Guia sobre el Teorema de Gödel

Seminario: Paradojas, Circularidad y Universalidad Expresiva
Teorema de incompletitud de Gödel (Formulación de Nagel y Newman)
Noelia De Marco
(A) Numeración de Gödel: aritmetización del cálculo formal
Es posible asignar un único número Gödel a cada signo elemental, a cada fórmula, y a cada
sucesión finita de fórmulas (pruebas).
¿Cómo? mediante un conjunto de reglas que me permitan establecer una correspondencia
biunívoca entre las expresiones del cálculo y una cierta subclase de los números enteros
(números Gödel).
-Dada una expresión, podemos calcular su número Gödel.
-Dado un número cualquiera, podemos averiguar si se trata de un número Gödel, y en ese
caso, descubrir cuál es la fórmula que tiene asociada.
(B) Aritmetización de la metamatemática
Las proposiciones metamatemáticas pueden ser adecuadamente reflejadas dentro del
cálculo aritmético:
-Una proposición metamatemática acerca de las expresiones y sus recíprocas relaciones
(sobre la base de que cada expresión del cálculo está asociada a un único número) puede
escribirse como una proposición acerca de los correspondientes números Gödel y sus
recíprocas relaciones aritméticas.
-Cada proposición metamatemática se halla representada por una única fórmula dentro de
la aritmética.
-La exploración de cuestiones metamatemáticas puede ser desarrollada investigando las
propiedades aritméticas y las relaciones de ciertos números enteros.
(C) El núcleo de la argumentación de Gödel
(I)Construimos una fórmula G que:
- Representa dentro del cálculo la proposición metamatemática “La fórmula G no es
demostrable”
- Está construida de tal modo que afirma de sí misma que no es demostrable
La proposición metamatemática “La sucesión de fórmulas con número Gödel x es una
demostración de la fórmula con número Gödel z” puede ser reflejada dentro del cálculo por
la fórmula Dem (x, z). Esto quiere decir que existe entre x (el número Gödel de la prueba) y
z (el número Gödel de la conclusión) la relación aritmética designada como Dem.
“La sucesión de fórmulas con número Gödel x no es una prueba de la fórmula con número
Gödel z” puede reflejarse del mismo modo:
~Dem (x, z)
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Generalicemos ésta última fórmula:
(x) ~Dem (x,z)
La última fórmula representa la proposición metamatemática “Para todo x, la sucesión de
fórmulas con número Gödel x, no es una prueba para la fórmula con número Gödel z” o, en
otras palabras, “La fórmula con número Gödel z no es demostrable”
Gödel prueba que un determinado caso de esta fórmula no es demostrable.
[1] (x) ~Dem (x, sust(y,13,y))
-Llamamos sust(y,13,y) al número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula con
número Gödel y, sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de y.
-A su vez, esta fórmula tiene asociado un número Gödel n.
Ahora, sustituimos la variable de número Gödel 13 de la fórmula [1] por el numeral de n
Obtenemos así la fórmula que estábamos buscando:
[G] (x) ~Dem (x, sust(n,13,n))
G pertenece al cálculo aritmético y, por lo tanto, puede calcularse su número Gödel. Este
número es sust(n,13,n):
-
-
sust(n,13,n) es el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula
de número Gödel n, sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de
n.
Efectivamente, la fórmula obtenida mediante este proceso es la misma G
En resumen:
G afirma: “La fórmula de número Gödel sust(n,13,n) no es demostrable”
La fórmula de número Gödel sust(n,13,n) es la misma G
G afirma “Yo no soy demostrable”
(II) G es demostrable si y sólo si ~G es demostrable
G: (x) ~Dem (x, sust(n,13,n))
~G: ~((x) ~Dem (x, sust(n,13,n)))
Negar que G no es demostrable equivale a afirmar que G es demostrable.
Si tanto G como su negación formal ~G son demostrables, entonces los axiomas son
inconsistentes. Si suponemos la consistencia de los axiomas, entonces G es formalmente
indecidible (no es posible probar su verdad o su falsedad dentro del sistema).
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(III) G es indecidible pero verdadera
A pesar de que no podemos probar la verdad de G deduciéndola de los axiomas, podemos
hacerlo mediante un argumento metamatemático:
Hemos probado que la proposición metamatemática “la fórmula G no es demostrable” es
verdadera.
Esta proposición metamatemática se halla representada dentro del cálculo por la fórmula G
A proposiciones metamatemáticas verdaderas, corresponden fórmulas aritméticas
verdaderas
Dado que “La fórmula G no es demostrable” representa a G, y la primera es verdadera, lo
será también la segunda.
(IV) Los axiomas son, no solamente incompletos, sino esencialmente incompletos
1- Si G es una fórmula verdadera pero formalmente indecidible, entonces, suponiendo
que sean consistentes, los axiomas son incompletos (Partiendo de ellos, es posible
probar algunas fórmulas verdaderas, pero no todas. Es imposible probar una
fórmula falsa)
2- Son además esencialmente incompletos:
Podríamos agregar G como axioma, y así eludir el problema de su indecidibilidad
formal (supuesto)
Sin embargo, por el mismo método por el que construimos G, podemos construir
una nueva fórmula verdadera pero indecidible, no contemplada aún en el conjunto
aumentado de axiomas.
Así, cualquier lista que pretenda contener todos los axiomas necesarios para
garantizar la completitud fracasará.
(V) No es posible demostrar la consistencia dentro del cálculo aritmético
Proposición
Equivalente a
metamatemática
“Si la aritmética es
consistente, entonces
es incompleta”
“Existe al menos una
“La aritmética es
fórmula de la aritmética
consistente”
Fórmula aritmética que la representa dentro del cálculo
“La fórmula G no es
demostrable”
G
(x) ~Dem (x, h)
para la cual ninguna
sucesión de fórmulas
constituye una prueba”
“Existe una proposición
aritmética verdadera que
no es formalmente
A→G
( y ) (x) ~Dem (x, y) → (x) ~Dem (x, h)
Es demostrable
A
(y) (x) ~Dem (x, y)
No puede ser demostrable*
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demostrable en la
aritmética”
No es demostrable
*A no es demostrable:
1- A→ G es demostrable
2- A es demostrable (supuesto)
3- G es demostrable (por modus ponens 1y2)
Pero probamos que G no es demostrable (si suponemos la consistencia de los axiomas, G
es formalmente indecidible)
Luego, A tampoco lo es
Si la aritmética es consistente, su consistencia no puede ser demostrada por ningún
razonamiento metamatemático susceptible de ser representado dentro del formalismo de la
aritmética.
Resultados obtenidos:
-Limitación en la potencia del método axiomático:
Para cualquier conjunto consistente de axiomas (al menos lo suficientemente expresivo
como para expresar la aritmética) existen proposiciones verdaderas que no pueden ser
derivadas a partir de dicho conjunto.
-Dado un sistema (al menos de la complejidad del de la aritmética) es imposible probar su
consistencia interna, a menos que se empleen en la prueba reglas de deducción que difieran
de las reglas de transformación utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema. Pero en
este caso, la consistencia de estos nuevos principios de razonamiento, quedaría tan sujeta a
la duda como la consistencia del mismo sistema.
No excluye la posibilidad de una prueba metamatemática, sino la posibilidad de que esa
prueba sea expresada y demostrada dentro del mismo cálculo.
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