Análisis Matemático II – Recuperatorio del 2do.parcial 29/06/05 1) a) f ( x, y ) 4 x y ln ( x 2 y 2 2 x) x y2 a.1) Hallar D=Dom(f) y graficarlo claramente. a.2) Hallar interior y conj. de puntos de acumulación Determinar justificando si D es abierto o cerrado. b) Demostrar que las curvas de nivel de f ( x, y ) y 3x 2 4 y 2 son circunferencias. Hallar 3 sus ecuaciones canónicas. 2) Sea a) f ( x, y ) x2 3y 2 x 2y Hallar y graficar D = Dom f . y a x k y luego por las curvas b) Calcular el límite de f(x,y) tendiendo al (0,0) por las curvas x a y k siendo k natural genérico. c) Determinar si es posible calcular el límite de f(x,y) para (x,y) tendiendo al (0,0) por dos curvas de nivel de f distintas. d) Sea g (x,y) la función que coincide con f fuera de la recta x + 2y = 0 y que vale C (constante) sobre dicha recta. Explicar si es posible encontrar algún valor para C de modo que g resulte continua en el punto (0,0). 3)a) Encontrar los puntos del hiperboloide x 2 y 2 2 z 2 6 donde la recta normal es paralela a la 3 x z 9 0 3 y z 3 0 b) El punto (0,1,5) pertenece a la superficie S: z f ( x, y ) Se sabe que recta L: f (y e xy 3x 2 ) i ( x e x y 4 y) j Hallar una ecuación del plano tangente a S en el punto (1, 0 , f (1, 0) ) 7 f ( x, y) x 2 y 3x 2 2 y 2 ; P0 (1, ) 6 a) Hallar si cos , sen es la dirección de máximo decrecimiento de f en el punto P0 4) Sean b) Si 2 f ' ( P0 ) c) f ( P0 ) determinar los posibles valores de . Determinar, si existen, los puntos sobre la recta y 3 0 en los cuales la máxima derivada direccional sea igual a 4 1 1 r f ' f '' u u r r Mostrar que: 2 2 4 x y r 1 2 2 donde r x y r b) Sean x g (t , u ) e y h(t ) Escribir (justificando) la aproximación lineal de la función H (t , u ) f ( g (t , u ) , h(t ) ) en un entorno del punto (1,1) siendo las aproximaciones lineales de f , g , h las siguientes: f ( x, y ) 3 ( x 2) 7( y 4) en un entorno del ( x0 , y0 ) (2,4) 5) a) Sea u f 2 2 g (t , u ) 2 3 ( t 1) 2 (u 1) h(t ) 4 5 ( t 1) en un entorno del en un entorno del t0 1 (t 0 , u 0 ) (1,1)