UNIVERSIDAD DEL VALLE Departamento de Matemáticas Solucionario Segundo Parcial Cálculo II A – Abril 22 de 2010 1.- a) Sea f (x) = 5x2 definida sobre I = [1, 3]. Defina una partición regular P del intervalo con 5 subintervalos (n = 5). Determine la suma de Riemann correspondiente a dicha partición regular P, tomando x∗i = xi (extremo derecho del intervalo [xi−1 , xi ]). Notemos que ∆i x = 3−1 = 25 . Entonces x0 = 1, x1 = 75 , x2 = 95 , x3 = 11 , x4 = 5 5 x5 = 3. Por lo tanto, la suma de Riemann correspondiente es 5 X 49 81 121 169 225 2 ∗ S= f (xi )∆i x = 5 + + + + = 2(645) = 1290. 25 25 25 25 25 5 i=1 4 13 5 y b) Encuentre la longitud de la curva C determinada por la gráfica de y = x16 + 2x12 sobre el intervalo [1, 2]. 3 Primero observemos que dy/dx = x4 − x13 . Por lo tanto, 3 3 2 2 2 x 1 1 x6 1 1 x 1 dy x6 1 =1+ − 3 − + = + + = + 3 1+ =1+ dx 4 x 16 2 x6 16 2 x6 4 x q 3 dy 2 = x4 + x13 , para x > 0. Utilizando esto, Es decir que 1 + dx s 2 4 Z 2 Z 2 3 dy 1 1 2 21 x x L(C) = 1+ + 3 dx = − dx = = . dx 4 x 16 2x2 1 16 1 1 2.- Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo en los siguiente problemas a) Suponga que f es una función diferenciable en R y F está definida como Z y s2 f (s) ds. F (y) = 0 0 00 Si f (1) = 0 y f (1) = 1, verifique que F (1) = 1. Del TFC, F 0 (y) = y 2 f (y). Por lo tanto, F 00 (y) = 2yf (y) + y 2 f 0 (y). Ası́ que F 00 (1) = 2f (1) + f 0 (1) = 1. b) Encontrar una función continua f para z > 0 tal que Z z3 Z 1√ √ 3 (5 + t)f (t) dt + 1 + t3 dt = 5z 2 2 2z Derivando en ambos lados y aplicando el TFC, √ √ 10z + 2 1 + 8z 3 3 3 3z (5 + z)f (z ) − 2 1 + 8z = 10z ⇔ f (z ) = 3z 2 (5 + z) 2 3 Es decir que f tiene la forma f (t) = √ √ 3 10 √ t+2 1+8t √ . 3( 3 t)2 (5+ 3 t) 1 Para los siguientes problemas considere las funciones definidas como y = (x − 2)2 e y = 2x − 4 (cortes: x = 2, x = 4) 3.- Sea R la región limitada por las gráficas dadas sobre el intervalo [2, 3]. Exprese (NO CALCULE) el área A(R) como una integral en términos de las variables x e y. a.- A(R) con respecto a x. Z 3 ([2x − 4] − [(x − 2)2 ]) dx. A(R) = 2 b.- A(R) con respecto a y. Primero despejemos x en términos de y en ambas ecuaciones. y √ y = (x − 2)2 ⇔ x = 2 ± y, − − y = 2x − 4 ⇔ x = + 2. 2 Por la tanto, si x varı́a en [2, 3], entonces y varı́a de [0, 2]. Notemos que la altura cambia de [0, 1] a [1, 2]. Entonces Z 1 Z 2 hy i hy i √ A(R) = [2 + y] − + 2 dy + 3− + 2 dy 2 2 0 1 4.- Sea R1 la región limitada por las gráficas dadas. Exprese (NO CALCULE) el volumen del sólido de revolución S1 al rotar la región R1 alrededor del eje y = −2 mediantes secciones transversales. Z 4 2 π (re ) − (ri ) V (S) = 2 Z 4 π [2 + (2x − 4)]2 − [2 + (x − 2)2 ]2 dx dx = 2 2 Z = 4 π [2x − 2]2 − [2 + (x − 2)2 ]2 dx 2 5.- Sea R1 la región limitada por las gráficas dadas. CALCULE el volumen del sólido de revolución S2 al rotar R alrededor del eje x = −2, utilizando el método de capas cilı́ndricas. Z 4 Z 4 V (S) = 2π(radio)(altura) dx = 2π(x + 2) [2x − 4] − [(x − 2)2 ] dx 2 2 Z 4 = 2π(x + 2) 2x − 4 − [x2 − 4x + 4] dx 2 Z 4 = 2π(x + 2) −x2 + 6x − 8 dx 2 Z 4 = 2π −x3 + 4x2 + 4x − 16 dx 2 4 1 4 4 3 2 = 2π − x + x + 2x − 16x 2 4 3 2 6.- Sea R1 la región limitada por las gráficas dadas. CALCULE el volumen del sólido de revolución S3 al rotar R alrededro del eje x = 6, utilizando secciones transversales. Recordemos que y √ y = (x − 2)2 ⇔ x = 2 ± y, − − y = 2x − 4 ⇔ x = + 2. 2 Por la tanto, si x varı́a en [2, 4], entonces y varı́a de [0, 4]. Z 4 h Z 4 y i2 √ 2 2 2 π 6− π (re ) − (ri ) dy = +2 V (S) = − [6 − (2 + y)] dy 2 0 0 Z 4 h y i2 √ 2 = π 4− − [4 − y] dy 2 0 Z 4 y2 √ = π 16 − 4y + − [16 − 8 y + y] dy 4 0 Z 4 2 y √ + 8 y − 5y dy = π 4 0 3 y 16 3/2 5 2 4 + y − y =π 0 12 3 2 3