∀x) = I(∃x) = I(∀y) = I(∃y) = … 2) A las constantes k, les asignamos objetos I(k) 3) A las letras predicativas n-ádicas P, conjuntos I(P) de n-tuplas de objetos 4) A las letras funcionales n-ádicas f, funciones I(f) que asignen objetos como valores de n-tuplas de objetos como argumentos 5) A letras proposicionales p, valores de verdad I(p) 6) I(=) es el conjunto de todos los pares 〈d, d〉, tales que d∈D Aclaraciones: predicados y n-tuplas Las 1-tuplas de objetos pueden considerarse sin más como esos objetos. De esta forma, la extensión de las letras predicativas monádicas será sencillamente el conjunto de los miembros de D para los cuales la letra resulta verdadera La interpretación no nos dice qué propiedad corresponde (intensionalmente) a una letra monádica, sino cuál es el conjunto de objetos que tienen esa propiedad La extensión de una letra predicativa diádica (triádica, n-ádica) será el conjunto de pares (triples, n-tuplas) de objetos para los cuales la letra resulta verdadera La interpretación no nos dice qué relación corresponde (intensionalmente) a una letra diática (triádica, n-ádica), sino entre qué conjunto de pares (triples, n-tuplas) de objetos se da la relación 5 Aclaraciones: funciones n-ádicas Una función monádica es una asignación de un objeto como valor para cada uno de los posibles objetos que se tomen como argumentos En “fa”, por ejemplo, “a” designa el argumento de la función (el objeto al que se aplica), y si “fa = b”, diremos que “b” (y también por supuesto “fa”) designa el valor de la función (el objeto que resulta al aplicar la función f al argumento a) Una función diádica (triádica, n-ádica) es una asignación de un objeto como valor para cada uno de los pares (triples, n-tuplas) de objetos que tomemos como argumentos En “fab”, por ejemplo, “a” y “b” designan los argumentos de la función (los objetos a que se aplica), y si “fab = c”, diremos que “c” (y también por supuesto “fab”) designa el valor de la función (el objeto que resulta al aplicar la función f a los argumentos a y b, en ese orden) La identidad y otras aclaraciones El símbolo de identidad “=” se trata como un símbolo predicativo especial, ya que su extensión queda automáticamente determinada en cuanto se escoge un dominio La relación de identidad es la se da entre todos los pares de objetos del dominio en los que el primero es el mismo que el segundo Por supuesto, si las fbfs cuyo valor de verdad nos interesa determinar no contienen constantes, o letras predicativas, o letras funcionales, o letras proposicionales, no necesitaremos hacer algunas de las asignaciones (2), (3), (4) o (5) de las que se compone una interpretación 6 Lógica de predicados 6. La semántica de primer orden 6.2. Las reglas de valoración semántica Términos compuestos Regla (1): Si t es una letra funcional n-ádica f seguida de los términos t1, …, tn, y si I(f) = φ, entonces I(t) = φ(I(t1), …, I(tn)) Los términos t1, …, tn pueden a su vez ser compuestos; pero en tal caso tendrán necesariamente un número de símbolos componentes menor que el de t y finito. Luego, tras cierto número finito de aplicaciones de esta regla, hemos de llegar a un punto en el que los términos restantes sean simples constantes 7 Aclaraciones La regla es difícil de enunciar con toda precisión y generalidad Pero lo que dice en realidad es bien sencillo: para calcular la extensión de un término compuesto necesitamos saber cuál es la extensión del símbolo funcional (que será una función), y cuáles son los objetos que tienen como extensión los términos que siguen a ese símbolo funcional Sólo hemos de aplicar entonces la función a esos objetos para obtener su valor Ejemplo de término compuesto Calcular I(fagbfac) para la interpretación D = {1, 2, 3, …} [los enteros positivos] I(a)=1; I(b)=2; I(c)=3 I(f) = la función suma [x+y] I(g) = la función producto [x·∙y] I(fac)=1+3=4, aplicando la regla (1) I(gbfac)=2·∙4=8, por la regla (1) I(fagbfac)=1+8=9, por la regla (1) 8 Fbfs atómicas compuestas Regla (2): Si A es una fbf atómica compuesta de una letra predicativa n-ádica P seguida de n términos t1, …, tn, entonces I(A)=V sii la n-tupla 〈I(t1), …, I(tn)〉 ∈ I(P) Aclaraciones: 1) 2) La regla dice que para calcular si una fbf atómica compuesta por una letra predicativa seguida de uno o más términos es verdadera, necesitamos saber cuál es la extensión de cada uno de esos términos y cuál es la extensión de la letra predicativa Si la letra es monádica su extensión será un conjunto de objetos (1-tuplas), y la fbf será verdadera sii el objeto correspondiente al término que aparece tras la letra predicativa pertenece al conjunto asignado como extensión a esa letra predicativa Más aclaraciones 3) 4) 5) Si la letra es diádica, su extensión será un conjunto de pares (2-tuplas), y la fbf será verdadera sii el par correspondiente a los dos términos que figuran tras esa letra predicativa pertenece a su extensión Si la letra es triádica, su extensión será un conjunto de tríos (3-tuplas), y la fbf será verdadera sii el trío correspondiente a los tres términos que figuran tras esa letra predicativa pertenece a su extensión Y así sucesivamente 9 Ejemplos de fbfs atómicas compuestas Calcular I(Fab), I(Fba), y I(Fcb) para la interpretación D = {Ana, Juan, Pedro} I(a) = Ana; I(b) = Juan; I(c) = Pedro I(F) = {〈Juan, Ana〉, 〈Pedro, Ana〉, 〈Pedro, Juan〉, 〈Pedro, Pedro〉} I(Fab)=F, por la regla (2) [ya que 〈Ana, Juan〉 ∉ I(F)] I(Fba)=V, por la regla (2) [ya que 〈Juan, Ana〉 ∈ I(F)] I(Fcb)=V, por la regla (2) [ya que 〈Pedro, Juan〉 ∈ I(F)] Fbfs no atómicas Podemos tener fbfs no atómicas compuestas de dos maneras veritativo-funcionalmente cuantificacionalmente Regla (3): si una fbf es de la forma ¬A, A ∧ B, A ∨ B, A → B, o A ↔ B, se aplican las reglas de la semántica veritativo-funcional Las reglas para fbfs cuantificadas requieren una noción previa: la de variante nominal 10 Variantes nominales Una variante nominal Ik/d de una interpretación I es una interpretación en todo igual a I excepto, si acaso, en que asigna el objeto d∈D a la constante k (o sea, Ik/d(k)=d). Es decir, difieren como máximo en lo asignado a un nombre Aclaración: una variante nominal de una interpretación es la misma interpretación original, cambiando tan sólo la extensión de una constante (o sea, la referencia de un nombre) Si ocurre que I(k)=d, entonces Ik/d(k)=d; o sea, toda interpretación es una variante nominal de sí misma Cuando una interpretación I no asigne nada a una constante k, Ik/d extenderá la interpretación I asignando d a k Fbfs cuantificadas universalmente Regla (4): si A es una fbf en la que no aparece la constante k, y es de la forma ∀v P(v), I(A)=V sii, para toda variante nominal Ik/d de I, Ik/d(P(k))=V (o sea, sii para todo objeto d∈D Ik/d(P(k))=V) Aclaración: para saber si es verdadera una fbf universal, tomemos la fbf que sigue al cuantificador, con una constante nueva en lugar de la variable. Si cualquiera que sea el objeto asignado como extensión a esa constante la fbf sin cuantificar es verdadera, la fbf cuantificada también lo es 11 Fbfs cuantificadas existencialmente Regla (5): si A es una fbf en la que no aparece la constante k, y es de la forma ∃v P(v), I(A)=V sii, para alguna variante nominal Ik/d de I, Ik/d(P(k))=V (o sea, sii para algún objeto d∈D Ik/d(P(k))=V) Aclaración: para saber si es verdadera una fbf existencial, tomemos la fbf que sigue al cuantificador, con una constante nueva en lugar de la variable. Si con alguno de los objetos que podamos asignar como extensión a esa constante la fbf sin cuantificar es verdadera, la fbf cuantificada también lo es Ejemplo de cuantificación universal Calcular I(∀x(Fbx → x=a)) (Juan no ama a nadie más que a Ana) para la interpretación D = {Ana, Juan, Pedro} I(a) = Ana; I(b) = Juan; I(c) = Pedro I(F) = {〈Juan, Ana〉, 〈Pedro, Ana〉, 〈Pedro, Juan〉, 〈Pedro, Pedro〉} Ic/Ana(Fbc)=V; Ic/Juan(Fbc)=F; Ic/Pedro(Fbc)=F; por la regla (2) Ic/Ana(c=a)=V; Ic/Juan(c=a)=F; Ic/Pedro(c=a)=F; por la asignación básica (6): en efecto, 〈Ana, Ana〉 ∈ I(=), pero 〈Juan, Ana〉 ∉ I(=) y 〈Pedro, Ana〉 ∉ I(=) Ic/Ana(Fbc → c=a)=V; Ic/Juan(Fbc → c=a)=V; Ic/Pedro(Fbc → c=a)=V; por la regla (3) I(∀x(Fbx → x=a))=V, por la regla (4) 12 Ejemplo de cuantificación existencial Calcular I(∃x fbc=gxfbc) para la interpretación D = {1, 2, 3, …} [los enteros positivos] I(a)=1; I(b)=2; I(c)=3 I(f) = la función suma [x+y] I(g) = la función producto [x·∙y] I(fbc)=2+3=5, por la regla (1) Ia/1(gafbc)=1·∙5=5; Ia/2(gafbc)=2·∙5=10; Ia/3(gafbc)=3·∙5=15; por la regla (1) Ia/1(fbc=gafbc)=V; Ia/2(fbc=gafbc)=F; Ia/3(fbc=gafbc)=F; por la asignación básica (6) I(∃x fbc=gxfbc)=V, por la regla (5) Variaciones de variaciones El proceso de variación nominal puede ser reiterado Por ejemplo, Ik/d, j/e será una valoración igual a Ik/d excepto, si acaso, en que Ik/d, j/e(j)=e (o sea, en que asigna el objeto e∈D a la constante j). Por tanto, difiere de I como máximo en que asigna d a k y e a j La fbf “∃x∀y Fxy” será verdadera para una interpretación I sii Ia/d(∀y Fay)=V para algún objeto d. Y esto, a su vez, sucederá sii Ia/d, b/e(Fab)=V para algún d y para todo e En nuestro ejemplo anterior, teníamos Ia/Pedro, b/Ana(Fab)=V, Ia/Pedro, b/Juan(Fab)=V y Ia/Pedro, b/Pedro(Fab)=V. Luego, por la regla (4), tenemos Ia/Pedro(∀y Fay)=V. Y entonces, por la regla (5), se sigue que I(∃x∀y Fxy)=V 13