Análisis Matemático II – Recuperatorio del 2do.parcial 29/06/05
1) a) f ( x, y )
4 x y ln ( x 2 y 2 2 x)
x y2
a.1) Hallar D=Dom(f) y graficarlo claramente.
a.2) Hallar interior y conj. de puntos de acumulación
Determinar justificando si D es abierto o cerrado.
b) Demostrar que las curvas de nivel de
f ( x, y )
y
3x 2 4 y 2
son circunferencias. Hallar
3
sus ecuaciones canónicas.
2) Sea
a)
f ( x, y )
x2 3y 2
x 2y
Hallar y graficar D = Dom f .
y a x k y luego por las curvas
b) Calcular el límite de f(x,y) tendiendo al (0,0) por las curvas
x a y k siendo k natural genérico.
c)
Determinar si es posible calcular el límite de f(x,y) para (x,y) tendiendo al (0,0) por dos curvas de
nivel de f distintas.
d) Sea g (x,y) la función que coincide con f fuera de la recta x + 2y = 0 y que vale C (constante)
sobre dicha recta. Explicar si es posible encontrar algún valor para C de modo que g resulte continua
en el punto (0,0).
3)a) Encontrar los puntos del hiperboloide
x 2 y 2 2 z 2 6 donde la recta normal es paralela a la
3 x z 9 0
3 y z 3 0
b) El punto (0,1,5) pertenece a la superficie S: z f ( x, y ) Se sabe que
recta L:
f (y e
xy
3x 2 ) i ( x e x y 4 y) j Hallar una ecuación del plano tangente a S en el punto (1, 0 , f (1, 0) )
7
f ( x, y) x 2 y 3x 2 2 y 2 ; P0 (1, )
6
a) Hallar si cos , sen es la dirección de máximo decrecimiento de f en el punto P0
4) Sean
b) Si 2 f ' ( P0 )
c)
f ( P0 )
determinar los posibles valores de
.
Determinar, si existen, los puntos sobre la recta y 3 0 en los cuales la máxima derivada
direccional sea igual a 4
1
1
r f ' f ''
u u
r
r
Mostrar que:
2
2
4
x
y
r
1
2
2
donde r x y
r
b) Sean x g (t , u ) e y h(t ) Escribir (justificando) la aproximación lineal de la función
H (t , u ) f ( g (t , u ) , h(t ) ) en un entorno del punto (1,1) siendo las aproximaciones lineales
de f , g , h las siguientes:
f ( x, y ) 3 ( x 2) 7( y 4) en un entorno del ( x0 , y0 ) (2,4)
5) a) Sea u f
2
2
g (t , u ) 2 3 ( t 1) 2 (u 1)
h(t ) 4 5 ( t 1)
en un entorno del
en un entorno del
t0 1
(t 0 , u 0 ) (1,1)
0
