Universidad de Concepción Facultad de Ciencias F´ısicas y

Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Departamento de Ingenierı́a Matemática
Práctica 1 (Semana del 19 al 23 de Agosto de 2013)
Complemento de Cálculo (521234)
1. En cada caso, determinar si h , i define o no un producto interior sobre el espacio de
funciones dado correspondiente.
Z b
f (x)g(x)w(x) dx, con w(x) > 0 para todo x ∈ [a, b] sobre C([a, b]).
a) hf, gi =
a
b
Z
(f (x) + g(x))2 dx, sobre C([a, b]).
b) hf, gi =
a
b
Z
f 2 (x)g(x) dx, sobre C([a, b]).
c) hf, gi =
a
b
Z
(f (x)g(x) + f 0 (x)g 0 (x)) dx, sobre C 1 ([a, b]).
d ) hf, gi =
a
Z
e) hf, gi =
b
f (x)g 0 (x) dx, sobre C01 ([a, b]) (el espacio de las funciones de clase
a
C 1 en el intervalo [a, b] y que se anulan en a y en b).
Indicar cuál es la terminologı́a usada en la parte a) si w(x) = 1 para todo x ∈ [a, b]
y si w es una función positiva y continua cualquiera.
2. Usar la definición dada en 1. a) para calcular hf, gi.
1
1
1
a) f (x) = x − , g(x) = − x − y w(x) = 1 en C([0, 1]).
2
2
2
πx 3πx
−x/2
−x/2
, g(x) = e
sin
b) f (x) = e
sin
y w(x) = ex en C([0, 1]).
2
2
c) f (x) = sin(mx), g(x) = sin(nx), con m, n = 1, 2, 3, ... y w(x) = 1 en C([−π, π]).
d ) f (x) = sin(mx), g(x) = cos(nx), con m, n = 1, 2, 3, ... y w(x) = 1 en C([−π, π]).
1
e) f (x) = 1 − x, g(x) = x2 − 2x + 1 y w(x) = e−x en C([0, ∞[).
2
f ) f (x) = cos(mx), g(x) = cos(nx), con m, n = 1, 2, 3, ... y w(x) = 1 en C([−π, π]).
3. Considerar el espacio C([0, 1]) y el producto interior usual, calcular kf k, donde k·k
es la norma inducida.
a) f (x) = x
c) f (x) = x2 − 1
e) f (x) = ln(x + 1)
b) f (x) = sin(πx)
d ) f (x) = (x2 − 1)2
f ) f (x) = ex/2
1
4. Verificar que los siguientes conjuntos son ortogonales:
1
1
2
3
a) 1, x, (3x − 1), (5x − 3x) , para x ∈ [−1, 1].
2
2
1 2
b) 1, 1 − x, x − 2x + 1 , para x ∈ [0, ∞[ y w(x) = e−x .
2
πx πx 2πx
2πx
c) 1, sin
, cos
, sin
, cos
, ... , para x ∈ [−L, L].
L
L
L
L
n
nπx o∞
−x
d ) e sin
, para x ∈ [0, 2] y w(x) = e2x .
2
n=1
Determinar, además los conjuntos ortonormales asociados en cada caso.
5. Sea E un espacio vectorial real con producto interior, sean además f y g en E.
Definiendo la proyección de f sobre g por h := hf, ĝiĝ, con ĝ = g/ kgk, demostrar
que h y f − h son ortogonales en E.
6. Demostrar que en un espacio vectorial real con producto interior y con norma inducida k·k, se verifican las siguientes propiedades:
a) x e y son ortogonales si y sólo si kxk2 + kyk2 = kx + yk2 .
b) Para todo x e y, se tiene kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
1
c) Para todo x e y, se tiene hx, yi = (kx + yk2 − kx − yk2 ).
4
2
1
x
+
y
2
.
d ) Para todo x, y y z, se tiene kz − xk + kz − yk = kx − yk + 2 z
−
2
2 2
2
7. En C([0, 1]) se define la norma kxk = máx |x(t)|, demostrar que en este espacio no
t∈[0,1]
se puede definir un producto interno que genere dicha norma.
8. Sea {φn (x)} un conjunto ortonormal de funciones pertenecientes al espacio L2 ([a, b])
Z b
n
X
y sea Sn (x) =
f (x)φk (x) dx. Demostrar que para
ck φk (x), donde ck =
a
k=1
cualquier función f en L2 ([a, b]), se tiene que
Z
2
b
kSn (x) − f (x)k =
|f (x)| dx −
a
Luego, deducir que
n
X
k=1
c2k
Z
≤
b
|f (x)|2 dx.
a
E. Gavilán G.
[email protected]
2
2
n
X
k=1
c2k .