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UNIDAD 12
LA RECTA Y SUS ECUACIONES
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas
correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones.
Objetivo 1. Recordarás a qué se llama sistema de coordenadas rectangulares, ejes
coordenados y cuadrantes, y cómo se localizan los puntos en el plano.
Ejercicios resueltos:
1.) Gráficamente ¿qué puntos tienen abscisa 3?
Como la abscisa es constante, son todos los puntos que se encuentran a 3 unidades a
la derecha del eje y, en una recta paralela a él.
2.) ¿Donde quedan situados los puntos que tienen la abscisa igual a la ordenada?
Si la abscisa y la ordenada son siempre iguales, se trata de una recta a 45º que cruza
los cuadrantes I y III
3.) Tres vértices de un rectángulo son A(-3, 0), B(3, 0) y C(3, 3) ¿cuáles son las
coordenadas del cuarto vértice y cuál es su perímetro y su área?
Para completar el rectángulo, el otro vértice tiene que encontrarse al desplazarse en
ángulo recto a partir de los dos extremos, de modo que:
El punto buscado es D(-3, 3)
Perímetro: 2(6) + 2(3) = 12 + 6 = 18 unidades.
Área: b x h = 6 x 3 = 18 unidades cuadradas.
Objetivo 2. Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre
dos puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto
que divide a un segmento en una razón r.
Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra la distancia del origen al punto A(a, b)
d
a  02  b  02
=
a2  b2
2.) Encuentra el valor de x necesario para que el punto P(x, 3) sea equidistante de los
puntos A(3, –2) y B(7, 4).
3  x 2   2  32
d PA 
d PB 
7  x 2  4  32
3  x 2  25
=
7  x 2  1
=
Para que P equidiste de A de B:
d PA  d PB
3  x 2  25
=
7  x 2  1
3  x 2  25
= 7  x   1
2
9  6 x  x 2  25  49  14 x  x 2  1
x 2  x 2  6 x  14 x  49  1  9  25
8 x  16
x2
El punto P(2, 3) equidista de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
3.) Si los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y
B(5, 8), calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo que limita.
Diámetro = d AB 
5  22  8  32
=
32  5 2 =
34
Circunferencia =  d =  34 ; aproximadamente 18.3185 unidades
r
34
2
Área del círculo =  r 2 = 
;
r2 
34
4
34
; aproximadamente 26.7036 u2
4
4.) Si A(2, 3) es un extremo del segmento cuyo punto medio es P(5, 4), encuentra las
coordenadas del otro extremo, B.
x
x1  x 2
2  x2
; 5
; 10  2  x 2 ;
2
2
x2  8
y
y1  y 2
;
2
4
3  y2
; 8  3  y2 ;
2
y2  5
de modo que:
B(8, 5)
5.) Encuentra la longitud de la mediana del lado AB del triángulo cuyos vértices son
A(–2, –2), B(6, 0) y C(2,8). (La mediana es la recta que une el punto medio de un
lado del triángulo con el vértice opuesto).
Coordenadas del punto medio del segmento AB :
x
x1  x 2
26
=
=2
2
2
y
y1  y 2
20
=
= –1
2
2
P(2, -1)
Distancia del punto P al vértice C
d PC 
2  22   1  82
=
2
0   9  =
81 = 9
La mediana del lado AB al vértice C tiene una longitud de 9 unidades.
6.) Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(-1, -4) . Encuentra la razón
AP
en que el punto P(1, –2) divide al segmento.
PB
x
x1  rx 2
1 r
x1  r   x1  rx 2
x  rx  rx 2  x1
r  x  x 2   x1  x
r
r
x1  x
x  x2
7 1
6
=
= 3
1   1
2
La razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento AB es 3.
(Un caso para este valor de r es que sea el último de los tres puntos que dividen al
segmento en cuatro partes iguales: r 
3
).
1
Objetivo 4. Recordarás y aplicarás las diferentes formas de la ecuación de una recta,
dadas dos condiciones que la definen.
Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–2, –3) y B(5, 1)
y 2  y1
x  x1 
x 2  x1
y  y1 
y   3 
1   3
x   2
5   2 
y3
1 3
x  2
5 2
y3
4
 x  2
7
7 y  3  4 x  2 
7 y  21  4 x  8
7 y  4 x  13
2.) Encuentra la ecuación de la recta que intersecta al eje de las ordenadas 7
unidades hacia abajo del origen y tiene una pendiente de 
m
2
5
2
; b = –7;
5
y  mx  b
2
y   7
5
 11 
3.) Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A   ,0  , B(0, 5) y C(–5, 8).
 2 
Encuentra las ecuaciones de los lados que pasan por AB y por BC.
Ecuación del lado que pasa por A y B:
a
11
; b  5;
2
x y
 1
a b
x
y
 1
11 5

2
2x y
 1
 11 5
Ecuación del lado que pasa por B y C:
B(0, 5); C(–5, 8);
y  y1 
y 5 
y 2  y1
x  x1 
x 2  x1
85
x  0
50
y 5 
3
x
5
3
y   x5
5
4.) Encuentra la ecuación de una recta perpendicular a eje y, que pase por el punto
(h, k)
α = 0º; tan α = 0
y  y1  m x  x1 
y  k  0 x  h 
yk 0
yk
Objetivo 5. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y las
condiciones necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos
rectas en el plano.
Ejercicios resueltos:
1.) Determina
R2: 
la
posición relativa
de
las
rectas
R1:
14 x  10 y  1  0
y
5
  x3
2
14
Para R1: 14 x  10 y  1  0
m
14
7

10
5
Para R2:

y
5
  x3
2
14
5
y
x 3 0
14
2
5 
 y
14 x   14    14  3  140 
 14 
 2
5 x  7 y  42  0
m
A
5
5


B
7 7
m R1  
1
mR 2
Por lo tanto, las rectas son perpendiculares.
y
2.) Demuestra que las rectas R1: 5 x  y  6  0 , R2: x  5 y  22  0 ,
R3: 5 x  y  32  0 y R4: x  5 y  4  0 forman un cuadrado.
Posiciones relativas entre las rectas:
m R1  
5
 5;
1
1
mR 2   ;
5
mR3  
5
5;
1
mR 4  
1
5
R1 y R3 son paralelas; R2 y R4, son paralelas.
R1 es perpendicular con R2 y con R4;
R3 es perpendicular con R2 y con R4.
Punto de intersección entre R1 y R2:
5x  y  6  0 ;
y  5x  6
x  5 y  22  0 ;
x  55 x  6  22  0 ;
26 x  30  22  0 ;
x
52
= 2
26
y  52  6 = 4 →
P1(2, 4)
Con el mismo procedimiento, los otros puntos de intersección son:
R1 y R4: P2(1, –1)
R3 y R2: P3(7, 3)
R3 y R4: P4(6, –2)
Longitudes de los lados:
P1 P2 
2  12  4  12
=
1  25  26
P1 P3 
2  72  4  32
=
25  1  26
P2 P4 
1  62   1  22
=
25  1  26
P3 P4 
7  62  3  22
=
1  25  26
Los cuatro lados tienen la misma longitud, y las rectas forman un cuadrado.
Para graficar se pueden determinar otros puntos sobre cada recta:
5x  y  6  0 .

y=9
→
En R2: x  5 y  22  0 . Si x = –3 
y=5
→ B(–3, 5);
En R3: 5 x  y  32  0 .
Si x = 8
y = 8 → C(8, 8);
x  5y  4  0 .
Si x = -4
En R1:
En R4:
Si x = 3


A(3, 9);
y = 0 → D(-4, 0)
Objetivo 6. Recordarás la definición y aplicaciones de la expresión de una recta en la
forma normal y cómo obtenerla a partir de la forma general.
Ejercicios resueltos:
1.) Calcula la longitud del radio de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que
es tangente a la recta 4 x  3 y  3  0
Radio de la circunferencia = distancia del centro de la circunferencia a la tangente.
d
Ax1  By1  C
 A2  B 2
=
4(2)  3(3)  3
=
4 2  32
893
25
=
20
=4
5
radio = 4 (unidades de longitud)
2.) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son P1(2, 1), P2(8, 2) y P3 (3, 6)
Base del triángulo: cualquiera de los tres lados, por ejemplo, P1 P2 . Usando la
ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados:
y 1 
2 1
x  2
82
y 1 
1
x  2
6
6y  6  x  2
x  6y  4  0
Longitud de la base:
2
distancia P1 P2  ( x 2  x1 ) 2   y 2  y1  =
(8  2) 2  (2  1) 2 =
36  1 =
37
Altura del triángulo: distancia del otro vértice, P3 (3, 6), a la base:
d
Ax1  By1  C
 A2  B 2
=
3  (6)(6)  4
2
1  (6)
2
=
3  36  4
37
=
 29
37
=
29
37
Área del triángulo =
bh
=
2
 29 
37 

 37  = 29 (unidades de superficie)
2
2
3.) La distancia dirigida de la recta 2 x  5 y  10  0 a un punto P es –3. Si la abscisa de
P es 2, encuentra su ordenada.
Distancia dirigida:
d
Ax1  By1  C
 A2  B 2
C < 0  signo del radical positivo, y para el punto P (2, y):
3
2(2)  5 y  10
22  52
3 
5y  6
29
(3)( 29 )  5 y  6
5 y  6  3 29
La ordenada es:
y
6  3 29
5