interpolació lineal.pdf

INTERPOLACIÓ LINEAL
Si d’una funció en coneixem només dos dels punts, és clar que no podrem dir res o gairebé res del seu comportament en altres punts. No obstant això, si tinguéssim motius per suposar que entre aquests dos punts
la funció és lineal (almenys aproximadament), en podríem trobar (exactament o aproximadament) els valors en punts intermedis si fem servir
l’equació d’una recta.
y=
y1 – y0
(x – x0) + y0
x1 – x0
A (x0, y0)
y1 – y0
B (x1, y1)
x1 – x0
Una funció passa pels punts A (x0, y0), B (x1, y1), és a dir, f (x0) = y0,
f (x1) = y1. Si hi ha motius per suposar que la funció és lineal en l’interval [x0, x1], llavors podem trobar el valor per a qualsevol abscissa,
x, d’aquest interval de la manera següent:
y1 – y0
si x ∈(x0, x1) llavors f (x) = x – x (x – x0) + y0
1
0
Aquest procés s’anomena interpolació lineal.
EXERCICIS RESOLTS
1. Si pengem en una molla un pes
de 40 g, la molla s’estira fins
a 12 mm. I si pengem un pes
de 60 g, s’estira fins a 20 mm.
Quina en seria la longitud
si hi pengéssim un pes de 55 g?
Podem suposar que, almenys en l’interval [40, 60], la longitud de la molla depèn linealment del pes que hi pengem. Per tant, en podem trobar
la longitud per a un pes intermedi mitjançant una interpolació lineal:
B (60, 20)
8 (x – 40) + 12
y=—
20
20 – 12 = 8
f (55) =
=
8
(55 – 40) + 12 =
20
2
· 15 + 12 = 18
5
A (40, 12)
60 – 40 = 20
Amb un pes de 55 g la longitud de la molla serà de 18 mm.
2. En una universitat determinada,
l’any 2004 es van matricular
10 400 alumnes, i l’any 2009,
13 200. Estima, aproximadament,
quants s’hi van matricular el
curs 2006.
Suposem que l’augment de matrícula va ser quasi lineal entre el 2004
i el 2009. Per tant:
f (2006) =
13 200 – 10 400
(2006 – 2004) + 10 400 = 11 520
2009 – 2004
Estimem que el 2006 hi va haver, aproximadament, 11 520 alumnes matriculats.
EXERCICIS PROPOSATS
1. Per un consum de gas de 10 m3 s’han pagat 50 € i
per 16 m3 se n’han pagat 71 . Quant caldrà pagar
per 15 m3?
2. El consum de gasolina d’un automòbil, per cada
100 km, depèn de la velocitat que porta.
A 60 km/h consumeix 5,7 l i a 90 km/h en consumeix 7,2. Estima quant consumirà si recorre
100 km a 70 km/h.