3. ecuaciones de euler - Instituto Tecnológico Superior de Champotón

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
QUINTO SEMESTRE
MATEMÁTICAS V (ACM-0407)
Subtema 6.3
CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN (ELÍPTICAS,
PARABÓLICAS E HIPERBÓLICAS)
6.3
Clasificación
de
ecuaciones
diferenciales parciales de segundo orden
(elípticas, parabólicas e hiperbólicas).
Una ecuación de 2 orden en derivadas parciales lineal, homogénea, con
coeficientes constantes tiene la forma (supuesto dos variables indepenientes):
donde
a,h,b,f,g,c son constantes. Por comparación con una cónica
se puede decir que estas ecuaciones se clasifican en elípticas, parabólicas e
hiperbólicas de igual modo que las cónicas.
Esto es, si
>0
la ecuación es elíptica;
=0
la ecuación es parabólica;
<0
la ecuación es hiperbólica
Según esto, las clásicas ecuaciones de difusión, de ondas y de Laplace
pertenecen a los tipos
Ecuación de difusión: parabólica
Ecuación de onda: hiperbólica
Ecuación de Laplace: elíptica
Nota: Esta clasificación sigue siendo válida incluso cuando los coeficientes de la
ecuación a, b, h, f, g, c so funciones variables de x e y. En estos casos la ecuación puede
cambiar de tipo al pasar de un cuadrante a otro. Por ejemplo la ecuación
es elíptica en la región
hiperbólica en la región
> 0, parabólica a lo largo de las rectas
< 0.
= 0, e
Una ecuación de 2 orden en derivadas parciales lineal, homogénea,
con coeficientes constantes tiene la forma (supuesto dos variables
indepenientes):
donde
a,h,b,f,g,c son constantes. Por comparación con una cónica
se puede decir que estas ecuaciones se clasifican en elípticas,
parabólicas e hiperbólicas de igual modo que las cónicas.
Esto es, si
>0
la ecuación es elíptica;
=0
la ecuación es parabólica;
<0
la ecuación es hiperbólica
Según esto, las clásicas ecuaciones de difusión, de ondas y de
Laplace pertenecen a los tipos
Ecuación de difusión: parabólica
Ecuación de onda: hiperbólica
Ecuación de Laplace: elíptica
Nota: Esta clasificación sigue siendo válida incluso cuando los
coeficientes de la ecuación a, b, h, f, g, c so funciones variables de x
e y. En estos casos la ecuación puede cambiar de tipo al pasar de un
cuadrante a otro. Por ejemplo la ecuación
es elíptica en la región
> 0, parabólica a lo largo de las rectas
= 0, e hiperbólica en la región
< 0.
3. ECUACIONES DE EULER
Se llama ecuación de Euler a una ecuación de la forma
La solución general se puede obtener del siguiente modo, haciendo el
cambio
donde p,q,r y s son constantes
de igual modo
por último
Sustituyendo en la ecuación diferencial (3)
Ahora se elige p = r = 1 de modo que q y s sean raíces de la
ecuación
es decir, de modo que los coeficientes de
y
sean cero.
Por tanto, llamando a las raíces x1 y x2, quedaría la ecuación:
Ahora bien
y
por lo que la ecuación puede expresarse
Si
es decir la ecuación es elíptica o hiperbólica
cuya solución general se reduce a
donde F y G son funciones arbitrarias, pero
luego la solución general de las ecuaciones elípticas e
hiperbólicas es de la forma:
x1 y x2 son reales si la ecuación es hiperbólica, pero si es elíptica, son
complejas.
Si la ecuación es parabólica:
volviendo a la ecuación (3) y haciendo sólo p = 1, la ecuación (4)
será
Se busca q tal que
es una raíz doble
Llevando este valor a (4)
pero como = ab, sustituyendo el valor de "a" despejado de esta
igualdad, la ecuación queda
con tal que r y s no sean cero simultáneamente, la ecuación
resultante es
cuya solución general es de la forma
con F y G funciones arbitrarias, pero
con r y s arbitrarios, pero no simultáneamente ceros.
Luego, la solución general de una ecuación parabólica es
Aunque hemos resuelto, desde el punto de vista matemático, las
ecuaciones de Euler, estas soluciones tienen muy poco valor cuando
se imponen unas condiciones de contorno dadas y una condición de
valor inicial. Suele resultar muy difícil obtener la expresión de las
funciones F y G. Por ello, este procedimiento, más académico que
útil, va a dar paso a otro más eficaz que, además, nos va a ayudar a
ver el sentido físico de lo que se trata de resolver. Este método se
conoce con el nombre de método de separación de variables.