Problemas sobre trigonometría -1- 1.-

Problemas sobre trigonometría
-1-
1.- Halla las restantes razones trigonométricas de  , sabiendo que:
2
5
8
, cos   0
3
5
(e) sec    , 180    360
3
3
(f) cot g   , 0    
4
(d) cos ec  
(a) sen    , 0    270
(b) cos  
3
, tg   0
7
(c) tg   3, 0    180
2.- Expresa las siguientes razones trigonométricas utilizando solo ángulos del 1r cuadrante:
(a) sen 150
(b) cos 135
(c) tg 210
(d) cos 225
(e) sen 315
(f) tg 120
3.- Si sen   0'35,
0 

(a) sen 180  
2
, halla:
(b) sen   90
4.- Si tg   2 ,
(a) sen 
3
(g) tg 340
(h) cos 200
(i) sen 290
(c) sen 180  
(e) sen 90   
(c) tg 90   
(e) cos 180   
(d) sen 360   
(f) sen 360   
0    90 , halla:
(d) sen 180  
(b) cos 
(f) tg 360   
5.- Halla con la calculadora el ángulo  (utilizando siempre dos cifras decimales, redondeando de la 3ª) y escribe
el resultado en grados, minutos y segundos:
(a) sen   0'79, 0    270
(d) cos ec  
(b) cos   0'31, 180    360
(e) sec   2'3
(c) tg   3'18, sen   0
(f) cot g  
7
3
4
3
6.- Calcula las razones trigonométricas de 55, 125, 145, 215, 235, 305, 325 y 2555, sabiendo que sen 35 = 0’57
(no puedes utilizar ninguna tecla trigonométrica de la calculadora)
7.- Calcula las razones trigonométricas de 358, 156, 342 y 2012, utilizando la calculadora solo para hallar razones
trigonométricas de ángulos del 1r cuadrante.
8.- Dibuja sobre la circunferencia goniométrica, ángulos que cumplan las siguientes condiciones:
1
2
(a) sen    , tg   0
3
, 90    360
4
(c) tg   1, cos  0
(b) cos  
7
, cos   0
5
5
(e) sec    , 0    180
2
(f) cot g   1, sen  0
(d) cos ec  
Problemas sobre trigonometría
-2-
9.- Consideramos triángulos ABC, siendo Ĉ = 90.
(a) Datos c=32 cm, B̂ = 570. Calcula a.
(d) Datos a=35 cm, Â = 320. Calcula b.
(b) Datos c=32 cm, B̂ = 570. Calcula b.
(e) Datos a=35 cm, Â = 320. Calcula c.
(c) Datos a=250 m, b= 308 m. Calcula c y  .
10.- Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y hemos medido el ángulo que
forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo un valor de 400. ¿Cuánto mide el poste?
11.- En un triángulo ABC conocemos
 =680, b=172 m y a= 183 m. Calcula la longitud del lado c.
12.- En un triángulo MNP conocemos M̂ =320,
N̂ =430, NP =47 m. Calcula MP .
13.- En un triángulo ABC conocemos a=20 cm, c=33 cm y B̂ =530. Calcula la longitud del lado b.
14.- Queremos calcular la altura de un edificio a cuya base no podemos acercarnos. Para ello nos situamos en
un punto de observación A y medimos el ángulo (visual hasta el punto más alto con la horizontal) bajo el que se
ve el edificio, 420. Luego nos alejamos 40 m hasta otro punto de observación B y volvemos a medir dicho ángulo,
350. ¿Cuál es la altura del edificio y a qué distancia nos encontramos de él inicialmente?
15.- Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta una altura de 15 metros, ¿qué
ángulo se debería inclinar la cinta?
16.- El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor es de 380. ¿Cuánto miden las diagonales del rombo?
17.- Halla la altura correspondiente al lado AB y el área de cada uno de los siguientes triángulos:
(a) AB =22 cm, CB =17 cm, ABˆ C =280
(b) AB =15 cm, CB =25 cm, ABˆ C =320
18.- En un triángulo ABC, AD es la altura relativa al lado BC. Si se sabe que
AB =3 cm, AD =2 cm, DC = 4’2 cm,
halla los ángulos del triángulo ABC.
19.- Desde un punto P exterior a una circunferencia de 20 cm de diámetro, se trazan las tangentes a dicha
circunferencia que forman entre sí un ángulo de 400. Calcula la distancia de P a cada uno de los puntos de
tangencia y la distancia de P a la circunferencia.
20.- Una estatua de 2’5 m de alto está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal
bajo un ángulo de 150 y la estatua bajo un ángulo de 400. Calcula la altura del pedestal.
21.- Un avión vuela entre dos ciudades A y B, que distan 80 Km entre sí. Las visuales desde el avión a A y a B
forman ángulos de 290 y 430 con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura está el avión?
22.- Halla el lado del octógono inscrito y del octógono circunscrito en una circunferencia de radio 5 cm.
23.- En una circunferencia de radio 6 cm trazamos una cuerda AB a 3 cm del centro O. Halla el ángulo
24.- En un cubo de lado b, calcula el ángulo que forman las diagonales del cubo y de la base.
AOˆ B .
Problemas sobre trigonometría
-3-
25.- Halla la altura del árbol QR de pie inaccesible y más bajo que los puntos de observación A y B, con los datos
RAˆ M =200, QAˆ M =400, QBˆ M =300, AB =50 m
Q
M
A
B
R
26.- Calcula la altura de la torre QR de pie inaccesible y más alto que los puntos de observación A y B, con los
ˆ M =180, QAˆ R =220, QBˆ M =320, AB =50 m
datos RA
Q
R
M
A
B
27.- Resuelve los siguientes triángulos:
(a) a= 100 m, B̂ =470, Ĉ =630
0
(b) b=17 m, Â =70 , Ĉ =35
(e) a=25 m, b=30 m, c=40 m
0
(f) a=100 m, b=185 m, c= 150 m
(c) a=70 m, b=55 m, Ĉ =730
(g) a=15 m, b= 9 m, Â =1300
(d) a=122 m, c= 200 m, B̂ =1200
(h) b=6 m, c=8 m, Ĉ =570
28.- Considera un triángulo con los siguientes datos a=4 cm, B̂ =300. Resuélvelo en los siguientes casos:
(a) b=5 cm
(b) b=1’5 cm
(c) b=2 cm
(d) b=3 cm
(e) b=4 cm
29.- Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B que distan entre sí 10 Km, orientan sus
antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40 0 y 650. ¿A qué
distancia de A y B se encuentra la emisora?
30.- En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los
postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve la portería desde ese punto?
31.- Calcula el área, los lados y la otra diagonal, sabiendo que , BAˆ C =500, CAˆ D =200,
B
A
AC =18 m
C
D
32.- Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ángulo de 1270. El primero sale a las
10 horas con una velocidad de 17 nudos, y el segundo sale a las 11.30 horas con una velocidad de 26 nudos, Si el
alcance de sus equipos de radio es de 150 Km, ¿podrán ponerse en contacto a las 3 de la tarde?
(Nudo=milla/hora, Milla=1850 metros)
Problemas sobre trigonometría
-4-
33.- Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B, fijamos dos puntos C y D tales que CD =300 m y
ˆ C =400, DCˆ A =460, ACˆ B =320. Calcula AB .
medimos los siguientes ángulos: ADˆ B =250, BD
34.- Para hallar la altura de un globo G, realizamos las siguientes mediciones: HAˆ G =750, GAˆ B =720, GBˆ A =630,
AB =20 m. Calcula la distancia del globo a los puntos A y B. ¿A qué altura está el globo?
G
B
H
A
35.- Sabiendo que sen x  3
5
y que
2
 x   , calcula, sin hallar el valor de x y trabajando con fracciones:



6



(d) cos x  
3

(c) sen  x 
(a) sen 2 x
(b) tg

x
2
36.- Sabiendo que
sen x 
(e) cos
x
2


(f) tg  x 


4
2
y que x es un ángulo del 1r cuadrante, calcula (sin hallar el valor de x y trabajando
3
con fracciones):
(b) tg
(a) sen 2 x
37.- Si tg    4
3
y

2
(c) cos30  x 
x
2
 x   , calcula (sin hallar el valor de x y trabajando con fracciones):


 
2



(b) cos180 
(a) sen 
38.- Sabiendo que cos x   3
4


2
y que sen x  0 . Calcula (sin hallar el valor de x y trabajando con fracciones):
(a) sen x
(c) cos 2 x
(b) cos  x 
(d) tg
x
2


 x
2

x

(f) cos   
2

(e) sen 
39.- Halla las razones trigonométricas de 900 a partir de las de 450.
40.- Halla las razones trigonométricas de 900 a partir de las de 600 y 300.
41.-
Sabiendo que sen 120=0,21 y que cos 370=0,80. Calcula, sin utilizar las teclas trigonométricas de la
calculadora, las razones trigonométricas de 490, 250, 740 y 60.
Problemas sobre trigonometría
42.- Demuestra la siguiente igualdad:
-5-
cosa  b   cosa  b 
 cot g a
sena  b   sena  b 
43.- Demuestra que:
2sen  sen 2 1  cos

2 


(d) cos x    cos x 

  cos x
2sen  sen 2 1  cos
3
3 



sen a  b  tg a  tg b
(b) 2 tg  · sen 2  sen   tg 
(e)

2
sen a  b  tg a  tg b
(c) cos cos     sen sen      cos
(a)
44.- Simplifica:
2 cos45  a  cos45  a 
(a)
cos2a
(b)
sen 2
1  cos 2 
45.- Calcula:
2
7
4
11
 cos
 tg
 tg
3
6
3
6
5
3
7
 cos
 sen
(b) sen
4
4
4
(a) sen
(c) cos
(d)
5
4
7
 tg
 tg
3
3
6
3 cos

6
 sen

6
 2 cos
46.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) 2 cos2 x  cos x  1  0
(e) 4 cos2 x  3 cos x  1
(b) 2sen x  1  0
(f) sen 2 x  tg x
(c) tg x  tg x  0
(g) 2 sen x cos2 x  6 sen3 x  0
(d) 2sen 2 x  3 cos x  3
(h)
2
2
2 cos
x
 cos x  1
2
47.- Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican:
(a) tg x   3
(b) sen x  cos x
(c) sen 2 x  1
(d) sen x  tg x
48.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) 4 sen
x
 2 cos x  3  0
2
(b) 2 cos x  1  sen x  0
(c) 3tg 2 x  3 tg x  0
(d) sen 2x  2 cos2 x  0
(e) cos2 x  3sen x  1  0
x
 1  cos x
2
2 x
 cos 2 x  0
(g) 2 sen
2
x
(h) 3sen  cos x  1  0
2
x
1
2
 cos x   0
(i) cos
2
2



(j) tg   x   tg x  1
4

2
(f) tg

4
 2 3sen

3