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El Libre Acceso a la información, promueve el reconocimiento de la originalidad de las ideas de los demás, respetando las normas de presentación y de citación de autores con el fin de no incurrir en actos ilegítimos de copiar y hacer pasar como propias las creaciones de terceras personas. Respeto hacia sí mismo y hacia los demás. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ANÁLISIS DE PEQUEÑA SEÑAL DE SISTEMAS DE EXCITACIÓN TIPO ESTÁTICOS DE GENERADORES SINCRÓNICOS USANDO EL PROGRAMA COMPUTACIONAL DIgSILENT POWER FACTORY PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIZACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA MEJÍA CHOLO CÉSAR ANDRÉS [email protected] DIRECTOR: PhD. JESUS JÁTIVA IBARRA [email protected] Quito, enero 2013 II DECLARACIÓN Yo César Andrés Mejía Cholo, declaro bajo juramento que el trabajo aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentada para ningún grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento. A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normatividad institucional vigente. ____________________________ CÉSAR ANDRÉS MEJÍA CHOLO III CERTIFICACIÓN Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por César Andrés Mejía Cholo, bajo mi supervisión. _______________________________ DR. JESÚS JÁTIVA IBARRA Director del Proyecto IV AGRADECIMIENTO A Dios por darme la fe, la fortaleza, la salud y la esperanza para avanzar día a día en mi lucha hacia el éxito y conducirme por el camino del bien. Al Dr. Jesús Játiva quien me brindó su valiosa ayuda y sobre todo su amistad. Además, a todas las personas que de una u otra forma contribuyeron realidad este proyecto. hacer V DEDICATORIA A mis padres queridos César y Elena, por su amor incondicional, su lucha diaria y ser un ejemplo a seguir, ya que sin todo ello no hubiera sido tanto mi desarrollo humano, como profesional, y por ende mi formación académica. A mis hermanas Mónica, Karla y Ana Karen, por creer en mí y quererme tanto. A mis leales amigos, quienes me brindaron su amistad y su apoyo, de quienes constancia trabajo. he y aprendido dedicación la al VI CONTENIDO DECLARACIÓN ..................................................................................................... II CERTIFICACIÓN .................................................................................................. III AGRADECIMIENTO ............................................................................................. IV DEDICATORIA ...................................................................................................... V CONTENIDO ......................................................................................................... VI LISTA DE FIGURAS ........................................................................................... XIII LISTA DE TABLAS............................................................................................ XVII RESUMEN .......................................................................................................... XIX PRESENTACIÓN ................................................................................................. XX CAPÍTULO 1 .......................................................................................................... 1 1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................... 1 1.1 Conceptos Fundamentales de Estabilidad ................................................ 1 1.1.1 Clasificación de Estabilidad ...................................................................... 1 1.1.2 Estabilidad del Angulo del Rotor ............................................................... 3 1.1.2.1 Estabilidad de Pequeña Señal .................................................................. 4 1.1.2.2 Estabilidad Transitoria .............................................................................. 6 1.2 Análisis de Sistemas en el Espacio de Estado ......................................... 7 1.2.1 Ecuaciones De Estado.............................................................................. 8 1.2.2 Ecuaciones De Salida ............................................................................... 9 1.2.3 Puntos de Equilibrio ................................................................................ 10 1.2.4 Estabilidad de un Sistema Dinámico No Lineal....................................... 10 1.2.4.1 Estabilidad Local ..................................................................................... 10 1.2.4.2 Estabilidad Finita..................................................................................... 10 1.2.4.3 Estabilidad Global ................................................................................... 11 1.2.5 Linealización ........................................................................................... 11 1.3 Valores y Vectores Propios de la Matriz de Estado ................................ 13 1.3.1 Valores Propios y Estabilidad ................................................................. 13 VII 1.4 Vectores Propios..................................................................................... 15 1.4.1 Vectores Propios Derechos .................................................................... 15 1.4.2 Vectores Propios Izquierdos ................................................................... 16 1.5 Matrices Modales .................................................................................... 17 1.6 Movimiento Libre de un Sistema Dinámico ............................................. 17 1.7 Modos, Sensitividad y Factores de Participación .................................... 20 1.7.1 Modos y Vectores Propios ...................................................................... 20 1.7.2 Sensitividad de Vectores Propios ........................................................... 21 1.7.3 Factor de Participación ........................................................................... 21 1.8 Controlabilidad y Observabilidad ............................................................ 22 1.9 Criterio de Estabilidad de Routh – Hurwitz [2],[13].................................. 23 1.10 Criterio de Estabilidad de Nyquist [2],[14] ............................................... 25 1.11 Criterio de Estabilidad de Bode [2], [15].................................................. 27 CAPÍTULO 2 ........................................................................................................ 31 2. MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA ESTÁTICO DE EXCITACIÓN ............................................................................... 31 2.1 Representación del Generador Sincrónico en Variables de Estado ....... 31 2.1.1 Análisis Dinámico Generador Barra Infinita ............................................ 32 2.1.1.1 Conversión de Bases .............................................................................. 33 2.1.1.2 Calculo de la Potencia Activa y Reactiva ................................................ 33 2.1.1.3 Calculo del Voltaje en Terminales ( !) y ángulo ("!) del generador ....... 34 2.1.1.4 Calculo del Voltaje Interno (#′) y Ángulo (") del Generador ................... 35 2.1.2 Representación del Generador Sincrónico en Diagrama de Bloques ..... 36 2.1.2.1 Cálculo del Coeficiente de Torque Sincronizante ................................... 39 2.1.2.2 Calculo de la Frecuencia Natural %& y el Factor de Amortiguamiento ' 40 2.1.2.3 Criterio de Routh – Hurwitz ..................................................................... 40 2.1.2.4 Cálculo de Valores Propios ..................................................................... 41 2.1.3 Efecto del Circuito de Campo en el Generador Sincrónico ..................... 43 2.1.3.1 Linealización del Sistema de Ecuaciones ............................................... 47 2.1.3.2 Representación en Diagrama de Bloques Considerando los Efectos del Campo ................................................................................................................ 49 2.1.3.3 Expresiones de las Constantes K en la Forma Expandida ..................... 50 VIII 2.1.3.4 Efectos de la Variación del Flujo Concatenado en la Estabilidad del Sistema ................................................................................................................ 51 2.1.3.5 Análisis Dinámico del Sistema Generador Barra Infinita considerando el efecto del Circuito de Campo ............................................................................... 53 2.2 Representación del Sistema Estático de Excitación en Variables de Estado ................................................................................................................ 57 2.2.1 Cálculo de Constantes del Sistema de Excitación .................................. 57 2.2.2 Representación del Generador Sincrónico Incluyendo el Sistema de Excitación ST1A ................................................................................................... 59 2.2.3 Representación en Diagrama de bloques considerando la Excitatriz y el AVR ................................................................................................................ 61 2.2.4 Efectos del AVR en los Componentes de Torque Sincronizante y Amortiguamiento .................................................................................................. 62 2.2.4.1 Análisis Dinámico del Sistema Generador Barra Infinita considerando el Efecto del Circuito de Campo, la Excitatriz y el Regulador Automático de Voltaje62 2.2.4.1.1 Respuesta a una señal paso............................................................... 65 2.2.4.1.2 Diagrama de Nyquist .......................................................................... 66 2.2.4.1.3 Diagrama de Bode .............................................................................. 69 2.2.4.1.4 Controlabilidad y Observabilidad ........................................................ 70 2.3 Modelación de la Planta Generador - Sistema de Excitación con el Programa Computacional DIgSILENT Power Factory.......................................... 73 2.3.1 Sistema de Prueba ................................................................................. 73 2.3.2 Modelo Compuesto y Modelo General.................................................... 74 2.3.2.1 Modelo Compuesto ................................................................................. 74 2.3.2.2 Modelo General ...................................................................................... 75 2.3.3 Generador de la Fase C de Paute .......................................................... 76 2.3.4 Transformador de Elevación de la Fase C de Paute .............................. 78 2.3.5 Modelo del Sistema Estático de Excitación de la Fase C de Paute ........ 78 2.3.5.1 Descripción del Modelo ST1A ................................................................. 82 2.3.5.2 Inicialización de las variables de estado del Modelo ST1A ..................... 83 2.3.5.3 Valores y Rangos de Parámetros de las Variables Constantes en el Sistema de Excitación ST1A ................................................................................ 85 2.3.5.4 Sintonización de las Variables del Sistema de Excitación ST1A ............ 86 IX 2.3.5.4.1 Ajuste en la ganancia del regulador KA .............................................. 87 2.3.5.4.2 Ajuste en la Constante de Tiempo de la Excitatriz TA ......................... 88 2.3.5.4.3 Ajuste en la Constante de Tiempo del Estabilizador del Sistema de Excitación TF ........................................................................................................ 89 2.3.5.4.4 Ajuste en la Ganancia del Estabilizador del Sistema de Excitación TF 90 2.3.5.4.5 Ajuste en la Constante de Tiempo TB y TC ......................................... 90 2.3.5.4.6 Ajuste en la Constante de Tiempo TB1 y TC1 ....................................... 91 CAPÍTULO 3 ........................................................................................................ 94 3. APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA ...................... 94 3.1 Sistema generador de la fase C de la Central Paute Molino – Barra Infinita ................................................................................................................ 94 3.1.1 Prueba del Regulador de Voltaje en Estado Estable y Escalones de +/- 5 % del Voltaje De Referencia................................................................................. 95 3.1.1.1 Análisis en el Dominio del Tiempo y Comparación de los Indicadores de las Respuestas Dinámicas con Valores Estándar del IEEE ................................. 97 3.1.2 Análisis Modal del Sistema de Prueba.................................................... 98 3.1.2.1 Valores Propios del Sistema de Prueba sin sistema ESST1A ................ 98 3.1.2.2 Valores Propios del Sistema de Prueba con ESST1A ............................ 99 3.1.3 Prueba con Cambios en Elementos Externos........................................100 3.1.3.1 Cambio de Carga del +/- 10 % de carga resistiva con y sin AVR ESST1A . ...............................................................................................................101 3.1.3.2 Cambio de Carga del +/- 10 % de Carga Inductiva con y sin AVR ESST1A ...............................................................................................................103 3.2 Sistema de Nueve Barras del IEEE .......................................................105 3.2.1 Rechazo del 10 % de Carga ..................................................................107 3.2.2 Análisis Modal DEL SISTEMA DE 9 BARRAS del IEEE ........................125 3.2.2.1 Análisis Modal sin Sistema de Excitación ESST1A ...............................125 3.2.2.1.1 Modo electromecánico de oscilación 2 y 3.........................................127 3.2.2.1.2 Modo de oscilación 4 y 5....................................................................128 3.2.2.2 Caso 1: Análisis Modal con Sistema ESST1A en el Generador 1 .........129 3.2.2.3 Caso 2. Análisis Modal con Sistema de Excitación ESST2A en el Generador 2 ........................................................................................................131 X 3.2.2.4 Caso 3: Análisis Modal con Sistema ESST3A en el Generador 3 .........132 3.2.2.5 Caso 4: Análisis Modal con Sistema ESST1A en dos Generadores......134 3.2.2.6 Caso 5: Análisis Modal con Sistema en los tres Generadores...............136 3.3 Análisis de Resultados de las Respuestas Dinámicas en el Tiempo y la Frecuencia...........................................................................................................139 3.3.1 Sistema generador Barra - Infinita .........................................................139 3.3.1.1 Respuesta a una señal paso..................................................................140 3.3.1.2 Diagrama de Nyquist .............................................................................142 3.3.1.3 Diagrama de Bode .................................................................................143 3.4 Comparación de los Indicadores de las Respuestas Dinámicas con Valores Estándar del IEEE ..................................................................................144 3.4.1 Sistema generador de la fase C de la Central Paute Molino – Barra Infinita ...............................................................................................................144 3.4.2 Sistema 9 Barras del IEEE.....................................................................146 CAPÍTULO 4 .......................................................................................................148 4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .........................................148 4.1 Conclusiones .........................................................................................148 4.2 Recomendaciones .................................................................................152 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................153 ANEXO 1 .............................................................................................................154 SISTEMAS DE EXCITACIÓN ESTÁTICOS........................................................154 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE EXCITACIÓN ........................154 1.1 Elementos De Un Sistema De Excitación ..............................................155 1.1.1 Excitatriz ................................................................................................156 1.1.2 Estabilizador del Sistema de Excitación ................................................156 1.1.3 Regulador de Voltaje .............................................................................156 1.1.4 Transductor de Voltaje en Terminales y Compensador de Carga .........156 1.1.5 Estabilizador del Sistema de Potencia ...................................................157 1.1.6 Limitadores y Circuitos de Protección ....................................................157 1.2 Clasificación de los Sistemas de Excitación ..........................................157 1.2.1 Sistemas de Excitación Tipo DC ............................................................158 XI 1.2.2 Sistemas de Excitación Tipo AC ............................................................158 1.2.2.1 Sistemas de Excitación con Rectificación Estacionaria .........................159 1.2.2.2 Sistemas de Excitación AC con Rectificación de Rotación ....................160 1.2.3 Sistemas de Excitación Estáticos Tipo ST .............................................161 1.2.3.1 Sistema de Excitación ST con Fuente de Potencial y Rectificador Controlado ...........................................................................................................162 1.2.3.2 Sistema de Excitación ST con Fuente Compuesta y Rectificador No Controlado ...........................................................................................................163 1.2.3.3 Sistema de Excitación ST con Fuente Compuesta y Rectificador Controlado ...........................................................................................................164 ANEXO 2 .............................................................................................................166 2. MODELOS DE SISTEMAS DE EXCITACIÓN ESTÁTICOS ..................166 2.1 Modelo del Sistema de Excitación IEEE Tipo ST1A ..............................166 2.1.1 Estudio de Estabilidad considerando datos de Prueba 1 .......................168 2.1.1.1 Ecuaciones de Estado ...........................................................................169 2.1.1.2 Lugar Geométrico de las Raíces............................................................169 2.1.1.3 Respuesta en el tiempo .........................................................................170 2.1.1.4 Respuesta en frecuencia (Diagrama de Nyquist)...................................171 2.1.1.5 Respuesta en frecuencia (Diagrama de Bode) ......................................172 2.1.2 Estudio de Estabilidad con los datos de Prueba 2 .................................172 2.1.2.1 Ecuaciones de Estado ...........................................................................173 2.1.2.2 Lugar Geométrico de las Raíces............................................................174 2.1.2.3 Respuesta en el tiempo .........................................................................177 2.1.2.4 Respuesta en frecuencia (Diagrama de Nyquist)...................................178 2.1.2.5 Respuesta en frecuencia (Diagrama de Bode) ......................................179 2.2 Modelo del Sistema de Excitación IEEE tipo ST2A ...............................179 2.2.1 Estudio de Estabilidad ...........................................................................181 2.2.1.1 Ecuaciones de Estado ...........................................................................181 2.2.1.2 Lugar Geométrico de las Raíces............................................................182 2.2.1.3 Respuesta en el Tiempo ........................................................................185 2.2.1.4 Respuesta en Frecuencia (Diagrama de Nyquist) .................................187 2.2.1.5 Respuesta en Frecuencia (Diagrama de Bode) .....................................187 XII 2.3 Modelo del Sistema de Excitación IEEE tipo ST3A ...............................188 2.3.1 Estudio de Estabilidad ...........................................................................189 2.3.1.1 Ecuaciones de Estado ...........................................................................190 2.3.1.2 Respuesta en el Tiempo ........................................................................190 2.3.1.3 Respuesta en Frecuencia (Diagrama de Nyquist) .................................191 2.3.1.4 Respuesta en Frecuencia (Diagrama de Bode) .....................................192 ANEXO 3 .............................................................................................................193 3. DESEMPEÑO DINÁMICO DEL SISTEMA DE CONTROL DE EXCITACIÓN ......................................................................................................193 3.1 Medidas de Desempeño ante Grandes Perturbaciones. .......................193 3.2 Medidas de Desempeño ante Pequeñas Perturbaciones ......................196 3.2.1 Índices Asociados a la Respuesta Temporal .........................................196 3.2.2 Índices Asociados a la Respuesta de Frecuencia en Lazo Abierto........197 3.2.3 Índices Asociados a la Respuesta de Frecuencia en Lazo Cerrado ......198 3.2.4 Índices Asociados al Dominio de la Frecuencia Compleja (Plano S) .....199 XIII LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO 1 Figura 1.1 Clasificación de estabilidad [1], [12] .................................................... 2 Figura 1.2 Relación torque - ángulo sin sistema de excitación (Voltaje de campo constante)............................................................................................................... 4 Figura 1.3 Relación torque - ángulo con sistema de excitación............................ 5 Figura 1.4 Respuesta del ángulo del rotor debido a perturbaciones transitorias .. 7 Figura 1.5 Diagrama de bloques de la representación en espacio de estado .... 12 Figura 1.6 Valores propios en el plano complejo y su respuesta asociada [5] ... 13 Figura 1.7 Sistema en lazo cerrado .................................................................... 25 Figura 1.8 Diagrama de Bode............................................................................. 27 Figura 1.9 Diagrama de Bode – Ancho de banda y frecuencia de corte............. 29 Figura 1.10 Diagrama de Bode – Sistema estable e inestable ........................... 30 CAPÍTULO 2 Figura 2.1 Representación del generador sincrónico por el modelo clásico ....... 32 Figura 2.2 Diagrama de bloques del sistema generador – barra infinita ............ 38 Figura 2.3 Sistema Generador Barra Infinita en Matlab Simulink ....................... 42 Figura 2.4 Respuesta de la posición angular del rotor variando () ................... 42 Figura 2.5 Respuesta de la variación angular del rotor variando ().................. 43 Figura 2.6 Circuito equivalente de la relación flujo concatenado y corrientes del generador sincrónico ............................................................................................ 44 Figura 2.7 Diagrama de bloques del sistema generador – barra infinita considerando los efectos del campo .................................................................... 49 Figura 2.8 Variación de torque eléctrico resultante debido a (2Δ+,- ............... 53 Figura 2.9 Sistema Generador Barra Infinita considerando el flujo concatenado del campo en Matlab Simulink.............................................................................. 56 Figura 2.10 Respuesta de la posición angular del rotor variando () considerando los efectos del campo .................................................................... 56 Figura 2.11 Respuesta de la velocidad angular del rotor variando () considerando los efectos del campo .................................................................... 57 XIV Figura 2.12 Sistema de Excitación Tiristor con AVR .......................................... 59 Figura 2.13 Diagrama de bloques considerando la Excitatriz y el AVR .............. 61 Figura 2.14 Diagrama de bloques del sistema generador barra infinita considerando los efectos del campo y del regulador automático de voltaje ......... 65 Figura 2.15 Respuesta de la posición angular del rotor con () = 0 y variando la ganancia del regulador (. ................................................................................... 66 Figura 2.16 Respuesta de la velocidad angular del rotor con () = 0 y variando la ganancia del regulador (. ................................................................................... 66 Figura 2.17 Diagrama de Nyquist del sistema generador barra infinita considerando el campo y el AVR ......................................................................... 67 Figura 2.18 Diagrama de Nyquist del sistema generador barra infinita considerando el campo y el AVR ......................................................................... 68 Figura 2.19 Zona Ampliada del diagrama de Nyquist del sistema generador barra infinita considerando el campo y el AVR .............................................................. 68 Figura 2.20 Diagrama de Bode del sistema generador barra infinita considerando el campo y el AVR ................................................................................................ 69 Figura 2.21 Planta de Prueba ............................................................................. 74 Figura 2.22 Marco Compuesto IEEE-frame1-Sym ............................................. 75 Figura 2.23 Variables de Entrada y Salida del Generador Sincrónico de Polos Salientes............................................................................................................... 77 Figura 2.24 Sistema ST con fuente de potencial y rectificadores controlados [1]79 Figura 2.25 Diagrama de bloques del regulador automático de voltaje .............. 79 Figura 2.26 Sistema de excitación de fuente de potencial con rectificadores controlados ST1A ................................................................................................. 81 Figura 2.27 Características del sistema de regulación ....................................... 83 Figura 2.28 Modelo del Regulador de Voltaje..................................................... 84 Figura 2.29 Sistema de Prueba en DIgSILENT .................................................. 87 Figura 2.30 Respuesta Voltaje Generador, KA = 235, KA = 500 y KA = 800 ......... 87 Figura 2.31 Respuesta Voltaje Generador, TA = 0,3, TA = 0,6 y TA = 0,03 .......... 88 Figura 2.32 Respuesta Voltaje Generador, TF = 0,3, TF = 0,6 y TF = 0,03........... 89 Figura 2.33 Respuesta Voltaje Generador, KF = 0,055, KF = 0,015 y KF = 0,3 .... 90 Figura 2.34 Respuesta Voltaje Generador a distintos valores de TB y TC .......... 91 Figura 2.35 Respuesta Voltaje Generador a distintos valores de TB1 y TC1 ........ 92 XV CAPÍTULO 3 Figura 3.1 Sistema de Prueba ............................................................................ 94 Figura 3.2 Curvas del VCO en Pruebas de Estado Estable y Escalones de +/- 5 % del Voltaje de Referencia (usetp) del VCO....................................................... 96 Figura 3.3 Diagrama de Valores Propios sin Sistema ESST1A.......................... 99 Figura 3.4 Diagrama de Valores Propios del Sistema de Prueba con el ESST1A ............................................................................................................................100 Figura 3.5 Curvas del VCO y Generador en Prueba de Estado Estable y Toma y Rechazo del 10% de Carga Resistiva .................................................................102 Figura 3.6 Curvas del VCO y Generador en Prueba de Toma y Rechazo del 10% de Carga Inductiva ..............................................................................................104 Figura 3.7 Sistema de 9 Barras de P.M. Anderson y Fouad..............................106 Figura 3.8 Evento de simulación - Rechazo del 10% de Carga Inductiva .........107 Figura 3.9 Curvas del voltaje terminal en los generadores, Prueba de Rechazo del 10% de Carga Inductiva ................................................................................108 Figura 3.10 Curvas de Potencia Reactiva en los generadores, Prueba de Rechazo del 10% de Carga Inductiva .................................................................110 Figura 3.11 Curvas del voltaje en las Barras de Carga, Prueba de Rechazo del 10% de Carga Inductiva ......................................................................................112 Figura 3.12 Factores de Participación en el Sistema de 9 Barras .....................127 Figura 3.13 Función /01 simulada en Matlab para el valor propio 2 y 3 ............127 Figura 3.14 Función /01 simulada en Matlab para el valor propio 4 y 5 ............128 Figura 3.15 Diagrama de Valores Propios sin Sistemas de Excitación .............128 Figura 3.16 Función /01 simulada en Matlab para el valor propio 14 y 15 ........130 Figura 3.17 Factores de Participación con Sistema de ESST1A en el Generador 1 ..........................................................................................................................130 Figura 3.18 Función /01 simulada en MATLAB para el valor propio 16 y 17 .....132 Figura 3.19 Factores de Participación con Sistema de ESST2A en el Generador 2 ..........................................................................................................................132 Figura 3.20 Función /01 simulada en MATLAB para el valor propio 14 y 15 .....133 Figura 3.21 Factores de Participación con Sistema de ESST2A en el Generador 2 ..........................................................................................................................134 XVI Figura 3.22 Factores de Participación con sistema de excitación en G1, G2 y G3 ............................................................................................................................137 Figura 3.23 Diagrama de Valores Propios con Sistema de Excitación en G1, G2 y G3 .......................................................................................................................138 Figura 3.24 Diagrama Sistema Máquina - Barra Infinita con ESST1A...............139 Figura 3.25 Respuesta de la posición angular del rotor con sistema ESST1A ..141 Figura 3.26 Respuesta del Sistema de Excitación ∆3,- ...................................141 Figura 3.27 Diagrama de Nyquist con el Sistema ESST1A ...............................142 Figura 3.28 Diagrama de Bode considerando el sistema ESST1A ...................143 XVII LISTA DE TABLAS CAPÍTULO 1 Tabla 1.1 Respuestas asociadas a la ubicación de los valores propios ............. 14 CAPÍTULO 2 Tabla 2.1 Datos de un generador de la Fase C de Paute ................................... 33 Tabla 2.2 Datos de un transformador de la Fase C de Paute ............................. 33 Tabla 2.3 Valores propios del sistema Generador – Barra Infinita ...................... 41 Tabla 2.4 Parámetros del sistema generador Paute C y Barra Infinita ............... 54 Tabla 2.5 Parámetros del sistema generador Paute C y Barra Infinita ............... 54 Tabla 2.6 Valor de los índices del diagrama de Bode del sistema de análisis .... 70 Tabla 2.7 Características técnicas de un generador de la Fase C de Paute [10] 76 Tabla 2.8 Parámetros del transformador de la Fase C [10] ................................ 78 Tabla 2.9 Datos básicos de la Excitatriz MGT – 1M ........................................... 78 Tabla 2.10 Variables de Entrada y Salida en el Sistema ESST1A...................... 85 Tabla 2.11 Descripción, Valores Típicos y Rangos de Parámetros de las Variables del vco_ESST1A .................................................................................. 85 Tabla 2.12 Valores Sintonizados del Sistema ESST1A ...................................... 92 CAPÍTULO 3 Tabla 3.1 Potencia del Generador de la Fase C y de la Carga 1 y 2 ................... 95 Tabla 3.2 Condiciones Iniciales en Estado Estable ............................................ 95 Tabla 3.3 Análisis en el Dominio del Tiempo ...................................................... 97 Tabla 3.4 Resultados del Análisis Modal sin Considerar Sistema ESST1A ....... 98 Tabla 3.5 Descripción e interpretación de variables del análisis Modal .............. 98 Tabla 3.6 Resultados del Análisis Modal con Sistema de Excitación ESST1A ... 99 Tabla 3.7 Condiciones iniciales en Estado Estable............................................101 Tabla 3.8 Condiciones iniciales en Estado Estable............................................103 Tabla 3.9 Parámetros Generales de los Generadores .......................................106 XVIII Tabla 3.10 Potencia y voltaje en las cargas A, B y C en Estado Estable...........107 Tabla 3.11 Análisis del Voltaje en las Barras de Generación.............................109 Tabla 3.12 Análisis del Voltaje en las Barras de Carga .....................................111 Tabla 3.13 Valores propios sin sistema de excitación ESST1A .........................126 Tabla 3.14 Valores propios con Sistema de Excitación en G1...........................129 Tabla 3.15 Valores propios con sistema de excitación en G2............................131 Tabla 3.16 Valores Propios con sistema de Excitación en G3 ...........................133 Tabla 3.17 Valores Propios con Sistema de Excitación en G1 y G2..................135 Tabla 3.18 Valores Propios con Sistema de Excitación en G2 y G3..................135 Tabla 3.19 Valores propios con sistema de excitación en G1 y G3 ...................136 Tabla 3.20 Valores propios con sistema de excitación en G1, G2 y G3 ............137 Tabla 3.21 Parámetros Finales Sistema Máquina - Barra Infinita ......................140 Tabla 3.22 Análisis en el Dominio del Tiempo ...................................................142 Tabla 3.23 Valor de los índices del diagrama de Bode ......................................144 Tabla 3.24 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistema de Prueba ....................145 Tabla 3.25 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistema de 9 Barras del IEEE ...146 XIX RESUMEN Este trabajo tiene como finalidad realizar un análisis de estabilidad de pequeña señal en el dominio del tiempo y la frecuencia de los sistemas de excitación tipo estáticos para generadores sincrónicos. Para lograr el objetivo planteado se desarrolla una modelación matemática sobre el sistema máquina – barra infinita incluyendo el modelo dinámico de un sistema de excitación estático. Con los modelos matemáticos linealizados y aplicando técnicas de sistemas de control, se obtuvo las respuestas en el dominio del tiempo y la frecuencia, usando para ello el programa computacional MatlabSimulink. Estas respuestas en los dos dominios fueron contrastadas con indicadores establecidos por la normativa del IEEE. El modelo máquina barra –infinita es modelado en el paquete computacional DIgSILENT Power Factory con el propósito de analizar la estabilidad de pequeña señal en una unidad de la Fase C de la central de generación hidroeléctrica Paute-Molino incluyendo un sistema de excitación estático. Como perturbaciones en el análisis de pequeña señal se considera en este trabajo a pequeñas variaciones de carga eléctrica. DIgSILENT Power Factory posee una herramienta poderosa para análisis de estabilidad de pequeña señal conocido como “Análisis Modal”. Esta herramienta nos permite determinar los valores propios de un sistema, la participación de generadores sobre los modos electromecánicos de oscilación y la ubicación de valores propios sobre el plano complejo. Se analiza el sistema de 9 Barras del IEEE, el cual se encuentra modelado en la librería de DIgSILENT. Las pruebas realizadas permitirán comparar las respuestas de tres tipos de sistemas de excitación típicos de la IEEE que son el ST1A, ST2A y ST3A. XX PRESENTACIÓN Este trabajo está formado por cuatro capítulos, los mismos que serán descritos brevemente en los siguientes párrafos: Capítulo 1: Se realiza una breve introducción a la estabilidad en sistemas de potencia la cual incluye algunos conceptos fundamentales y su clasificación. Además, se presentan las herramientas usadas en el estudio de estabilidad de pequeña señal como la linealización, valores y vectores propios, factor de participación, controlabilidad y observabilidad así como teoría de control. Capítulo 2: Se desarrolla la representación en variables de estado del sistema compuesto por un generador sincrónico de la Fase C de Paute conectado a una barra infinita a través de un transformador. Sobre el sistema anterior, se analizan los efectos de la variación del flujo concatenado y los efectos del sistema de excitación tipo estáticos. Para los análisis en el dominio del tiempo y la frecuencia se usa el software MATLAB-SIMULINK. Se modela el sistema generador barra infinita en el paquete computacional DIgSILENT Power Factory y se incluye el modelo del sistema de excitación estático ST1A, con sus respectivos parámetros, funciones de transferencia y variables de entrada y salida. Capítulo 3: Se realiza pruebas en el sistema compuesto por un generador sincrónico de la Fase C de Paute conectado a una barra infinita a través de un transformador y sobre el sistema de 9 Barras del IEEE. Las pruebas de pequeña señal consisten en: Prueba del regulador de voltaje en estado estable y escalones de +/- 5 % del voltaje de referencia y Cambio de carga del +/- 10 % de carga resistiva e inductiva con y sin regulador automático de voltaje. Se realiza una comparación de los resultados obtenidos con valores estándar del IEEE y el análisis modal que permite determinar los modos de oscilación al momento de introducir los sistemas de excitación estáticos. XXI Capítulo 4: Conclusiones y Recomendaciones. Se indican todas aquellas conclusiones y recomendaciones que surgieron conforme se fue desarrollando el presente trabajo. Equation Chapter 1 Section 1 1 CAPÍTULO 1 1. INTRODUCCIÓN Se realiza una breve introducción a la estabilidad en sistemas de potencia la cual incluye conceptos fundamentales, clasificación y definiciones afines. Además, se presentan las herramientas usadas en el estudio de estabilidad de pequeña señal como la linealización, valores y vectores propios, factor de participación, controlabilidad y observabilidad. Este capítulo se basa en la referencia [1], salvo donde se indique lo contrario. 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ESTABILIDAD Se define la estabilidad de un sistema eléctrico de potencia como la propiedad del sistema de mantener el equilibrio en cualquier punto de trabajo bajo condiciones nominales y recuperar un estado de equilibrio aceptable después de estar sujeto a una perturbación o cambio. El objetivo de los estudios de estabilidad es conocer el comportamiento del sistema cuando está sujeto a perturbaciones las cuales pueden ser grandes o pequeñas. Las perturbaciones pequeñas se producen continuamente debido a cambios en la carga, generación o ajustes en los sistemas de control. Las grandes perturbaciones están asociadas a la salida de servicio de líneas de transmisión, transformadores, generadores o grandes cantidades de carga. 1.1.1 CLASIFICACIÓN DE ESTABILIDAD Existe una gran cantidad de parámetros y algunas formas de inestabilidad que se pueden presentar en un sistema de potencia por tal razón es necesario clasificar los problemas de estabilidad considerando los siguientes criterios: • La naturaleza física de la inestabilidad resultante (se refiere a la estabilidad del ángulo y de voltaje); 2 • La severidad de la perturbación considerada (se refiere a la estabilidad de grandes perturbaciones y pequeñas perturbaciones); • Los dispositivos, procesos y el tiempo que debe ser tomado en consideración para determinar la estabilidad; y • Los métodos más apropiados para el cálculo y predicción de la estabilidad. Lo antes mencionado conduce a la clasificación mostrada en la Figura 1.1, en la cual se identifican las categorías y sub-categorías de estabilidad. Figura 1.1 Clasificación de estabilidad [1], [12] 3 1.1.2 ESTABILIDAD DEL ÀNGULO DEL ROTOR La estabilidad del ángulo del rotor se define como la capacidad de las máquinas síncronas de un sistema interconectado para mantener el sincronismo después de haber estado sometidas a una perturbación. La estabilidad del ángulo depende de la capacidad de restaurar el equilibrio entre el par electromagnético y el par mecánico de cada máquina en el sistema. Bajo condiciones de estado estable, existe un equilibrio entre el torque mecánico de entrada y el torque eléctrico de salida de cada máquina, con lo cual la velocidad permanece constante. Si el sistema es perturbado, este equilibrio es alterado, llevando a la aceleración o desaceleración de los rotores de las máquinas. Si un generador corre temporalmente más rápido que otro, la diferencia angular de su rotor respecto a la máquina más lenta aumenta. La diferencia angular resultante transfiere parte de la carga de la máquina lenta a la máquina rápida, dependiendo de la relación potencia-ángulo. Esto tiende a reducir la diferencia de velocidad, y por consiguiente, la diferencia angular. Es importante resaltar que la pérdida del sincronismo puede ocurrir entre una máquina y el resto del sistema o entre grupos de máquinas [11]. En un sistema eléctrico de potencia, la estabilidad depende de la existencia de dos componentes en cada una de las máquinas sincrónicas que son: la componente de amortiguamiento. torque sincronizante y la componente de torque de El insuficiente torque sincronizante lleva a inestabilidad manifestándose como un cambio brusco en el ángulo del rotor y el insuficiente torque de amortiguamiento resulta en inestabilidad oscilatoria. Por conveniencia en el análisis y para entender más fácil la naturaleza de los problemas de estabilidad, es usual caracterizar la estabilidad del ángulo del rotor en dos categorías: estabilidad transitoria y estabilidad de pequeña señal, siendo esta última el tema de interés en este documento. 4 1.1.2.1 Estabilidad de Pequeña Señal La estabilidad de pequeña señal es la habilidad del sistema de potencia para, a partir de una condición inicial de operación dada, mantener el sincronismo ante pequeñas perturbaciones. Una perturbación es considerada pequeña si las ecuaciones que describen la respuesta resultante del sistema pueden ser linealizadas y ocurren debido a pequeñas variaciones en la carga y generación [1, 2, 3]. Las inestabilidades de pequeña señal que podrían resultar pueden ser de dos tipos: a) incremento constante del ángulo del rotor debido a la falta de suficiente torque sincronizante, y b) oscilaciones del rotor con amplitud creciente debido a la falta de suficiente torque de amortiguamiento. La respuesta del sistema depende también de las condiciones iniciales de operación, de la robustez del sistema de transmisión y de los sistemas de control. En ausencia de regulador automático de voltaje (AVR), la inestabilidad se debe al insuficiente torque sincronizante (Figura 1.2) y con los reguladores automáticos de voltaje la inestabilidad se da por el insuficiente amortiguamiento de las oscilaciones del rotor (Figura 1.3). Figura 1.2 Relación torque - ángulo sin sistema de excitación (Voltaje de campo constante) 5 Figura 1.3 Relación torque - ángulo con sistema de excitación En los actuales sistemas de potencia, las condiciones de inestabilidad se producen por la falta de amortiguamiento en las oscilaciones del sistema. Los problemas de estabilidad de pequeña señal se clasifican en [1, 4]: a) Modos entre áreas: Estas oscilaciones involucran varias máquinas en un área del sistema contra máquinas en otra área. interconectan entre sí por una línea de enlace. Estas áreas se Estas oscilaciones se encuentran entre 0,2 y 0,7 Hz. b) Modos locales o modos sistema-máquina: Está asociado con las oscilaciones de unidades en una central eléctrica con respecto al resto del sistema de potencia. El término local se usa porque las oscilaciones están localizadas en una central eléctrica o en una pequeña parte del sistema de potencia. Estas oscilaciones se encuentran entre 0,8 y 1,8 Hz. c) Modos entre máquinas: Se produce cuando las unidades de una central eléctrica que conectadas a una misma barra oscilan una respecto de la otra. Estas oscilaciones son provocadas por las interacciones de los controles de las unidades y se encuentran entre 1,5 y 3 Hz. 6 En esta clasificación también puede incluirse las oscilaciones entre centrales de generación muy cercanas. d) Modos de control: Está asociado con las unidades de generación y los sistemas de control. Las inestabilidades son causadas por reguladores de voltaje, reguladores de velocidad, conversores HVDC y compensadores estáticos. Sus frecuencias de oscilación son mayores de 4 Hz. e) Modos de torsión: Está asociado con los componentes rotacionales del sistema turbina-generador. Las inestabilidades son causadas por interacción con los controles de excitación, gobernador de velocidad, controles HVDC, y líneas de compensación serie-paralelo. Su rango de frecuencias está entre 10 y 46 Hz. En este documento se desarrollan aplicaciones en modo local. El rango de tiempo de análisis en estudios de estabilidad de pequeñas señal está en el orden de 10 a 20 segundos después de una perturbación [5]. 1.1.2.2 Estabilidad Transitoria Es la habilidad del sistema de potencia para mantener el sincronismo cuando está sujeto a fuertes perturbaciones como fallas ya sea en las líneas de transmisión, barras o en transformadores. Se considera que la falla es despejada por la apertura de los interruptores apropiados y en algunos casos se asume re-cierre rápido. Las respuestas del sistema involucran grandes variaciones de los ángulos del rotor en los generadores y son influenciadas por la relación no lineal potenciaángulo. La estabilidad depende de las condiciones iniciales de operación y de la severidad de las perturbaciones. 7 Usualmente, el sistema es alterado de tal forma, que el estado estable al que llega post perturbación, es diferente al previo del disturbio. El término transitorio hace referencia al hecho de que en un corto periodo de tiempo (1 a 3 s), se podrá saber si el sistema está en capacidad de evolucionar a otros estados de equilibrio. La Figura 1.4 muestra el comportamiento de una máquina sincrónica en situaciones estables e inestables. En el Caso 1 el ángulo del rotor se incrementa al máximo, luego decrece y oscila con amplitud decreciente hasta alcanzar el estado estable. En el Caso 2, el ángulo del rotor continúa creciendo hasta que se pierde el sincronismo y se le conoce como inestabilidad de la primera oscilación debido a la falta de torque sincronizante. En el caso 3, el sistema es estable en la primera oscilación pero llega a ser inestable debido a crecientes oscilaciones. Figura 1.4 Respuesta del ángulo del rotor debido a perturbaciones transitorias La estabilidad de voltaje y frecuencia no son temas de análisis en este documento por tal razón no se realiza una descripción de los mismos. 1.2 ANÁLISIS DE SISTEMAS EN EL ESPACIO DE ESTADO Un sistema eléctrico de potencia es demasiado complejo debido a que posee muchas entradas y salidas que se relacionan entre sí en una forma complicada. 8 Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas. El enfoque en el espacio de estados para los análisis de sistemas de potencia es el más conveniente. En tanto que la teoría de control convencional se basa en la descripción de las ecuaciones de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden. El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en la cantidad de variables de estado, de entradas y de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. A continuación se presentan los conceptos básicos del análisis de sistemas en el espacio de estado. 1.2.1 ECUACIONES DE ESTADO El estado de un sistema representa la mínima cantidad de información en cualquier instante de tiempo 14 , que es necesario para que su comportamiento futuro pueda determinarse. Las variables de estado del sistema son un conjunto de n variables linealmente independientes que, junto con las entradas proporcionan una descripción completa del comportamiento del sistema. Equation Section (Next) El comportamiento de un sistema dinámico puede ser modelado por un conjunto de n ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no lineales de primer orden de la siguiente manera: donde, 56̇̇ = ,9 (5:, 5;, … , 5< ; =:, =; , … , => ; 1 ) (1.1) n = orden del sistema (igual al número de variables de estado) r ? = número de entradas del sistema = 1,2, …, n Cuando las derivadas de las variables de estado no son funciones explícitas del tiempo, la ecuación 1.1 simplificada es: 9 donde @̇ = A(@, B) 5: 5; @ = C E ⋮ 5< En las ecuaciones anteriores: (1.2) =: = B = C ;E ⋮ =< x 59 = vector columna de estado (1xn) 5̇ = entradas como variables de estado u = vector columna de entrada del sistema (1xn) f ,: , = F ;G ⋮ ,< = derivada de una variable de estado x con respecto al tiempo t 1.2.2 ECUACIONES DE SALIDA La ecuación que relaciona las variables de salida en términos de las variables de estado y de entrada es: donde H = I(@, B) J: J H = C ;E ⋮ JK En las ecuaciones anteriores: (1.3) L: L; I = C E ⋮ LK = vector columna de salidas (1xm) I = vector de funciones no lineales sobre las variables de estado y de entrada a las y variables de salida El conjunto de las n ecuaciones de estado y las m ecuaciones de salida forman las ecuaciones dinámicas. 10 1.2.3 PUNTOS DE EQUILIBRIO Los puntos de equilibrio son los puntos en que todas las derivadas 5̇ : , 5̇ ; , …, 5̇ < son simultáneamente cero y en consecuencia está en reposo, ya que todas las variables son constantes e invariables con el tiempo. El punto de equilibrio debe satisfacer la siguiente ecuación: M(@ 4 ) = N (1.4) en donde @ 4 es el vector de estado @ en el punto de equilibrio. Un sistema lineal tiene un solo punto de equilibrio (si la matriz de estado es no singular) y un sistema no lineal puede tener más de un punto de equilibrio. 1.2.4 ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DINÁMICO NO LINEAL La estabilidad de un sistema no lineal depende del tipo y magnitud de la entrada, y del estado inicial. La teoría de control clasifica la estabilidad de un sistema no lineal en las siguientes categorías: § Estabilidad local § Estabilidad finita § Estabilidad global 1.2.4.1 Estabilidad Local Un sistema se dice que es localmente estable respecto a un punto de equilibrio si, cuando se somete a una pequeña perturbación se mantiene dentro de una pequeña región alrededor del punto de equilibrio. 1.2.4.2 Estabilidad Finita Si el estado de un sistema permanece dentro de una región finita R, se dice que es estable dentro de R. Si, además, el estado del sistema vuelve al punto de equilibrio original desde cualquier punto de R, este es asintóticamente estable dentro de la región finita R. 11 1.2.4.3 Estabilidad Global El sistema se dice que es globalmente estable si R incluye todo el espacio finito. 1.2.5 LINEALIZACIÓN La linealización permite analizar en un solo punto de operación el comportamiento del sistema al ser sometido a pequeñas perturbaciones. Sea x0 el vector de estado inicial y u0 el vector de entrada correspondiente al punto de equilibrio sobre el cual se analiza el comportamiento del sistema. Si las derivadas de las variables de estado no son funciones explícitas del tiempo, la forma linealizada de las ecuaciones @̇ = A(@, B) y H = I(@, B) alrededor del punto de equilibrio x0 y u0 es: ∆@̇ = O ∆@ + P ∆B donde: ∆H = Q ∆@ + R ∆B V,: ⎡ ⎢ V5: O=⎢ ⋯ ⎢ V,< ⎣ V5: VL: ⎡ ⎢ V5: Q=⎢ ⋯ ⎢VLK ⎣ V5: (1.5) (1.6) V, : ⎤ ⋯ V5< ⎥ ⋯ ⋯⎥ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ En las ecuaciones anteriores: V,< ⎥ V5< ⎦ VL: ⎤ V5< ⎥ ⋯⎥ VLK ⎥ V5< ⎦ V,: V,: ⎡ ⎤ ⋯ V=> ⎥ ⎢ V=: P=⎢⋯ ⋯ ⋯⎥ ⎢ V,< ⋯ V,< ⎥ ⎣ V=: V=> ⎦ VL: VL: ⎡ ⎤ ⋯ V=> ⎥ ⎢ V=: R=⎢ ⋯ ⋯ ⋯ ⎥ ⎢VLK ⋯ VLK ⎥ ⎣ V=: V=> ⎦ ∆@ ∆H = variación del vector de estado de dimensión n O P = matriz de estado o de planta de dimensión nxn = variación del vector de salida de dimensión m ∆B = variación del vector de entrada de dimensión r Q R = matriz de control o de entrada de dimensión nxr = matriz de salida de dimensión mxn = matriz de transmisión directa que define las proporciones de entrada que aparece directamente en la salida, dimensión mxr (1.7) 12 Las matrices A, B, C y D se calculan al derivar las funciones f y g respecto a las variables de estado y las entradas. Además se tiene que: ∆@ = @ − @ N ∆H = H − HN ∆B = B − BN (1.8) Al aplicar la transformada de Laplace a las ecuaciones 1.5 y 1.6, se tiene las ecuaciones de estado en el dominio de frecuencia: \∆@(]) − ∆@(N) = O ∆@(\) + P ∆B(\) ∆H(\ ) = Q ∆@(\) + R ∆B(\) (1.9) (1.10) La Figura 1.5 muestra el diagrama de bloques de la representación en espacio de estado. Figura 1.5 Diagrama de bloques de la representación en espacio de estado Al resolver para ∆@(^) y evaluar para ∆H(^) se obtiene las transformadas de Laplace de los componentes de estado cero: ∆@(\) = ∆H(\ ) = Q _`a(]b − O) [∆@(N) + P ∆B(])] `cd(]b − O) _`a(]b − O) [∆@(N) + P ∆B(])] + R ∆B(]) `cd(]b − O) (1.11) (1.12) Las ecuaciones anteriores tienen dos componentes, una dependiente de las condiciones iniciales y otra de las entradas. Los polos de ∆@(\) y ∆H(\ ) son las raíces de la ecuación 1.12, conocida como ecuación característica de la matriz A: `c d(^b − O) = N (1.13) 13 1.3 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE LA MATRIZ DE ESTADO 1.3.1 VALORES PROPIOS Y ESTABILIDAD Los valores propios representan modos naturales de oscilación de un sistema físico y caracterizan su respuesta temporal ante una pequeña perturbación. Las n soluciones de 0 = 0: , 0; , … , 0< que satisfacen la ecuación característica son los valores propios de la matriz A, y se pueden calcular como: det(A − λI) = 0 (1.14) Se puede observar en la Figura 1.6 que el punto de operación es estable si todos los valores propios están ubicados a la izquierda del eje imaginario del plano complejo. Los valores propios que aparecen al lado derecho del eje imaginario son inestables, por lo que el sistema también es inestable. Figura 1.6 Valores propios en el plano complejo y su respuesta asociada [5] 14 La Tabla 1.1 indica las diferentes respuestas asociadas a la ubicación de los valores propios en el plano complejo. Tabla 1.1 Respuestas asociadas a la ubicación de los valores propios % f <0 unidireccional amortiguada ≠0 <0 oscilatoria amortiguada =0 oscilación de amplitud constante >0 oscilatoria con oscilaciones crecientes sin límite =0 >0 unidireccional monótonamente creciente =0 ≠0 ≠0 Respuesta La característica de tiempo depende de un modo que corresponde a un valor propio 09 dado por / hi j . Por lo tanto, la estabilidad del sistema está determinada por los valores propios de la siguiente manera: a) Un valor propio real corresponde a un modo no oscilatorio. • Un valor propio real negativo representa un decaimiento del modo, mientras mayor sea su magnitud más rápido decae. • Un valor propio real positivo representa una inestabilidad aperiódica. b) Valores propios complejos se dan en pares conjugados, y cada par corresponde a un modo de oscilación. Por ejemplo, (k + lm )/ (nopq)j + (k − lm)/ (nopq)j tiene la forma / rj sin(s1 + t) la cual representa un amortiguamiento sinusoidal para u negativos. Cada modo de oscilación se representa por un valor propio complejo (λ), donde: a) El componente real (u) es una medida del amortiguamiento del modo. • Una parte real negativa representa una oscilación amortiguada • Una parte real positiva representa una oscilación de amplitud creciente 15 b) El componente imaginario (s) representa una medida de la velocidad angular de la oscilación que el modo representa. Así, para un par complejo de valores propios: donde: s< v 0 = u ± ls = −vs< ± ls< w1 − v ; (1.15) = frecuencia natural de oscilación = factor de amortiguamiento La frecuencia de oscilación en Hz está dado por ,= s 2x (1.16) El factor de amortiguamiento está dado por v= −u √u ; + s; (1.17) El factor de amortiguamiento v determina el porcentaje de decaimiento de la amplitud de oscilación del modo. 1.4 VECTORES PROPIOS 1.4.1 VECTORES PROPIOS DERECHOS Para cualquier valor propio 09 , el vector columna z9 , que satisface la ecuación: Oz{ = |{ z{ { = }, ~, … , & (1.18) Se denomina vector propio derecho de la matriz A, asociado con su valor propio 09 . El vector propio z{ tiene la forma: z}{ z z{ = F ~{ G ⋮ z&{ 16 El k-ésimo elemento de z{ mide la actividad de la variable de estado en el modo i-ésimo. La magnitud de los elementos de z{ da la actividad de las n variables de estado en el modo i-ésimo [7]. 1.4.2 VECTORES PROPIOS IZQUIERDOS Para cualquier vector propio 09 , el vector fila +9 que satisface la ecuación: { = |{ { { = }, ~, … , & (1.19) Se denomina vector propio izquierdo de la matriz A, asociado con su valor propio 09 . El k-ésimo elemento de { da una medida de la contribución de la variable de estado en el modo i-ésimo. La magnitud de los elementos de { da la actividad de las n variables de estado en el modo i-ésimo [7]. El vector propio izquierdo mide la eficiencia de una real acción de control en diferentes oscilaciones, por lo tanto los vectores propios izquierdos pueden ser utilizados para la determinación del sitio de control. Los vectores propios izquierdo y derecho correspondientes a los diferentes valores propios son ortogonales. En otras palabras, si 09 no es igual a 0p : z = N (1.20) Los vectores propios izquierdos y derechos que pertenecen al mismo valor propio cumple con: z = { (1.21) z = } (1.22) donde { es una constante diferente de cero. Al normalizar los vectores propios se tiene: 17 1.5 MATRICES MODALES Con el fin de expresar las propiedades de la matriz A, es conveniente introducir las siguientes matrices: = [z} = = [} z~ ~ ⋯ z ] ⋯ ] matriz diagonal, con los valores propios 0:, 0;, … , 0< como elementos de la diagonal (1.23) (1.24) (1.25) Las matrices anteriores son de dimensión nxn. En términos de estas matrices, las Ecuaciones 1.18 y 1.22 se pueden expresar de la siguiente manera: O = = = } Al despejar de la ecuación 1.26: }O = (1.26) (1.27) (1.28) 1.6 MOVIMIENTO LIBRE DE UN SISTEMA DINÁMICO En base a la ecuación de estado (ecuación 1.6), el movimiento libre de un sistema dinámico está dado por ∆@̇ = O ∆@ (1.29) El conjunto de ecuaciones anteriores, obtenidas de las consideraciones físicas, no son el mejor medio de estudios analíticos de movimiento. El problema es que el porcentaje de cambio de cada una de las variables de estado es una combinación lineal de todas las variables de estado. Como resultado del acoplamiento entre los estados, es difícil aislar de una manera significativa los parámetros que influyen en el movimiento 18 Con el fin de eliminar el acoplamiento cruzado entre las variables de estado, se toma en cuenta un nuevo vector de estado original ∆@ por la transformación: z que relaciona el vector de estado ∆@ = (1.30) donde es la matriz modal de A definida por la ecuación 1.23. Al reemplazar ∆@ en la ecuación 1.29, se tiene: ̇ = O (1.31) El estado de la nueva ecuación puede ser escrita como: ̇ = } (1.32) De acuerdo a ecuación 1.29, la ecuación anterior se convierte en: ̇ = (1.33) La diferencia entre las ecuaciones 1.33 y 1.30 es que Λ es una matriz diagonal, mientras que A, en general, no es diagonal. La ecuación 1.33 representa las n ecuaciones desacopladas de primer orden ̇ = | (1.34) La ecuación 1.34 es una simple ecuación diferencial de primer orden cuya solución con respecto al tiempo t está dada por 9 (1 ) = 9 (0)/ hi j (1.35) donde 9 (0) es el valor inicial de 9 . Regresando a la ecuación 1.30, la respuesta en términos del vector de estado original está dado por @(d) = (d) = [z} z~ } (!) (!) ⋯ z ] F ~ G ⋮ & (!) (1.36) 19 De acuerdo a la ecuación 1.35, se tiene que < Δ5(1 ) = Φ9 9 (0)/ hi j 9: (1.37) De la ecuación 1.36, se tiene: (1 ) = } @(!) = @(1) (1.38) Esto implica que { (1) = { @(1) (1.39) Con t=0, resulta que { (0) = { @(0) (1.40) Mediante el uso de 9 para denotar el producto escalar Ψ9 ΔΧ(0), la ecuación 1.37 se puede escribir como < @(1 ) = 9 9 (0)/ hi j 9: (1.41) En otras palabras, el tiempo de respuesta de la variable de estado ?-ésima está dado por: Δ59 (1 ) = Φ9: : / h j + Φ9;; / h j + ⋯ + Φ9< < / h j (1.42) La ecuación anterior indica la expresión para la respuesta en el tiempo del movimiento libre del sistema en términos de los valores propios, y de los vectores propios derechos e izquierdos. Por lo tanto, la respuesta del movimiento libre (o condición inicial) está dada por una combinación lineal de n modos dinámicos que corresponden a los n valores propios de la matriz de estado. 20 1.7 MODOS, SENSITIVIDAD Y FACTORES DE PARTICIPACIÓN 1.7.1 MODOS Y VECTORES PROPIOS La respuesta del sistema en términos de los vectores de estado @ y z están relacionados de la siguiente manera: @(1 ) = (d) = [} ~ … ](1) (1.43) = } ~ … ]@(1) (1.44) (1 ) = (@) Las variables Δ5: , Δ5;, … , Δ5< se escogen para representar el comportamiento dinámico del sistema. Las variables : , ; , … , < son las transformadas de las variables de estado que están asociadas a un solo modo. En la ecuación 1.43 se puede observar que los vectores propios derechos determinan el modo, es decir, la actividad relativa de las variables de estado cuando un modo particular es excitado. Por ejemplo, el grado de actividad de la variable de estado 5 en el i-ésimo modo está dado por el elemento ϕ9 del vector propio derecho ϕ9 . La magnitud de los elementos ϕ9 da la actividad de las n variables de estado en el modo ?-ésimo, y los ángulos de los elementos da el desplazamiento de fase de las variables de estado con respecto al modo. En la ecuación 1.44 se puede observar que los vectores propios izquierdos Ψ9 identifican cual combinación de las variables de estado muestra el ?-ésimo modo. El -ésimo elemento de ϕ9 mide la actividad de la variable de estado 5 en el ?- ésimo modo y el elemento -ésimo de +9 pesa la contribución de la actividad de la variable de estado en el modo ?-ésimo. 21 1.7.2 SENSITIVIDAD DE VECTORES PROPIOS De acuerdo a la ecuación 1.18 la cual define los valores y vectores propios: Oz{ = | { z{ Diferenciando con respecto al campo kp : VO Vz V{ Vz z + O ∆5< = z + … + { Vkp Vkp Vkp Vkp Al multiplicar por { y al considerar que { { = } y { (O − | b) = N, se obtiene: { VO V{ z = Vkp Vkp Todos los elementos de la V./Vkp son cero, excepto aquellos términos en la fila -ésima y columna l-ésima los cuales son igual a uno. Por lo tanto: Vλ = { Φp9 Vkp (1.45) Así, la sensibilidad del valor propio λ al elemento kp de la matriz de estado es igual al producto del elemento ψ9 del vector izquierdo y el elemento Φp9 del vector propio derecho. 1.7.3 FACTOR DE PARTICIPACIÓN El uso de vectores propios para identificar la relación entre las variable de estados y modos de oscilación, presenta el inconveniente que los vectores propios dependen de las unidades asociadas con las variables de estado. Como solución a este problema, existe la llamada matriz de participación (P), la cual combina los vectores propios derechos e izquierdos, para medir la relación entre las variables de estado y los modos de oscilación. ¢ = [¢} ¢~ … ¢] con (1.46) 22 £:9 £;9 ¢ = F G = ⋮ £<9 donde: ϕ9 ψ9 Φ:9 Ψ9: Φ;9 Ψ9; F G ⋮ Φ<9 Ψ9< (1.47) = entrada -ésima del vector propio derecho z9 = entrada -ésima del vector propio izquierdo 9 El elemento ¤9 = ¥9 ψ9 se denomina factor de participación, y cada elemento representa: ¥9 +9 ¤9 = mide la actividad de la variable de estado 5 en el ?-ésimo modo pesa la contribución de esta actividad de 5 en el ?-ésimo modo mide las contribuciones netas La suma de los factores de participación asociados con algún o con alguna variable de estado es igual a 1. Si se relaciona el factor de participación ¤9 con la sensibilidad, éste es igual a la sensibilidad del valor propio 09 respecto a los elementos de la diagonal k de la matriz de estado A. ¤9 = V09 Vk (1.48) 1.8 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD Al expresar las ecuaciones 1.7 y 1.8 en términos de la variable z se tiene: ∆̇ = O + P ∆B ∆H = Q + R ∆B (1.49) (1.50) Si se expresa la ecuación de estado en forma desacoplada se tiene: ̇ = + P′ ∆B donde: ∆H = Q′ + R ∆B (1.51) (1.52) 23 ¦′ = }¦ Q § = Q (1.53) (1.54) En la ecuación 1.51, si la fila ?-ésima de la matriz ¦′ es cero, las entradas no tienen efecto en el modo ?-ésimo, por lo tanto el modo ?-ésimo es incontrolable. En la ecuación 1.52, la columna ?-ésima de la matriz Q § determina si la variable 9 contribuye o no a la formación de las salidas. Si la columna es cero, entonces el modo correspondiente es no observable. Por esta razón algunos modos poco amortiguados a veces no son detectados por la observación de la respuesta transitoria. La matriz nxr P § = }P se conoce como el la matriz de modo de controlabilidad, y la matriz mxn Q § = Q es la matriz de modo de observabilidad. Se puede clasificar los modos en controlables y observables; controlables y no observables; no controlables y observables; no controlables y no observables. 1.9 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH – HURWITZ [2],[13] El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado. (\) m4 ^K + m: ^K: + ⋯ + mK:^ + mK ©(^) = = ¨(\) .(^) k4 ^< + k:^ <: + ⋯ + k<: ^ + k< (1.55) Donde a y b son constantes y m≤ n. El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. 24 Procedimiento para aplicar el criterio de estabilidad de Routh: 1. Escribir el polinomio en s del denominador en la forma siguiente: k4 ^ < + k: ^<: + ⋯ + k<:^ + k< = 0 En donde los coeficientes son cantidades reales y se asumen que k< ≠ 0; es decir, se elimina cualquier raíz cero. 2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo. 3. Si todos los coeficientes son positivos, se ordena los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente: ^< ^ ^ <; ^ <­ ^ <« ⋮ ^; ^: ^4 <: k4 k: m: : -: ⋮ /: ,: L: k; k­ m; ; -; ⋮ /; k« k® m­ ­ -­ k¬ k¯ m« « -« … … … … … Los coeficientes m: , m; , m­ … , : , ; , ­ , … , -: , -; , …, etc., se evalúan del modo siguiente: k1 k2 − k0 k3 k1 k1 k4 − k0 k5 m2 = k1 k1 k6 − k0 k7 m3 = k1 ⋮ m1 = m1 k3 − k1 m2 m1 m1 k5 − k1 m3 2 = m1 m1 k1 − k1 m4 3 = m1 ⋮ 1 = 1 m2 − m1 2 1 1 m3 − m1 3 -2 = 1 ⋮ -1 = 25 La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero. El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo. 1.10 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST [2],[14] El criterio de estabilidad de Nyquist determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado a partir de la respuesta de la función de transferencia en lazo abierto. Este criterio se basa en el teorema de la transformación de la variable compleja, es útil en ingeniería de control para determinar la estabilidad de un sistema sin necesidad de encontrar los polos de la función de transferencia en lazo cerrado. Para el estudio del criterio de estabilidad de Nyquist se considera un sistema en lazo cerrado como el que muestra la Figura 1.7. Figura 1.7 Sistema en lazo cerrado La función de transferencia correspondiente al sistema en lazo cerrado de la Figura 1.7 es: (\) °(^) = ¨(\) 1 + ° (^)±(^) (1.56) 26 Se supone que la función de transferencia en lazo abierto ° (^)±(^) se representa como un cociente de polinomios en “s”. Para un sistema que puede materializarse físicamente, el grado del polinomio del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado debe ser mayor o igual que el del polinomio del numerador. Esto significa que el límite de ° (^)±(^), cuando “s” tiende a infinito, es cero o una constante para cualquier sistema que pueda materializarse físicamente. Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica 1 + ° (^)±(^) = 0 deben estar en el semiplano izquierdo del plano “s”. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta, en el dominio de la frecuencia, de la función de transferencia en lazo abierto ° (l²)±(l²) con el número de ceros (Z) y polos (P) de 1 + ° (^)±(^) que se encuentran en el semiplano derecho del plano “s”. Enunciado del Criterio de estabilidad de Nyquist Si la trayectoria de Nyquist en el plano “s” encierra Z ceros y P polos de 1 + °(^)±(^) y no pasa por los polos ni los ceros de 1 + °(^)±(^) conforme un punto representativo “s” se mueve en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de la trayectoria de Nyquist, el contorno correspondiente en el plano ° (^)± (^) rodea en un círculo N=Z–P veces el punto -1 + j0 en el sentido de las agujas del reloj. Existen tres casos en los cuales se puede examinar la estabilidad de Nyquist en los sistemas de control lineales: 1. El punto -1 + j0 no está rodeado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos de ° (^)± (^) en el semiplano derecho del plano “s”; de lo contrario, el sistema es inestable. 2. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al de las agujas del reloj. En este caso, el sistema es estable si el número de rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj es igual al número de polos ° (^)±(^) en el semiplano derecho del plano “s”; de lo contrario, el sistema es inestable. 27 3. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agujas del reloj. En este caso el sistema es inestable. 1.11 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE BODE [2] El diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema y se forma de: - diagrama de magnitud |°(l²)|³´ µ^. ², y diagrama de fase ∠°(l²) ∘ µ^. ². El diagrama de magnitud de Bode (ver Figura 1.8) representa el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia en escala logarítmica. El diagrama de fase de Bode (ver Figura 1.8) representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia en escala logarítmica, se expresa en grados radianes. Permite evaluar el desplazamiento de fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Figura 1.8 Diagrama de Bode 28 A continuación se presentan definiciones que permiten determinar la estabilidad mediante los diagramas de Bode. Valor máximo de Resonancia (M¸ ): Es una medida de las oscilaciones del sistema que se determina en lazo cerrado. Para un sistema de segundo orden, se tiene: ¹> = |°(l²)|Krº = 20»¼L ¹> = 1 para ½ ≥ 0,707 2½w1 − ½ ; 1 ¹> = ∞ para ½ → 0 Frecuencia de resonancia (²> ): Es la frecuencia donde ocurre el máximo valor de resonancia. Este valor de frecuencia se obtiene para 0 < ½ < 0,707; donde ²> = ²< w1 − 2½; Ancho de Banda (BW): Es el rango de frecuencias (desde w=0 hasta w=wb – frecuencia de corte) para el cual la magnitud de la respuesta en frecuencia no desciende de - 3dB. El ancho de banda es un indicativo de las propiedades del sistema en el dominio del tiempo, ya que este relaciona la respuesta en frecuencia (RF) con la respuesta transitoria, por tanto, sería deseable tener sistemas con elevado ancho de banda. Sin embargo, a elevadas frecuencias la respuesta se vería afectada por ruidos, ya que la sensibilidad a los mismos es mayor a altas frecuencias. Debido a la relación entre el tiempo de levantamiento y el valor de ½, la respuesta transitoria tiene un comportamiento oscilatorio mayor para valores de ½ muy bajos. Se concluye que el ancho de banda no debe ser muy alto. Frecuencia de corte (²´ ): Es la frecuencia en la cual la magnitud de la respuesta en frecuencia está 3 dB debajo del valor en la frecuencia ω = 0. 29 Figura 1.9 Diagrama de Bode – Ancho de banda y frecuencia de corte Sistemas de Fase Mínima: Este tipo de sistemas tienen todos los polos y ceros de parte real negativa, es decir que todos se encuentran en el semiplano izquierdo. Sistemas de Fase No Mínima: El sistema tienen polos o ceros con parte real positiva que modifican el comportamiento del diagrama de fase sin modificar el diagrama de magnitud. Margen de Fase: Es la cantidad de retardo de fase adicional en la frecuencia de la ganancia de cruce que se requiere para llevar el sistema de fase mínima a la frontera de la inestabilidad. La frecuencia de Ganancia de cruce es la frecuencia en la cual la magnitud es 0 dB. Margen de Ganancia: Es el recíproco de la Magnitud en la frecuencia de cruce de la fase. Esta frecuencia es donde el ángulo de fase φ = 180°, entonces: 30 Figura 1.10 Diagrama de Bode – Sistema estable e inestable Como se detalla en la Figura 1.10 un sistema es estable cuando el margen de fase y de ganancia son positivos. Un sistema es inestable cuando el margen de fase y de ganancia son negativos. Equation Chapter (Next) Section 2 31 CAPÍTULO 2 2. MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA ESTÁTICO DE EXCITACIÓN Se desarrolla la representación en variables de estado del sistema compuesto por un generador sincrónico de la Fase C de Paute conectado a una barra infinita a través de un transformador. Sobre el sistema se analiza los efectos de la variación del flujo concatenado y los efectos del sistema de excitación estático ST1A. Para los análisis en el dominio del tiempo y la frecuencia se usa el software Matlab-Simulink. Se modela el sistema mencionado en el paquete computacional DIgSILENT Power Factory y se incluye el modelo del sistema de excitación estático ST1A, con sus respectivos parámetros, funciones de transferencia y variables de entrada y salida. 2.1 REPRESENTACIÓN DEL GENERADOR SINCRÓNICO EN VARIABLES DE ESTADO [1] Se representa a uno de los generadores de la Fase C de Paute mediante el modelo clásico [1]. Este generador se conecta a una barra infinita a través de un transformador de elevación (Figura 2.1), para lo cual, se considera las siguientes premisas. • potencia mecánica constante • resistencias del estator y amortiguamiento insignificantes • • voltaje interno del generador Á′ constante, y si una carga es conectada a los terminales del generador, esta puede ser representada por una impedancia constante. 32 Á′∠ 3j ∠Ѳ1 3Ä ∠0 Æ Ç′³ ÇÈ Å = voltaje y ángulo interno del generador respectivamente = voltaje y ángulo en terminales del generador = voltaje de la barra infinita con ángulo de 0 grados = corriente que sale del generador reactancia sub-transitoria del generador = reactancia del transformador Figura 2.1 Representación del generador sincrónico por el modelo clásico La potencia compleja en los terminales internos del generador está dado por: É⃗ = £ + lË = Á′∠ ÆÌ⃗ ∗ Á′∠ − 3Ä ∠0° Á′∠Â Î Ñ l (Ç′³ + ÇÈ ) 1 [Á′; − Á′3Ä∠Ò ] = l Ç′³ + ÇÈ 1 [Á′; − Á′3Ä cos  − lÁ′3Ä sin  ] = l Ç′³ + ÇÈ Á′3Ä Á′; Á′3Ä = sin  + l Î − cos ÂÑ Ç′³ + ÇÈ Ç′³ + ÇÈ Ç′³ + ÇÈ = ∗ (2.1) 2.1.1 ANÁLISIS DINÁMICO GENERADOR BARRA INFINITA Como se puede observar en la ecuación 2.1 se necesita el valor del voltaje interno del generador (Á′) con su respectivo ángulo (Â), por tal razón, se desarrolla a continuación un análisis dinámico del generador conectado a una barra infinita (Figura 2.1). En la Tabla 1 y Tabla 2 se muestran los datos de uno de los generadores y transformadores de la Fase C de Paute. 33 Tabla 2.1 Datos de un generador de la Fase C de Paute PARÁMETRO VALOR UNIDAD ,¤ Capacidad nominal 127,7 [MVA] Factor de potencia 0,9 -- dz Voltaje nominal 13,8 [kV] Ç′³ Reactancia sincrónica eje directo 1,0225 [p.u.] Reactancia eje directo transitoria 0,2805 [p.u.] ± Reactancia sincrónica eje cuadratura 0,6334 [p.u.] Constante de inercia 3,133 [MJ/MVA] É 3 ÇÓ DESCRIPCIÓN Tabla 2.2 Datos de un transformador de la Fase C de Paute PARÁMETRO É 3¤ 3^ Çj DESCRIPCIÓN VALOR UNIDAD Capacidad nominal 134 [MVA] Voltaje nominal, lado de alto voltaje 230 [kV] Voltaje nominal, lado de bajo voltaje 138 [kV] Impedancia de secuencia positiva 13,01274 % 2.1.1.1 Conversión de Bases Al convertir las reactancias del generador y del transformador a un sistema por unidad referido a una base de 230 kV y 100 MVA, se tiene: dz = 1,0225 ¤= ÇÓ = 0,6334 ¤= Ç′³ = 0,2805 ¤= 100 ¹3. = 0,8007 ¤= 127,7 ¹3. 100 ¹3. = 0,496 ¤= 127,7 ¹3. 100 ¹3. = 0,2196 ¤= 127,7 ¹3. Çj = 0,1301274 ¤= 100 ¹3. = 0,09711 ¤= 134 ¹3. 2.1.1.2 Calculo de la Potencia Activa y Reactiva Se considera que el generador funciona al 80 % de su capacidad nominal, por lo tanto se tiene que: 34 £ Ë = É cos(t) = 0,1277 ∗ 0,9 ∗ 0,8 = 0,9194 ¤= = = = (2.2) É sin(t) 0,1277 ∗ sin(cos:(0,9)) ∗ 0,8 0,4453 ¤= (2.3) 2.1.1.3 Calculo del Voltaje en Terminales ( !) y ángulo ("! ) del generador La potencia compleja en terminales del generador está dado por: É⃗ = = £ + lË = 3j ∠Ѳj ÆÌ⃗ 3j ∠Âj Ô l ∗ 3j ∠Ѳj − 3Ä ∠0° ∗ Õ lÇÈ 1 Ö3 ; − 3j 3Ä ∠Ѳj × ÇÈ j 1 Ö3 ; − 3j 3Ä cos(Ѳj ) − l3j 3Ä sin(Ѳj )× = l ÇÈ j 3j 3Ä 3j ; 3j 3Ä = sin(Ѳj ) + l Î − cos(Ѳj )Ñ ÇÈ ÇÈ ÇÈ = (2.4) Al reemplazar los valores de potencia activa, reactiva, voltaje y reactancia se obtiene: 0,9194 = sin(Âj ) = 0,4453 = 3j sin(Ѳj ) 0,09711 0,08928 3j (2.5) 3j ; 3j − cos(Ѳj ) 0,09711 0,09711 cos(Ѳj ) = 3j ; − 0,04324 3j (2.6) Al usar la relación trigonométrica sin; (Ѳj ) + cos ;(Ѳj ) = 1 en las ecuaciones 2.5 y 2.6, se tiene: 3j = 1,0378 Ѳj = 4,935° (2.7) (2.8) 35 2.1.1.4 Calculo del Voltaje Interno (#′) y Ángulo (") del Generador De la ecuación de la potencia compleja se despeja la corriente y se tiene: £ + lË ∗ ⃗Æ = Ø Ù 3j ∠Ѳj (2.9) 0,9194 + l0,4453 Æ⃗ = Ø Ù = 0,9843∠ − 20,907 ° ¤= 1,0378∠4,935 ÁÓ ∠ = ÌÌÌ⃗ 3j + l5Ó Æ⃑ ∗ 1 ÁÓ ∠ = 1,0378∠4,935° + l0,496 ∗ 0,9843∠ − 20,907 ° ÁÓ ∠ = 1,3255∠24,294° ¤= ÆÓ = ÆÓ = 3j sin( ) 5Ó (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) 1,0378 sin(24,294°) 0,496 ÆÓ ∠ = 0,8608∠24,294° ¤= (2.14) Ƴ = áÆ ; − ÆÓ ; (2.15) ÆÌÌÌ⃗ ³ = 0,4773∠ − 65,706° ¤= (2.16) Á∠ = 1,328 ∠24,294° ¤= (2.18) Ƴ = w0,9843; − 0,8608; Á = 3 cos( ) + 5³ Ƴ Á = 1,0378 cos(24,294°) + 0,8007 ∗ 0,4773 (2.17) Una vez calculados el voltaje interno con su respectivo ángulo se procede a representar el generador sincrónico en diagrama de bloques. 1 JÁTIVA Jesús, Apuntes de la materia “Sistemas Eléctricos de Potencia”, Semestre Marzo – Agosto 2011. 36 2.1.2 REPRESENTACIÓN DEL GENERADOR SINCRÓNICO EN DIAGRAMA DE BLOQUES Al considerar la resistencia del estator insignificante, la potencia eléctrica en vacío (£â ) es igual a la potencia en terminales (£). En por unidad el torque eléctrico es igual a la potencia eléctrica. Por lo tanto, de la potencia compleja en terminales internos del generador (ecuación 2.1) se tiene: ãâ = £ = Á′3Ä sin  Ç′³ + ÇÈ (2.19) Al linealizar la ecuación 2.19 en un punto de operación inicial  = Â4 se tiene: ∆ãâ │ÒÒå = Vãâ Á′3Ä │ÒÒå ∆ = cos(Â4 ) ∆ V Ç′³ + ÇÈ (2.20) La ecuación de oscilación de un generador en sistema por unidad asociado con el amortiguamiento se expresa como [1]: donde: ± 2± - ;  = ãK − ãâ − (æ ∆s s4 -1 ; = constante de inercia s4 = velocidad angular de sincronismo, s4 = 377 [çk-/^] ãâ = torque mecánico  ãK (æ (2.21) = ángulo del rotor = torque eléctrico = coeficiente de amortiguamiento en el rotor ∆s = desviación de la velocidad en pu Expresando la ecuación anterior como dos ecuaciones diferenciales de primer orden, en por unidad se tiene: -∆s 1 (ã − ãâ − (æ ∆s) = -1 2± K - = s4 ∆s -1 (2.22) (2.23) 37 Al linealizar la ecuación 2.22 alrededor de un punto de operación (ãK = ãK4 , ãâ = ãâ4 , ∆² = ∆²4 ) y reemplazar por ∆ãâ de la ecuación 2.20 se tiene: -∆s 1 (∆ãK − (è ∆ − (æ ∆s) = -1 2± Donde (è es el coeficiente de torque sincronizante dado por: (è = é Á′3Ä ê cos Â4 Ç′³ + ÇÈ (2.24) (2.25) Al linealizar la ecuación 2.23 alrededor de un punto de operación (∆² = ∆²4 ) se tiene: -∆ = s4 ∆s -1 (2.26) Al expresar las ecuaciones 2.24 y 2.26 en la forma matriz-vector, se obtiene: (æ − - ∆s Î Ñ = F 2± -1 ∆ s4 − (è 1 ∆s 2±G Î Ñ + C2± E ∆ãK ∆ 0 0 (2.27) La representación en diagrama de bloques mostrado en la Figura 2.2 (página siguiente) se usa para describir el rendimiento en pequeña señal del sistema generador – barra infinita. Al perturbar el sistema con una variación en el torque mecánico aparece una componente de torque sincronizante y otra componente de torque de amortiguamiento. El torque sincronizante permite al generador mantener el sincronismo cuando la potencia mecánica adicional de entrada se convierte en potencia eléctrica. El torque de amortiguamiento está asociado con la disipación de energía, y es fundamental en la amortiguación de las oscilaciones del rotor. La constante (æ se debe a factores mecánicos y eléctricos. Los factores mecánicos son la fricción del aire y la carga mecánica. Los factores eléctricos son el efecto de los devanados de amortiguamiento, efecto de las cargas lineales y no lineales, y el funcionamiento de máquinas asincrónicas. 38 (è (æ ± = coeficiente de torque sincronizante [pu torque / rad] = coeficiente de torque de amortiguamiento [pu torque / pu velocidad] = constante de inercia [MW*s / MVA] ∆s = variación de la velocidad [pu], ∆s=(s − s4)/s4 ∆ ^ s4 = variación del ángulo del rotor [rad eléct.] = operador de Laplace = velocidad de sincronismo en [rad eléct. / s], s4 = 2x,4 = 377 para un sistema a 60 Hz Figura 2.2 Diagrama de bloques del sistema generador – barra infinita De la Figura 2.2 se tiene: ∆ = s4 1 (−(è ∆ − (æ ∆s + ∆ãK )Õ Ô ^ 2±^ s4 1 ∆ = Ô Ø−(è ∆ − (æ ^ + ∆ãK ÙÕ ^ 2±^ s4 Al arreglar la ecuación anterior, se tiene: ^ ; (∆Â) + (æ s4 (è ^(∆Â) + s4 (∆Â) = ∆ã 2± 2± 2± K La ecuación característica está dado por: (2.28) 39 ^; + (æ (è ^+ s =0 2± 2± 4 (2.29) Al comparar la ecuación anterior con la forma general: ^; + 2vs< ^ + s< ; = 0, se tiene la frecuencia natural s< = á(è s4 2± [çk-/^] (2.30) y la relación de amortiguamiento es: v = 1 (æ 2 2±s< 1 (æ = 2 w(è 2±s4 (2.31) Con el aumento del coeficiente del torque sincronizante (è , la frecuencia natural aumenta y la relación de amortiguamiento disminuye. Un incremento en el coeficiente del torque de amortiguamiento (æ , incrementa la relación de amortiguamiento, y con el incremento de la constante de inercia decrece s< y v. La frecuencia natural predice los resultados cuando el sistema llega a ser inestable por insuficiente torque sincronizante y la relación de amortiguamiento determina posibles señales del sistema debido a insuficiente torque de amortiguamiento. 2.1.2.1 Cálculo del Coeficiente de Torque Sincronizante Mediante la ecuación 2.25 se calcula el coeficiente de torque sincronizante el cual está dado por: (è = Ø 1,328 ∗ 1 Ù cos(24,294) 0,2196 + 0,09711 (è = 3.8217 pu torque/rad (2.32) 40 2.1.2.2 Calculo de la Frecuencia Natural %& y el Factor de Amortiguamiento ' Utilizando las ecuaciones del sistema linealizado (ecuación 2.27) y reemplazando los respectivos valores del sistema se tiene la siguiente matriz de estado: −0,1595(æ - ∆s Î Ñ=ë -1 ∆ 377 −0,6099 ∆s 0,1595 ìÎ Ñ+ ë ì ∆ãK ∆ 0 0 Con la matriz de estado de la ecuación anterior se procede a encontrar los valores propios mediante la ecuación 1.14. det(A − λI) = í −0,1595(æ − 0 −0,6099 í=0 377 −0 0; + 0,1595(æ 0 + 229,93 = 0 (2.33) Con la ecuación 2.30 y 2.31 se procede a calcular la velocidad natural y el factor de amortiguamiento respectivamente, por lo tanto, se tiene: s< = î3,8217 377 = 15,16 [çk-/^] 2 ∗ 3,133 (2.34) 1 (æ = 0,05262 (æ 2 √3,8217 ∗ 2 ∗ 3,133 ∗ 377 (2.36) ,< = 2,413± v = (2.35) 2.1.2.3 Criterio de Routh – Hurwitz Como se puede observar en la ecuación 2.36 v depende directamente del valor de la constante de amortiguamiento (æ . Una forma de conocer el rango de valores de (æ para los cuales el sistema es estable es aplicando el criterio de Routh – Hurwitz a la ecuación 2.33. De acuerdo al mencionado criterio se debe cumplir que: a. Los coeficientes del polinomio deben ser positivos y diferentes de cero. Se puede observar que está condición se cumple siempre y cuando (æ > 0, con lo cual se garantiza que existan raíces reales negativas y el sistema sea estable. 41 b. Los coeficientes de la primera columna del arreglo de Routh deben ser positivos. En el arreglo de Routh para el polinomio de la ecuación 2.33 mostrado a continuación, se puede observar que para cumplir la condición b) (æ debe ser siempre mayor que cero. 0; 0: 04 1 0,1595(æ 0 229,93 0 0 Con lo anterior el sistema será estable si (æ toma valores mayores a cero. Si (æ es igual a cero el sistema presentará oscilaciones de amplitud constante. 2.1.2.4 Cálculo de Valores Propios En la Tabla 2.3 se muestra los valores propios y la relación de amortiguamiento del sistema generador-barra infinita a diferentes valores de (æ , los cuales se calculan con la ecuación 1.15. Tabla 2.3 Valores propios del sistema Generador – Barra Infinita Factor de Torque de Relación de Amortiguamiento amortiguamiento 0 0 5 0,0263 -0,399±j15,158 10 0,0526 -0,798±j15,142 20 0,1052 -1,595±j15,079 ïð Valores propios 1, 2 = f ± ñ% ' ±j15,163 La respuesta en el dominio del tiempo se hace con el diagrama de bloques mostrada en la Figura 2.3. Para efectos de simulación se considera que la variación del torque mecánico permanece constante debido a que no se considera un sistema de regulación de velocidad (∆ãK = 0). Se incrementa el torque sincronizante mediante una señal paso, aumentando la variación del ángulo del rotor (∆Â) desde cero a 5 grados (0,08726 rad). 42 Figura 2.3 Sistema Generador Barra Infinita en Matlab Simulink Como se puede notar en la Figura 2.4 y Figura 2.5 cuando (æ es cero la posición del ángulo del rotor oscila a una amplitud constante. A medida que se incrementa el factor de amortiguamiento ((æ ), aumenta la relación de amortiguamiento (v), con lo cual disminuyen las oscilaciones del ángulo del rotor y el tiempo de establecimiento. Figura 2.4 Respuesta de la posición angular del rotor variando (æ 43 Figura 2.5 Respuesta de la variación angular del rotor variando (æ A continuación se analiza el comportamiento dinámico del sistema, considerando las variaciones del flujo concatenado de campo +ò³ . 2.1.3 EFECTO DEL CIRCUITO DE CAMPO EN EL GENERADOR SINCRÓNICO Para analizar los efectos de las variaciones del campo se considera amortiguamiento insignificante, y voltaje de campo constante (sin sistema de control de excitación). La dinámica del circuito de campo está dada por el flujo concatenado y se representa mediante la siguiente ecuación: [1] -+ò³ -1 = s4 ó/ò³ − ôò³ ?ò³ õ s4 ôò³ = Á − s4 ôò³ ?ò³ ör³÷ ò³ (2.37) En la ecuación anterior, +ò³ , Áò³ , ?ò³ y ôò³ son el flujo, voltaje, corriente y resistencia del devanado de campo. Sin embargo, la ecuación 2.37 esta expresada en función de la ?ò³ y ãâ , las cuales no son variables de estado del sistema, por tal razón se debe expresar la ecuación 2.37 en función de las 44 variables de estado ∆Â, ∆s y ∆+ò³ . En la Figura 2.6 se muestra el circuito equivalente que relaciona los flujos concatenados y las corrientes del eje directo y cuadratura. Figura 2.6 Circuito equivalente de la relación flujo concatenado y corrientes del generador sincrónico De acuerdo a lo anterior los flujos concatenados del rotor y el estator están dados por: Ψ³ò ΨÓò Ψò³ = −öø ?³ + ör³ù ó−?³ + ?ò³ õ = −öø ?³ + Ψr³ = −öø ?Ó + örÓù ó−?Ó õ = −öø ?Ó + ΨrÓ = −ör³ù ó−?³ + ?ò³ õ + öò³ ?ò³ = Ψr³ + öò³ ?ò³ (2.38) (2.39) (2.40) En las ecuaciones 2.38 y 2397, Ψr³ y ΨrÓ son los flujos concatenados mutuos en vacío, y ör³ù y örÓù son los valores saturables de las inductancias mutuas. De la ecuación 2.40, la corriente de campo puede ser expresada como: ?ò³ = Ψò³ − Ψr³ öò³ (2.41) El flujo concatenado mutuo de eje directo puede ser escrito en términos de Ψò³ / ?³ como se indica a continuación: 45 Ψr³ = = = donde ö§ r³ù = −ör³ù ?³ + ör³ù ?ò³ ör³ù óΨò³ − Ψr³ õ öò³ Ψò³ −ö§ r³ù ?³ é−?³ + ê öò³ −ör³ù ?³ + ör³ù 1 1 + 1 öò³ (2.42) (2.43) Para estudios de estabilidad no se considera la existencia el circuito del rotor en el eje cuadratura, por tal razón, el flujo concatenado mutuo del eje cuadratura está dado por: ΨrÓ = −örÓù ?Ó (2.44) El torque eléctrico en vacío en términos del flujo concatenado es: ãâ = = Ψ³ ?Ó − ΨÓ ?³ Ψr³ ?Ó − ΨrÓ ?³ (2.45) En términos del Ψ y de las variaciones de velocidad, la ecuación de voltaje del estator en el eje directo y cuadratura está dado por: µ³ = −ôr ?³ − ΨÓ µÓ = −ôr ?Ó − Ψ³ = −ôr ?³ + óöø ?Ó − ΨrÓ õ = −ôr ?Ó + (öø ?³ − Ψr³ ) (2.46) (2.47) En primer lugar, se tiene que expresar ?ò³ y ãâ en términos de Ψò³ , ?³ , Ψr³ , y ΨrÓ . Además, µ³ y µÓ han sido expresadas en términos de estas variables y serán usadas en conjunto para proporcionar expresiones de ?³ e ?Ó en términos de variables de estado. El voltaje terminal de la máquina y el voltaje de la barra infinita en términos de los componentes directo y cuadratura son: 46 ÌÌÌ⃗ 3j = µ³ + lµÓ ÌÌÌÌ⃗ 3 = 3ij + l3ÄÓ Ä (2.48) (2.49) La ecuación para el sistema generador barra infinita conectado a través de un transformador con su resistencia despreciable es: ÌÌÌ⃗ 3j = µ³ + lµÓ ÌÌÌÌ⃗ 3Ä + ólÇÈ>rò õÆÌÌ⃗j = ó3ij + l3ÄÓ õ + ólÇÈ>rò õó?³ + l?Ó õ (2.50) (2.51) Al resolver en componentes directos y de cuadratura se tiene: µ³ = −ÇÈ>rò ?Ó + 3ij donde µÓ = ÇÈ>rò ?³ + 3ÄÓ 3ij = 3Ä ^?ú (2.52) (2.53) (2.54) 3ÄÓ = 3Ä ¼^ (2.55) Al usar las ecuaciones 2.46 y 2.47, se elimina µ³ y µÓ en las ecuaciones 2.54 y 2.55, y mediante Ψr³ y ΨrÓ se obtienen las expresiones de las corrientes en el eje directo y cuadratura en términos de Ψò³ y Â. ?³ donde ?Ó ôÈ ÇÈÓ Çȳ ) ör³ù ÇÈÓ ÔΨò³ Ø Ù − 3Ä cos ÂÕ − ôÈ 3Ä sin  ör³ù + öò³ = ) ôÈ ÔΨò³ Øö = = = = = ör³ù Ù − 3Ä cos ÂÕ − Çȳ 3Ä sin  r³ù + öò³ ) ôr ÇÈ>rò + ÇÓù ÇÈ>rò + Ç′³ù ÇÈÓ . Çȳ (2.56) (2.57) (2.58) 47 Las reactancias ÇÓù y Ç′³ù son valores saturados y son iguales cuando se expresan en por unidad. Las ecuaciones 2.56 y 2.57 son ecuaciones no lineales por lo que deben ser linealizadas para el análisis de pequeña señal. 2.1.3.1 Linealización del Sistema de Ecuaciones Al expresar las ecuaciones 2.56 y 2.57 en términos de valores perturbados, se puede escribir: Δ?³ = û: Δ + û; ΔΨò³ donde (2.59) Δ?Ó = ú: Δ + ú; ΔΨò³ û: ú: û; ú; (2.60) 3Ä óÇÈÓ sin Â4 − ôÈ cos Â4 õ ) 3Ä óôÈ sin Â4 − ÇÈÓ cos Â4 õ = ) ÇÈÓ ör³ù = ) óör³ù + öò³ õ ôÈ ör³ù = ) óör³ù + öò³ õ = (2.61) Al linealizar las ecuaciones 2.42 y 2.44, y sustituirlas en las ecuaciones de Δ?³ y Δ?Ó , se tiene: ΔΨr³ = ΔΨrÓ = ö′r³ù é−Δ?³ + ΔΨò³ ê öò³ 1 = é − û; ê ö′r³ù ΔΨò³ − û: ö′r³ù Δ öò³ (2.62) = −ú; örÓù ΔΨò³ − ú: örÓù Δ (2.63) −örÓù óΔ?Ó õ Al linealizar la ecuación 2.41 y sustituir por ΔΨr³ de la ecuación 2.62, se obtiene: Δ?ò³ = = ΔΨò³ − ΔΨr³ Lò³ 1 ö§ r³ù 1 é1 − + û; ö§ r³ù ê ΔΨò³ + û ö§ Δ Lò³ Lò³ öò³ : r³ù (2.64) 48 La forma linealizada de la ecuación 2.45 es: Δãâ = Δãâ = Ψr³4 Δ?Ó + ?Ó4 Ψr³ − ΨrÓ4 Δ?³ − ?³4 ΔΨrÓ (2.65) K : Δδ + (; ΔΨò³ (2.66) Al sustituir Δ?³ , Δ?Ó , ΔΨr³ J ΔΨrÓ en la ecuación 2.59 y 2.63, se obtiene: donde K : = ú: óΨr³4 + örÓù ?³4 õ − û: óΨrÓ4 + ö§ r³ù ?Ó4 õ K ; = ú; óΨr³4 + örÓù ?³4 õ − û; óΨrÓ4 + ö§ r³ù ?Ó4 õ + ö§ r³ù ? Lò³ Ó4 (2.67) (2.68) Al linealizar las ecuaciones 2.22 y 2.23 y reemplazando la expresión de Δ?ò³ y Δãâ , se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: k:: ∆ṡ ⎡ ⎤ ⎢ ∆Â̇ ⎥ = Fk ;: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎣∆+̇ò³ ⎦ donde k:: = − k:; = − k:­ = − m:: = (æ 2± (: 2± (; 2± 1 2± ∆ãK = 0 k:; 0 k­; k:­ ∆s ⎡ ⎤ ⎢ 0 G ⎢ ∆ ⎥⎥ + ⎢ ⎥ k­­ ⎣∆+ò³ ⎦ m:: ⎡ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎤ ∆ãK 0 ⎥ë ì ⎥ ∆Áò³ m­; ⎦ 0 (2.69) k;: = s4 = 2x,4 k­; = − k­­ = − m­; = s4 ôò³ û1ö§ r³ù öò³ s4 ôò³ ö§ r³ù Î1 − + û; ö§ r³ù Ñ öò³ öò³ s4 ôò³ ör³÷ ∆Áò³ = 0 (2.70) 49 2.1.3.2 Representación en Diagrama de Bloques Considerando los Efectos del Campo En la Figura 2.7 se muestra el diagrama de bloques del sistema generador – barra infinita considerando los efectos del campo. En esta figura, las características dinámicas del sistema están expresadas en términos de las constantes K. Figura 2.7 Diagrama de bloques del sistema generador – barra infinita considerando los efectos del campo De la figura anterior, la variación del torque eléctrico en el entrehierro es: ∆ãâ = (: Δ + (;Δ+ò³ donde (: = ∆ãâ /Δ con el +ò³ constante (; = ∆ãâ /Δ+ò³ considerando el ángulo del rotor  constante La componente del torque dado por (: Δ está en fase con Δ que representa una componente del torque sincronizante. La componente de torque resultante de las variaciones de flujo concatenado de campo está dado por (; Δ+ò³ . La variación de +ò³ se determina por la ecuación dinámica del circuito de campo: Δ+ò³ = donde (­ ÖΔÁò³ − (« ΔÂ× -ã­ 1+ -1 (2.71) 50 m­; k­­ k­; (« = − m­; 1 ör³÷ ã­ = − = (­ ã′³4 k­­ öò³ (­ = − (2.72) 2.1.3.3 Expresiones de las Constantes K en la Forma Expandida Se debe expresar las constantes K en términos de los elementos de la matriz A de la ecuación 2.47. La constante (: se ha expresado como: K : = ú: óΨr³4 + örÓù ?³4 õ − û: óΨrÓ4 + ö§ r³ù ?Ó4 õ Considerando la ecuación 2.25, el primer término en paréntesis de la expresión de (: puede ser escrita como: Ψr³4 + örÓù ?³4 = µÓ4 + ôr ?Ó4 + ÇÓù ?³4 = 3Ó4 (2.73) Donde 3Ó4 representa el valor de pre-disturbio del voltaje. El segundo término en paréntesis en la expresión de (: puede ser escrita como: ΨrÓ4 + ö′r³ù ?Ó4 = −örÓù ?Ó4 + ö′r³ù ?Ó4 = −óÇÓ − Ç′³ õ?Ó4 (2.74) Sustituyendo ú: y û: de la ecuación 2.39, en términos dados por la ecuación 2.51 y 2.52 en la expresión de (: se tiene: (: 3Ä 3Ó4 (ôÈ sin(Â4) + Çȳ cos(Â4 )) ) 3Ä ?Ó4 óÇÓ − Ç′³ õóÇÈÓ sin(Â4 ) − ôÈ cos(Â4)õ ) = + (2.75) De igual forma, la ecuación de la constante (; es: (; = ÇÈÓ óÇÓ − Ç′³ õ ör³ù ôÈ Î 3Ó4 + é + 1ê ?Ó4 Ñ ör³ù + öò³ ) ) De las ecuaciones 2.21, 2,39 y 2,48 se tiene la siguiente expresión para k­­ : (2.76) 51 k­­ = −s4 = = ôò³ ÇÈÓ ör³ù öò³ ör³ù ör³ù Î1 − + Ñ öò³ ör³ù + öò³ ) óör³ù + öò³ õ óör³ù + öò³ õ ôò³ ÇÈÓ ör³ù ; −s4 Î1 − Ñ öò³ ) óör³ù + öò³ õ ôò³ ÇÈÓ (dz − Ç′³ )Õ −s4 Ô1 − öò³ ) (2.77) Sustituyendo en las expresiones de (­ y ã­ se tiene: (­ = ã­ ör³ù ör³ù + öò³ = ör³ù s4 ôò³ = 1 ÇÈÓ (dz − Ç′³ ) 1+ ) 1 ÇÈÓ (dz − Ç′³ ) 1+ ) ã′³4ù ÇÈÓ (dz − Ç′³ ) 1+ ) (2.78) (2.79) Donde ã′³4ù es el valor de saturación de ã′³4 . Similarmente, de las ecuaciones 2.21, 2,39 y 2,48 se tiene la siguiente expresión para k­; : k­; = −s4 ör³ù öò³ ôò³ ÁÄ óÇÈÓ sin(Â4 ) − ôÈ cos(Â4)õ öò³ ) ör³ù + öò³ Sustituyendo la expresión anterior en («, de la ecuación 2.50 se obtiene: (« = ör³÷ ör³ù ÁÄ óÇ sin(Â4) − ô È cos(Â4)õ ör³ù + öò³ ) ÈÓ (2.80) Al no considerar el efecto de la saturación se tiene: (« = ÁÄ (Ç − Ç′³ )óÇÈÓ sin(Â4 ) − ôÈ cos(Â4 )õ ) ³ (2.81) 2.1.3.4 Efectos de la Variación del Flujo Concatenado en la Estabilidad del Sistema Sin sistema de excitación la variación en el flujo es producida por la realimentación de Δ a través de K4, que representa el efecto desmagnetizante de la reacción de armadura. 52 La variación del torque eléctrico en vacío debido a las variaciones del flujo concatenado causado por cambios en el ángulo del rotor está dado por: Δãâ (;(­ (« (; (­ (« |³â´9³Å r ∆ýþ = − =− Δ 1 + ^ã­ 1 + lsã­ (2.82) Las constantes (; , (­ y (« usualmente son positivas. La contribución de ∆+ò³ dependen de los componentes de torque sincronizante y amortiguamiento sobre la frecuencia de oscilación. a) En estado estable o con frecuencias oscilatorias muy bajas se tiene que ^ tiende a cero, por lo que: Δãâ |³â´9³Å r ∆ýþ = −(; (­ (« Δ (2.83) La variación de flujo concatenado debido a la realimentación de Δ introduce un componente negativo de torque sincronizante. El sistema puede llegar a ser monótonamente inestable cuando la variación el torque Δãâ excede a (: Δ ya que el torque eléctrico para w=0 es negativo. El límite de estabilidad de estado estable se alcanza cuando [1]: (: = (; (­ (« (2.84) b) Para frecuencias de oscilación mucho más altas que 1⁄ã­, la variación del torque eléctrico se reduce a: Δãâ |³â´9³Å r ∆ýþ = − = (;(­ (« Δ ^ã­ (; (­ (« jΔ sã­ (2.85) En la ecuación 2.85 Δãâ adelanta 90º a Δ y se encuentra en fase con Δs> , y representa de esta forma a la componente de torque de amortiguamiento. 53 c) Para frecuencias de oscilación típicas de la máquina alrededor de 1 Hz, la variación del torque eléctrico se puede escribir de la siguiente forma: Δãâ |³â´9³Å r ∆ýþ = = = = (; (­(« (; (­ (« (1 − ^ã­ )Δ Δ = − 1 + ^ã­ 1 − ^ ; ã­ ; (;(­(« (; (­ («ã­ − sΔ ; Δ + ; 1 − ^ ã­ 1 − ^; ã­ ; (ù ó∆+ò³ õΔ + (æ ó∆+ò³ õΔω s4 − (2.86) Δãè + Δãæ En la ecuación 2.86 se puede observar que la variación de flujo concatenado de campo Δ+ò³ aporta con una componente de torque sincronizante negativa y una componente de torque de amortiguamiento positiva. Por tal razón, el efecto neto del torque eléctrico es una componente de torque sincronizante reducida y una componente de torque de amortiguamiento incrementada. Figura 2.8 Variación de torque eléctrico resultante debido a (; Δ+ò³ 2.1.3.5 Análisis Dinámico del Sistema Generador Barra Infinita considerando el efecto del Circuito de Campo Con el fin de continuar con el análisis dinámico del sistema se procede a determinar ciertas constantes cuyo valores en por unidad se muestran en la Tabla 2.4. Además, se muestra los valores de las constantes ör³ù , ör³÷ , öò³ , öø y ö′r³ù los cuales fueron tomados de la referencia [1] y cambiadas a las respectivas bases del sistema. 54 Tabla 2.4 Parámetros del sistema generador Paute C y Barra Infinita Parámetros y constantes 3³Å Valor Parámetros y constantes Ç′³ 0,4269 3ÓÅ ?³Å 0,1224 öø 0,6334 dz 1,1632 öò³ 0,6935 ÇÓ 1,32 ör³ù 0,6984 ?ÓÅ 0,2805 ör³÷ 0,9458 0,128 ö′r³ù 1,0225 Valor 0,1104 Con las ecuaciones desarrolladas en el ítem 2.1.3 y con los valores de las constantes de la Tabla 2.4, se calcula el valor de las constantes K como se muestra en la Tabla 2.5. Tabla 2.5 Parámetros del sistema generador Paute C y Barra Infinita Parámetros y constantes (: Valor 1,0927 (; 0,7717 (­ 0,3284 (« 1,2908 A continuación se muestra la matriz – vector con sus respectivas variables de estado del sistema generador barra infinita, considerando el flujo concatenado. ∆s −0,1595(æ −0,1743 −0,1231 0,1595 0 ∆ãK ̇ F ∆ G = F G F ∆ G + F 0 377 0 0 0 Gë ì ∆Á ò³ ∆+̇ò³ 0 −0,1350 −0,3673 ∆+ò³ 0 0,2046 ∆ṡ (2.87) De la matriz de estado de la ecuación anterior se obtiene la ecuación característica, quedando: det(A − λI) = ! −0,1595(æ 377 0 −0,1743 −0,1350 0 −0,1231 !=0 −0,3673 0 0­ + (0,1595(æ + 0,3673)0; + (0,0585(æ + 65,8331)0 + 17,8763 = 0 (2.88) 55 Como es evidente la anterior ecuación característica está en función de (æ , por tal razón es necesario encontrar los valores de (æ para los cuales el sistema es estable mediante el criterio de Routh Hurwitz, obteniendo que el sistema es estable para valores de (æ mayores a -2,3028. De los cálculos obtenidos en la sección anterior (2.1.2) se sabe que la máquina es estable para valores de (æ mayores a cero. Al Intersecar los dos intervalos se obtiene que (æ es estable para valores mayores a cero. Para el caso critico cuando (æ = 0 se tiene los siguientes valores propios. 0: = −0,2716 0; = −0,0478 + l8,112 0­ = −0,0478 − l8,112 Como se puede notar se tiene dos modos oscilatorios (0; y 0­ ) que corresponden a Δ y ∆+ò³ respectivamente, y un modo no oscilatorios dado por 0: que corresponde a Δs. La frecuencia de oscilación del rotor es −0,0478 + l8,112 [çk-/^], con esta frecuencia se procede a calcular la influencia de las variaciones del flujo concatenado en el torque eléctrico. De la ecuación 2.86 se obtiene el componente de torque sincronizante y el componente de torque de amortiguamiento debido a la influencia del campo. K è |∆+,- = − (æ |∆+,- = 0,7718 ∗ 0,3284 ∗ 1,2908 = −0,00191 ¤= ["û/çk-] 1 − (l8,112 ∗ 1,6053); 0,7718 ∗ 0,3284 ∗ 1,2908 ∗ 1,6053 ∗ 377 = 1,1607 ¤= ["û/çk-/^] 1 − (l8,112 ∗ 1,6053); El coeficiente de torque sincronizante y el coeficiente de torque de amortiguamiento resultante están dados por las siguientes ecuaciones: (è = (: + (è |∆+ò³ = 1,0908 ¤= ["û/çk-] (æ = (æ ó∆+ò³ õ = 1,1607 ¤= ["û/çk-/^] Como se puede observar el efecto neto de la variación de flujo concatenado produce un decremento en el torque sincronizante y un incremento en el torque de amortiguamiento. 56 Con los anteriores valores se determina que el coeficiente de amortiguamiento v es 0,00114 y la frecuencia natural del sistema s< es 8,101 [rad/s]. Con los valores calculados se procede a simular el diagrama de bloques de la Figura 2.9 en Simulink. Para la simulación se considera que la variación del campo y del torque mecánico permanece constante. Se incrementa el torque sincronizante mediante la señal paso, aumentando la variación del ángulo del rotor (∆Â) desde cero a 5 grados (0,08726 rad). Figura 2.9 Sistema Generador Barra Infinita considerando el flujo concatenado del campo en Matlab Simulink Figura 2.10 Respuesta de la posición angular del rotor variando (æ considerando los efectos del campo 57 Figura 2.11 Respuesta de la velocidad angular del rotor variando (æ considerando los efectos del campo 2.2 REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA ESTÁTICO DE EXCITACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO [1] El sistema de excitación que se incorpora al generador de la fase C de Paute es el modelo ST1A por presentar un respuesta amortiguada en el dominio del tiempo. Esta sección desarrolla la inclusión del modelo al espacio de estado con su respectivo diagrama de bloques. 2.2.1 CÁLCULO DE CONSTANTES DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN La señal de entrada a la excitatriz es ΔVj , la cual no constituye una variable de estado y tampoco una variable de entrada al sistema generador – barra infinita, pero debe ser expresada en función de las variables Δs, Δ y Δ+ò³ . El voltaje complejo en terminales del generador puede ser expresado como: ÌÌÌ⃗ 3j = µ³ + lµÓ Cuyo módulo es: (2.89) 58 3j ; = µ³ ; + µÓ ; Al aplicar una pequeña perturbación, se tiene: (2.90) (3j4 + ΔVj ); = (µ³4 + Δµ ³ ); + óµÓ4 + ΔµÓ õ ; (2.91) Para omitir términos de segundo orden incluyendo valores de perturbación, la ecuación anterior se reduce a: 3j4 ΔVj = µ³4Δµ³ + µÓ4 ΔµÓ (2.92) Por lo tanto, la variación del voltaje terminal es: ΔVj = µÓ4 µ ³4 Δµ³ + Δµ 3j4 3j4 Ó (2.93) Al linealizar las Ecuaciones 2.46 y 2.47 se tiene: Δµ³ = −ôr Δ?³ + öø Δ?Ó − Δ+rÓ ΔµÓ = −ôr Δ?Ó + öø Δ?³ − Δ+r³ (2.94) (2.95) La ecuación 2.93 debe ser expresada en función de la variación del ángulo del rotor y de la variación del flujo concatenado, así: ΔVj = (® ∆ + (¬ ∆+ò³ (2.96) Para obtener los valores de las constantes (® y (¬ se reemplaza las ecuaciones 2.59, 2.60, 2.62 y 2.63 en la ecuación 2.96, donde: (® = (¬ = µ³4 Ö−ôr û: + öø ú: + örÓù ú: × 3j4 µ Ó4 [−ôr ú: − öø û: − ö′r³ù û: ] + 3j4 µ ³4 Ö−ôr û; + öø ú; + örÓù ú; × 3j4 µ Ó4 1 + Î−ôr ú; + öø û; + ö′r³ù é − û; êÑ 3j4 öò³ (2.97) (2.98) 59 2.2.2 REPRESENTACIÓN DEL GENERADOR SINCRÓNICO INCLUYENDO EL SISTEMA DE EXCITACIÓN ST1A Con el propósito de analizar la influencia en la estabilidad de pequeña señal, se considera el modelo del sistema de excitación mostrado en la Figura 2.12, el cual corresponde al modelo con tiristror y AVR, clasificado como ST1A en el Anexo 2. El modelo de la Figura 2.12 ha sido simplificado para representar una excitación específica con una alta ganancia de excitatriz, sin reducción de ganancia transitoria y realimentación derivativa. ã# Constante de tiempo del transductor de voltaje terminal ($ 3%$& 3%'( Ganancia de la excitatriz Límite de voltaje máxima a la salida de la excitatriz Límite de voltaje mínimo a la salida de la excitatriz Figura 2.12 Sistema de Excitación Tiristor con AVR La única no linealidad asociada al modelo es debido a los límites de voltaje a la salida de la excitatriz, los cuales para estudios de pequeña señal son ignorados. Los circuitos limitadores y de protección (UEL, OXL, V/Hz) no son modelados, así que, estos no afectan en la estabilidad de pequeña señal. Al aplicar una pequeña perturbación al bloque del transductor de voltaje terminal de la Figura 2.12, se tiene: donde Δ3: = ∆3:̇ = 1 ∆3 1 + ^ã# j ∆3j ∆3: − ã# ã# (2.99) (2.100) 60 Al reemplazar Δ3j de la ecuación 2.96 en la ecuación 2.99, se tiene: ∆3:̇ = (® (¬ 1 Δ − Δ+ò³ − Δ3: ã# ã# ã# (2.101) Este proceso se desarrolla en la sección 12.4 de la referencia [1], quedando: Δ3:̇ = (® (¬ (® Δ + Δ+ò³ − Δ3) ã# ã# ã# (2.102) Del diagrama de bloques de la Excitatriz en la Figura 2.12, se tiene: 3ò³ = ($ ó3>âò − 3: õ (2.103) En términos de valores de perturbación, la variación del voltaje de campo es: Δ3ò³ = ($ (−Δ3: ) (2.104) La ecuación dinámica del circuito de campo resulta considerando el efecto del sistema de excitación resulta en: donde ̇ = k­: Δs> + k­; Δ + k­­ Δ+ò³ + k­« Δ3: Δ+ò³ (2.105) k­« = −m­; ($ = − (2.106) s4 ôò³ ( ör³÷ $ Las expresiones k­: , k­: y k­: permanecen igual y están dadas por la ecuación 2.69. El modelo de la excitatriz es de primer orden, por tal razón, el orden del sistema global se incrementa en 1. De la ecuación 2.102 se tiene: Δ3:̇ = k«: Δs> + k«; Δ + k«­ Δ+ò³ + k«« Δ3: donde (2.107) 61 k«: k«; k«­ k«« 0 (® = ã# (¬ = ã# 1 = ã# = (2.108) Además, Δs>̇ y ΔÂ̇ no están afectados directamente por la excitatriz, por lo tanto k:« = k;« = 0. La representación del sistema en el espacio de estado incluyendo el sistema de excitación se indica a continuación: k:: ∆ṡ > ⎡ ⎤ ⎡ ⎢ ∆Â̇ ⎥ ⎢k;: ⎢ ⎥=⎢ ⎢∆+̇ò³ ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ Δ3:̇ ⎦ ⎣ 0 k:; 0 k:­ k«; k«­ k­; 0 k­­ ⎤ 0 ⎥ ⎥ k­« ⎥ ⎥ k«« ⎦ 0 ∆s> ⎡ ⎤ ⎢ ∆ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎢∆+ò³ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Δ3: ⎦ m:: ⎡ ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ [∆ãK ] ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ (2.109) Se considera que la entrada de torque mecánico es constante: ∆ãK = 0. 2.2.3 REPRESENTACIÓN EN DIAGRAMA DE BLOQUES CONSIDERANDO LA EXCITATRIZ Y EL AVR La Figura 2.13 muestra el diagrama de bloques del generador-barra infinita considerando los efectos de la Excitatriz y el AVR. Figura 2.13 Diagrama de bloques considerando la Excitatriz y el AVR 62 2.2.4 EFECTOS DEL AVR EN LOS COMPONENTES DE TORQUE SINCRONIZANTE Y AMORTIGUAMIENTO Con la acción del regulador automático de voltaje, las variaciones del flujo concatenado son causadas por las variaciones del voltaje de campo además de la reacción de armadura. Del diagrama de bloques de la Figura 2.13 se tiene que: Δ+ò³ = (­ °âº (^) Î−(« Δ − ó( Δ + (¬ Δ+ò³ õÑ 1 + ^ã­ 1 + ^ã# ® (2.110) Agrupando términos y reorganizando la ecuación anterior se tiene: Δ+ò³ = −(­ [(« (1 + ^ã# ) + (® °âº (^)] + ^(ã­ + ã# ) + 1 + (­ (¬°âº (^) ^ ; ã­ ã# (2.111) La variación del torque eléctrico debido al cambio del flujo concatenado es: ΔTâ | *ò³ = (;Δ+ò³ (2.112) 2.2.4.1 Análisis Dinámico del Sistema Generador Barra Infinita considerando el Efecto del Circuito de Campo, la Excitatriz y el Regulador Automático de Voltaje En esta sección, se continúa con el análisis del sistema generador barra infinita, pero ahora se considera los efectos de la excitatriz y del regulador automático de voltaje (AVR). Se empieza en primer lugar calculando los valores de las constantes las constantes (® y (¬ con ayuda de las ecuaciones 2.97 y 2.98. (® = 0,5230 (¬ = 0.2593 Se considera que la constante de tiempo del transductor de voltaje para las unidades de Paute es 0,03 s, por lo tanto se tiene: k­« = −0,2046($ k«: = 0 k«; = −3,433 63 k«­ = −8,643 k«; = −33.33 Con los valores calculados en las secciones anteriores (2.1.2 y 2.1.3) y los valores recién calculados se tiene que la representación matricial del sistema es: ∆ṡ > −0,1596 ∗ (æ −0,1743−0,1231 0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ̇ 377 0 0 0 ⎢ ∆ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∆+̇ ⎥ = ⎢ ⎥ 0 −0,1350−0,3673−0,2046 ∗ ( $⎥ ⎢ ò³ ⎥ ⎢ ⎣ Δ3:̇ ⎦ ⎣ 0 −17,43 8,643 −33,33 ⎦ ∆s> ⎡ ⎤ ⎢ ∆ ⎥ ⎢∆+ ⎥ + ⎢ ò³ ⎥ ⎣ Δ3: ⎦ m:: ⎡ ⎤ ⎢ 0 ⎥ [∆ã ] K ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0⎦ Considerando que (æ es cero, la ecuación característica del sistema anterior es: 0« + 33,6970­ + (77,828 + 1,763 ∗ ($ )0; + 2184,510 + (593,66 + 280,26 ∗ ($ ) = 0 Mediante el criterio de Routh Hurwitz se determina que la ganancia del regulador ($ debe tomar valores ente 0 y 19,26 para que el sistema sea estable. Considerando un valor de ($ = 5, se obtiene que los valores propios del sistema son: 0: = −33,0375 0; = −0,135 + l8,0765 0­ = −0,135 − l8,0765 0« = −0,9297 Para determinar la participación de los valores propios (0: , 0; , 0­ y 0« ) sobre las variables de estado del sistema (ΔÂ, ∆+ò³ , Δs y Δ3: ) se utilizará la matriz de factores de participación ¢, para lo cual se procede a calcular la matriz de vectores propios derechos z{ y la matriz de vectores propios izquierdos { como se indica a continuación. La matriz de vectores propios derechos asociados a cada valor propio es: 0,0001 ⎡ ⎢ −0,0013 z{ = ⎢ ⎢ 0,0313 ⎢ ⎣ 0,9995 −0,0003 − l 0,0191 −0.8902 0,0096 + l0,0418 0,4429 − l0,0961 −0.0003 + l0,0191 −0,8902 0,0096 − l0,0418 0,4429 + l0,0961 −0,0012 ⎤ 0,5060 ⎥ ⎥ −0,7259⎥ ⎥ −0,4659⎦ 64 La matriz de vectores propios izquierdos asociados a cada valor propio es: 0,9799 ⎡ ⎢−0,0859 { = ⎢ ⎢ 0,0494 ⎢ ⎣−0,1730 −0,0007 −0,0004 − l0,0214 0,0014 − l0,0152 0,0001 + l0,0004 0,9997 −0,0004 + l0,0214 0,0014 + l0,0152 0,0001 − l0,0004 La matriz de participación es: 0,0001∠0° 0,0191∠ − 90,95° ⎡ ⎢ 0,0001∠0° 0,0191∠ 90,950° { = ⎢ ⎢ 0,0015∠0° 0,0007∠ − 18,250° ⎢ ⎣N, }-~.∠}+N° 0,0002∠85,960° 01 02 −0,9202 ⎤ 0,0023⎥ ⎥ −0,3913⎥ ⎥ −0,0124⎦ −0,0011∠0° ⎤ ⎥ ⎥ 0,0007∠18,25° −N, ~+,N∠N° ⎥ ⎥ 0,0002∠ − 85,96° −0,0058∠180° ⎦ 0,0191∠90,95° 0,0191∠ − 90,95° 03 0,0011∠0° 04 Δs> ∆ ∆+ò³ ∆3: Como se puede notar los modos oscilatorios 0; y 0­ corresponden a Δs y ∆Â, y los modos no oscilatorios dados por 0: y 0« corresponden a Δ3: y ∆+ò³ respectivamente. La frecuencia de oscilación del rotor es 8,0545 [çk-/^], con esta frecuencia se procede a calcular la influencia de las variaciones del flujo concatenado en el torque eléctrico. Reemplazando los valores en las ecuaciones 2.111 y 2.112 se tienen que la variación del torque eléctrico es: ΔTâ |∆+ò³ = 0,0036Δ + (l0,0750)Δ El coeficiente de torque sincronizante y el coeficiente de torque de amortiguamiento resultante son: (è = (: + (è |∆+ò³ = 2,1890 ¤= ["û/çk-] (æ = (æ ó∆+ò³ õ = 3,5258 ¤= ["û/çk-/^] Con los anteriores valores se determina que el factor de amortiguamiento es v = 0,0245 y la frecuencia natural del sistema es s< = 11,4761 [çk-/^]. Al comparar el factor de amortiguamiento (v) del sistema sin AVR con el sistema que tiene AVR podemos observar que al incluir el regulador de voltaje este factor aumenta debido a que el torque de amortiguamiento aumenta, esto se debe a valor positivo que se obtuvo de (®. 65 La simulación en el dominio del tiempo se hace con el diagrama de bloques mostrada en la Figura 2.14. Al igual que las anteriores simulaciones, se considera que la variación del torque mecánico permanece constante debido a que no se considera un sistema de regulación de velocidad (∆ãK = 0). Se incrementa el torque sincronizante mediante una señal paso, aumentando la variación del ángulo del rotor (∆Â) desde cero a 5 grados (0.08726 rad). Figura 2.14 Diagrama de bloques del sistema generador barra infinita considerando los efectos del campo y del regulador automático de voltaje 2.2.4.1.1 Respuesta a una señal paso En la Figura 2.15 y Figura 2.16 se muestra la variación de la posición del ángulo del rotor y la variación de la velocidad del rotor respectivamente, para un cambio en el torque sincronizante. Como se puede notar para un (æ = 0, el sistema es estable si y solo si ($ toma valores desde 0 hasta 19,26. Si ($ = 0 el sistema oscila a una determinada amplitud y con ($ = 5 el sistema presenta oscilaciones que disminuyen al pasar el tiempo, siendo el sistema con estos valores estable, sin embargo, las pequeñas oscilaciones que se observan se debe a la falta de la componente de amortiguamiento, lo cual se soluciona con un estabilizador de sistemas de potencia o PSS. Para ($ = −2 el sistema presenta una oscilación de amplitud creciente, por lo tanto para este valor, el sistema es totalmente inestable. 66 Figura 2.15 Respuesta de la posición angular del rotor con (æ = 0 y variando la ganancia del regulador ($ Figura 2.16 Respuesta de la velocidad angular del rotor con (æ = 0 y variando la ganancia del regulador ($ 2.2.4.1.2 Diagrama de Nyquist El criterio de estabilidad de Nyquist permite determinar gráficamente la estabilidad absoluta del sistema en lazo cerrado a partir de las curvas en frecuencia en lazo 67 abierto, sin que sea necesario determinar los polos en lazo cerrado. Un sistema en lazo cerrado es estable si la trayectoria de Nyquist no encierra al punto crítico (−1 + l0). Mientras más alejado se encuentre la trayectoria al punto crítico el sistema es más estable. En la Figura 2.17 se muestra la trayectoria de Nyquist para el sistema generador barra infinita considerando los efectos del campo y el regulador automático de voltaje. Esta respuesta considera un amortiguamiento (æ = 0 y una ganancia del regulador ($ = 25. Como se puede notar en la Figura 2.17 la trayectoria de Nyquist encierra al punto crítico (−1 + l0), por tanto el sistema con ese valor de ganancia es inestable. Figura 2.17 Diagrama de Nyquist del sistema generador barra infinita considerando el campo y el AVR En la Figura 2.18 se muestra la trayectoria de Nyquist del sistema pero ahora se considera un amortiguamiento (æ = 0 y una ganancia del regulador ($ = 5. 68 Figura 2.18 Diagrama de Nyquist del sistema generador barra infinita considerando el campo y el AVR Como se puede notar en la Figura 2.19 la trayectoria de Nyquist no encierra al punto crítico (−1 + l0), por tanto el sistema es estable con ese valor de ganancia. Sin embargo, la trayectoria no se encuentra alejada lo suficiente del punto crítico (−1 + l0), por lo que el sistema es estable pero oscilatorio. Figura 2.19 Zona Ampliada del diagrama de Nyquist del sistema generador barra infinita considerando el campo y el AVR 69 2.2.4.1.3 Diagrama de Bode El diagrama o traza de bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema, es decir, determinar la salida en régimen permanente, cuando la entrada es una sinusoidal con frecuencias que varían desde 0 hasta el infinito. Un diagrama de Bode se representa por el módulo y la fase de la función de transferencia. Con la ayuda del diagrama de Bode no solo se puede determinar la estabilidad absoluta de un sistema, sino que también, su estabilidad relativa mediante el valor del pico de resonancia, el cual determina si el sistema es o no oscilatorio. En la Figura 2.20 se muestra el diagrama de Bode del sistema generador barra infinita considerando los efectos del campo y del AVR. Para las dos gráficas, la simulación se realiza con una componente de amortiguamiento de cero y lo que varía es la ganancia del regulador, la una de -5 y la otra de 5. Figura 2.20 Diagrama de Bode del sistema generador barra infinita considerando el campo y el AVR De la figura anterior se obtienen el margen de fase, margen de ganancia, ancho de banda y el valor del pico de resonancia. En la Tabla 2.6 se muestran los 70 índices mencionados para los dos tipos de ganancia, así como también, un rango de valores típico de acuerdo a la IEEE 421.2 – 1990. Tabla 2.6 Valor de los índices del diagrama de Bode del sistema de análisis Índices Margen de ganancia, ¹0 Margen de fase, ¹ò Pico de resonancia, ¹2 Ancho de banda, ï = −/ 25,3 dB ï = / - 0,871° 4,97° ≥ 6 dB 32,6 dB 25,3 dB 1 a 2 dB 1,95 Hz 1,97 Hz 0,3 Hz a 12 Hz Rango de valores típicos IEEE 421.2 – 1990 25,3 dB ≥ 40o Como se puede notar en la Tabla 2.6 y Figura 2.20 cuando la ganancia del regulador es -5, se tienen un margen de fase negativo y un pico de resonancia muy elevado, por lo cual, se puede decir que el sistema es inestable. Para la ganancia del regulador de 5, se tienen un margen de fase positivo, pero no está dentro de los rangos de valores típicos, lo mismo ocurre con el pico de resonancia. Por lo anteriormente mencionado, se concluye que el sistema es estable pero oscilatorio, conclusión que se obtuvo con el análisis del diagrama de Nyquist. 2.2.4.1.4 Controlabilidad y Observabilidad De acuerdo a las definiciones descritas en el capítulo 1, la matrices de controlabilidad (¦′ = Φ : Β) y observabilidad (Q § = CΦ) permiten determinar el efecto del modo ?-ésimo en cada matriz, es decir, si el sistema puede ser controlado por medio de sus entradas y si el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas. Se determina a continuación las matrices de observabilidad y controlabilidad del sistema generador barra infinita considerando los efectos de la variación de flujo concatenado y del regulador de voltaje para ($ = 5. La matriz de controlabilidad es: 71 0,9135∠180,0° ⎡ ⎤ ⎢ 4,1676∠92,03° ⎥ ¦′ = ⎢ ⎥ ⎢4,1676∠ − 92.03°⎥ ⎣ 0,5232∠180,0° ⎦ La matriz de observabilidad es: Q § = [11,79∠0° 16,17∠77,10° 16,17∠ − 77,10° 273,66∠180°] Como se puede notar ninguno de los valores de la matriz ¦′ y Q′ es cero, por tanto todos los modos del sistema son controlables y observables, recordando que (æ debe ser mayor a cero y ($ debe tomar valores ente 0 y 19,26 de acuerdo al criterio de Routh-Hurwitz. Conforme a la teoría de control, se dice que un sistema es controlable en t=t0 si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado inicial x(t0) a cualquier estado final x(t1) en un intervalo de tiempo finito t0≤t≤t1. Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es controlable. El sistema obtenido mediante la ecuación 1.5 y 1.6 es de estado completamente controlable si y sólo si los vectores B, AB, … , independiente o la matriz [B AB … A<: B son linealmente A<: B] de orden nxn es de rango n. El sistema generador barra infinita es de cuarto orden por tanto la matriz de controlabilidad se calcula así: MC = [B AB A; B A­ B]. Al efectuar las operaciones la matriz de controlabilidad queda como sigue: 0 0 ¹4 = 1 ∗ 10¬ F 0 0 0,003 0,0030 0,0315 0,006 0,00960 1,1365 G 0 −0,0008 0,0946 0 −0,1048 1,8135 El rango de la matriz de controlabilidad es 4 que corresponde al número de variables de estado, por tanto, el sistema es completamente controlable. 72 El concepto de observabilidad es muy importante porque en la práctica, la dificultad que se encuentra con el control mediante realimentación del estado es que algunas variables de estado no son accesibles para una medición directa, por lo que se hace necesario estimar las variables de estado no medibles para construir las señales de control. Se dice que el sistema descrito por las ecuaciones 1.5 y 1.6 es completamente observable si el estado x(t0) se determina a partir de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito t0≤t≤t1. Se dice que el sistema es completamente observable si y sólo si los vectores (C, CA,…, CAn-1) son linealmente independientes o la matriz nxn [C CA … 4A<: ] es de rango n. El sistema generador barra infinita es de cuarto orden por tanto la matriz de observabilidad se calcula así: MC = [B AB A; B A­ B]. Al efectuar las operaciones la matriz de observabilidad queda como sigue: 0 0 0,0004 0 0 −0,0001 −0,0001 −0,0004 G ¹5 = 1 ∗ 10¬ F −0,0192 0,0067 −0,0033 0,0130 2,2351 −0,2227 0,1159 −0,4298 El rango de la matriz de observabilidad es 4 que corresponde al número de variables de estado, por tanto, el sistema es completamente observable. Los anteriores análisis del sistema generador barra infinita con los efectos del campo y del AVR, se realizó con la ayuda del software Simulink – Matlab. Se analizó la estabilidad del sistema con métodos en el dominio del tiempo y la frecuencia. A continuación, se presenta la modelación de este sistema en el paquete computacional DIgSILENT Power Factory, con el fin de analizar la estabilidad de pequeña del mencionado sistema. 73 2.3 MODELACIÓN DE LA PLANTA GENERADOR - SISTEMA DE EXCITACIÓN CON EL PROGRAMA COMPUTACIONAL DIGSILENT POWER FACTORY V13.2 La modelación de sistemas para fines de análisis de estabilidad es uno de los temas más críticos en el campo de sistemas eléctricos de potencia. Dependiendo de la exactitud del modelo implementado y de parámetros disponibles, se podrán obtener resultados más cercanos a la realidad. Las unidades de generación de la Central Hidroeléctrica Paute Molino están divididas en dos grupos generadores. El primer grupo denominado la Fase AB está formado por las unidades 1 a 5 de 100 MW de capacidad cada una, las cuales se conectan al anillo del Sistema Nacional Interconectado (SNI) de 138 kV a través de trasformadores elevadores de 114 MVA, 13,8/138 kV. El segundo grupo denominado Fase C está formado por las unidades 6 a 10 de 115 MW de capacidad cada una, las cuales se conectan al anillo del SNI de 230 kV a través de trasformadores elevadores de 134 MVA, 13,8/230 kV. A continuación se realiza la modelación de una unidad de generación, de la Fase C de la Central Hidroeléctrica Paute Molino con su respectivo sistema de excitación. 2.3.1 SISTEMA DE PRUEBA El sistema de prueba mostrada en la Figura 2.21 se compone de un generador de la fase C de Paute, conectado a la barra de carga a través de un transformador que eleva el voltaje desde 13,8 kV a 230 kV. Sobre este sistema se realiza pruebas internas realizando cambios en el set point de voltaje del sistema de excitación y pruebas externas realizando cambios en las Cargas 1 y 2. 74 Figura 2.21 Planta de Prueba 2.3.2 MODELO COMPUESTO Y MODELO GENERAL 2.3.2.1 Modelo Compuesto Para modelar dinámicamente un generador con sus sistemas de control, ya sea el regulador voltaje, regulador de velocidad o estabilizador del sistema de potencia, es necesario crear un modelo compuesto que permita acoplar el modelo de la maquina sincrónica con los modelos de los sistemas de control. En el paquete DIgSILENT Power Factory V13.2 el modelo compuesto es un archivo .ElmComp, el cual administra los modelos y elementos asociados a la máquina sincrónica. Este paquete ofrece algunos modelos compuestos y el que se acopla a la Planta de Prueba (generador hidroeléctrico) es el modelo IEEEframe1-Sym mostrado en la Figura 2.22. Los elementos del mencionado modelo compuesto son: • Máquina sincrónica (sym) • Regulador de voltaje (VCO) • Regulador de velocidad (PCO) • Estabilizador del sistema de potencia (PSS) 75 w(1) pg ui ur i_i fe i_r ie u u(1) Regulador de Voltaje 0 1 curgn Estabilizador del Sistema 2 0 3 4 5 1 a 2 b 3 c 6 0 1 psie 2 pg 1 3 4 5 a upss pss slot ElmPss* 2 b 3 c 6 b 7 c 8 qg ve vco slot ElmVco* 0 7 8 Máquina Sincrónica 9 10 a 11 b 12 c 13 0 1 2 0 i1:bus1 3 xmdm 4 1 5 7 a 9 b c 5 d 6 c e 7 f 8 2 1 pturb psco 3 2 a pturb 4 3 b 5 4 sym Slot 12 ElmSym* 13 c 7 5 d d 8 6 e e 9 7 f 8 g 9 h f 10 11 h 12 14 15 pcu Slot ElmPcu* g Qsum:bus1 10 4 11 1 6 psie 8 3 0 0 fe 6 2 de pt Regulador Velocidad g 9 h 10 16 17 b 18 c 19 d 20 e 22 g 23 h xmt cosn sgnn w pgt pgt(1.. xme Figura 2.22 Marco Compuesto IEEE-frame1-Sym 2.3.2.2 Modelo General El Modelo General es un archivo .ElmDsl el cual contiene el diagrama de bloques de un determinado modelo, tal como: modelo del regulador de voltaje (VCO), modelo del regulador de velocidad (PCU) y modelo del estabilizador del sistema de potencia (PSS). 76 2.3.3 GENERADOR DE LA FASE C DE PAUTE Los generadores de la Fase C de la Central Hidroeléctrica Paute Molino son del fabricante italiano Ansaldo Marelli. Las principales características técnicas que permiten la modelación se indican en la Tabla 2.7. Tabla 2.7 Características técnicas de un generador de la Fase C de Paute [10] CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS Parámetro Descripción Valor Unidad S Potencia Aparente Nominal 127,7 [MVA] V Voltaje nominal 13,8 [kV] f Frecuencia nominal 60 [Hz] cos(∅) Factor de potencia Ia Corriente de arm adura nominal 0,92 -- 5342,58 [A] [A] If Corriente de campo a plena carga 1120 If0 Corriente de campo en vacío 574 [A] Vf Voltaje de campo a plena carga 264 [Vdc] 0,24139 [Ω] Rf 140ºC o Resistencia de campo a 140 C o o 25ºC Resistencia de campo a 25 C 0,16726 [Ω] Rl 75ºC Resistencia de estator a 75 C 0,00265 [p.u.] Inductancia de campo 0,0197 [mH] Rf Lf Xd Reactancia sincrónica eje directo no saturada 1,0225 [p.u.] Xd’ Reactancia transitoria de eje directo no saturada 0,2805 [p.u.] Xd’’ Reactancia subtransitoria de eje directo 0,195 [p.u.] Xq Reactancia sincrónica de eje en cuadratura 0,6334 [p.u.] Xq’’ Reactancia eje cuadratura subtransitoria 0,2404 [p.u.] X2 Reactancia secuencia negativa 0,22 [p.u.] R2 Resistencia secuencia negativa 0,008 [p.u.] Tdo’ Constante de tiempo transitoria en el eje directo 1,907 [s] Tdo’’ Constante de tiempo subtransitoria en vacío de eje directo 0,031 [s] Tqo’’ Constante de tiempo transitoria en vacío de eje en cuadratura 0,053 [s] SCR Relación de corto circuito 1,06 Constante de inercia (turbina-generador) 3,133 [MJ/MVA] 360 [RPM] H Wn Velocidad nominal S(1,0) Factor de saturación a V=1,0 p.u. 0,104 [p.u.] S(1,2) Factor de saturación a V=1,2 p.u. 0,35 [p.u.] CARACTERÍSTICAS ADICIONALES Fabricante Ansaldo/Marelli, Número de fases 3 Clase de Aislamiento F Número de Polos 20 Conexión del Estator Estrella Temperatura de Funcionamiento 60 ºC Tipo de Rotor: Polos Salientes 77 El valor de los parámetros de la Tabla 2.7 satisfacen las siguientes relaciones, expresadas en por unidad de los valores nominales del generador tomados como valores base [1]. dz ≥ ÇÓ ≥ Ç′Ó ≥ Ç′³ ≥ Ç′′Ó ≥ Ç′′³ ã′³4 ≥ ã § ³ ≥ ã §§ ³4 ≥ ã §§ ³ ≥ ã³ ã′Ó4 ≥ ã § Ó ≥ ã §§Ó4 ≥ ã §§ Ó (2.113) (2.114) (2.115) El modelo general (.Elmdsl) para representar a un generador sincrónico de polos salientes que dispone el paquete DigSILENT Power Factory V13.2, tiene las variables de entrada y salida que se muestran en la Figura 2.23. Nombre ve pt xmdm Variables de Entrada Descripción Voltaje de excitación Potencia de la turbina Torque de entrada Variables de Salida Nombre Descripción psie Flujo de excitación psiD Flujo del devanado de amortiguamiento, eje directo psix Flujo en el devanado cuadratura psieQ Flujo del devanado de amortiguamiento, eje cuadratura xspeed Velocidad phi Ángulo del rotor fref Frecuencia de referencia ut Voltaje terminal pgt Potencia eléctrica outofstepSalida de la señal paso (=1 si el generador sale de paso) xm e Torque eléctrico xmt Torque mecánico cur1 Corriente de secuencia positiva cur1r Corriente de secuencia positiva (parte real) cur1i Corriente de secuencia positiva (parte imaginaria) P1 Potencia activa de secuencia positiva Q1 Potencia reactiva de secuencia positiva utr Voltaje terminal, parte real uti Voltaje terminal, parte imaginaria Figura 2.23 Variables de Entrada y Salida del Generador Sincrónico de Polos Salientes 78 2.3.4 TRANSFORMADOR DE ELEVACIÓN DE LA FASE C DE PAUTE Los datos técnicos de los transformadores de elevación que tiene cada unidad de generación de la fase C se detallan en la Tabla 2.8. Tabla 2.8 Parámetros del transformador de la Fase C [10] Parámetro S f Descripción Valor Capacidad nominal Unidad 134 [MVA] Frecuencia nominal 60 [Hz] Vp Voltaje nominal, lado de alto voltaje 230 [kV] Vs Voltaje nominal, lado de bajo voltaje 138 [kV] Z Impedancia 13.01274 [%] - Conexión en el lado de alto voltaje YN - - Conexión en el bajo de bajo voltaje D - Ángulo de desfase 30 [grados] 348.0624 [kW] PCU Pérdidas en el cobre Voltaje adicional por tap, lado de alto voltaje [%] 2.67 - Posición nominal del tap 2 - Posición mínima del tap 1 - Posición máxima del tap 5 - 2.3.5 MODELO DEL SISTEMA ESTÁTICO DE EXCITACIÓN DE LA FASE C DE PAUTE Los generadores de la fase C de Paute tienen actualmente instalado los sistemas de excitación del fabricante Ansaldo de origen italiano, denominado MGT – 1M. Los datos básicos de este sistema de excitación se detallan en la Tabla 2.9. Tabla 2.9 Datos básicos de la Excitatriz MGT – 1M Parámetro Descripción Valor Unidad Pn Potencia Nominal 393 [kW] Vn Voltaje Nominal 300 [Vdc] In Corriente Nominal 1310 [Adc] Imax Corriente máxima 1550 [Adc] Vcp Voltaje de techo positivo 540 [Vdc] Vcn Voltaje de techo -450 [Vdc] La potencia en el sistema de excitación es suministrada a través de tres transformadores monofásicos desde los terminales del generador, y se regula la salida DC mediante tres rectificadores totalmente controlados por tiristores, como se indica en la Figura 2.24. 79 Figura 2.24 Sistema ST con fuente de potencial y rectificadores controlados [1] El voltaje máximo de excitación disponible depende del voltaje en terminales del generador, por lo tanto, en caso de falla cae el voltaje terminal y disminuye el voltaje techo de excitación. Este sistema tiene constantes de tiempo muy pequeñas, y una gran capacidad para forzar al campo en condiciones de postfalla. Las funciones del equipo MGT – 1M son la de controlar la corriente de campo de la máquina y regular automáticamente el voltaje en terminales. En base a la información del fabricante, en la Figura 2.25 se muestra el diagrama de bloques del regulador automático de voltaje de las unidades de la Fase C de Paute. Figura 2.25 Diagrama de bloques del regulador automático de voltaje 80 Como se observa en la Figura 2.25, el lazo principal de la regulación consta de un regulador electrónico analógico proporcional – integral (PI), que procesa la señal de error obtenida de la diferencia entre una referencia fija y el voltaje terminal, sumado a una serie de señales suplementarias provenientes de los elementos de protección (limitadores) y del estabilizador del sistema de potencia. Las señales suplementarias son: • VUEL: Limitador de subexcitación • VOEL: Limitador de sobreexcitación o de máxima corriente de campo • VCOM: Compensador de potencia reactiva • VSPSS: Estabilizador del sistema de potencia • VREF: Referencia de la voltaje terminal ("set-point") Los modelos del estándar recomendado IEEE Std 421.5 – 1992, no disponen de sistemas de excitación con regulación analógica, sin embargo, se puede utilizar un modelo con otro sistema de regulación y ajustar sus parámetros con el fin de obtener una respuesta de forma aproximada. Con lo expuesto anteriormente, el sistema de excitación MGT – 1M puede ser representado por el modelo ST1A del IEEE mostrado en la Figura 2.26, el cual es un sistema de excitación de fuente de potencial con rectificadores controlados, y que a su vez está disponible en el programa computacional con el nombre vco_ESST1A. 5 4 3 2 1 u vuel u ps s Transductor de Voltaje Terminal x1 1/(1+sT) Tr usetp Selector Vel vos one vosm1 - - - zero o1 Vimin yi Limiter - Vimax vf o11 vuel2 1 HVgat.. 0 yi5 yi1 x2 yi11 yi2 K Klr yi6 Estabilizador del Sistema de Excitación sK/(1+sT) Kf,Tf x5 x3 Lim_zero (1+ sTb)/( 1+ sTa ) Tb1,Tc1 Compensadores de Adelanto y Atraso (1+ sTb)/(1+ sTa) Tb,Tc voel Regulador {K/(1+sT)} Ka,Ta Vamin yi3 o13 upss2 x4 Vamax - yi22 0 LVgat.. 1 0 HVgat.. 1 yi21 yi4 Figura 2.26 Sistema de excitación de fuente de potencial con rectificadores controlados ST1A curex udel 2 1 0 vuel1 upss1 Selector de Señales Alternativas curex0 0 o14 Limites de Volatje de Excitación de Salida Vrmin 2 LIM_VT_IF Kc 1 0 Vrmax uerr s 81 2.3.5.1 Descripción del Modelo ST1A [6] Las constantes propias de la excitatriz son muy pequeñas y la estabilización de la excitatriz puede no ser necesaria. El modelo presentado es suficientemente versátil para representar la reducción transitoria de la ganancia implementada ya sea: en el lazo de ganancia principal a través de las constantes de tiempo ãÄ y ã) (en dado caso (: puede ajustarse en cero), o en el lazo de realimentación por medio de una selección adecuada de los parámetros de retroalimentación, (: y ã: . La ganancia del regulador de voltaje y la constante de tiempo inherente del sistema de excitación están representadas por las constantes ($ y ã$ , respectivamente. Las constantes de tiempo ãÄ: y ã): , permiten la posibilidad de representar un aumento transitorio en la ganancia, para lo cual se ajusta ã): con un valor superior a ãÄ: . El ángulo de disparo del puente de rectificadores se asume un comportamiento lineal mediante la ganancia ($ . Para muchos sistemas esta relación lineal es válida, sin embargo, en algunos sistemas la relación de los rectificadores se representa como una función sinusoidal, cuya amplitud depende de la alimentación de voltaje. Normalmente la ganancia ($ toma valores muy altos, haciendo que la modelación de estos sistemas para estos propósitos sea satisfactoria. Los límites pueden ser representados por una función lineal o sinusoidal. En la mayoría de casos los límites Vimax y Vimin pueden ser obviados. Los límites del voltaje del devanado de campo son funciones del voltaje terminal, por lo tanto, la corriente del devanado de campo debe ser modelada. La representación del límite positivo del voltaje de campo como una función lineal de la corriente de campo de la máquina sincrónica es posible debido a que la operación del puente de rectificadores en este tipo de sistemas está confinada a la región del modo 1 tal como se muestra en la Figura 2.27. 83 Figura 2.27 Características del sistema de regulación El límite negativo tendría una característica dependiente de la corriente, pero el signo del término podría ser positivo o negativo dependiendo del ángulo de disparo o del ángulo de extinción seleccionado para el límite. Como la corriente de campo normalmente es demasiado pequeña bajo esta condición, el término no se incluye en el modelo. Como resultado de una capacidad muy alta de sobre esfuerzo de estos sistemas, algunas veces es necesario el limitador de corriente de campo para proteger el rotor del generador y la excitatriz. El ajuste del inicio del limitador está definido por , y la ganancia está representada por ser ignorados, . Para que estos límites puedan debe ser ajustada en cero. 2.3.5.2 Inicialización de las variables de estado del Modelo ST1A El proceso de inicialización de variables se realiza en base a un proceso regresivo, es decir que la condición inicial para una variable de estado de un bloque es función de la condición inicial de la salida de dicho bloque. El proceso de inicialización arranca considerando la variable de salida del sistema, en este caso la salida del modelo ST1A es el voltaje de excitación ( ). 84 En el modelo ST1A mostrado en la Figura 2.26 la primera variable de estado, a ser inicializada es el valor de x4, que corresponde a la función de transferencia del regulador de voltaje, la cual es dividida en dos bloques, tal como se indica en la Figura 2.28. Figura 2.28 Modelo del Regulador de Voltaje El valor inicial de la variable x4 se calcula siguiendo el siguiente proceso: Del Bloque 1: 1 Ç« = J9 1 + ^ã$ J9 = Ç« + Ç«̇ ã$ Ç«̇ = J9 − Ç« ã$ En condiciones iniciales Ç«̇ = 0, por lo tanto: Ç« = J9 Del Bloque 2: J4 = ($ Ç« J4 Ç« = ($ El valor de J4 es =/çç^, por lo tanto el valor inicial de Ç« es: =/çç^ Ç« = ($ Realizando el proceso anterior sobre las demás variables de estado, se tiene la inicialización de las variables del sistema de excitación ST1A: ?ú(Ç­ ) = =/çç^/($ ?ú(Ç; ) = =/çç^/($ ?ú(Ç: ) = =/çç^ ?ú(=^/1¤) = =/çç^/($ + = 85 2.3.5.3 Valores y Rangos de Parámetros de las Variables Constantes en el Sistema de Excitación ST1A [6] La denominación de las variables de entrada y salida del vco_ESST1A se detallan en la Tabla 2.10. En tanto que, la descripción, valores típicos y rangos de parámetros de las variables del vco_ESST1A se detallan en la Tabla 2.11. Tabla 2.10 Variables de Entrada y Salida en el Sistema ESST1A Variables de Entrada Nombre Descripción usetp Señal paso de voltaje u Voltaje terminal upss Voltaje del PSS vuel Limitador de subexcitación voel Limitador de sobreexcitación o de máxima corriente de campo ILR Referencia del límite de corriente a la salida de la excitatriz Variables de Salida Nombre uerrs Descripción Voltaje de salida del regulador de voltaje vco_ESST1A, entrada al generador (variable ve: voltaje de excitación) Tabla 2.11 Descripción, Valores Típicos y Rangos de Parámetros de las Variables del vco_ESST1A RANGO DE PARÁMETROS RECOMENDADOS POR EL IEEE421.05 DESCRIPCIÓN VALORES TÍPICOS UNIDAD RANGO DE PARÁMETROS Tr Retardo de medición 0,015 s 0 <Tr< 0,5 TB Retardo de tiempo del filtro de entrada 1 s 0 < TB < 1 Constante de tiempo del filtro de entrada 6,76 s 0 < TC < 20 3 s 0 < TB1 < 1 0,051 s 0 < TC1 < 20 TC TB1 TC1 derivativo Constante de tiempo de adelanto del regulador de voltaje Constante de tiempo de atraso del regulador de voltaje KA Ganancia del regulador 231 - 0<KA< 1000 TA Constante de tiempo de la excitatriz 0,3 s 0 < TA < 20 86 RANGO DE PARÁMETROS RECOMENDADOS POR EL IEEE421.05 DESCRIPCIÓN KC KF TF KLR VALORES TÍPICOS Factor limitador de corriente Ganancia del estabilizador del sistema de excitación Constante del estabilizador del sistema de excitación Ganancia límite de corriente a la salida de la excitatriz 0 UNIDAD RANGO DE PARÁMETROS - 0<KC< 1,0 0,055 0<KF< 0.4 1,2 0 < TF < 20 1 0,1 < KLR < 5 Vimin Voltaje de entrada mínima al regulador -0,25 [pu] -8 <Vrmax< 0 Vamin Voltaje de salida mínimo del regulador -5 [pu] -8 <Vrmax< 0 Vrmin Voltaje de salida mínimo de la excitatriz -4 [pu] -6 <Vrmax< 0 Vimax Voltaje de entrada máximo al regulador 0,15 [pu] 1 <Vpmax< 10 Vamax Voltaje de salida máximo del regulador 5 [pu] 0,8 <Vrmax< 10 Vrmax Voltaje de salida máximo de la excitatriz 4 [pu] 1 < Vrmax < 20 2.3.5.4 Sintonización de las Variables del Sistema de Excitación ST1A Con el propósito de obtener una adecuada sintonización del sistema de excitación ST1A, es necesario conocer cómo varía la respuesta del sistema a cambios en las diferentes variables del sistema de excitación. Para el siguiente análisis se usa el Sistema de Prueba mostrado en la Figura 2.29, el cual fue modelado en el Software DIgSILENT Power Factory con los datos de un generador de la Fase C de Paute Molino. Los datos del sistema de excitación ST1A corresponden a los valores típicos de la Tabla 2.11. Las pruebas detalladas a continuación se obtienen realizando un cambio de + 5% del voltaje de referencia (usetp) en el sistema de excitación. 87 Figura 2.29 Sistema de Prueba en DIgSILENT 2.3.5.4.1 Ajuste en la ganancia del regulador KA 1.08 1.774 s 1.070 p.u. 1.741 s 1.058 p.u. 1.06 2.432 s 1.046 p.u. 1.04 9.969 s 1.048 p.u. 10.003 s 1.046 p.u. 9.968 s 1.042 p.u. 1.02 1.00 0.98 -0.1000 1.9200 3.9400 5.9600 7.9800 [s] 10.000 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] KA=231 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] KA=500 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] KA=800 Figura 2.30 Respuesta Voltaje Generador, KA = 235, KA = 500 y KA = 800 88 El voltaje en estado estable es de 1 pu, y al realizar un cambio del + 5% en el usetp, el voltaje terminal debería llegar a 1,05 pu. Se puede observar en la Figura anterior que al incrementar la ganancia KA, el voltaje se aproxima cada vez 1,05 pu, pero a su vez se incrementa el valor del máximo sobre impulso, es decir, se mejora el error en estado estable a cambio de un aumento en el sobre impulso. Es importante notar que el tiempo establecimiento no se ve afectado al modificar la ganancia del regulador KA. 2.3.5.4.2 Ajuste en la Constante de Tiempo de la Excitatriz TA Con la ganancia del regulador KA en 231, se modifica el valor de TA obteniendo lo mostrado en la Figura 2.31. 1.08 2.281 s 1.072 p.u. 2.027 s 1.059 p.u. 1.06 1.04 1.02 1.00 0.98 -0.1000 1.9200 3.9400 5.9600 7.9800 [s] 10.000 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TA=0,3 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TA=0,6 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TA=0,03 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TA=1 Figura 2.31 Respuesta Voltaje Generador, TA = 0,3, TA = 0,6 y TA = 0,03 Se puede observar en la Figura 2.31 que al incrementar el valor de la constante de tiempo de la excitatriz TA la respuesta del sistema se hace sobre-amortiguada, 89 introduciendo para ello algunas oscilaciones luego de alcanzar el máximo sobreimpulso. El error en estable se mantiene para cualquier valor de TA. 2.3.5.4.3 Ajuste en la Constante de Tiempo del Estabilizador del Sistema de Excitación TF Con la ganancia del regulador KA en 231 y la constante de tiempo de la excitatriz DIgSILENT TA en 0,6, se modifica el valor de TF obteniendo lo mostrado en la Figura 2.32. 1.14 2.281 s 1.118 p.u. 1.11 1.08 3.192 s 1.056 p.u. 1.05 1.02 2.508 s 1.046 p.u. 0.99 -0.1000 1.9200 3.9400 5.9600 7.9800 [s] 10.000 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TF=1,2 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TF=4 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TF=0,315 Figura 2.32 Respuesta Voltaje Generador, TF = 1,2, TF = 4 y TF = 0,315 Como se puede notar con el incremento de TF, la respuesta del sistema presenta grandes oscilaciones y se incrementa el tiempo de establecimiento y se subida. Con lo expuesto un valor bastante aceptable de TF es 0,315, debido a que presenta una pequeña oscilación antes de alcanzar su estado estable. Se debe tener mucho cuidado con este valor, especialmente con valores demasiado altos, los cuales puede llevar a inestabilidad del sistema. 90 2.3.5.4.4 Ajuste en la Ganancia del Estabilizador del Sistema de Excitación KF Con KA = 231, TA = 0,6 y TF = 0,315 se modifica el valor de la ganancia KF obteniendo lo mostrado en la Figura 2.33. Se puede observar que a valores altos de KF la respuesta del sistema es sobre amortiguada, pero el tiempo de subida y de establecimiento adquiere valores altos. Cuando KF = 0,015 el tiempo de establecimiento disminuye aunque, si bien se incrementa el valor del sobreimpulso se puede considerar este como un valor aceptable. 1.08 2.129 s 1.071 p.u. 3.192 s 1.056 p.u. 1.06 6.468 s 1.045 p.u. 1.04 1.02 1.00 0.98 -0.1000 1.9200 3.9400 5.9600 7.9800 [s] 10.000 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] KF=0,055 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] KF=0,015 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] KF=0,3 Figura 2.33 Respuesta Voltaje Generador, KF = 0,055, KF = 0,015 y KF = 0,3 2.3.5.4.5 Ajuste en la Constante de Tiempo TB y TC Con KA = 231, TA = 0,6, TF = 0,315 y KF = 0,015, se modifica el valor de la constante de tiempo TB y TC obteniendo lo mostrado en la Figura 2.34. Conforme a las recomendaciones de la IEEE 421.05 el valor de TC = 10 TB. 91 1.08 1.977 s 1.074 p.u. 1.977 s 1.066 p.u. 2.584 s 1.063 p.u. 1.06 1.04 1.02 1.00 0.98 -0.1000 1.9200 3.9400 5.9600 7.9800 [s] 10.000 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TB=1 y TC=10 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TB=0,05 y TC=0,5 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TB=2 y TC=20 Figura 2.34 Respuesta Voltaje Generador a distintos valores de TB y TC 2.3.5.4.6 Ajuste en la Constante de Tiempo TB1 y TC1 Con KA = 231, TA = 0,6, TF = 0,315, KF = 0,015, TB = 0,05 y TC = 0,5 se modifica el valor de la constante de tiempo TB1 y TC1 obteniendo lo mostrado en la Figura 2.35. Las constantes de tiempo ãÄ: y ã): , permiten la posibilidad de representar un aumento transitorio en la ganancia, para lo cual se ajusta ã): con un valor superior a ãÄ: . 92 1.08 1.977 s 1.074 p.u. 2.027 s 1.058 p.u. 1.06 1.987 s 1.056 p.u. 1.04 1.02 1.00 0.98 -0.1000 1.9200 3.9400 5.9600 7.9800 [s] 10.000 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TB1=3 y TC1=0,051 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TB1=2 y TC1=1 Paute Fase C: u: V. terminal [pu] TB1=5 y TC1=0,5 Figura 2.35 Respuesta Voltaje Generador a distintos valores de TB1 y TC1 Con la sintonización realizada anteriormente los parámetros con los cuales se realizará pruebas en el siguiente capítulo se presenta en la Tabla 12. Tabla 2.12 Valores Sintonizados del Sistema ESST1A RANGO DE PARÁMETROS SINTONIZADOS DESCRIPCIÓN Tr TB TC TB1 TC1 Retardo de medición Retardo de tiempo del filtro de entrada Constante de tiempo del filtro de PARÁMETROS FASE C regulador de voltaje Constante de tiempo de atraso del RANGO DE PARÁMETROS 0,02 s 0 <Tr< 0,5 0,5 s 0 < TB < 1 s 0 < TC < 20 0,01 s 0 < TB1 < 1 0,2 s 0 < TC1 < 20 0,05 entrada derivativo Constante de tiempo de adelanto del UNIDAD 93 RANGO DE PARÁMETROS SINTONIZADOS DESCRIPCIÓN PARÁMETROS FASE C UNIDAD RANGO DE PARÁMETROS regulador de voltaje KA Ganancia del regulador 230 - 0<KA< 1000 TA Constante de tiempo de la excitatriz 0,6 s 0 < TA < 20 KC Factor limitador de corriente 0,12 - 0<KC< 1,0 0,015 - 0<KF< 0.4 0,315 - 0 < TF < 20 1 - 0,1 < KLR < 5 KF TF KLR Ganancia del estabilizador del sistema de excitación Constante del estabilizador del sistema de excitación Ganancia límite de corriente a la salida de la excitatriz Con la sintonización de este sistema de excitación se comprobará en el siguiente capítulo si esta calibración sirve en el sistema máquina barra – infinita y sobre todo en el sistema de 9 barras del IEEE, el cual se trata de un sistema multimáquina. Equation Chapter (Next) Section 3 94 CAPÍTULO 3 3. APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA Se modela el sistema máquina barra – infinita en el paquete computacional DIgSILENT Power Factory V13.2, con el propósito de analizar la estabilidad de pequeña señal en una Unidad de la Fase C de generación hidroeléctrica PauteMolino, incluyendo un sistema de excitación estático. Además, se modela el sistema de 9 Barras del IEEE, el cual es ampliamente usado para análisis de estabilidad. En los sistemas mencionados se realiza una comparación de los resultados obtenidos con valores estándar del IEEE y un análisis modal que permite determinar los modos de oscilación al momento de introducir los sistemas de excitación estáticos. 3.1 SISTEMA GENERADOR DE LA FASE C DE LA CENTRAL PAUTE MOLINO – BARRA INFINITA El sistema sobre el cual se realizan las pruebas es el mostrado en la Figura 3.1, el cual fue descrito en el capítulo 2. Figura 3.1 Sistema de Prueba En la Tabla 3.1 se muestran los valores de potencia del Generador, Carga 1 y Carga 2, empleados en las simulaciones. 95 Tabla 3.1 Potencia del Generador de la Fase C y de la Carga 1 y 2 S [MVA] P [kW] Q [kVAr] Generador Paute Fase C 127,7 114,93 55,66 Carga 1 (80%) 102,16 91,944 44,528 Carga 2 (10%) 10,216 9,1944 4,4528 3.1.1 PRUEBA DEL REGULADOR DE VOLTAJE EN ESTADO ESTABLE Y ESCALONES DE +/- 5 % DEL VOLTAJE DE REFERENCIA Una vez ingresado el regulador de voltaje VCO_ESST1A se simula la prueba en estado estable. A partir de los 0,1 segundos se cambia súbitamente el voltaje de referencia (usetp) un 5% por encima y debajo de su valor en estado estable y se verifica que el voltaje terminal de la máquina tienda al valor de referencia, que su respuesta sea amortiguada y que los tiempos se encuentren dentro de los rangos aceptables. Los valores en estado estable de las variables del regulador de voltaje, carga y generador se indican en la Tabla 3.2. Tabla 3.2 Condiciones Iniciales en Estado Estable P[MW] Q[MVAr] Sec 1 Sec 2 Carga 1 91,944 44,528 Conectado ___________ Carga 2 9,1944 4,4528 ________ Desconectado Variables Elemento Descripción Valor Unidad u Generador Voltaje terminal 1,000 [p.u.] Ul Generador Voltaje línea-línea 13,8 [kV] Q Generador Potencia reactiva 55,799 [MVAr] uerss VCO Voltaje de excitación 1,763 [p.u.] Ul Carga Voltaje línea-línea 218,079 [kV] usetp VCO Voltaje paso 1,002 [p.u.] En la Figura 3.2 se observa el comportamiento de las variables presentadas en la Tabla 3.2 en Estado Estable y las respuestas a Escalones de +/- 5 % del Voltaje de Referencia. 1.052 s 1.063 3.9400 5.9600 7.9800 5.9600 7.9800 [s] 10.000 10.000 s 1.622 10.000 s 1.914 3.9400 1.052 s 12.912 kV 5.9600 7.9800 9.978 s 13.110 kV 9.988 s 13.800 kV 9.978 s 14.490 kV [s] 10.000 3.9400 5.9600 7.9800 9.978 s 207.169 kV 9.988 s 218.079 kV 9.978 s 228.987 kV Carga 1: u: V. línea-línea [kV], E. Estable Carga 1: u: V. línea-línea [kV], +5% Vref Carga 1: u: V. línea-línea [kV], -5% Vref 1.9200 1.052 s 204.046 kV 1.086 s 231.809 kV 0.925 -0.1000 0.950 0.975 1.000 1.025 1.050 1.075 48.00 -0.1000 52.00 56.00 60.00 64.00 5.9600 7.9800 [s] 10.000 3.9400 5.9600 7.9800 [s] 10.000 10.000 s 0.952 10.000 s 1.002 9.958 s 1.052 1_PCU_+/-5%_usetp vcoESST1A: usetp: Voltaje paso [pu], E. Estable vcoESST1A: usetp: Voltaje paso [pu], +5% Vref vcoESST1A: usetp: Voltaje paso [pu], -5% Vref 1.9200 0.105 s 0.952 0.100 s 1.002 0.105 s 1.052 3.9400 9.978 s 50.356 Mvar 9.988 s 55.799 Mvar 9.978 s 61.520 Mvar Paute Fase C: Q: Reactiva [kVAr], E. Estable Paute Fase C: Q: Reactiva [kVAr] +5% Vref Paute Fase C: Q: Reactiva [kVAr] -5% Vref 1.9200 1.018 s 48.854 Mvar 0.100 s 55.799 Mvar 1.052 s 63.042 Mvar Figura 3.2 Curvas del VCO en Pruebas de Estado Estable y Escalones de +/- 5 % del Voltaje de Referencia (usetp) del VCO Controlador VCO_ESST1A [s] 10.000 Paute Fase C: u: V. línea-línea [kV], E. Estable Paute Fase C: u: V. línea-línea [kV], +5% Vref Paute Fase C: u: V. línea-línea [kV], -5% Vref 1.9200 0.100 s 13.800 kV 1.086 s 14.669 kV PRUEBA DE REGULADOR DE VOLTAJE 200.00 -0.1000 210.00 220.00 230.00 240.00 12.80 -0.1000 13.20 13.60 14.00 14.40 14.80 CENTRAL HICROELECTRICA PAUTE: UNIDAD C vcoESST1A: uerss: V. excitación [pu], E. Estable vcoESST1A: uerss: V. excitación [pu], +5% Vref vcoESST1A: uerss: V. excitación [pu], -5% Vref 3.9400 0.100 s 1.763 1.9200 0.262 s 0.563 0.262 s 2.967 [s] 10.000 10.000 s 0.950 10.000 s 1.000 10.000 s 1.050 Paute Fase C: u: V. terminal [pu], E. Estable Paute Fase C: u: V. terminal [pu], +5% Vref Paute Fase C: u: V. terminal [pu], -5% Vref 1.9200 1.052 s 0.936 0.100 s 1.000 E.P.N. 0.00 -0.1000 1.00 2.00 3.00 4.00 0.90 -0.1000 0.93 0.96 0.99 1.02 1.05 1.08 96 DIgSILENT 97 3.1.1.1 Análisis en el Dominio del Tiempo y Comparación de los Indicadores de las Respuestas Dinámicas con Valores Estándar del IEEE En la Tabla 3.3 se muestra un análisis realizado en el dominio del tiempo, con el fin de saber si las respuestas obtenidas en la Figura 3.2 son amortiguadas y si los tiempos se encuentran dentro de los rangos aceptables recomendados por el estándar IEEE. Tabla 3.3 Análisis en el Dominio del Tiempo Parámetros Unidad Rangos Aceptables + 5% - 5% + 5% - 5% usetp usetp usetp usetp u, Ul u, Ul Q Q Tiempo de arranque * [s] 0 a 0,1 0,058 0,068 0,059 0,067 Tiempo de subida * [s] 0,1 a 2,5 0,4 0,383 0,401 0,383 [s] 0,2 a 10 2,905 0,748 2,914 2,747 [%] 0 al 80 % 1,232 1,51 2,474 2,983 [s] 0a2 0,96292 0,9692 0,952 0,918 - 0a1 0,8136 0,8002 0,7622 0,7453 Velocidad natural [rad/s] - 5,612 5,44 5,098 5,1332 Frecuencia natural [Hz] - 0,893 0,865 0,811 0,8169 Tiempo de establecimiento * Porcentaje de sobreimpulso* Tiempo de sobreimpulso * Relación de amortiguamiento* U: Voltaje en terminales del generador Ul: Voltaje línea-línea del generador Q: Potencia Reactiva del generador *: Parámetros establecidos por el estándar IEEE 421.2-1990 Los valores mostrados en la Tabla 3.3 se obtienen considerando que las respuestas de la Figura 3.2 se aproximan a las respuestas de un sistema de segundo orden. De los resultados mostrados se concluye que: • Las respuestas presentan bajos sobre-impulsos. • La relación de amortiguamiento toma valores entre 0,7 y 1, logrando con ello que las respuestas del sistema sean sobre-amortiguadas. • La frecuencia natural del sistema es muy baja con valores menores a 1 Hz. • En general, todos los tiempos están dentro de los rangos aceptables de la IEEE, determinando que la sintonización del sistema es correcta. 98 3.1.2 ANÁLISIS MODAL DEL SISTEMA DE PRUEBA Con la finalidad de analizar los modos de oscilación y la estabilidad relativa del sistema del Sistema de Prueba, se determina los valores propios mediante el módulo de pequeña señal que dispone DIgSILENT Power Factory conocido como “Análisis Modal”. 3.1.2.1 Valores Propios del Sistema de Prueba sin sistema ESST1A En la Tabla 3.4 se muestra un resumen del resultado del análisis modal que realiza DIgSILENT sobre el Sistema de Prueba, sin considerar la actuación del sistema de excitación ESST1A. Tabla 3.4 Resultados del Análisis Modal sin Considerar Sistema ESST1A La descripción y forma de interpretación que tiene cada valor en la Tabla 3.4 se detalla en la Tabla 3.5. Tabla 3.5 Descripción e interpretación de variables del análisis Modal Descripción Parte Real Parte Imaginaria Magnitud Ángulo Frecuencia de amortiguamiento Periodo Amortiguamiento Coeficiente de amortiguamiento Constante de amortiguamiento Razón A1/A2 Variable Unidad u -1 [s ] s [rad/s] wu ; + s ; [s-1] t s ;2 = 2x 2x ã2 = s - = −u = ½ 1 u [deg] [Hz] [s] 1 .: ln Ø Ù ã2 .; -1 [s ] [s] - 99 Como se puede notar en la Tabla 3.4 existen 5 valores propios, de los cuales existe un valor propio en el origen el cual se encuentra en el límite de estabilidad. No existen modos oscilatorios por ser un sistema aislado y debido a que no se considera el efecto del sistema de excitación ESST1A. En la Figura 3.3 se puede observar la distribución de los valores propios en el plano complejo. Figura 3.3 Diagrama de Valores Propios sin Sistema ESST1A 3.1.2.2 Valores Propios del Sistema de Prueba con ESST1A Al considerar el efecto del sistema de excitación ESST1A en el Sistema de Prueba se tienen los valores propios mostrados en la Tabla 3.6 y su ubicación en el plano complejo se muestra en la Figura 3.4. Tabla 3.6 Resultados del Análisis Modal con Sistema de Excitación ESST1A 100 Figura 3.4 Diagrama de Valores Propios del Sistema de Prueba con el ESST1A Con la inclusión del sistema de excitación estático ESST1A se añaden cinco nuevos valores propios, de los cuales dos de ellos (un par de valores propios conjugados) se tratan de modos oscilatorios Modo 6 y Modo 7. La frecuencia de oscilación de estos modos oscilatorios es 0,37 Hz y el coeficiente de amortiguamiento de 0,46. Por tanto, se incrementa el torque de amortiguamiento y de esta manera se incrementa la estabilidad en el ángulo del rotor. 3.1.3 PRUEBA CON CAMBIOS EN ELEMENTOS EXTERNOS El propósito de esta prueba es verificar las características de las respuestas dinámicas del sistema de control VCO_ESST1A mediante eventos externos provocados en la Carga 1 y 2. Se verifica que las respuestas sean amortiguadas y que los tiempos se encuentren dentro de los rangos aceptables. 101 3.1.3.1 Cambio de Carga del +/- 10 % de carga resistiva con y sin AVR ESST1A Consiste en iniciar la simulación con la máquina conectada a la Carga 1 con el 80 % de carga resistiva del sistema en estado estable y la carga 2 desconectada. A partir de los 0,1 segundos se cierra súbitamente el disyuntor de la Carga 2 con el 10 % de la carga resistiva inicial. Después de estabilizarse en un nuevo punto de operación, a los 20,1 segundos se abre súbitamente el disyuntor de la Carga 2. Esta prueba se realiza con y sin el regulador de voltaje para observar el efecto que tiene el sistema de control en el sistema de prueba. Los valores en estado estable de las variables del regulador de voltaje, carga y generador se indican en la Tabla 3.7. Tabla 3.7 Condiciones iniciales en Estado Estable P[MW] Q[MVAr] Sec 1 Sec 2 Carga 1 91,944 4,4528 Conectado ___________ Carga 2 9,1944 0 ________ Desconectado Variables Elemento Descripción Valor Unidad u Generador Voltaje terminal 1,000 [p.u.] Ul Generador Voltaje línea-línea 13,8 [kV] Q Generador Potencia reactiva 55,799 [MVAr] Ul Barra 2 Voltaje línea-línea 218,079 [kV] P Carga 2 Potencia activa 0 [MW] uerss VCO Voltaje de excitación 1,763 [p.u.] En la Figura 3.5 se observa el comportamiento de las variables presentadas en la Tabla 3.7, en Estado Estable y Toma y Rechazo del 10% de Carga Resistiva. 11.960 15.980 [s] 20.000 Barra 2 Barra 2 3.9200 11.960 15.980 [s] 20.000 [s] 20.000 7.9400 11.960 15.980 11.960 15.980 [s] 20.000 7.9400 11.960 [s] 20.000 19.998 s 1.909 15.980 10.736 s 1.857 10.010 s 2.078 vcoESST1A: uerss: V.excitación [pu], +/-10%R sin AVR vcoESST1A: uerss: V.excitación [pu], +/-10%R con AVR 3.9200 0.100 s 1.763 0.759 s 1.953 7.9400 10.015 s 52.244 Mvar 19.998 s 55.782 Mvar 10.010 s 57.456 Mvar Paute Fase C: Q: [kVAr], +/- 10% Carga R sin AVR Paute Fase C: Q: [kVAr], +/- 10% Carga R con AVR 3.9200 11.562 s 55.688 Mvar 0.100 s 55.799 Mvar 1.502 s 57.571 Mvar TOMA Y RECHAZO +/- 10% CARGA R 1.70 -0.1000 1.80 1.90 2.00 2.10 51.25 -0.1000 52.50 53.75 55.00 56.25 57.50 58.75 Controlador VCO_ESST1A [s] 20.000 19.998 s 0.000 MW 10.010 s 8.882 MW Carga 2: P: Activa [kW], +/- 10% R sin AVR Carga 2: P: Activa [kW], +/- 10% R con AVR 3.9200 1.401 s 8.899 MW PRUEBA DE REGULADOR DE VOLTAJE -2.00 -0.1000 CENTRAL HICROELECTRICA PAUTE: UNIDAD C 230kV: Ul: V.l-l [kV], +/- 10% R sin AVR 230kV: Ul: V. l-l [kV], +/- 10% R con AVR 7.9400 0.100 s 0.000 MW 15.980 19.998 s 13.798 kV Figura 3.5 Curvas del VCO y Generador en Prueba de Estado Estable y Toma y Rechazo del 10% de Carga Resistiva E.P.N. 208.00 -0.1000 0.00 210.00 10.010 s 209.975 kV 2.00 6.00 8.00 10.00 11.960 10.010 s 13.301 kV 10.010 s 13.791 kV 10.132 s 13.861 kV Paute Fase C: Ul: V.línea-línea [kV], +/-10%R sin AVR Paute Fase C: Ul: V. línea-línea [kV], +/-10%R con AVR 7.9400 0.182 s 13.733 kV 3.9200 0.082 s 13.800 kV 13.250 -0.1000 13.375 13.500 13.625 13.750 13.875 212.00 0.182 s 216.779 kV 10.010 s 217.703 kV 10.122 s 219.045 kV 19.998 s 218.046 kV Paute Fase C: u: V. [pu], +/- 10% Carga R sin AVR Paute Fase C: u: V. [pu], +/- 10% Carga R con AVR 7.9400 10.010 s 0.964 p.u. 10.010 s 0.999 p.u. 19.998 s 1.000 p.u. 4.00 0.100 s 218.079 kV 10.132 s 1.004 p.u. 0.182 s 0.995 p.u. 3.9200 0.100 s 1.000 p.u. 14.000 214.00 216.00 218.00 220.00 0.96 -0.1000 0.97 0.98 0.99 1.00 1.01 102 DIgSILENT 103 Como se puede observar en la Figura 3.5, cuando el sistema toma 10 % de carga resistiva el voltaje en el generador tiende a disminuir indefinidamente, cuando no se considera el sistema de excitación. Sin embargo, con la acción del regulador, el voltaje se estabiliza en un valor ligeramente menor al de estado estable. Esto se debe que el regulador de voltaje no tiene una relación directa con cambios en potencia activa, de todas formas se puede notar la acción del regulador de voltaje, al hacer que el voltaje se mantenga dentro de valores aceptables para mantener la estabilidad en el sistema. 3.1.3.2 Cambio de Carga del +/- 10 % de Carga Inductiva con y sin AVR ESST1A Consiste en iniciar la simulación con la máquina conectada a la Carga 1 con el 80 % de carga inductiva del sistema en estado estable y la Carga 2 desconectada. A partir de los 0,1 segundos se cierra súbitamente el disyuntor de la Carga 2 con el 10 % de la carga inductiva inicial. Después de estabilizarse en un nuevo punto de operación, a los 20,1 segundos se abre súbitamente la Carga 2. Esta prueba se realiza con y sin el sistema de excitación para observar el efecto que tiene el sistema de control en el sistema de prueba. Los valores en estado estable de las variables del regulador de voltaje, carga y generador se indican en la Tabla 3.8. Tabla 3.8 Condiciones iniciales en Estado Estable P[MW] Q[MVAr] Sec 1 Sec 2 Carga 1 91,944 4,4528 Conectado ___________ Carga 2 0 4,4528 ________ Desconectado Variables Elemento Descripción Valor Unidad u Generador Voltaje terminal 1,000 [p.u.] Ul Generador Voltaje línea-línea 13,8 [kV] Q Generador Potencia reactiva 55,799 [MVAr] Ul Barra 2 Voltaje línea-línea 218,079 [kV] Q Carga 2 Potencia reactiva 0 [MVAr] uerss VCO Voltaje de excitación 1,763 [p.u.] E.P.N. 15.980 [s] 20.000 19.998 s 1.000 p.u. 15.980 [s] 20.000 7.9400 11.960 PRUEBA DE REGULADOR DE VOLTAJE 15.980 [s] 20.000 19.998 s 55.800 Mvar 7.9400 [s] 20.000 19.998 s 1.753 15.980 10.212 s 1.619 11.960 10.010 s 1.776 TOMA Y RECHAZO +/- 10% CARGA L vcoESST1A: uerss:V.excitación[pu],+/-10%L sin AVR vcoESST1A: uerss:V.excitación[pu],+/-10%L con AVR 3.9200 1.628 s 1.760 0.302 s 1.919 0.092 s 1.763 1.60 -0.1000 1.70 1.80 1.90 2.00 11.960 10.010 s 59.717 Mvar Paute Fase C: Q: [kVAr], +/- 10% Carga L sin AVR Paute Fase C: Q: [kVAr], +/- 10% Carga L con AVR 7.9400 10.972 s 55.577 Mvar 1.097 s 59.954 Mvar 3.9200 0.100 s 55.799 Mvar 55.00 -0.1000 56.00 57.00 58.00 59.00 60.00 61.00 Controlador VCO_ESST1A [s] 20.000 19.998 s 0.000 Mvar 15.980 10.010 s 3.971 Mvar Carga 2: Q: Rectiva [kW], +/- 10% L sin AVR Carga 2: Q: Rectiva [kW], +/- 10% L con AVR 3.9200 0.100 s 0.000 Mvar -1.00 -0.1000 0.00 1.00 2.00 3.00 CENTRAL HICROELECTRICA PAUTE: UNIDAD C 230kV: Ul: V.l-l [kV], +/- 10% L sin AVR 230kV: Ul: V.l-l [kV], +/- 10% L con AVR 11.960 10.010 s 217.194 kV 10.972 s 217.645 kV 19.998 s 218.081 kV 4.00 5.00 Paute Fase C: Ul: V.l-l [kV], +/-10% L sin AVR Paute Fase C: Ul: V.l-l [kV], +/-10% L con AVR [s] 20.000 19.998 s 13.800 kV 15.980 10.062 s 13.881 kV 11.960 11.006 s 13.773 kV 7.9400 1.097 s 13.827 kV 3.9200 0.302 s 13.710 kV 0.152 s 13.719 kV 0.100 s 13.800 kV 13.68 -0.1000 13.72 13.76 13.80 13.84 13.88 13.92 Figura 3.6 Curvas del VCO y Generador en Prueba de Toma y Rechazo del 10% de Carga Inductiva Barra 2 Barra 2 7.9400 1.097 s 217.625 kV 10.062 s 219.358 kV 3.9200 0.152 s 215.926 kV 0.100 s 218.079 kV 215.00 -0.1000 216.00 217.00 218.00 219.00 220.00 11.960 10.972 s 0.998 p.u. 10.062 s 1.006 p.u. Paute Fase C: u: V. [pu], +/- 10% Carga L sin AVR Paute Fase C: u: V. [pu], +/- 10% Carga L con AVR 7.9400 10.000 s 1.000 1.097 s 1.002 p.u. 3.9200 0.302 s 0.993 p.u. 0.152 s 0.994 p.u. 0.100 s 1.000 p.u. 0.990 -0.1000 0.993 0.996 0.999 1.002 1.005 1.008 104 DIgSILENT 105 Como se puede observar en la Figura 3.6, cuando el sistema se incrementa en un 10 % de carga inductiva, el voltaje en el generador decae en un tiempo de 0,302 segundos, a partir de allí el voltaje tiende incrementarse indefinidamente, cuando el sistema de excitación esta fuera de servicio. Sin embargo, al poner en servicio el sistema de excitación ESST1A se observa que el voltaje se amortigua y llega a estabilizarse en un valor similar al de estado estable (1 pu). Todo lo opuesto ocurre cuando se realiza un rechazo del 10 % de carga inductiva. Además, se puede observar en la Figura 3.6 que las respuestas presentan sobre impulsos menores a 1 % con tiempos de establecimiento de aproximadamente 4 segundos. Mediante las pruebas anteriores, se puede concluir que la sintonización realizada en el sistema ESST1A es adecuada, y en lo que sigue será el modelo a usarse en el Sistema de 9 Barras. 3.2 SISTEMA DE NUEVE BARRAS DEL IEEE Un sistema clásico que ha sido ampliamente usado para análisis de estabilidad es el Sistema de 9 Barras del IEEE. Este sistema tiene tres generadores y tres cargas formando un sistema en anillo. DIgSILENT Power Factory dispone en su biblioteca el mencionado sistema, cuyo diagrama unifilar se muestra en la Figura 3.7. 106 Figura 3.7 Sistema de 9 Barras de P.M. Anderson y Fouad Los datos generales para las tres máquinas están dados en la Tabla 3.9. Tabla 3.9 Parámetros Generales de los Generadores CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS Parámetro Descripción S V cos(∅) Generadores 3 Unidad 1 2 Potencia Aparente Nominal 247,5 192 128 [MVA] Voltaje nominal 16,5 18 13,8 [kV] Factor de potencia 1 0,85 0,85 -- - Tipo hidráulica vapor vapor - - Velocidad 1800 3600 3600 [RPM] Xd Reactancia sincrónica eje directo no saturada 0,1460 0,8958 1,3125 [p.u.] Xd’ Reactancia transitoria de eje directo no saturada 0,0608 0,1198 0,1813 [p.u.] Xq Reactancia sincrónica de eje en cuadratura 0,0969 0,8645 1,2578 [p.u.] Xq’ Reactancia eje cuadratura sub transitoria 0,0969 0,1969 0,25 [p.u.] Xl Reactancia de fuga 0,0336 0,0521 0,0742 [p.u.] Tdo’ Constante de tiempo transitoria en el eje directo directo 8,96 6,00 5,89 [s] Tqo’ Constante de tiempo sub transitoria de eje cuadratura 0 6,00 0,600 [s] H Energía almacenada a velocidad nominal 2364 640 301 [MW.s] 107 La potencia en las tres cargas del Sistema de 9 Barras se muestra en la Tabla 3.10. Tabla 3.10 Potencia y voltaje en las cargas A, B y C en Estado Estable Carga A Carga B Carga C Unidad Potencia Activa 125 90 100 [MW] Potencia Reactiva 50 30 35 [MVAr] En esta sección, se realizan en dos análisis: • Rechazo del 10 % carga, y • Análisis Modal del sistema 3.2.1 RECHAZO DEL 10 % DE CARGA En los análisis realizados sobre el sistema de prueba, se ha verificado que las respuestas del sistema de excitación presentan una simetría en toma y rechazo de carga, por tanto, en lo que sigue se realizará únicamente la prueba de rechazo del 10 % carga inductiva. Para la simulación se considera que el generador 1 tiene incorporado el sistema de excitación ESST1A, el generador 2 el sistema ESST2A y el generador 3 el sistema ESST3A. Para ver los modelos con sus respectivos parámetros referirse al Anexo 2. El evento de simulación se indica en la Figura 3.8, el cual consiste en rechazar súbitamente un 10 % de carga inductiva en la Carga A. Figura 3.8 Evento de simulación - Rechazo del 10% de Carga Inductiva En la Figura 3.9 se muestran los oscilogramas de voltaje en los terminales de los tres generadores con y sin el sistema de excitación ESST1A. 0.00 0.00 0.00 2.50 0.252 s 1.027 p.u. 2.50 2.50 2.582 s 1.025 p.u. 5.00 5.00 5.00 [s] [s] [s] 1_ -10% Carga L_A (Voltaje Gen) 7.50 7.50 7.50 Sistemas de Excitación ESST1A, ESST2A, ESST3A PRUEBA REGULADOR DE VOLTAJE 2.802 s 1.025 p.u. 3.602 s 1.040 p.u. Figura 3.9 Curvas del voltaje terminal en los generadores, Prueba de Rechazo del 10% de Carga Inductiva Sistema de Nueve Barras G3: Voltaje terminal [p.u.], Estado Estable G3: Voltaje terminal [p.u.], con sistema ESST3A G3: Voltaje terminal [p.u.], sin sistema ESST3A 0.232 s 1.027 p.u. G2: Voltaje terminal [p.u.], Estado Estable G2: Voltaje terminal [p.u.], con sistema ESST2A G2: Voltaje terminal [p.u.], sin sistema ESST2A 0.100 s 1.025 p.u. 0.100 s 1.025 p.u. 0.192 s 1.041 p.u. G 1: Voltaje terminal [p.u.], Estado Estable G 1: Voltaje terminal [p.u.], con sistema ESST1A G 1: Voltaje terminal [p.u.], sin sistema ESST1A 0.100 s 1.040 p.u. E.P.N. 1.024 1.025 1.026 1.027 1.028 1.024 1.025 1.026 1.027 1.028 1.029 1.038 1.039 1.040 1.041 1.042 108 9.992 s 1.025 p.u. 9.992 s 1.025 p.u. 9.992 s 1.025 p.u. 9.992 s 1.025 p.u. 9.992 s 1.039 p.u. 9.992 s 1.040 p.u. 10.00 10.00 10.00 DIgSILENT 109 Como se observa en la Figura 3.9, cuando los generadores no disponen de sistema de excitación, el voltaje en terminales de los generadores disminuye indefinidamente. Con la inclusión de los sistemas de excitación, el voltaje en las barras de generación se estabiliza en el valor de estado estable en tiempos menores a 4 segundos. A continuación, en la Tabla 3.11 se muestra un análisis del voltaje en las barras de generación, donde se puede resaltar que el sobre-impulso es menor al 1 % de su valor final. Tabla 3.11 Análisis del Voltaje en las Barras de Generación Generador Parámetros Unidad Rangos Aceptables G1 G2 G3 Tiempo de establecimiento [s] 0,2 a 10 3,602 2,802 2,582 Porcentaje de sobre-impulso* [%] 0 al 80 % 0,1 0,195 0,1 Tiempo de sobre-impulso * [s] 0a2 0,192 0,252 0,232 En general el error en estado estable es cero y el tiempo de establecimiento es menor en el generador 3, el cual tiene el sistema de excitación ESST3A. En la Figura 3.10 se muestran las respuestas de potencia reactiva de los tres generadores con y sin los sistemas de excitación. La Prueba de Rechazo del 10% de Carga Inductiva equivale a un rechazo de 5 MVAr en la Carga A, provocando que los generadores disminuyan su generación reactiva de la siguiente forma: 2,67 MVAr en el Generador 1, 1,57 MVAr en el Generador 2 y 0,78 MVAr en el Generador 3, lo anterior, considerando la inclusión del sistema de excitación. Además, las respuestas de potencia reactiva presentan sobre impulsos menores al 1 %. El tiempo de establecimiento para los tres generadores esta alrededor de los 4 segundos, tiempo que se encuentra dentro de las recomendaciones de la IEEE Std. 421.2 – 1990. 0.00 0.00 0.00 E.P.N. -11.80 -11.60 -11.40 -11.20 -11.00 -10.80 4.80 5.20 5.60 6.00 6.40 6.80 23.00 24.00 25.00 26.00 27.00 28.00 2.50 2.50 0.762 s -11.756 Mvar 2.50 2.412 s 24.423 Mvar [s] [s] [s] 2_ -10% Carga L_A (P. Reactiva Gen) 7.50 7.50 7.50 Sistemas de Excitación ESST1A, ESST2A, ESST3A PRUEBA REGULADOR DE VOLTAJE 5.00 4.142 s -11.581 Mvar 5.00 4.372 s 5.102 Mvar 5.00 9.992 s 27.046 Mvar 9.982 s -11.590 Mvar 9.982 s -11.498 Mvar 9.992 s -10.860 Mvar 9.992 s 5.090 Mvar 9.992 s 5.525 Mvar 9.992 s 6.654 Mvar 9.992 s 23.796 Mvar 9.982 s 24.384 Mvar Figura 3.10 Curvas de Potencia Reactiva en los generadores, Prueba de Rechazo del 10% de Carga Inductiva Sistema de Nueve Barras G3: Potencia Reactiva [MVAr], Estado Estable G3: Potencia Reactiva [MVAr], con sistema ESST3A G3: Potencia Reactiva [MVAr], sin sistema ESST3A 0.100 s -10.860 Mvar G2: Potencia Reactiva [MVAr], Estado Estable G2: Potencia Reactiva [MVAr], con sistema ESST2A G2: Potencia Reactiva [MVAr], sin sistema ESST2A 1.372 s 5.001 Mvar 0.100 s 6.654 Mvar G 1: Potencia Reactiva [MVAr], Estado Estable G 1: Potencia Reactiva [MVAr], con sistema ESST1A G 1: Potencia Reactiva [MVAr], sin sistema ESST1A 0.342 s 24.090 Mvar 0.100 s 27.046 Mvar 110 10.00 10.00 10.00 DIgSILENT 111 En la Figura 3.11 se muestran los oscilogramas del voltaje en las barras de carga en condición de estado estable, con y sin los sistemas de excitación. Cuando los generadores no disponen de sistema de excitación, el voltaje en las barras de carga aumenta súbitamente, luego empiezan a decrecer y no se establecen en nuevo punto de operación. Con los sistemas de excitación en servicio, el voltaje se estabiliza en un valor por encima al de estado estable por tratarse de un rechazo de carga. Los tiempos de establecimiento son aproximadamente menor a los 3,5 segundos. El análisis del voltaje en las barras de carga se muestra en la Tabla 3.12. Tabla 3.12 Análisis del Voltaje en las Barras de Carga Barras de Carga Barra 5 Barra 6 Barra 8 Carga A Carga B Carga C 0,2 a 10 3,072 3,332 3,062 [%] 0 al 80 % 0,1 0,1 0,1 [s] 0a2 0,242 0,232 0,232 Parámetros Unidad Rangos Aceptables Tiempo de establecimiento [s] Porcentaje de sobre-impulso* Tiempo de sobre-impulso * 0.00 0.00 0.00 E.P.N. 1.015 1.016 1.017 1.018 1.019 1.020 1.012 1.013 1.014 1.015 1.016 0.994 0.996 0.998 1.000 1.002 2.50 2.50 2.50 5.00 5.00 5.00 9.992 s 1.013 p.u. 9.992 s 1.014 p.u. 9.992 s 0.996 p.u. 9.992 s 1.000 p.u. [s] 9.992 s 1.016 p.u. 9.992 s 1.017 p.u. [s] [s] 3_ -10% Carga L_A (Volt. Barra. Carga) 7.50 7.50 7.50 Sistemas de Excitación ESST1A, ESST2A, ESST3A PRUEBA REGULADOR DE VOLTAJE 3.062 s 1.017 p.u. 3.332 s 1.014 p.u. 3.072 s 1.000 p.u. Figura 3.11 Curvas del voltaje en las Barras de Carga, Prueba de Rechazo del 10% de Carga Inductiva Sistema de Nueve Barras Barra 8 - Carga C: Voltaje terminal [p.u.], Estado Estable Barra 8 - Carga C: Voltaje terminal [p.u.], con sistema ESST3A Barra 8 - Carga C: Voltaje terminal [p.u.], sin sistema ESST3A 0.232 s 1.018 p.u. Barra 6 - Carga B: Voltaje terminal [p.u.], Estado Estable Barra 6 - Carga B: Voltaje terminal [p.u.], con sistema ESST2A Barra 6 - Carga B: Voltaje terminal [p.u.], sin sistema ESST2A 0.232 s 1.015 p.u. Barra 5 - Carga A: Voltaje terminal [p.u.], Estado Estable Barra 5 - Carga A: Voltaje terminal [p.u.], con sistema ESST1A Barra 5 - Carga A: Voltaje terminal [p.u.], sin sistema ESST1A 0.100 s 0.996 p.u. 0.242 s 1.001 p.u. 112 10.00 10.00 10.00 DIgSILENT 125 3.2.2 ANÁLISIS MODAL DEL SISTEMA DE 9 BARRAS DEL IEEE Para un sistema de potencia compuesto por n-máquinas, existen n-1 modos electromecánicos de oscilación, es decir, se encuentran n-1 pares complejos conjugados del valor propio 09 . Por tanto, para el sistema de 9 barras formado por tres generadores, se espera encontrar 2 modos electromecánicos de oscilación con su respectivo complejo conjugado. Además, es importante establecer los límites aceptables de amortiguamiento en los modos de oscilación con el fin de interpretar los resultados y asegurar la estabilidad del sistema. De acuerdo a la referencias [8] y [9] para sistemas aislados se requiere un coeficiente de amortiguamiento (½) mayor a 0,05 con el propósito de tener un margen de seguridad. Para grandes sistemas interconectados se requiere un coeficiente de amortiguamiento mayor a 0,1. En este documento se considera un coeficiente de amortiguamiento aceptable cuando sea mayor a 0,05 (5 %). Se realiza el análisis modal en el sistema de 9 Barras con el propósito de conocer los modos oscilatorios del sistema bajo la prueba de rechazo del 10 % de carga reactiva en la Carga A. La variable sobre la cual se realiza el presente análisis corresponde a la velocidad (speed), porque en análisis de pequeña señal la velocidad está directamente relacionada con la pérdida de sincronismo de los generadores, y por tanto la pérdida de estabilidad del sistema. 3.2.2.1 Análisis Modal sin Sistema de Excitación ESST1A En la Tabla 3.13 se muestra el resultado del análisis modal del sistema de 9 Barras del IEEE, sin considerar el efecto de los sistemas de excitación en los tres generadores. Como se puede notar existen 17 valores propios, de los cuales únicamente aquellos que tienen parte imaginaria corresponden a modos oscilatorios. Por tanto, los modos electromecánicos de oscilación son dos y están presentes con sus respectivos complejos conjugados (Modo 2, 3, 4 y 5). 126 Los modos 2 y 3 tienen una frecuencia de oscilación de 3,044 Hz con un factor de amortiguamiento de 1,5802, y los modos 4 y 5 tienen una frecuencia de oscilación de 1,933 Hz con un factor de amortiguamiento de 0,8453. Tabla 3.13 Valores propios sin sistema de excitación ESST1A Estos modos corresponden a modos electromecánicos de oscilación debido a las características eléctricas y mecánicas de los generadores. El coeficiente de amortiguamiento están muy cercanos a los límites recomendados, por tanto estos modos podrían causar inestabilidad. En la Figura 3.12, se muestran los factores de participación de los modos electromecánicos de los tres generadores del sistema de 9 Barras del IEEE. Para el modo 2 y 3, el generador 3 oscila en contra del generador 1 y 2; sin embargo, el modo 4 y 5 el generador 1 oscila en contra de los generadores 2 y 3. Como se mencionó esto se debe a las características mecánicas y eléctricas de los generadores, tal como velocidad, potencia, tipo de rotor, entre otras. 127 Figura 3.12 Factores de Participación en el Sistema de 9 Barras Como se detalla en el Capítulo 1, el comportamiento en función del tiempo de un modo de oscilación correspondiente a un valor propio 09 esta dado por / hj . En base a lo anterior y con la ayuda del paquete computacional Matlab se muestra a continuación la actuación de los modos electromecánicos de oscilación 2 y 4 con sus respectivos conjugados. 3.2.2.1.1 Modo electromecánico de oscilación 2 y 3 En la Figura 3.13 se muestra el comportamiento de los modos electromecánicos de oscilación 2 y 3, donde se observa que efectivamente la frecuencia del modo es de 3,044 Hz y que la oscilación en el sistema se atenúa completamente en 3 s. Figura 3.13 Función /01 simulada en Matlab para el valor propio 2 y 3 128 3.2.2.1.2 Modo de oscilación 4 y 5 En la Figura 3.14 se muestra el comportamiento de los modos electromecánicos 4 y 5. La oscilación de estos modos en el sistema se atenúa en 6 s. Estos modos de oscilación se deben a oscilaciones en la velocidad del rotor en los generadores G2 y G3, tal como se muestra en la figura de los factores de participación. Figura 3.14 Función /01 simulada en Matlab para el valor propio 4 y 5 La ubicación de los valores propios sobre el plano complejo se muestra en la Figura 3.15. Figura 3.15 Diagrama de Valores Propios sin Sistemas de Excitación 129 A continuación se realiza el análisis modal considerando el sistema de excitación en cada uno de los generadores del sistema de 9 Barras del IEEE. 3.2.2.2 Caso 1: Análisis Modal con Sistema ESST1A en el Generador 1 En la Tabla 3.14 se muestran los resultados del análisis modal considerando el sistema de excitación únicamente en el Generador 1. Se puede observar que a más de los 2 modos electromecánicos de oscilación, aparece un tercer modo oscilatorio (Modo 14) que corresponde al sistema de excitación ESST1A. Tabla 3.14 Valores propios con Sistema de Excitación en G1 Como se observa en la tabla 3.14, el Modo 14 tiene un factor de amortiguamiento de 0,3729, el cual es 5,8 veces mayor a los modos de oscilación natural (Modo 4 y 6). Por lo tanto, el Modo 14 es el encargado de amortiguar las oscilaciones que podrían presentarse, brindando mayor estabilidad en el sistema. En la Figura 3.16 se muestra el comportamiento en función del tiempo del Modo 14 con su respectivo conjugado. 130 Con este valor de coeficiente de amortiguamiento, este modo ayuda a incrementar el torque de amortiguamiento y por ende la estabilidad del sistema. Figura 3.16 Función /01 simulada en Matlab para el valor propio 14 y 15 En la Figura 3.17 se observa que el modo oscilatorio debido al sistema de excitación ESST1A presenta una alta participación en el generador 1, tal como era de esperarse, debido a que no se considera ningún sistema de excitación en los generadores 2 y 3. Además, con este modo los generadores no presentan oscilaciones entre ellos. Figura 3.17 Factores de Participación con Sistema de ESST1A en el Generador 1 131 3.2.2.3 Caso 2. Análisis Modal con Sistema de Excitación ESST2A en el Generador 2 En la Tabla 3.15 se muestran los resultados del análisis modal considerando el sistema de excitación ESST2A, únicamente en el generador 2. Al igual que el caso anterior se tienen 22 valores propios. Aparece el modo oscilatorio 16 con su respectivo conjugado el cual tiene un factor de amortiguamiento de 0,48, y es mayor que el Modo 14 del caso 1. Tabla 3.15 Valores propios con sistema de excitación en G2 En la Figura 3.18 se muestra el comportamiento en función del tiempo del Modo 16 con su respectivo conjugado. Además, este modo es más amortiguado que el modo oscilatorio cuando se considera el sistema de excitación únicamente en el generador 1 (Caso 1). 132 Figura 3.18 Función /01 simulada en MATLAB para el valor propio 16 y 17 En la Figura 3.19 se observa que el modo oscilatorio debido al sistema de excitación ESST2A presenta una alta participación en el generador 2 y no existe oscilación entre los generadores. Figura 3.19 Factores de Participación con Sistema de ESST2A en el Generador 2 3.2.2.4 Caso 3: Análisis Modal con Sistema ESST3A en el Generador 3 En la Tabla 3.16 se muestran los resultados del análisis modal considerando el sistema de excitación únicamente en el Generador 3. A diferencia de los dos casos anteriores se tienen dos 20 valores propios, debido a que el sistema ESST3A tiene únicamente tres variables de estado. 133 Tabla 3.16 Valores Propios con sistema de Excitación en G3 Aparece el modo oscilatorio 14 con su respectivo conjugado, el cual tiene un factor de amortiguamiento de 0,4408. En la Figura 3.20 se puede observar que este modo estabiliza a los 3 segundos. Figura 3.20 Función /01 simulada en MATLAB para el valor propio 14 y 15 Como era de esperarse el modo oscilatorio 14 tiene una mayor participación en el generador 3 y no existe oscilación entre los generadores, tal como se muestra en la Figura 3.21. 134 Figura 3.21 Factores de Participación con Sistema de ESST2A en el Generador 2 3.2.2.5 Caso 4: Análisis Modal con Sistema ESST1A en dos Generadores En este caso se presenta los resultados del análisis modal considerando el efecto del sistema de excitación alternativamente en cada dos generadores tal como se muestra en las tablas 3.17, 3.18 y 3.19. En el caso donde el sistema de excitación es colocado en G1y G2 (Tabla 3.17) se tienen 27 valores propios, de los cuales 2 corresponden a modos electromecánicos y 2 pertenecen a los sistemas de excitación ESST1A y ESST2A. En los casos donde el sistema de excitación es colocado en G2-G3 (Tabla 3.18) y G1-G3 (Tabla 3.19) se tienen 25 valores propios, y al igual que el caso anterior, 2 corresponden a modos electromecánicos de oscilación y 2 pertenecen a los sistemas de excitación. El modo oscilatorio de mayor valor se tiene cuando se combinan los sistemas de excitación en los generadores 2 y 3, y corresponde al modo 19 con un valor de 0,517. 135 Tabla 3.17 Valores Propios con Sistema de Excitación en G1 y G2 Tabla 3.18 Valores Propios con Sistema de Excitación en G2 y G3 136 Tabla 3.19 Valores propios con sistema de excitación en G1 y G3 3.2.2.6 Caso 5: Análisis Modal con Sistema en los tres Generadores En la Tabla 3.20 se muestran los resultados del análisis modal considerando el sistema de excitación en los tres generadores del sistema de 9 Barras. En este caso aparecen 30 valores propios, de estos, 2 son modos electromecánicos y 3 pertenecen a los sistemas de excitación de cada generador. De los análisis anteriores y en base a los coeficientes de amortiguamiento se puede decir que el modo 19 corresponde al sistema ESST1A del generador 1, el modo 21 al sistema ESST2A del generador 2 y finalmente, el modo 23 al sistema ESST3A del generador 3. Al interactuar los tres sistemas de excitación aparecen modos oscilatorios que causan el incremento del torque de amortiguamiento de cada generador, sobre todo en el generador 1, debido a la excelente calibración del sistema de excitación ESST1A. El alto valor de amortiguamiento ayuda a la estabilidad del ángulo del rotor de los generadores. 137 En la Figura 3.22 se muestran los factores de participación de los modos oscilatorios, donde se puede notar que los modos 18, 21 y 23 correspondientes a los sistemas de excitación tienen una alta participación en los tres generadores con respecto a la participación de los modos electromecánicos de oscilación. Tabla 3.20 Valores propios con sistema de excitación en G1, G2 y G3 Figura 3.22 Factores de Participación con sistema de excitación en G1, G2 y G3 138 Para el modo 18 no existen oscilación entre generadores y para el modo 21 el generador 3 oscila en contra del generador 1 y 2. . Finalmente, para el modo 23, el generador 1 oscila en contra de los generadores 2 y 3. En la Figura 3.23 se indica la ubicación de los polos y ceros del sistema sobre el diagrama complejo. Figura 3.23 Diagrama de Valores Propios con Sistema de Excitación en G1, G2 y G3 Al comparar el diagrama de valores propios de la Figura 3.23 (Sistema 9 Barras con sistema de excitación) con la Figura 3.4 (Sistema 9 Barras sin sistemas de excitación), se puede notar que la inclusión de los sistemas de excitación si bien han contribuído con modos oscilatorios, estos han ayudado a mejorar la estabilidad del sistema, haciendo que los polos que se encontraban cercanos al eje imaginario, se desplacen más a la izquierda, debido al alto factor de amortiguamiento. 139 Con lo antes mencionado, se concluye que el sistema de excitación que evita un modo oscilatorio, el cual causa oscilación entre los generadores es el sistema ESST1A. Por tanto, este sistema de excitación se emplea en los análisis de resultados de las respuestas dinámicas en el dominio del tiempo y la frecuencia. 3.3 ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LAS RESPUESTAS DINÁMICAS EN EL TIEMPO Y LA FRECUENCIA 3.3.1 SISTEMA GENERADOR BARRA - INFINITA DIgSILENT Power Factory no permite realizar análisis de resultados en el dominio de la frecuencia tal como análisis de estabilidad relativa mediante diagramas de Bode y estabilidad absoluta de Nyquist, por tal razón, en lo que sigue se presentan los análisis utilizando el paquete computacional Matlab-Simulink. En el Capítulo 2 se desarrolló el análisis del sistema máquina barra infinita considerando la excitatriz y el regulador de voltaje como una única ganancia ($ (ver Figura 2.14). Los análisis realizados en esta sección consideran el sistema de excitación completo (bloques de adelanto y atraso, estabilizador del sistema de excitación y regulador de voltaje), el cual ya fue sintonizado y comprobado en el sistema de prueba y el sistema de 9 barras del IEEE con el software DIgSILENT Power Factory. Al incluir el sistema ESST1A en el sistema máquina - barra infinita se tiene lo mostrado en la Figura 3.24. Figura 3.24 Diagrama Sistema Máquina - Barra Infinita con ESST1A 140 En las simulaciones se considera un coeficiente de amortiguamiento (v) del 8 %, obtenido en DIgSILENT Power Factory. Con este valor de v el coeficiente de torque de amortiguamiento se calcula con la ecuación 2.36, y se tiene: v = 0,005262 (æ (æ = 1 1 ∗v = ∗ 0,08 = 15,2024 0,005262 0,005262 (æ = 15,2024 (3.1) En el análisis del Capítulo 2 se determinó que la ganancia ($ puede variar entre 0 y 19,26, por tanto, se considera una ganancia ($ = 5. De esta forma, los parámetros quedan según lo indicado en la Tabla 3.21. Tabla 3.21 Parámetros Finales Sistema Máquina - Barra Infinita Parámetro Valor Parámetro Valor K1 1,0927 TB 0,5 K2 0,7718 TC 0,05 K3 0,3284 TB1 0,01 K4 1,2908 TC1 0,2 K5 0,5231 KA 5 K6 TA 0,6 H 0,2593 3,133 KC 0,12 KD 15,2024 KF 0,015 Tr 0,02 TF 0,315 3.3.1.1 Respuesta a una señal paso En la Figura 3.25 se muestra la variación de la posición del ángulo del rotor ante un cambio en el torque sincronizante, donde se observa que existe un sobreimpulso del 8,12 % en el tiempo 0,386 s. El tiempo de establecimiento es de 6,92 s, con lo cual se corrobora nuevamente que el sistema ESST1A tiene una respuesta rápida en el dominio del tiempo. 141 Sin embargo, la respuesta transitoria tiene pequeñas oscilaciones debido a la falta de la componente de amortiguamiento, lo cual puede ser solucionado con un estabilizador de sistemas de potencia PSS. Figura 3.25 Respuesta de la posición angular del rotor con sistema ESST1A En la Figura 3.26 se muestra la respuesta a la salida del sistema de excitación. Como se puede observar, esta respuesta tiene un comportamiento opuesto a la posición angular del rotor, iguales a las respuestas obtenidas con DIgSILENT Power Factory. Figura 3.26 Respuesta del Sistema de Excitación ∆3ò³ 142 En la Tabla 3.22 se muestra un análisis de los indicadores de desempeño de la respuesta del sistema de excitación ∆<A` . Tabla 3.22 Análisis en el Dominio del Tiempo Parámetros Unidad Tiempo de arranque * [s] ∆<A` Tiempo de subida * [s] 0,368 Tiempo de establecimiento * [s] 5,16 Porcentaje de sobre-impulso* [%] 0 Tiempo de sobre-impulso * [s] -- 0,2 Del análisis mostrado en la tabla 3.22, se puede observar que los parámetros están dentro de los rangos aceptables. Una vez más se comprueba que la característica principal del sistema de excitación ESST1A es que tiene una respuesta transitoria muy rápida y con bajos sobre-impulsos, haciendo que la respuesta tienda a ser sub-amortiguada, tal como se detalla en el Anexo 2. 3.3.1.2 Diagrama de Nyquist En la Figura 3.27 se muestra la trayectoria de Nyquist para el sistema generador barra infinita, considerando los efectos del campo y sistema de excitación ESST1A. Figura 3.27 Diagrama de Nyquist con el Sistema ESST1A 143 Como se puede notar en la Figura 3.27 la trayectoria de Nyquist no encierra al punto crítico (−1 + l0), por tanto el sistema es estable con los parámetros previamente sintonizados. 3.3.1.3 Diagrama de Bode En la Figura 3.28 se muestra el diagrama de Bode del sistema generador - barra infinita considerando los efectos del campo y del sistema de excitación ESST1A. Como se puede observar el margen de fase tiene un valor positivo de 27,3º a los 10,9 rad/s y el margen de ganancia es de 44,3 dB a una frecuencia de 99,6 rad/s. Además, se observa que el sistema presenta una estabilidad absoluta debido a que se tiene valores positivos del margen de fase y de ganancia. Para determinar la estabilidad relativa del sistema, en la siguiente sección se compara los índices de respuestas con los valores estándar del IEEE. Figura 3.28 Diagrama de Bode considerando el sistema ESST1A En la Tabla 3.23 se muestra los resultados correspondientes al sistema generador - barra infinita con el sistema de excitación ESST1A. típicos corresponden a sistemas en lazo cerrado. Los rangos de valores 144 Tabla 3.23 Valor de los índices del diagrama de Bode Índices Margen de ganancia, ¹0 Generador Barra Infinita con ESST1A Margen de fase, ¹ò 44,3 dB Ancho de banda, 12,01 Hz Pico de resonancia, ¹2 27,3 9,14 dB El ancho de banda (12,01 Hz) es bastante alto indicando que el tiempo de subida en la respuesta temporal es pequeña, y que para este caso es de 0,368 (Tabla 3.23). El pico de resonancia tiene un valor por encima de los rangos aceptables, debido a que se escoge un coeficiente de amortiguamiento pequeño (8 %) y que está alrededor del límite permitido (5 %). El margen de ganancia y de fase son positivos indicándo que el sistema generador - barra infinita es estable. 3.4 COMPARACIÓN DE LOS INDICADORES DE LAS RESPUESTAS DINÁMICAS CON VALORES ESTÁNDAR DEL IEEE La recomendación que dispone el Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE) para evaluar la respuesta de la dinámica de sistemas de excitación es la IEEE Std 421.2-1990. Esta recomendación muestra los rangos de los parámetros que los sistemas de excitación deben cumplir para análisis de pequeña señal, tanto en el dominio del tiempo y la frecuencia. 3.4.1 SISTEMA GENERADOR DE LA FASE C DE LA CENTRAL PAUTE MOLINO – BARRA INFINITA En la Tabla 3.24 se muestra un análisis en el dominio del tiempo del sistema generador de la Fase C de Paute - barra infinita, con el fin de saber si las respuestas obtenidas son amortiguadas y si los tiempos se encuentran dentro los rangos aceptables recomendados por el estándar del IEEE. 145 Tabla 3.24 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistema de Prueba Rangos + 5% - 5% + 5% - 5% usetp usetp usetp usetp u, Ul u, Ul Q Q Parámetros Unidad Tiempo de arranque * [s] 0 a 0,1 0,058 0,068 0,059 0,067 Tiempo de subida * [s] 0,1 a 2,5 0,4 0,383 0,401 0,383 [s] 0,2 a 10 2,905 0,748 2,914 2,747 [%] 0 al 15 % 1,232 1,51 2,474 2,983 [s] 0a2 0,96292 0,9692 0,952 0,918 - 0a1 0,8136 0,8002 0,7622 0,7453 Velocidad natural [rad/s] - 5,612 5,44 5,098 5,1332 Frecuencia natural [Hz] - 0,893 0,865 0,811 0,8169 Tiempo de establecimiento * Porcentaje de sobreimpulso* Tiempo de sobreimpulso * Coeficiente de amortiguamiento* Aceptables U: Voltaje en terminales del generador Ul: Voltaje línea-línea del generador Q: Potencia Reactiva del generador *: Parámetros establecidos por el estándar IEEE 421.2-1990 Los valores mostrados en la tabla 3.24 se obtienen considerando que las respuestas se aproximan a las respuestas de un sistema de segundo orden: • Máximo sobre-impulso (MP): ¹£ = 3:'($= − 3>èÈ$æ? >èÈ$Ä=> 3>èÈ$æ? >èÈ$Ä=> • Tiempo de subida (t @AB CD ): • Tiempo de establecimiento (t @@ ): 1ù÷´9³r = 1E4% − 1:4% Tiempo en que la respuesta se establece con un margen del 2 % de su valor en estado estable. • Coeficiente de amortiguamiento (½): 146 Conocido el máximo sobre-impulso, se calcula el coeficiente de amortiguamiento despejando ½ de la siguiente ecuación: ¹£ = GH w:G / De los resultados mostrados en la Tabla 3.24 se puede concluir que las respuestas presentan bajos sobre-impulsos, la relación de amortiguamiento toma valores entre 0,7 y 1, logrando con ello que las respuestas del sistema sean amortiguadas. La frecuencia natural del sistema es muy baja con valores menores a 1 Hz. En general, todos los tiempos están dentro de los rangos aceptables de la IEEE, determinando que las respuestas del sistema son estables. 3.4.2 SISTEMA 9 BARRAS DEL IEEE En la tabla 3.25 se muestran los indicadores de respuesta al evento de rechazo de la Carga A del sistema de 9 barras del IEEE. Las variables a ser consideradas son el voltaje en los generadores y en las barras de carga, debido a que estos dos parámetros están asociados a los reguladores de voltaje. Tabla 3.25 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistema de 9 Barras del IEEE Voltaje en las barras de generación Rangos G1 con G2 con G3 con Aceptables ESST1A ESST2A ESST3A [s] 0,2 a 10 3,602 2,802 2,582 Porcentaje de sobre-impulso* [%] 0 al 15 % 0,1 0,195 0,1 Tiempo de sobre-impulso * [s] 0a2 0,192 0,252 0,232 Barra 6 Barra 8 Carga B 3,332 Carga C 3,062 Parámetros Unidad Tiempo de establecimiento Voltaje en las barras de carga Rangos Barra 5 Parámetros Unidad Aceptables Carga A Tiempo de establecimiento [s] 0,2 a 10 3,072 Porcentaje de sobre-impulso* [%] 0 al 15 % 0,1 0,1 0,1 Tiempo de sobre-impulso * [s] 0a2 0,242 0,232 0,232 147 Se puede observar que el máximo sobre – impulso es casi nulo, debido a que se trata de pequeñas variaciones de carga y por el alto grado de amortiguamiento de los sistemas de excitación. En general, las respuestas de voltaje en las barras de generación y carga están dentro de los rangos aceptables, concluyendo que las respuestas del sistema son estables. 148 CAPÍTULO 4 4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 4.1 CONCLUSIONES • Se presentan los fundamentos teóricos de la estabilidad de pequeña señal para sistemas eléctricos de potencia y se describen los métodos de control que permiten analizar las respuestas de sistemas de excitación tipo estáticos en el dominio del tiempo y la frecuencia. • Se realiza el análisis de pequeña señal del sistema generador barra – infinita utilizando los métodos de análisis de estabilidad con la ayuda del programa Matlab – Simulink donde se comprueba que: - Las inestabilidades de pequeña señal se deben al incremento constante del ángulo del rotor debido a la falta de suficiente torque sincronizante. - Las oscilaciones del rotor con amplitud creciente se deben a la falta de suficiente torque de amortiguamiento. - Si aumenta la componente de torque sincronizante (è , la frecuencia natural aumenta ,< y el coeficiente de amortiguamiento v disminuye. Si aumenta el coeficiente del torque de amortiguamiento (æ se incrementa el coeficiente de amortiguamiento v. La frecuencia natural ,< permite predecir los resultados cuando el sistema llega a ser inestable por insuficiente torque sincronizante y el coeficiente de amortiguamiento v determina posibles señales del sistema debido a insuficiente torque de amortiguamiento. • Se analizan las respuestas de los sistemas de excitación tipo estáticos ST1A, ST2A y ST3A en el dominio del tiempo y la frecuencia. Estos sistemas son bastante rápidos, debido a que alcanzan tiempos de establecimiento en pruebas de toma y rechazo de carga menor a los 5 149 segundos, tiempo aceptable dentro de los rangos recomendados por la IEEE Std 421.5-2005. Los sistemas de excitación ST1A y ST3A presentan respuestas sub-amortiguadas, mientras que el sistema de excitación ST2A presenta respuestas sobre-amortiguadas. • Se modela el sistema generador barra infinita en el programa computacional DIgSILET Power Factory V13.2 y se realiza pruebas de sintonización con los sistemas de excitación ST1A, ST2A y ST3A. Se obtuvo resultados aceptables con el sistema de excitación tipo ST1A, los cuales se detallan a continuación: - Un incremento en la ganancia del regulador KA produce un aumento en el máximo sobre-impulso pero reduce el error en estado estable, mientras que al modificar la ganancia del regulador KA, el tiempo de establecimiento no se ve afectado. - Un incremento del valor de la constante de tiempo de la excitatriz TA hace que la respuesta del sistema sea sobre-amortiguada, introduciendo para ello algunas oscilaciones luego de alcanzar el máximo sobre-impulso y el tiempo de establecimiento aumenta. El error en estable se mantiene para cualquier valor de TA. - Valores demasiados altos en la constante de tiempo del estabilizador del sistema de excitación TF podría causar total inestabilidad oscilatoria en el sistema, se obtienen respuestas aceptables con valores de TF entre 0,3 y 0,4. - Variaciones en la ganancia del estabilizador del sistema de excitación KF influyen en forma directa con el tiempo de establecimiento; y, - Las constantes de tiempo de adelanto TB y atraso TC, tienen una relación de 1 a 10 respectivamente. • Cuando se instala un sistema de excitación estático en un generador sincrónico con una adecuada sintonización, el coeficiente de amortiguamiento (æ se incrementa, permitiendo que las oscilaciones del 150 rotor disminuyan y garantizando estabilidad en el sistema. Con una sintonización no adecuada del sistema de excitación se tiene inestabilidad por el insuficiente torque de amortiguamiento en las oscilaciones del rotor (amortiguamiento demasiado pequeño o negativo). • Se modela una unidad de la Fase C de la central de generación hidroeléctrica Paute-Molino y un transformador elevador que conecta a una barra de carga para realizar pruebas paso en el voltaje de referencia y cambios de carga activa y reactiva. Los resultados en el dominio del tiempo de estas pruebas son tiempos de sobre impulso menores al 10 % y tiempo de establecimiento aproximadamente de 5 s. • Se modela el sistema de 9 Barras del IEEE el cual es ampliamente usado para análisis de estabilidad. Se realizan pruebas paso de voltaje y cambios de carga resistiva e inductiva, las respuestas fueron contrastadas con indicadores estándar del IEEE. En pruebas de toma y rechazo de carga reactiva, los sistemas de excitación tratan de mantener el voltaje en las barras de generación igual a su valor en estado estable, en cambio, en las barras de carga el voltaje aumenta si se rechaza carga y disminuye si se toma carga. • Se realiza el análisis modal sobre el sistema de 9 Barras del IEEE considerando la inclusión de los sistemas de excitación ST1A, ST2A y ST3A en los generadores 1, 2 y 3 respectivamente. Sin considerar los sistemas de excitación aparecen dos modos electromecánicos de oscilación propios por cada generador. Cuando se incluye los sistemas de excitación aparece un modo oscilatorio por cada sistema de excitación. Los polos correspondientes a los mismos se ubican más a la izquierda haciendo que las respuestas para los generadores amortiguamiento. tengan un mayor 151 • Se utiliza el criterio de Routh – Hurwitz para determinar el rango de valores de la constante de amortiguamiento (æ en el sistema generador barra infinita y de la ganancia sistema de excitación ($ que garantizan la estabilidad del sistema. • En base al analisis de los diagramas de magnitud y fase de Bode se determina la estabilidad relativa en frecuencia de los sistemas de excitación tipo estaticos, se compara las respuestas con indicadores establecidos por el IEEE. • Se utiliza el criterio de Nyquist para determinar la estabilidad absoluta del sistema generador - barra infinita y de los sistemas de excitación tipo estaticos. El sistema es estable si el diagrama de Nyquist no encierra al punto -1+j0. • Se analiza la estabilidad del sistema generador - barra infinita mediante el método de controlabilidad y observabilidad, mismos que determinan el efecto del modo ?-ésimo de la matriz de estado o de planta del sistema, es decir, si el sistema puede ser controlado por medio de sus entradas y si el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas. 152 4.2 RECOMENDACIONES • En las pruebas paso de voltaje y cambio de carga se observan únicamente respuestas de voltaje y potencia reactiva, debido a que son variables directamente relacionadas con los sistemas de excitación, por tanto, se recomienda realizar el análisis generador barra infinita considerando el sistema de regulación de velocidad y voltaje simultáneamente para así observar el comportamiento de otras variables de importancia como la frecuencia del sistema y la potencia activa en los generadores. • Se recomienda realizar los análisis desarrollados en este trabajo considerando los estabilizadores de sistema potencia (PSS) con el propósito de reducir el coeficiente de torque de amortiguamiento y así evitar oscilaciones en las respuestas transitorias de voltaje, potencia activa y reactiva. • Se recomienda utilizar los sistemas de excitación estáticos, cuyo modelo es el ST1A, en generadores sincrónicos, por tratarse de un sistema con gran amortiguamiento y que permite representar la estabilización del sistema de excitación a diferencia de los modelos ST2A y ST3A. 153 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] KUNDUR, Prabha, “Power System Stability and Control”, McGraw-Hill, 1994 [2] BENJAMIN, Kuo, “Sistemas de Control Automático”, Prentice Hall, 1996 [3] CARVALHO, J.L., “Dynamical systems and automatic control”, Prentice Hall. 1993 [4] Wood and Wollenberg, “Power System Operation and Control”, Wiley, 1984. [5] IEEE Std 421.2-1990 Guide for Identification, Testing, and Evaluation of the Dynamic Performance of Excitation Control Systems, Power Generation Committee Report, Power Engineering Society, May 1990. [6] IEEE Std 421.5-2005 IEEE Recommended Practice for Excitation System Models for Power System Stability Studies, Power Generation Committee Report, Power Engineering Society, April 2006. [7] FLORES, Hermógenes, “Estudio de Estabilidad de Pequeña Señal en el Sistema Nacional Interconectado aplicando el Método de Análisis Modal”, EPN, Proyecto de Titulación, Quito, Noviembre 2004. [8] Graham Rogers. Power System Oscillations. Kluwer Academic Publishers, Boston, 2000. ISBN 0-7293-7712-5. [9] Y.V. Makarov, V. A. Maslennikov, D. J. Hill, Calculation of oscillatory stability margins in the space of power system controlled parameters, Proceedings Stockholm Power Tech, Stockholm, June 18-22, 1995, pp. 416-421. 154 [9] Wilson Guamán, “Análisis de Estabilidad de Pequeña Señal del Angulo del Rotor de un Sistema Maquina-Barra Infinita”, EPN, Proyecto de Titulación, Quito 2003. [10] Noreya Sotomayor; “Estudio de los Estabilizadores de Potencia PSS de las Unidades de la Fase C de la Central Hidroeléctrica Paute”; EPN; Proyecto de Titulación; 2004. [11] Viviana María Agudelo Idárraga, Diego Fernando Parra Ladino, “Control De Oscilaciones Electromecánicas en Sistemas Eléctricos De Potencia Usando el Análisis Modal”, 2008. [12] Carlos Fabián Gallardo Quingatuña “Estabilidad y Amortiguamiento de Oscilaciones en Sistemas Eléctricos con Alta Penetración Eólica”; Tesis Doctoral; Universidad Carlos III de Madrid; Leganés/Getafe; Julio 2009. [13] M.C. Elizabeth Gpe. Lara Hdz.; M.C. José Manuel Rocha Núñez; “Criterio de Estabilidad de Routh”; Universidad Autónoma Nueva León; Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. ANEXOS Equation Chapter (Next) Section 1 154 ANEXO 1 SISTEMAS DE EXCITACIÓN ESTÁTICOS Se presenta aspectos generales de los sistemas de excitación: elementos, tipos, funciones y modelos que existen para representarlos. Se enfatiza en los sistemas de excitación estáticos, para lo cual, se analiza su respuesta en tiempo y frecuencia. Se indica los criterios de rendimiento dinámico y parámetros necesarios para la especificación de sistemas de excitación estáticos. 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE EXCITACIÓN [1], [6] Las funciones de un sistema de excitación son: • proveer de corriente continua al devanado de campo • controlar y proteger al generador mediante el control de voltaje, flujo de potencia reactiva y límites de capacidad, y • responder a perturbaciones transitorias sin exceder los límites de capacidad del generador. Los limitadores presentes en el sistema de excitación protegen a los componentes del generador y previenen la ocurrencia de situaciones indeseables que comprometen la confiabilidad de la operación. La capacidad del generador está limitada por algunos factores: falla de aislación en el rotor debido a elevados voltajes en el campo, calentamiento del rotor debido a las altas corrientes de campo, calentamiento del estator debido a la alta corriente de carga en la armadura y calentamiento en la región final del estator debido a la corriente de sub-excitación. 155 1.1 ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE EXCITACIÓN En la Figura A1.1 se muestra el diagrama de bloques del sistema de control de la excitación con sus respectivos componentes. Á:æ 3È , ÆÈ = Voltaje de salida de la excitatriz 3) = Voltaje y corriente en terminales del generador respectivamente 3# = Voltaje de salida del estabilizador del sistema de excitación 3>## = Voltaje de salida del compensador 3: = Señal de error de voltaje 3è' = Voltaje de salida del estabilizador del sistema de potencia 3è 3#>: = Voltaje de salida del regulador = Voltaje de entrada del estabilizador del sistema de potencia = Voltaje de referencia par regulación del voltaje Figura A1.1 Diagrama de bloques del sistema de control de la excitación 156 1.1.1 EXCITATRIZ Provee de corriente continua al devanado de campo de la máquina sincrónica y constituye la etapa de potencia del sistema de excitación. 1.1.2 ESTABILIZADOR DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN Es el circuito de realimentación de la excitatriz, cuya señal de realimentación se utiliza para compensar parcialmente la constante de tiempo y permitir un funcionamiento estable del sistema de control de excitación, con un mayor ajuste de la ganancia en estado estacionario del regulador. 1.1.3 REGULADOR DE VOLTAJE Procesa y amplifica la señal de control de entrada a un nivel adecuado para el control de la excitatriz. Los reguladores que usan los sistemas de excitación pueden ser AC o DC. El regulador de AC mantiene el voltaje del estator en un valor correspondiente a la referencia AC y dentro de rangos aceptables de operación. El regulador DC mantiene el voltaje de campo del generador constante de acuerdo a un voltaje DC de referencia. El control es de forma manual y se usa como un sistema arranque y respaldo cuando el regulador de AC falla. 1.1.4 TRANSDUCTOR DE VOLTAJE EN TERMINALES Y COMPENSADOR DE CARGA El Transductor de Voltaje sensa el voltaje y corriente AC a los terminales del generador, rectifica y filtra a cantidades DC. La señal de salida se compara con una referencia, la cual representa el voltaje terminal deseado. El Compensador de Carga se utiliza para mantener constante el voltaje en un punto eléctricamente remoto respecto a los terminales del generador. Si la compensación de carga no es usada la resistencia y la reactancia de compensación serán cero. 157 1.1.5 ESTABILIZADOR DEL SISTEMA DE POTENCIA Provee una señal adicional de entrada al regulador para amortiguar las oscilaciones del sistema de potencia. Algunas entradas comúnmente usadas son el deslizamiento de velocidad del rotor, la potencia de aceleración y la desviación de frecuencia. 1.1.6 LIMITADORES Y CIRCUITOS DE PROTECCIÓN Asegura que los límites de capacidad del generador no sean excedidos, es decir, limita la corriente de campo, el voltaje de excitación, el voltaje en terminales y limita la sub-excitación y sobre-excitación. Sus señales se aplican al control de excitación en varios puntos de suma o como entrada a una compuerta. 1.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE EXCITACIÓN Los sistemas de excitación pueden clasificarse en tres grandes grupos de acuerdo a la forma en que se obtiene la potencia para la excitación: • Sistema de excitación Tipo DC el cual utiliza un generador de corriente directa con un conmutador como fuente del sistema de excitación de potencia. • Sistema de excitación Tipo AC el cual usa un alternador y un rectificador estacionario o rotativo para producir la corriente directa necesaria para el generador del campo. • Sistema de excitación estático Tipo ST en el cual la fuente de excitación se alimenta a través de transformadores y rectificadores. La potencia de excitación está en el orden de 2 a 3,5 kW⁄MVA de potencia nominal. 158 1.2.1 SISTEMAS DE EXCITACIÓN TIPO DC Estos sistemas utilizan generadores DC como fuente de potencia de la excitatriz y proveen corriente al rotor a través de anillos rozantes. La excitatriz puede ser montada sobre el eje de un motor o sobre el eje del generador mismo; puede ser auto-excitada o con excitación independiente. Con excitatriz auto-excitada la salida de la excitatriz provee su propio voltaje de campo y con excitación independiente el campo de la excitatriz es provisto por una excitatriz piloto (generador de imán permanente). Los reguladores de voltaje de esta tecnología utilizan desde reóstatos hasta varias etapas de amplificación magnética o rotativa. La Figura A1.2 indica el diagrama esquemático de un típico sistema de excitación con un regulador de voltaje de amplidina para controlar el campo de la excitatriz. Figura A1.2 Sistema de excitación DC con regulador de voltaje amplidina [1] 1.2.2 SISTEMAS DE EXCITACIÓN TIPO AC Estos sistemas utilizan generadores AC como fuente de potencia de la excitatriz. Usualmente la excitatriz se encuentra en el mismo eje del generador y la salida AC de la excitatriz es rectificada por un rectificador controlado o no controlado 159 para proveer de corriente continua al campo del generador. Los rectificadores pueden ser estacionaros o rotativos. 1.2.2.1 Sistemas de Excitación con Rectificación Estacionaria La corriente DC de los rectificadores estacionarios ingresa al devanado de campo del generador a través de anillos rozantes. Estos sistemas pueden usar rectificadores controlados y no controlados. Cuando se utiliza un rectificador no controlado el regulador controla el campo de la excitatriz, controlando así el voltaje de salida de la excitatriz. La excitatriz AC es impulsada por el eje del generador y es auto-excitada con el voltaje de campo obtenido del rectificador con tiristores. La Figura A1.3 indica un sistema de excitación rectificador – alternador con campo controlado. Figura A1.3 Sistema de excitación rectificador – alternador de campo controlado Cuando se utiliza un puente rectificador controlado, el regulador controla directamente el voltaje DC de salida de la excitatriz mediante el control del ángulo de disparo de los tiristores. 160 La excitatriz AC es auto-excitada y utiliza un regulador de voltaje independiente para mantener su voltaje de salida. Existen dos modos independientes de regulación: • El regulador AC para mantener automáticamente el voltaje en terminales del generador en el valor deseado. • El regulador DC o control manual para mantener constante el voltaje de campo del generador, en situaciones de falla o desconexión del regulador AC. La Figura A1.4 indica un diagrama esquemático de sistema de excitación AC con rectificador controlado. Figura A1.4 Sistema de excitación AC con rectificador controlado 1.2.2.2 Sistemas de Excitación AC con Rectificación de Rotación La salida DC del rectificador alimenta directamente al campo del generador sin necesidad de escobillas o anillos rozantes. En la Figura A1.5 la armadura de la excitatriz AC y el puente rectificador no controlado rotan conjuntamente con el devanado de campo del generador. 161 La salida rectificada de la excitatriz piloto (rotor de imán permanente en el eje del generador) energiza el campo estacionario de la excitatriz AC el cual es controlado mediante el regulador de voltaje. Este sistema de excitación no usa anillos rozantes, así que la salida DC es llevada directamente al campo del generador principal. Figura A1.5 Sistema AC con rectificación de rotación, sin anillos rozantes 1.2.3 SISTEMAS DE EXCITACIÓN ESTÁTICOS TIPO ST En estos sistemas todos los componentes son estáticos o estacionarios y proveen la corriente de excitación directamente al campo del generador mediante anillos rozantes. Los rectificadores pueden ser controlados o no controlados y su potencia se obtiene del generador principal o de una barra auxiliar mediante un transformador que reduce el voltaje a un nivel adecuado. Se describe a continuación los tres tipos de sistemas de excitación estáticos que se han venido utilizando. 162 1.2.3.1 Sistema de Excitación ST con Fuente de Potencial y Rectificador Controlado La potencia en el sistema de excitación es suministrada a través de un transformador desde los terminales del generador o desde la barra de servicios auxiliares, y se regula la salida DC mediante un rectificador controlado por tiristores como se indica en la Figura A1.6. El voltaje máximo de excitación de salida depende del voltaje en terminales del generador, por lo tanto, en caso de falla cae el voltaje terminal y disminuye el voltaje techo de excitación. Este sistema tiene constantes de tiempo muy pequeñas, y una gran capacidad para forzar al campo en condiciones de postfalla. Este sistema es de bajo costo y de fácil mantenimiento, por tal razón, es comúnmente usado en sistemas de gran dimensión. Figura A1.6 Sistema ST con fuente de potencial y rectificador controlado 163 1.2.3.2 Sistema de Excitación ST con Fuente Compuesta y Rectificador No Controlado La potencia del sistema de excitación se obtiene tanto de la corriente como del voltaje en terminales del generador mediante el uso de un transformador de voltaje de alta potencia (PPT) y un transformador de corriente de núcleo saturable (SCT) tal como se indica en la Figura A1.7. Figura A1.7 Sistema ST con fuente compuesta y rectificador no controlado [1] Alternativamente, la fuente de voltaje y corriente puede ser combinada mediante un único transformador de excitación que provee transformación de corriente (permitiendo saturación) y de voltaje conocido como (SCPT). El regulador controla la salida de la excitatriz considerando la saturación del transformador de corriente saturable. En vacío la corriente en la armadura es cero, por tanto, toda la potencia se obtiene del voltaje terminales. En condiciones de carga, la potencia se obtiene tanto del voltaje como de la corriente en terminales del generador. En condiciones de falla con la reducción del voltaje en los terminales del generador, 164 la entrada de la corriente permite que la excitatriz mantenga una gran capacidad para forzar el campo. 1.2.3.3 Sistema de Excitación ST con Fuente Compuesta y Rectificador Controlado En este sistema el transformador forma parte del generador sincrónico, es decir las fuentes de voltaje y corriente están dentro del generador y proveen de potencia de excitación a la máquina. El resultado de dicha configuración es una respuesta muy rápida del sistema y una alta capacidad para forzar el campo. La Figura A1.8 presenta el diagrama del sistema ST con fuente compuesta y rectificador controlado. Figura A1.8 Sistema ST con Fuente Compuesta y Rectificador Controlado [1] La fuente de voltaje está formada por un conjunto de devanados trifásicos ubicados en tres ranuras en el estator del generador y un reactor lineal en serie. El reactor en serie realiza dos funciones: contribuye a la característica deseada de composición del sistema de excitación y reduce las corrientes de falla que se dan en el mismo sistema de excitación. 165 La fuente de corriente se obtiene por medio de transformadores de corriente montados en la terminal neutral de los devanados del estator. Estas fuentes se combinan por el principio de transformación y la salida resultante de corriente alterna se rectifica por medio de semiconductores de potencia estacionarios. El medio de control se provee por una combinación de diodos y tiristores conectados a un tipo de puente en paralelo. Un regulador estático de corriente alterna controla los circuitos de disparo de los tiristores y de esta manera regula la excitación hacia el devanado de campo del generador. El transformador de excitación consiste de tres unidades monofásicas con tres devanados: devanado primario de corriente (C), devanado primario de potencial (P) y un devanado secundario de salida (F). Durante condiciones de falla, la corriente fluye a través del devanado C del transformador de excitación, lo cual provee la capacidad de esfuerzo del devanado de campo cuando el voltaje en terminales decae. Debido a que la fuente de potencia del sistema de excitación estático es el generador, este no puede producir ningún voltaje hasta que exista corriente de campo, y por lo tanto al inicio no sería posible producirla puesto que no existe potencia para alimentar a la excitatriz. Por lo tanto, es necesaria otra fuente de potencia durante unos pocos segundos, que inicialmente provea de corriente de campo y energice al generador. Esta fuente se conoce como campo rápido (fieldflashing) y usualmente es un sistema de baterías. Equation Chapter 2 Section 2 166 ANEXO 2 2. MODELOS DE SISTEMAS DE EXCITACIÓN ESTÁTICOS [1], [6] Se procede en este anexo a realizar el análisis de estabilidad de los sistemas de excitación IEEE tipo ST1A y ST2A. Se presenta las características, lugar geométrico de las raíces, respuestas en el dominio del tiempo y frecuencia. Además, se realiza el diagrama de bloques de los modelos mencionados en el entorno Simulink-Matlab identificando las señales de entrada y salida. Se elige como parámetro variable la ganancia del regulador de voltaje. 2.1 MODELO DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN IEEE TIPO ST1A La Figura A2.1 indica el diagrama de bloques del modelo del sistema de excitación IEEE tipo ST1A. La entrada 3) proviene de la salida del transductor de voltaje y es restada de la señal de referencia del regulador para producir una señal de error de voltaje. 3è es la señal estabilizante proveniente del PSS y es sumada afectando a la señal de error de voltaje. Figura A2.1 Diagrama de bloques del modelo del sistema de excitación IEEE tipo ST1A 167 El error resultante es amplificado para proveer el voltaje de excitación y subsecuentemente el voltaje en terminales deseado. Señales adicionales tales como la salida del limitador de subexcitación (3I>= ) tienen actuación sólo en condiciones extremas o inusuales. En estado estacionario la señal estabilizante es nula (3è = 0). El voltaje de referencia equivalente del regulador 3#>: se calcula para satisfacer las condiciones iniciales de operación. El modelo de excitación tipo ST1A presenta las siguientes características: • Representa un sistema de excitación ST con Fuente de Potencial y Rectificador Controlado • La excitación es abastecida mediante un transformador desde los terminales del generador • El voltaje límite es directamente proporcional al voltaje terminal del generador • El efecto de regulación del rectificador sobre el voltaje límite es representada por la constante Kc • El modelo provee de un compensador de atraso-adelanto y un estabilizador en el lazo interno de realimentación • Por su gran capacidad para forzar el campo se incluye un limitador de corriente de excitación. El límite se define por Æ=# y la ganancia por (=# . En la Tabla A2.1 se presenta dos tipos de datos de prueba para estudio de estabilidad. Tabla A2.1 Datos de prueba para estudios de estabilidad 2 3 Parámetros Datos de prueba 1 Datos de prueba 2 Unidad Descripción KA 200 231 - Constante del regulador TA 0 0,3 s Constante de tiempo del regulador Kc 0,04 0 - Efecto de regulación del rectificador K LR 4,54 0 - Ganancia del limitador de corriente ILR 4,4 0 p.u. 2 Tomados de la Referencia [1] 3 Fuente: IEEE Stabilizing Model Límite de la corriente de campo 168 Parámetros 2 Datos de prueba 1 3 Datos de prueba 2 Unidad Descripción V RMAX 7,0 4 p.u. Límite de Vmáx en el campo V RMIN -6,4 -4 p.u. Límite de Vmín en el campo TR 0,015 0,015 s Constante de tiempo del transductor TB 0 6,76 s Constante de tiempo de atraso TC 0 1 s Constante de tiempo de adelanto KF 0 0,055 - Constante del estabilizador TF 0 1.2 s Constante de tiempo del estabilizador Las constantes RC, XC, TC1, TB1 no son usadas y VIMAX, VIMIN, VAMIN, VAMIN no son representadas. La Figura A2.2 presenta el modelo completo del sistema ST1A aplicado para estudios de estabilidad de pequeña señal. Figura A2.2 Modelo ST1A para estudios de pequeña señal No se toma en cuenta la señal proveniente de la ganancia KLR (Figura A2.1), porque representa al limitador de corriente de campo. 2.1.1 ESTUDIO DE ESTABILIDAD CONSIDERANDO DATOS DE PRUEBA 1 De acuerdo a los datos de Prueba 1, el diagrama de bloques del modelo ST1A (Figura A2.2) se reduce a uno simple de primer orden ilustrado en la Figura A2.3. 169 ∆ 1 1+T ∆ ∆ + - ∑ ∆ KA ∆ Transductor de Voltaje ∆3) ∆3): , ∆3>âò ∆3:æ = variable de estado = variables de entrada = variable de salida Figura A2.3 Modelo ST1A reducido según los datos de Prueba 1 Este modelo dispone de dos entradas y una salida, por lo tanto, se trata de un sistema MIMO4. 2.1.1.1 Ecuaciones de Estado La salida de los bloques integradores dan el número de variables de estado. Este modelo dispone de un bloque integrador, por lo tanto una sola variable de estado y una ecuación de salida que son: ∆3K̇ = ∆3K − ∆3K: ã# ∆3:æ = ($ó∆3>âò − ∆3K õ (2.1) (2.2) 2.1.1.2 Lugar Geométrico de las Raíces La ecuación característica del modelo ST1A es 1 + 0.015^ = 0. Por lo tanto, la ubicación del único polo del sistema en lazo cerrado (Figura A2.4) corresponde al polo del transductor de voltaje y no depende de la ganancia del regulador. Se observa que el polo se encuentra situado a la izquierda del plano “s”, lo que indica que el sistema es estable. 4 MIMO: Sistema con múltiples entradas y múltiples salidas. 170 sT=-66,67 Figura A2.4 Lugar Geométrico del modelo ST1A (Datos de Prueba 1) La respuesta temporal del sistema es muy rápida debido a que el polo se encuentra lejos del origen ( ). Por la ubicación de este polo en el eje real, la respuesta del sistema será siempre del tipo sobre-amortiguada y no presentará oscilaciones para cualquier valor de . 2.1.1.3 Respuesta en el tiempo Se simula el diagrama de bloques de la Figura A2.5 en lazo cerrado. respuestas corresponden al voltaje de campo Las con ganancias del regulador de 200, 500 y 800. Se puede observar que la ganancia del regulador no influye en la respuesta transitoria. El tiempo de subida es de 0,033 s y el tiempo de estabilización es de 0,0587 s. 171 Figura A2.5 Respuesta paso del modelo ST1A (Datos de Prueba 1) 2.1.1.4 Respuesta en frecuencia (Diagrama de Nyquist) Un sistema en lazo cerrado es estable si la trayectoria de Nyquist no encierra al punto crítico (−1 + l0). Mientras más alejado se encuentre la trayectoria al punto crítico el sistema es más estable. En la Figura A2.6 se puede observar que dicho punto está alejado de la trayectoria de Nyquist, por tal motivo, el Modelo ST1A es estable. Figura A2.6 Diagrama de Nyquist del modelo ST1A (Datos de Prueba 1) 172 2.1.1.5 Respuesta en frecuencia (Diagrama de Bode) En el diagrama de Bode de la Figura 2.15, se muestra que la curva no corta al eje correspondiente a 0 db, con esto se concluye que no hay ganancia crítica. De igual forma la curva de fase no corta al eje que corresponde a – 180 grados, por lo que tampoco existe fase crítica. Se puede concluir de esta manera que los márgenes de amplitud y de fase son muy amplios, lo que indica una estabilidad absoluta del modelo ST1A. Figura A2.7 Diagrama de Bode del modelo ST1A (Datos de Prueba 1) 2.1.2 ESTUDIO DE ESTABILIDAD CON LOS DATOS DE PRUEBA 2 Al considerar los datos de prueba 2, el diagrama de bloques del modelo ST1A (Figura A2.2) se reduce al modelo mostrado en la Figura 2.8, modelo usado para análisis de pequeñas señales. 173 variables de estado = ∆3) , ∆3$ , ∆3# , ∆3: variables de entrada = ∆3): , ∆3>âò variable de salida = ∆Á:æ Figura A2.8 Modelo ST1A reducido según los datos de Prueba 2 2.1.2.1 Ecuaciones de Estado El término (1 + ^ã) ) del bloque de compensación adelanto-atraso, hace que la señal de entrada en las ecuaciones de estado tenga términos derivativos, para evitarlo se realiza la siguiente reducción: 1 + ^ã) ã) ãÄ − ã) = + 1 + ^ãÄ ãÄ ãÄ (1 + ^ãÄ ) (2.3) Usando la ecuación 2.3, el modelo de la Figura A2.8 se transforma en el modelo indicado en la Figura A2.9. Figura A2.9 Modelo ST1A modificado según los datos de Prueba 2 174 Este modelo tiene 4 bloques integradores, por lo tanto, 4 son las variables de estado del sistema, las cuales son: ∆#̇Lð = − 1 ($ ($ ã) ($ ã) ∆Á:æ + ∆V$ − ∆V: − ∆V ã$ ã$ ã$ ãÄ ã$ ãÄ ) ($ ã) + ∆3 ã$ ãÄ >âò ∆ ̇ =− 1 ãÄ − ã) ãÄ − ã) ∆3$ − ∆3: ∆3) ; ãÄ ãÄ ãÄ ; ∆ ̇L =− 1 (: ($ (: 1 ($ ã) (: ∆Á:æ + ∆V$ − Ô + Õ ∆V: ã$ ã: ã$ ã: ã: ã$ ãÄ ã: −+ − + ∆ ̇ = ãÄ − ã) ãÄ ; ∆3>âò ($ ã) (: ∆V ã$ ãÄ ã: ) ($ ã) (: ∆3 ã$ ãÄ ã: >âò 1 1 ∆3): − ∆3) ã# ã# (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) La ecuación de salida es: ∆M = ∆Á:æ (2.8) Para saber cómo varían los polos de lazo cerrado conforme se ajusta ($, se grafica a continuación el lugar geométrico de las raíces. 2.1.2.2 Lugar Geométrico de las Raíces Para graficar el Lugar Geométrico de las Raíces se debe obtener la función de transferencia del sistema en lazo abierto, para lo cual, es necesario identificar el lazo de trayectoria directa (G) y el lazo de realimentación (H). El lazo de trayectoria directa está comprendido entre la señal de entrada y la señal de salida, 175 y el lazo de realimentación inicia desde la señal de salida y termina en la señal de entrada para sistemas SISO5. Este modelo tiene dos entradas (∆3>âò , ∆3) ), por tanto se trata de un sistema MIMO 6. La entrada ∆3) .es afectada por el transductor de voltaje, por tal razón, el lazo de trayectoria directa inicia a partir de donde termina el lazo de realimentación. El lazo de trayectoria directa está formado por los bloques de adelanto-atraso y el bloque regulador, y el lazo de realimentación está formado por el bloque estabilizador del sistema de excitación. De la Figura A2.9 los lazos de trayectoria directa y de realimentación G y H respectivamente son: °= ±= ($ (1 + ^ã) ) (1 + ^ãÄ )(1 + ^ã$) ^(: (1 + ^ã: ) La función de transferencia de lazo abierto es: °± = ^($(: (1 + ^ã) ) (1 + ^ãÄ )(1 + ^ã$)(1 + ^ã: ) El denominador de GH es de tercer orden y da lugar a una ecuación característica (1+GH=0) también de tercer orden. Al hacer referencia a las variables de estado que son 4, la ecuación característica debe ser de cuarto orden. Esta diferencia se da porque en el lazo GH no se consideró el bloque transductor de voltaje, que aporta con un polo, cuyo valor es -66.67. Al resolver la ecuación característica se comprueba que este polo permanece invariable para cualquier valor de ($ . Los bloques integradores que quedan fuera del lazo GH, aportan con 5 SISO: Sistema de una sola entrada y una sola salida 6 MIMO: Sistema de múltiples entradas y múltiples salidas 176 polos de lazo cerrado invariables con la ganancia del sistema, por tanto, no es necesario incluirlo en la gráfica del lugar geométrico de las raíces [12]. Al reemplazar los datos de prueba 2 en la función de transferencia GH se tiene: °± = 0,055^($ (1 + ^) (1 + 6.76^)(1 + 0,3^)(1 + 1,2^) donde se observa que existen 3 polos de lazo abierto los cuales son: ^#â0÷ør³Å> ^r³âør<jÅrj>rùÅ ^>ùjr´9ø9Nr³Å> = ^2: = ^2; = ^2­ = −3.33 = −0.1479 = −0,833 Existe un cero de lazo abierto en el infinito y dos ceros de lazo abierto finitos los cuales son: : = 0 ; = −1 En la Figura A2.10 se presenta el lugar geométrico de las raíces, el cual se obtiene al utilizar el entorno SIMULINK-MATLAB. 177 z1= 0 sp1= -3,33 sp2 = -0,1479 z2 = -1 sp3= -0,833 Figura A2.10 Lugar Geométrico del modelo ST1A (Datos de Prueba 2) Se observa en el lugar geométrico de las raíces que no existe un punto de ruptura para ningún valor de , por tal razón, la ubicación de los polos en lazo cerrado no se verán afectados. Por la ubicación de los polos en el lado izquierdo del lugar geométrico, el sistema es estable para cualquier valor de . 2.1.2.3 Respuesta en el tiempo Se simula el diagrama de bloques de la Figura A2.11 en lazo cerrado. respuestas corresponden al voltaje de campo Las con ganancias del regulador de 200, 500 y 800. Se puede observar que las respuestas son del tipo sobreamortiguadas y al aumentar la ganancia del regulador el tiempo de establecimiento disminuye. 178 Figura A2.11 Respuesta paso del modelo ST1A (Datos de Prueba 2) 2.1.2.4 Respuesta en frecuencia (Diagrama de Nyquist) En la Figura A2.12 se puede observar que el punto -1+j0 está alejado de la trayectoria de Nyquist, por tal motivo, el Modelo ST1A con los datos de prueba 2 es estable. Figura A2.12 Diagrama de Nyquist del modelo ST1A (Datos de Prueba 2) 179 2.1.2.5 Respuesta en frecuencia (Diagrama de Bode) En el diagrama de Bode de la Figura A2.13, se muestra que la curva no corta al eje correspondiente a 0 db, con esto se concluye que no hay ganancia crítica. De igual forma la curva de fase no corta al eje que corresponde a – 180 grados, por lo que tampoco existe fase crítica. Se puede concluir de esta manera que los márgenes de amplitud y de fase son muy amplios, lo que indica una estabilidad absoluta del modelo ST1A con los datos de prueba 2. Figura A2.13 Diagrama de Bode del modelo ST1A (Datos de Prueba 2) 2.2 MODELO DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN IEEE TIPO ST2A Algunos sistemas estáticos utilizan fuentes de corriente y de voltaje para formar la fuente de potencia. Estos sistemas de fuente compuesta con rectificadores se modelan por medio del modelo ST2A que se indica en la Figura A2.14. El modelo de la fuente de potencia de la excitatriz es una combinación fasorial de la corriente y el voltaje de armadura del generador. El regulador controla la salida de la excitatriz a través de la saturación controlada del transformador de corriente. 180 Á:æ%$& representa el límite del voltaje de excitación debido a la saturación de los componentes magnéticos, el parámetro ã> representa una constante de tiempo asociada con la inductancia de los devanados de control. Figura A2.14 Diagrama de bloques del modelo del sistema de excitación IEEE tipo ST2A En la Tabla A2.2 se presenta los datos de prueba para estudio de estabilidad. Tabla A2.2 Datos de prueba para estudios de estabilidad Parámetros 7 Datos de prueba 7 Unidad Descripción KA 120 - Constante del regulador TA 0,15 s Constante de tiempo del regulador Kc 0,65 - Efecto de regulación del rectificador KI 1,62 - Ganancia del limitador de corriente EFDMAX 3.55 p.u. Límite de la corriente de campo VRMAX 1,2 p.u. Límite de Vmáx en el campo VRMIN -1,2 p.u. Límite de Vmín en el campo KP 1,19 - Constante de tiempo del transductor KE 1,0 - Constante de tiempo de atraso TE 0,5 s Constante de tiempo de adelanto KF 0,02 - Constante del estabilizador TF 0,56 s Constante de tiempo del estabilizador Tomados de la Referencia [1] 181 2.2.1 ESTUDIO DE ESTABILIDAD La Figura A2.15 presenta el modelo completo del sistema ST2A aplicado para análisis de estabilidad de pequeña señal. Como se puede observar este modelo dispone de tres variables de estado, tres variables de entrada y una variable de salida. Figura A2.15 Modelo ST2A para estudios de pequeña señal 2.2.1.1 Ecuaciones de Estado La reducción hecha en el bloque de compensación adelanto-atraso en la sección 2.1.2.1, se hace también al bloque estabilizador para evitar términos derivativos en la señal de entrada. Así: ^(: (: (: = − ( 1 + ^ã: ã: ã: 1 + ^ã: ) (2.9) Usando la ecuación 2.9, el modelo de la Figura A2.15 se transforma en el modelo indicado en la Figura A2.16. 182 ∆3ô , ∆3; , ∆3;) ∆341 , ∆3ç/, , ∆3© ∆Á;) = variables de estado = variables de entrada = variable de salida Figura A2.16 Modelo ST2A modificado Este modelo consta de 3 bloques integradores, consecuentemente de 3 variables de estado las cuales son ∆3# , ∆3: y ∆3:æ . Realizando las operaciones adecuadas se llega a las siguientes ecuaciones de estado y salida. ∆#̇Lð = − ∆ ̇¨ = − ∆̇ L} =− (> 1 1 ∆Á:æ + ∆V# + ∆VÄ ã> ã> ã> ($ (: 1 ($ ($ ($ ∆Á:æ − ∆V# + ∆V:: + ∆3>âò − ∆3) ã$ ã: ã$ ã$ ã$ ã$ (: 1 ∆V:: ; ∆Á:æ − ã: ã: ∆M = ∆Á:æ (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) 2.2.1.2 Lugar Geométrico de las Raíces De la Figura A2.16 los lazos de trayectoria directa G y de realimentación H respectivamente son: °= ($ 1 (1 + ^ã$ ) ((> + ^ã> ) 183 La función de transferencia de lazo abierto es: Al reemplazar los datos de prueba del modelo ST2A en la función de transferencia GH, se tiene: (2.14) En la Figura A2.17 se indica el Lugar Geométrico de las Raíces del modelo ST2A, que se obtiene al simular la función (2.14) en el entorno SIMULIK-MATLAB. Figura A2.17 Lugar Geométrico del modelo ST2A La función (2.14) da lugar a tres polos, un cero finito en el origen y dos ceros en el infinito que son: 184 ^#â0÷ør³Å> ^>ºK9jrj>9N ^>ùjr´9ø9Nr³Å> >ùjr´9ø9Nr³Å> = = = = ^2: ^2; ^2­ : = = = = −6,67 −2 −1,786 0 Se observa en el Lugar Geométrico de las Raíces que todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo, por tanto el sistema a lazo cerrado es estable para cualquier valor de ($, pues esto indica que no existe ningún polo con parte real positiva. Este sistema posee un polo dominante real de lazo cerrado ubicado entre el polo de lazo abierto ^2 = −1,786 y el origen, polo que corresponde al estabilizador del sistema de excitación. Con esto el tiempo de establecimiento será muy alto, pues el polo dominante se encuentra muy cerca del eje imaginario. Además, se observa que el sistema posee un punto de ruptura en ($ = 6,91, en dicho punto las raíces del sistema son: ^2: = −1,084 y ^2;­ = −4,71. Para dicho valor de ganancia se puede decir que se tendrá la respuesta a lazo cerrado con menor tiempo de establecimiento (1ù ), el cual puede calcularse partiendo del valor del punto de ruptura (-4,68) tal como se indica a continuación. 1ù(;%) = 4O = 4 Ø 1 Ù = 0,85 ^ 4,68 Para valores menores a ($ los polos del lazo cerrado son todos reales, lo que indica que la forma de la respuesta será exponencial con pequeñas oscilaciones dependiendo de la ubicación de los otros polos. Ahora, si el valor de la ganancia supera a ($ = 6,91, el lugar geométrico se despega del eje real y los polos dominantes pasan a ser conjugados, lo que implica que la respuesta podrá ser aproximada a la de un sistema de segundo orden sub-amortiguado. En sistemas de segundo orden o sistemas de orden superior aproximados a sistemas de segundo orden, la rapidez de la respuesta en el tiempo se puede medir a través de la relación de amortiguamiento v. Las respuestas más rápidas 185 se dan cuando los polos de lazo cerrado se ubican entre valores de v equivalentes a 0,8 y 0,5 [12]. Los valores de v se pueden medir en sistemas de segundo orden que tengan al menos dos ramas que crezcan al infinito. El modelo ST2A es un sistema de tercer orden con dos ramas al infinito, por lo que puede ser visto como uno de segundo orden. La Tabla A2.3 indica las ganancias y los amortiguamiento de v = 0,8 y v = 0,5. ' = N, + polos para relaciones de Tabla A2.3 Ganancias y los polos para v = 0,8 y v = 0,5. ($ = 31,5 ^2: = −0,645 ^2;­ = −4,9 ± l3,67 ' = N, / ($ = 162 ^2: = −0,229 ^2;­ = −5,1 ± l8,82 2.2.1.3 Respuesta en el Tiempo Se simula el diagrama de bloques de la Figura A2.16 en lazo cerrado. En las Figura A2.18 se muestra la respuesta del voltaje de campo ∆Á:æ para la ganancia del regulador en el punto de ruptura ($ = 6,91, donde se observa que existe un sobre-impulso de 20,5 % debido a la aparición de polos conjugados. Además, se observa que el tiempo de establecimiento es de 0,832 s, valor aproximado al calculado anteriormente (1ù(;%) = 0,85 ^). 186 Figura A2.16 Respuesta paso del modelo ST2A (KA=6,91) En la Figura 2.16 se muestra la respuesta del voltaje de campo para ganancias ($ = 120 que corresponde a los datos de prueba. Se observa que la respuesta del modelo ST2A es muy rápida con un tiempo de establecimiento de 0,994, sin embargo, el sobre-impulso es demasiado elevado con un valor de 65,8 %. Figura A2.17 Respuesta paso del modelo ST2A (KA=120) 187 2.2.1.4 Respuesta en Frecuencia (Diagrama de Nyquist) En la Figura A2.18 se puede observar que el punto -1+j0 esta alejado de la trayectoria de Nyquist, por tal motivo, el Modelo ST2A con KA=120 es estable. Figura A2.18 Diagrama de Nyquist del modelo ST2A (KA=120 ) 2.2.1.5 Respuesta en Frecuencia (Diagrama de Bode) En el diagrama de Bode de la Figura 2.19, se observa que la curva de magnitud corta al eje correspondiente a 0 db, en la frecuencia 56,5 rad/s con lo cual se tiene un margen de fase positivo de 17,9º. La curva de fase no corta al eje que corresponde a – 180 º, por lo que no existe una ganancia crítica. Existe un pico de resonancia de 13,1 dB que se encuentra fuera del rango aceptable por el IEEE421.2 (0,8 a 4 dB), lo cual indica que el sistema en el dominio del tiempo tendrá un elevado sobre-impulso. 188 Figura A2.19 Diagrama de Bode del modelo ST2A (KA=120) 2.3 MODELO DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN IEEE TIPO ST3A Este es un sistema donde el voltaje es transformado a un nivel apropiado, luego utiliza rectificadores controlados para proveer la corriente continua necesaria para el campo del generador. Utiliza un lazo de control de voltaje de campo para linealizar la característica de control de la excitatriz. Esto hace que la salida sea independiente de las variaciones de la fuente de suministro hasta que sean alcanzadas las limitaciones de la fuente. El estabilizador del sistema de excitación está provisto por un elemento serie de adelanto y atraso en el regulador de voltaje. El regulador de voltaje de campo de lazo interno está compuesto de dos ganancias y una constante de tiempo. Este lazo tiene un ancho de banda amplio comparado con el límite superior de 3 Hz para otros reguladores. Los efectos de carga de los rectificadores y de conmutación son tomados en cuenta mediante una característica de regulación de los rectificadores. El límite del voltaje de salida del puente rectificador está determinado por la saturación de los componentes de potencia. 189 En la Figura A2.20 se detalla el diagrama de bloques del sistema de excitación ST3A. Figura A2.20 Diagrama de bloques del modelo del sistema de excitación IEEE tipo ST3A En la Tabla A2.3 se presenta los datos de prueba para estudio de estabilidad. Tabla A2.3 Datos de prueba para estudios de estabilidad Descripción Parámetros TR Retardo de medición KC Factor de la corriente de excitación KI Factor de corriente 0 TB Retardo de tiempo del filtro de entrada 10 Constante de tiempo del filtro de 1 TC 0 0,2 entrada derivativo KG Ganancia del lazo de realimentación KA Ganancia del regulador TA Constante de tiempo del regulador KM Ganancia del controlador TM Constante de tiempo del controlador 1 200 0 7,93 0,4 2.3.1 ESTUDIO DE ESTABILIDAD La Figura A2.21 presenta el modelo completo del sistema ST2A aplicado para análisis de estabilidad de pequeña señal. 190 Figura A2.21 Modelo ST3A para estudios de pequeña señal 2.3.1.1 Ecuaciones de Estado El término (1 + ^ã) ) del bloque de compensación adelanto-atraso, hace que la señal de entrada en las ecuaciones de estado tenga términos derivativos, para evitarlo se realiza la siguiente reducción: 1 + ^ã) ã) ãÄ − ã) = + 1 + ^ãÄ ãÄ ãÄ (1 + ^ãÄ ) (2.15) Usando la ecuación 2.15, el modelo de la Figura A2.21 se transforma en el modelo indicado en la Figura A2.22. Figura A2.22 Modelo ST3A modificado 2.3.1.2 Respuesta en el Tiempo Se simula el diagrama de bloques de la Figura A2.22 en lazo cerrado. En las Figura A2.23 se muestra la respuesta del voltaje de campo ∆Á:æ para la ganancia del regulador de 200, 400 y 800. 191 Figura A2.23 Respuesta paso del modelo ST3A Como se puede observar a diferentes valores de ganancia la respuesta del voltaje de campo es del tipo amortiguada con tiempos de establecimiento menores a un segundo. 2.3.1.3 Respuesta en Frecuencia (Diagrama de Nyquist) En la Figura A2.24 se puede observar que el punto -1+j0 está alejado de la trayectoria de Nyquist, por tal motivo, el sistema de excitación ST3A es absolutamente estable. Figura A2.24 Diagrama de Nyquist del modelo ST3A 192 2.3.1.4 Respuesta en Frecuencia (Diagrama de Bode) En el diagrama de Bode de la Figura A2.25, se observa que la curva no corta al eje correspondiente a 0 db, con esto se concluye que no hay ganancia crítica. De igual forma la curva de fase no corta al eje que corresponde a – 180 grados, por lo que tampoco existe fase crítica. Existen márgenes de amplitud y de fase muy amplios igual que el modelo ST1A anteriormente estudiado, lo que indica una estabilidad absoluta del modelo ST3A. Figura A2.25 Diagrama de Bode del modelo ST3A 193 ANEXO 3 3. DESEMPEÑO DINÁMICO DEL SISTEMA DE CONTROL DE EXCITACIÓN [1], [6] El desempeño del control de excitación depende de las características del generador, del sistema de potencia y del sistema de excitación. Al ser sistemas no lineales se diferencia su comportamiento dinámico ante pequeñas y ante grandes perturbaciones. A continuación se definen medidas de desempeño que se utilizan como base para evaluar y especificar el comportamiento de un sistema de control de excitación. La Figura A3.1 indica la representación general del sistema de excitación en la forma clásica usado para describir sistemas de control realimentados. Figura 3.1 Diagrama de bloques del sistema de control de excitación realimentado 3.1 MEDIDAS DE DESEMPEÑO ANTE GRANDES PERTURBACIONES. Las medidas de desempeño ante grandes perturbaciones proveen un medio para asegurar el comportamiento del control de excitación ante perturbaciones severas como las consideradas en estudios de estabilidad transitoria y de frecuencia. Especificaciones del sistema de excitación: 194 a) Voltaje techo: Es el máximo voltaje que el sistema de excitación es capaz de suministrar en sus terminales. Además, indica la capacidad para forzar el campo, valores mayores de voltaje tienden a mejorar la estabilidad transitoria. b) Corriente techo: Es la máxima corriente DC que el sistema de excitación es capaz de suministrar en sus terminales por un tiempo especificado. c) Respuesta temporal del voltaje de excitación: Es el voltaje a la salida del sistema de excitación expresado como una función de tiempo bajo determinadas condiciones. d) Tiempo de respuesta del voltaje de excitación: Es el tiempo de respuesta del voltaje de excitación medido cuando éste alcanza el 95% de la diferencia entre el valor de techo y el valor del voltaje de excitación en condiciones de operación continua con carga nominal. e) Alta respuesta inicial: Corresponde a sistemas con tiempos de respuesta de 0.1 s o menos. Esto indica una alta respuesta y rápida actuación del sistema. f) Respuesta nominal: Es la razón de crecimiento del voltaje de excitación de salida, determinada de la curva de respuesta del sistema de excitación, dividida para el voltaje campo nominal. La respuesta nominal se determina inicializando el sistema en condiciones de voltaje de excitación para carga nominal y produciendo un cambio brusco en el voltaje de campo para que alcance su valor de techo. Se debe incluir cualquier tiempo de retardo antes de que el sistema de excitación responda a la perturbación de inicial. En la Figura A3.2, la respuesta de excitación se representa por la línea ac, la cual se determina igualando el área acd con el área abd: ô/^¤=/^1k ú¼û?úk» = (k¼)(¼/) 195 donde = 0.5 s = voltaje de campo a carga nominal Figura A3.2 Respuesta nominal del sistema de excitación [1] Se considera un tiempo nominal de 0,5 s en la definición anterior ya que, ante una perturbación severa la oscilación del ángulo del rotor normalmente alcanza un valor de pico entre 0,4 y 0,75 s, por lo tanto, el sistema de excitación debe actuar en este período para mejorar la estabilidad transitoria. En los sistemas de excitación con una alta respuesta inicial el voltaje techo y el tiempo de respuesta son los parámetros más representativos. 196 3.2 MEDIDAS DE DESEMPEÑO ANTE PEQUEÑAS PERTURBACIONES Las medidas de desempeño ante pequeñas perturbaciones proveen un medio para evaluar la respuesta del sistema de control de excitación en lazo cerrado ante pequeñas variaciones en las condiciones del sistema. Además, son útiles para verificar los parámetros del sistema de excitación. 3.2.1 ÍNDICES ASOCIADOS A LA RESPUESTA TEMPORAL La típica respuesta temporal de un sistema de control realimentado ante una señal paso de entrada se indica en la Figura A3.3. Figura A3.3 Típica respuesta temporal ante una señal paso de entrada [9] Los índices asociados a la respuesta temporal son una medida de la rapidez de la acción de control y son los siguientes: • Tiempo de crecimiento; • Tiempo de establecimiento; 197 • Máximo sobre-impulso (5 - 15%). 3.2.2 ÍNDICES ASOCIADOS A LA RESPUESTA DE FRECUENCIA EN LAZO ABIERTO Una característica típica de respuesta de frecuencia en lazo abierto de un sistema de control de excitación con el generador a circuito abierto se indica en la Figura A3.4. Figura A3.4 Típica respuesta de frecuencia en lazo abierto de un sistema de control de excitación con el generador a circuito abierto [9] Los índices asociados con la respuesta de frecuencia en lazo abierto son: • Ganancia a baja frecuencia °: valores mayores de ° aportan una mejor regulación de voltaje en estado estable. • Frecuencia de cruce de ganancia sK : Valores mayores de sK : indican una respuesta más rápida. 198 • Márgenes de fase ¥K y de ganancia °K : Valores mayores de márgenes indican una mayor estabilidad del lazo de control de excitación. Un buen criterio de diseño es obtener ¥K > 40P y °K > 6-© para obtener una respuesta estable no oscilatoria del sistema. 3.2.3 ÍNDICES ASOCIADOS A LA RESPUESTA DE FRECUENCIA EN LAZO CERRADO La Figura A3.5 muestra la correspondiente respuesta de frecuencia en lazo cerrado con el generador a circuito abierto. Figura A3.5 Típica respuesta de frecuencia en lazo de un cerrado con el generador a circuito abierto [9] Los índices asociados con la respuesta de frecuencia en lazo cerrado son: 199 • Ancho de banda sÄ : Valores mayores de sÄ indican una respuesta más rápida y describe características de rechazo de ruido. • Pico de resonancia ¹2 : Para criterio de diseño toma valores entre 1.1 y 1.6. Un valor mayor a 1.6 es indicativo de un sistema oscilatorio con gran sobreimpulso en la respuesta transitoria. 3.2.4 ÍNDICES ASOCIADOS AL DOMINIO DE LA FRECUENCIA COMPLEJA (PLANO S) Las características dinámicas de un sistema de control se pueden representar mediante la asignación de los valores (o raíces características) de la función de transferencia de Laplace en el dominio de la frecuencia compleja en el plano-S. Las ubicaciones típicas de las raíces de un sistema de control de excitación con el voltaje terminal realimentado en lazo abierto y el generador en circuito abierto se indica en la Figura A3.6. Figura A3.6 Gráficas de polos y ceros de un típico sistema de control en lazo abierto con el generador en circuito abierto [9] 200 Las raíces reales (^ = u ) se ubican en el eje horizontal del plano-S. Las raíces complejas (^ = u ± ls) se mapean en pares. Las raíces de frecuencia positiva u + ls con su respectiva raíz de frecuencia negativa u − ls. Las raíces del denominador de la función transferencia son los polos (representado por "X" en la Figura 2.16) y las raíces del numerador son ceros (representado por "0"). Los polos que están más a la izquierda del eje ls (vertical) representan modos, los cuales son más rápidamente amortiguados que los más cercanos al eje ls. Los polos que se encuentran a la derecha del eje ls representan modos inestables y, por tanto, indican que un sistema es inestable. Las ubicaciones de los polos de lazo abierto y ceros en la Figura 2.16 dependerán de las características dinámicas de las funciones de transferencia de G1 y G2. Aunque la ganancia del lazo K no tiene ningún efecto en los polos y ceros de lazo abierto, tiene un gran efecto en los polos de lazo cerrado. La Figura A3.6 muestra el Lugar Geométrico de las Raíces del sistema de control de excitación con las características de circuito en lazo abierto mostrado en la Figura A3.5. Los polos del sistema en lazo cerrado se asignan en el plano-S conforme varía el valor de ganancia K. Con un valor de ganancia K = 0, los polos de lazo cerrado son los mismos que los polos del sistema en lazo abierto. Con un valor de ganancia K = Kco, los polos cruzan sobre el eje l² hacia la derecha del plano-S, indicando inestabilidad. Si la ganancia K es ajustable, la ganancia operativa K = Kop puede ser seleccionado por un margen de ganancia (°K ) y coeficiente de amortiguamiento (v) aceptables.
