Universidad de Guanajuato Tronco común de Ingenierías Métodos Numéricos Tarea 1

Universidad de Guanajuato
Tronco común de Ingenierías
Métodos Numéricos
Tarea 1
Fecha de entrega: 11/10/2006
I.- Sección de división sintética
1.- Hallar el valor que debe tener k para que al dividir x 4  2 x 3  3x 2  kx  7 entre x-2, el
residuo sea 3.
2.- Obtener el cociente y el residuo usando la división sintética.
x6  x4  x2  2

x 1
3.- ¿Para que valores de n enteros positivos se da que x n  a n es divisible exactamente
entre x  a ?
II.- Sección de bisección

1.- Sea f ( x)  3x  1 x  1

x  1. Aplique el método de bisección a los siguientes
2
intervalos para encontrar la iteración 5.
a) [-2, 1.5]
b) [-1.25, 2.5]
2.- Encuentre una aproximación a
bisección.
3
25 correcta en 10e-4 por medio del algoritmo de
3.- Deduzca como obtener cota del número de iteraciones que se requieren para alcanzar
una aproximación con exactitud ε a la solución de una funcion f(x) si tiene una solución en
el intervalo [a, b].
4.- Use la información del problema 3 para obtener una cota del número de iteraciones que
se requieren para alcanzar una aproximación con una exactitud de 10e-3 a la solución de
x 3  x  1  0 que se encuentra en el intervalo [1, 2]. Obtenga una aproximación de la raíz
con este grado de exactitud.
III.- Sección de Newton
1.- Sea f ( x)  cos(x)  x , aplique el método de Newton de primer y segundo orden

tomando como valor inicial p0  . Realice 5 iteraciones para cada método.
4
2.- La suma de 2 números es 20. Si cada uno se agrega a su raíz cuadrada, el producto de
las 2 sumas es 155.55. Determine los 2 números. Utilice 5 iteraciones del método de
Newton de primer y segundo orden. Compare los resultados.
IV. Sección de sistemas de ecuaciones
1.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales por eliminación gaussiana simple, GaussJordan, Gauss-Seidel (condición inicial 0 y tolerancia de 10e-3) y Jacobi (condición inicial
0 y tolerancia de 10e-3):
3.3330x1  15920x 2  10.333x3  7953
2.2220x1  16.710x 2  9.6120x3  0.965
 1.5611x1  5.1792x 2  1.6855x3  2.714
2.- Realice 2 iteraciones del método de Newton-Raphson con el siguiente sistema de
ecuaciones, tomando como valor inicial (-0.5,1):
x 2  2 x  y  0 .5  0
x2  4y2  4  0
3.- Mediante el método de Newton con x ( 0)  0 , calcule x ( 2 ) para el siguiente sistema no
lineal.
4 x12  20x1 
1 2
x2  8  0
4
1
x1 x 22  2 x1  5 x 2  8  0
2
4.- El sistema de ecuaciones para las variables a, b, c, d es :
4a  b  c  ad
 a  3b  2c  bd
a  2b  3c  cd
a2  b2  c2 1
tiene 6 soluciones.
a) Muestre que si (a, b, c, d)’ es una solución, entonces (-a, -b, -c, -d)’ tambien es una
solución.
b) Use el método adecuado (de los vistos en clase) para aproximar todas las soluciones.
Itere hasta que x ( k )  x ( k 1)  10 5
