CIIP3-S1-2010-sol.pdf

UNIVERSIDAD DEL VALLE
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Departamento de Matemáticas
Tercer Examen Parcial - Cálculo II- 2010-S1. Junio 10 de 2010.
Profesores Gonzalo Garcı́a, José R. Quintero.
I.- Determine la convergencia o divergencia de las series, explicando la razón. De ser
posible calcule la suma.
n n
P
P
P
(1) n=0 n12 + 57 . La serie n=1 n12 converge por una 2-serie y las serie n=0 75
es una serie geométrica con razón r = 57 > 1 es divergente. Dado que la suma
de una serie convergente con una divergentes es divergente, entonces la serie es
divergente.
P
n
n
(2) n=1 ln(n)+1
. Notemos que limn→∞ ln(n)+1
= ∞ (L´Hopital). Entonces del Criterio
de
la
Divergencia,
esta
serie
diverge.
n
P
P
P
2
1
(3) n=1 n5/3
− 53n . La serie n=1 n5/3
converge por una p-serie y las serie n=0 51
es una serie geométrica con razón r = 15 < 1 es convergente. Dado que la suma de
series convergentes es convergente,
entonces la serie es convergente.
P
1
1
1
. Esta serie es Telescópica. En efecto, sea bn = √
− √
.
(4) n=1 √
2
2
2
2n+2
2n+4
2n+2
Entonces bn+1 =
1
√
.
2
2n+4
X
n=1
Es decir,
1
1
√
−√
2
2
2n + 2
2n + 4
=
X
(bn − bn+1 ).
n=1
En el caso de series Telescópicas se tiene que
∞
X
(bn − bn+1 ) = b1 − lim bn = √
n=1
n→∞
1
1
−0= .
2
2+2
Es decir, la serie es convergente.
II.Z
∞
xe−3x dx.
(1) Determine la convergencia o divergencia de la Integral impropia
0
R
Integrando por partes se tiene que xe−3x dx = − 13 xe−3x − 19 e−3x . Por lo tanto,
b
Z ∞
Z b
1 −3x 1 −3x
1 −3b 1 −3b 1
1
−3x
−3x
xe
dx = lim
xe
dx = lim − xe
− e
= lim − be − e +
= .
b→∞
b→∞
b→∞ 0
3
9
3
9
9
9
0
0
Ası́ que la integral impropia converge.
Rx
2
[1+t2 ] t2 dt
(2) Evalúe el siguiente lı́mite limx→0+ 0 x
. Este lı́mite tiene la forma (0/0).
Aplicando L´Hopital y el Teorema Fundamental del Cálculo,
Rx
2
[1 + t2 ] t2 dt
2
0
lim+
= lim+ [1 + x2 ] x2 (forma 1∞ ).
x→0
x→0
x
1
2
Vamos a aplicar L’Hopital. Definamos y = [1 + x2 ] x2 . Entonces ln(y) =
Por lo tanto,
ln(1+x2 )
.
x2
2x
lim+ ln(y) = lim+
x→0
x→0
1
ln(1 + x2 )
1+x2
=
lim
=
lim
=1 ⇔
x→0+ 1 + x2
x→0+ 2x
x2
lim y = e1 = e.
x→0+
En resúmen,
2
Rx
[1 + t2 ] t2 dt
2
lim+
= lim+ [1 + x2 ] x2 = e1 = e.
x→0
x→0
x
III.- Determine la convergencia o divergencia de la serie utilizando el criterio de comP∞ n3 ln(n)
r
paración
n=1 2n5 +1 Observemos que ln(n) ≈ n para cualquier r > 0, por ejemplo
r = 1/2. Entonces, ln(n) < n1/2 . Aplicando el criterio de comparación,
0
1
7
n3 ln(n)
n3+ 2
n2
1
≤
≤ 5 = 3
5
5
2n + 1
2n + 1
n
n2
P 1
P∞ n3 ln(n)
Dado que la serie
converge, entonces la serie n=1 2n5 +1 también es convergente.
n3/2
Comparación en el lı́mite. Observemos que ln(n) ≈ nr para cualquier r > 0, por
3
n3 n1/2
1
ejemplo r = 1/2. Entonces, n2nln(n)
= n3/2
. Aplicando el criterio de comparación
5 +1 ≈
n5
por paso al lı́mite,
n3 ln(n)
5
lim 2n 1+1
n→∞
3
n2
7
9
7
n 2 + 92 n 2 ln(n)
1 + 92 ln(n)
n 2 ln(n)
9
= lim
= lim
= lim
= lim
1
1 = 0.
4
n→∞
n→∞
n→∞ 2n5 + 1
n→∞
10n
10n 2
10n 2
P 1
P∞ n3 ln(n)
Dado que la serie
converge,
entonces
la
serie
3/2
n=1 2n5 +1 también es convergente.
n
IV.- P
Utilice el criterio de la integral para determinar la convergencia oR divergencia de la
∞
1
1
serie ∞
n=1 n(ln2 (n)+1) . Tenemos que determinar si la integral impropia 1 x(ln2 (x)+1) dx es
convergente. Calculemos la integral indefinita (y = ln(x))
Z
Z
1
1
dx =
dy = arctan(y) + C = arctan(ln(x)) + c
2
y2 + 1
x(ln (x) + 1)
Por lo tanto,
Z ∞
Z b
1
1
π
dx = lim
dx = lim (arctan(ln(b))−arctan(ln(1)) = .
2
2
b→∞ 1 x(ln (x) + 1)
b→∞
2
x(ln (x) + 1)
1
En consecuencia, la series es convergente.
V.- Determine el radio de convergencia, el intervalo de convergencia absoluta y analice la
P
n(x−2)n
convergencia en los extremos del intervalo de convergencia para la serie de ∞
n=1 (n2 +1)3n .
Utilicemos el criterio del cociente
ρ=
(n+1)|x−2|n+1
((n+1)2 +1)3n+1
lim
n|x−2|n
n→∞
(n2 +1)3n
=
|x − 2|
n+1
n2 + 1
|x − 2|
lim
=
.
2
3 n→∞ n ((n + 1) + 1)
3
2
a.- La serie converge absolutamente si y sólo si |x − 2| < 3. Intervalo de convergencia
absoluta I = (−1, 5) y radio de convergencia R = 3.
b.- La serie diverge, si |x − 2| > 3.
P
n
c.- Extremos. Sea x = 5. Entonces la serie toma la forma ∞
n=1 (n2 +1) la cual es divergente
P∞ 1
al compararla con la serie armónica n=1 n .
P
(−1)n n
Supongamos que x = −1. Entonces la serie toma la forma ∞
n=1 (n2 +1) la cual es con
vergente vı́a el criterio de Leibniz, pues limn→∞ (n2n+1) = 0 y la sucesión (n2n+1)
es
n
decreciente (verificarlo) En resúmen, la serie converge en el intervalo I1 = [−1, 5).
VI.- RESUELVA UNO Y SÓLO UNO DE LOS SIGUIENTES PUNTOS
1
(1) Encuentre la serie de potencias alrededor de x = 0 de f (x) = (1−4x)
|x| < 1/4.
2,
0
P∞ n
1
1
1
Observemos que f (x) = 4 1−4x . Ahora, 1−y = n=0 y , para |y| < 1. Tomando
y = 4x con |y| = 4|x| < 1, (|x| < 1/4). Por lo tanto, para |x| < 1/4
1
f (x) =
4
=
1
4
1
1 − 4x
∞
X
0
1
=
4
n4n xn−1 =
∞
X
n=0
∞
X
!0
(4x)n
1
=
4
∞
X
!0
4n xn
n=0
(n + 1)4n xn
n=0
n=1
(2) Resuelva la ecuación diferencial utilizando series de potencia alrededor de x = 0
f 0 (x) − f (x) = ex , sujeta a que f (0) = 1.
Supongamos que f (x) =
P∞
n=0
an xn . Entonces f (0) = a0 = 1
f 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + · · · + nan xn−1 + · · ·
Entonces tenemos que
f 0 (x)−f (x) = (a1 −a0 )+(2a2 −a1 )x+(3a3 −a2 )x2 +(4a4 −a3 )x3 +···+(nan −an−1 xn−1 )+···
Como
1
1
1
f 0 (x) − f (x) = ex = 1 + x + x2 + x3 + · · · +
xn−1 + · · ·
2
3!
(n − 1)!
3
concluimos que a0 = 1,
1
1
+ ,
1! 0!
3
1
1
2a2 − a1 = 2a2 − 2 = 1 ⇔ a2 = = + ,
2
2! 1!
3
1
2
1
1
3a3 − a2 = 3a3 − =
⇔ a3 = = + ,
2
2!
3
3! 2!
2
1
5
1
1
4a4 − a3 = 4a4 − =
⇔ a4 =
= + ,
3
3!
24
4! 3!
....
....
1
1
an =
+
, n ≥ 1.
n! (n − 1)!
Por lo tanto,
∞
∞ X
X
1
1
n
f (x) =
an x = 1 +
+
xn
n! (n − 1)!
n=0
n=1
!
∞
∞
n
X
X
xn
x
+
= ex + xex
= 1+
n!
(n − 1)!
n=1
n=1
!
∞
∞
X
X
xn−1
xn
+x
= ex + xex .
= 1+
n!
(n − 1)!
n=1
n=1
Z 1
√
t cos( t) dt, sumando los
(3) Encuentre una aproximacion de la integral definida
a1 − a0 = a1 − 1 = 1 ⇔ a1 = 1 + 1 =
0
tres primeros términos de la serie asociada alrededor de t = 0.
P
(−1)n y 2n
Recordemos que cos(y) = ∞
, con y ∈ R. Entonces para t > 0
n=0
(2n)!
!
!
√ 2n
∞
∞
∞
n
n n
X
X
X
√
(−1) ( t)
(−1) t
(−1)n tn+1
t cos( t) = t
=t
=
(2n)!
(2n)!
(2n)!
n=0
n=0
n=0
√
2
3
2
t3
Ası́ que t cos( t) ≈ t − t2! + t4! = t − t2 + 24
. En consecuencia,
Z 1
Z
1
√
t2
t3
1 1
1
t cos( t) dt ≈
t− +
dt = − + .
2
24
2 6 96
0
0
4