take_home_1.doc

Take home examen para el concurso estatal. ¿Meaning? De esta lista se eligirá
para el concurso estatal al menos un problema. El concurso estatal incluirá un
problema de cada tema (A, C, G, N). De una lista que voy a poner la semana
que entra se eligirá otro. Para el concurso estatal podrían ser 8 o bien menos
de 8 (muy posiblemente solamente 4, uno de cada tema).
Mis mejores deseos y que queden los mejores
jmd
6x 6x

 x  8
1A. Halla las soluciones reales de la ecuación: x  

 x 1  x 1

5555
2222
2N. Demostrar que 2222
es múltiplo de 7.
 5555
3G. Sea ABC un triángulo equilátero y A’, B’ , C’, puntos sobre los lados BC, CA
y AB, respectivamente, tales que
AC ' BA' CB' 2



C ' B A' C B' A 1
Las intersecciones de los segmentos AA’, BB’ y CC’ determinan un triángulo
interior, digamos, DEF. Demostrar que el área de este triángulo es un séptimo
del área del triángulo ABC.
4G. Dadas dos rectas r y s y un punto P, trazar por P una recta tal que sus
puntos de intersección con r y s determinen un segmento cuyo punto medio
sea P.
5G. Construir un triángulo ABC dadas las longitudes de sus tres medianas.
6G. Construir un triángulo equilátero cuyos vértices A, B, C estén situados,
respectivamente, en las rectas r, s y t que son paralelas entre sí.
7G. Construir un cuadrado que tenga un vértice en un punto dado O y los dos
contiguos A y B en la recta r el primero de ellos y en la recta s el segundo
suponiendo que estas rectas no pasan por O.
8G. Dados en un plano dos puntos M y N y dos rectas r y r’, construir un
paralelogramo MNPQ de forma que los vértices P y Q estén cada uno en una de
las rectas dadas.
9G. Dadas en el plano dos circunferencias de centros O y O’ respectivamente,
encontrar un punto A de la primera y un punto B de la segunda de tal manera
que el segmento AB tenga longitud y dirección iguales a las de un vector dado.
10G. Dados dos puntos A y B a un mismo lado de una recta dada r, hallar el
punto C de r de forma que la suma de los segmentos AC y CB sea mínima.
11G. Construir un triángulo conociendo las longitudes de sus lados a y b y el
ángulo  igual a la diferencia entre los ángulos A y B opuestos a los lados
dados.
12G. Dado un triángulo ABC dibujar un cuadrado de vértices MNPQ de forma
que los vértices M y N estén sobre el lado BC, el vértice P sobre el lado AC y el
vértice Q sobre el lado AB.
13G. Construir un triángulo conociendo el ángulo A el B y la longitud, a de la
bisectriz del ángulo A.
14C. Hay varias formas de sumar 10, mediante números impares y con cuatro
sumandos; tenemos: 10 =1+1+1+7; 10 = 1+1+3+5; 10 = 1+3+3+3;
tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como
nuevas soluciones). ¿De cuántas formas se puede sumar 20 con 8 sumandos
enteros positivos?
15A. Una cuadrilla de jardineros recortó el pasto de dos prados, uno de doble
área que el otro. Durante medio día trabajó toda la cuadrilla en el prado
grande; después de la comida, la mitad trabajó en el prado grande y la otra en
el pequeño. Durante esa tarde los dos campos quedaron limpios, a excepción
de una parte del prado pequeño. Terminar esta parte, le lleví todo el día
siguiente a un solo jardinero. ¿De cuántos jardineros era la cuadrilla?
16A. Pedro y Pablo tratan de mantenerse en forma trotando y caminando.
Todas las mañanas recorren la distancia entre dos puntos A y B. Pedro trota la
mitad del recorrido y camina la otra mitad. Pablo trota la mitad del tiempo y
camina la otra mitad. Si la velocidad de ambos es la misma, tanto en trote
como en caminata. ¿Quién llega primero?
17G. Se inscribe un cuadrado de lado a en un semicírculo de diámetro a+2b.
Calcula la relación entre a y b
18C. En el interior de un cuadrado de diagonal 3 hay 10 puntos. Demostrar
que dos puntos a una distancia no mayor que 1.
19C. Demostrar que en veinte números naturales hay al menos dos cuya
diferencia es un múltiplo de 19.
20C. Considera la relación R entre personas "conoce a", la tiene las dos
propiedades siguientes:
a) Si a conoce a b, b conoce a a.
b) Ningún a se conoce a si mismo.
Demostrar que en una reunión de n personas siempre hay dos personas con el
mismo número de conocidos.
21C. Demuestra que si repartimos 100 naranjas en 14 montones, tiene que
haber dos montones con el mismo número de naranjas.
22N. Determina la máxima potencia de 7 que divide al número 2005! = 2005
 2004  ........  3  2  1 .