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Análisis Matemático II - Tercer Parcial - 18/12/06
Apellido y Nombre:
TEMA A
1)
a) Dada f (x, y) = 5xy(x − 6)2 − 2y 5 hallar todos sus puntos crı́ticos y clasificarlos. Si
se presenta caso dudoso analizar.
b) Hallar los valores extremos absolutos de f (x, y) = xy en el compacto K que contiene
al origen y está limitado por la curvas:
y =3−
x2
4
;
y =x+3 ;
x + 7y + 3 = 0
Sobre la parábola utilice multiplicadores de Lagrange. Además, para los puntos que
surjan de su análisis sobre el borde de K, utilice (grafique, explique) curvas de nivel
de f para clasificarlos como extremos relativos vinculados.
2)
a) Hallar las trayectorias ortogonales a las soluciones de: (y 2 − xy) dx + (x2 + y 2 ) dy = 0
b) Considere la EDO: y 00 + x3 y 0 − 82 y = 0 (∗). Verifique que y1 (x) = x2 es solución. Se
x
quiere proponer una segunda solución y2 (x) de la forma y2 (x) = x2 u(x) , siendo
u(x) una función a determinar. Efectúe los siguientes pasos (en todo lo que sigue
suponga x > 0):
i) Reemplace la solución propuesta y2 en la EDO (∗) y muestre que u(x) satisface
la EDO: xu00 + 7u0 = 0 (∗∗)
ii) Sea w(x) = u0 (x). Escriba (∗∗) en términos de w , resuelva para obtener w(x) y
luego obtenga u(x)
iii) ¿ Cómo se puede escribir la solución general de (∗)?
3)
a) Sean: yz − x ln y = ex−z ; Qo (1, 1, 1). Mostrar mediante el TFI que la ecuación
dada define implı́citamente x = f (y, z) localmente en Qo y deducir los valores de
fy0 (1, 1) y fz0 (1, 1) ¿ Puede afirmarse lo mismo para y = f (x, z) localmente en
Qo en base al TFI?
b) Mediante el TFI mostrar que el sistema:

 x + y + z + (xz)y = 5

x2 + z + 1 = x + y
define implı́citamente y = f (x) ; z = g(x) en un entorno de (1, 2, 1)
Enunciar hipótesis y conclusión de TFI en este caso.
Deducir expresiones para f 0 (1) ; g 0 (1)