PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PRIMER PARCIAL Apellido Nombre : Profesor: Osmar Vera. Octubre 4 de 2005 TEMA 1 1. Sea la función f (x) = Kx3 e−2x I(0, ∞) (a) Determine el valor de K para que f (x) se corresponda con una función de densidad de probabilidad asociada a una va. continua X. (b) Determine la distribución de la va. X. (c) Calcule la E X k . 2. Suponga que X es una va. con distribución N(0,1). (a) Determine la fdp. de la va. Y = 1 X2 (b) Halle la fdp de T = 1/Y y la distribución de T , a partir de ella calcule MT (t), E T y V ar T . 3. Suponga que el tiempo de revelado para un tipo de papel fotográfico, cuando se expone a una fuente luminosa durante 5 s, está normalmente distribuı́do con una media de 25 s y una desviación estándar de 1, 3 s. Si se imprimen 20 fotografı́as en ese tipo de papel. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 12 de esas fotos necesiten más de 26 s para revelarse? (a) Definan las va. que están en juego en el problema y sus distribuciones (b) Calcule la probabilidad pedida. 4. Una va. no tiene memoria cuando la probabilidad de un suceso no depende de lo que haya sucedido con anterioridad, es decir, P (X > a + b | X > b) = P (X > a). Demuestre que si X ∼ Exp(2), no tiene memoria. 5. Una va. X tiene la siguiente fdp, fX (x) = e−x · I(x ≥ 0), suponga que sufre una transformación proporcional, de tal forma que la nueva variable es Y = KX. (a) Determine la fdp de la va. Y . (b) Calcule la fgm de Y . (c) Utilizando la fgm de Y , calcule E Y y V ar Y