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Tercera lista de problemas
--para el concurso estatal XIII OMM Tamaulipas 2009-1G. Sea ABCD un trapecio con AB//CD. Demostrar:
a) si S es la intersección de sus diagonales entonces los triángulos ASD y
BSC tienen la misma área.
b) S es punto medio de la paralela a las bases que pasa por S.
2G. Sea ABCD un paralelogramo y P un punto sobre la diagonal BD. Por P se
trazan paralelas a los lados. Demostrar que las áreas de los paralelogramos
formados por las paralelas y los lados pero en lados opuestos de la diagonal
BD tienen la misma área.
3G. Sea ABCD un rectángulo y G un punto en el lado AB. Construir un
rectángulo de base GB cuya área sea la misma que la de ABCD.
4G. Sea ABCD un paralelogramo y P y Q dos puntos sobre los lados AB y CD
respectivamente. Demostrar que si DQ=PB entonces AC y PQ se bisecan.
5G. Dos circunferencias se intersectan en los puntos A y B. Demostrar que si
AC y AD son diámetros de las circunferencias, entonces los puntos C, B y D
están sobre una misma recta.
6A. Un equipo de pasteleros está compuesto por el viejo panadero y 9
estudiantes. Durante el día cada estudiante horneó 15 pasteles. Y el viejo
panadero horneó 9 pasteles más que el promedio del equipo. ¿Cuántos
pasteles fueron horneados por todo el equipo en ese día? Sugerencia: puede
resolverse sin algebra...
7N. Mi número de la suerte es de tres dígitos y tiene la propiedad de que al
restarle 7 el resultado es divisible entre 7, al restarle 8 el resultado es
divisible entre 8 y al restarle 9 el resultado es divisible entre 9. ¿Cuál es mi
número de la suerte? Sugerencia: la clave está en el enunciado y es tan
obvia que puedes tardar en encontrarla.
8G. En el triángulo ABC se traza la mediana AM al lado BC (M es el punto
medio de BC). Demostrar que la suma de los otros dos lados no puede ser
mayor que 2AM.
Sugerencia: Toma el simétrico D de A respecto a M, demuestra lo que tengas
que demostrar y usa la desigualdad del triángulo.
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9G. Dos círculos de radios r y R son tangentes entre sí. Encontrar la longitud
de la tangente común en términos de los radios.
Sugerencia: ¿qué ángulo forman la tangente y el radio al punto de
tangencia?
10G. Sea P un punto en el interior del triángulo ABC. Trazar un segmento
con extremos en los lados del triángulo y con P como punto medio.
Sugerencia: si tal punto existiera entonces sus extremos son simétricos
respecto a P; pero los extremos están en los lados del triángulo... ¿te suena
eso como que habría que tomar los simétricos de algunos puntos?
11A. Dominguito Siete repartió sus barras de chocolate Siete Granos entre
sus siete amigos de una manera muy extraña: al primero le dio la mitad de
las barras más la mitad de una, al segundo la mitad de las que quedaban
más media barra, etc. hasta llegar al septimo a quien le dio la mita de las
que quedaban más media barra y con ello se quedó sin ninguna barra de
chocolate. ¿Cuantas barras de chocolate tenía Dominguito Siete antes de
empezar a repartirlas?
12A. Considere la sucesión de números 1,3,7,15,31,... Exorese la ley de
formación en una fórmula que muestre cómo se forma el siguiente a partir
de los ya existentes. Calcular con ella el término en décimo lugar.
13C. Se colocan 20 puntos sobre una circunferencia. Dos jugadores, por
turnos, hacen la siguiente jugada: unen dos de los puntos con un segmento
de recta sin cruzar segmentos ya trazados. Pierde quien, en su turno, ya no
puede hacer la jugada permitida. Encontrar, si existe, la estrategia ganadora
para el primer jugador.
Sugerencia: imagina el estado final donde ya no hay jugada, aunque haya
todavía puntos por unir.
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