Libro nm3 unidad2 2001

Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
2
Unidad
Página 41
La Función Cuadrática y sus
Secuaces
PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA
SECTOR DE FORMACIÓN
ÁREA TEMÁTICA
CURSO
PROFESOR RESPONSABLE
UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
TIEMPO
:
:
:
:
:
:
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
3º MEDIO
JUAN CARLOS PALMA
“FUNCIÓN CUADRATICA”
40 A 44 HORAS

Fecha de Inicio:

Fecha de Término:

Tiempo estimado:

Tiempo real utilizado:
APRENDIZAJES ESPERADOS
Los alumnos:
1. Asociarán las propiedades de potencia de base real y exponente fraccionario
con las de raíces.
2. Realizan ejercicios varios aplicando las propiedades de las raíces.
3. Dominarán el concepto de función cuadrática.
4. Utilizarán los elementos de la función cuadrática en la construcción y estudio
de su gráfica.
5. Asociarán el concepto de raíz y el de función cuadrática con la ecuación de
segundo grado.
6. Reconocerán y aplicarán los diferentes tipos de ecuación de segundo grado.
7. Resolverán ecuaciones de segundo grado, irracionales y exponenciales.
LOGROS
1.
Concepto de raíz asociado a
potencias
de
exponente
fraccionario,
operaciones
y
propiedades.
2.
Función
cuadrática,
expresión
analítica. Representación gráfica.
3.
Características de la función
cuadrática, concavidad, eje de
simetría, intersección con los ejes,
vértice.
4.
Dominio y recorrido de una
función cuadrática.
5.
Ecuación cuadrática o de segundo
grado, estudio de su forma,
resolución y aplicaciones.
6.
Ecuaciones
Irracionales
y
Exponenciales.
ACTIVIDADES SUGERIDAS
1. Deducen propiedades de la potencias y
raíces. Resuelven diferentes tipos de
ejercicios. Taller Nº6.
2. Describen hechos de la vida diaria y
fenómenos que están expresados por
una función cuya gráfica es una
parábola.
3. Obtienen la gráfica de una función
cuadrática a partir de su expresión
analítica.
4. Obtienen la expresión analítica asociada
a una función cuya representación
gráfica es una parábola.
5. Localizan el vértice de la parábola e
interpretan el mismo en términos de
mínimo y máximo de una función.
6. Relacionan las características de la
representación gráfica de la función
cuadrática con los coeficientes de su
expresión analítica.
7. Asocian la gráfica de una función
cuadrática con el discriminante de ella.
Taller Nº7
8. Estudian la ecuación que compone la
función cuadrática.
9. Reconocen la ecuación de 2º grado, la
resuelven y la aplican a problemas.
Taller Nº 8.
10. Reconocen y resuelven ecuaciones
irracionales y exponenciales.
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
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CONTENIDOS DE ESTA UNIDAD
SUB-UNIDAD 2.1: NÚMEROS IRRACIONALES
 Repaso de Potencias.
 Historia y Propiedades de las raíces.
 Racionalización.
 Taller.
SUB-UNIDAD 2.2: FUNCIÓN CUADRÁTICA
 Historia.
 Dominio y Recorrido.
 Gráfica y propiedades de la gráfica.
SUB-UNIDAD 2.3: ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
 Tipos de Ecuación de 2° grado.
 Resolución de las ecuaciones.
 Problemas.
 Taller
SUB-UNIDAD 2.4: FUNCIONES IRRACIONALES Y EXPONENCIALES
 Ecuaciones Irracionales.
 Ecuaciones Exponenciales.
 Funciones Irracionales y Exponenciales.
 Taller
 Control Formativo
Sub-Unidad 2.1:
”NÚMEROS IRRACIONALES”
POTENCIAS
REPASO DE POTENCIAS
POTENCIAS DE IGUAL BASE
Multiplicación
n m
n m
a a  a
a  IR ; m , n  Z
n
m
División
n m
a :a a
a  IR  0; m , n  Z
POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
Multiplicación
División
n n
n
n
n
n
a  b  (a  b )
a : b  (a : b )
a , b  IR ; n  Z
a , b  IR ; b  0 ; m , n  Z
POTENCIA DE UN PRODUCTO
n
n n
POTENCIA DE UN CUOCIENTE
n
n
POTENCIA DE UNA POTENCIA
POTENCIA DE EXPONENTE
NEGATIVO
(a  b )  a  b
a , b  IR ; n  Z
a
a
   n
b
b
a , b  IR ; b  0 ; n  Z
(an )m  anm
a  IR ; n , m  Z
a n 
a
;  
an  b 
1
n
n
b
 
a
a , b  IR ; a , b  0 ; n  Z
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1
n
POTENCIAS DE LA FORMA a
4
7
¿Sabes cómo calcular 3 ? ¿Sabes lo que significa?
Para resolver lo que podemos hacer es:
 
4
1
1
4 7
7
3  3
 81 7  ?
Lo que significa el exponente
Por lo tanto esto queda:
7
 
1
significa la raíz séptima de 81.
7
81  1,873444005....
EJERCICIOS RESUELTOS
1
2
121 
121  11
3
1
4
3
81 4  (81 ) 4  813  27
EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando tu calculadora, resuelve:
1
1
1
1
1
1
1
8 3 , 27 3 , 16 4 , 625 4 , 7776 5 , 32 5 , 729 6
DE DONDE VIENEN?, CÓMO SON?
RAICES DE NUMEROS REALES
CONTEXTO
Las raíces nacen de la siguiente expresión: bn  p , ¿por qué?
Considera las siguientes situaciones:
a) Si, 23  x , cuánto vale x = ?
Al hacer el cálculo llegamos a que x = 8
b) Si, x3  8 , cuánto vale x = ?
Qué cálculo deberías hacer para encontrar el valor de x.
Si aplicamos a toda la expresión
3
, al igual que como elevamos al
cuadrado en una ecuación, nos queda.
3
x3 
x2
3
8
pero, ¿qué son las raíces? O que significan las raíces?
Si 32  9 ; y
9  3 , ¿qué sacas por conclusión?
EJERCICOS RESUELTOS
64  8 , por que 82  64
a)
b)
3
27  3 , por que 33  27
c)
5
 243  3 , por que  35  243
d) Que pasa con
9  ?
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EJERCICOS PROPUESTOS
I.
Calcula las siguientes raíces de los siguientes números (sin usar
calculadora), si no existe, justifica por qué.
4)
1) 196
5
5)
2) 32
3
3 ) 125
1
16
3
 27
7)4
3
 512
8)  36
6) 5 
1
243
6
9)  144
Como se habrán dado cuenta la radicación es una propiedad inversa a la
potenciación, y todas las propiedades de las potencias son aplicables a las raíces,
así tenemos lo siguiente:
La raíz cuadrada , cúbica y de índice cualquiera:
La raíz cuadrada de un número “a” es otro número “b” que elevado al cuadrado
nos da el primero. Consecuencias :
a) Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas.
b) Los números negativos no tienen raíz cuadrada.
c) La obtención de la raíz cuadrada es la inversa de elevar al cuadrado . Así :
72  7
 3 2  3
La raíz cúbica de un número “a” es otro número ”b” que elevado al cubo nos da
el primero. Consecuencias :
a) Todo número positivo tiene una única raíz cúbica.
b) Los números negativos si tienen raíz cúbica
c) La obtención de la raíz cúbica es la inversa de elevar al cubo . Así :
3 3
7 7
3 4 3  4
La raíz n-ésima de un número “a” es otro número “b” que elevado a n nos da el
primero.
índice
na
b
radicando
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
1. Suma y resta de raíces:
Solo se pueden sumar y restar raíces del mismo índice y mismo radicando:
16  16  2 16
Como se puede comprobar, la raíz de una suma o resta no es la suma de raíces:
16  9  16  9
2. Producto y división de raíces:
Solo se pueden multiplicar y dividir raíces del mismo índice:


3
8 • 3 27 
3
8  27  3 216  6
64 : 4  64 : 4  16  4
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También se puede decir al revés, es decir, la raíz de un producto es el producto de
raíces (lo mismo para el cociente):
16
16 4


25
25 5
16 • 4  16 • 4  4  2  8
Por otro lado veamos el siguiente ejemplo:
 14 2 
14 • 14 
142
 14
Del este ejemplo se puede obtener que el exponente de una potencia y el índice de
una raíz se pueden simplificar si son iguales y también que el exponente de una raíz
se puede pasar dentro de ella.
EJERCICOS PROPUESTOS
Aplica las propiedades de suma, multiplicación y división:
1.
2 3 2
2.
3  4 3  11 3  7 3
3
2
3. 3 a  ab  3 ab
4.
4
5.
4
ab2  a2b
8: 2
6. 3 81 : 3 9
7. Propiedad fundamental de las raíces:
Si se multiplican o dividen el índice de una raíz y el exponente del radicando por el
mismo número, el valor de la raíz no varía.
Esta propiedad nos permite multiplicar y dividir raíces de distinto índice.
EJERCICOS RESUELTOS
3
9
3
27 
3
25  2,9240... 
33 
39  3
6
252  2,9240...
EJERCICOS PROPUESTOS
Amplifica el índice de la raíz y el exponente del radicando por 4, -5, y 14 en
cada uno de los siguientes ejercicios:
1.
8
44
2.
3
3
3.
3
 1
 
3
5
8. Raíz de una raíz:
Para calcular la raíz de una raíz, se multiplican los índices.
EJERCICOS RESUELTOS
1
Calcular:
1
 1 2
7   72   74  4 7




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EJERCICOS PROPUESTOS
Calcula las siguientes raíces:
1.
4.
3
2.
64
5 3
2x 2
5
5.
x
3.
ab2
6.
5
32
3
5
x12
9. Potencia de una raíz:
La potencia de una raíz es la raíz de la potencia.
Ejemplo: Calcular,
3
8
  
3
1
3 2
 8
 82 
 8 3
EJERCICOS PROPUESTOS
Resuelve los siguientes casos.
1.

2x

3
10.


2.  x2y 


4
3
5

3.  9xy4 


Otras operaciones con raíces:
En algunas ocasiones se puede simplificar las raíces convirtiendo el radicando en
producto de potencias:

108  27  22 • 22 • 22 • 2  2 • 2 • 2 • 2  8 2

180  22 • 32 • 5  6 5

3
3
576  26 • 32  43 9
En otras ocasiones lo que se intenta es introducir números dentro de una raíz, para
lo cual debemos de elevarlos al índice de la raíz:
3 5  45
11.
23 10  3 80
RACIONALIZAR:
“Consiste en quitar las raíces que puedan aparecer en el denominador.”
Pueden ocurrir dos casos:
1º Que el denominador sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica
numerador y denominador por la misma raíz.
5
2

5
2

2
2

5 2
2
2º Que el denominador no sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica
numerador y denominador por una raíz del mismo índice que el denominador, pero
con un radicando elevado a un exponente que haga desaparecer la raíz del
denominador.
3
5 22
53 4


3
2
2 3 2 • 3 22
5
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
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3º Que el denominador sea un binomio con raíces cuadradas: en este caso debemos
de multiplicar numerador y denominador por el conjugado.
2
5 3

2 • (5  3 )

(5  3 ) • ( 5  3 )
10  2 3
52 
 3
2

10  2 3 10  2 3

25  3
22
EJERCICIOS PROPUESTOS
Racionaliza las siguientes expresiones con raíces:
a) A)
2
4
b)
c)
7
e)
i)
3
12
5
4
b c
f)
x
a
j)
3
b
4
m)
1 2
h)
4 2 3
c a
x y
2
2 5
k)
1- 3
2 5
n)
2
xy
g)
3 6 2 7
3
3 2
9 z
p)
Utiliza el Libro de 3º Medio de
Matemática Aplicada, para
reforzar todo lo aprendido
Páginas 14 a la 41
1 a  a
z
l)
3 2
ab
a b b a
o)
1- a
d)

3 2
5 3
Yo voy a
hacer los
ejercicios del
Libro y tú?
Contenido: Raíces Cuadradas y Cúbicas
1. Si
a=3 y
b=4
A) 1
B) 5
2. Si
A)
2
3.
3
A)
B) 5
b2  a2
es:
D) 7
7
3 2
b  2c - 3a
C) 3
E) -7
es igual a :
D)
3
3
D)
6
8
E) 0
64 = ?
B)
3
16
C)
6
2
E)
3
4
a 2b3c4 = ?
abc b
B)
5. Al simplificar
A)
C)
a = 1, b = 6, c = 3, entonces
A) 2
4.
entonces el valor de
a12b6
B)
a2bc2 b
3 15 9
a b
a5b3
C) abc c
D)
abc2
E) abc2 c
se obtiene:
C)
a 5b 3
D)
a12b 6
E)
a12b9
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
n nm
6.
a
1
m
a
A)
4
1
3
A)
1
n
a
m
an
C)
1 3 1
1
=?


81
27
9
1
B)
9
an
D)
C) 3
D)
E)
1
am
E) otro
3  2  2  18 = ?
8.
A)
= ?
B)
7.
Página 48
6
B)
36
C)
12
D)
6 6
E)
6 12
9. 3 25  3 5 =
A)
6
B) 6 25
5
53 5
C)
D)
56 5
E)
5
RACIONALIZAR:
1)
4)
7)
-4
8

x xy
y x
-5
2- 2
2)

5)

8)
3
4 7

3)

6)
ab
3
a2b
7+ 5
4- 5

Sub-Unidad 2.2: ”FUNCIÓN
9)
11
3
3

m2n
4
m3n2
7 5
3 5
=

CUADRÁTICA”
FUNCIÓN CUADRÁTICA
INTRODUCCIÓN :
Salimos a pasear en un día radiante, de repente cae una lluvia torrencial.
Nuevamente sale el sol y al mirar hacia el cielo observamos la formación de una
gama de colores, cuya figura nos llama la atención.
¿ Qué figura
geométrica nos regala
la naturaleza?
¿ Dónde encuentras
figuras similares a
esta?
En la presenta sub-unidad estudiaremos las características que presentan
estas figuras.
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 49
Si recuerdas, en la primera unidad estudiamos la función lineal como
f(x) = 3x + 2 .
¿Recuerdas que tipo de figura resulta esta función?
¿Qué nombre recibe esta figura?
Actividad 1 de análisis:
¿ Qué sucede si f(x) = 3x2 + 2 ? . Haz el gráfico en tu cuaderno.
Veamos ahora una nueva figura, haz el gráfico de f(x) = – x2 + 9, dibuja en el I y
II cuadrante.
¿No te parece conocida esta figura? . Nómbrala.
Para el presente caso la curva llega al eje de las X en dos puntos ¿Cuáles son?
A esos puntos los llamaremos INTERSECCIONES CON EL EJE X o también
INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS ABSCISAS ó CEROS DE LA FUNCIÓN.
Actividad 2 de INVESTIGACION:
-
¿
¿
¿
¿
¿
¿
Podrías encontrar el punto más alto de la curva (parábola)?
En qué parte del plano se ubica?
Cómo podrías encontrar más fácilmente ese punto, mirando la función?
Siempre existirá un punto más alto?
En qué caso crees tú que podría presentarse otra situación?
De qué factor depende el punto más alto o más bajo?
El punto más bajo o más alto lo llamaremos VÉRTICE.
Para clarificar conclusiones, grafica en tu cuaderno las siguientes funciones:
a) f(x) = x2
b)
f(x) = x2 – 4x
c)
f(x) = – x2 + x
¿Cuáles son los factores que intervienen para las diferentes posiciones del vértice?
DEFINICIÓN:
Una función cuadrática es una función definida por:
f : IR
IR
x
y = f(x) = ax2 + bx + c
donde a , b y c  IR , a  0
INVESTIGA:
¿CÓMO PODRÍAS DETERMINAR ANALÍTICAMENTE DICHO PUNTO?
¿CÓMO DETERMINO EL DOMINIO Y RECORRIDO DE ESTAS FUNCIONES?
Dada la siguiente función: f ( x)  x2  3x  2
Debes encontrar el conjunto de la pre-imágenes y de las imágenes. Esto se logra
(en un principio) a través de la gráfica:
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 50
x f(x)
-4 6
-3 2
-2 0
-1 0
0
2
1
6
2 12
3 20
-0,5
Ahora pregúntate ¿Qué valores pueden darle a x? Y ¿Qué valores vas a
obtener de y?
Si te das cuenta puedes darle cualquier valor a x, por lo tanto Dom f = IR.
Pero que valores vas a obtener de y, si te fijas en la flecha sólo toman valores de
–0,5 a +, por lo tanto el Rec f = [-0,5; +].
EJERCICIOS PROPUESTOS
Encuentra el dominio y recorrido de las siguientes funciones cuadráticas:
1. f(x) = x2+7x+10
2. f(x) = x2-4x+4
3. f(x) = x2-5x-6
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. En Física se demuestra que la distancia d recorrida por
un cuerpo en su caída en el vacío está dada por la
fórmula:
d = v0 t +
1
g t2 donde v0 es la velocidad
2
¿CUÁNTO
DEMORARÉ EN
LLEGAR AL
SUELO?
inicial del cuerpo, t es el tiempo de descenso y g es la
aceleración constante debida a la gravedad. Calcula el tiempo
que necesita un cuerpo para descender 100 metros en el vacío
si su velocidad inicial es 18 m/s y g es 9,8m/s2.
2. Un gallinero es atacado por una
MIS GALLINAS….
epidemia. A partir del instante en que
HE QUEDADO EN
se detectó el mal y se le empezó a
LA RUINA….
atacar la mortalidad diaria se dio de
acuerdo a la siguiente ley f(t) = -t2 +
30t + 99 donde t son días y f(t) muertes diarias.
a) ¿Cuántos animales murieron el día que se detectó el mal?.
b) ¿En qué día se produjo la mortalidad máxima? ¿Cuánto fue?.
c) ¿Cuánto tiempo duró la plaga desde el día que se detectó?
d) Si el modelo matemático rige al tiempo pasado ¿qué día se supone que empezó
la epidemia?.
3. Supongamos que el número (aproximado) de
bacteria en un cultivo en un tiempo t (medido en
horas) está dado por:
N(t) = 5000 + 3000 t – 2000t2.
a)
b)
c)
d)
¿
¿
¿
¿
Cuál es el número inicial de bacteria?
Cuánta bacteria hay luego de una hora?
En qué tiempo desaparece la población?
En qué tiempo la población de bacteria es máxima?
ESTA FUNCIÓN
ESTÁ DADA EN
FUNCIÓN DEL
TIEMPIO
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 51
4. Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto de la
horizontal, tal que su trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática:
3
y = - 5t2 + 24 t +
2
¿Cuánto demora en
caer desde que alcanza
su máxima altura?
¿Cuál es la altura máxima
(K) que alcanza y en qué
instante (T1)?
¿A partir de qué instante
la pelota comienza a caer?
¿Cuál será la altura que
alcanza la pelota a los 3
segundos de haberla
lanzado?
EJERCICIOS PROPUESTOS
Grafica las siguientes funciones cuadráticas:
1. y = 3x2
2. y - x2 - 2x = 0
3. y = x2 + 4 x + 3
Dados los siguientes gráficos, determina el signo de coeficiente
( concavidad) y tipos de soluciones, según la forma del gráfico:
4.
a
5.
y
y
x
6.
x
7.
y
y
x
x
Determina la concavidad de las siguientes parábolas , el número de
intersecciones con el eje x y su punto máximo o mínimo.
8. y = 5x2 - 3
9. y = x2 + 3
10 . y = -2x2 - 3x + 1
En las siguientes funciones cuadráticas determina: Dominio y Recorrido.
11 . y = 4x2 – 8
12 . y = x2 + x + 1
13 . y = -x2
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 52
Dados los datos de las gráficas de las parábolas, determina la función
cuadrática:
14 .
15 .
y
y
-2
4
x
-3
3
x
-8
16 .
17 .
y
y
-4
x
5
-8
2
5
x
Sub-Unidad 2.3: ”ECUACIÓN
DE 2° GRADO”
Ecuación Cuadrática o de 2O grado
Aquí se estudiará la ecuación que compone la función cuadrática, es decir las
expresiones de la forma:
ax2  bx  c , donde a, b, c  IR
Ejemplos:
1. x2  5x  6
2. 4x2  4x  1
3.  x2  3x  4
4.
1 2 3
x  x 1
2
4
TIPOS DE ECUACIONES DE 2º GRADO
Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes
a, b, y c son distintos de cero.
La expresión de una ecuación de segundo grado completa es:
ax2 + bx + c = 0.
Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó
c, o ambos, son cero.
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 53
(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una
ecuación de segundo grado.)
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:
ax2 = 0;
si
ax2 + bx = 0;
ax2 + c = 0;
b=0
y
si
c = 0.
si
c = 0.
b = 0.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Reconoce el tipo de ecuación de 2º grado, indicando los valores de los
coeficientes a, b y c:
1. 5x2  3x  2  0
2. 9x2  1  0
3. 4x2  4x  1  0
4. 3x2  2x  0
5.  12x2  6x  9  0
6. 36x2  25  0
7.  11x2  110x
8. 16x2  24x  9
9. 49  x2
10. 121x2  45x  15
11. 23x  4x2
12. 50x2  87
TRANSFORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO A LA FORMA
ax2 + bx + c = 0
EJERCICIO RESUELTO
Expresar en la forma ax2 + bx + c = 0, la ecuación
3( x  1) 2( x  1) ( x  1)(x  2)


2
3
5
Resolución:
1. Se quitan paréntesis:
3 x  3 2x  2 x 2  3 x  2


2
3
5
2. Se multiplica toda la ecuación por m.c.m. (2, 3, 5) = 30
15(3x + 3) - 10(2x - 2) = 6(x2 + 2x + x + 2);
45x + 45 - 20x + 20 = 6x2 + 12x + 6x + 12);
45x + 45 - 20x + 20 - 6x2 - 12x - 6x - 12 = 0.
3. Se reducen términos semejantes: 7x - 6x2 + 53 = 0
4. Se ordena la ecuación resultante: -6x2 + 7x + 53 = 0.
Esta ecuación también puede expresarse así: 6x2 - 7x - 53 = 0.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Escribe las siguientes ecuaciones de 2º grado de la forma ax2 + bx + c = 0
1. x (x  3)  5x  3
3. 7( x  3)  5( x2  1)  x2  5( x  2)
x2 x 3
 
5 2 10
5
1
1
7. 
x x2
2. (2x  3)2  ( x  5)2  23
4. 3x( x  2)  ( x  6)  23( x  3)
6. 4 x 
5.
8.
13 3

x
2
8x
5x  1

3
3x  5 x  1
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADO
Las ecuaciones de segundo grado incompletas son de tres tipos:
A.
B.
C.
ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.
ax2 + bx = 0; si c = 0.
ax2 + c = 0; si b = 0.
A.
ax2 = 0.
Despejando x2 se tiene: x 2 
0
 0  x2  0  x  0
a
Por lo tanto, las ecuaciones de la forma ax2 = 0 tienen como solución única
x = 0.
B. ax2 + bx = 0.
Sacando factor común x en el primer miembro, resulta: x (ax + b) = 0.
Para que un producto de dos factores x y (ax + b), dé como resultado cero,
uno de ellos debe ser cero:

x  0

x (ax  b)  0  ó

b
ax  b  0  ax  b  x 
a

En consecuencia, las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 tienen dos
soluciones:
x0  x
C.
b
a
ax2 + c = 0.
Despejando x2, se tiene:
x2 
Si el radicando, 
c
c
x
a
a
c
2
es negativo, ax  c  0 no tiene solución, pues no existe
a
la raíz cuadrada de un número negativo.
Si el radicando es positivo, la ecuación tiene dos soluciones:
x
c
c
 x
a
a
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Página 55
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3x2  0 b)
5 2
x 0
2
Resolución:
0
a) 3 x 2  0  x 2   0  x  0
3
b)
5 2
x  0  x2  0  x  0
2
2. Resolver las ecuaciones:
a) 2x2 + 4x = 0; b) -3x2 + 2x = 0;
c) x2 - x = 0
Resolución:
a) 2x2 + 4x = 0
Sacando factor común x, resulta:

x  0

x (2x  4)  0ó

4
2x  4  0  x 
 2
2

La ecuación tiene dos soluciones: x = 0
y
x = -2.
b) -3x2 + 2x = 0
Sacando factor común x, resulta:

x  0

x ( 3 x  2)  0  ó

2 2
 3 x  2  0  x 

3 3

La ecuación tiene dos soluciones x1  0  x 2 
2
3
c) x2 - x = 0
Sacando factor común x, resulta:
x  0

x ( x  1)  0  ó
x  1  0  x  1

La ecuación tiene dos soluciones: x = 0
3. Resolver las ecuaciones:
a) 3x2 - 27 = 0; b) 3x2 + 27 = 0;
y
x = 1.
c) -25x2 + 4 = 0
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Página 56
Resolución:
a) 3x2 - 27 = 0
3 x 2  27  x 2 
27
 x 2  9  x   9  x  3
3
La ecuación tiene dos soluciones, x = 3 y x = -3.
b) 3x2 + 27 = 0
3x 2  27  x 2 
 27
 x 2  9  x    9
3
El radicando, -9, es un número negativo, luego no tiene raíz. La
ecuación, por lo tanto, no tiene solución.
c) -25x2 + 4 = 0
 25x2  4  x2 
4
4
4
2

x

 25 25
25
5
La ecuación tiene dos soluciones x 
2
2
 x
5
5
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas:
2. ( x  5)(x  5)  7
1. 3x2  48
3. x2  5x  0
4. x2 - 3x  3x2 - 4x
5. ( 4x  1)(2x  3)  ( x  3)(x  1)
x2 x  9 3
6.


3
7. 3( x  2)(x  2)  ( x  4)2  8x
6
2
8. 5x2  4  2( x  2)
9. 9x2  a2  0
RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS
Una ecuación de segundo grado completa puede expresarse en la forma
2
ax + bx + c = 0, donde a, b y c son números distintos de cero.
Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:
x
 b  b2  4ac
2a
Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo
grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente
correspondiente.
De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos
soluciones, llamadas x1 y x2, dependiendo del signo + ó - que se toma
delante de la raíz:
x1 
 b  b2  4ac
 b  b2  4ac
 x2 
2a
2a
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Página 57
DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO
A la expresión que aparece, en las fórmulas anteriores, bajo el signo de
raíz, b2 - 4ac, se le denomina discriminante, y se representa por la letra
griega delta mayúscula, .
 = b2 - 4ac.
Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado
puede tener dos, una o ninguna solución.
Se distinguen tres casos:
A. Si  > 0. Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado
tiene dos soluciones distintas:
 b  b2  4ac
 b  b2  4ac
x1 
 x2 
2a
2a
B.  = 0. Si el discriminante es cero, las dos soluciones anteriores
coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso es una
solución doble:
Por lo tanto, x1 = x2.
C.  < 0. Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado
no tiene solución real, ya que la raíz cuadrada de números negativos no
existe.
 > 0 Dos soluciones distintas
 = 0 Solución única doble
<0
No hay solución
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0.
Resolución:
a = 1; b = -5; c = 6.
 b  b2  4ac  ( 5)  ( 5)2  4  1 6 5  25  24 5  1 5  1
x




2a
2 1
2
2
2
5 1 6
5 1 4
x1 
  3 y x2 
 2
2
2
2
2
La ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = 2.
2. Resolver la ecuación 3x2 + 3x - 18 = 0
Resolución:
Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, dividiendo todos los términos
entre este número, se obtiene una ecuación equivalente más sencilla:
x2 + x - 6 = 0
a = 1; b = 1; c = -6
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Página 58
 1  12  4  1 ( 6)  1  25  1  5
x


2 1
2
2
Las soluciones son: x1 
 1 5 4
 1 5  6
  2 y x2 

 3
2
2
2
2
3. Resolver la ecuación x2 + x + 1 = 0
Resolución:
En esta ecuación a = 1; b = 1; c = 1.
Aplicando la fórmula:
x
 1  1  4  1 1  1  1  4  1   3


2 1
2
2
La ecuación no tiene solución, ya que el discriminante es negativo.
4. Resolver la ecuación 10x2 + 5(4x + 2) = 0
Resolución:
Antes de aplicar la fórmula, hay que expresar esta ecuación en la forma
ax2 + bx + c = 0.
10x2 + 20x + 10 = 0. Esta ecuación puede simplificarse dividiendo en 10:
x2 + 2x + 1 = 0
a = 1, b = 2, c = 1
Se aplica la fórmula:
x
 2  4  4  1 1  2  0  2


 1
2 1
2
2
Por ser el discriminante cero, la ecuación tiene una solución doble:
x1 = x2 = -1
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado completas:
1. 3x2  5x  2  0
2. 6x2  x  222
3. 12x  4  9x2  0
4. 49x2  70x  25  0
5. 8x2  2x  3  0
6. 105  x  2x2
7.
x2  2ax  35a2  0
8.
1
2x  3 x  2

x5
10
9. 176x  121 64x2
10. x2  15x  56
11. x2  ax  20a2
12.
4 x  1 2x  1

2x  3 6 x  5
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 59
SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO
Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y x1 y x2 sus
soluciones, se cumple:
1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo
grado, x1 + x2, es:
x1  x 2 
b
a
Demostración:
x1  x 2 

 b  b2  4ac  b  b2  4ac  b  b2  4ac  b  b2  4ac


2a
2a
2a
 b  b  2b  b


2a
2a
a
2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo
grado, x1 × x2, es:
x1  x 2 
c
a
Demostración:
El numerador es una suma por una diferencia. Su resultado es la diferencia de
cuadrados:
Ejemplo: suma y producto de las soluciones de una ecuación de
segundo grado
Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de
sus soluciones:
a) 2x 2  7 x  15  0 b)
20
 9x
x
Resolución:
a) 2x2 + 7x - 15 = 0; a = 2; b = 7; c = -15
x1  x 2 
x1  x 2 
b 7

 3,5
a
2
c  15

 7,5
a
2
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b)
Página 60
20
 9x
x
Se pasa esta ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0:
20 = x(9 - x)  20 = 9x - x2  x2 - 9x + 20 = 0
a = 1; b = -9; c = 20
9
9
1
20
x1  x 2 
 20
1
x1  x 2 
DETERMINACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO A
PARTIR DE LA SUMA Y PRODUCTO DE SUS SOLUCIONES
Conociendo la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de
segundo grado, se puede determinar la ecuación correspondiente.
Sea S la suma de las dos raíces o soluciones de la ecuación:
S
b
 a  S  b  a  S  b
c
Sea P el producto de la raíces de la ecuación:
P
c
 a P  c
a
La ecuación de segundo grado se escribe como
Sustituyendo b y c por su valor: ax2 - aSx + aP = 0
ax2 + bx + c = 0.
Dividiendo toda la ecuación entre a: x2 - Sx + P = 0
Conociendo la suma S, y el producto, P, de las dos soluciones de una
ecuación de segundo grado, la ecuación se puede escribir como:
x2 - Sx + P = 0
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Determinar la ecuación de segundo grado cuya suma de soluciones vale 5 y
cuyo producto vale 6.
Resolución:
S = 5; P = 6
La ecuación es x2 - Sx + P = 0. Sustituyendo S y P por sus valores, se
obtiene:
x2 - 5x + 6 = 0
Para comprobar que la suma y el producto de las soluciones de la ecuación
son 5 y 6 respectivamente, basta con resolver la ecuación.
x
5  25  24 5  1

2
2
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Las soluciones son: x1 
Página 61
5 1 6
5 1 4
  3 y x2
 2
2
2
2
2
S = x1 + x2 = 3 + 2 = 5
P = x1 × x2 = 3 × 2 = 6
Luego, efectivamente la ecuación es x2 - 5x + 6 = 0.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determinar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones
x1 = - 2,
x2 = 3.
2. Determinar la ecuación de 2º grado cuyas raíces son:
a) 3 y 4
b) –1 y 3
c) –2 y 
1
5
3. Encontrar la ecuación de 2º grado cuyas raíces cumplen con:
a) La suma es 11 y el producto es 30
b) La suma es –33 y el producto es 260
c) La suma es 1 y el producto es -
11
4
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.
Resolución:
Cualquier número par puede expresarse en la forma 2x.
Sea pues 2x un número par. El par consecutivo de 2x es 2x + 2.
El producto de los dos números es 168: 2x(2x + 2) = 168. Se plantea así
una ecuación de segundo grado que hay que resolver.
2x(2x + 2) = 168 Þ 4x2 + 4x - 168 = 0.
Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta
x2 + x - 42 = 0.
Si x = 6, 2x + 2 = 12 + 2 = 14
Una solución es 12 y 14.
Si x = -7, 2x + 2 = -14 + 2 = -12
Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son -14 y -12.
El problema tiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14.
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 62
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380
2. Se han comprado gomas de borrar por un total de $60. Si se hubieran
comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1
peseta en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se
compraron?
3. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en
hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?
4. Una ecuación de segundo grado con un incógnita tiene una solución
igual a 3 y el término independiente vale 15. Calcular la ecuación.
Resolución:
Por ser 3 solución de la ecuación, ésta se puede descomponer en la forma
(x - 3) (x - x2) = 0, donde x2 es la segunda solución de la ecuación.
Desarrollando el producto: x2 - x · x2 - 3x + 3x2 = 0.
El término independiente es 3x2, y vale 15.
La ecuación es (x - 3) (x - 5) = 0 Þ x2 - 8x + 15 = 0.
5. Determina el valor de m para que la ecuación 2x2 - 4x + m = 0
tenga una raíz doble.
6. Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en
104 cm2. Calcula el área y perímetro del cuadrado inicial.
En esto me
peino!!
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 63
Contenido: Ecuación de 2 grado
1. Visita las siguientes páginas:
www.pntic.mec.es/Descartes/experiencias/mvi/representacion_fun_cuadratica.htm,
www.pntic.mec.es/Descartes/experiencias/mvi/funciones_polinomicas_segundo_grado.htm
Realiza las actividades que se proponen en ese sitio. Anótalas en tu cuaderno y
saca conclusiones.
Usa los apuntes que se encuentran en:
www.pntic.mec.es/Descartes/Analisis/Funciones_cuadraticas/Funciones_cuadraticas
.htm
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
x2  x  2  0
10x  25  x 2
x 2  144  0
x 2  3x  4
2 x 2  5x  3  0
x 2  5x  24  0
x 2  x  42  0
x 2  4 x  21
x 2  10x  0
x 2  24  10x
3x 2  16x  0
2 x 2  8 x  24  0
3x 2  12x  12  0
2x 2  4x  5
2 x 2  5x  1  0
x 2  5x  14
3x 2  8 x  5  0
3x 2  6 x  2  0
3. En un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1cm.
Cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm. Calcula las dimensiones y el
área del rectángulo inicial.
Sol. Base = 12 cm. Altura = 4 cm.
4. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor
se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
Sol. 5, 7 y 9
5. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la
edad del padre será el doble de la de su hijo, ¿cuántos años tiene ahora cada
uno?.
Sol. 6 y 36
6. Dada la ecuación:
 1,5x  ( x  1)(x  3)
a) Resuelve aplicando la fórmula.
b) Verifica gráficamente los resultados.
c) Indica el vértice y los puntos en que la parábola corta al eje X.
7. Encuentra los valores de k para que las raíces coincidan (x1 = x2) en la
ecuación: x 2  (k  3)x  k  0
8.
Realiza el control formativo
que se encuentra al final
de la unidad, página 60.
Tengo que estudiar
para hacer el control
formativo!!!
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 64
Sub-Unidad 2.4: ”ECUACIONES
IRRACIONALES Y EXPONENCIALES”
Ecuaciones Irracionales
Definición:
Se llama ecuación irracional a toda ecuación que presenta alguna incógnita en
forma de radicando.
Ejemplos:
1.
x 3
3.
x2  1  x  3
2.
x  2  2x  1
1  x  2x  3  7
ECUACIÓN IRRACIONAL REDUCIBLE A ECUACIÓN DE 1° GRADO
El método consiste en despejar la incógnita y como se encuentra dentro
de una raíz, se aplica la potencia correspondiente y luego se intenta encontrar
el valor de la incógnita.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resolvamos la ecuación:
x 1  5
Elevando al cuadrado para eliminar la raíz,

2
x  1  25
x  1  25
x  24
Comprobamos:
Si x = 24
x  1  24  1 entonces:
 25
5
Por lo tanto x = 24 es la solución de la ecuación.
2. Resolvamos la ecuación: x  5  x  7  2  0
Para resolver esta ecuación deberemos elevar al cuadrado dos veces, pero
primero se debe aislar una raíz.
 2
x 5  x 7 2

x 5
2  
x7 2
2
x 5  x 74 x 7  4
 16  4 x  7
Comprobando:
Si x = 9 entonces:
16 = x + 7
x=9
x5  x7 2  95  97 2

4  16  2
 242  0
Por lo tanto x = 9 es la solución de la ecuación.
Ordenando
( )2
Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio
Página 65
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve cada una de las siguientes Ecuaciones Irracionales:
1.
x 3  2
2.
2x  1  5
3.
x3  x5  2
4.
x  3  2 2x  4  5
5.
2 x3 4  2 3
6.
13  5  3x  1  4
7.
5x  3x  2
8.
5  2x  1  14
9. 2 x  5  3 x  6  28
ECUACIÓN IRRACIONAL REDUCIBLE A ECUACIÓN DE 2° GRADO
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resolvamos la ecuación:
Solución:
5 x 2  2  2x
5 x 2  2  2x
(elevando al cuadrado)
(*) 5x2  2  4x2
 4x2
x2  2  0
x 2
Las soluciones de la ecuación (*) son: x1   2 y x2   2
Observación: Debemos verificar si los valores satisfacen la ecuación original,
pues al elevar al cuadrado es posible alterar las soluciones.
Entonces, comprobemos si las soluciones garantizan la igualdad, pero de la
5 x 2  2  2x .
ecuación inicial
1) Para x1 
5
2 tenemos:
 2 2  2  2 
2
10  2  2 2
8 2 2
2 2 2 2
Por lo tanto x1 es solución de la ecuación.
2) Para x2   2 tenemos:

5  2
2  2  2   2 
10  2  2 2
8 2 2
2 2  2 2
Por lo tanto x2 no es solución de la ecuación inicial. (aunque sí de la ecuación
de segundo grado)
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Página 66
2x  3  6 x 2  1
2. Resolvamos la ecuación:
Solución:
2x  3  6 x 2  1
/ elevando al cuadrado
2x  3  6x2  1
/ igualando a cero
2
6x  2x  4  0
/ simplificando por 2
2
3x  x  2  0
Aplicando la fórmula de ecuación de segundo grado se obtiene:
x1  1 y x 2  
2
3
Comprobando cual solución corresponde a la ecuación inicial
2x  3  6 x 2  1
1) Para x1 = 1, se tiene:
2  1  3  6  12  1
5 5
Por lo tanto x1 es solución de la ecuación inicial.
2) Para x2 = 
2
, se tiene que:
3
2
 2
 2
2   3  6   1
 3
 3

4
3 
3
24
1
9
5
15

3
9
5

3
5
3
Por lo tanto x2 también es solución de la ecuación inicial.
Observación: Siempre debes comprobar las soluciones ya que no siempre
estas coinciden ser soluciones de la ecuación inicial, aunque sean soluciones de
la ecuación de 2º grado.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones irracionales:
2x 2  3
1.
5x2  2  3x  2
3.
x6  3 x2
4.
x2  6  3  x  1
5.
x 3  x 8  0
6.
x 2  2x  1  x  2
2. 6 x  1 
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Función Exponencial
Son todas las funciones donde la incógnita (variable independiente) se
encuentra en el exponente de la expresión.
f ( x)  ax , donde a  IR+
Ejemplos:
1. f ( x)  2x
2. g( x )  5x 1
2
3. h( x)  7x 3x 1
GRÁFICA
Deben construir una tabla de valores con aproximadamente 7 valores para
poder tener una gráfica más real.
Sea f ( x)  3x 1
x
-3
-1
0
1
3
f(x)
1
81
1
9
1
3
1
9
DOMINIO Y RECORRIDO
Ya sabemos por capítulos anteriores, como encontrar el dominio y el
recorrido de una función. Para este tipo tenemos las siguientes deducciones que
se obtienen del gráfico anterior:
Dom f = IR
Rec f = IR+
Ya que el exponente de la
función puede ser cualquier
número real, este puede ser
positivo negativo, cero, decimal,
fracción, etc.
Como vemos en la tabla de
valores todas las imágenes son
positivas, ya que no hay ningún
exponente con base positiva
que nos dé una imagen
negativa. Lo podemos
comprobar en el gráfico, donde
el conjunto de las imágenes
nunca toca valores negativos
del eje Y.
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Nota:
Cuando a>1, la función es creciente y siempre positiva.
Cuando a<1, la función es decreciente y siempre positiva.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Grafica y encuentra el dominio y recorrido de las siguientes funciones
exponenciales:
1. f ( x )  3x 3
 1
3. h( x )   
2
2. g( x )  44 x 5
4. j( x )  2
x 2  3 x 1
3x
Ecuaciones Exponenciales
Son las ecuaciones en la que la incógnita aparece como exponente.
Ejemplo:
3x 2  81
2x  4
2
4x 3x2  64
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y
propiedades:
ax  ay  x  y
Conviene, por tanto siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la
ecuación como potencias de la misma base.
Observación: Usa las propiedades de potencias entregadas al inicio de la
segunda unidad.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES
1
1) Resolver 21 x  :
8
Primero igualamos las bases:
1
1

 2 3
8 23
Entonces:
21 x  23
1  x  3
x4
Por lo tanto la solución de la ecuación es x = 4
2) Resolver b3x1 : b2x3  bx1  b2x5 :
Primero, aplicamos las propiedades de las potencias:
b3x1 : b2x3  b(3x1)(2x3)  bx2
2
bx1  b2x5  b( x1)(2x5)  b2x 3x5
Por lo tanto la ecuación queda:
2
bx2  b2x 3x5
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Así la ecuación queda:
x  2  2x 2  3 x  5
2x 2  4 x  7  0
Aplicando la fórmula de ecuación de 2º grado:
x
4  16  56 4  72 4  6 2 2  3 2



4
4
4
2
Así las soluciones son:
x1 
23 2
2
y
x2 
23 2
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
1. 43x5  32x2
 x5  zx4 x3
3. z x 1
2. 0,25x 1  0,125x 1
4. 640,75x 1  0,250,25x 1
5. a5x4  ax7  1
ES HORA DE REALIZAR EL TALLER
Contenidos: Ecuación Irracional, Ecuación y Función exponencial
I.
Resuelve las siguientes ecuaciones Irracionales, encontrando la(s)
solución(es) correcta(s).

x 8  2+

x 2  2x  1  9  x

x  10  x  19  1

9x  7  x  16x  7  0

3x  1  5x  16x  1

x  x 8  2 x

x 3 
6
x 3
5

2 x  x 7 
8
x 7
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II.
Página 70
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

2
2 x 2x  2 3 x

2 2x 

3 3 x 5 243

3 x 1  9 2x 4  1

0,125 2x 4  (0,0625) x

 1
 
 16 
III.
IV.
2 3 x 1
1
64
 x 5
 8 


 256 
4 x 7
Grafica (en un mismo plano) y encuentra dominio y recorrido de
las siguientes funciones:
x 2

3
y  
4

 1
g( x )   
2
2

f ( x )  5x

 1
h( x )   
2
x 1
 x 1
Encuentra la gráfica inversa, en base al eje Y, de las siguientes
funciones:

 1
f (x)   
4
2x

g ( x )  3 2 x 1
¿Tengo que hacer
el control
formativo?
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1. Grafica, encuentra el vértice, Dominio y Recorrido y las intersecciones
con los ejes coordenados de las siguientes funciones cuadráticas:
a) f(x) = -x2 + 3x – 6
b) g(x) = (x+5)2
Nota: Adecua el gráfico al espacio que se te indica.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado:
a) x2  8x  15  0
b) (2x  1) ( x  3)  0
c) 3x2  5x  2  0
d) x2  2x  1  0
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3. Escribe la ecuación de 2º grado que tiene las siguientes raíces:
a)
1
y4
2
b)
5 y
3
4
4. Halla el valor mínimo de la expresión: y  x 2  2x  3
5. Gustavo dispara un proyectil cuya altura en función del tiempo “t” está
dada por la expresión cuadrática: y  Q (t )   t 2  53t  1
¿Cuál es la altura máxima que alcanza dicho proyectil?
¿En qué instante vuelve al suelo?
6. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces x1 y x2 satisfacen:
1
2
x1  x 2
En esta me
salvo, jejeje!!
Porcentaje de Respuestas correctas:
0%
20%
40%
60%
80%
100%