ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. TRABAJO PRACTICO.( ESPACIOS EUCLIDEOS). (07-09-13) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1) Sea el subespacio (F) de R3 generado por los vectores de 1 0 1 A u1 , u 2 , u 3 1 , 1 , 2 ; se pide: 0 1 1 a) Halle una base para F e indique la dimensión. b) Halle la ecuación implícita de F e interprete geométricamente al subespacio F. c) Ortonormalice la base hallada en b).(Gram-Schmidt)[ver en bibliografía] d) Muestre que el vector v 3,4,2 no pertenece a F. e) Halle el vector Proyección ortogonal de v sobre el subespacio F. PF v (recuerde la base para la proyección debe ser ortogonal). f) Calcule el módulo del vector v PF v . g) Interprete geométricamente el número v PF v . h) Transforme el subespacio F en una Variedad Lineal sumándole a F el vector u 1, 2, 2 y llamemos a la variedad lineal Q, es decir Q u F . i) Halle la ecuación implícita de Q e interprete geométricamente esta Variedad Lineal. j) Halle v u , determine PQ (v u ) y calcule (v u ) PQ (v u ) . Interprete geométricamente este número. k) Halle el subespacio complementario y ortogonal a F y lo llamaremos F .(recuerde: al ser suplementarios la suma de las dimensiones de los espacios debe ser la dimensión del espacio en el que trabajamos.) l) Halle una base ortonormal para el subespacio complementario y ortogonal a F. m) Determine Proyección de v sobre F y luego sume las proyecciones del vector v sobre F y F . ¿Qué obtiene?. 2) Dado el subespacio H = {2x+y-z=0}, se pide a) Hallar el vector w, que es el simétrico del vector v=(2,-3,3)respecto de H. b) Calcular el área del triángulo que tiene por lados los vectores v y w. c) Hallar el vector w1, simétrico de v, respecto del plano: π: 2x+y-z=5. d) Hallar la distancia de v a H y de v a π. e) Graficar (con algún software) los subespacios y los puntos v y w. 3) Consideremos los puntos P = (-1, 1, 1) , Q = (7, 1, 7) y R(-4, 1, 5). Se pide: a) Demuestra que son los vértices de un triángulo rectángulo y calcula la longitud de cada cateto y el área del triángulo. b) Obtén la ecuación del plano que los contiene. c) Obtén un punto T de manera que los puntos P, Q, R y T sean los vértices de un rectángulo. 4) Dados los puntos A=(3,2,0), B=(1,0,1), C=(2,-2,3), y D(-1,1,2). Se pide: a) El área del triángulo ABC. b) El volumen del tetraedro ABDC. c) El ángulo determinado por el plano ABC y la recta CD. d) El ángulo determinado por los planos ABC y BCD. e) Ecuación de la perpendicular común a las rectas AB y CD. f) Distancia entre las rectas AB y CD. 5) En R4 se considera el subespacio vectorial V dado por las ecuaciones x y 2z t 0 v x y t 0 a) Hallar una base ortonormal de dicho subespacio. b) Halla el subespacio ortogonal complementario de v. c) expresa el vector u (2,4,3,2) como suma de proyecciones sobre los subespacios ortogonales. 6) Dar a ecuación parabólica que mejor se ajusta a los puntos (-1,0) (0,1) (1,2) (2,2). Calcular el error cuadrático medio.(𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐) 7) Dados los puntos (0,0) (1,1) (2,3) (3,5) ajustarlos a una función del tipo y=a cos (x) + b 2x Utilizando el método de mínimos cuadrados. Calcular también el error cuadrática. Rv>