Problemas matematicas

Problemas de Matemáticas
IES Sagrado Corazón de Jesús
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ÍNDICE
CONJUNTOS NUMÉRICOS .............................................................................................................................. 3
NÚMEROS ENTEROS ............................................................................................................................................ 3
Operaciones................................................................................................................................................... 3
Potencias ....................................................................................................................................................... 3
NÚMEROS RACIONALES ...................................................................................................................................... 3
NÚMEROS REALES .............................................................................................................................................. 4
Notación científica......................................................................................................................................... 4
Raíz cuadrada................................................................................................................................................ 4
Radicales ....................................................................................................................................................... 4
FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL ............................................................................................. 6
PROPORCIONALIDAD ...................................................................................................................................... 7
REGLAS DE TRES COMPUESTAS ........................................................................................................................... 7
ESCALAS ............................................................................................................................................................. 7
INTERÉS, INCREMENTOS Y DESCUENTOS ............................................................................................................. 7
REPARTOS PROPORCIONALES .............................................................................................................................. 7
MEZCLAS ............................................................................................................................................................ 8
GEOMETRÍA ....................................................................................................................................................... 9
FIGURAS SEMEJANTES ......................................................................................................................................... 9
TEOREMA DE PITÁGORAS .................................................................................................................................. 10
ÁREAS Y VOLÚMENES ....................................................................................................................................... 10
VECTORES EN EL PLANO.................................................................................................................................... 10
EXPRESIONES ALGEBRAICAS .................................................................................................................... 11
OPERACIONES CON POLINOMIOS ....................................................................................................................... 11
TEOREMA DEL RESTO ....................................................................................................................................... 11
MÉTODO DE RUFFINI......................................................................................................................................... 12
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS ................................................................................................. 12
FRACCIONES ALGEBRAICAS .............................................................................................................................. 12
ECUACIONES .................................................................................................................................................... 14
ECUACIONES DE PRIMER GRADO ....................................................................................................................... 14
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO .................................................................................................................... 14
ECUACIONES BICUADRADAS ............................................................................................................................. 15
ECUACIONES IRRACIONALES ............................................................................................................................. 15
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS .............................................................................................. 16
INECUACIONES DE PRIMER GRADO .................................................................................................................... 16
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR ................................................................................................................. 16
SISTEMAS DE ECUACIONES ................................................................................................................................ 17
SUCESIONES ..................................................................................................................................................... 18
PROGRESIONES ARITMÉTICAS ........................................................................................................................... 18
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS .......................................................................................................................... 18
LÍMITES ............................................................................................................................................................. 18
TRIGONOMETRÍA ........................................................................................................................................... 20
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO ................................................................................................... 20
RELACIONES ENTRE ÁNGULOS .......................................................................................................................... 20
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ................................................................................................... 20
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALQUIERA ..................................................................................................... 20
ESTUDIO DE FUNCIONES .............................................................................................................................. 21
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ESTADÍSTICA ................................................................................................................................................... 21
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Conjuntos numéricos
Números Enteros
Operaciones
Potencias
1.- Simplifica las siguientes expresiones:
a)
542 121  362

24 2  723
Sol: a) 2  35
b) 32  57
b)
154  752  453

272  252
c)
35  272  9 1

81 9 2
c) 3
Números Racionales
2.- Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números decimales:



a) 0'0032 
b) 1'04 
c) 4'25 
d) 0'0032  e) 1'231313131 ... 
32
94
421
32
1219
Sol: a)
b)
c)
d)
e)
10000
99
9900
90
990
3.- Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números decimales:




a) 0'012 
b) 5'03 
c) 0'24 
d) 3'213 
e) 0'42 
12
453
24
2892
42
Sol: a)
b)
c)
d)
e)
90
99
900
99
1000
4.- Resuelve y simplifica:
1 2 6 3
  
a) 2 3 4 4 
3 2 1 4
   
4 5 2 3
5
 69
Sol: a)
b)
4
53
3 2 6 5
  
b) 5 3 5 2 
1 5 2 4
  : 
2 3 5 6
5.- Si al numerador de una fracción le restamos 40, la fracción disminuye en 5. ¿Cuál es el
denominador de la fracción?. Justifica la respuesta.
Sol: 8.
6.- Para un concurso de televisión invitaron a los habitantes de Villatripas de Arriba. Si al
3
concurso asistieron
de los habitantes, y en el pueblo quedaron 150 personas. ¿Cuanta
8
gente fue al concurso?. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo?.
Sol: 90 habitantes fueron al concurso. El pueblo tenía 240 habitantes
7.- Dos obreros hacen un trabajo en 3 horas. Si uno de ellos lo haría en 4 horas, calcula el
tiempo que tardaría el otro.
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Sol: 12 horas.
8.- Isabel salió de compras una tarde y gasto un tercio del dinero que llevaba en un radiador
para el frío invierno, un cuarto en el abrigo que siempre había querido tener, y un sexto
en unos bonitos zapatos. Al volver a casa le habían quedado 75 euros. ¿Con cuanto
dinero salió de casa y cuanto cuesta cada producto?.
Sol: Total 300€, radiador 100€, abrigo 75€, zapatos 50€.
Números Reales
Notación científica
9.- Resuelve y expresa en notación científica:
6  102
3 103
5
5
4
 2  104 

a) 3 10  1'2 10 
b) 3  10 
6
8
1510
0'2  10
4
4
Sol: a) 1'110
b) 1'4  10
Raíz cuadrada
10.- Resuelve las siguientes raíces, obteniendo al menos dos decimales:
a) 145 
b) 104,8576
Sol: a) 12’04 b) 10’24
Radicales
11.- Simplifica las siguientes expresiones:
a
3
a)
6
2
a

a5  4 a 2
3
3
Sol: a)
a
a
2
: 6 a3
a
3
b)
a  a
2
3
a 3 a

a a
3
3
5
a  4 a2

c)
b) 2a  3 a
Sol: a) 0
3
2
1

 6

2
3
6
7
2x
b)
3
a
3
a
a
6
8
5
c)
a
a
12.- Resuelve y simplifica el resultado:
a)
4
b)
x
2
3x
x

 18x 
2
9x
2x
13.- Resuelve y simplifica el resultado:
14
4 9
1
1

a) 4 9  12  27 
b) 2  80   1 
  1

3
49 4
81
3
a
: a

:8 a
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Sol: a)
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7 3
3
14.- Resuelve y simplifica el resultado:
2x
3x
6x
a) 3  3
 23
 53

9
4
125
Sol:
b) 2  4 a 2  4  a 3  2  9  a 
15.- Resuelve y simplifica el resultado:
3
2
1
a)

 24 

2
3
6
Sol: a)  6 b)  4  3
b) 12  6 
3
9a

4 4
 9  27 
3
16.- Resuelve y simplifica el resultado:
a)
3
2
9  (7  3   27) 
3
b3  3
b)
1
 b4 
b
b) b  3 b 2
Sol: a) 3 12 3
17.- Resuelve y simplifica el resultado:
x y
x  y 25xy 2  25y 3
 9x2  9 y 2 

x y
x y
x y
( x  y)
Sol:
4x  y 2
x  y2
x y
18.- Resuelve y simplifica el resultado:
a
4
a)
a  b  27 a
6
3
2
3
a  a b
4
16 a

3
a
3
3
3

b)
6
 4 a3
a
a5  3 a2
4

a
Sol:
19.- Resuelve y simplifica el resultado:
3
a)
a  b2  4  a3
6
b4  a
Sol: a) (2a  1)3 a

3
27  a 2  a
3  6 a5
b) 4  3 a
20.- Resuelve y simplifica el resultado:
1
a) 6 
 18  3  4 4  32 
2
Sol: a) 7  2

b)
2  3 a4 b  4 a2
a 3  3 8b

3
27  a 2  b 2
6
a2  b4

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Función logarítmica y exponencial
21.- Resuelve los siguientes logaritmos:
1
a) log3 (27  92 ) 
b) log2  
4
Sol:
22.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
1
a) log 4  2 log 5  log( x  1)  log 8  1
3
7x  8
 log 2 x
b) log x 2  log
2
c) 3 ln(x  1)  ln(x 2  1)   ln 3
Sol: a) x = 124
b) x = 8
c) x = 2
23.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3 x  2  3 x  90
b) 4 x  7  2 x  8  0
Sol: a) x = 2
b) x = 3
c) 7 x1  2 x  0
c) x = 1’55
24.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 x  2 x 1  24
b) 9 x  10  3 x  9  0
c) 5 x 2  3 x 1  0
d) log (x  3)  log x  1
e) 4 log x  1  log16  log5x
f) 4 x  10  2 x  16  0
g) 5 x1  5 x  5 x1  31
h) 6 x3  5 x4  0
25.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) log x  log 20  3
b) log x 2  log6  2 log x
Sol: a) 50
b) 6
c) 2 log x  log(10  3x)
c) 2
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Proporcionalidad
Reglas de tres compuestas
26.- En una carpintería 2 trabajadores pueden elaborar 40 sillas trabajando 4 días a la semana
durante 5 semanas, ¿cuántos trabajadores se necesitan para elaborar 100 sillas trabajando
5 días a la semana durante 2 semanas?.
Sol: 10 trabajadores.
27.- Para llenar 4 bañeras en 3 horas son necesarios 2 grifos. ¿Cuántas horas necesitan 3
grifos para llenar 10 bañeras?.
Sol: 5 horas.
Escalas
28.- Calcula la escala numérica de un mapa en el que Alcantarilla y Granada aparecen a 10
centímetros, cuando en realidad están a 250 km. Construye también la escala gráfica.
Sol: 1:250.000
29.- Calcula la escala numérica de un mapa en el que la distancia entre Alcantarilla y
Cartagena es de 20 centímetros, cuando en realidad es de 60 kilómetros. Dibuja la escala
gráfica.
Sol: 1:300.000
30.- Calcula la escala de un mapa en el que Murcia y Madrid aparecen a 5 cm de distancia,
cuando en realidad están a 400 km.
Sol: 1:8.000.000
Interés, incrementos y descuentos
31.- ¿Cuánto dinero debo ingresar en un banco durante 3 meses para que me produzcan 60
euros con un rédito del 8%?.
Sol: 3000 euros
32.- Ayer compré un televisor por 800 euros. Pero me lleve un disgusto, ya que según me dijo
el vendedor hacía una semana que habían subido su precio un 5%. ¿Cuánto costaba el
televisor antes del incremento de precio?.
Sol: 761’9 euros
Repartos proporcionales
33.- Un anciano quiere repartir su dinero entre sus hijos, pero sabe que sus hijos menores
necesitan más dinero que los mayores, ya que deben empezar a construirse su futuro. De
está forma reparte 28000 euros de forma inversamente proporcional a la edad de sus
hijos, que tienen 10, 20 y 40 años respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada hijo?.
Sol: 4000 euros al de 40 años, 8000 euros al de 20, y 16000 euros al de 10.
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Mezclas
34.- Para conseguir un vino de 12º se mezclan 5 litros de vino de 10º con una cierta cantidad
de vino de 22º. ¿Cuál es la cantidad que se ha añadido de ese segundo vino?.
Sol: 1 litro.
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Geometría
Figuras semejantes
35.- Calcula la altura del árbol de la siguiente figura:
2m
3m
9m
Sol: 8 m
36.- Calcula las longitudes de NC , A C y MN .
A
2 cm
3 cm
M
N
1 cm
B
4 cm
C
Sol: NC = 1’5 cm, A C = 4’5 cm, MN = 2’66 cm
37.- Dos rectángulos son semejantes. Las medidas del menor son 6 cm de base y 4 de altura.
¿Cuánto miden los lados del mayor, si su perímetro es 60 cm?.
Sol: 18 cm de base y 12 cm de altura.
38.- ¿Cuál es la altura de la chimenea de una antigua fabrica de ladrillos, si cuando me alejo
de ella 45 metros ocurre lo siguiente: Alargando mi brazo de 60 centímetros. puedo tapar
la chimenea exactamente con un lápiz de 20 centímetros?.
Sol: 15 metros.
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Teorema de Pitágoras
39.- Calcula la apotema de un hexágono regular cuyo perímetro mide 60 cm.
Sol: 8’66 cm
40.- Calcula la longitud de una escalera que apoyada a 6 metros de una pared nos permite
subir hasta 8 metros de altura.
Sol: 10 metros
Áreas y volúmenes
41.- Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular, cuya arista básica mide 4 cm y su
arista lateral 5 cm.
Sol: 124,56 cm3
42.- Calcula el área total de un cono de 12 cm de altura y 13 cm de generatriz.
Sol: 282’74 cm2
43.- Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular de 6 cm de arista básica y 5 cm de
arista lateral.
Sol: 31’68 cm3
44.- Una pirámide hexagonal tiene 4 cm de arista básica, y 5 cm de arista lateral, calcula:
a) La apotema de la pirámide.
b) La altura de la pirámide.
Sol: a) 4’58 cm
b) 3 cm
45.- En un cilindro cuyo radio mide 2 cm y la generatriz 4 cm, calcula:
a) El área total.
b) El volumen.
Sol: a) 62’8 cm2
b) 50’26 cm3
Vectores en el plano

46.- Dado el vector u  (3,4) encuentra otro vector que tenga la misma dirección pero que su
módulo sea la unidad.
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Expresiones algebraicas
Operaciones con polinomios
47.- Realiza las siguientes divisiónes:
a) (2x 2  3x  x5  x 4  2) : ( x 2 1)  b)
Sol: a) Q( x)  x3  x 2  x 1, R( x)  2 x  3
Teorema del Resto
48.- Halla el valor de “m” para que el polinomio P(x) = 5x4 + mx3 + 2x – 3, sea divisible por
(x + 1).
Sol: m = 0
49.- Determina el valor de “k” para que el polinomio P(x) = x2 – 6x + k, sea divisible entre el
binomio (x + 2).
Sol: k = -16
50.- Determina el valor de “m” para que el polinomio P(x) = x3 – 3x2 + mx – 1, sea divisible
por (x – 3).
Sol: m = 1/3.
51.- Hallar “m” para que el polinomio P(x) = 3x3 – mx + 4, sea divisible por (x + 1).
Sol: m = -1.
52.- Hallar el valor de “m” para que el polinomio P(x) = 2x2 + 3x – m dé de resto 4 al
dividirlo por (x – 2).
Sol: m = 10.
53.- Hallar el valor de “k” para que el polinomio P(x) = x5 – (2k +1)x3 + 2(k – 3)x2 + x – k
+1, sea divisible entre (x – 1).
Sol: k = -4.
54.- Hallar el valor de “m” para que el polinomio P(x) = x4 – (2m + 1)x3 + 3mx – 4, de de
resto 10 al dividirlo por (x + ½).
Sol: m = -221/20.
55.- Hallar el valor de “a” para que el polinomio P(x) = x3 – (a + 1)x2 + 3x – a, dé de resto 5
al dividirlo por (x + 2/3).
Sol: a = -61/39.
56.- Calcular el valor de “b” para que el polinomio P(x) = x7 + 2x3 - 5x + b, sea divisible por
(x + 2).
Sol: b = 134.
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57.- Hallar el valor de “k” para que el polinomio P(x) = x4 – 5x3 + kx – 3, dé de resto 15 al
dividirlo por (x + 3).
Sol: k = 66.
58.- Hallar el valor de “a” para que el polinomio P(x) = x3 + 2ax2 – (a + 1)x + 4, sea divisible
por (x – 2).
Sol: a = -5/3.
59.- Hallar el valor de “b” para que el polinomio P(x) = x3 – 3bx2 + 2x – 5, sea divisible por
(x + 2).
Sol: b = -17/12.
Método de Ruffini
60.- Resuelve utilizando el método de Ruffini:
a) ( x  3x 2  4  2 x 4 ) : ( x  2) 
Sol: a) Q( x)  2x 3  4x 2  5x  9 , R  14
b)
Descomposición factorial de polinomios
61.- Factoriza los siguientes polinomios:
a) x 4  2 x3  3x 2  4 x  4 
Sol: a) ( x  1) 2  ( x 2  2)
b) 2 x 4  5x3  5x  2 
Fracciones algebraicas
62.- Simplifica las siguientes expresiones:
x
1

1 1 y
1
y
a
x 

a)
b) 
x
y

a

1
1
1

y
x

2
 (a  1)  (a  2)
Sol: a) -1
b)
a 2  (a  2)
1

 a3  2
a
: a a2 
1
2 3

1  1 2 
2
a
a
a

63.- Simplifica las siguientes expresiones:
1
1
 2
2
1
1
2x
x
y

 2

a)
b)
x
y
x 1 x 1 x 1
2
y
x
Sol:
1 1
:    
 y x
64.- Calcula y simplifica las siguientes expresiones:
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a)
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x2  y2
x
y



2
2
x y x y
x y
b)
1
1
2x
 2
 2

x  x x  x x 1
2
Sol:
65.- Resuelve y simplifica el resultado:
2 1
1
1  2
a
a a 
a 
a)
2
2 1
a 3
1  2
a
a a
Sol:
66.- Resuelve y simplifica:
x3
2
4
 2

a) 2 
x
x  2 x  2x
x  (5 x  7)
3 x
Sol: a) 2
b)
x
( x  1)  ( x  1)
67.- Resuelve y simplifica:
3
1
x  10

 2

a)
2x  4 x  2 2x  8
3
x
Sol: a)
b)
x2
x2
b)
2 x 3x  1 1  x



x 1 x 1 x2 1
x  
x 

b)  x 
:x 

x 1  
x 1 

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Ecuaciones
Ecuaciones de primer grado
68.- Una familia está compuesta por los padres y tres hijos. Las edades de los cinco suman
142 años. Averigua la edad de cada uno sabiendo que el segundo hijo tiene 2 años más
que el tercero, y 3 menos que el primero, que la edad de la madre es la suma de la de los
tres hijos, y que el padre tenía 4 años cuando nació la madre.
Sol: Padre 50 años, madre 46 años, primer hijo 18 años, segundo hijo 15 años, tercer hijo 13.
69.- Un comerciante compra varias docenas de huevos a 9 la docena. Se le rompen 6 huevos
y vende los que le quedan a 10’8 la docena, con lo que gana 43,2 en la operación.
¿Cuántas docenas de huevos compró?.
Sol: 27 docenas.
70.- Una señora tiene 60 años, y su hijo la mitad. ¿Cuántos años hace que la madre tenia 3
veces la edad de su hijo?.
Sol: 15 años.
71.- A una fiesta asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos, Olga con ocho;
Vero con nueve, y así hasta llegar a Nina, que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos
había en la fiesta?.
Sol: 7 chicas y 13 chicos.
72.- En una clase hay 25 alumnos entre chicos y chicas. En un momento determinado salieron
de clase 4 chicos, entraron 3 chicas, quedando entonces el triple de chicas que de chicos.
¿Cuántos chicos y cuantas había al principio en clase?.
Sol: 10 chicos y 15 chicas.
73.- Hace 2 años un padre tenia 6 veces la edad de su hijo, y dentro de 4 años tendrá el triple.
¿Qué edad tienen actualmente el padre y su hijo?.
Sol: Padre 26 años, hijo 6 años.
74.- Un padre tiene 30 años mas que su hijo, ¿Cuántos años tiene cada uno si dentro de 5 años
el padre tendrá cuatro veces la edad de su hijo?.
Sol: Padre 35 años, hijo 5 años.
Ecuaciones de segundo grado
75.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
3
2x

2
x 1 x  2
5
Sol: a) x1  2, x2 
4
a)
b)
x3 x3 x2


x3 x3 x3
c)
3 x 2 4
 
5
x 5
Problemas de Matemáticas
IES Sagrado Corazón de Jesús
- 15 -
76.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
1
x
x

1
a) x  5  
b)
x3
x 1 x  2
Sol:
c)
x
 2x  6
x2
77.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x  ( x  3)  2 x  4
Sol: a) x1  1, x2  4
78.- El área de un triángulo mide 18 cm2. Si la altura es 5 unidades mayor que la base.
¿Cuáles son las medidas del triángulo?.
Sol:
79.- Uno de los lados de un rectángulo mide 6 cm más que el otro. ¿Cuáles son sus
dimensiones si su area es 91 m2?.
Sol: 7 y 13 cm.
Ecuaciones bicuadradas
80.- Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
36
a) x 2  3  2  2
x
Sol: a) x1  3, x2  3
Ecuaciones irracionales
81.- Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) x  1  2 x  3  1
b) 3x  2  4
d) 3x  2  4  x
e) x  3  x  2 x  5
Sol:
a) x1  3, x2  1
d) x  2
b) x  6
e) x  7
c) 2x  1  x  1
f) 2x  1  1  x  1
c) x  4
f) x1  1, x2  5
82.- Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) 15  2x  2x  3
b) 9  x  6  x  3
c) x  1  x  2  1
d) x  2 x  2  x
Sol:
a) x 
1
2
b) x  6
c) x  3
d) x  1
83.- Resuelve las ecuaciones irracionales:
a) x  1  x  x  3
b) 2x  1  1  x  1
Sol: a) x  2
b) x1  1; x2  5
c) x  5
c)
x 1 1  x  4
Problemas de Matemáticas
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- 16 -
84.- Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) 7 x  2  2  3x
Sol: a) x  2
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
85.- Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
1 3 x
a) 32 x 3  27( x 1) / 3
b) 8 x2  2 x
c) 6
4
 1296
Sol:
86.- Resuelve la siguiente ecuación logarítmica:
Sol: x  10
4  log x  log100  2 .
87.- Resuelve la siguiente ecuación: 2  log x  log(x  16)  2
Sol: 80 y 20
Inecuaciones de primer grado
88.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
x 1
1 x
x x
x
 7x 
a) 5 x 
b)   5 
6
2
3 6
2
Sol:
89.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
x4 x4
3x  1

 2
a)
3
5
15
Sol: a) x<1
Inecuaciones de grado superior
90.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
2
x3
1
4
1 

0
a)
b)
x 1
x2
x 1 x  2
Sol: a) x  1,1 2, 
b) x   ,2  1,2
91.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x 3  x  2  ( x 2  1)
b)
x  ( x  2)  1
0
 7 x  x  ( x  2)  6
Sol:
92.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
c)
x
x
 3  1
4
2
Problemas de Matemáticas
x 2  3x  4
0
x2
Sol: a) x   ,1  2,4
a)
IES Sagrado Corazón de Jesús
b)
x 2  3x  2
0
6  x2  x
- 17 -
c)
x  ( x  2)  x
0
2  ( x 2  1)  4 x
Sistemas de ecuaciones
93.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
5x  y  5
2x  3 y  6  x
a)
b)
3 y  2 x  11
2y  x  2  y
Sol:
94.- Hace cinco años la edad de Miguel era el triple que la de Gabriel, y dentro de cinco años
solo será el doble. Calcula la edad actual de cada uno.
Sol:
95.- En una reunión de chicos y chicas, el número de estas supera en 26 al de ellos. Después
de haber salido 15 chicos y 15 chicas queda el triple de chicas que de chicos. Cuantos
había en la reunión de cada sexo al principio.
Sol:
96.- Dentro de dos años un padre tendrá el triple de la edad de su hijo. Y hace 3 tenia cinco
veces su edad. ¿Cuántos años tiene cada uno en este momento?.
Sol: Padre 28 años, hijo 8 años.
97.- Los alumnos de un centro organizan una excursión en dos autocares; si del primero pasan
6 alumnos al segundo habrá el mismo número de alumnos en ambos autocares, pero si
del segundo pasan 6 alumnos al primero; serán en este el doble que en el segundo.
¿Cuántos alumnos van en cada autocar?.
Sol: 1º - 42 2º - 30
98.- Un comerciante quiere gratificar a sus empleados, para ello reparte una cierta cantidad de
dinero entre ellos. Si a cada empleado le da 5000 pesetas, le sobran 2500; pero si les da
5500 a cada uno le faltan 1000 pesetas. ¿Qué cantidad de dinero repartió y cuantos
empleados tenía?.
Sol: Tiene 7 empleados y reparte 37500 pesetas.
99.- Halla la fracción que vale 1/3 si se añade uno al numerador y que vale ¼ si se añade 1 al
denominador.
Sol: Numerador = 4, denominador = 15.
Problemas de Matemáticas
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- 18 -
Sucesiones
Progresiones aritméticas
100.- Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética: 2, 5, 8, 11, ...
Sol:
101.- Entre el segundo y el sexto término de una progresión aritmética suman 52, y el cuarto
con el octavo suman 80. Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión.
Sol: S = 365.
102.- Calcula la suma de los múltiplos de cuatro comprendidos entre 10 y 62.
Sol: S = 468.
103.- Calcula 5 medios en progresión aritmética entre los extremos 5 y 17.
Sol: 7, 9, 11, 13, 15.
104.- El cuarto término de una progresión aritmética vale 13 y el décimo 31. Indica el
término general de dicha sucesión y la diferencia.
Sol: an  3n  1
Progresiones geométricas
105.- Calcula el producto de la progresión geométrica de 5 términos: 81, 27, 9, ...
Sol:
106.- Interpola 4 medios geométricos en progresión geométrica entre los extremos 2 y 486.
Sol:   2, 6, 18, 54, 162, 486
107.- En una progresión geométrica, calcula 3 medios entre 486 y 6.
Sol: 162, 54, 18.
108.- Calcula el producto de los 6 primeros términos de la siguiente progresión geométrica.
  8, 4, 2, ...
Sol: 8.
Límites
109.- Calcula los siguientes límites:
2x 2  1
3  5x 2  6 x 3


a) lim 3
b) lim
n  x  2
n 
2x3  4x 2
Sol: a) 0
b) -3
110.- Calcula los siguientes límites:
Problemas de Matemáticas
IES Sagrado Corazón de Jesús
4 n 3
 3n  1  n2

a) lim

n  3n  5


Sol: a) 1
b) ½
b) lim(n  n2  n  1) 
n
- 19 -
Problemas de Matemáticas
IES Sagrado Corazón de Jesús
- 20 -
Trigonometría
Razones trigonométricas de un ángulo
111.- Sabiendo que el seno de un ángulo tiene el valor 
3
, y que está situado en el 4º
2
cuadrante, calcula el resto de sus razones trigonométricas.
Sol:
Relaciones entre ángulos
112.- Sabiendo que cos30 
3
, calcula: a) cos 60 =
2
b) tg 150 =
c) cos 210 =
Sol:
Resolución de triángulos rectángulos
113.- Resuelve el siguiente triángulo:
3 cm
25º
Sol:
114.- En una visita al pueblo de mis padres, quede maravillado por la torre de la iglesia del
mismo. Desde el lugar donde me encontraba había una inclinación de 60º desde el suelo
a la torre, pero si me alejaba 20 metros, la inclinación desde el suelo a la torre era de 30º.
¿Cuál es la altura de la torre?.
Sol: 17’32 metros.
115.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 45º y su longitud es 12 cm. Halla
la distancia entre las puntas de las ramas.
Sol: 9’18cm.
116.- Para llegar hasta un balcón, los bomberos tienen que apoyar su escalera de 13 metros
con un ángulo de 67’38º entre el suelo y la escalera. ¿Cuál es la altura a la que está el
balcón?. ¿A qué distancia del edificio han apoyado la escalera?.
Sol: 12 metros, 5 metros.
Resolución de triángulos cualquiera
117.- Resuelve el siguiente triángulo:
2 cm
3 cm 120º
Sol:
Problemas de Matemáticas
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Estudio de funciones
118.- Estudia los cortes con los ejes, signo y simetría de la siguiente función:
f ( x)  x 2  4x  3 .
Sol:
119.- Estudia el crecimiento y los máximos y mínimos de la siguiente función:
f ( x)  x 3  6 x 2 .
Sol:
120.- Estudia y representa la siguiente función: f ( x)  x 2  4x  3 .
Sol:
Estadística
121.- En una clase le preguntan a los alumnos por su altura obteniendo las siguientes
contestaciones:
170 cm, 164 cm,155 cm, 146 cm, 175 cm, 160 cm, 162 cm, 173 cm, 168 cm, 167 cm,
150 cm, 161 cm, 165 cm, 169 cm, 165 cm, 170 cm, 154 cm, 166 cm, 157 cm, 163 cm.
Calcula la media y representa los datos en un histograma.
Sol: 163 cm