UNIVERSIDAD DEL VALLE Departamento de Matemáticas Problemas Tı́picos Cálculo II – Grupo 06-13-14-15 - (2006) Profesor: José Raúl Quintero H. (1) Determine mediante secciones transversales y cáscaras cilı́ndricas el volumen del sólido S generado, al girar la región R acotada por las curvas 2 y = , y = 0, x = 1/2, x = 2 x alrededor del eje: a) eje x, b) eje y= -1, c) eje y. (2) Determine mediante secciones transversales el volumen del sólido S generado, al girar la región R acotada por las curvas y = x2 , y = ex , x = 0, x = 2 alrededor del eje: a) eje x, b) eje y = −1, c) eje x = 1/2. Haga la gráfica. (3) Determine mediante secciones transversales y cáscaras cilı́ndricas el volumen del sólido S generado, al girar la región R acotada por las curvas x = 16 − y 2 , x = 0, y y = 0, alrededor del eje: a) eje x, b) eje y = 5, c) eje y. Haga la gráfica. (4) Determine la longitud de arco de las curvas (a) y = 2/3 (x2 + 1) 3/2 de x = 0 a x = 2. (b) y 3 = 8x2 de (1, 2) a (8, 8). (c) y = 12 x2 − 41 ln(x) de x = 1 a x = e. (5) Evalúe las siguientes integrales Z 1 (a) dx x e (4 + ex ) Z (b) 3cos x sin x dx Z 2r 3r 5−r dr (c) Z (d) log5 (x) dx x1/3 1 (6) Encuentre la derivada de las siguientes funciones 2 3 (a) f (x) = xsin (x +2) . ³p ´log3 (x+72x ) (b) g(x) = ln(x3 + 2) . (7) Evalúe los siguientes lı́mites (a) limx→0 x−sin(x) x3 (b) limx→1+ ln(x) x−1 (c) limt→π/2 tan(t) ln(cos(t)) ³ 1 ´ (d) limx→∞ x e x − 1 (e) limx→∞ £1 − x2 ex ¢ (f) limθ→0 (cos 2θ)1/θ 2 (g) limx→0+ xln 2 (x) 2