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c
CENTRO UTINOAÍ'ERICAI'ÍO DE DEMOGRAFIA
CURSO DE 1959
CAPITULO III
I W T E 0 It A C I O N
N U Í'I E R I C A
til-
900026121 -
^^
(Apuntes de clase del Prof. Albino Bocaz)
2
CAPITULO III
II'^TEGMGIOM NU1--IEHIGA
1. Definición
Por integración numérica se entiende el proceso de cálculo del área de una
curvc cuy? función analítica no se conoce exactamente o cuya función no puede integrarse por Tisdio de Ins fórmulas clásicas del Cálculo Integral.
En el análisis de los datos de población es corriente encontrarse con este
tipo de curvas, es decir se dispone de una serie de observaciones sobre un fenómeno determinado y es muy difícil o imposible encontrar la lejr matemática que
describa exactamente este suceso.
Debido a esta razón se divide el intervalo de
observación en pequeños trozos dentro de los cuales es más seguro que los datos
sig8.n le^/es determinadas y se calculan las áreas parciales encerradas por estas
series de curvas y el eie de las abscisas.
La suma de todas estas áreas parciales nos da finalmente una estimación del
área verdadera, con una aproximación respecto del verdadero valor tan cercana como se quiera, lo que es posible comprobar únicamente para casos en aue se conoce
exactamente lo integral.
Por lo tanto, de acuerdo a esta descripción, la integr.^.ción numérica puede
considerarse como un proceso de cálculo aproxima.do de la inteeral de ur.a función,
con una aproximación suficiente para los fines prácticos a que se dedica la cifra, tal como sucede en las aplicaciones con las cifras de población en el campo de la Demografía o en el de la Estadística.
Las fórmulas de integración aproximada reciben también el nombre de "fórmulas de cuadratura" y prestan una ajmda importantísima en el ca'apo de las Aatemáticas Aplicadas, como son los campo de la Demografía, de la ¡'íatemática Actuarial,
de la Estadística, etc.
De esta manera, si se discone de la siguiente serie de valores observados:
X
^x
1 O
^^
1
2
3
U
5
h
para un suceso determinado será en general muy difícil,y aún más, es posible oue
no sea necesario conocer exactamente, la ley q e describe esta serie.
La integra-
-2cián numérica es la búscueda del área aproximada encerrada por la cj.rva y el e^
je de las abscisas tal cotiO se indica en los gráficos sit-aientes:
y
r
Jo
y,
yo
/
••T
'ü
X
2
3
4
5
^
O'
1
2
3
4
5
indicando en el primero el caso en oue interesa toda el área j en el segundo un
áx-ea particular dentro r'el intervalo de observación.
2. Fórmulas de integrs.ción numérica de uso frecuente.
Diversas contribuciones se han hecho para resolver este problema entie las
cuales describiremos las siguientes fórmulas:
- Fórmula de Nevrton
- Fórmula de Euler - Me Laurin
_ Fórmula de Gregory
cada una de las cuales posee ventajas desde el punto de vista matemático, entre
las cue pueden citarse:
- posibilidad de deducir cuantos valores, antes
después del intervalo de
integración,son necesarios para obtener l*^ sef"iridad requerida;
- mayor o menor rapidez en los procesos de cálculo numérico.
Fórmula de Weir/ton.
Para la serie de valores observados pueden calcularse los términos
l Í^JqI
2
ynl Z\
3
<
yn» Zl/yn^ •••
(1)
lo que permite expresar los valores observados por la serie
y
y'o + í1 '—o
A
+ c''
Z:!^
''x = '
2 ^
o + < 3 A ^o + cf
4 '•—o + ...
como se saoe cue
n
i
^ J
ni 1 .
J
n
^
(2)
-3J
siendo S^ los 'hújneros de Stirlinp; de la. clase", es posible realizar el cálculo
aproxinedo de la intef-ral de los datos observados desde el origen hasta un punto
"a" (entero y positivo) de la escala por la relacián
/
3
(4.)
]=0
sienao
-I
f.(a) = í C"? dx = ^
J
Q
J
ni
n
"
1, k+1
S. ^
j
k+l
(5)
una función que depende únicamente de "a", que puede tabularse dado que los valores de estas funciones son:
2 f^(a) = a'
12 f2(a) = a (a-3)
24 f J a ) -
(6)
j
720 f,(a) =
4
45 a^ + 110 a - 90)
1440 f J a ) = a^(a-4)(2a^ - 16 a^ + 41 a - 36)
5
60480 f^(a) = a^(12 a^ - 210 a^ + 1428 a^ - 4725 a^ + 76/2 a - 5040)
120960 f^(a) = a^(a-6)(3a^ - 54 ^^ + 376 a^ - 1272 a^ + 2112 a - 1440)
Si por alguna razón el valor de "a" es fraccionario^ las funciones permiten
el cálculo sin ninguna dificultad tan iiportante.
üoeiicientes pare los v"-.lores que se indican
(Aiaplific?.dos en 120.960)
a
'—0
^0
1
120960
604oü
-locj.;
2
?/,! 920
241920
40320
3
362880
544320
272160
4
483840
967680
5
604800
6
7
-3192
2268
-1726
1375
-1344
1344
-1184
1024
45360
-4536
2268
-1566
1215
806400
322560
37632
-1024
1024
1512000
176/^000
1134000
357000
39900
-2750
1375
725760
2177280
3265920
2903040
1487808
399168
35424
846720
2963520
5433120
6174000
4387656
1889244
432866
5040
-
-
-
36799
Para el caso en cue se desee h.-xer uso de las funciones es conveniente preparar
una tablp de coeficientes que evite la división por 1 2 0 , ,
lo que se ha hecho en
la tabla sif:uiente:
Tabla de coeficientes para;
a
5^0
^0
'—0
1
1
0.5
-0.0833
2
2
2.0
0.3333
3
3
4.5
2.2500
4
4
8.0
5
5
6
7
L
Q
0.0042
L
• ¿—0
1—0
Q
-0.0264
0.0187
-0.0143
0.0114
-0.0111
0.0111
-0.0098
0.0085
0.0375
-0.0375
0.0187
-0.0129
0.0100
6.6667
0.2667
0.3111
-0.0085
0.0085
12.5
14.5833
0.9375
2.9514
0.3299
-0.0227
0.0114
6
18.0
27.0000
2.4000
12.3000
3.3000
0.2929
7
24.5
44.9167
5.1042
36.2736
15.6187
3.5786
-
-
-
0.3042
Puede, aún más, prep-.rarse una ta'ol'- de coeficientes que evite el cálculo de las
diferencias finitas 7 que use solamente I03 valores observados j .
X
Estos coeficientes
dependerán no solamente de "a", sino del prado "k" de 1:\ curva de interpolrción usada.
Los coeficientes que resultan se dan en la tebl- siguiente:
-5Tabla de coeficientes para
a
k
1
1
0.5000
0.5000
2
0.4167
0.6667
-0.0833
3
0.3750
0.7917
-0.2083
0.0417
4
0.3486
0.8972
-0.3667
0.1472
-0.0264
5
0.3299
0.9910
-0 . 5542
0.3347
-0.1201
0.0187
6
0.3156
1.0766
-0.7682
0.6201
-0.3342
0.1044
-Ü..0143
7
0.3042
1.1562
-1.0069
1.0180
-0.7320
0.3431
-0.0938
2
0.3333
1.3333
0.3333
3
0.3333
1.3333
0.3333
0.0000
4
0.3222
1.3778
0.2667
0.0444
5
0.3111
1.4333
0.1556
0.1556 ^
. -0.0667
0.0111
6
0.3013
1.4921
0.0039
0.3513
-0.2135
0.0698
-0.0098
7
0.2929
1.5513
-0.1690
0.6476
-0.5098
0.2476
-0.0690
3
0.3750
1.1250
1.1250
0.3750
4
0.3375
1,2750
0.9000
0.5250
-0,0375
5
0.3167
1.3687
0.7125
0.7125
-0.1312
0.0187
6
0.3058
1.4464
0.5183
0.9714
-0.3254
0.0964
-0.0129
7
0.2958
1.5167
0.3074
1.3230
-0.6770
0.3074
-0.0833
4
0.3111
1.4222
0.5333
1.4222
0.3111
5
0.3111
1.4222
0.5333
1.4222
0.3111
0.0000
6
0.3026
1.4730
0.4063
1.5915
0.1841
0.0508
-O.OU85
7
0.2942
1.5323
0.2286
1.S878
-0.1122
0.2286
-0.0677
5
0.3299
1.3021
0.8681
0.8681
1.3021
0.3299
6
0.3071
1.¿.385
0.5270
1.322.^
0.9611
0.4663
^.0227
7
0.2958
1.5181
0.2883
1.7206
0.5632
0.7C50
-0.1023
6
0.2929
1.5¿29
0.1929
1.9429
0.1929
1.5429
0.2929
7
0.2929
1.5429
0.1929
1.9429
0.1929
1.5429
0.2929
0.0000
7
0.3042
1.4¿^90
0.5359
1.2108
1.2108
0.5359
1.4490
0.3042
^2
«-
2
3
4
*
5
6
7
^3
^4
"5
0.0114
-0.0111
0.0085
0.0100
0.0085
0.0114
-6a = ancho del intervalo de integreci-'n
k+1 = niimero de valores (y ) considerados
X
E.jemplo 1
Determn?.r el valor 45
,: 1X dx dada la información
25
1
91335
X
30
35
90078
B8573
40
45
86650
84069
50
804^7
55
75557
60
68924
Solución;
La regla, de trapecios nos da:
(84069 + •30487) 2.5 = 413.890
Usando una curva de 7o. grado (para este problema no es necesario, solamente se hace para indicar como se usa la tabla de multiplicadores) el área buscada está dada por:
50
J
50
ldx=
45
X
J
45
/ i d x - í l d x
X
25
j
X
25
y ea base de los coeficientes de la tabla se tiene:
0.0016
- 0.0142 l^Q + 0.0597 13^ - 0.1672
+ 0.4764 l^Q - 0.0346
+ 0.6754
0.0029 1¿Q
y aplicando estos .aulti' licadores 3 los valor-^s observados se encuentra
5 r0.00l6(91335)-0.0142(90078)+^^-S573('-^8573)-0.l672(86650)+0.6754(84069)
+0.4764(80487)-0.0346(75557)+0.0029(68924)] = 411885
siendo 411.857 «1 verdadero valor.
-7-
E.jemplo 2
50
3etenTvLrE.r el valor do
;
30
25
X
91335
1 dx d£da Ir. informacidn:
X
30
90078
8?573
50
40
45
36650
34069
35
8048?
55
75557
60
68924
Solución;
La regla de los trapecios nos di.
5 [(90078+80487)/2+88573+86650+84069j = 5(344575) = 1.722.875
en cambio usando los multiplicadores de la tabla tenemos;
5(-0.0084-91335+0.3619-90078+1.2952•88 573+0.7026•
84069
+0.3619-80437^.0085-75557) = 1.724.021
siendo el verdadero valor 1.724.003.
3•Casos de interés práctico.
Rep-la de los trapecios. (Caso de 1 fra.nia).
So refiere al caso en que el é.rea. buscada es el área comprendida entre dos
valores observados sin tomar en consideración la información dada, por los otros
valores vecinos.
5n este caso entre los dos puntos puede trazarse un^ línea rec-
ta de interpolación y el área buscada es el área del trapecio OlAB, sefún se indica en la fif;ur^.:
y.
O
X
Esta relsción puede deducirse en base de los coe;ricientes de le t .ble, i:jfectivamente el a.ver. buscada es:
1
R.T. =
j
A.
y^dx = y^ +
= y^
=
V 2
(7)
lo que corresponde como bien se sabe al nrer. de], trapecio OlAB, ya que soa área
es ig-aal a la senii-suma de 1? base por la sltura.
Regla de Simpson. (Caso de 2 frsn.ias).
Es el área detsrrninada por la curva que pasa por 3 puntos sucesivos y el
eie de las abscises, o sea^, el área OlZ/lBC^ indicr'da en la figura:
'^C
A
yi
y-:
y,-
1
0
La integrsl QUB SG busca est
¡ y^^dx
O
de modo que para a=2, en base de los coeficientas de la tabla se tiene:
2
I
R.3. = ; y^dx - 2 y^ + 2
j
+
L
= (y^ +
+ y,)/3
(ñ)
o
fórmula que recibe el nombre de "fórmula de Simpson".
Regla de los. 3/B.
(Caso de 3 fr?:n,l3s).
Cuando se conocen 4 puntos ecuidistantes en el intervalo de integración, 1Í
integral toma el valor (a = 3):
- Q -
3
'
J r^^dx = 37,
¡1?
9/2
+ 9/4 A ' -
(9)
cue puede reducirse a:
3
R. 3/8 =
r
y^dx = 3/8 (7^+73) -
(10)
fórmula que recibe el nombre de "regla de los 3/8" debido a que este número es
el coeficiente que encabeza la relación rue da el área.
Fórmula de Boole.(Caso de 4 franjas),
Corresponde al caso en cue para el intervalo de integración se conocen 5
puntos. En este caso el área podría calcularse por la regla de los trapecios
aplicada en cada una de las fajas, o bien 2 veces la fórmula de Simpson, siendo
los resultados, respectivamente:
R.T. = l/2(y^+y^) + (yj+y2) +
(11)
R.s. = i/3(y^+y¿^) + 4/3(y^+y2) + 2/3 y^
(12)
Puede suceder (y esto constituye una notable ventaja práctica) que la sencilla regla de los trapecios dé valores aceptables^ pero en algunos casos (área
de una curva usando valores distanciados en 5 años) esta fórmula no es lo suficientemente ejracta, ^-or lo cual puede obtenerse valores más vecinos a los verdaderos usí'ndo una parábola de 4o. grado.
En este caso, de acuerdo a la tabla de coeficientes, se tienes
4
y^dx = 4 y^ + 8
y^ + 20/3 A
+ 8/3 A
4
1^/45 A .
(13)
que puede reucirse a la forma:
4
I' y^dx = 2/45 j 7(7^+74)
+ 12y^
(14)
-10relaciór. rue recibe el nombre de "fórnula. de Boole" que dr. valores "rauy seniejanres a los obtenidos usando la fór iulí. de oiapson.
Caso de 5 franías (6 vdlores observados).
Cuando el intervcJo de inte^r ci(5n se divide en 5 franjas, el área de la
curv?, C'uedr di-dc". aproximadar.ienue por la relaciona
^
y^cbc = 5 y^ + 25/2 Z\
+ 95/28S /\
+ 175/12 A
2
y. + '^5/8 /\
5
3
y^ 425/lU A
4
y.
(15)
oue puede reducirse a:
5
J'y^dx = 5/288 I9(y^+y5) +
+
(16)
Para evitar ol iso de estos multiplicadores puede usarse otr^n 2 forraas
de integración:
~ Psr^" edades centrB.les.
Para las 2 primer--s y las 2 últimas iranias se aplica la regla de Simpson
y para la faja central la regla de los tra,pecios, con lo cual el área vale:
jV^dx = (2 y^ + a y^ + 5 yj + 5 y3 + 8
+ 2 y^)/6
(1?)
- Para edades extrenas.
Para las dos priraeras frínjas la ref_la de 3i-npson y para las franjas del
extremo, 1? regla de los 3/3y con lo cual el írea toma la forma:
¡Y^áx i (8 y^ + 32
+ 17 y^ + 2? J^
27
+ 9 7^)/2L
(18)
-11Eiemplo 1
Determinar el valor de
40
f
1 dx con la siguiente informacián:
;o
X
20
y^ i 92435
25
91335
30
35
90078
88573
40
45
86650
84069
y usando las aproximaciones siguientes:
- Regla de los Trapecios
- Fórmula de las 5 franjas
•r Fórmula para edades centrales.
Solución;
La regla de los trapecios nos da:
R.T. = [(92435H-84069)/2 + 91335 + 90078 + 88573 + 86650J (5) = 438888-5= 2.194.440
La regla de las 5 franjas nos da:
= 25/288 (l9-176504+75'177985+50-17865l) ° 2.225.260
I, finalmente la regla mixta:
= 2-17650+8-177985+i-17865l)/l.2 =
= 2.225.120
siendo el verdadero valor 2.225.258, con lo cual las fóimilas mantienen las diferencias relativas de 818; 2; I4O; respectivamente.
Puede decirse entonces que la regla roixta da una seguridad bastante aceptable y no representa de ninguna manera una mryor dificultad de aplicación cono la
re ¿La de los trapecios.
Ejemplo 2.
^^^
1 dx con la siguiente información:
Determinar el valor de
áo
-12-
X
80
y
22883
85
11073
90
3796
95
100
105
857
123
11
y usa,ndo las aproximaciones siguientes:
- Regla de los Trapecios
- Regla de las 5 franjas
-
Regla mixta par?, edades extremas
Solución;
La regla de los trapecios nos da:
22883+11 +
^
+
^23) = 136.480
Usando la regla de las 5 franjas se tiene:
=
7
(12*22894+15-11196+50 - 4653) = 130 . 845
Y con la regla mixta se encuentra;
105
y dx = (8-22883+22-11073+12-3796+^-857+2Z-123+9-ll)/4.8 = 130.919
80
siendo el verdadero valor 131.114, obtenemos nuevamente con la regla mixta el
resultado más satisfactorio, desde el punto de vista de la exactitud y del operacional.
Caso de 6 franjas (7 valores observados).
En este caso
el intervalo de integración se divide en 6 franjas y el área,
en base de la parábola de 60. grado está dada por la relación:
6
f
y^dx = 6 y^ + 18
+ 41/140 A o
+ 27 A o + 24 Zi^ ^ 123/10 ^ o ^ 33/10
(19)
-13Que puede reducirse a:
= 1/140 I
+
+ 27(7^+7^) + 272 7^
(20)
Si el coeficiente de la 6a. diferencia se reemplaza por el valor aproximado
3/10, luego de reducir, se tiene:
D
J y ^ dx ¿
l-5(y^+y5) + 1.8 y^
(21)
relación cue se conoce como la "Fórmula de '.'eddle" y cuyo uso es tan cómodo como
la regla de los trapecios.
Si en lugar de reemplazar el coeficiente 41/IOO por 3/10 se hace por el valor
7/25, se llega a la relación:
(22)
y^dx = 0.28(y^+y^) + 1.62(y^+y^) + 2.20 y^
fórmula que recibe el nombre de "Fórmula de Hardy'.' Esta relación puede obtenerse también, haciendo pasar una parábola de 4o. grado por los puntos (0,^)j (1,3^);
(3^3^j
Í6,7¿.
Como en el caso de las fórmiilas para 5 fajas, se pueden calcular fórmulas
usando las reglas anteriores, como,por ejemplo,
la regla de los 3/8 y aún la
regla de los trapecios y la regla de Simpson.
Si se usa la regla de Simpson, se tiene:
(23)
Y, si se usa la regla de los 3/8, se tiene:
3/8 [(y^+2 y^ + y^) + 3
Las compararemos a través de los ejemplos siguientes:
(24)
-14E.jemplo 1.
^^
r
1 dx dada la información^
Determinar el valor de
X.
15
X
15
93235
20
92435
30
25
91335
90078
35
88573
40
86650
45
84069
usando las reglas siguientes:
- Regla de los trapecios
~ Regla de las 6 franjas
- Regla de Víeddle
- Regla reiterada de los 3/8
Solución;
La regla de los trapecios nos da:
= (93235 + 84069)2.5 + (92435 + 91335 + 90078 + 88573 + 86650)5.0
= 2.688.615
A su vez, la regla de las 6 franjas nos lleva a:
= 1/28 [^(93235+84069) + 216(92435+86650) + 22(91335+88573)
+ ^(90078)!
= 2.689.663
L.-^. fórmula aproximada de '••/e'ddle:
R.W. =
=
0.3(93235+91335+88573+84069) + 1.5(92435+86650) + 1.8(90078) 5
53794.9(5) = 2.689.748
La regla reiterada de los 3/8:
3/1.6(357460 + 1076979) = 2.689.584
-15-
Como el verdadero valor es 2.689.577, se puede afirmar entonces, queden base a su sencillez y aproximación, la regla de los 3/8 es bastante aceptable para cálculos dü rutina.
Ejemplo 2.
^^^
Determinar el valor de
¡
1 dx dada la inforiaacións
X
75
75
X
36735
80
22883
85
9c;
11073
3796
95
100
105
857
123
11
usando la regla reiterada de los 3/8 y la regla de los trapecios.
Solución;
La regla de los trapecios nos da:
^^,36735+11 + 22883 + 11C73 + 3796 + ^^57 + 123) = 5 • 57104 = 285.520
y la regla de los 3/8 nos lleva a:
3 / 1 . 6 ( 4 4 3 3 8 + 3 • 34936) = 279648
como el verdadero valor es 280.006, se tiene que la regla reiterada de IOG 3/8
es bastante mejor que la regla de los trapecios.
Nota i Debe indicarse que los coeficientes que multiplican los valores observados y , cuando se usan las fórmulas de las franjas, fueron primeramente
calculados por Cotes usando la fórmula de interpolación de Nevjton, y, por
lo tanto reciben el nombre de "números de Cotes",
Los ejemplos anteriores llaman la atención sobre el hecho de que el uso de
mezclas o reiteración de las fórmulas para los casos sencillos (regla de trapecios, regla de Simpson y regla de los 3 / 8 ) rinden aproximaciones
tm
eficien-
tes, como si se usaran los multiplicadores de Cotes basados en parábolas de grado superior.
Veamos,por lo tanto,los dos últimos casos: caso de 8 franjas y caso de 10
franjas.
-16-
Caso de 8 fran.jas (9 valores observados).
P^ra este caso pueden usarse las fámulas siguientes:
- Regla de los trapecios (? veces)
- Regla de Simpson y ref,la de los 3/8
- Regla de los 3/8 y regla de Boole
Si se aplican las reglas de Simpson y de los 3/8, se obtienen fórmulas más
sencillas.
Para edades centrales, se obtiene;
jy^dx 4 K y ^ + y ^ ) +
+ I7(y2+y3)
^^^
^^^^
ó
Para eda^des extremas se llega a;
y
I y^dx = (8 y,3 +32 y^ + 16 y2 + 32 y3 + 17 J^ + 27y^
27y^ + 9 Yr^)/2k
(26)
d
E.jemplo 1.
Determinar el valor de
70
X
^X
70
49655
75
36735
1 dx dada l-i iniormrxión:
^
80
22883
85
90
11073
3796
95
100
105
857
123
11
Solución;
De a.cuerdo a la fjrmul" pe.ra edades extremas se tiene:
(8-49655+32.36735+l6-22833+¿2.11073+lj:-3796+27-857+27.123+9-ll)//j.8
~
¿I-, o
=496732
siendo el verdadero valor 496.760, lo que representa una aproximación aceptable.
-17E.jemplo 2.
70
Deter ninar el valor
1 dx dada la informacidn
J
35
X
35
m73
^X
40
86650
45
84069
^
50
55
80487
75557
60
68924
65
60366
70
49655
Solución;
De acuerdo a la fórmula de edades centrales se tiene:
~8( 88573+49655) + 32(86650+60366) + 17(84069+68924) + 27(80487+75557^/4.8
= 12624405/4.8 = 2.630.084
siendo el valor exacto 2.629.910> lo que es más que suficientemente acepatable.
Caso de 10 fran.'jas (11 valores observados).
En este caso pueden usarse las fórmulas de Simpson y de los 3/8 combinadas de
la siguiente manera:
Para edades centrales.
En las franjas de los extremos se usan las fórmulas de Simpson y en las fajas
centrales la fórmula de los 3/8, lo que nos lleva a la siguiente relación:
10
J
(y^dx = 8(yo+y^Q) + ¿¿(y^+y^)
-j
+ 27(y3+y^+ y^+y^) + 18 y5)¡ /24
(27)
Para edades extremas.
En las fajas de las edades menores se usa 2 veces la fórmula de Simpson y en
las fajas de las edades mayores 2 vcces la fórmula de los 3/8, lo que njs da:
.0
y^dx = |""8 yo+32(y^+y3)+l6y2+lS^^+27(y^+y¿+yQ+y^)+18 y^+9
O
(23)
-18Exists
otra fónrrula de interés que es la "formula de ShoveltonV oue tiene la
forma:
10
w
I y^dx = 5 / 1 2 6 +
+ 15(y2+y^+y^+yg) + 36
(29)
G
Veamos dos ej.mplos de ai^licación de estas fórmulas:
¿2-1.
70
determinar el valor de J l__dx dada 1?. inforraa,ci6n:
25 ^
X
^X
25
35
35
40
45
50
55
60
65
70
75
91335
90078
88573
86650
84069
80487
75557
68924
60366
49655
36735
usando las fórmulas iráxtas y la fórmula de ohovelton.
Solución;
La forma i^ara. edades centra.les nos da:
(8-l28070+32-i39733+i7.148939+2J'315200+18'80487)/4.8 = 3.747.322
en oanbiój la formula de Shovolton nos lleva a:
R.Sh. ^ (S-128070+35-295307+15-308565+36-80487)/5.04 =
siendo el verdadero va,lor 3.747.025.
3.7U7.2Sk
Si hubiese:nos aplicado la fórmula de los tra-
pecios habríamos obtenido 3.741.970.
E.ienplo 2.
^^^ ^
Determinar el valor de J 1 dx dada la información:
55 ""
X
^X
55
75557
60
65
68924 60336
70
75
80
49655
36735
22883
usando las correspondientes fórmulas.
85
11073
90
95
100
105
3796
857
123
11
-19Solución;
Usando Ir^ formula mixt?. so tiene:
(8•755 57+32•118579+16•60 336+17•36735+27•34936+18•3796+9•11)/4.8=1.438.449
y por la fórmula de Shovelton se llega a:
R.Sh. = (8-75568+35'122498+15-109001+36-22883)/5.04 = 1.458.488
siendo el verdadero valor 1.458.699. La fórmula de los trapecios nos da 1,460.830.
4. Fórmula de Euler-Mac Laurin.
Esta fórmula permite dar el área de una curva en función de la suma de los
valores observados y de las derivadas sucesivas de la función de ajuste.
Para deducir esta fórmula introduciremos previa.mente los números de Bernouilli,
que juegan un rol importante en los procesos de cálculo numérico.
Los números de
Bernouilli se originan al tratar de desarrollar en serie la función:
= ^
(30)
Veamos, por lo tanto, la ley que rige la aparición de estos números.
La fun-
ción f(v) pa.ra v = O es una expresión del tipo O/O, es decir, una expresión indeterminada, cuya indeterminación se levanta usando la regla de L'Hópital, o sea,
derivando el numerador y el dono'ninador y evaluando el valor do la fracción en el
punto considerado,
oi después de derivar aún se mantiene la indeterminación se
reitera el proceso hasta llegar a obtener un valor determinado.
Para el caso nues-
tro es fácil demostrar que la expresión vale 1, valor que corresponde al valor del
coeficiente "a^". Puede demostrarse además quo el coeficiente
vale -l/2 y que
los coeficientes cuyo subíndice es impar (3, 5, 7, ...) son todos nulos.
Esto so demuestra de la siguiente Tronera.
f(-v) = V + f(v)
lo que oxige las condiciones roción señaladas.
Cambiando v por (-v) se tiene que
(31)
Da esta manera la serie buscada dobs t^^n^r la forma:
V
=
+
V^ + ...
(32)
cucdando entonces par determin'^r ol valor de Iüg co-ficiuntes
2j
Pasando el donamnador al 2o. miembro y usando el conocido desarrollo de
c
so tianc:
(33)
1 =
y, si igual-jios
a. ü los coeficien>..es de las potencias impares de "v" se tiene;
para el cooficionte v^t
para el coeficiente
^ ^ •
para el coeficienoc
1 _ 1(1„) = 3
O^'^f ^ 2!
91
41
2^31'
a.
61
^
21
-
41
>
(34)
= 2f- + /^f +
Y, si introducimos los coeficientes
21a^ =
41a^ = B^i
6ía^
(35)
estas relaciones se transforman en 1 'S siguientes:
(36)
C- B^ + C^ B^ + C® B^ = 3 ^
C f B.^ C f B,
c f B, +
B^ = 4 .
y
-21-
Es decir, en general:
k
2k+2
(37)
3=1
recibiendo los números
el nombre de "números de Bernouilli".
Del uso de esta ley de recurrencia se tienen los valores:
B. = 1/6 ;
B. --1/30 ;
B, = 1/42 |
B. = - l/30 | ...
(38)
con lo cual el desarrollo buscado toma la forma:
2
4
é
8
V
= 1 - v/2 + B
- B ~ + B, ^
^2 21 " "4 4Í
6 6i ~ "8 817 + •••
(39)
iihora bien, se demostró que:
A
^
(40)
- 1
de manera que.
A
- 1
D
D
D ,
e - 1
(41)
y de acuerdo al desarrollo- recién encontrado se puede escribir:
oo
1
B^.
(42)
(2j)l
aplicando esta relación a la función y , si la suma se realiza desde
x = a, has-
ta X = b, se tendrá:
b
2 _ y.X
^
B
D 6r ' - D a
relación que recibe el nombre de fórmula de Euler-Mac Laurin,
(43)
-22E.jemplo 1. ""
dx
1+x
/
0
Solución:
Eligiendo un ancho de intervalo de 0.1, ya que
1
^X
1 +X
dx
'
(1+x)'
dx^'
(1+x)
se tiene:
0.1 J
1+x
2
1
0.001
720
1.1
1.2
^H-i.
i^y
1.3
•••
1.9
= 0.50000-
120
2
2
12
^2
^2j
. 1+
. 6 . ^
4
720000
16
0.90909
0.^3333
0.76923
0.71429
0.66667
0.62500
0.58824
0.55556
0.52632
0.25000
6.93773
= 6, •
0.00625 + 0.00001 = 6.93149
Nota: La fórmula de Gregory de la que se hizo mención en el párrafo 2, no se realizará, porque no aporta ninfruna ventaja de cálculo.
Extraído de "Mathematics for Actuarial Students" de Harry Freeman, Parte II,
Pág. 190.
-235. Integrg.eión numérica por medio de oum-25 lineales de funciones exponenciales.
Este párrafo resume el artículo del mismo nombre publicado en los ünales de
Estadística Matemática Vol. 20 de 1949 debido a R.E. Greem-íood que tiene un uso justificado para el cálculo de áreas en funciones decrecientes o ascendentes que siguen
leyes geonátricas en general.
Estas leyes son muy frecuentes en el Análisis Demo-
gráfico .
De esta manera la integral
j
y dx queda dada aproximadamente por las rélacio-
-1
ñus
y^dx =
yj
y^dx ó
Jj
(44)
-1
-1
si se emplean las funciones exponenciales (con origen en el centro del intervalo d¿
integración):
J
f.(x) = e^""
j = O, 1, 2, . . . k
(45)
n i
i í n i S
(46)
siendo k el número de fajas en que se ha dividido el intervalo de integración.
Para facilidad en el uso de este tipo de integración se da una tabla do los
coeficientes a. y b., para el caso en que el intervalo de integración se divida
J
<3
hasta en k=6 fajas. Cuando el número de fajas es ps.r, puede usarse cualquiera de
las 2 funciones exponenciales dependiendo el grado de aproximación de la mayor propiedad con que 1''. función exponencial mixta describe la serie empírica o analítica
no integrable exactamente.
-24-
k
Coeficientes a.
J
1
a = 0.656518
Gceficicnti-s b .
J
k
Cotsficientes a.
J
3
=^2,69110:
a^- 0.218050
b^ = 0.322606
= 5.313365
1.497807
b^ = 1.354788
a3 =-1.589890
a^^ 0.284142
b^ = 0.322606
= 1.998345
a^- 0.769864
"5
6
a^- 0.336676
0.271127
a^- -0.274332
b^ = 0.3C09f^4
a^- 2.f:;0l970
b^ = 1.464866
617904
b^ = 0.468340
1.834218
a0.256062
h
= 0.246305
= -2.50803
n =
a^^ 1.622333
4
J
= 1.722982
5
0.3434S2
2
Co;eficientes b.
b^ = 1. ¿<64866
•>0 = 0.23332
10,62384
= 1.60395
= -11.64306
= 0.03417
=
9.96762
=
-2.94055
= 0.03417
=
2.16225
= 1.60395
p 6- =
0.23914
= 0.28332
"3
= 2.15715
b, = 0.300964
LL
E.jemplo 1.
Deterj-ninar ol valor de
J
1 dx 3i 1,= 95.290, usando lo.s reglas siguientes:
0
- la regla de los trapecios con los vrlores naturales
- la regla de los trapecios con los logaritmos de los números
- la fórmula exponencial para el caso de 1 faja.
En base de los resultados obtenidos, ¿Cuál fórmula sería recomendable en IOE
cálculos prácticos de rutina?
-25dolución;
La regí:: de Ion trripf.cics con Iog V2.1oro3 naturalr-s nos da
R.T. = (100000+95290)/2 = 97.645
La risma rsgla anterior con loa logaritmos de los números nos lleva a
Area =
\/lOOOOÜ • 95290^= 97.61?
y finalmente la exponencial nos da
Area = (O.343482)(100000) + (C.656518)(95290) = 96.908
siendo el valor verdadero 96058.
E,ieiaplo 2.
105
Determinar el valor de
1 dx dada la información:
X
Í5
X
1
75
X
36735
80
85
90
95
100
105
22883
11073
3796
857
123
11
usando las funciones exponenciales.
Solución;
Por tratarse de un número par de fajas podemos usar los multiplica.dores
a.
c)
o b^. Usando los multiplicadores a^ debemos invertir el orden de estos multiplicadores, ya cue la curva de los 1
curva es creciente.
es una curva decreciente y la tabla supone que la
De esa manera, se tiene
(( .23814)(36735) + (2.1<225)(22-^3) - (¿.:;4055)(11073) + (9.9<.762)(37y6)
- (11,643''6)( Í57) + (11.^'2384)(123) - (2.5082l)(ll)
y us^.ndo los couficii,-nt^;3 b., S3 tien¿:
J
== 279.558
-26y us:^ndo los co..ficicntes bj sc tisnc:
5 |_(36735+11)(0.23332) + (22^i^3+123)(1.60395) -i- (11073+657)(0.03117)
+ (3796)(2.15715)]- 279.538
nionco el vorciiioero valor 280.006.
Nótese que 1?. regl'-, ds los 3/8 da una aproxima-
ción excelente con un juego de uultiplicadores mucho más sencillos (279.640).
5. Uso du la fórnula de L¿-i.granRO cu?.ndo los valoras observados están desigualmente
espaciados.
Las fórmulas anteriores junto con las tablas que se han calculado suponen que
el intervalo de integración se divide en franjas de igual -incho o bien que los valores observados están igualmente espaciados.
En algunos problemas de integr-^ci'n (extrsmos de un:i tabla abreviada de vida
p. ej.) so dispone de valores desigualraente espfcir.dos y, por lo tanto, una solución sería aplicar la regla do los trapecios para ca 'a una de l;is fajas (de distinto ancho); pero puede suceder cue el val^r obtenido no tenga una aproximación aceptable .
Por esa r:.zón es conveniente indicar cómo en base de la fórmula de Lagrange se
puede calcular el área de la curva.
Considéranos, por lo tanto, un caso bastante frecuente: Se conocen 3 valores,
Yo> ¡^a' ^b' cuyas distanci"3 respecto al origen son O, a, y b, respectivamente,
tal cono se indica en el gráfico:
\
^ —
^^
yo
^^
^b
O
a
b
La curva de interpolación (parábola de 2o. grado) tiene por ecuación:
-27(x-r.) (x-b)
y.
—
, x(x-b)
+
^ x(x-a)
y. + b t w T )
b
y la integral
J
o
y ox valo, por lo tanto
b
b(3a-b)
,
b^
b(2b-3a)
o
pudiündo deducirse formulas de integración de 1i misma naturaleza para el caso an
que se disponga de un mayor número de valares observados, desigualmente espaciados.
E.jemplo 1,
r
Determinar el v?lor de la integral
0
X
100000
1
X
3.
5
95290
94220
f
1 dx si se dispone de la información:
X
mediente el uso de las siguientes reglas:
- regla de los trapecios
- uso fórmula de Lagrange con los valores naturales
- uso fórmula de exponenciales compuestas, aplicada independientemente a cada
intervalo: 0-1j 1-5.
Solución:
La regla de los trapecios nos da:
R.T. = (100000+95290 )/2 + (95290+94220)2 = /•.76665
El uso de la fórmula de Lagrange con los val:)res naturales nos da
F.L. = 1/24 (-40•100000+125•95290+35•94220) = 467.040
-2H-
y usando It formule d-; las expontnci-iles coi-npu^^-stns:
0.3434^2(lOCOOO)+0.6 56518(9 5290) + 4 0.343482(95290) ^ 0.656518(94220)
=
96903 + 378350 = 475.25S
siendo el valor exacto 474.451, es decirj la última hipótesis sobre 1
daría un
resultado aceptable.
Ejemplo 2.
Determinar el valor do la intcgra,l
p
x'l dx si se dispone de la información:
X
O
1
X
1
O
X
100.000
83.120 74.923
Solución;
La regla de los trajjecios nos da;
R.T. = (l0000-0+,^31?-0'l)/2 + (83120-1+74923-25) 2 = 3.953.950
El uso de la fSrmula de Lagrange:
F.L. = 1/24(-40•IQGOGO-0+125•33120.1+35'74923'25)=7 5947625 = 3.164.484
Los diversos valores d-j(x^l ) se encuentran en los Apuntes del Sr. Tabah y
son los siguientes:
X
1
0
1
2
3
4
5
100.000
83.120
X
79.026
76.979
74.923
2.
X 1
X
Multiplicador
fórmula (18)
0
83.120
324.292
711.234
1.231.664
1.873.075
8/24
32/24
17/24
27/24
27/24
9/24
Usando la regla dada para el caso de 5 fran.jr's, los multiplicadores que deben usarse están indicados en la 4a. columna de la tabla, con lo cual el Area buscada es;
7748';Í725/24 = 3.228.670
valor oue consideraremos como el verdadoro, es decir, el que se obtendría en el caso de contar con los núr.^-.ros "1 " para las edades 2¡ 3 y 4. El valor encontrado con
el uso de la fórmula do Lagrange no es muy diferente, con lo cual podemos afirmar
oue el uso de esta fórmula es s-".tisfactorio.
6. I n t e g r a c i ó n o s c u l L , . t r i z .
En
l a a p l i c a c i ó n de l o s métodos d e m o g r á f i c o s es f r e c u e n t e e n c o n t r a r s e
cue l o s d a t o s b á s i c o s ( d i s t r i b u c i ó n p o r edad de l a p o b l a c i ó n p a r a un m b r o
con
deter-
minado, p o r e j e m p l o ) p r e s e n t a n c i e r t a s i r r e g u l a r i d a d e s que deben c o r r e g i r s e .
Una de l a s s o l u c i o n e s p a r a l a r e d i s t r i b u c i ó n de l a p o b l a c i ó n c o n s i s t e en
d e t e r m i n a r " p u n t o s p i v o t a l e s " p a r a l u e g o p r o c e d e r a l c á l c u l o de l o s p u n t o s de i n t e r p o l a c i ó n . También a v e c e s p o r comodidad en l o s c á l c u l o s , e s p r á c t i c o
calcular
c i e r t o s c o e f i c i e n t e s d e m o g r á f i c o s p a r a e d a d e s t e r m i n a d a s en O ó 5; o b i e n , que e s t á n d i s t a n c i a d a s en 5 a ñ o s , y s u r g e como un problema p o s t e r i o r d e t e r m i n a r e l á r e a
de l a c u r v a d e s c r i t a por e s t o s
puntos.
Como en e l c a s o g e n e r a l d e b e r í a n c a l c u l a r s e t o d o s l o s v a l o r e s de i n t e r p o l a c i ó n usando a l g u n a s u e r t e de m u l t i p l i c a d o r e s (de G r e v i l l e , de B e e r s , de S p r a g u e ,
e t c . ) j l u e g o i n t e g r a r l a s u p e r f i c i e a p l i c a n d o l a r e g l a de l o s t r a p e c i o s (que da una
e x c e l e n t e a p r o x i m a c i ó n ) puede r e a l i z a r s e t o d o e s t e t r a b a j o de una manera más s e n c i l l a y r á p i d a p r e p a r a n d o t a b l a s de c o e f i c i e n t e s en l o s que p r e v i a m e n t e se hayan r e sumido t o d a s e s t a s
opcracionos.
P a r a a c l a r a r más e l a s u n t o supongamos que deseamos d e t e r m i n a r e l v a l o r de
1 dx p a r a una t a b l a de v i d a , de l a c u a l se conocen ú n i c a m e n t e l o s v a l o r e s
10
X
94220
15
93710
93235
20
92435
25
91335
30
35
9007ñ
88573
pivotales.
P a r a cada uno ci.6 l o s i n t e r v a l o s extremos (5-153 2 5 - 3 5 ) podemos u s a r l o s
g u i e n t e s c o e f i c i e n t e s de B e e r s .
x+1
.x+2
x+3
x+4
x+6
x+7
x+8
x+9
X
6667
¿.072
2148
819
-404
-497
-389
-191
x+5
4969
8344
10204
10689
8404
6229
3849
1659
x+10
-1426
-2336
-2456
-1666
2344
5014
7534
9354
x+15
-1006
- 976
- 536
- 126
-216
-646
-1006
-906
x+20
1079
1224
884
399
-196
-181
-41
69
x+25
-283
- 328
- 244
- 115
68
81
53
15
si-
-30-
. l o s ir..-t e r v a l o s c e n t r a l e 3 15-20; 20-25
x+1
x+2
x+3
X-f/i-
X
117
137
-87
27
x+5
-921
-1101
771
-311
x+10
9234
7194
4454
1854
x+15
1S54
UU5U
7194
9234
x+20
-311
-771
-1101
-921
x+25
27
ni
137
117
con l o c u a l obtenaronios t o d o s I0.3 v^.lorbs y
do;jáe x=5 h a s t a x=35.
Podíjrnosj en s e - i a i d a aplic-.-ir l a r e g l a de l o s t r a p e c i o s p a r a e n c o n t r a r e l
e n t r e 2 v a l o r e s -jucesivos
área
y I'lnalKiente r e a l i z a d a s e s t ' s e v a l u a c i o n e s s e i l e c : a
a:
P a r a e l í r e a de I o g dos g r u u o s e x t r e m o s i n f e r i o i ' e s :
P a r a e l ^'VOK de -in grupo
0..0a63
- 0,3104 y^.^^
central:
2 . 7 7 3 6 y ^ ^ ^ ^ + 2 . 7 7 3 6 y^^^o " 0 - 3 1 0 4
P'ira e l cn.so de n u e s t r o o i e m p l o
Para i n t e r v a l o 5-15:
937159
^ 3 0
t.er'eTiOs:
(937.166)
P a r a i n t e r v a l o 1 5 - 2 0 j 20-25-
464318 ( t ó 4 3 1 9 ) :
Para int^n/^Lo 25-35:
(900360)
90034A
"
Todo Cato da un t o t a l de 2 . 7 6 1 . 3 3 7 ,
459512
(459509);
siendo e l verdadero v a l o r 2.761.354»
lo
que r.;presenT,a una e x c e l e n t e a p r o x i m a c i ó n y cuya f a c i l i d a d de c á l c u l o puede o b t e n e r s e con 1 ' c o n l ' e c c i ó n de t a b l a s de c o e f i c i e n t e s .
-31l.iomplo 1 .
1C)5
Deterrnin:=r ¿1 v a l o r de
f 1 dx con l a s i g u i e n t e
!X1
infornación:
5
1
X
1
X
X
X
5
94.220
55
75.557
10
93.710
60
68.924
15
93.235
65
60.366
20
92.435
70
49.655
25
91.335
75
36.735
30
90.073
80
22.883
35
88.573
35
11.073
40
86.650
90
3.796
45
84.069
95
857
50
80.487
100
123
105
11
Solución:
Pc.ra e l á r e a de los 4 g r u p o s (3 x t r c n o s , es d e c i r ,
tiene:
^5 " ^105 =
^10^ ^100
W H 5
=
^20"^ ^90
=
siendo
94220 +
11 = 9 4 . 2 3 1
( 1.7225)
93710 +
123 = 93.333
( 6.4347)
93235 +
857 = 9 4 . 0 9 2
(
92435 +
3796 = 9 6 . 2 3 1
(-0.5418)
91335 + 1 1 0 7 3 = 1 0 2 . 4 0 8
( 0.3237)
900 7 B + 22-"83 = 1 1 2 , 9 6 1
(-0.0753)
2.1362)
V
= 939.605
1 v e r d a d e r o v;:.lor 93 9 . 3 8 9 . , ,7 d e b i é n d o s e e s t a 1
grupo 9 5 - 1 0 5 . P a r a l a s edades c e n t r a l e s Len-Juios que f o r m a r l a s s-'omas a u x i l i a r e s :
50 = I5
HO
••• ^ ^80
51 = So
(1^5 - I5)
S2 - S^ + (l^Q- I^Q)
1.20S.912 ( 0.036e)
1.125.765
(-0.3104)
1.035.851 ( 2.7736)
-32-
S^ = b^ +
-
= 9t3.i,73
( 2.7736)
=
+ ^^ICO" ^20^ " S 5 1 . 1 6 1
(-0.3104)
=
+ (l^Q^- I25) = 759.337
( O.C36ñ)
¡•¡ulLl'^licando cs:,: ü sumas p o r l o s c o e f i c i e n t e s ds B e e r s , i n d i c a a o s d e n t r o de
los pp-ríntesis,
se t i e n e 4 . 9 4 ' ^ . 6 6 5 ,
s i e n d o e l vere.adero v a l o r
4.948.636.
De e s a mnnera e l v a l o r de l a i n t e g r a l de 1
5.83ñ.270,
en e l i n t e r v a l o (x=5 J x=105) e s
X
s i e n d o e l v e r a a d e r o v a l o r 5 . 8 8 B . 0 2 5 , l o que e s una a p r o x i n a c i ó n a c e p t a -
ble.
¡Ejemplo 2.
105
D e t e r m i n a r e l v a l o r de J
l ^ d x p a r a l o s d a t o s de l a t a b l a de v i d a p a r a ambos
s e x o s en e l año 1940 de l a R e p ú b l i c a de C h i l e ,
Solución;
La t a b l a n o s da l o s v a l o r e s p i v o t a l e s que s e n e c e s i t a n p a r a e l c á l c u l o
x
1
5
72.117
60
38.534
10
70.875
65
32.323
15
69.786
70
24.979
20
67.590
75
17.132
25
64.654
80
10.007
30
61.675
85
4.941
35.
53.721
90
1.872
40
55.611
95
556
45
52.218
100
128
50
48.432
105
12
55
43.930
X
X i
1
de;
X
De e s a manera p a r a l o s g r u p o s 5 - 1 5 y 9 5 - 1 0 5 ,
se t i e n e :
72129(1.7225) + 71003(6.4347) + 70342(2.1362) - 69462(0.5418) + 69595(0/3237)
- 7 1 6 8 2 ( 0 . 0 7 5 3 ) = 710886
-33-
Y,
l o s grupos c e n t r ? . l e s ,
So - 7í>e.584
su t i e n e :
(0.0368)
= 721.408 (-0.3104)
S^ = 6 5 2 . 4 0 5 ( 2 . 7 7 3 6 )
S^ = 5 8 3 . 1 7 5 ( 2 . 7 7 3 6 )
S, = 5 1 5 . 7 1 3
(-0.3104)
S^ = 4 5 1 . 0 7 1
(0.0368)
4
7
= 3.068.622
105
con l o c u a l e l v a l o r d&
j
d x e s a p r o x i m a d a m e n t e 3 . 7 9 9 . 5 0 8 . La t a b l a
completa
de v i d a c a l c u l a d a p o r 0 . C a b e l l o , J . V i l d ó s o l a y M. L a t o r r e d a e l v a l o r de 3 . 7 9 9 . 3 3 6 ,
l o que puede c o n s i d e r a r s e
aceptable,
E.jemplo 3 .
D e t e r m i n a r l a v i d a media a l n a c e r p a r a e l año 1940 p a r a l a p o b l a c i ó n de ambos
s e x o s de EE.UU., s i a p a r t e de l a i n f o r m a c i ó n d a d a en e l e j e m p l o 1 , s e d i s p o n e de l a
información
adicional:
X
1
X
0
100.000
1
95.290
5
94.220
Solución:
P a r a c a l c u l a r l a s Irv^^as^' l ^ d x , ^ l ^ ü x uf^aremos l a i n t e r p o l a c i ó n
exponencial.
de manera que t e n d r e m o s :
1
1 dx = 0 . 3 4 3 4 8 2 ( 1 0 0 . 0 0 0 ) + 0 . 6 5 6 5 1 ' í ( 9 5 . 2 9 0 ) =
96.908
^0
/
l^dx = 4
0.343482(95290) + 0.656518(94220) = 378.350
-3U-
G c n t r a l o s vcrd.'^deros v a l o r e a : 96.03c y 37'¿.393.
La
../^r difüi-onci;-, So e n c u e n t r a
p a r a e l p r i m e r año de v i d a . (La t a b l a c o m p l e t a dti l a c u a l eo h : n toiriado „ 5 t o 3 dritoSj
i n d i c a que L^^ se d c l e r n i n ó en base de l ' : n o r t a l i d a a o b s e r v a d a en l o s 12 p r i m e r o s
-^^eses d>j v i d a . )
105
Sunando e s t o s v a l e r e s e l
área J
5
105
J
dada en e l e j e n p l o 1 se tien^- qu^
1 dx
v a l e aproxirir.dajnente 6 . 3 6 3 . 5 2 B , l o que nos da como v i d a medLa a l n a c e r
O
un número de 6 3 . 6 4 a ñ a s . L'. t 1-1 .. conrplet:. cja ^.3.62.
E.jemrlo 4 .
D e t e r m i n a r l a v i d a media a l n a c e r p a r a l a p o b l a c i ó n c h i l e n a de ambos s e x o s d e l
año 1940, s i se d i s p o n e f - p a r t e de l o s d a t e s d a a o s en e l e j e j i p l o 2 , de l o s si,nj.icn~
tes:
X
1
X
0
100.000
1
^0.289
5
72.21?
Solución:
Se t i e n e que
a
/ 1 dx = 0 . 3 4 3 4 5 2 ( 1 0 0 . 0 0 0 ) + 0/->565ia(tí0239) = B7.059
^0 ""
5
1 dx = 4 0.343482(802.39) + 0.65651(3(7221?) = 2 9 9 . 9 5 8
1
l o que agregad'^
10 5
1 dx nos da 4 . l S 6 . 5 2 5 j cor l o cu--^! l a v i d a raedia a l n a c e r en
X
1940 e r a de 4 1 . ^ 6 a ñ o s . L l v a l o r dado por l a t a b l a c o m p l e t a e s 41.^:3.