Enmascaramiento

ENMASCARAMIENTO
En los procesos industriales, las señales procedentes de los sensores y recibidas por los sistemas de
captura presentan variaciones continuas que pueden ser de dos tipos:
Variaciones reales de la señal. En general, variaciones de baja frecuencia.
Variaciones debidas a interferencias (ruido). Suelen ser de alta frecuencia y se eliminan mediante
filtrado.
Filtrado
Señal sin filtrar
Señal Filtrada
Fig. 1. Eliminación de frecuencias altas (interferencias) mediante filtrado de
la señal.
Ahora bien, como consecuencia del muestreo de un sistema pueden crearse nuevas frecuencias
inexistentes en la señal original, es decir frecuencias que no corresponden ni al ruido ni a la propia
señal. Veamos como puede ocurrir. La figura 2 muestra en color azul una variable de proceso
(después del filtrado) que varía con una frecuencia de 0,9 Hz.
Intervalo de Muestreo
h
0,9 Hz
0,1 Hz
1
2
3
4
5
6
7
8
9
h, Intervalo de Muestreo
Fig. 2. Enmascaramiento debido a muestrear con un intervalo demasiado grande.
Supongamos que se muestrea con un intervalo h = 1 segundo, entonces la frecuencia de muestreo
será:
fs = 1 / h = 1 Hz
Es decir una vez por segundo. Los puntos rojos indican el valor de la señal en el instante de muestreo
y al unirlos para reconstruir la misma aparece una frecuencia de 0,1 Hz.
T = 1 / 0,1 = 10 s
Esta variación inexistente de una vez cada 10 segundos ha sido creada debido a que el muestreo se ha
realizado con un intervalo elevado equivalente a una frecuencia baja.
En otras palabras, si una variable cambia con una frecuencia de 0,9 Hz y se muestra a 1 Hz aparecerá
una señal inexistente creada por la influencia del propio muestreo. La señal parece que cambia con
una frecuencia de 0,1 Hz.
Este fenómeno no deseado se conoce con el nombre de Enmascaramiento o Aliasing.
Para evitar la aparición de señales fantasmas es necesario que la frecuencia de muestreo, fs, y la
mayor de las frecuencias de la señal, f, mantengan una cierta relación.
M. López, E. Pérez. Control de Procesos: De la señal de planta hasta el algoritmo de control
1
Teorema de Shannon. Para poder reconstruir una señal y no perder información que provocaría la
aparición de señales inexistentes, se requiere que la frecuencia de muestreo sea mayor que el doble de
la frecuencia más alta1:
fs ≥ 2.f
Frecuencia de Nyquist. Se denomina frecuencia de Nyquist al doble de la frecuencia mas alta que
puede presentar una variable, fN. Por tanto la frecuencia de muestreo debe ser igual o superior a la
Nyquist.
fs ≥ fN
Señal Muestreada
Señal con ruido
El ruido suele aparecer
como frecuencias altas
Muestreo
sin Filtrado
h
El ruido aparece con frecuencia mas baja
Las frecuencias bajas inexistentes debidas
al ruido, desaparecen al filtrar y permanecen
las variaciones reales de la señal.
Muestreo
con Filtrado
h
Fig. 3. Al muestrear una señal el ruido aparece con una frecuencia de enmascaramiento baja. Estas frecuencias bajas se
eliminan mediante filtrado previo.
La frecuencia que aparece cuando se muestrea con una frecuencia inferior a la frecuencia de Nyquist
se denomina frecuencia de enmascaramiento y viene dada por:
fe = fs - f
Además:
w = 2.π / T = 2.π . f
T = 1/f
Donde T es el periodo, T = h, y w la pulsación en rad/s.
Para el ejemplo de la figura 2:
fe = fs – f = 1 – 0.9 = 0,1 Hz
O mejor aún:
ws = 2.π / Ts = 2.π rad/s, w = 2.π .f = 2.π . 0,9 =1,8 π rad/s
we = ws – w =2.π - 1,8 π = 0,2 π rad/s
w 0,2π
=
= 0,1 veces por segundo, es decir, T = 10 segundos.
fe =
2π
2π
La figura 4 muestra otro ejemplo de enmascaramiento. En 4a se muestra la señal original y los
instantes de muestreo.
15,00
15,00
10,00
10,00
5,00
5,00
0,00
0,00
0,00
80,00
-5,00
-10,00
-10,00
-15,00
80,00
t
Fig. 4a. Señal muestreada con una frecuencia inferior a
la de Nyquist.
1
0,00
-5,00
-15,00
Fig. 4b. En rojo la señal generada debida al muestreo.
La reconstrucción de una variable mediante la reconstrucción de Shannon no es útil en control por ordenador. Se usan
otras reconstrucciones, ya vistas, como mantenedor de orden cero, uno, etc.
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En 4b se observa la aparición de una frecuencia inexistente, frecuencia enmascarada.
Ej.1. La obtención de Formaldehido se lleva a cabo haciendo
reaccionar metanol y aire en un reactor multitubular catalítico.
Previamente se mezcla el metanol con el aire y calienta hasta unos
140ºC en un evaporador utilizando vapor de agua saturado a una
presión de unas 6 at.
El flujo de vapor de agua está regulado por una válvula
proporcional controlada por Ordenador. Se miden las temperaturas
de entrada del vapor de agua y de salida de la mezcla evaporada
metanol-aire. La válvula de control presenta un juego en el
posicionador debido al desgaste, que causa una oscilación en la
temperatura y presión del vapor.
Variación de la Temperatura
de saturación con la presión.
Vapor de agua
Tb ªC
100
105
110
115
120
130
140
150
200
Al Reactor
P
T
Vapor Saturado
Presión Kg/cm2
1,000
1,192
1,414
1,668
1,959
2,666
3,567
4,698
15,341
Salida
Condensado
Metanol + AIre
Fig. 5. Evaporador Metanol - Aire
2,11 minutos
Intervalo de muestreo = 0,5 min.
Presión
38 minutos
Intervalo de muestreo = 2 min.
Temperatura
Fig. 6. Registro de la temperatura y presión.
La figura 6 muestra un registro de la temperatura y presión a lo largo de un cierto período de tiempo. Las
señales se filtran adecuadamente y no están afectadas por interferencias, es decir, no contienen frecuencias
altas debidas al ruido.
Del registro de la temperatura parece deducirse una oscilación que corresponde a un período de 38 minutos. El
registro de la presión revela, por el contrario, que el periodo de la oscilación es de 2,11 minutos.
Las dos variables, P y T, deben variar de forma similar, ya que la temperatura de saturación del vapor depende
de la presión, Tb = f(P). Ver tabla para vapor de agua. Por tanto, debería presentar la misma frecuencia de
variación. Es decir:
wP = wT
¿Qué ocurre para que aparentemente no se cumpla? La explicación es la siguiente:
El muestreo de la temperatura se realiza con un intervalo de muestreo demasiado elevado, frecuencia de
muestreo demasiado baja:
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Intervalo de Muestreo de la Temperatura:
Frecuencia de Muestreo de la Temperatura:
hT = 2 min.
wST = 2π / 2 = 3,142 rad/min
La presión en cambio se muestrea con una frecuencia mayor, h = 0,5 min. por lo que se recogen todas las
variaciones
Intervalo de Muestreo de la Presión:
hP = 0,5 min.
Frecuencia de Muestreo de la Presión:
wSP = 2π / 0,5 = 12,568 rad/min
Frecuencia a la que oscila la Presión:
wP = 2π / 2,11 = 2,978 rad/min
Dado que wSP ≥ 2wP no existe enmascaramiento en el registro de la presión y, dado que la temperatura debe
variar de forma similar a la presión ya que son dependientes una de otra, se deduce que la frecuencia de
variación de la temperatura es inexistente, es una frecuencia de enmascaramiento, por tanto:
Frecuencia a la que debe oscilar la Temperatura:
w = wT = wP = 2,978 rad/min
Frecuencia Enmascarada mas pequeña:
we = wST - w = 3,142 - 2,978 = 0,164 rad/min
El período de la frecuencia enmascarada será:
fe =
we 0,164
=
= 0,02631 min-1
2π
2π
T=1/fe = 1 / 0,02631 = 38 min.
Este valor coincide con el valor observado de la oscilación de la temperatura.
Para evitar el enmascaramiento debería muestrearse la temperatura con una frecuencia de al menos el doble de
la frecuencia máxima de variación, dada en este caso por la presión: wP = 2,978 rad/min
wN = 2.2,978 = 5,956 rad/min
Equivalente a intervalo de muestreo:
h = TS =
2π
2π
=
≈ 1 minuto
wN 5,976
Obsérvese que la presión no presenta problemas ya que se muestrea cada 0,5 minutos.
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