DCyT/AMII/Segundo parcial - 20/06/07 Apellido y Nombre: (a) 0,8 1 (b) 0,4 2 (c) 0,6 1,2 (a) 1,2 3 (b) 0,8 4 (c) 0,6 (a) 0,6 (b) 0,4 TEMA B T (c) 0,6 (d) 1 (T1) 0,8 (T2) 1 PRÁCTICA (1) Sea f (x, y) = √ y + 4 ln(x + y + 2) p x + x x2 + y (a) Hallar y graficar D = Dom (f ) y decidir si es o no acotado. (b) Determinar si D es abierto. Justificar. (c) Hallar el conjunto de todos los puntos (xo , yo ) ∈ R2 para los cuales tenga sentido el lim f (x, y) (x,y ) → (xo ,y o ) (exista o no). En base a su respuesta determinar si D es cerrado o no. (2) Hallar dominio, imagen y curvas de nivel de f (x, y) = y 1/x Representar en el dominio de f las curvas de nivel f (x, y) = ej para j = 0 , ±1 , ±1/2 Razonando con curvas de nivel determinar la existencia o no del lim f (x, y) (x,y ) → (0,1) √ (3) Dados f (x, y) = ln(x − y 2 ) y Po (1, 3/2) 0 (P ) es máxima/mı́nima/nula y los val(a) Determinar las direcciones α según las cuales fα o ores de la máxima y la mı́nima derivada direccional de f (x, y) en Po √ (b) Hallar ecuaciones de la recta tangente en Qo (1, 3/2, ln(1/4)) a la curva obtenida cortando √ √ S : z = f (x, y) con el plano π : 2y + 2 3 x = 3 3 (Hay una forma sencilla!) (c) Calcular ∆f y df en (xo , yo ) = (1, 0) para (∆x, ∆y) = (0, 1; 0, 2) (4) Sea f (x, y) = 3xy 3 y 3 + x6 (a) Determinar si existe el lı́mite radial LR de f (x, y) para (x, y) → (0, 0) (b) Calcular: lim f (x, x3 − x2 ) x→0 ½ f (x, y) si y 6= − x2 ¿ Existe algún valor de la constante A de (c) Sea g(x, y) = A si y = − x2 modo que g resulte continua en (0, 0) ? Justificar. (d) Si en (c) se toma A = 0, (0, 0) ? Justificar. ¿ existirán gx0 (0, 0) y gy0 (0, 0) ? ¿ Será diferenciable g en TEORÍA (T1) Demostrar por definición que f (x, y) = x(y − 1) es diferenciable en (1, 2) ¿ De qué otra forma podrı́a justificarse la diferenciabilidad de f en dicho punto? (Hacerlo). ~ (xo , yo ) es perpendicular a la curva de nivel (T2) Para f (x, y) = x2 y − e− x y demostrar que ∇f de f que pasa por el punto (xo , yo ) Suponer que xo 6= 0 2