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UNIDAD 7
ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que
involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo
grado
Objetivo 3. Recordarás las propiedades de las igualdades para las cuatro
operaciones
básicas
y
las
utilizarás
para
transformándola en una ecuación equivalente.
Ejercicios resueltos:
Encuentra la solución de las ecuaciones dadas
1.)
1
3
x  3  x 1
2
4
1

3

4 x  3   4 x  1
2

4

2 x  12  3x  4
2 x  12  3x  12  3 x  4  3 x  12
2 x  3 x  4  12
 x  16
x  16
Comprobación:
resolver
una
ecuación
1
 16  3  3 (16)  1
2
4
 8  3  12  1
 11  11
La solución es correcta.
2.) 16 x  3x  6  9 x   30 x   3x  2    x  3
16 x  3x  6  9 x   30 x   3 x  2  x  3
16 x  3 x  6  9 x  30 x  3x  2  x  3
4 x  6  26 x  5
4 x  6  26 x  6  26 x  5  26 x  6
 22 x  11
 22 x  11

 22
 22
x
1
2
Comprobación
1  1 
 1  
 1     1    1   
16   3   6  9    30    3   2     3 
2  2 
 2  
 2     2    2   
9
3
 7 7
8    6    15     
2
2
 2 2
80 
30  14
2
88
La solución es correcta.
3.)
 y  5 2   y  5  2  5 2
y 2  10 y  25  y 2  10 y  25  25
 20 y  25
 20 y
25

 20
 20
y
5
4
Comprobación
2
2
 5    5  
  4   5    4   5  25
  
 

2
2
  5  20    5  20 

 
  25
4  
4


625 225

 25
16
16
400
 25
16
25  25
La solución es correcta.
4.) ¿Para qué valor de a el conjunto de soluciones de la ecuación
2 x  a  7 x  5  3a , es  3 ?
2 3  a  7 3  5  3a
 6  a  21  5  3a
 6  a  3a  6  26  3a  3a  6
 4a  20
 4a  20

4
4
a5
Objetivo 4. Resolverás ecuaciones de primer grado.
Ejercicios resueltos:
Aplica el procedimiento de solución paso a paso para encontrar la raíz de las siguientes
ecuaciones:
1.) 22 x  7   53  2 x   6  0
Paso 1.
22 x  7   53  2 x   6  0
4 x  14  15  10 x  6  0
Paso2.
4 x  10 x  14  15  6
Paso 3.
14 x  7
Paso 4.
x
7
14
x
Paso 5.
1
2
  1  
 1 
22    7   53  2     6  0
 2 
  2  
2  8  52   6  0
16 – 16 = 0
2.)
x  3 x  4 3x  5


x
x  5 x 2  5x
Paso 1. Como x 2  5 x  x x  5 , la ecuación es equivalente a
 x  3
 x  4
 3x  5 
x x  5
  x x  5
  x  x  5 2

 x 
 x 5
 x  5x 
x  5x  3  xx  4  3x  5
x 2  3x  5 x  15  x 2  4 x  3 x  5
Paso 2. x 2  x 2  3x  5 x  4 x  3 x  5  15
Paso 3. y Paso 4. x  10
Paso 5. Comprobación
 10  3  10  4
3 10  5


 10
 10  5  102  5 10 
 7  6  25


 10  5
50
35 60
25


50 50
50
La solución es correcta.
3.)
x 1 x  4
3x  5

 2
x
x  5 x  5x
Paso 1.
x 1 x  4
3x  5

 2
x
x  5 x  5x
es equivalente a
 x  1
 x  4
 3x  5 
x x  5
  x x  5
  x  x  5 2

 x 
 x 5
 x  5x 
x  5x  1  xx  4  3x  5
x 2  x  5x  5  x 2  4 x  3x  5
Paso 2. x 2  x 2  x  5 x  4 x  3x  5  5
Paso 3.
 x  0 → x  0 . Sin embargo, x no puede se cero porque
dos de las fracciones de la ecuación original serían
indeterminadas; entonces la ecuación propuesta no tiene
solución.
4.)
a2  b2 b a  b
 
2bx
x 2bx 2
2
Paso 1.
2
2bx  a 2bxb  2bx  bx  2bx  a2bx b
2
2
2
2


x a 2  b 2  2b 2 x  a  b
xa 2  xb 2  2 xb 2  a  b
Pasos 2 y 3. xa 2  xb 2  a  b




x a2  b2  a  b
Paso 4.
x a2  b2
ab
 2
2
2
a b
a  b2
x
ab
ab
1


2
2
a  ba  b a  b
a b
Paso 5. Comprobación:
a2  b2 b a  b
 
2bx
x 2bx 2
a2  b2
b
ab


2
1
1
 1 
2b
a  b a  b 2b a  b 
a
2

 b 2 a  b 
a  ba  b
 ba  b  
2b
2b
a  b  a

2


a  b  a

2
2


 b2
 a  b a  b  
 b   a  b 

2b
2b


 b 2  2b 2
2b

 a2  b2
  a  b 

 2b



 a2  b2
a  b 
 2b

 a 2  b2
  a  b 

 2b



La solución es correcta.
5.) El numerador de una fracción es 4 unidades menor que el denominador. Si el
numerador se duplica y el denominador se disminuye en 2 unidades, la suma de
la fracción original y la nueva es 3. Encuentra la fracción original.
Sea x el denominador de la fracción, de modo que el numerador de la
fracción sea (x – 4). Entonces, el enunciado se expresa simbólicamente
como:
x  4 2  x  4

3
x
x2
Paso 1.
2 x x  4    x  2  x  4
3
x x  2
 2 x x  4    x  2 x  4  
  3x  x  2 
x x  2 
x x  2 


2 x 2  8x  x 2  4 x  2 x  8  3x 2  6 x
Paso 2.
2 x 2  x 2  3 x 2  8 x  4 x  2 x  6 x  8
Paso 3.
 8 x  8
Paso 4.
 8x  8

8 8
x 1
Paso 5.
Comprobación
21  4 1  4

3
1 2
1
6 3

 63 3
1 1
La solución es correcta.
Objetivo 5. Resolverás ecuaciones de segundo grado por el método de factorización.
Ejercicios resueltos:
Encuentra por factorización las raíces de las siguientes ecuaciones y analiza el resultado.
1.) 2 x 2  x  1  0
a  2 ; b  1 ; c  1 ; ac  2
– 2 x 1 = – 2; – 2 + 1 = –1
2x 2  2x  x  1  0
2 x x  1   x  1  0
2 x  1x  1  0
Si
2x  1  0 ;
2 x  1 ;
Si
x 1  0 ;
x2  1
x1  
1
2
Comprobación:
1
Para x1   :
2
2
1 1
 1  1
2        1    1  0
2 2
 2  2
Esta raíz satisface a la ecuación.
Para x 2  1 :
2
2 1  1  1  2 – 2 = 0
La segunda raíz también es solución de la ecuación.
2.) x 2  ax  bx  ab  0 ; a y b constantes
x 2  b  a x  ab = 0
a  1 ; b  (b  a ) ; c   ab ;
 a b  ab ;
ac   ab
ab ba
x 2  ax  bx  ab  0
x x  a   b x  a   0
x  a x  b   0
Si
x  a  0 , x1  a
Si
xb  0,
x 2  b
Comprobación:
a 2  aa   ba   ab 
Para x1  a :
a 2  a 2  ba  ab  0
Este valor de la variable satisface a la ecuación.
b 2  a  b   b b   ab 
Para x 2  b :
También es solución de la ecuación.
3.)
x  4  2 x  1  1
x  4  2x  1  1

   2 x  1  1
x  4   2 x  1   2 2 x  1  1   1
x  4  2 x  1  2 2 x  1   1
x4
2
2
2
2
2 2x  1  2 x  1  1  x  4
2 2x  1  x  2
2
2x  1

2
  x  2
2
42 x  1  x 2  4 x  4
b 2  ab  b 2  ab  0
8x  4  x 2  4x  4  0
 x 2  12 x  0  0
x 2  12 x  0
x x  12   0
x1  12 .
Si x  12  0 ;
La otra raíz se obtiene cuando x = 0, es decir que x 2  0
Comprobación:
Para x1  12 :
12  4  212  1  16  25 = 4 – 5 = – 1
Este valor satisface a la ecuación.
Para x 2  0 :
0  4  2(0)  1  2 – 1 ≠ –1
El valor x  0 no satisface a la ecuación original, por lo tanto, la única raíz
de la ecuación radical dada es 12. Esto se debe a que, al hacer las
operaciones para despejar a la variable (al elevar al cuadrado ambos
miembros), la ecuación que se obtiene no es equivalente a la original y se
introdujo una raíz extraña.
Objetivo 6. Identificarás el discriminante de una ecuación de segundo grado y
resolverás ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general.
Ejercicios resueltos:
1.) Determina el carácter de las raíces de la ecuación 5 x 2  7 x  8  0
a  5; b  7; c  8
2
b 2  4ac   7   458
= 49 – 160
= – 111 < 0. Las raíces son complejas y diferentes.
2.) Determina el carácter de las raíces de la ecuación
x  42  2 x5 x  1  7x  2 
x 2  8 x  16  10 x 2  2 x  7 x  14
x 2  10 x 2  8 x  2 x  7 x  16  14  0
 9 x 2  17 x  2  0
a  9; b  17; c  2
2
b 2  4ac  17   4 9 2 
= 289 + 72
= 361 > 0. Las raíces son reales y diferentes.
3.) Encuentra la fórmula para determinar las raíces de la ecuación general de segundo
grado:
ax 2  bx  c  0 , a  0 .
Pasa el término independiente al segundo miembro, completa un trinomio
cuadrado en el primer miembro (sumando el mismo término en el segundo
miembro para obtener una ecuación equivalente) y toma la raíz cuadrada de
ambos miembros para despejar a la variable.
ax 2  bx  c
ax 2  bx
c

a
a
x2 
b
c
x
a
a
2
2
b
c
 b 
 b 
x  x     
a
a
 2a 
 2a 
2
2
b 
b2
c

x 
  2 
2a 
a
4a

2
b 
b 2  4ac

x 
 
2a 
4a 2

x
b
b 2  4ac

2a
2a
x
x
b
b 2  4ac

2a
2a
 b  b 2  4ac
2a
Las raíces de la ecuación: ax 2  bx  c  0 , con a  0 , son
 b  b 2  4ac
x1 
2a
y
 b  b 2  4ac
x2 
2a
Encuentra el conjunto de soluciones de las siguientes ecuaciones, indicando el carácter de sus
raíces:


4.) 9 x  1  3 x 2  5   x  3 x  2 
9 x  1  3x 2  15  x 2  2 x  3 x  6
 3x 2  x 2  9 x  2 x  3x  1  15  6  0
 2 x 2  8 x  10  0
 x 2  4x  5  0
x
;
a  1; b  4; c  5
 4  16  4 15
 4  36
46
=
=
2 1
2
2
x1 
46
 1
2
46
5
2
x2 
Comprobación
Para x1  1 :


9(1)  1  3  1  5   1  3 1  2 
2
 9  1  12  4
La solución es correcta.
Para x 2  5 :


2
9(5)  1  3 5  5  5  35  2 
46  60  14
La solución es correcta.
x  4 2 x  5 x 2  53
5.)


4
5
5
 x 2  53 
 x  4
 2 x  5 


20

20
  20
 4 
 5 
 5 


5 x  4   42 x  5  4 x 2  53
5 x  20  8 x  40  4 x 2  212
 4 x 2  13 x  152 ;
x
 13 
a  4;
132  4 4152
2 4
x1 
 13  51
19
= 
8
4
x2 
 13  52
= 8
8
b  13;
=
c  152
 13  169  2432
 13  2601
=
8
8
Comprobación
Para
x1  
19
:
4
2

1  19
 1   19
 1  19 


4

2


5






  53


4 4
 5  4
 5  4 

1  35  1  78 
     
4 4  5 4 


1  487 


5  16 
35 78
487


16 20
80
175 312
487


80
80
80
La solución satisface a la ecuación original.
Para x 2  8 :
1
8  4  1 28  5  1 82  53
4
5
5


4 6 11
 
4 5 5
20  24 44

20
20
También esta raíz satisface a la ecuación dada.
6.)
4 x 2 1  3 x 20 x


x 1
4
3
 4x 2 
 1  3x 
 20 x 
  12 x  1
12 x  1
  12 x  1

 4 
 3 
 x 1
 
12 4 x 2  3 x  11  3x   4 x  120 x 
48 x 2  3x  31  3 x   20 x4 x  4 
48 x 2  3x  9 x 2  3  9 x  80 x 2  80 x
48 x 2  9 x 2  80 x 2  3 x  9 x  80 x  3  0
 23 x 2  68 x  3  0 ;
x
a  23;
682  4 233
2 23
 68 
x1 
 68  70
1
= 
 46
23
x2 
 68  70
= 3
 46
=
b  68;
c3
 68  4624  276
 68  4900
=
 46
 46
7.) Una compañía de 180 soldados está formada en filas. El número de soldados de cada fila
es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuántos soldados en cada
una?
Sean x el número de filas e y el número de soldados en cada fila.
xy  180 ;
y  x8
x x  8  180
x 2  8 x  180  0
x
8
82  41 180
21
x1 
 8  28
 10
2
x2 
 8  28
 18
2
=
 8  64  720
 8  784
=
2
2
La segunda raíz no es válida puesto que se busca el número de filas en que están
formados 180 soldados y éste no puede ser negativo.
Por lo tanto, la solución es : x  10 ;
y  x  8  10  8  18 .
Es decir, hay 10 filas y en cada una 18 soldados.