AUTOEVALUACION_ESTAD-27-11-11.doc

AUTOEVALUACION: “ESTADISTICA” Y “PROBABILIDAD Y
ESTADISTICA”
“¿Cómo explicar que las matemáticas, un producto de la mente humana,
independientemente de la experiencia, se adapte tan admirablemente bien a
los objetos de la realidad?”.
Albert Einstein
1) La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es de 0,6, la de que
apruebe Lengua es 0,5 y la de apruebe las dos 0,3. Se elige un alumno al azar, calcula
las siguientes probabilidades:
a) Probabilidad de que apruebe al menos una asignatura.
b) Probabilidad de que no apruebe ninguna.
2) La probabilidad de que un hombre fume es 0,6 y la de que una mujer sea fumadora
es 0,3. En una fábrica hay un 75 % de hombre y un 25 % de mujeres. Tomamos una
persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que fume?
Una persona desconocida ha dejado un cigarrillo encendido y se ha producido un
pequeño incendio. ¿Cuál es la probabilidad de que el causante fuera un hombre?.
( Sol. 0,525; 0,857 )
3) Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que
pase la primera prueba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8
y la de que pase ambas es 0,5. Se pide:
a) Probabilidad de que pase al menos una prueba.
b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba.
c) ¿Son las pruebas sucesos independientes?
d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado
la primera.
4) Se desea investigar cierta característica de las familias con tres hijos de la ciudad
de Reconquista. En el supuesto de probabilidades iguales para varones o mujeres, se
elije una familia al azar:
a) Anote el espacio de resultados de este experimento.
b) Defina la variable: número de varones en la familia.
c) Anote la función de probabilidad (cuantía) y represéntela gráficamente.
d) Anote la función de acumulación de probabilidad y represente gráficamente.
e) Calcule la Esperanza, la varianza y la desviación estándar de la variable.
5) Sea el experimento que consiste en arrojar dos dados, se pide:
a) Anote el espacio de resultados.
b) Defina la variable aleatoria como la suma de puntos que se obtiene.
c) Anote la función de probabilidad (cuantía) y la de acumulación.
d) Calcule la Esperanza matemática, y el desvío estándar.
6) Se asegura un diamante de 50 000.- dólares por su valor total pagando una prima
de D (dólares). Si la probabilidad de un robo en un año dado es de 0.01. Qué prima
tendría que cobrar la compañía de seguros si espera ganar 1000 dólares.
7) Una industria suministra un producto químico a 10 plantas manufactureras. La
probabilidad de que cualquiera de las plantas llame y haga un pedido en un
determinado día es 0.2 y es la misma para las 10 plantas. Calcular la probabilidad de
que un día determinado, el número de plantas que llamen para hacer un pedido sea:
a) a lo sumo 3.
b) por lo menos 3.
c) exactamente 3.
d) más de 4 y a lo sumo 7.
e) Por lo menos 2 pero menos de 8.
8) Considera una variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la
siguiente tabla:
x
-25
-10
0
5
f(x)
a
2a
3a
4a
a) Deduce el valor de a.
b) Halla la función de distribución F
c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica.
9) El 20 % de los tornillos de un gran lote so defectuosos. Se cogen tres tornillos al
azar y se pide calcular razonadamente:
a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos.
b) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso.
c) La probabilidad de que solamente uno sea defectuoso.
f ( x) 
1
 kx
5
si x  0, 10 sea función
10) Calcula el valor de k para que la función
de densidad.
Obtenido el valor de k, calcula la media y la desviación típica de la distribución.
( Sol. k = 1/50 ;
media = 3,33;
desviación típica = 2,36 )
11) El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con
una media de 500 Kg. y 45 Kg. de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros,
a) Cuántos pesarán más de 540 Kg.?
b) Cuántos pesarán menos de 480 Kg.?
c) Cuántos pesarán entre 490 y 510 Kg.?
( Sol. 373; 660; 348 )
12) Suponga que el tiempo de respuesta de una computadora sigue una distribución
exponencial con una media de tres segundos
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda los 5 segundos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en 100 instrucciones independientes el tiempo de
respuesta promedio resulte mayor a 3.6 segundos?
13) Se sabe que una variable aleatoria x tiene distribución normal de parámetros  y 
desconocidos.
Deduzca un intervalo de confianza para la media de dicha población.
14) Indique en que casos dos sucesos A y B son :
a) Mutuamente excluyentes
b) Independientes
c) De un ejemplo de un par de sucesos que sean simultáneamente dependientes y
mutuamente excluyentes.
15) Sea X la variable aleatoria continua cuya función de densidad es:
c

f ( x)   x 2
0

 0.75  x  0
0  x 1
en otro caso
a) Calcule E(X)
b) Si se toma una muestra aleatoria de 100 valores de X y se calcula su media
muestral X ,¿tendrá su valor un signo más probable? Justifique la respuesta.
16) El gerente financiero de una cadena de supermercados seleccionó una muestra
aleatoria de 200 de sus clientes que utilizan tarjetas de crédito para el pago de sus
compras y encontró que 136 habían incurrido en cargos por intereses durante el año
anterior debido a la falta de pago de sus saldos.
a) Encuentre un estimador insesgado de la proporción de clientes que pagaron
intereses durante el año pasado entre los clientes que utilizaron tarjeta de
crédito para el pago de sus compras.
b) Encuentre un intervalo de 90% de confianza para dicha proporción. Interprete.
c) Si la longitud deseada del intervalo de 90% de confianza es 0.05, ¿qué tamaño
de muestra se debería tomar?
17) Distribución Poisson
a) ¿Cuáles son las características de una variable con dicha distribución?
b) Esperanza y varianza
c) ¿Qué distribución puede aproximarse con la distribución Poisson? Dé un ejemplo.
18)
a. La estimación puntual y la estimación por intervalos son incompatibles en un
estudio estadístico (o se realiza una o la otra pero no las dos). Comenta
brevemente esta afirmación
b. ¿Qué significado práctico tiene el concepto de nivel de confianza en la
obtención de un Intervalo de Confianza?
c. ¿Qué significado tiene la amplitud de un intervalo de confianza?.
d. ¿Si se incrementa el nivel de confianza aumenta la precisión de la estimación
por intervalo? ¿Por qué?
e. ¿Es correcta la siguiente afirmación? “La probabilidad de que la proporción de
fumadores sea mayor que el 20% y menor que el 25% es del 95%”
f. ¿Cómo podemos mejorar la precisión de un Intervalo de confianza?
g. Concepto de margen de error en una encuesta
h. NOTA: Para responder las cuestiones puedes ayudarte en la explicación del
intervalo de confianza para la media de una población
i. normal con media conocida.
19) A partir de una muestra procedente de una población normal un investigador
obtiene un intervalo de confianza al 99% para la media de consumo de un producto,
(16€, 25€). Esto significa que:
a) El error es del 1%.
b)El error es de ±4 euros.
c) Si se extraen muestras aleatorias un número elevado de veces, la verdadera media
estará contenida en el 99% de los intervalos calculados.
20) La etiqueta en las cajas de una marca de detergente indica un peso de 800
gramos. Una máquina llena estas cajas donde el contenido de las mismas es una
variable aleatoria uniforme en el intervalo (780 ; 820). El control de calidad acepta las
cajas llenas con 15 gramos más o menos de la cantidad que indica la etiqueta.
a) ¿Cuál es la variabilidad del contenido de las cajas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja contenga entre 785 y 795 gramos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja no cumpla con el estándar de control de
Calidad?
21) Las calificaciones de un examen de ingreso a la universidad de un grupo de
alumnos aprobados son las siguientes:
62 61 75 70 87 62 73 79 75 65
96 99 86 93 65 70 62 80 81 72
62 89 97 60 81 75 86 97 90 77
63 78 85 93 85 88 73 68 60 60
66 62 97 95 73 76 78 61 65 69
Trabajar los datos registrados en serie y encontrar:
a) la calificación más alta.
b) la calificación más baja.
c) la calificación más frecuente.
d) la calificación de los 5 alumnos con notas más bajas.
e) la cantidad de alumnos que obtuvieron una calificación de 80 o más.
f) la cantidad de alumnos que obtuvieron una calificación de 70 o menos.
g) el porcentaje de alumnos que obtuvo una calificación entre 75 y 90
22) Las calificaciones finales de un estudiante fueron: Matemática 8, Química 7.50,
Idioma 9, Biología 8.50. Si la importancia que se asigna a Matemática e Idioma es el
doble de la que se asigna a Química y Biología respectivamente, determinar el
promedio de puntuación adecuado si:
a) los pesos de Matemática e Idioma son iguales.
b) el peso de Matemática es 10 y el de idioma es 8.
23) Sea Z una variable aleatoria normal tipificada, hallar el valor de “a” sabiendo que:
a) P (0≤ Z ≤ a) = 0.4922
b) P (Z ≤ a) = 0.5
c) P (Z  a) = 0.1841
d) P (Z ≤ a) = 0.9750
e) P (Z ≤ a) = 0.7939
f) P ( 1.2 Z a) = 0.1044
g) P (-2.5 Z a) = 0.8624
h) P (-a Z a) = 0.9342
24) En un grupo de calificaciones de un examen con media 63 y desvío estándar de 7:
a) Calcular la probabilidad de obtener:
a1) a lo sumo, una calificación de 88 puntos.
a2) por lo menos, una calificación de 57 puntos.
a3) entre 50 y 70 puntos.
b) ¿Cuál es la calificación mas baja del 20% de las calificaciones mas altas?
c) ¿Cuál es la calificación mas alta del 20% de las calificaciones mas bajas?
d) Si se evalúan 200 alumnos, ¿en cuántos cabe esperar una calificación superior a 68
puntos?
e) Si un alumno obtiene una calificación de 73 puntos en este examen y una
calificación
de 68 en otro examen que tiene una media de 58 puntos y una desviación de 5 puntos,
¿en cuál de los dos exámenes esta en mejor situación?
25) Sea X una variable aleatoria con distribución normal, hallar el valor de la
desviación típica sabiendo que la probabilidad de que la diferencia entre la variable y
su media sea menor que 2 (en valor absoluto) es igual a 0.90.
26) Resolver los ítems a) y b) del ejercicio anterior si el muestreo se realiza con
reposición.
Supongamos que un pequeño comercio tiene 5 empleados y se tiene el registro de
ventas que realiza cada uno de ellos, en una semana, en la siguiente tabla:
Empleado
Número de ventas
A
7
B
4
C
8
D
4
E
5
1. Seleccione todas las muestras de tamaño 2 y establezca la distribución
muestral de la media.
2. Calcule la media y la desviación estándar de todas las medias muestrales
y calcule la media y la desviación estándar de la población. ¿Cuál es su
conclusión?
27) Una máquina produce tornillos de una determinada longitud. Se toma una muestra
aleatoria de los mismos y se mide la longitud, resultando los siguientes valores en cm:
5.03, 4.99, 5.04, 4.98, 4.99, 5.00, 5.02, 5.00, 4.97, 5.01, 5.04, 5.03, 5.01, 4.99 y 5.00.
Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los tornillos
producidos por la máquina.
28) Calcular el nivel de confianza que corresponde a los siguientes intervalos para la
desviación típica de una población, tal que n=16 y S=2.40.
a) [1.83; 3.84]
b) [1.67; 4.48]
29) El 9 % de los individuos de una región tiene sangre tipo B. En una muestra simple
al azar de 400 personas de esa población se encontró que 12,5 % tenían sangre tipo
B.
a) Indique:
- valor numérico del parámetro: …….
- valor numérico del estadístico: …….
- identifique en términos del problema al parámetro y al estadístico
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva muestra aleatoria de tamaño 400
contenga por lo menos un porcentaje de 12,5 % de personas con sangre tipo B?
30) Considere la variable aleatoria X: peso de alumnos varones de UTN, FRRQTA.
Se conoce que esta variable tiene una distribución normal con promedio 75 kg y una
desviación estándar de 7 kg.
a) Grafique y compare las distribuciones muestrales de X cuando se extraen muestras
aleatorias simples de: * 10 alumnos * 30 alumnos * 100 alumnos
b) ¿Cuál es la proporción de muestras de tamaño 30 que arrojarán un valor del
promedio alejado del promedio poblacional en a lo sumo 2 desviaciones estándares?
31) La Cámara de Comercio de una ciudad desea estimar el gasto medio por turista
que visita dicha ciudad durante un período determinado. Con ese objetivo se ha
elegido una muestra al azar de 100 turistas y se ha hallado que x = 800 $. Se conoce
de experiencias anteriores que la desviación estándar de los gastos por turista en ese
período es de 120 $.
a) Construir un intervalo de 95 % de confianza de para el gasto medio
b) ¿Cómo debe modificarse el tamaño de la muestra si se desea aumentar el grado de
confianza a 99% sin aumentar el error de estimación obtenido en el punto a)?
32) Una compañía telefónica desea conocer la proporción de aparatos que necesitan
reparación sobre el total de los instalados. ¿Cuál es el mínimo tamaño de muestra
necesario para estimar dicha proporción con un error de a los sumo 0,01 y con un
coeficiente de confianza igual a 0,95?
33) La construcción de los 800 km arrojó una ganancia inferior a los 300 millones de
pesos por lo que el contratista sospecha que ha habido una disminución en la
esperanza matemática del espesor. Los espesores de 1.440 observaciones obtenidas
de esta carretera fueron los siguientes:
ESPESOR CANTIDAD DE OBSERVACIONES
100 ≤ x < 110
37
110 ≤ x < 120
70
120 ≤ x < 130
128
130 ≤ x < 140
300
140 ≤ x < 150
470
150 ≤ x < 160
265
160 ≤ x < 170
117
170 ≤ x < 180
53
Total
1.440
a) Formule la hipótesis nula y alternativa para determinar si el espesor promedio ha
disminuido.
b) Explique, en este contexto, cuándo se cometería un error de tipo I y cuándo uno de
tipo II.
c) ¿Qué puede concluir con respecto a la sospecha del contratista? (Considere un
nivel de significación α = 0,05 y que el desvío estándar de la variable no se ha
modificado)
d) ¿Cuál sería su decisión si considera el valor p de la prueba?
e) ¿Cómo podría llegarse a la misma conclusión que en el punto c) a través de un
intervalo de confianza? ¿Cuál es la información adicional que proporciona el mismo?
34) Una fábrica produce llantas cuya vida útil es una variable aleatoria distribuída
normalmente con un promedio de 60.000 km y una desviación estándar de 1.900 km.
Un ingeniero de diseño sospecha que la introducción de un nuevo compuesto de
caucho incrementa la vida útil de las llantas produciendo un desplazamiento de la
distribución sin modificar la dispersión de la misma.
A tal fin, se prueban 16 llantas fabricadas con el nuevo compuesto de caucho hasta
alcanzar el fin de la vida útil de las mismas.
Los datos obtenidos, en km, resultaron:
60 613
59 836
59 554
60 252
59 784
61 221
60 311
55 040
60 545
60 257
60 000
59 997
64 947
60 135
60 220
60 523
a) Formule la hipótesis nula y alternativa para determinar si la vida útil promedio se ha
incrementado.
b) Explique, en este contexto, cuándo se cometería un error de tipo I y cuándo uno de
tipo II.
c) ¿Qué puede concluir respecto de la sospecha del ingeniero de diseño? (Considere
un nivel de significación α = 0,05 y que el desvío estándar de la variable no se ha
modificado).
d) ¿Cuál sería su decisión si considera el valor p de la prueba?
e) Calcule la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando el promedio de la
variable ha aumentado a 61000 km.
f) ¿Cuántas observaciones adicionales son necesarias si se quiere reducir la
probabilidad del punto e) a 0,10?
g) ¿Cómo podría llegarse a la misma conclusión que en el punto c) a través de un
intervalo de confianza? ¿Cuál es la información adicional que proporciona el mismo?