T E S I S FORMULACION TRIDIMENSIONAL. DE METODO DE LOS ELEMENTOS OE CONTORNO CON INTERPOLACION PARABOLICA por Manuel DOBLARÉ CASTELLANO I n g e n i e r o I n d u s t r i a l p o r la E . T . S . d e l . l . d e S e v i l l a presentada en la ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES de la UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID para la obtención del Grado de Doctor Ingeniero Industrial Madrid, Abril de 1.981 T E S I S DOCTORAL F O R M U L A C I O N T R I D I M E N S I O N A L DE LOS E L E M E N T O S DE C O N T O R N O E N I N T E R P O L A C I ON P A R A B O L I C A Pon: Manuel D o b l a r é C a s t e l l a n o . D i r e c t o r de T e s i s : D . A n t o n i o M a r t í n N a v a r r o . Catedrático Supervisor: 0 . Enrique Alarcon Alvarez TRIBUNAL CALIFICADOR Presidente: D . Rafael P o r t a e n c a s a Baeza Vocales: D . A l b e r t o Dou Mas de X e x á s D . Román R i a z a P é r e z D . Angel M a r í a Sánchez P é r e z D. Enrique Alarcón Alvarez M a d r i d A b r i l 1981 P L A N T E A M I E N T O Y R E S U M E N DE LA T E S I S . El método de los elementos de c o n t o r n o ha s u s c i t a d o un i n t e r é s c r e c i e n t e en los ú l t i m o s d i e z a ñ o s , p r e s e n t á n d o s e como una h e r r a m i e n t a ú t i l p a r a la r e s o l u - c i ó n de p r o b l e m a s de la i n g e n i e r í a e s t r u c t u r a l , modelados matemáticamente p o r sis_ temas de e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s en d e r i v a d a s p a r c i a l e s . A t r a v é s de una f o r m u l a c i ó n i n t e g r a l en el c o n t o r n o del d o m i n i o , d o n d e se d e f i n e el p r o b l e m a , se c o n s i g u e la r e s o l u c i ó n de é s t e , m e d i a n t e la sola d i s c r e t i z a c i ó n de a q u é l , en c o n t r a p o s i c i ó n a los métodos de d o m i n i o , q u e n e c e s i t a n la c o m p l e ta d i s c r e t i z a c i ó n del mismo ( E l e m e n t o s F i n i t o s ) . E s t o s años han s e r v i d o , p o r un lado p a r a c i m e n t a r el método a n t e r i o r en cuanto a sus bases mateméticas se r e f i e r e , y p o r o t r o - p a r a d e f i n i r los campos= de la F í s i c a donde su u t i l i z a c i ó n p o d r í a s e r mas e f e c t i v a . Puede d e c i r s e que han sj_ do lo que la década de los 60 p a r a elementos f i n i t o s : la p r e p a r a c i ó n i n i c i a l p a r a el = d e s a r r o l l o e s p e c t a c u l a r hoy a l c a n z a d o . De h e c h o , el método de los elementos f i n í tos es capaz de a b o r d a r eficazmente los g r a n d e s r e t o s que plantea el c á l c u l o e s t r u c t u r a l en la a c t u a l i d a d , m i e n t r a s que los elementos de c o n t o r n o no han a l c a n z a d o aún dicho estadio. E s t a T e s i s p r e t e n d e e s t a b l e c e r el camino d e f i n i t i v o p a r a la r e s o l u c i ó n - de este t i p o de p r o b l e m a s en el c a s o e l á s t i c o t r i d i m e n s i o n a l . P a r a e l l o , se ha d e s a r r o l l a d o la f o r m u l a c i ó n p e r t i n e n t e tanto en su fase, puramente m a t e m á t i c a , como n u m é r i c a p a r a medios t r i d i m e n s i o n a l e s h e t e r o g é n e o s , así como un p r o g r a m a de g r a n d e s p o s i b i l i d a d e s que p e r m i t e n a t a c a r c u a l q u i e r caso= p r á c t i c a m e n t e s i n l i m i t a c i o n e s de t a m a ñ o , g e o m e t r í a ó c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en el m a r c o de la E l a s t i c i d a d T r i d i m e n s i o n a l . El t r a b a j o se compone de dos p a r t e s c l a r a m e n t e d i f e r e n c i a d a s , el estu d i o y p l a n t e a m i e n t o del método, así como la d e s c r i p c i ó n de las s o l u c i o n e s adopta - das p a r a la r e s o l u c i ó n de los m ú l t i p l e s p r o b l e m a s n u m é r i c o s que plantea no s o l o el método en s í , s i n o la implementación de un p r o g r a m a de t a l e s c a r a c t e r í s t i c a s , y de un anexo que comprende la d e s c r i p c i ó n d e t a l l a d a de cada uno de los a p a r t a d o s que = componen el p r o g r a m a . P o r ú l t i m o y p a r a l e l a m e n t e se ha a n a l i z a d o también el c a s o a x i s i m é t r i c o , p r o b l e m a t r i d i m e n s i o n a l c o n c a r a c t e r í s t i c a s muy e s p e c i f i c a s , d e s a r r o l landose su f o r m u l a c i ó n e implerrentando a s i m i s m o un p r o g r a m a que d e m u e s t r a la e x a c t i t u d de dicha formulación. El a u t o r q u i e r e e x p r e s a r su p r o f u n d o r e c o n o c i m i e n t o a los p r o f e s o r e s - A n t o n i o M a r t í n y E n r i q u e A l a r c ó n p o r su apoyo y e s t í m u l o en el d e s a r r o l l o del t r a b a j o , así como sus v a l i o s a s s u g e r e n c i a s e i n e s t i m a b l e s a p o r t a c i o n e s . De igual manera al p r o f e s o r F e d e r i c o P a r í s p o r su c o n s t a n t e ayuda en la e l a b o r a c i ó n del m i s m o , a mi c o m p a ñ e r o F r a n c i s c o G . B e n l t e z y a José M - Sebas tian por idéntico motivo. T a m b i é n q u e r r í a d a r las g r a c i a s a D . Manuel Díaz del R í o p o r la motiva c i ó n p r á c t i c a que ha a p o r t a d o al t r a b a j o , a t r a v é s de m ú l t i p l e s s u g e r e n c i a s y da - tos t é c n i c o s , y a D . P e d r o M e s t r e , D . Manuel Domínguez y demás m i e m b r o s del - C e n t r o de C á l c u l o del M . E . C . p o r las f a c i l i d a d e s o t o r g a d a s en la r e a l i z a c i ó n del = mismo. F i n a l m e n t e mi a g r a d e c i m i e n t o a C o n c e p c i ó n F e r n a n d e z p o r el g r a n níime r o de h o r a s i n v e r t i d a s d u r a n t e la m e c a n o g r a f í a del t e x t o . M a d r i d A b r i l 1 .981 I N D I C E L i s t a de S í m b o l o s . C A P I T U L O 1. C O N C E P T O S B A S I C O S . 1 .1 P r i n c i p i o s v a r i a c i o n a l e s en e l a s t i c i d a d Xj 1 2 1 . 2 . - Soluciones débiles 12 1 . 3 . - S o l u c i ó n n u m é r i c a del p r o b l e m a e l á s t i c o 19 1 . 4 . - F o r m u l a c i ó n m a t r i c i a l de los elementos f i n i t o s 25 1 . 5 . - El método de los elementos de c o n t o r n o 32 1 . 6 . - T r a n s f o r m a c i ó n de la e c u a c i ó n de N a v i e r en una E c u a c i ó n I n t e g r a l a t r a v é s de la T e o r í a de d i s t r i b u c i o n e s 1 . 7 . - S o l u c i ó n fundamental de la e c u a c i ó n de N a v i e r 36 46 C A P I T U L O 2 . F O R M U L A C I O N DEL METODO EN E L A S T I C I D A D TRIDIMENSIONAL 56 2 . 1 . - Introducción 56 2 . 2 . - M o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s 58 2 . 3 . - T e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s 64 2 . 4 . - E c u a c i ó n de S o m i g l i a n a p a r a puntos del c o n t o r n o 69 2 . 5 . - T e n s o r de t e n s i o n e s en puntos del c o n t o r n o 78 2 . 6 . - T r a n s f o r m a c i ó n de la i n t e g r a l de f u e r z a s de v o l u m e n en una i n t e g r a l de s u p e r f i c i e 81 CAPITULO 3. APROXIMACION NUMERICA. tíOLICA INTEGRACION PARA E N EL C A S O T R I D I M E N S I O N A L . 94 3 . 1 . - D i s c r e t i z a c i ó n y t r a t a m i e n t o de las e c u a c i o n e s i n t e g r a les 94 3 . 1 .1 . - A p r o x i m a c i ó n de la g e o m e t r í a 98 3 . 1 . 2 . - A p r o x i m a c i ó n de las f u n c i o n e s s o l u c i ó n 104 3 . 1 . 3 . - D i s c r e t i z a c i ó n . F o r m u l a c i ó n m a t r i c i a l del pro_ blema 107 3 . 2 . - C á l c u l o de las c o n s t a n t e s de i n t e g r a c i ó n . 113 3 . 2 . 1 . - Introducción 113 3 . 2 . 2 . - P u n t u a l i z a c i o n e s s o b r e la c u a d r a t u r a de Gauss 115 3 . 2 . 2 . 1 . - E r r o r en la c u a d r a t u r a de G a u s s . . . 118 3 . 2 . 3 . - S u b d i v i s i ó n en s u b e l e r r e n t o s . C á l c u l o de los puntos de i n t e g r a c i ó n en cada s u b e l e m e n t o . . . . 124 3 . 2 . 3 . 1 . - C á l c u l o de la d i s t a n c i a mínima de punto a un elemento 3 . 2 . 3 . 2 . - C á l c u l o de las v a r i a c i o n e s 3 s / 3 134 i y del J a c o b i a n o J 137 3 . 2 . 3 . 3 . - P r o c e s o de s u b d i v i s i ó n de un e l e mento cuando el nodo desde el que se i n t e g r a p e r t e n e c e al e l e m e n t o . . . 139 3 . 2 . 3 . 4 . - S u b d i v i s i ó n en el c a s o de que el nodo p e r t e n e z c a al elemento 3 . 2 . 4 . - C á l c u l o de las f u n c i o n e s s u b i n t e g r a l e s c o r r e s - 142 • pondientes a las m a t r i c e s A , B y P en los p u n tos de i n t e g r a c i ó n 150 VI I I 3 . 3 . - h o r m a c i ó n del sistema de e c u a c i o n e s 3.3.1 T i p o l o g í a de los nodos 152 155 3 . 3 . 2 . - C o n d e n s a c i ó n de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e 160 3 . 3 . 3 . - O r d e n a c i ó n de la m a t r i z de c o e f i c i e n t e del s i s tema 168 3 . 4 . - A p l i c a c i ó n de las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o 173 3 . 4 . 1 . - Aplicación directa 202 3 . 4 . 2 . - A p l i c a c i ó n de la r e l a c i ó n de Cauchy 208 3 . 4 . 3 . - Caso de t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s 216 3 . 5 . - R e s o l u c i ó n del s i s t e m a de e c u a c i o n e s 225 3 . 5 . 1 . - E l método del g r a d i e n t e conjugado 228 3 . 5 . 2 . - Aspectos computacionales 238 C A P I T U L O 4 . EL C A S O A X I S I M E T R I C O ' 241 4 . 1 . - Introducción 241 4 . 2 . - Formulación 242 4 . 2 . 1 . - M o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s ?43 4 . 2 . 2 . - T e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s 251 4 . 2 . 3 . - E c u a c i ó n de S o m i g l i a n a p a r a puntos del c o n - 4.2.4.- torno 260 I e n s o r de t e n s i o n e s en puntos del c o n t o r n o . . . . 267 4 . 2 . 5 . - T r a t a m i e n t o de las f u e r z a s p o r unidad de volu- 1 rhen 4 . 3 . - A p r o x i m a c i ó n n u m é r i c a . Caso de a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e . 269 272 4 . 3 . 1 . - R e p r e s e n t a c i ó n de la s u p e r f i c i e del d o m i n i o y de las f u n c i o n e s 4 . 3 . 2 . - D i s c r e t i z a c i ó n de la e c u a c i ó n i n t e g r a l 272 274 4 . 3 . 3 . - E v a l u a c i ó n de las c o n s t a n t e s de i n t e g r a ción 277 4 . 3 . 4 . - A p l i c a c i ó n de c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o y r e s o l u c i ó n del p r o b l e m a 287 4 . 4 . - E x t e n s i ó n al c a s o p l á s t i c o 291 C A P I T U L O 5. R E S U L T A D O S 309 5 . 1 . - Cubo sometido a t r a c c i ó n 309 5 . 2 . - C i l i n d r o sometido a p r e s i ó n i n t e r n a 3,18 5 . 2 . 1 . - A n á l i s i s como d o m i n i o t r i d i m e n s i o n a l 319 5 . 2 . 2 . - A n á l i s i s como c a s o a x i s i m é t r i c o 323 5 . 3 . - E s f e r a sometida a p r e s i ó n i n t e r n a 327 5 . 4 . - Cubo sometido a c a r g a s de t r a c c i ó n e n r p u n t o s internos 333 5 . 5 . - M a t e r i a l h e t e r ó g e n e o sometido a t r a c c i ó n 335 5 . 6 . - A n á l i s i s del D o l o 338 5 . 7 . - C i l i n d r o con f i s u r a .! CAP I TUL06. CONCLUSIONES Y POSIBLES EXTENSIONES 347 .351 6.1 . - Resultados y conclusiones 351 6 . 2 . - Aplicaciones y desarrollo futuro 354 CAPITUL07. BIBLIOGRAFIA '357 A P E N D I C E 1. E C U A C I O N E S QUE R I G E N EL C O M P O R T A M I E N T O ELASTICO 376 A P E N D I C E 2 . R E L A C I O N E S E N EL C A S O A X I S I M E T R I C O 381 A l I .1 . - A l g u n a s p r o p i e d a d e s de las f u n c i o n e s de L e g e n d r e 381 A l I . 2 . - D e r i v a d a s del t e n s o r de G a l e r k i n 384 A l I . 3 . - C á l c u l o del t e n s o r U ik A l I . 4 . - D e r i v a d a s del t e n s o r U . . ik 391 A I I . 5 . - I n t e g r a l e s a n a l í t i c a s en el c o n t o r n o . . . 409 395 A l 1 . 5 . 1 . - I ntegrales correspondientes al c á l c u l o de A 409 A l 1 . 5 . 2 . - I ntegrales correspondientes al c á l c u l o de B AII.6.- I n t e g r a l e s a n a l ' t i c a s en el d o m i n i o . . . . 41.2 41i5 A l l . 6 . 1 . - C á l c u l o de las i n t e g r a l e s correspondientes a T 415 A l I . 6 . 2 . - C á l c u l o de las ¡ n t e g r a l e s correspondientes a T1 B i o g r a f í a del a u t o r 418 42 l 5 L I S T A DE S I M B O L O S SIMBOLOS LATINOS A Operador diferencial. A^ O p e r a d o r d i f e r e n c i a l en un e s p a c i o de d i m e n s i ó n f i n i t a . a... . ijkl T e n s o r opuesto al de Lame, _A, E , F, M a t r i c e s p r o p i a s del M . E . C . en la f o r m u l a c i ó n de movimientos, B, P b V e c t o r de c a r g a . B^ (X) B o l a de r a d i o £ c e n t r a d a en el punto x . c Constante. C, D, P, Z, - ' D i s t i n t a s m a t r i c e s que a p a r e c e n en el M . E . F . L , 2L, K , Q , A C O p e r a d o r de L a m e , e lC C O p e r a d o r a d j u n t o al de Lame, e T e n s o r p r i n c i p a l de m o v i m i e n t o s de c o n t o r n o , ik C" ( fi) D E s p a c i o de las f u n c i o n e s n - c o n t i n u a s en D i s t a n c i a e n t r e dos puntos Derivada total. iD ( f t ) a D E s p a c i o de las d i s t r i b u c i o n e s D e r i v a d a a r e s p e c t o a una v a r i a b l e . D, S M a t r i c e s que a p a r e c e n en el M . E . C . en la f o r m u l a c i ó n de t e n - G, H siones. S o l u c i ó n fundamental de un o p e r a d o r d i f e r e n c i a l . ^h' p h' G Vh* Distintos operadores entre espacios funcionales. v T e n s o r de G a l e r k i n . Módulo de r i g i d e z . H F u n c i o n a l de F R I E D R I C H S . H (n) D i s t r i b u c i ó n de H e a v i s i d e en un d o m i n i o J F u n c i o n a l de Hu - Hai - C h a n g . J a c o b i a n o de una t r a n s f o r m a c i ó n , K U) núcleo de P e a n o . N f u n c i o n e s de i n t e r p o l a c i ó n . P P o l i n o m i o s de g r a d o n . n F u n c i o n e s de L e g e n d r e de segunda e s p e c i e . Q A l g e b r a de c o n v o l u c i ó n . F u n c i o n a l de R i t z . d i s t a n c i a e n t r e dos p u n t o s . P r i m e r a coordenada a x i s i m é t r i c a . r R e s i d u o en una i t e r a c i ó n i en el método del g r a d i e n t e c o n j u g a d o , i R h u n c i o n a l de R e i s s n e r . IR E s p a c i o de v a r i a b l e s r e a l e s de d i m e n s i ó n u n o . S Energía complementaria. S u p e r f i c i e s que a p a r e c e n en el c á l c u l o de m o v i m i e n t o s en pun - s l f S tos del c o n t o r n o . V e c t o r t e n s i ó n en un punto del c o n t o r n o . t T T V e c t o r t e n s i ó n en un punto del c o n t o r n o . ik u T e n s o r c a r a c t e r í s t i c o en la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a . V e c t o r de m o v i m i e n t o s en un punto del d o m i n i o . U.. T e n s o r c a r a c t e r í s t i c o en la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a . v. i V V e c t o r c a r a c t e r í s t i c o en el método del g r a d i e n t e c o n j u g a d o . ik \ E s p a c i o de p r o y e c c i ó n . Pesos en una c u a d r a t u r a de G a u s s . w E s p a c i o de S o b o l e v . x C o o r d e n a d a s de un p u n t o . X V e c t o r de f u e r z a s de v o l u m e n . E s p a c i o de a p r o x i m a c i ó n . Y. E s p a c i o de a p r o x i m a c i ó n . Segunda c o o r d e n a d a a x i s i m é t r i c a , SIMBOLOS GRIEGOS a , 3 Constantes c a r a c t e r í s t i c a s en el método del G r a d i e n t e conjugado. Y V a r i a b l e c a r a c t e r í s t i c a del c a s o a x i s i m é t r i c o . 5 ti 6 3 C o n t o r n o de un d o m i n i o a c o t a d o . D i s t r i b u c i ó n de D i r a c . m A e e.. U eP. |J e ... ijk D e r i v a d a m - sima de una d i s t r i b u c i ó n . Lapaciano de una f u n c i ó n . Infinitésimo. I e n s o r de d e f o r m a c i o n e s T e n s o r de d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s I n d i c e de p e r m u t a c i ó n , K ,n Coordenadas i n t r í n s e c a s . A N ú m e r o de puntos de G a u s s . v N o r m a l al c o n t o r n o . Módulo de P o i s s o n . \l>> <}>> c Distintas funciones. X T e n s o r de G a l e r k i n . o T e n s o r de t e n s i o n e s . am F u n c i ó n s a l t o de g r a d o m . Z Sumatorio E s p a c i o de f u n c i o n e s . 6 Angulo. D i s t r i b u c i ó n de t e m p e r a t u r a . fl Dominio acotado. ft D o m i n i o acotado menos una bola de r a d i o e OTROS SIMBOLOS V x Operador gradiente V . Operador divergencia. £ P e r t e n e c e a un U Unión de c o n j u n t o s . (\ I n t e r s e c c i ó n de c o n j u n t o s . || y N o r m a o seminorma de un elemento de un e s p a c i o normado ó seminormado. J'.- CONCEPTOS B A S I C O S Con este c a p í t u l o se p r e t e n d e e s t a b l e c e r el lenguaje que se u t i l i z a r á en los c a p í t u l o s p o s t e r i o r e s así como los p r o b l e m a s que d e b e r á n r e s o l v e r s e en e l l o s . En un= p r i m e r a p a r t a d o se r e c o p i l a n los p r i n c i p i o s e n e r g é t i c o s que s i r v e n de base en la t e o r í a l i n e a l de la e l a s t i c i d a d p a r a los p l a n t e a m i e n t o s n u m é r i c o s , m i e n t r a s que en el s e gundo se r e c u e r d a la e x i s t e n c i a y u n i c i d a d de la s o l u c i ó n a t r a v é s del teorema de - L A X - M I L G R A M asi como la e q u i v a l e n c i a con la m i n i m i z a c i ó n de un f u n c i o n a l . t i t e r c e r a p a r t a d o r e c u e r d a los c o n c e p t o s c l á s i c o s de la a p r o x i m a c i ó n numér i c a c o n c e n t r á n d o s e en el método de G A L E R K I N que es el que i n f o r m a la f i l o s o f í a b á - s i c a del método de los elementos f i n i t o s y de los elementos de c o n t o r n o cuyo d e s a r r o l i o f o r m a l se p r e s e n t a en los dos a p a r t a d o s s i g u i e n t e s . El paso b á s i c o del método de los elementos de c o n t o r n o y el c á l c u l o de la so l u c i ó n f u n d a m e n t a l , se d e s a r r o l l a a c o n t i n u a c i ó n Royándose en la t e o r í a de d i s t r i b u c i o _ nes así como el r e s t o de la f o r m u l a c i ó n p e r t i n e n t e . I .1 . - P R I N C I P I O S V A R 1 AC 1 O N A L E S Como es b i e n sabido la m a y o r í a de los métodos o p e r a t i v o s en e l a s t i c i d a d se a r t i c u l a n a l r e d e d o r del e s t a b l e c i m i e n t o de las c o n d i c i o n e s de e q u i l i b r i o ó c o m p a t i b i l idad= mediante una r e l a c i ó n conocida como " p r i n c i p i o de los t r a b a j o s v i r t u a l e s " . A p a r t i r d e un sistema en e q u i l i b r i o de t e n s i o n e s v de volumen X y t e n s i o n e s en el c o n t o r n o T que cumplen a , + X ¡ j J" • = 0 a v v = T < <J J - 1.1.1 y mediante o t r o sistema c o m p a t i b l e de d e f o r m a c i o n e s e % u cr , y f u e r z a s p o r u n i d a d ~ c o n g r u e n t e con m o v i m i e n t o s ^ , de modo que * 2 e.. U * = u., . i J -k + u.,. J i 1.1.2 Se e s t a b l e c e , ^ o b r e un d o m i n i o fi con c o n t o r n o 6 fi , - P r i n c i p i o de los t r a b a j o s v i r t u a l e s sistema en e q u i l i b r i o ' c * ¡j f X. e lU fi a 6n 1.1.3 í sistema c o m p a t i b l e A la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 3 se puede I l e g a r m u l t i p l ¡cando la p r i m e r a e c u a c i ó n de la * e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 p o r u. e i n t e g r a n d o p o r p a r t e s p a r a , f i n a l m e n t e a p l i c a r la segunda - ecuación de la e x p r e s i ó n I . 1 ; 1 y la d e f i n i c i ó n de la e x p r e s i ó n 1.1.2. 1.1 La e x p r e s i ó n 1 . 1 . 3 es pues una t a u t o l o g í a en el s e n t i d o de que p r e s e n t a e x a c tamente la misma i n f o r m a c i ó n que la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 y 1 . 1 . 2 , p e r o su c a r a c t e r inte - g r a l la hace muy i n d i c a d a p a r a p l a n t e a m i e n t o s g l o b a l e s y , en p a r t i c u l a r , p a r a métodos n u m é r i c o s como más adelante se v e r á . En l i b r o s j d e t e x t o la e c u a c i ó n I .1 . 3 se suele r e p r e s e n t a r e s p e c i a l i z á n d o l a en los llamados p r i n c ? p i o de los d e s p l a z a m i e n t o s v i r t u a l e s y p r i n c i p i o de las t e n s i o n e s - virtuales. P a r a el p r i m e r o se supone que la s o l u c i ó n en m o v i m i e n t o s es u con lo que la= 1 e x p r e s i ó n a n t e r i o r m e n t e mencionada s e r á c i e r t a si se correspondiente x x s u s t i t u y e u" p o r u y e e. Se imagina a h o r a un campo (u + 6 u; . p o r la e +6 e ) que sea c o m p a t i b l e con las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o ( l o que supone una r e s t r i c c i ó n ) y al a p l i c a r la ecua c i ó n I .1 . 3 de nuevo y r e s t a r de la e x p r e s i ó n p r e v i a se obtiene - P r i n c i p i o de los d e s p l a z a m i e n t o s v i r t u a l e s - a ij 6 e ¡j X i 6 u i v T + i 5 u. i 1.1.4 6 fi O b s e r v e s e que la i n t e g r a l de c o n t o r n o se r e f i e r e solamente a la zona en que no se conocen los m o v i m i e n t o s , pues en el r e s t o 6 u = 0 . P o r un p r o c e d i m i e n t o r e c í p r o c o se puede o b t e n e r el p r i n c i p i o de las t e n s i o n e s v v i r t u a l e s e s t a b l e c i e n d o la e c u a c i ó n I . 1 . 3 en dos e s t a d o s : el r e a l (_o ; _X ; _T ; _u;e_ ) y v o t r o v a r i a d o en el que se s u s t i t u y e a p o r o t r o campo a + 6 a en e q u i l i b r i o con X y T . Restando ambas e x p r e s i o n e s se c o n s i g u e - P r i n c i p i o de las t e n s i o n e s v i r t u a l e s - 1.1 e .. U v. i 6a.. 'J 5a.. IJ 1.1.5 v . J 6 fi O b s e r v e s e que la i n t e g r a l de c o n t o r n o se r e f i e r e a h o r a a la zona en que se - e n c u e n t r a n e s p e c i f i c a d o s los m o v i m i e n t o s . Los p r i n c i p i o s a n t e r i o r e s no e x p r e s a n mas que las c o n d i c i o n e s de e q u i l i b r i o y c o m p a t i b i l i d a d s i n r e f e r e n c i a a ninguna ley de c o m p o r t a m i e n t o e s p e c í f i c a . O t r a s e r i e de p r i n c i p i o s del mayor i n t e r é s se o b t i e n e cuando se hace la h i p ó t e s i s l i n e a l °ij ~ ¡j'kl e 1.1.6 kl donde, en g e n e r a l , las C , . son f u n c i o n e s acotadas de x £ fi , g e n e r a l m e n t e c o n s t a n ijkl tes ( c u e r p o homogéno) o c o n s t a n t e s p o r t r o z o s ( c u e r p o h e t e r o g é n e o ) «Extendiendo la s i t u a c i ó n del caso i s ó t r o p o se supone que la f o r m a c u a d r á t i c a c o r r e s p o n d i e n t e a la e x p r e sión I . 1 . 6 es d e f i n i d a p o s i t i v a , esto e s , e x i s t e Co > 0 tal que Ve 2 W ( e) = C , ijkl <= . . e . . IJ kl = C e o •• IJ e .. U IJ V I .1 . 7 É /v La v a r i a c i ó n de la e x p r e s i ó n I .1 . 7 es la d e r i v a d a de G A T E A U X 6 W [e (u) ] = W [e X = C .. , e . . (u)e ( 6 u) ijkl kl IJ (u + t 6 u) dt t=0 6 W = C... , e , , 6 e ijkl kl IJ = o ij 6e ij p o r lo que el p r i n c i p i o de la e x p r e s i ó n I .1 . 4 se e s c r i b e I .1 .8 1.1 v W 6< - X u T 6 L fi u V = 0 1.1.9 a Se d e f i n e a h o r a la e n e r g í a p o t e n c i a l como 0(u) = W (e ) - X u v T - u 1.1.10 6 fl con lo que la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 9 i n d i c a 60 = 0 1.1.11 es d e c i r el f u n c i o n a l 0 (u ) pasa p o r un puntó e s t a c i o n a r i o cuando u es la s o l u c i ó n del problema Que este punto es un mínimo se d e s c u b r e c a l c u l a n d o 0 (u +6 u) - 0 (u) = i C ijkl y a p l i c a n d o la c o n d i c i o n de la e x p r e s i ó n C .. . ó e.. 6 e, , ijkl IJ kl > ~ ^ C < 6e ij Se,, kl 1.1.7 fi e . . <5 e.. U U _ 0 A s i pues: - P r i n c i p i o de la e n e r g í a p o t e n c i a l mínima - La s o l u c i ó n u del p r o b l e m a e l á s t i c o hace mínimo al f u n c i o n a l 0(u) = i C¡jkl e ij X kl e ¡ u v T - i i u i.1.12 i 6 (2 en el c o n j u n t o de los campos de m o v i m i e n t o s g e o m é t r i c a m e n t e a d m i s i b l e s . E s t e p r i n c i p i o de mínimo puede t r a n s f o r m a r s e a h o r a en un p r i n c i p i o de máximo siguiendo el método de F R I E D R I C H S (1929) y , de c a m i n o , s i r v e p a r a o b t e n e r los l i a mados p r i n c i p i o s h í b r i d o s de W A S H I Z U ó R E I S S N E R . S i imaginamos la e c u a c i ó n 1 . 1 . 2 como una reí a c i ó n a cumpl i r, ya e y u inde - pendizados,a e f e c t o s de una p o s i b l e v a r i a c i ó n , el f u n c i o n a l ( e x p r e s i ó n I .1 . 1 2 ) , pasa r í a a depender de e y de un m u l t i p l i c a d o r de L a g r a n g e X a d e t e r m i n a r . Lo mismo po - d r í a p e n s a r s e de la c o n d i c i ó n de c o m p a t i b i l i d a d en la zona de c o n t o r n o con movirr.ien - tos p r e s c r i t o s u i = y i en 6 fi 1.1.13 u S i g u i e n d o a F R I E D R I C H S p o d r í a e s c r i b i r s e el f u n c i o n a l H ( u, e , X, y ) = ijkl e.. U 2 F i u i r 1/ \ i X . . l 2 ( u . , . + u .) - e . . J J i iJ U ' J e..+ kl - T 6 fi i u i + v . (y. i i u.) i 6 ft u 1.1.14 S i b u s c a m o s el v a l o r e s t a c i o n a r i o de H r e s p e c t o a u , e , X y y se o b t i e n e 6 H = (C ijkl F i e - X kl 6u i ij ) S e ij T - i X - 5 u. i - X 6 u , ij i j ( X.. U 5 u , + i j y . Su i i 5 fi y como ij X 5y + 5 fi u Su),.i J S X.. U IJ i (y i ( u . , . + u . , . ) - e . J' J J i U - u ) i 1.1.15 S SI , 5 u = 6 ¡j J ¡ u i X v ¡J J X , 6u IJ j ¡ 6 ft + 6 fi t u 6 H = ijkl kl IJ (X IJ ( X v .- T ) 6 u + ij J i i 6n (X 6 Q ¡j , ij j v J + F ) Su i i - y ¡ ) Su ¡ + l i (u., . + u.,.) - e . Js \m+ i J J i >J. 'J 4 (y. - u ) i i Su i 6 fí 1.1.16 c o n lo que l a s c o n d i c i o n e s de e s t a c i o n a r i d a d , s o n además de l a s e x p r e s i o n e s 1 . 1 . 1 2 y 1.1.13 X. = C . , ij ijkl c, , kl en ft 1.1.17 X + F. = 0 U J ' en n X ¡j v j = v T enfiñ 1.1.17 y = X v i ¡j J' en 6 ñ que p r o d u c e la i d e n t i f i c a c i ó n inmediata X ¡j =o U" v P i = 1.1.18 en fi T. i H a c i e n d o las s u s t i t u c i o n e s p e r t i n e n t e s en la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 4 se obtiene el funcional de H U - HA I - C H A N G (1955) y W A S H I Z U (1955). J ( u, e , q) = i C 1 1 ijkl e..e -a..e.. + £a (u., + u , ) - F u IJ kl U U U I J J i I i T. u + i i 6 fi t . v . ¡J v . (y. J i u.) i 1.1.19 6 Ü u De este f u n c i o n a l , de enorme g e n e r a l i d a d , se pueden o b t e n e r , al e x p r e s a r su v a r i a c i ó n p r i m e r o , todas las c o n d i c i o n e s s o b r e u , e (.oasta d e s h a c e r el p r o c e s o de c o n s t r u c c i ó n ) . En el caso de la e l a s t i c i d a d l i n e a l , t , c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o e t c , 1.1 o ij = C ijkl e kl 1.1.20 £ ij = 3ijkl ° kl que al s e r s u s t i t u i d a s en la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 9 conducen al f u n c i o n a l de RE I S S N E R H E L L I N G E R (1950 - 1914): R (u, a) = -i a.., , o . . a + i ijkl u kl o U a . . ( u . , . + u .) |J i J J i V F i u i - T i u i + 6Q ¡: t 1.1.21 v . (y. - u ) J i i El punto c r í t i c o de este f u n c i o n a l no es un e x t r e m o sino un p u e r t o como puede d e m o s t r a r s e . (Nefas - H l a v á E e k , 1981). El p r i n c i p i o de máximo c o r r e s p o n d i e n t e al mínimo de la e n e r g í a p o t e n c i a l se- obtiene i n v i r t i e n d o la p r i m e r a de la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 7 como £ ij " 3¡jkl X I.1.22 kl donde la f o r m a c u a d r á t i c a c o r r e s p o n d i e n t e a las a . , t i e n e evidentemente las mismas= ijkl p r o p i e d a d e s que las de las C , ijkl Como, además una i n t e g r a c i ó n p o r p a r t e s conduce a X.. ( u . , + u . , . ) =' ij i J J i ^ . u |J j ' X + 6 fi ¡j v u J ¡ 1.1.23 » la s u s t i t u c i ó n de las e x p r e s i o n e s I . 1 . 2 2 y I . 1 . 2 3 asi como 1 . 1 . 1 4 conduce a t r a n s f o r m a r el f u n c i o n a l S (o) = 2 i i j k l ° IJ V kl en la e c u a c i ó n H ( e , u , * , V- ) en u + 6 las I . 1 .17 ¡ a . v . IJ J 1.1.24 a Que el punto c r í t i c o es un máximo se d e s p r e n d e de la c o n s t r u c c i ó n h e u r í s t i c a del fun c i o n a l S ' C CJ) p e r o puede d e m o s t r a r s e en f o r m a r i g u r o s a (Neg:as - H l a v á £ e k , 1981). P a r a o b t e n e r un mínimo basta d e f i n i r la e n e r g i a c o m p l e m e n t a r i a como S (o) = - S I .1.25 (o) y asi 4- P r i n c i p i o de la e n e r g i a c o m p l e m e n t a r i a mínima - La s o l u c i ó n o del p r o b l e m a e l á s t i c o hace mínimo al f u n c i o n a l S (o) = a ijkl o ij o U kl I O .. IJ V. J 6 (2 en el c o n j u n t o de los campos de t e n s i ó n e s t á t i c a m e n t e a d m i s i b l e s . 1.1.26 1.1 F i n a l m e n t e una r e l a c i ó n de r e c i p r o c i d a d i n t e r e s a n t í s i m a se obtiene tomando= X X 3K dos (a , X , J dos estados T , u , _f) e) y ( acr* , , X * ,, T * ,, ui , e ) y e s t a b l e c i e n d o la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 3 e n t r e los campos c r u z a d o s . Se t i e n e asf o ¡j e X 'j i u V T + i 68 i u * i 1.1.27 * v* u X i i a ¡j e ¡ j T* I . u. I I 6 SI P e r o los p r i m e r o s m i e m b r o s son ¡guales en f u n c i ó n de las r e l a c i o n e s de la - e x p r e s i ó n I .1 . 2 0 y p o r tanto X. i Si v T. u. i i 5 SI * u. X. i i SI u. i > T + i 5 SI que es c o n o c i d o como t e o r e m a de MAXWELL - B E T T I . u i 1.1.28 I .2 I . 2 . - SOLUCIONES DEBILES El c á l c u l o a b s t r a c t o de v a r i a c i o n e s en e s p a c i o s de H i l b e r t permite dotar a los r e s u l t a d o s c l á s i c o s p r e v i o s de todo el r i g o r del a n a l i s i s f u n c i o n a l m o d e r n o . El — espacio en el que se t r a b a j a está c a r a c t e r i z a d o p o r el hecho de que las d e r i v a d a s - p r i m e r a s de los movimientos u son de c u a d r a d o i n t e g r a b l e . E s t r i c t a m e n t e hablando e l l o s o l o es c i e r t o p a r a las d e f o r m a c i o n e s la d e s i g u a l d a d de KORN c . . ( u ) e . . (u) > ij ij e , pero •j 1.2.1 c ' 11 ||u||; . ' 1 ,2 p e r m i t e t r a b a j a r con la norma engendrada p o r el p r o d u c t o e s c a l a r (u , y) = 2 M Í 1 2 i=1 D a u. t í p i c o del e s p a c i o de SOBOLEV- W= [ W1,2 ( n) ]3 es d e c i r I M I 1 > 2 = V 2 N 1 1 , 2 > W , ¡=1 donde Ui II 1,2 D a v l .2.2 Se-exige así que fi sea un d o r r i n i o c o n c o n t o r n o de L I P S C H I T Z y , en el c a s o i s ó t r o p o , que los c o e f i c i e n t e s de LAME X , y sean f u n c i o n e s m e d i b l e s y acotadas X,y C L (A) 00 E l c o n t o r n o se define como 6 fi= 5 fi a u U R donde R es de medida nula y tanto 6 n a como 6 fi son ó b i e n a b i e r t o s en 6 fi ó b i e n vau c í o s (según se t r a t e del p r o b l e m a e l á s t i c o , p r i m e r o , segundo ó m i x t o ) . Se d e f i n e el c o n j u n t o K como K = JY € C 1 ( fi) | sop f c f i U 6 fi^j 1.2.5 12 3 Tomando el c i e r r e de K en la t o p o l o g í a de W ' ( fl) y e s c i b i e n d o V = [ K ] se t i e n e V « 1.2.6 W donde «O y W1,2 o = K ' 2 ( n ) ] 3 1.2.7 es W1,2 o (A) = ID (N) 1.2.8 I .2 s i e n d o ID el e s p a c i o de las f u n c i o n e s con s o p o r t e c o m p a c t o . E l e s p a c i o V es un e s p a c i o de H I L B E R T al igual que el W y es llamado el esp a c i o de las f u n c i o n e s de e n s a y o . Supongamos que las f u e r z a s p o r u n i d a d de volumen son X [ L ( f i ) ] y las v ^ ~ ~ t e n s i o n e s en el c o n t o r n o T [ L ( ó f i ) ] así como que e x i s t e una f u n c i ó n u £ W i 2 o -o que d e t e r m i n a los m o v i m i e n t o s en 5 fi en el s e n t i d o de su t r a z a . u Con e s t a s c o n d i c i o n e s se e s t a b l e c e la s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n : La f u n c i ó n u - X V u vv - W es una s o l u c i ó n d é b i l del p r o g r a m a e l á s t i c o si u - u € -o + 2 Y e . . (u) ij - e . . (v) = ij - X i v i TV. + i 'n & v G V i V 1.2.9 6 ft Como se ve basta h a c e r 6 u = v £ V p a r a o b s e r v a r que el p r i n c i p i o de los - trabaj'os v i r t u a l e s es un ejemplo de p l a n t e a m i e n t o de la s o l u c i ó n d é b i l . P o r o t r o lado puede d e m o s t r a r s e que todo f u n c i o n a l <2 : H IR (donde H es un e s p a c i o de H i l b e r t ) , c o e r c i t i v o y d é b i l m e n t e s e m i c o n t i n u o i n f e r i o r mente alcanza su mínimo en H . E s t a s p r o p i e d a d e s son f á c i l e s de d e m o s t r a r p a r a la energia potencial. 0 (u) = [ i X 6 (u) + vi e . . (u) e . . (u) |J U - ] - F i u i - T. u 6 £2 i i 1.2.10 p e r o la d e r i v a d a de G A T E A U X de 0 se anula cuando se cumple !a e c u a c i ó n I .2.10.Así pues el mínimo es una s o l u c i ó n d é b i l . La r e c í p r o c a se d e m u e s t r a a t r a v é s del t e o r e ma de L A X - M I L G R A M que e s t a b l e c e la u n i c i d a d de la s o l u c i ó n d é b i l . - T e o r e m a de L A X - M I L G R A M - 3 v 3 Sea u £ W, X e [ L_ ( fi ) ' ] , T 6 [ L . ( ó f í ) ] y ¿ 0. Si existe -O ¿ ¿ o u jip > 0 tal que (y (x) > y )y(x (x) > 0 ) V x e fi e x i s t e una y s o l o una s o l u c i ó n o = O = débil del p r o b l e m a e l á s t i c o y llüllw = c (||uo|| w + II X« L 2 ( 0 ) ] 3 -IJO 2 a 3, I.2..V1 ( S i 6 ti= <5 fi el ú l t i m o t é r m i n o de la d e r e c h a d e s a p a r e c e ) u E n e f e c t o sí u es la s o l u c i ó n d é b i l y ü r e s u l t a de m i n i m i z a r 0 , c o m o es dé - b i l , p o r u n i c i d a d debe c o i n c i d i r con a q u e l l a . Vemos pues que la s o l u c i ó n del p r o b l e m a puede p l a n t e a r s e de ambas f o r m a s . La c o n e x i ó n con la e n e r g í a c o m p l e m e n t a r i a se puede l o g r a r de la s i g u i e n t e - f o r m a , se define el e s p a c i o H de los t e n s o r e s s i m é t r i c o s H = f a£[L(fi) l 2 ] 9 / a . . = a.. 1 ij JI J 1.2.ÍJ2 y se i n t r o d u c e la f o r m a b i l í n e a l í\ a " 2) ) - t a ) - a. , a .].) ijkl U a .2.) IJ 1l .2z . . 3 I .2 E n v í r t ü d de las p r o p i e d a d e s de los c o e f i c i e n t e s a , , y de la c o m p l i t u d de Ukl 9 , [l~2 ( ñ ) ] > el e s p a c i o H con la norma \J(o, o) es c o m p l e t o y p o r tanto e s p a c i o de - H i l b e r t con el p r o d u c t o de la e x p r e s i ó n I . 1 .41 . Se d e f i n e n igualmente el e s p a c i o de los t e n s o r e s c o m p a t i b l e s H. = { a 6 H / L - 3 v € - V : o . . = C. e (v), IJ ijkl kl - V ¡,j } J 1.2.14 y el e s p a c i o de los t e n s o r e s d é b i l m e n t e a u t o e q u i l i b r a d o s H = | ae H / e . . (v) = 0 ¡•Ji i iU — \/ v € — v} j I.2.15 E v i d e n t e m e n t e H ^ es el complemento o r t o g o n a l de H^ y éste es s u b e s p a c i o de H. Se llama igualmente c o n j u n t o de campos de t e n s i o n e s e s t á t i c a m e n t e a d m i s i b l e s H/ O ij e (v) = ij - v X i v i + T . v. i i 6 \f v £ V I.2.16 0, Con e s t a s d e f i n i c i o n e s es f á c i l p r o b a r el t e o r e m a de la e n e r g í a c o m p l e m e n t a r i a mínima, también llamado a v e c e s , t e o r e m a de C A S T ' | G L I A N O - M E N A B R E A . Supongamos p a r a e l l o que se cumplen las c o n d i c i o n e s del teorema de L A X M I L G R A M , con lo que la e x i s t e n c i a y u n i c i d a d de la s o l u c i ó n u queda g a r a n t i z a d a . I .2 - El funcional energía complementaria S ( o) = i a ¡jkl a ij o kl ° ¡J a - 1.2.17 . . (u ) iJ - o toma su m í n i m o en £ tan s o l o c u a n d o o es el t e n s o r de c o m p o n e n t e s l.2.18 o . . ' ( u ) = C . . . . e, . (u) IJ ijkl kl - S u d e m o s t r a c i ó n se r e a l i z a m e d i a n t e el método de l a s p r o y e c c i o n e s o r t o g o n a les H. o - Sea w = u — u - o o (u) = a (u ) - o , w £ - o (u) V I .2.1'9 + o (w) - P o r c o n s t r u c c i ó n o (w) £ H^ . La d e f i n i c i ó n de s o l u c i ó n d é b i l i m p l i c a Supongamos un a £ Z a r b i t r a r i o . E v i d e n t e m e n t e ° I. a - a (u) e s t á en H ^ pues se t r a t a de un campo en e q u i l i b r i o d é b i l c o n c e r o c a r g a s e x t e r i o r e s . P o r t a n t o s i l l a m a m o s J (a) - = || a - a (u ) - -o O - O (u) + H a (u) - o (u ) 1.2.20 H tendremos 2 J ( cM a - a (u) || 2 + || a (w) H 1.2.21 || H de modo que el mínimo s o l o se a l c a n z a cuando o = a (u) Pero J (a) = [ ( a | r »-»H + 1 P (u ) || «""O " 2 h l .2.22 - 2 ( a , a(u ) ) -o luego J(_a)- a || _a ( u o ) || H ijkl a., a - 2 IJ kl ü . . e . . (u ) = 2 S ( a) U U o 1.2.23 que demuestra el t e o r e m a . b e plantee pues en m o v i m i e n t o s o en t e n s i o n e s la s o l u c i ó n del p r o b l e m a e l á s t i c o puede e s t a b l e c e r s e como la búsqueda del mínimo de un f u n c i o n a l y e l l o e x p l i c a la= i m p o r t a n c i a que los llamados métodos v a r i a c i o n a l e s d i r e c t o s , nombre que según - M I K H L I N se debe a S C B O L E V , t i e n e n en la r e s o l u c i ó n n u m é r i c a de p r o b l e m a s c o n c r e tos. 1 . 3 . - S O L U C I O N N U M E R I C A DEL P R O B L E M A ELASTICO En f o r m a s i m b ó l i c a ( G A V U R I N , 1973) los métodos n u m é r i c o s s u s t i t u y e n la - s o l u c i ó n del p r o b l e m a A X — ^ A u = f Y A ^ u 1.3.1 _ f por otro \ u h h = f donde A, a p r o x i m a h K 3 A \ A y \ Uh — . A Y h ^ " - 2 h f fh E n g e n e r a l ( T E M A M , 1973) e x i s t e n v a r i o s p r o c e d i m i e n t o s p a r a a p r o x i m a r un= espacio normado X mediante una f a m i l i a <X 1 ? J de e s p a c i o s n o r m a d o s , en g e n e heH r a l d i f e r e n t e s del a n t e r i o r . A saber: a) Se puede c o m p a r a r u con la imagen p d o r que a p l i c a X h h u h de u h en X , s i e n d o p h un o p e r a - en X . b) Se c o m p a r a la imagen n ( u ) d e u en un t e r c e r e s p a c i o F con la imagen p h u h de u, en F , siendo n y P, las r e s p e c t i v a s a p l i c a c i o n e s de X y X en F . h h h c) Se c o m p a r a u^ con una c i e r t a imagen r ^ u de u en X ^ siendo v^ un o p e r a d o r que a p l i c a X en X, . h - I .3 El c a s o a) r e c i b e el nombre de a p r o x i m a c i ó n i n t e r n a , y el b) de a p r o x i m a c i ó n e x t e r n a . E l c a s o c) solo r e v i s t e í n t e r e s a u x i l i a r . E n los c a s o s de a p r o x i m a c i ó n i n t e r n a la t r i a d a X, , P , r > está f o r m a d a h h hJ g e n e r a l m e n t e de d i m e n s i ó n f i n i t a y dos o p e r a d o r e s - p o r un e s p a c i o normado X, , h lineales continuos: p que g e n e r a l m e n t e es i n v e c t i v o y r que es s o b r e y e c t i v o ; el p r i h h m e r o se llama o p e r a d o r de p r o l o n g a c i ó n y el segundo de r e s t r i c c i ó n , siendo o b v i a s ambas a p e l a c i o n e s . La a p l i c a c i ó n p, ó r, de X en sí mismo se llama t r u n c a m i e n t o . h n E n c o n s e c u e n c i a se d e f i n e n error e r r o r de d i s c r e t i z a c i ó n e r r o r de t r u n c a m i e n t o © © u - u h" u - p p uh h r h r h V h h u n p APROXIMACION INTERNA © h \ * APROXIMACION Fig. I .2.1 © © EXTERNA E n f o r m a análoga ( F i g . I . 3 . 1 ) p a r a una a p r o x i m a c i ó n e x t e r n a se d e f i n e n error 'II n " - P II h F u, - v u .. h h 11 h e r r o r de d i s c r e t i z a c i ó n e r r o r de t r u n c a m i e n t o : 11 n u - p, r, h h 11|| F Los métodos más i n t e r e s a n t e s p a r a e s p a c i o s s e p a r a b l e s son los de G A L E R K I N que se c a r a c t e r i z a n p o r e s t a r h £ TN y s e r p^ la i n y s c c i ó n c a n ó n i c a de X ^ en X y r^ - la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l de X en X, ( s o b r e y e c t i v a ) pudiendo d e m o s t r a r s e ¡a e s t a b i l i d a d h y convergencia. Cuando se t r a t a de e s p a c i o s n o r m a d o s en g e n e r a l el método de G A L E R K I N se puede g e n e r a l i z a r tomando n £ " Í N y una s e c u e n c i a X r Si u £ X n u = si n < = 0 n con u n i ó n dansa en X tal que n o 1.3.3 no si n . W-> u = ú •n > n = o puesto q u e , c l a r a m e n t e p n r n u u V u 6 n— El o p e r a d o r U ( X n ) nfeTN r n s o l o esta d e f i n i d o en K = U (x ) , n n € TN p e r o como K es denso en X es p o s i b l e c o n s e g u i r la s i t u a c i ó n de c o n v e r g e n c i a y estabilidad. . E n el caso de los e s p a c i o X s e p a r a b l e s se toman como s u b e s p a c i o s X rvérados p o r s e c u e n c i a s Y h u, = h Si A ría (A h Í 1 h ! ;a. h i j 1 , ¥ 2 .. . . * h IR u . h v) = (f h , v) \/ Evidentemente la e x p r e s i ó n h 1.3.4 en la e x p r e s i ó n I . 3 . 2 es la r e s t r i c c i ó n de A en X, , la p r o y e c c i ó n se h v £ donde(. , . ) es el p r o d u c t o e s c a l a r d e f i n i d o en X (A los qe con lo que h a. £ j f , h h u , y .) = [f, , V.) h i h i 1.3.5 h Xu h 1.3.5 . es e q u i v a l e n t e a t = 1,2, h . _ _ 1.3.6 o lo que es igual siendo A, l i n e a l , al s i s t e m a h h J 1 a. J (A h h T.) I = (f , Y ) h I ¡=1,2 h 1.3.7 La e q u i v a l e n c i a de la e x p r e s i ó n I . 3 . 5 con la f o r m u l a c i ó n d é b i l es evidente p e r o también es p o s i b l e una i n t e r p r e t a c i ó n de R I T Z , como m i n i m i z a c i ó n de un f u n c i o nal. S i el f u n c i o n a l c o n t i n u o 0 a l c a n z a su mínimo pn un punto u de un e s p a c i o de H Ü b e r t . s e llama secuencia minirfiizante a u si u n n H' - n y si m=1 lím 0 (u ) = 0 (u) n n —oo , 1.3.8 E l método de R I T Z i m p l i c a la c o n s t r u c c i ó n de una s e c u e n c i a en f o r m a a n á l o ga a la de G A L E R K I N esto es, se f o r m a n los s u b e s p a c i o s X lí C. X (h = 1 , 2 , . . .) de m o - do que lim X, = X = > V u £ X lim d i s t ( u , X, ) = O h , h h—* 30 Como elementos de la s e c u e n c i a m i n i m i z a n t e se toman los u 0 ( u ) = min 0 (u) h u€ X h J h G X, t a l e s que h 1.3.10 h Que ( u, f 1 . . _ 1.3.9 es una s e c u e n c i a m i n i m i z a n t e está c l a r o . h =i S¡ u es el elemento que hace mínimas a 0 en X , como c o n s e c u e n c i a de la ex presión 1.3.9 e x i s t e v, h 0 (v )-*h 0 (u) y p o r la c o n d i c i ó n I . 3 . 1 0 £ X, , h v, h »- v . P o r c o n t i n u i d a d 1.3.11 0 (v. ) n p o r lo que > 0 (u. ) = n > 0 (u) = I.ó.1z 0 (u, ) — £ > (u) h E n el c a s o de la e n e r g i a p o t e n c i a l en el p r o b l e m a e l á s t i c o la c o n d i c i ó n conduce al mismo s i s t e m a G A L E R K I N ( b a s t a s u s t i t u i r la c o n d i c i ó n (f, V ) V v h h £ X h e n la e x p r e s i ó n m í n i m o 0 = j ( A (u h A (u , v , ) = h n ; u, ) - ( f , u, ) h h ), - E l método de los e l e m e n t o s f i n i t o s - E s exactamente un método de R I T Z - G A L E R K I N en el que N X = í v/v = h { ÍVeaseque ' donde P J X, C k Z j=1 W1,2 r\ h ' a J V . J , P J e & , a j real [ J 1-3.13 (ti)) ' son los v e r t i c e s de una t r i a n g u l a c i ó n del d o m i n i o y Y j son f u n c i o n e s b á s i c a s de pequeño s o p o r t e que en el c a s o de i n t e r p o l a c i ó n l i n e a l se d e f i n e n c o m o . Yh j (P. ) = « h jh 1.3.14 h h D e b i d o a la s i m e t r í a de la m a t r i z (A, ¥ , Y ) y al pequeño s o p o r t e de l a s h i j f u n c i o n e s , el t r a t a m i e n t o n u m é r i c o del p r o b l e m a r e s u l t a n t e es muy e f e c t i v o . - 1 . 4 . - F O R M U L A C I O N M A T R I C I AL DE L O S M E T O D O S DE E L E M E N T O S FINITOS E x i s t e n fundamentalmente t r e s p o s i b i l i d a d e s de a c u e r d o con el s i g u i e n t e es - a ) . - El mínimo de la e n e r g í a p o t e n c i a l conduce al método de los elementos - quema: f i n i t o s en m o v i m i e n t o s . b ) . - El mínimo de la e n e r g í a c o m p l e m e n t a r í a conduce al método de los eleme_n tos f i n i t o s en t e n s i o n e s . c ) . - El punto e s t a c i o n a r i o del p r i n c i p i o de R e i s s n e r conduce a los métodos híbridos. E n el p r i m e r c a s o se e s c r i b e la r e l a c i ó n I .1 .12como e Ó (u) = i T C e - UT X -I 1.4.1 6 fl Q a T T uT t o b i e n , si e= D 0 (u) = i u (DT UT) C D u - uT X - uT TT .4.2 6 fl El c a r á c t e r i n t e g r a l de las r e l a c i o n e s p e r m i t e s u s t i t u i r la e x p r e s i ó n p o r r e l a c i o n e s s o b r e d o m i n i o s p a r c i a l e s o elementos y su p o s t e r i o r a d i c i ó n . I.4.5 Si se hace la h i p ó t e s i s de i n t e r p o l a c i ó n u = N 1.4.3 a donde N son las f u n c i o n e s b á s i c a s de f o r m a (o i n t e r p o l a c i ó n ) y a los p a r á m e t r o s de la d i s c r e t i z a c i ó n 0 (u) = Í A T I ÍD N ) T C D N] - A AT N T X - A T N 6 T v T 1.4.4 a y p o r tanto el sistema de e c u a c i o n e s es 3 0 = 0 = K A - F K A = F .4.5 3 A donde llamamos K = (D N ) T C (D N) m a t r i z de r i g i d e z . 1.4.6 F = N t X + T v e c t o r de f u e r z a s nodales 5 fi ¿ t En el segundo caso la e n e r g í a c o m p l e m e n t a r i a e x p r e s i ó n I .1 . 2 6 S(a) ={ o T A u o T 6 fí La h i p ó t e s i s de d i s c r e t i z a c i ó n es a v se e s c r i b e 1.4.7 1.4 o =Z 1.4.8 P donde P son f u e r z a s nodales de las que están e x c l u i d a s las r e a c c i o n e s a s o c i a d a s con un sistema de apoyo i s o s t á t i c o . Además = L v P ,4.9 que en g e n e r a l es d i f í c i l de o b t e n e r . Con estas h i p ó t e s i s T S (a) = i P [ Z T A Z ] P - P T LT u ,4.10 6 ft c o n lo que, al d e r i v a r , se obtiene el s i s t e m a de e c u a c i o n e s o =[ ZT A 3 P Z ] P Lx U 6n o bien IF . P = 2L 1.4.11 donde se ha llamado IF = ZT A Z m a t r i z de f l e x i b i l i d a d 1.4.12 ZL LT = U v e c t o r de m o v i m i e n t o s nodales ,4.12 6 Si E n el t e r c e r c a s o el p r i n c i p i o de R e i s s n e r se e s c r i b e T a R (u,0) = T ^ , D u - i tt y u é Si F - T t T u + 6Q 1.4.13 - 6 fi 6 Ci en el que ¡as v a r i a b l e s b á s i c a s son u y Z o 'S2 "fi = A Su d i s c r e t i z a c i ó n i m p l i c a dos h i p ó t e s i s P I-4.14 u = N A donde P y A son los p a r á m e t r o s de d i s c r e t i z a c i ó n O t r a r e l a c i ó n a u x i l i a r es T = L - P - La i n t r o d u c c i ó n de las e x p r e s i o n e s I.4.14 mite e s c r i b i r » .4.15 (T. = ° . v . ) i iJ « y 1.4.15 en la e x p r e s i ó n 1.4.13 p e r - I .4 R ( u , a ) = R ( A , P) = PT Z ( T D N) A - i P T ( ZT 4 NT T F) - ( T _N) A + P ( A Z) P - a L T y) - P ( 58 N) A LT 5a ' : U 1.4.16 o bien R ( a , P) = ZTD P'[ N - 6 fi n - [ F, LT T N VT + T <5 n N] A - PT [ i ZT A Z 1 P u N] A + P T ( LT y) 1.4.17 ,6 fi LLamando Í2 - ZT 11 0,2 4 z T A Z D N LTN - 1.4.18 a. si. NT F - eq F + N T 6 » fi.i Q - eq •6 fi V T - y e s c r i b i e n d o la v a r i a c i ó n r e s p e c t o a A 0 = P S],0u - 1 2 - T + 8PT - y P fl, n -12 A - P - T -11 fi,16P-FT 6A+ - e q - 6 P - T A -eq 1.4.19 o bien P - T 12 - 12 fi10 -12 A - T - F -eq =0 T m - f i P + A =0 -11~ eq pero T n -11 = o -11 es d e c i r - n n -n - -12 A eq 1.4.20 T -12 L F -eq De la p r i m e r a e c u a c i ó n se o b t i e n e p - n_ 12 i ieq + y de la segunda T F = f i -eq -12 -1 fi -11 ü -12 A - + T -12 -1 Ü,, -11 A -eq o bien K A = Q -K= -12 i.4.21 con 2n ?i2 J.4.22 Q =F - eq T n10 -12 -1 -11 A -eq en el que A s o n l a s i n c ó g n i t a s , Q es c o n o c i d o y K t i e n e el s i g n i f i c a d o de una m a t r i z de r i g i d e z que puede i n c o r p o r a r s e a los t r a t a m i e n t o s c l á s i c o s . E n el p r i m e r c a s o se obtiene m a y o r p r e c i s i ó n en las u , en el segundo en las= a y en el t e r c e r o se p r e s e n t a como una s o l u c i ó n de c o m p r o m i s o . Su i m p o r t a n c i a es - grande s i n embargo y , como v e r e m o s en el s i g u i e n t e a p a r t a d o f o r m a la base del método de los elementos de c o n t o r n o . I . 5 . - EL M E T O D O D E LOS E L E M E N T O S DE C O N T O R N O Como es b i e n sabido en t e o r í a del p o t e n c i a l , d e b i d o al p r i n c i p i o de máximo, - c u a l q u i e r f u n c i ó n armónica u (x) que es a p r o x i m a d a u n i f o r m e m e n t e en el c o n t o r n o 6 ñ de un d o m i n i o p o r un p o l i n o m i o a r m ó n i c o ¥ (x) también es a p r o x i m a d a p o r Y (x) en el i n t e r i o r de . Dado pues f (x) en el c o n t o r n o <5 Q cabe p e n s a r en la secuencia Y — (x) h — que c o n v e r j a a f (x) en <S fi a p r o x i m a la s o l u c i ó n del p r o b l e m a en fi p a r a c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o d a d a s . B E R G M A N y H E R R I O T ( N u m e r , M a t h . 7 (1965) pp 42-65) d e s c r i - ben el método como s i g u e : a ) . - G e n e r a c i ó n de un c o n j u n t o c o m p l e t o ^ , , .fi = 1 , 2 , . de s o l u c i o n e s p a r t i - h c u l a r e s de la e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l . b) . - G e n e r a c i ó n a p a r t i r de las ^ h de un s i s t e m a o r t o n o r m a l c ) . - D e t e r m i n a c i ó n de una s o l u c i ó n de la f o r m a a, <> t h . & . . Ideas de este t i p o = h—Y h f u e r o n g e n e r a l i z a d a s p o r K U P R A D Z E ( 80 ) R I Z Z O (108 ) JASWON ( 70 ) , L A C H A T y WATSON ( 8 3 ) a la luz de los métodos de d i s c r e t i z a c i ó n expuestos p a r a el método de los elementos f i n i t o s en el a p a r t a d o a n t e r i o r . La r e l a c i ó n de p a r t i d a es el t e o r e m a de r e c i p r o c i d a d e x p r e s i ó n ( 1 . 1 . 2 . 4 ) que= puede s e r r e e s c r i t o en la f o r m a X ft T u * vT T + 6 0, u T T * X ft u Y T* + u .5J1 6 íí S i se escoge como estado a u x i l i a r ( * ) el c o r r e s p o n d i e n t e a la a p l i c a c i ó n de la c a r g a u n i d a d en el e s p a c i o i n f i n i t o la p r i m e r a i n t e g r a l de volumen del segundo miembro .5 queda r e d u c i d a a los v a l o r e s u (p.) s i e n d o p £ fi el punto de a p l i c a c i ó n de la c a r g a u n i d a d . El r e s u l t a d o es c o n o c i d o como teorema de S O M I G L I A N A y e s t a b l e c e una f ó r - muía de r e p r e s e n t a c i ó n p a r a los m o v i m i e n t o s . u (p.) -Tr * = - T * u + T 68 X u + T u * p £ fi 1.5.2 fi 6 ft Un p r o c e s o de paso al l i m i t e y la e s p e c i f i c a c i ó n de los v a l o r e s p r i n c i p a l e s de 'las integrales permite e s c r i b i r C U (P.) = - 1 u (P4 Q) _ ' i 5a (Q) + T 6 Q i i (Q) ZL * (P.Q) i X T ( q ) ZL* ( p \ ) i q a P. p T q e e 6 n 1.5.3 a n O b s e r v e s e que la ú l t i m a i n t e g r a l ( s o b r e fi) no c o n t i e n e ninguna i n c ó g n i t a del problema p o r lo que su v a l o r se puede c a l c u l a r . Es más, en el c a s o e l á s t i c o l i n e a l e i s ó t r o p o , p a r a las s o l i c i t a c i o n e s de volumen h a b i t u a l e s (peso p r o p i o , f u e r z a c e n t r í f u g a , t e m p e r a t u r a ) , esa i n t e g r a l se puede t r a n s f o r m a r en o t r a s de c o n t o r n o . E s t á c l a r o pues que en la e x p r e s i ó n I . 5 . 3 s ó l o a p a r e c e n i n c ó g n i t a s en el c o n t o r n o del d o m i n i o - p o r lo que se puede a p l i c a r la f i l o s o f í a de B E R G M A N y p e n s a r en una a p r o x i m a c i ó n a= los v a l o r e s de c o n t o r n o . E l l o se hace u t i l i z a n d o la f i l o s o f í a de los elementos f i n i t o s v h í b r i d o s , esto es a p r o x i m a n d o tanto u como T y ambos con f u n c i o n e s de pequeño sopo_r te y <> t respectivamente. Al poner u (Q) = V T (Q) = 9 (Q) T A (Q) P X T (q) u * ( p , q) 1.5.4 = F se obtiene c ..u (P ) +[ (P., Q) Y T ] A 6 ti 2 L * (P Q) j ) T P + F .5.5 6 ti A c o n t i e n e v a l o r e s de u en- l o s puntos P , P , . . . . P en que se ha d i s c r e 1 2 h t i z a d o el c o n t o r n o y p o r tanto la e x p r e s i ó n l . 5 . 5 es un s i s t e m a de e c u a c i o n e s A A = B P + F El p r o c e d i m i e n t o de c á l c u l o de los elementos de A y B se e s p e c i f i c a a lo l a r - go del t r a b a j o . C onviene i n d i c a r aquí que el p r e c i o pagado p o r la d i s c r e t i z a c i ó n de tan solo el c o n t o r n o son m a t r i c e s l l e n a s y no s i m é t r i c a s pues ¥ ^ ZL . La u t i l i d a d del uso de las f u n c i o n e s de pequeño s o p o r t e queda l i m i t a d a en este c a s o a d o t a r de s i g n i f i c a d o = f í s i c o a los c o e f i c i e n t e s A pues al igual que en el c a s o de los elementos f i n i t o s se cum pie la e x p r e s i ó n I .2.1 4 p a r a el c a s o I i n e a l , esto e s , J <PJ h = 6 jh Aunque en algunos c a s o s (vg: elementos s i n g u l a r e s ¥ ^ 4> ) es c o s t u m b r e tomar y = v < "J> lo que no i m p l i c a nada r e s p e c t o a la dependencia f u n c i o n a l de u y T ya que la= i n t e r p o l a c i ó n se r e a l i z a independientemente como c o r r e s p o n d e al c a s o de elementos - híbridos. Una vez c o n o c i d o s los v a l o r e s de c o n t o r n o es e v i d e n t e que una s u s t i t u c i ó n en la e c u a c i ó n I . 5 . 2 conduce a los v a l o r e s en los puntos i n t e r i o r e s que se d e s e e . Los d e t a l l e s t é c n i c o s s e r á n expuestos en d e t a l l e más a d e l a n t e . . , 1 . 6 ' . . - T R A N S F O R M A C I O N DE LA E C U A C I O N DE N A V I E R EN UNA E C U A C I O N I N T E G R A L A T R A V E S DE LA T E O R I A DE D I S T R I B U C I O N E S Como se ha i n d i c a d o en los a p a r t a d o s a n t e r i o r e s , la base del método de los - elementos de c o n t o r n o se r e d u c e a la t r a n s f o r m a c i ó n de las e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a - les c l á s i c a s , que d e f i n e n el c o m p o r t a m i e n t o del s ó l i d o , ya sea en r é g i m e n e l á s t i c o ó e l a s t o p l á s t i c o , en e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s s o b r e el c o n t o r n o del d o m i n i o , ó en los - casos más d e s f a v o r a b l e s , a e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s d e f i n i d a s algunas de e l l a s en el - c o n t o r n o , y el r e s t o en todo el d o m i n i o . ¡ E s t e t r a t a m i e n t o , como se d e d u j o en I . 2 de las e c u a c i o n e s de campo según el s e n t i d o de s i g n i f i c a r e a l m e n t e la r e s o l u c i ó n s o l u c i ó n d é b i l , ampliamente u t i l i z a - da en r e s o l u c i ó n de ecuaciones d i f e r e n c i a l e s . Un p l a n t e a m i e n t o a l t e r n a t i v o , elegante y que d e s c r i b e muy bien el t i p o de ecua c i o n e s i n t e g r a l e s que se c o n s i g u e n , es mediante el uso de la t e o r í a de c o n v o l u c i ó n - de d i s t r i b u c i o n e s , que se d e s a r r o l l a r á a c o n t i n u a c i ó n . La e c u a c i ó n de N a v i e r p a r a el c a s o e l á s t i c o , tiene la f o r m a ya conocida X vx ( v .u) + G v.( v x u) + G V.(V x u)T = - X en fi 1.6.1 E s t a e x p r e s i ó n puede también p o n e r s e en f o r m a de e c u a c i ó n f u n c i o n a l como A u = - X en ^ 1.6.2 donde u y X r e p r e s e n t a n f u n c i o n e s t e n s o r i a l e s de p r i m e r o r d e n c o r r e s p o n d i e n t e s a los movimientos y f u e r z a s de volumen en cada punto del d o m i n i o , y A es un f u n c i o n a d t e n s o r i a l t a m b i é n , c o n t r a v a r i a n t e de segundo o r d e n que podemos d e f i n i r como A = xvX(v. siendo ) + GV. ( v x ) + GV.(V* )T i 6 3 v x\ el o p e r a d o r g r a d i e n t e y V. el o p e r a d o r d i v e r g e n c i a . i Además de la e c u a c i ó n { . 6 . 2 , es n e c e s a r i o que se cumplan las c o n d i c i o - nes de c o n t o r n o d e f i n i d a s en la f o r m a s i g u i e n t e : u = u t =a . í í¡ u en 6 n u J v = Ce U { O t u =1 en 6 fit 4 = { !! donde C es el o p e r a d o r de Lamé que p e r m i t e p a s a r de m o v i m i e n t o s a t e n s i o n e s en e un punto del d o m i n i o , y v i e n e d e f i n i d o p o r la e x p r e s i ó n : C^ = xv • ( V- y 6 o, y u 6 Sí t son ) + G v. ( v x ) + G v . ( Vx )T 1.6.5 ' a s p a r t e s del c o n t o r n o del d o m i n i o donde se d e f i n e n las c o n d í c i o - nes de c o n t o r n o en m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s r e s p e c t i v a m e n t e . N a t u r a l m e n t e p a r a que el p r o b l e m a esté b i e n p l a n t e a d o , según el sentido f í s i c o us.ual es p r e c i s o que se i m pongan c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , y a sean e s e n c i a l e s ó n a t u r a l e s , en todos los puntos= de é s t e , p o r lo que óft u U t =5í2. En el e x t e r i o r del dominio los m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s han de s e r n u l o s , p o r = lo que en d e f i n i t i v a la s o l u c i ó n de m o v i m i e n t o s s e r á una f u n c i ó n d i s c o n t i n u a en Sft.- Realmente si u es continua y d e r i v a b l e en el i n t e r i o r de fi , como de hecho debe s e r l o , papa g a r a n t i z a r la c o m p a t i b i l i d a d de m o v i m i e n t o s , la s o l u c i ó n que t r a t a m o s de b u s c a r es la c o r r e s p o n d i e n t e a una d i s t r i b u c i ó n con s o p o r t e en ft , que toma v a l o - r e s i g u a l e s a u en el i n t e r i o r de Q y c e r o en el e x t e r i o r . E s t a d i s t r i b u c i ó n es precj_ sámente (H ( ) u ) , donde H ( f i ) es la d i s t r i b u c i ó n de H e a v i s i d e d e f i n i d a s o b r e el do m i n i o , también denominada f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a del d o m i n i o n . i i A p l i c a r e m o s a c o n t i n u a c i ó n el o p e r a d o r A a la d i s t r i b u c i ó n a n t e r i o r , tenien- do en cuenta la e x p r e s i ó n de la d e r i v a d a de una d i s t r i b u c i ó n d e f i n i d a en un dominio fí . 3 m f = D m m-1 f + a 0 1 donde o , a . . . . 5 , 6' 6 i^I 1 a m (f) 6 + a m-2 , 6+ + a 0 6 (m-1) . _ _ 1.6.6 son las f u n c i o n e s s a l t o en el c o n t o r n o 5 fide la f u n c i ó n f y - son r e s p e c t i v a m e n t e la d i s t r i b u c i ó n 6 de D i r a c en el c o n t o r n o y - sus s u c e s i v a s d e r i v a d a s . Con esta e x p r e s i ó n , y las d e f i n i c i o n e s de d i s t r i b u c i ó n y d e r i v a d a de una d i s t r i b u c i ó n , podemos c a l c u l a r el v a l o r de A (H ( fi) u) que b u s c a m o s . R e a l i z a r e m o s - el c á l c u l o d e una d e r i v a d a segunda de e s t a d i s t r i b u c i ó n (que son las de o r d e n más a l t o en el o p e r a d o r A) y p o s t e r i o r m e n t e g e n e r a l i z a r e m o s el r e s u l t a d o a los o p e r a d o r e s g r a d i e n t e y d i v e r g e n c i a , p a r a t e r m i n a r e x p r e s a n d o el o p e r a d o r A . P a r a e l l o . tomaremos el c o n v e n i o de e n c e r r a r e n t r e cosrchetes las d i s t r i b u c i o n e s y e n t r e l i a - ves las f u n c i o n e s , que en n u e s t r o caso s e r á n f u n c i o n e s c o n t i n u a s con p r i m e r a d e n vada continua en el i n t e r i o r de es d e c i r f u n c i o n e s C^ ( r¿ ) . La e x p r e s i ó n de la d e r i v a d a segunda de la d i s t r i b u c i ó n H ( fi) u respecto - a la c o o r d e n a d a x m puede c a l c u l a r s e mediante el c o n c e p t o usual de d e r i v a d a de una distribución, ( [ 3 (H ( n ) u ) ] ; v). o f n x m L^ ( n ) = - ( H ( ñ ) u , D m 1.6.7 v). 2 , * L ( ¡2) donde v escuna f u n c i ó n C ^ ( fi), es d e c i r i n f i n i t a m e n t e d e r i v a b l e , con d e r i v a das de c o n t o r n o de todos los o r d e n e s y s o p o r t e compacto que c o n t i e n e a fi. La d e r i v a d a segunda de la d i s t r i b u c i ó n tiene una f o r m a i d é n t i c a ( [ 3 2 ( H ( n ) u ) ] , v). 2 , , = ( - 1 ) 2 m L ( fl ) donde ( ( H ( f l ) u , D 2 v), 7 . , m L M n) , ) 2 , > es el p r o d u c t o e s c a l a r de f u n c i o n e s en el e s p a c i o de H i l b e r t de L ( n) las f u n c i o n e s de c u a d r a d o i n t e g r a b l e , con s o p o r t e Q . E s t e ú l t i m o v a l o r puede c a l c u l a r s e a p a r t i r de la segunda f ó r m u l a de G r e e n como sigue ( H (n) u, D m v) 2 / \ L (n) u a u n D2U d fl = D x' m ^) eos t( v , x D u r^ Dx m a m ) ^ds D x m -^ 2 D x m v d , d fi Dv (u 9, + 6 fi Dx m donde se han supuesto u y v f u n c i o n e s de v a r i a b l e r e a l , y eos ( v , x ) r e p r e s e n t a el m coseno del ángulo f o r m a d o p o r la n o r m a l del c o n t o r n o en el punto de campo y el eje= x m . R e c o r d a n d o que ( tu 3 Dv . M « ) ] , v) 2 m i L { " ; *6 »o Dx eos ( v , x ) ds m m se t i e n e en d e f i n i t i v a [3 m ( H (A) u ) l = H (A) D2U - ( [ u a Dx' m m ( 6( M - [ - D - u — « ( fi))c.os(vx ) ^ / m Dx m 1.6.8 que es i d é n t i c a a la e x p r e s i ó n 1.6 . 6 , teniendo en cuenta el v a l o r de las f u n c i o n e s s a l t o en este c a s o . U t i l i z a n d o a h o r a esta e x p r e s i ó n es p o s i b l e c a l c u l a r cada uno de los operad_o r e s u t i l i z a d o s , así [ * (H ( n) u) ] = H ( n) | V . u -[ ( V . u) 6( n) ] 1.6.9 [ W ( H ( f i ) u) ] = H ( fi) Vx u - [ ( vx u) 5( Si) ] y las o p e r a c i o n e s de segundo o r d e n es f á c i l c o m p r o b a r que q u e d a r í a n Vx [ v. [ H ( fi) u ] ] = H (fi) - 7. vx ( v. u) - Vx [ ( v. u) s ( f i ) ] - fi) ] - [ ( v. ( 7 . u)) 6 ( f i ) ] [vx [H (fi)u ] ] = H(fi) v. ( Vx u) V . [ ( v x u) <S( [( v . ( V x u)) 6( fi) ] V. [ v x [ ( H ( fi) u ) T ] ] = H (fi) v. ( v x u) T - V. [ ( v x U ) T 6 (fi) ] - - [ ( v . ( V x u ) T <5 ( f i ) ] i. 6. í 0 donde 6 ( f i ) es la d i s t r i b u c i ó n de D i r a c en la s u p e r f i c i e 5n . El hecho de u t i l i z a r v a l o r e s de u en el c o n t o r n o , supone que estamos b u s cando f u n c i o n e s u en un e s p a c i o de S o b o l e v , o m e j o r una d i s t r i b u c i ó n , como he 1 2 , N mos i n d i c a d o , y no simplemente una f u n c i ó n L ( fi) ya que en este c a s o 6 fi no t i e - ne s e n t i d o pues es un c o n j u n t o de medida nula en IR n . Estamos pues en busca de la misma s o l u c i ó n d é b i l que buscamos en I . 2 . S i a h o r a i n t r o d u c i m o s todos los r e s u l t a d o s de 1.6 . 1 0 en la a p l i c a c i ó n del o p e r a d o r A a la d i s t r i b u c i ó n (H ( fi) u ) , q u e d a r á [A[ H (fi) u ] ] = [ H (fi) - A u ] - X [ V x t ( v . u)6 (fi) ] - G [ V. [ ( v x u) 6 ( f i ) ] ] ] - + G [ V, [ ( v x u) T 6 (fi)]] - - 1.6 - X [v + G [ V ( V- u) 6 ( n) ] . (vxu) T - G [ V . (v X u) 6 ( n ) ] + 6 (fl)] 1.6.11 y agrupando t é r m i n o s . [ A [ H (i) u ] ] = [ H (fi) A u ]-[t C [ u «( fi) 11 - [ ( C u) « ( « ) 1 1.6.12 T e n i e n d o a h o r a en cuenta que A u = - X , si s u s t i t u i m o s en la e x p r e s i ó n a n t e r i o r se t e n d r á [A [H ( f i ) u ] ] = - [ H (fi) X 1~ C [ u ]] - [ (C u) « ( " ) ! 1.6.13 donde los o p e r a d o r e s donde C y C se d e f i n e n como e e *C = XV x ( v . C = Xv. ( V. ) + G V. ( v x ) + G v. ( V x ) + GV.(v )T x ) + G v. ( V x ) T 1.6.14 C es el o p e r a d o r adjunto del C , según la n o t a c i ó n de H ó r m a n d e r , y que e e evidentemente no es a u t o a d j u n t o . La e x p r e s i ó n | . 6 ' * 1 3 r e p r e s e n t a pues la e c u a c i ó n de N a v i e r p a r a el caso 1-6 e l á s t i c o en t é r m i n o s de d i s t r i b u c i o n e s . La s o l u c i ó n de esta ecuación d i f e r e n c i a l en d i s t r i b u c i o n e s es p o s i b l e p l a n t e a r l a a t r a v é s de la t e o r í a de c o n v o l u c i ó n . Efectivamente si dotamos al espacio D' de las d i s t r i b u c i o n e s de la o p e r a c i ó n " p r o d u c t o de c o n v o l u c i ó n " d e f i n i d o como (f * g , v)| 2 L 1.6.15 (n) adquiere la c a t e g o r í a de un álgebra de c o n v o l u c i ó n Q ' , donde es posible p l a n t e a r ecuaciones de c o n v o l u c i ó n . .i Es bien conocido que en el caso de e x i s t i ' r s o l u c i ó n fundamental de un ope r a d o r d i f e r e n c i a l , E , definida esta como A E = 6 1.6.16 c o n f i l a d i s t r i b u c i ó n de D i n a c , la ecuación en d i s t r i b u c i o n e s Af = g tiene solución= ú n i c a , que viene definida p o r el p r o d u c t o de c o n v o l u c i ó n de la s o l u c i ó n fundamental por la ecuación d i f e r e n c i a l . En n u e s t r o c a s o , si E es la s o l u c i ó n fundamental buscada, la ecuación de c o n v o l u c i ó n quedará definida en la forma E * A [H ( n ) u ] = - E * [ - E * H ( n ) • X }] [ (C - E * 1 C [ u ó ( n) ] - u)6 ( n ) ] que c o n s t i t u y e precisamente la ecuación que se iba buscando. 1.6.17 1,6' E f e c t i v a m e n t e , si E es la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l , en un punto P E * A [H ( n ) u ] L6.18 = H ( f l ) u (P) . c o n s t i t u y e la s o l u c i ó n b u s c a d a . E s t a s o l u c i ó n puede e n t e n d e r s e como la supe£ p o s i c i ó n de t r e s p o t e n c i a l e s de c o n v o l u c i ó n , el p o t e n c i a l de f u e r z a s de volumen conocido- E * [ H ( -fl) mental - E * [ (C e X - 1 , un p o t e n c i a l de s i m p l e capa s o b r e la s o l u c i ó n funda u) 6 ( f i ) J , y un p o t e n c i a l de doble c a p a , - E * l C e Lu R e c o r d a n d o la e x p r e s i ó n de p r o d u c t o de c o n v o l u c i ó n , cada uno de los po - t e n d a l e s a n t e r i o r e s puede e x p r e s a r s e como s i g u e : - E * [ H (fl) X E ( x , y) X (y) d f i ] = - 1.6.19 - E * [ (C e E ( x , y) ( C u) 5 ( n) ] = - 6 e u (y) ) ds y a y p o r ú l t i m o el p o t e n c i a l de doble capa puede r e a l i z a r s e teniendo en c u e n t a , que la c o n v o l u c i ó n de una d i s t r i b u c i ó n p o r o t r a d i s t r i b u c i ó n a la que se a p l i c a un o p e r a d o r puede c a l c u l a r s e a t r a v é s de 1.6.20 (u x A v , 4>) = — ( A u * v , 4 > ) con lo que - E * *C [ u 6 ( fi) ] = (C simplemente r e c o r d a r e m o s que C E) * (u « ( f i ) ) , e y C e eran adjuntos, 1.6.21 E n d e f i n i t i v a podemos e x p r e s a r el p o t e n c i a l de d o b l e capa como - E * C e [u (C (n ) ] = e E) ( x , y) u ( y ) ds 1.6.22 y 6n S u s t i t u y e n d o las r e l a c i o n e s • | . 6 .18, I.6 .19 y I.6 .22 en l.6.-17se consigue la e x p r e s i ó n i n t e g r a l d e s e a d a , y que evidentemente v u e l v e a r e p r e s e n - t a r la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a . E ( x , y) X (y) d u (x) = - n y C + n e E ( x , y) u (y) ds y - 6n E ( x , y) C e u (y) ds y I.6.23 6 Si La o b t e n c i ó n de una s o l u c i ó n fundamental es pues un paso p r e v i o a r e s o l v e r , p a r a poder p l a n t e a r el p r o b l e m a en la f o r m a a n t e r i o r . E s t e c á l c u l o es el que se a b o r d a r á en el e p í g r a f e s i g u i e n t e , p a r a los d i s t i n t o s c a s o s que puedan p l a n t e a r s e en los p r o b l e m a s e l á s t i c o s . - 1 . 7 . - S O L U C I O N F U N D A M E N T A L DE LA E C U A C I O N N A V I E R Se ha i n d i c a d o en el a p a r t a d o a n t e r i o r la n e c e s i d a d de c o n s e g u i r la s o l u c i ó n = fundamental de N a v i e r p a r a los d i s t i n t o s c a s o s que se pueden p r e s e n t a r en la p r á c t i c a , como son los c a s o s p l a n o s , el c a s o t r i d i m e n s i o n a l y el a x i s i m é t r i c o . P a r a la c o n s e c u c i ó n de e l l a s s e g u i r e m o s p a r a los dos p r i m e r o s el método de H o r m a n d e r , m i e n t r a s que debido a la d i f i c u l t a d de su manejo p a r a c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s u t i l i z a r e m o s el proce_ dimiento de p o t e n c i a l e s v e c t o r i a l e s , y p a r t i c u l a r m e n t e el de G a l e r k i n , y t r a n s f o r m a - c i o n e s i n t e g r a l e s p a r a c a l c u l a r la s o l u c i ó n fundamental en el c a s o a x i s i m é t r i c o . - Caso t r i d i m e n s i o n a l . Método de H o r m a n d e r - E x i s t e una g r a n c a n t i d a d de métodos p a r a el c á l c u l o de la s o l u c i ó n f u n d a m e n tal de un o p e r a d o r d i f e r e n c i a l , s i n e m b a r g o , p a r e c e que el método de H f t r m a n d e r j p o r su simpl i c i d a d 3 e s el ideal p a r a el caso que nos o c u p a . S i denominamos A a un o p e r a d o r d i f e r e n c i a l m a t r i c i a l , tal como el que esta mos interesados, de c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s y de d e t e r m i n a n t e d i s t i n t o de c e r o , de - a c u e r d o con el teorema de H o r m a n d e r , este o p e r a d o r t i e n e como s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l . donde A es la m a t r i z de c o f a c t o r e s de la m a t r i z A y e es la s o l u c i ó n fundamental del = o p e r a d o r | A | , es d e c i r la s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n f A | e = 6 (P) P a r a el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , según la e c u a c i ó n 1.7.2 I . 6 . 3 se tenía que el o p e r a 1.7 d o r de N a v i e r e r a A = XV x ( v . ) + G v . ( V x ) + G v « ( v x ) T y d e s a r r o l l a n d o en f o r m a r n a t r i c i a l tenemos: 3 G A + ( X + G) 3 ay 1 A = 3 + G) (X 3 ( X + G) 3y1 3y 3 + G) 3y 3 3 9 y 3 (X ( X ! 2 3y + G) ( X + G) 3 y2 i 3 3y 3 3 y2 2 G A + ( X+G) 3 y3 3 y — 3 y + G) 3 3 y2 G A + ( X + G) 3 y2 3 y i ( X 3 3 y3 3 3 y 3 3 3 y3 1.7.3 con lo que 2 3 | A | = G ( X + 2 G) A 1.7.4 La s o l u c i ó n fundamental del o p e r a d o r a n t e r i o r v i e n e dada p o r e j e m p l o p o r Lachat [83 ] en la f o r m a I 3x2 1.7.5 5 2 , ir G (X + 2 G) 1 D e s a r r o l l a n d o pues en f o r m a i n d i c i a l la e c u a c i ó n se t i e n e que E.. = - ( ( X+ 3 G) 6 . . + ( X+ G) 1 8 * G U + 2 G ) r U r,. r,.) ' U 1.7.6 J donde = 1I siendo x y - _ x I1 = [ - (y i - x.) i (y. - x.) ] i i 1.7.7 2 el v e c t o n d e c o o r d e n a d a s del punto P donde l o c a l i z a m o s la 6 de D i r a c , e y - el punto de campo donde p r e t e n d e m o s c a l c u l a r el v a l o r de la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l . P o r último r,. = i y. - x . i i r es la d e r i v a d a de la d i s t a n c i a r r e s p e c t o a la c o o r d e n a d a i de punto de campo y . S u s t i t u y e n d o Xy G en f u n c i ó n de E y v se llega a la e x p r e s i ó n más c o n o c i d a de K e l v i n , c o r r e s p o n d i e n t e a los m o v i m i e n t o s debidos a una c a r g a puntual en el e s p a c i o i n f i n i t o y que c o n c u e r d a evidentemente con la s o l u c i ó n fundamental antes c a l c u l a d a . iii E.. = - U.. U U \ M - U + vj 8 t t E ( 1 - V) r , . (3 - 4 v) 6 + ij (y. - x.) ( y . - x.) i i j j r 2 I .7.8 donde la i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a de U v e n d r í a dada p o r el movimiento que a p a r e c e en un ij punto y , en la d i r e c c i ó n i cuando s o b r e o t r o punto x se a p l i c a una c a r g a unidad en el = I .7 e s p a c i o i n f i n i t o en la d i r e c c i ó n j , y el s i g n o menos v i e n e como c o n s e c u e n c i a de que a la e c u a c i ó n de N a v i e r se e x p r e s a en la f o r m a A ciones u = - X S u s t i t u y e n d o esta e x p r e s i ó n en la I . 6 . 1 2 e i n t r o d u c i e n d o las s i g u i e n t e s n o t a í i : Ce E ( x , y) = - T . . ( x , y) U 1.7.9 Ce u (y) = t (y) se t i e n e 6 'j u (x) ¡ = U |J ( x , y) X i (y) d n y - T . . ( x , y) u. (y) ds + IJ • y 6 SI U . . ( x , y) t . (y) ds IJ I 1.7.10 y 6 ti que es la misma e x p r e s i ó n que se obtuvo en I.5.2. - C a s o b i d i m e n s i o n a l . Método de H o r m a n d e r - P r o c e d i e n d o de f o r m a análoga al c a s o a n t e r i o r , teniendo en cuenta que los - c a s o s de t e n s i ó n plana y d e f o r m a c i ó n plana t i e n e n i d é n t i c a e x p r e s i ó n de la e c u a c i ó n de N a v i e r excepto el cambio c o n o c i d o en en el c o e f i c i e n t e de P o i s s o n , se t e n d r í a que el o p e r a d o r d i f e r e n c i a l en este c a s o v i e n e dado p o r la m a t r i z . 1.7 3 G A + (A + G) 3 C A + G) 2 y 1 s y1 A 3 3 y 3 l 3y 2 = 3 ( ¡ A + G) — i 3y_ 3 G A + ( X + G) 3 y 2 3 3 Sy2 3y2 J-7.11 y el d e t e r m i n a n t e ¡A | = G ( U 2 G ) A' 1-7.12 c u y a s o l u c i ó n fundamental es e = 16 * G ( X + 2 G) r 2 1 (2 In — r 1.7.13 + 1) S u s t i t u y e n d o de nuevo 6 y G p o r E y v y d e s a r r o l l a n d o la e x p r e s i ó n I . 7 . 1 ten_ dremos E . . = — U.. U »J 1 + v 4 TT E (1 - v) (3 - 4 v) 6 U In 1 / r + r, d o n d e las v a r i a b l e s t i e n e n el mismo s i g n i f i c a d o que a n t e r i o r m e n t e . i r, l J I I .1 . 1 4 - Caso a x i s i m é t r i c o . T r a n s f o r m a c i o n e s integrales - P a r a el a n á l i s i s a x i s i m é t r i c o la c a r g a puntual A K (P) se g e n e r a l i z a a c a r g a s a n u l a r e s como se m u e s t r a en la F i g . 1 . 7.1 . P a r a el c á l c u l o de la s o l u c i ó n fundamental de la e c u a c i ó n de N a v i e r puede s e g u i r s e una t é c n i c a muy empleada, c o n s i s t e n t e en la r e s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n de Na - v i e r e x p r e s a d a en f u n c i ó n de los v e c t o r e s de G a l e r k i n , e c u a c i ó n A1 . (6) p a r a poste - r i o r m e n t e c a l c u l a r los m o v i m i e n t o s a p a r t i r de la e c u a c i ó n A 1 . 1 0 J Con este esquema se han d e s a r r o l l a d o dos a p r o x i m a c i o n e s . La p r i m e r a se r e duce a la i n t e g r a c i ó n en el a n i l l o de la e c u a c i ó n de movimientos c o r r e s p o n d i e n t e s a la= c a r g a p u n t u a l , y en la segunda c a l c u l a el v e c t o r de G a l e r k i n h a c i é n d o l o de una f o r m a d i r e c t a . E s t a ú l t i m a es la que se e m p l e a r á en este a p a r t a d o . r Se c o n s i d e r a una c a r g a a n u l a r r a d i a l , F z,_F y una c a r g a a n u l a r en la d i r e c c i ó n = , pudiendo e x p r e s a r s e ambas en f u n c i ó n de la 6 de F r = (F r , 0, 0) = ( 6_(_R -_rLZ_-z) 2 irr , 0, D i r a c de la s i g u i e n t e f o r m a 0) I.7.15 F Z = (0, 0, F )= ( 0 , 0, 6 (R - r , Z - z) 2 TT r ) donde R y Z son las c o o r d e n a d a s de! punto de a p l i c a c i ó n de la c a r g a , independiente de 6 p o r s e r a n u l a r , y r y z son las c o o r d e n a d a s del punto de camp'o. r N a t u r a l m e n t e debido a las p r o p i e d a d e s de la f u n c i ó n de D i r a c las c a r g a s ^ F F Z s a t i s f a c e n las c o n d i c i o n e s . y , i F F r z = 0 R, Z = ¿ r, z Z ¿ r, z 0 R, 1.7.16 F V F r z dV = 1 dV donde V es c u a l q u i e r volumen que i n c l u y a el a n i l l o de c a r g a , de c o o r d e n a d a s R , Z . Resolvamos a h o r a la e c u a c i ó n de N a v i e r p a r a los dos c a s o s de c a r g a s c i t a d o s r z el p r i m e r o es F = F e , y el segundo F = F e donde e , e , e son los v e c t o r - r z - z - r - e -z r e s base en el sistema de c o o r d e n a d a s a x i s i m é t r i c o , de los que hay que h a c e r n o t a r que su d i r e c c i ó n no es c o n s t a n t e teniendo d e r i v a d a s r e s p e c t o a 6 en la f o r m a i j Í 3e r e n0 86 r 3e 0 y 96 -e r r 3e Z ^ q ^ 39 E x p r e s a n d o la e c u a c i ó n de N a v i e r en f u n c i ó n del v e c t o r de G a l e r k i n según se i n d i c a en el apéndice I , p a r a los dos c a s o s c i t a d o s t e n d r e m o s 4 r A G F r G 1.7.18 A 4 F z G Como F t i e n e componente s o l o en r la s o l u c i ó n del v e c t o r de G a l e r k i n , d e b [ do a las c o n d i c i o n e s ( 1 . 1 .17) se e n c o n t r a r á en el plano ( r , 6), y p o r o t r o lado debido a la n a t u r a l e z a a x i s i m é t r i c a del p r o b l e m a la componente en r r tanto G es p a r a l e l o a F . ©debe s e r n u l a , p o r lo P o r un ¡razonamiento a n á l o g o , p e r o más s e n c i l l o pues el eje z p e r m a n e c e i n a l t e r a d o , se deduce que G es p a r a l e l o a F Z p u d i e n d o e s c r i b i r s e los v e c t o r e s de - - G a l e r k i n como Gr - = G e -r r 1.1.19 GZ - = G e -z z P o r l o que la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 8 puede e s c r i b i r s e p a r a el c a s o a x i s i m é t r i c o (V 2 1/r2) - ( V 2 - 1/r2) G = -G 1.1.20 2 V V 2 G F = - z G donde V 2 = 3 , 2 3 r 2 1 + r ^ + 3 r 3 2 3 Z 2 , - o', 1.1.21 La s o l u c i ó n de e s t a s dos e c u a c i o n e s puede o b t e n e r s e a t r a v é s del uso de t r a n s f o r m a c i o n e s i n t e g r a l e s y puede v e r s e p o r e j e m p l o en Massonet quedando en la f o r m a RpJY 2 - 1) = Q ( Y) £ 1.1.22 8 ir 2 G G RrJ(Y 2 - D z 8 Tí2 G OJ(Y) £ 1.1.23 donde Y = 1 + y Q ] ~2 y Q,1 2 (Z - z ) 2 + (R - r)2 2Rr son f u n c i o n e s de L e g e n d r e , de segunda 1.1.24 e s p e c i e . A p a r t i r de e s t o s v e c - t o r e s de G a l e r k i n , : es p o s i b l e el c á l c u l o de los m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s en c u a l q u i e r punto del d o m i n i o , debidos a una c a r g a u n i d a d . El d e s a r r o l l o p o s t e r i o r m e n t e se reali_ za en el c a p í t u l o IV. I I F O R M U L A C I O N DEL M E T O D O E N E L A S T I C I D A D 11.1.- TRIDIMENSIONAL INTRODUCCION Como se ha i n d i c a d o en el c a p i t u l o a n t e r i o r , la base del método de los elementos de c o n t o r n o la c o n s t i t u y e la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a . 6 . . u. (x) = ki i 6 fi U.. ( x , y) t. (y) ds ik t y u., ( x , ik T . ( x , y) u. ds + ik i y 6 fi 11.1.1 y) X . (y) d s i y E s t a e c u a c i ó n p r o p o r c i o n a el m o v i m i e n t o u. en c u a l q u i e r punto x del domi nio fien f u n c i ó n de t r e s i n t e g r a l e s , que p o r analogía en su f o r m a , con las que apa r e c e n en la t e o r í a de fuentes p u n t u a l e s d i s t r i b u i d a s en la t e o r í a del P o t e n c i a l , se las suele denominar como p o t e n c i a l e s de s i m p l e y doble capa las dos p r i m e r a s y como un p o t e n c i a l de f u e r z a s de volumen la ultima . E s t a e c u a c i ó n v e c t o r i a l que r e a l m e n t e c o n s i t u y e un sistema de t r e s e c u a c i o n e s de F r e d h o l m de segunda e s p e c i e , p e r m i t e pues c a l c u l a r el v a l o r del mo - vi.miento en un punto del d o m i n i o , c o n o c i e n d o los v a l o r e s de los m o v i m i e n t o s - u i (y) y t e n s i o n e s t. (y) en el c o n t o r n o , i S i n e m b a r g o , en la m a y o r í a de las o c a s i o n e s también es n e c e s a r i o el cono c e r las t e n s i o n e s en fi , p a r a lo cual se t e n d r á que a p l i c a r el o p e r a d o r de Lamé a= la ecuación 1 1 . 1 . 1 . El hecho de que las i n t e g r a l e s sean s i n g u l a r e s p a r a x = y h a - c e que en este c a s o a p a r e z c a n p r o b l e m a s a d i c i o n a l e s . P o r ú l t i m o , y con o b j e t o de a p r o x i m a r el p r o b l e m a e x c l u s i v a m e n t e al conto_r n o , se p l a n t e a r á la f o r m u l a c i ó n en é l , mediante la a p r o x i m a c i ó n del p u n t o s a fifi • . E l o b j e t i v o de este c a p í t u l o , en d e f i n i t i v a , c o n s i s t e en p r e s e n t a r la f o r m u [ a c i ó n completa del método, tanto en lo que se r e f i e r e en puntos del i n t e r i o r de fi , co mo del c o n t o r n o 6fi • A s i m i s m o , se p l a n t e a r á una a l t e r n a t i v a ú t i l p a r a p a s a r la = i n t e g r a l de f u e r z a s de volumen al c o n t o r n o en los c a s o s en que é s t a s tengan una e x p r e s i ó n s i m p l e que cumpla una s e r i e de r e q u i s i t o s . I 1 . 2 . - M O V I M I E N T O S EN P U N T O S INTERNOS La e c u a c i ó n que p r o p o r c i o n a el v a l o r de los m o v i m i e n t o s en un punto x , del dominio es p r e c i s a m e n t e la e c u a c i ó n I I .1 .1 ó i d e n t i d a d de S o m i g l i a n a . S o l o f a l - ta pues p a r a que ésta quede d e t e r m i n a d a el e x p r e s a r los v a l o r e s de los t e n s o r e s ik - ik E l p r i m e r o de e l l o s , y como se v i ó en I . 7 c o r r e s p o n d e , exactamente a - la s o l u c i ó n fundamental del o p e r a d o r de N a v i e r y p a r a cada uno de los c a s o s que se p r e s e n t a n en e l a s t i c i d a d i s ó t r o p a ( t r i d i m e n s i o n a l , plano y a x i s i m é t r i c o ) se c a l c u l ó = en el a p a r t a d o c i t a d o . F í s i c a m e n t e un elemento U , de este t e n s o r r e p r e s e n t a el movimiento en la ik d i r e c c i ó n i que a p a r e c e en un punto y del e s p a c i o i n f i n i t o , cuando en o t r o punto x se a p l i c a una c a r g a puntual unidadstnla d i r e c c i ó n k . U . r e p r e s e n t a pues el campo = ik de movimientos de la s o l u c i ó n de K e l v i n , como también se había i n d i c a d o . La e x p r e s i ó n U , p a r a el caso t r i d i m e n s i o n a l , que nos o c u p a , se ik obtuvo en 1 . 7 , en la f o r m a U = [(3-4 16 (1 - v ) Gr donde r = | | y - x | | , y r , . r, v ) 6 ik + r,. r, ] i k 11.2.1 r e p r e s e n t a n las d e r i v a d a s de la d i s t a n c i a | ( y - x) con r e s p e c t o a las c o o r d e n a d a s del punto de campo y . C e E n cuanto al t e n s o r T , , había a p a r e c i d o al a p l i c a r el o p e r a d o r de Lamé, ik a t t e n s o r a n t e r i o r (vease I . 6 ) , c o r r e s p o n d í a pues a la f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a de una i n t e g r a l p o t e n c i a l de doble c a p a , y f í s i c a m e n t e tenía un s e n t i d o análogo al de U., en lo r e f e r e n t e a la s o l u c i ó n de K e l v i n , p e r o en este c a s o r e f e r i d o al campo de ik v e c t o r e s t e n s i ó n en el c o n t o r n o del d o m i n i o . E l c á l c u l o de la e x p r e s i ó n de este t e n s o r se r e d u c e pues a c a l c u l a r la ex presión C e U ¡k - , ó lo que es i g u a l : T, = C U = x n . ( v . U ) + G n. ( v x U ) + G n . ( v x U ) ' T ik e ik - _ _ _ _ _ _ I 1.2.2 y en n o t a c i ó n ¡ n d i c i a l T., = X U , ik mk,m n. + G (U , . + U .) i ik, j jk, i n. j donde como s i e m p r e se a p l i c a el c o n v e n i o de í n d i c e s r e p e t i d o s y la II .2.3 s i g n i f i c a de_ r i v a d a r e s p e c t o a las c o o r d e n a d a s del punto de c a m p o y . S u s t i t u y e n d o en esta e x p r e s i ó n el v a l o r de U . d e f i n i d o en I I . 2 . 1 y teniendo en cuenta que ik _ r ' a r, y. - x. 3y. i 1 1 r II.2.4 (r,.),. = ' J r,. r,. 1—¿- se l l e g a f á c i l m e n t e a la e x p r e s i ó n 6.. ' 1 ik 8 ( 1 - v) r 2 + (1 - 2 v) ( r , . n, - n. r , ( ) i k i k I 1.2.5 Con e l l o q u e d a r í a d e f i n i d o el c á l c u l o de m o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s para el caso t r i d i m e n s i o n a l . S i n e m b a r g o , o b s e r v a n d o las e x p r e s i o n e s de los t e n s o r e s a n t e r i o r e s se a p r e c i a que p a r a y — x , - es d e c i r cuando la d i s t a n c i a r t i e n d e a c e - r o , la e x p r e s i ó n de los t e n s o r e s se hace i n f i n i t o , o lo que es i g u a l , e x i s t e una s i n g u l a r i d a d i n t r í n s e c a en los dos t e n s o r e s , y p o r tanto en todas las i n t e g r a l e s , e n el = punto x , donde se c e n t r a la c a r g a u n i d a d . E s t a s i n g u l a r i d a d , a p a r e c e r e a l m e n t e s o l o en la i n t e g r a l de v o l u m e n , ya que en las de s u p e r f i c i e , nunca se a l c a n z a r á - . la d i s t a n c i a n u l a , ya que el punto x se e n c u e n t r a en el i n t e r i o r del d o m i n i o , y el punto de campo en la s u p e r f i c i e de és_ te. La i n t e g r a l de v o l u m e n , s i n e m b a r g o , sí es s i n g u l a r , con una s i n g u l a r i d a d del t i p o de C a u c h y , p e r o que en este c a s o no p r e s e n t a tampoco p r o b l e m a , ya que c o r r e s p o n d e a una s i n g u l a r i d a d d é b i l en la e c u a c i ó n de F r e d h o l m . E f e c t i v a m e n t e , si la s i n g u l a r i d a d es del t i p o de Cauchy k ( x , y) a <> i (y) d n V II .2.6 donde k ( x , y) es una f u n c i ó n acotada de dos v a r i a b l e s en el d o m i n i o n , y r es la d i s t a n c i a e n t r e los puntos x , y . - E n el c a s o en que a < n II.2.7 con n el número de d i m e n s i o n e s del e s p a c i o fi (en n u e s t r o c a s o a = 1 , n = 3 ) , la - i n t e g r a l I I . 2 . 6 , es una i n t e g r a l i m p r o p i a que c o n v e r g e absolutamente en el l í m i t e i siguiente: lim _kJ?l_y±_ e r fi donde B * (y) e J B G 11.2.8 y (x) (x) es la bola de r a d i o e y c e n t r a d a en el punto s i n g u l a r . E s d e c i r la inte - g r a l a n t e r i o r esta d e f i n i d a en el s e n t i d o del v a l o r p r i n c i p a l de C a u c h y . E n el caso que nos o c u p a , p o r t a n t o , si entendemos la i n t e g r a l de v o l u m e n en el s e n t i d o del v a l o r p r i n c i p a l de C a u c h y , esta i n t e g r a l e x i s t e ya que la s i n g u l a r ^ dad que p r e s e n t a es d é b i l . N a t u r a l m e n t e , si el d o m i n i o a h o r a se c o n s i d e r a fi^-B r r e s p o n d i e n t e , el c o n t o r n o ha v a r i a d o , siendo a h o r a S f i U á B el c o n t o r n o de la bola B G ( x ) , cuando e e G (x) en el l í m i t e co ( x ) , siendo 6 B G (x) 0 . Las i n t e g r a l e s de c o n t o r n o s e r í a n pues suma de d o s . La p r i m e r a de e l l a s está extendida a y la segunda a 6 B G (x), p e r o esta i n t e g r a l es c l a r a m e n t e n u l a , tanto p a r a el p o t e n c i a l de s i m p l e como de do_ ble c a p a . E f e c t i v a m e n t e en lo r e f e r e n t e al p r i m e r o , p o r s e r de nuevo una i n t e g r a l = débilmente s i n g u l a r (a = 1 , n = 2 ) , la i n t e g r a l s o b r e la s u p e r f i c i e de esta bola es c e r o . En cuanto al p o t e n c i a l de d o b l e c a p a , no o c u r r e igual s i n o que a = n = 2 , - a p a r e c i e n d o una s i n g u l a r i d a d f u e r t e , que es n e c e s a r i o c a l c u l a r . La i n t e g r a l q u e d a - ra pues como: T , u ds = ¡k i y y I im e —0 1 ^ / x —-X- T., ( 6 , dJ u. 2 ik i I im e—»0 «B « B e (x) e e 2 sen e d e d <> j = (x) 2 * u. (x) ' d lím e—Q, T . , (e , <t>) ik sen e d 6 11.2.9 0 donde T , es la p a r t e del núcleo T en la que se ha e l i m i n a d o la s i n g u l a r i d a d , tam ik ik bien denominada f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a de la i n t e g r a ! s i n g u l a r . El v a l o r de esta i n t e g r a l es f á c i l m e n t e c a l c u l a b l e teniendo en cuenta la e x - p r e s i ó n 11.2.5 p a r a T , , y el r e s u l t a d o es c e r o como e r a de e s p e r a r . ik E n d e f i n i t i v a , es p o s i b l e p l a n t e a r la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a en undorriihio fi — I im [ n- B (x) 1 - , s i e n d o x el punto donde se c e n t r a la s i n g u l a r i d a d , - e—0 simplemente teniendo en cuenta que la i n t e g r a l de volumen h a b r á que e n t e n d e r l a e n el s e n t i d o del v a l o r p r i n c i p a l de C a u c h y , que en este c a s o e x i s t e , ya que la singula_ r i d a d de esta i n t e g r a l es del t i p o d é b i l . S i p a r a s i m p l i f i c a r r e a l i z a m o s el cambio de n o t a c i ó n II.2.10 I im e —0 fi - B e (x) La e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a extendida al d o m i n i o ft , que como se ha v i s t o c o r r e s p o n t de exactamente a la e c u a c i ó n de p a r t i d a del método p a r a el caso de puntos i n t e r n o s , t e n d r á una e x p r e s i ó n i d é n t i c a a la 1 1 . 1 . 1 ya c o m e n t a d a , sierrpre teniendo en cuenta que la i n t e g r a l de volumen es n e c e s a r i o e n t e n d e r l a según el s e n t i d o de Cauchy y - donde las e x p r e s i o n e s de los d i s t i n t o s t e n s o r e s U , y T , v i e n e n d e f i n i d a s p o r ik ik I I . 2 . 1 y 11.2.5 respectivamente. - I 1 . 3 . - T E N S I O N E S EN PUNTOS INTERNOS E l s i g u i e n t e punto fundamental del método en e l a s t i c i d a d , c o r r e s p o n d e a - c á l c u l o del t e n s o r de t e n s i o n e s en los d i s t i n t o s puntos del d o m i n i o . S i b i e n algunos a u t o r e s a u t o r e s c a l c u l a n estas t e n s i o n e s , a t r a v é s de un p r o c e s o de i n t e r p o l a c i ó n en d i f e r e n c i a s una vez c o n o c i d o s los m o v i m i e n t o s en los - puntos i n t e r n o s en la f o r m a i n d i c a d a a n t e r i o r m e n t e ( C a t h i e y B a n e r j e e ) , el p r o c e d i m i e n t o , evidentemente más c o n s i s t e n t e con la f o r m u l a c i ó n g e n e r a l c o n s i s t i r á en apli_ c a r el o p e r a d o r e l á s t i c o di r e c t a m e n t e a la ecuacióni 1 1 . 1 . 1 . E s d e c i r , una vez cono c i d o el v e c t o r u (x) de m o v i m i e n t o s en un punto x del d o m i n i o donde se c e n t r a la s i n g u l a r i d a d , se puede c a l c u l a r el t e n s o r de t e n s i o n e s mediante la e c u a c i ó n de Lamé. a . (x) = X u : ij I' II.3.1 6.. + G (u.;. + u.;.) U i J J i donde a h o r a el " ; " r e p r e s e n t a la d e r i v a d a r e s p e c t o a las c o o r d e n a d a s del punto x al c o n t r a r i o que la que como se i n d i c ó s i g n i f i c a d e r i v a d a r e s p e c t o a las c o o r d e nadas del punto de campo y . E s n e c e s a r i o pues el c a l c u l a r las d e r i v a d a s de los m o v i m i e n t o s r e s p e c t o a las c o o r d e n a d a s del punto x . A p l i c a n d o el o p e r a d o r d e r i v a d a a la e c u a c i ó n ante - r i o r se t i e n e U. ; in m u t . ds i y i ds y + 6a + 3 U , X ik i m « ds y II.3.2 El hecho de p o d e r d e r i v a r d e n t r o de las i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e , es evide_n t e , ya-que no son i n t e g r a l e s s i n g u l a r e s , s i n embargo la d e r i v a d a de la i n t e g r a l de= volumen ha de e n t e n d e r s e como la d e r i v a d a de una i n t e g r a l s i n g u l a r del t i p o de Cau chy. E s t e concepto de d e r i v a d a de i n t e g r a l e s fue d e s a r r o l l a d o p o r M i k h l i n y aplj_ cado • p o r p r i m e r a vez p o r B u i a l método de los elementos de c o n t o r n o , en p l a s t i c i d a d . E n d e f i n i t i v a es n e c e s a r i o , c a l c u l a r la d e r i v a d a de la i n t e g r a l de volumen ante rior. J Según M i k h l i n , la d e r i v a d a de una i n t e g r a l s i n g u l a r entendida en el sentido= de C a u c h y , que sea c o n t i n u a e v i d e n t e m e n t e , como lo es ésta al t r a t a r s e de una s i n g u l a r i d a d del t i p o d é b i l se d e f i n e como % ( x , y) C (y) d R = y m K (x) lim e—0 c £ y) 3 C "37T m lim r - o >„ m B ds e S d fí y. - (x) II.3.3 y «B (x) e es d e c i r la i n t e g r a l de la d e r i v a d a también entendida en el s e n t i d o de C a u c h y , me nos un c i e r t o t é r m i n o c o r r e s p o n d i e n t e a la s i n g u l a r i d a d , en el que r , la d e r i v a d a de la d i s t a n c i a || y - x || r e s p e c t o a la c o o r d e n a d a y m representa del punto de c a m - po. A p l i c a n d o este concepto a la e c u a c i ó n I I . 3 . 2 , ésta se c o n v e r t i r á en 6 , . u.; ki i m U ,; t. ds ik m i y T - ; u ds + ík m ¡ y U ,; X d ik m i • fi y 6 fi 6 fi - X (x) ' U lim e— ik r, m ds II.3.4 y 6B (x) e donde de nuevo se ha hecho uso del cambio de n o t a c i ó n d e f i n i d o en I I . 2 . 1 0 . E s n e c e s a r i o p u e s , el c a l c u l a r el v a l o r de esta ú l t i m a , p a r a a c o n t i n u a - c i ó n a p l i c a r el o p e r a d o r de Lame I I . 3 . 1 a la e c u a c i ó n I I . 1 .1 y c a l c u l a r el t e n s o r = tensión en un punto del i n t e r i o r . - - El v a l o r de esa i n t e g r a l , es c l a r a m e n t e c e r o , ya que como se d e s p r e n d e 1 2 de I I . 2 . 1 U . es de o r d e n 0 ( ) y ds del o r d e n 0 ( r ) , m i e n t r a s que si r e c o r d a ik r y ~~ mos el v a l o r de r , en una s u p e r f i c i e e s f é r i c a , i r , . = ó., eos© cos<t> + 6 „ eos M ¡1 ¡2 esen 4>+ 6 ^ sen ¡3 II.3.5 se o b s e r v a que es de o r d e n 0 ( 1 ) . E n d e f i n i t i v a si U . es c o n t i n u a y acotada r e s p e c — ik to al ángulo © y el ángulo <> t , como de hecho lo e s , ya que s ó l o depende de las d e n das de la d i s t a n c i a , la i n t e g r a l buscada toma el v a l o r c e r o . lim e —*0 U , r, ds ik m y = 0 I1.3.6 6 B (x) e I n t r o d u c i e n d o este r e s u l t a d o en la e c u a c i ó n 11.3.4 se tiene en d e f i n i t i v a - la d e r i v a d a de la e x p r e s i ó n r e s p e c t o a la c o o r d e n a d a m del punto s i n g u l a r en la - forma U ,; t ds ¡k m ¡ y 6a 6, . u . ; ki i m T 5 ; u. ds + ik m i y U X ik m i d n y ü I1.3.7 donde la i n t e g r a l de volumen se entiende en el s e n t i d o de C a u c h y . Api ¡cando a h o r a el o p e r a d o r c o m p l e t o 1 1 . 3 . 1 a la e c u a c i ó n I I . 1 .1 , y te niendo en cuenta el r e s u l t a d o I I . 3 . 7 se obtiene ó..(x) U = D... ( x , y) ijk 6n t D.., ( x , y) ijk (y) ds k X, (y) k - y 6 d fi S. ( x , y) u (y) ds ijk k y a II.3.8 y fi donde los t e n s o r e s que a p a r e c e n se deducen inmediatamente como ijk Ik I IJ ik j jk i II.3.9 ijk Ik I IJ ik j jk I S i d e s a r r o l l a m o s las e x p r e s i o n e s a n t e r i o r e s , simplemente dándonos cuenta que r , . = - r ; , se puede l l e g a r a la f o r m u l a c i ó n completa de los v a l o r e s de i i las t e n s i o n e s en el d o m i n i o . E s t e d e s a r r o l l o está r e a l i z a d o por. ejemplo en P a r í s [1,00. ] • p o r lo que no nos d e t e n d r e m o s en é l , l i m i t á n d o n o s a p r e s e n t a r el r e s u l t a d o D (1 - 2 v ) ( 5 Íjk 8*(1-^)r2' ik r,. + j 5 jk r,. i .. r , ) + ij k - + 3 r,. r,. r i J k ' jJk , /x 3 4ir(1 - v ) r { 3 [ o - 2v) 6 .. r . + v ( 6 r , . + Ij : k Ik J 6 jk r,.) I - 1 ~ 5 K . r> • r>, 1 r>, n, ¡ i j k J I I + 3 v (n- r»-r,, + n. r , . r , 1 i j k J ' ) + k + (1 - 2 v ) (3 n, r , . n, . + n . 6., + n. 6 ) - (1 - 4v ) n, 6 . . k 1 j j ik 1 jk k IJ II.3.10 La e x p r e s i ó n i I . 3 . 8 j u n t o a las a n t e r i o r e s p e r m i t e pues el c á l c u l o de las tensiones en un punto del i n t e r i o r del d o m i n i o , una vez c o n o c i d o s los v a l o r e s de - las tensiones y movimientos en el c o n t o r n o , así como, e v i d e n t e m e n t e , las f u e r z a s p o r unidad de v o l u m e n . I 1 . 4 . - E C U A C I O N DE SOM I GL I A N A P A R A P U N T O S DEL C O N T O R N O Como se ha ido e x p l i c a n d o a lo l a r g o del c a p í t u l o 1 , el o b j e t i v o f i n a l del - método c o n s i s t e en r e s o l v e r el p r o b l e m a p l a n t e á n d o l o e x c l u s i v a m e n t e en el c o n t o r n o S e r á p o r tanto n e c e s a r i o el h a c e r t e n d e r el punto donde se c e n t r a la s i n g u l a r i d a d , (punto x) en la i d e n t i d a d de S o m i g l i a n a a;| c o n t o r n o . Íi ¡ S i n e m b a r g o , este p r o c e s o l l e v a c o n s i g o el hecho de que las i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e que no e r a n s i n g u l a r e s cuando el p o l o se e n c o n t r a b a en el i n t e r i o r del - d o m i n i o , lo sean, ahora, al igual que o c u r r í a a n t e r i o r m e n t e con las i n t e g r a l e s de vo i lumen. R e c o r d a n d o que la i d e n t i d a d de S o m i g l i a n a se extendía a un d o m i n i o fí e = [ - lim ( fi „ e —*• 0 «.. ki B e (x)) ] , p o d r e m o s e x p r e s a r a q u e l l a , como U , t ds ik i y u. = i 6Ü - 6 ft e T , ik u ds + i y ik ft c i II.4.1 e E n el c a s o de que el punto s i n g u l a r f u e r a un punto i n t e r i o r las i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e quedaban r e d u c i d a s a i n t e g r a l e s s o b r e 6 & . E n el c a s o de que la s i n g u l a r i d a d se e n c u e n t r e en el c o n t o r n o no es p o s i b l e r e a l i z a r esta s i m p l i f i c a c i ó n . E f e c t i v a m e n t e , en este caso s i n o que 5n e =--5, U ' S e $n e (Fig. ¿ ófiU 11.4.1) ó B e (x) Fig. II.4.1 A c o n t i n u a c i ó n vamos a d e f i n i r exactamente cada una de las s u p e r f i c i e s ante r i o r e s . En el c a s o de que x sea un punto c o r r e s p o n d i e n t e a un c o n t o r n o suave de - L i a p u n o v , e x i s t i r á un s ó l o plano tangente y una sola n o r m a l , aunque no n e c e s a r i a - mente con una sola c u r v a t u r a . Sea T (x) d i c h o plano t a n g e n t e . En c a m b i o , si x es - un punto c o r r e s p o n d i e n t e a una e s q u i n a , e x i s t i r á n v a r i o s planos t a n g e n t e s , que puedan 11 egar a s e r i n f i n i t o s (caso del v ó r t i c e de un c o n o ) . Sean T ( x ) , (i = 1 , 2 . . M i dichos planos t a n g e n t e s . T a n t o en un c a s o como en o t r o , el c o n j u n t o de todas las s e m i t a n g e n t e s , que p a r t e n de x y p e n e t r a n en el s e m i e s p a c i o l i m i t a d o p o r en el que se e n c u e n t r a T. (x), i - f o r m a la s u p e r f i c i e de una p i r á m i d e a la que d e n o m i n a r e - mos " s u p e r f i c i e c a r a c t e r í s t i c a " P ( x ) , t é r m i n o de H a r t m a n n , que puede o b s e r v a r , se en la F i g I I . 4 . 2 . Con estos c o n c e p t o s podemos ya d e f i n i r las s u p e r f i c i e s S mente i n d i c a d a s . ' y S e , anterior- S£ = lim e 0 6 [ B ( x ) f * P (x) ] - 6 P (x) e 11.4.2 [5 [ P.- B V e (x)]-S e 1 6F (x) Fig. II.4.2 A s i m i s m o , en este eso fi = e ya que B l i m 6 [ a - B E (x) ] = e e —0 (x) A lim 6 [ €—0 P es la ú n i c a zona de B e B (x) A P (x)) ] I I .4.3 £ (x) que está i n c l u i d a en 9. . S i d i v i d i m o s a h o r a las i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e en I I . 3 . 1 en dos i n t e g r a l e s , la p r i m e r a extendida a la s u p e r f i c i e S dremos 1 y la segunda a la s u p e r f i c i e S ^ ten - I I .4 « ki u. i = U , t ds + ik i y T ik T U , t ds ik i y u ds + i y U , X. d ik i ik u ds i y II.4.4 y a Las i n t e g r a l e s p r i m e r a y t e r c e r a , son p r e c i s a m e n t e las i n t e g r a l e s de 11.1.1 p e r o entendidas en el s e n t i d o de C a u c h y , ya que a h o r a son s i n g u l a r e s , y del mismo j modo la i n t e g r a l de v o l u m e n . S e r á pues n e c e s a r i o en p r i n c i p i o d e m o s t r a r que esas i n t e g r a l e s e x i s t e n y están d e f i n i d a s en el s e n t i d o de C a u c h y . La p r i m e r a de e l l a s , no p r e s e n t a p r o b l e m a , ya que de nuevo nos e n c o n t r a mos ante un t i p o de s i n g u l a r i d a d d é b i l . El o r d e n de la s i n g u l a r i d a d es i n f e r i o r al - de dimensiones del e s p a c i o s o b r e el que se i n t e g r a . E n cambio la segunda c o r r e s p o n d e a una i n t e g r a l con f u e r t e s i n g u l a r i d a d , - que ha de c u m p l i r una s e r i e de r e q u i s i t o s , p a r a p o d e r s é d e f i n i r . ! E s t o s r e q u i s i t o s - , p a r « P i n t e g r a l e s m u l t i d i m e n s i o n a l e s h a n s i d o p r o p u e s t o s p o r M i k h l i n en la f o r m a si - guíente, p a r a el c a s o de 2 d i m e n s i o n e s que nos o c u p a . ( 1 ) . - La i n t e g r a l de la f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a (núcleo de la i n t e g r a l m u l t i - p l i c a d o p o r r elevado al o r d e n de la s i n g u l a r i d a d ) e x t e n d i d a a ( 2 ) . - E n c u a l q u i e r s u b e s p a c i o de IR 2 ó B e (x) es c e r o . la f u n c i ó n d e n s i d a d de la i n t e g r a l (el = I I .4 v e c t o r que no depende de la s i t u a c i ó n del polo ó p j n t o s i n g u l a r ) es H ó l d e r - c o n t i n u a , es d e c i r cumple u (y ) - u(y ) ¡ < C r C = Cte 0 < <* < 1 I1.4. 5 ( 3 ) . - En el i n f i n i t o la f u n c i ó n d e n s i d a d u (y) es de o r d e n 0 ( || y || -k ) con - k > 0. ( 4 ) . - La f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a es acotada y c o n t i n u a r e s p e c t o a (y - x) pa r a un x f i j o . S i estas c o n d i c i o n e s son s a t i s f e c h a s , entonces podemos a f i r m a r que la i n t e g r a l s i n g u l a r e x i s t e en el s e n t i d o de C a u c h y , y es c o n t i n u a r e s p e c t o a x . T o d a s estas c o n d i c i o n e s se c u m p l e n en el c a s o que nos ocupa ( K u p r a d z e - 1965), y p a r t i c u l a r m e n t e ya h i c i m o s uso de la p r i m e r a de e l l a s en el e p ' i g r a f e ante_ rior. S ó l o f a l t a pues el c á l c u l o de las i n t e g r a l e s e x t e n d i d a s a S £ . L a primera - de e l l a s de nuevo ea n u l a , ya que el t e n s o r U , según 1 1 . 2 . 1 es de o r d e n 0 ( - - - ) y ¡k 2 , como d s ^ = e sen e d <> j d 6 , y t . e s t á acotado en 5 ^ , $e puede en d e f i n i t i v a escribir I im U , ik t ds i y = 0 11.4.6 e— El t e n s o r T ik , en cambio es de o r d e n 0 ( - - - ) siendo n e c e s a r i o c a l c u l a r la= 2 integral correspondiente. . I I .5 P a r a la e s f e r a p o r lo que T r . , n, = I I 3 ^ 3 n B e (x) la n o r m a l c o i n c i d e con la d i r e c c i ó n del r a d i o , en S . ' e = 1 , con lo que en esta s u p e r f i c i e = — 1 - T., ( e , <d ) ik ¡k 2 -1 (1-2v)+3r,2 3r,2r,3 8#(1-v) r sirn (1-2v^+3r, II.4.7 s i n más que t e n e r en cuenta la e x p r e s i ó n ! I . 2 . 5 H a c i e n d o uso d é l a s e x p r e s i o n e s del d i f e r e n c i a l de s u p e r f i c i e en c o o r d e n a -t 2 das p o l a r e s ds = r sen d d 6 d 4» se t e n d r á y T . , u. ds lk 1 yJ = u (x) lim i € —0 T , ds = u. (x) ik y i T , sen e d 6 d <j) ik .4.8 S u s t i t u y e n d o en la e x p r e s i ó n a n t e r i o r el v a l o r de ds , y de r , d e f i n i d o e n y i I I . 3 . 5 , e i n t e g r a n d o tenemos T ik u ds = C , u (x) i y ik i .4.9 con (1-2v)+3cos 2 $ sen 3cos ^ s e n ^ s e n (1-2v)+3sen -1 iM 26 26 <j>sene 3cos <> t sen 4>eos 3sen 4>sen Qcos 6 Iftfff-")' (1-2v)+/eos . sen © d <t>d 4> II.4.10 que r e s u e l t a p e r m i t i r í a e s c r i b i r el v a l o r de C . p a r a c u a l q u i e r f o r m a de S . ik e A l g u n o s c a s o s p a r t i c u l a r e s y muy comunes son los s i g u i e n t e s . (1) S u p e r f i c i e s u a v e . La s u p e r f i c i e S es una e m i e s f e r a . 4 TT o 0 0 4 0 0 0 4 * 8 "T e ( 3 ) . - Nodo en una esquina r e c t a . La s u p e r f i c i e S_ es un octavo de e s f e - ra; -1 - 1 I 1.4 N a t u r a l m e n t e los v a l o r e s de C , como m u e s t r a I l . 4 . 1 0 no s o l o dependen de ¡k la medida de S £ s i n o también de la o r i e n t a c i ó n de ésta p o r lo que los v a l o r e s son v á l i d o s únicamente p a r a los c a s o s p a r t i c u l a r e s que p r e s e n t a n las f i g u r a s . S u s t i t u y e n d o los r e s u l t a d o s de I I . 4 . 6 y I I . 4 . 9 en I I . 4 . 1 se obtiene la ecua c í ó n de S o m i g l i a n a cuando la s i n g u l a r i d a d se e n c u e n t r a en el c o n t o r n o , quedando ( « .. - C . ) u. = ik ik i U , t ds ik i y 6 fi T ik u ds + i y U , X d fi ik i y II.4.11 6 fi donde de nuevo la<; i n t e g r a l e s hay que e n t e n d e r l a s en el s e n t i d o de C a u c h y , y C está d e f i n i d o en 11.4.10. ik I 1 . 5 . - T E N S O R DE T E N S I O N E S E N P U N T O S DE C O N T O R N O La e c u a c i ó n I I . 3 . 8 p r o p o r c i o n a b a el r e s u l t a d o n e c e s a r i o p a r a el c á l c u l o de las t e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s , s i n embargo no es p o s i b l e a p l i c a r esta e c u a c i ó n p a r a el c á l c u l o del t e n s o r de t e n s i o n e s en puntos del c o n t o r n o , ya que en la d e r i v a c i ó n de las i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e no se ha c o n s i d e r a d o que e r a n s i n g u l a r e s . i Tampoco es p o s i b l e c a l c u l a r el t e n s o r de t e n s i o n e s mediante a p l i c a c i ó n del o p e r a d o r de Lame a la e c u a c i ó n I 1 . 4 . 1 1 p o r q u e a p a r e c e r í a n i n t e g r a l e s i n f i n i t o , y = p o r tanto s i n s e n t i d o . P a r a o b t e n e r la e x p r e s i ó n del t e n s o r de t e n s i o n e s en puntos= ¡ del c o n t o r n o s e r á n e c e s a r i o el u t i l i z a r una i n t e r p o l a c i ó n de m o v i m i e n t o s , obtenién- dose aqqel en f u n c i ó n de la v a r i a c i ó n de e s t o s en el c o n t o r n o . P a r a e l l o , se va a u t i l i z a r un s i s t e m a local s i t u a d o en el punto del c o n t o r n o donde p r e t e n d e m o s c a l c u l a r el t e n s o r de t e n s i o n e s , de f o r m a que la c o o r d e n a d a z - local c o i n c i d a con la normal al c o n t o r n o en el punto en c u e s t i ó n (en el c a s o de que en este punto e x i s t a más de una n o r m a l al c o n t o r n o , e s c o g e r e m o s la n o r m a l a una - c u a l q u i e r a de las c a r a s ) , y p o r t a n t o , el plano x y (plano TT) sea tangente al c o n t o r - E n esas c o o r d e n a d a s y p a r a la c a r a t r a t a d a , el v e c t o r t e n s i ó n s e r á c o n o c i d o , ó s e r á una i n c ó g n i t a del p r o b l e m a , c o n lo que una vez r e s u e l t o éste s i e m p r e se_ r a c o n o c i d o . Con e l l o , y en las c o o r d e n a d a s l o c a l e s a n t e d i c h a s t e n d r e m o s a z T XZ T yz (P) (P) =t z = t 11.5.1 X (P) = t y E l r e s t o de las componentes del t e n s o r t e n s i ó n pueden c a l c u l a r s e r e a l i z a n do la i n t e r p o l a c i ó n de m o v i m i e n t o s i n d i c a d a . S i suponemos c o n o c i d a s las v a r i a c i o n e s de los m o v i m i e n t o s u y v en las - d i r e c c i o n e s x e y , s e r á p o s i b l e c a l c u l a r las d e f o r m a c i o n e s S e y = -3- - X = 3 v 3 y II.5.2 3 £ = i <-üxy 3 y + 3 —V-) 3 x C o n o c i d a s e s t a s d e f o r m a c i o n e s podemos c a l c u l a r inmediatamente la tensióntangencial que f a l t a b a . •c xy = Ge 11.5.3 xy Las t e n s i o n e s n o r m a l e s a x y CT haciendo uso de las r e l a c i o n e s de Lamé y pueden t a r r b i é n c a l c u l a r s e como s i g u e , - a e • = - - - - - [ (1 - 2 v) - 1-v 2 2G y s u s t i t u y e n d o en las e x p r e s i o n e s de a o x = __J__ , 1 - v ( e (2G e + 2G x v e y7 + e ) X x y ° + v a ] y t e n d r e m o s en d e f i n t i v a , y ) z I1.5.4 a yJ = _J , i - v (2G e y 3 + 2G v e x + v donde ya todos los v a l o r e s son c o n o c i d o s . 0 ) z I I . 6 . - T R A N S F O R M A C I O N DE LA I N T E G R A L DE F U E R Z A S DE V O L U M E N E N UNA I N T E G R A L DE S U P E R F I C I E E s evidente que la g r a n v e n t a j a del método de los elementos de c o n t o r n o , en= cuanto que r e d u c e las i n t e g r a l e s al c o n t o r n o , s i e n d o n e c e s a r i a tan s ó l o la d i s c r e t i z a c i ó n de é s t e , queda anulada p o r el hecho de la a p a r i c i ó n de i n t e g r a l e s de v o l u m e n . E l mayor inconveniente s u r g e pues en el c a s o de que e x i s t a n f u e r z a s de volumen p o r lo que d i s t i n t o s a u t o r e s han s e g u i d o v a r i a s a p r o x i m a c i o n e s p a r a t r a t a r de r e d u c i r , o e l i m i n a r las d i f i c u l t a d e s que e s t a s i n t e g r a l e s i n t r o d u c e n . La p r i m e r a s i m p l i f i c a c i ó n que se o c u r r e , s u r g e o b s e r v a n d o la e c u a c i ó n de Na_ v i e r p a r a el caso e l á s t i c o . A u = - X donde A es el o p e r a d o r de N a v i e r , II.6.1 lineal. A p a r t i r de la t e o r í a elemental de e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s , se p u e de i n t e n t a r c o n s e g u i r la s o l u c i ó n de esta e c u a c i ó n , como suma de la s o l u c i ó n de la - ecuación homogenea, c o r r e s p o n d i e n t e a f u e r z a s de v o l u m e n n u l a s , y que p o r tanto no e n c i e r r a ningún p r o b l e m a en cuanto al método p r o p u e s t o , y una s o l u c i ó n p a r t i c u l a r - de la e c u a c i ó n I I . 6 . 1 p a r a el c a s o de que e x i s t a n f u e r z a s de v o l u m e n . E n la m a y o r í a de los c a s o s p r á c t i c o s de f u e r z a s p o r unidad de v o l u m e n , esta s o l u c i ó n p a r t i c u l a r es f á c i l m e n t e o b t e n i b l e casos el p r o b l e m a d e s a p a r e c e r í a . en f o r m a p o l i n ó m i c a , p o r lo que en e s t o s S i n e m b a r g o , e x i s t e n o t r o s c a s o s de f u e r z d s de volumen en los que no es p o s i b l e c o n s e g u i r f á c i l m e n t e esta s o l u c i ó n p a r t i c u l a r * A s i m i s m o en los p r o b l e m a s no - l i n e a l e s ( p l a s t i c i d a d p o r ejemplo) la s u p e r p o s i c i ó n de s o l u c i o n e s deja de s e r v á l i d a . P a r a s a l v a r este p r o b l e m a se ha seguido una a p r o x i m a c i ó n d i s t i n t a , p r o p u e s t a p o r - C r u s e , y que es muy ú t i l p a r a f u e r z a s de v o l u m e n , que d e r i v a n d e u n a f u n c i ó n poten - c i a l . E s t a f o r m u l a c i ó n es la que se p r e s e n t a a c o n t i n u a c i ó n . Se habia v i s t o que la i n t e g r a l de f u e r z a s dé volumen tenía la e x p r e s i ó n 1.6.2 U , X . d fi ik i y S i el v e c t o r de f u e r z a s de volumen X. pued^ d i s p o n e r s e como el g r a d i e n t e de una f u n c i ó n p o t e n c i a l , X = V 0 I1.6.3 X. = 0 , . i i tendremos U., X. d a = ik i y U., 0 , . d fi ik i y I 1.6.4 fi T e n i e n d o en cuenta a h o r a la e x p r e s i ó n del g r a d i e n t e de un p r o d u c t o de f u n ciones (U.. 0 ) , . = U M 0 IK i ik I + U.. 0 , . ik I 1.6.5 U., 0 , . = (U., 0 ) , . - U., 0 ik i ik i ik i que s u s t i t u i d a en I I . 6 . 4 p e r m i t e e s c r i b i r U ik X d ti i y U , , ik i (U., 0 ) , . óti ik i y = 0 d ti y 11.6.6 • (2 A p l i c a n d o el teorema de la d i v e r g e n c i a a la p r i m e r a de las i n t e g r a l e s del se_ gundo m i e m b r o se puede p a s a r a i n t e g r a l de s u p e r f i c i e quedando. ü , 0 n díl ik i y U , X. d ñ = ik i y U , , ik i 0 ó ti y Ii.6.7 5 ti donde n es la normal al c o n t o r n o en el punto de campo y . i E n este momento es p r e c i s o h a c e r la s a l v e d a d de que la i n t e g r a ! de s u p e r f i c i e a n t e r i o r e x i s t e en el s e n t i d o de Cauchy ya que p r e s e n t a una s i n g u l a r i d a d clebil cuando se i n t e g r a desde un-punto del c o n t o r n o . La segunda i n t e g r a l se puede también p a s a r al c o n t o r n o e x p r e s a n d o el t e n s o r de movimientos U , en f u n c i ó n del v e c t o r de G a l e r k i n , según la e x p r e s i ó n A l . 10 ik 1 Ü ¡k~ *«k'll Ik'li 2(1-v) II.6.7 y teniendo en cuenta la e x p r e s i ó n del l a p l a c i a n o de Un v e c t o r en f u n c i ó n del g r a d i e n te de la d i v e r g e n c i a y del r o t a c i o n a l del r o t a c i o n a l 2 V V = V. ( V . v) - Vx(Vxv) y en f o r m a i n d i c i a l v., = v , - e. e i II I li imn npo v , o pm II.6.8 donde e es el í n d i c e de p e r m u t a c i ó n d e f i n i d o como ¡jk 1 e. = >jk ¡ ¿ j ¿ k permutación par -1 i ^ j ^ k . permutación impar I1.6.9 0 i = j , j = k, k = i A p l i c a n d o la e x p r e s i ó n I I . 6 . 8 al p r i m e r t e r m i n o del segundo m i e m b r o de la= e x p r e s i ó n I I . 6 . 7 se puede e s c r i b i r U ik = X.. , . . - e . e X . , Ik h imn npo ok pn ^ • • 1 X.. Ik li y operando U.. = 1-2 v 2(1 v) x,,»,.- G . 'mn X , , ° e II.6.10 P o r tanto la d i v e r g e n c i a de U , que a p a r e c e en la i n t e g r a l de volumen que ik quedaba s e r á n U.. = ' iUi ' ~ 2 v 2(1 = ,k ] 1 " X e. e 'mn v) 2 v x 2(1-v) X . , ° pm - ' .6.11 ,... ,k ya que la d i v e r g e n c i a del r o t a c i o n a l de un v e c t o r es c e r o , S u s t i t u y e n d o en I I . 6 . 7 t e n d r e m o s U., ik w X.dfi = i y U 6 J2 .k 0 • "l d 1-2 v V -2ü:-v) x., $ Ik 111 áa y 11.6.12 I 1.6 O b s e r v a n d o esta ú l t i m a i n t e g r a l vemos que p a r a k f i j o , es d e c i r p a r a una e c u a c i ó n i n t e g r a l c o n c r e t a , la f u n c i ó n s u b i n t e g r a n d o c o r r e s p o n d e al p r o d u c t o del - l a p l a c i a n o de una f u n c i ó n X j > | p o r o t r a f u n c i ó n 0 . Es p o s i b l e pues a p l i c a r el teorema de G r e e n , en la f o r m a [ x,. t . 0 . . . - x 0 ] d a Ik I ii Ik l i i y = X,. Ik I n l l . ds y - 0 X Ik , . » ,li- n- i d s y 6Ü 6 Si II.6.13 E n el c a s o de que la d i v e r g e n c i a del v e c t o r de f u e r z a s de volumen sea c o n s tante X.,. = K i i o II.6.14 ; 0,.. = K ii o podremos e s c r i b i r X .i»... 0 Ik l n da y = 6 $ X,. t , 0 » . n ds Ik I i j y X,, ».. Ik h n. i ds y - K Xlk'| o d °y 6 Si a 11.6.15 y a p l i c a n d o el t e o r e m a de la d i v e r g e n c i a a esta ú l t i m a i n t e g r a l , t e n d r e m o s d e f i n i t i v a mente todas las i n t e g r a l e s p a s a d a s al c o n t o r n o del d o m i n i o . X,|> ... 0 d f i = Ik l n y X . i >. £>,. n. ds Ik I I I y <s a - 0 X ,, »,. Ik Ii 5n n- i ds y - K o * Ik " l ^ y 6 (2 I1.6.16 S u s t i t u y e n d o esta e x p r e s i ó n en I I . 6 . 1 2 . S u s t i t u y e n d o el v a l o r de I I , en fun ik c i ó n de x,. IK en ' a p r i m e r a i n t e g r a l , t e n d r e m o s en d e f i n i t i v a T-2_v_ U , X dfi ik i y X 2(1 — v ) , 0 n. ds ik h i y 6 Si 6 Si 1_-2 v_ 2(1-v) - K x 1-2 , 0 , . n. d$ Ik I i i y X n tu Ik ! I ds 0 2(1 - v ) 6 SÍ 1-2 v 2(1-v) ^ . e x , , 0 n.ds + imn npo ok pm i y ,, >,Ik li n- i d s y 6n y 6 12 y agrupando t é r m i n o s U , X. d f i = + ik i y 1-2 v 0 , . n. ds i i y X M Ik I 2(1-v) 1_-2_v_ 2(1-v) . imn e npo X , , ok pm 0 n. ds i y 5 st 6 Si - K e X Ik n I ds I1.6.17 y 5 Si E s t a e x p r e s i ó n se puede m o d i f i c a r a l g o más de f o r m a que s ó l o a p a r e z c a n las f u e r z a s de volumen en la e c u a c i ó n y no la f u n c i ó n p o t e n c i a l . E f e c t i v a m e n t e si v o l v e mos p o r un momento esta i n t e g r a l a una de v o l u m e n , t e n d r e m o s [ e. e x , > 0 ] n . ds = imn npo ok pm i y 4 6 Si [5 e X,» 0 ] , . dfl . = imn npo ok pm 1 1 J Si e. imn e x , » . dfi + npo ok pmi y e . imn Si e npo x , > ok pm 0,. 1 d Si y II.6.18 I 1.6 La p r i m e r a de estas e c u a c i o n e s de nuevo es c e r o pues r e p r e s e n t a la d i v e r gencia de un r o t a c i o n a l . C e n t r á n d o n o s en la segunda y r e c o r d a n d o la c o n o c i d a ex presión V .(v x V x w) = v ( V x V x w) - ( V x v) . ( V x I1.6.19 w) E n n u e s t r o c a s o se puede e x p r e s a r en f o r m a i n d i c i a l como ( e . imn e npo X . » ok p 0 , ),. = 0 , . m i . E l u l t i m o de e s t o s sumandos i ( e e. e imn npo npo X , , ok p x , , ok pm - ( e . imn im ) II.6.20 ) es n u l o , ya que fe imn 0, ) r e p r e s e n t a el r o t a im c i o n a l del g r a d i e n t e de la f u n c i ó n $ que como sabemos es s i e m p r e c e r o . E n d e f i n i t i v a , s u s t i t u y e n d o la e x p r e s i ó n I I . 6 . 2 0 en I I . 6 . 1 8 t e n i e n d o en cuenta el r e s u l t a d o an tenor. [ e. e x , > 0 ] n. ds = imn npo ok pm i y [e. imn £ npo x , , 0, ] , . d fi = ok p m i y *6 si [ e. e x , » imn npo ok p m ] n. ds i y I1.6.21 6 SI donde de nuevo hemos a p l i c a n d o el t e o r e m a de la d i v e r g e n c i a . I n t r o d u c i e n d o esta e x p r e s i ó n en la e c u a c i ó n I I . 6 . 1 7 y teniendo en cuenta que m = X m se t i e n e en d e f i n i t i v a I I .6 U 1-2 v X. d f i = ik i y - K , , X . n. ds Ik I i i y X 2(1 - v ) 6 ft 1-2 v [ e. e x , , X ] n. ds imn npo ok p m i y 6 9, II.6.22 • i n ds Ik I y o 2(1-v) 6 ft que es la e c u a c i ó n b u s c a d a . Resumiendo podemos d e c i r que p a r a f u e r z a s de volumen que d e r i v a n de un - p o t e n c i a l , es p o s i b l e el p a s a r la i n t e g r a l de volumen c o r r e s p o n d i e n t e a i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e , según i n d i c a la e x p r e s i ó n I I . 6 . 2 2 , que podemos a g r u p a r en la forma siguiente a U., X . d a = ik i y E . X ds + ik i y 6 ft F, ds k y II.6.23 6ü donde, si tenemos en cuenta que e jmn e npo = 6 5 jp mo -ó jo 6 mp Se t i e n e 1-2 ik 2(1 - v) n. - x , n + x.. i ik p p jk i Ik I n. j II.6.24 1-2 v F, = - rv, K k 2(1-v) o x Ik n I I 1.2 Las e x p r e s i o n e s de los t e n s o r e s a n t e r i o r e s pueden o b t e n e r s e p a r a el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , teniendo en cuenta que X., 1 = 8 TTG ,k r 5 I 1.6.25 ,k siendo r la d i s t a n c i a | | y - x|J desde el punto donde se a p l i c a la c a r g a x al punto de campo y . Con el lo se tiene •r E 1 = 8irG ,k TL 1 ~ 2 V 2(1-v) (1-2v) = 16ttG(1-V) k k k . n. - r , n *6 P P lk ' r, + r , . n 1J ' k I 1.6.26 r n ° k T o d a v í a es n e c e s a r i o el t r a t a m i e n t o de la i n t e g r a l de volumen que a p a r e c e - en el c á l c u l o de las t e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s , es d e c i r de la i n t e g r a l . D , X d fi ijk i y I1.6.27 R e c o r d a n d o que esta i n t e g r a l a p a r e c í a como c o n s e c u e n c i a de la a p l i c a c i ó n = del o p e r a d o r de Lame a la i n t e g r a l a n t e r i o r m e n t e t r a t a d a , p o d r e m o s e s c r i b i r en d e finitiva. D... X, d n = ijk k y donde G. X, ds + ijk k y <5 8 H . ds |J y 6 ti I 1.6.28 ijk Ik I ik j ij jk i 11.6.29 H.. = XF,;, ij I I 6 .. + G (F.;. »J i J + F.;.) J i Las e x p r e s i o n e s de e s t a s t e n s i o n e s son las s i g u i e n t e s 1 G . = ,jk [ 2 (1-2 v ) ( r , . r . 1 6tt (1 - v) ( 1 - 2 v) J + 4 ( 1 - v ) (1 - 2 v ) r , . r , . n, ] .i j k - (4 - 6 v ) 6 n ij k ] - + [ k n. + r , . r , ' ' (1-2v) (6 ik n.) + k J n. + 6 n.) j jk i - [ 2 ( 1 - v ) ( 1 - 2 v ) ( 6., r , . + 6., r , . ) + 2 v 5 . r . ] ik j jk i ij k 11.6430, K H.. ij =-,-c—n r 16 tt(1-V ) [ 2 v r . n I I 6.. + ( 1 - 2 v ) ( r , . n . + r , . n . ) ij 1 j j 1 ] E l que esta d e r i v a d a en el i n t e r i o r de la i n t e g r a l , así como las p r o p i a s i n t e g r a l e s , t i e n e n s e n t i d o , es e v i d e n t e , ya que la i n t e g r a l de f u e r z a s volumen es no s i n g u l a r . A s i m i s m o , las i n t e g r a l e s que a p a r e c e n despues de la d e r i v a c i ó n , e x i s t e n en el s e n t i d o de C a u c h y , ya que p r e s e n t a n de nuevo una s i n g u l a r i d a d del t i p o d é b i l , ya= tratada. P a r a t e r m i n a r , se v e r á como se t r a t a n según este esquema algunas de las f u e r z a s de volumen más connunes. - ( 1 ) . - F u e r z a s de peso p r o p i o X 0 0 = 11.6.31 - pg E n este c a s o es f á c i l d e m o s t r a r que X d e r i v a de un p o t e n c i a l , s i n más que v e r que V x X = 0 . A s i m i s m o la d i v e r g e n c i a del v e c t o r f u e r z a s de volumen es c o n s t a n t e e igual a c e r o . V . X - = K o I1.6.32 = 0 con lo que en d e f i n i t i v a t e n d r e m o s que U , X d fi = ik ¡ y fi -p Q r --- L 8*G 5 fi 1-2 2(1-v) n, n - r, p n p ' , 6 + r n J ds i3 i3 k y II.6.33 ( 2 ) . - F u e r z a s debidas a b u l o n e s de t e n s i ó n . E n el c a s o de que e x i s t a n f u e r z a s de t e n s i ó n debidas a un c a b l e de - t r a c c i ó n , las c o n s i d e r a r e m o s como f u e r z a s concentradas en el punto donde se encue_n t r a el bulón de a j u s t e , p o r lo que el v e c t o r de f u e r z a s de volumen s e r á X X = í ^ «5 (P) I 1.6.34 donde X , Y , Z son las componentes de la f u e r z a c o n c e n t r a d a y 6 (P) la d i s t r i b u c i ó n de D i r a c en el punto P donde se e n c u e n t r a el b u l ó n . I 1.6 Con e l l o t e n d r e m o s inmediatamente que X U„ ik X . d fi = U., ( x , P) i y ik Y . I 1.6.35 fi s i n necesidad de u t i l i z a r el esquema a n t e r i o r . ( 3 ) . - Temperatura El c a s o de f u e r z a s de v o l u m e n ( G o o d i e r ) , debido a una d i s t r i b u c i ó n de t e m p e r a t u r a s en el c u e r p o , es a l g o d i f e r e n t e al t r a t a d o hasta a h o r a , ya que la i n t e g r a l que a p a r e c e en la e c u a c i ó n de c o n t o r n o tiene una f o r m a algo d i f e r e n t e a la t í p i ca t r a t a d a hasta a h o r a ( C r u s e ) , quedando en la f o r m a . a E 1-2 v U., ik i e d fi II.6.36 y fi donde 6 c o r r e s p o n d e al i n c r e m e n t o de t e m p e r a t u r a en cada punto de campo y a es el c o e f i c i e n t e de d i l a t a c i ó n t é r m i c a del m a t e r i a l . D i s p o n i e n d o de nuevo U en f u n c i ó n del v e c t o r de G a l e r k i n y t e n i e n d o en ik - cuenta que la d i v e r g e n c i a del r o t a c i o n a l es nula, podemos e s c r i b i r . __oE_ 1-2 v fi U., •k i 6 di! y = a E . 2(1 - v) 6 X . , d ik 111 fi y II.6.37 y a p l i c a n d o a esta ú l t i m a e x p r e s i ó n el t e o r e m a de G r e e n , sabiendo que p a r a r é g i m e n e s t a c i o n a r i o de t e m p e r a t u r a s V 6 = 0 queda a E e u , d fi = 1-2 v ik 5 y a E 2(1-v) a que c o n s t i t u y e la e x p r e s i ó n f i n a l b u s c a d a . - x ik.. ,.i e I ] nI dsy [ e x.. ik ti 5 fi 11.6.38 I I I . - APROXIMACION NUMERICA. INTERPOLACION TRIDIMENSIONAL PARABO- LICA 1 1 1 . 1 . - D I S C R E T I Z A C I O N Y T R A T A M I E N T O DE L A S E C U A C I O N E S INTEGRALES Una vez e s t a b l e c i d a la f o r m u l a c i ó n del método, es n e c e s a r i o r e s o l v e r las - ecuaciones que a p a r e c e n . L a s e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s que a p a r e c e n en el método p r o p u e s t o no son f á c i l mente r e s o l u b l e s en f o r m a d i r e c t a , y en los c a s o s de g e o m e t r í a s y c o n d i c i o n e s de - c o n t o r n o c o m p l e j a s es i m p o s i b l e el c o n s e g u i r una e x p r e s i ó n completa p a r a la s o l u - c i ó n de m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s b u s c a d a s . Es n e c e s a r i o pues a c u d i r a un método - aproximado. La f i l o s o f í a de e s t o s métodos en g e n e r a l , y p a r t i c u l a r m e n t e del método aquí= p r o p u e s t o , fue d e s a r r o l l a d a en el c a p í t u l o I , p o r lo que en este a p a r t a d o nos l i m i t a remos a a p l i c a r l a . E l punto fundamental de esta a p l i c a c i ó n se r e f i e r e al c o n c e p t o de d i s c r e t i z a ción, ó interpolación. E s t a c o n s i s t e en a p r o x i m a r la f u n c i ó n s o l u c i ó n (movimientos y t e n s i o n e s en el c o n t o r n o , en este caso) como s u m a t o r i o de una suma de f u n c i o n e s c o n o c i d a s p o r unos c o e f i c i e n t e s que suponen las i n c ó g n i t a s del nuevo p r o b l e m a . u. = M Z a. N k III .1.1 y análogamente p a r a las t e n s i o n e s . E n I I I . 1 .1 las N son las f u n c i o n e s c o n o c i d a s , - d e f i n i d a s en el c o n t o r n o , y a son las nuevas i n c ó g n i t a s a a d o p t a r . N a t u r a l m e n t e s i 1 M t i e n d e a i n f i n i t o , y u p e r t e n e c e a un e s p a c i o c o m p l e t o de f u n c i o n e s de las que N i f o r m a n una b a s e , el p r o b l e m a e s t a r í a b i e n p l a n t e a d o . k E n g e n e r a l y como se i n d i c ó en el c a p í t u l o I , las s o l u c i o n e s u y t se t r a i i - tan de e n c o n t r a r en el e s p a c i o de S o b o l e v de o r d e n 2 , que es c o m p l e t o . S ó l o f a l t a pues d e f i n i r las f u n c i o n e s N e s c o g i d a s , lo que se r e a l i z a en el a p a r t a d o I I I .1 . 2 , - Mmítandonos aquí a a p u n t a r que son f u n c i o n e s de s o p o r t e pequeño. J E s t e s o p o r t e de las f u n c i o n e s está intimamente l i g a d o c o n la d e f i n i c i ó n de - la g e o m e t r í a . E f e c t i v a m e n t e , en la m a y o r í a de los c a s o s r e a l e s no es p o s i b l e d e f i n i r la g e o m e t r í a global de la s u p e r f í c e del c u e r p o a t r a v é s de una e c u a c i ó n s i m p l e , s i n o que es n e c e s a r i o d e f i n i r l a mediante d e s c o m p o s i c i ó n en c a r t a s ó t r o z o s de una= 2 s u p e r f i c i e de e x p r e s i ó n f á c i l , a p l i c a b l e s a IR , y p o r lo tanto de " m a n e j o f á c i l " en= las e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s . E n muchas o c a s i o n e s el c o n t o r n o es tan c o m p l i c a d o que s e r í a n e c e s a r i o u n numero de c a r t a s tan g r a n d e p a r a d e f i n i r l o , que el p r o c e s o no s e r í a e c o n ó m i c o . Es p o r e l l o , que en la m a y o r í a de los c a s o s se p r e f i e r e el a p r o x i m a r la g e o m e t r í a me d i a n t e un número r e l a t i v a m e n t e pequeño de c a r t a s con una e x p r e s i ó n muy f á c i l , y - que en la medida de lo p o s i b l e r e p r e s e n t e s u f i c i e n t e m e n t e b i e n la g e o m e t r í a a efee t o s : d e p r e c i s i ó n de r e s u l t a d o s . Cada una de e s t a s c a r t a s es lo que denominamos e l e m e n t o , y v i e n e n d e f i n í das p o r v a r i o s puntos ( t r e s en el caso de un t r i á n g u l o p l a n o , s e i s en el c a s o de un= t r i á n g u l o p a r a b ó l i c o , e t c ) . Cada uno de e s t o s puntos que d e f i n e n un elemento se d e nominará nodo, y a e s t o s nodos son los que están d i r e c t a m e n t e a s o c i a d a s las - f u n c i o n e s de a p r o x i m a c i ó n de la s o l u c i ó n , de f o r m a que el s o p o r t e que se a s i g n a a cada una de e l l a s , c o i n c i d a con las s u p e r f i c i e s de los elementos a los que p e r t e n e ce el nodo al que va a s o c i a d a . Con estos c o n c e p t o s p r e v i o s de a p r o x i m a c i ó n de g e o m e t r í a y f u n c i o n e s desa rrollad£>s en 1 1 1 . 1 . 1 y I I I . 1 . 2 , las e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s van a q u e d a r r e d u c i d a s = a s i s t e m a s de e c u a c i o n e s l i n e a l e s , que pueden r e s o l v e r s e en f o r m a s t a n d a r d . E l c á l c u l o de cada uno de los elementos que componen las m a t r i c e s que d e f i nen el sistema de ecuaciones se r e a l i z a en II 1.2, m i e n t r a s que la f o r m a c i ó n de las m a t r i c e s e i n t r o d u c c i ó n de las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o se p r e s e n t a n r e s p e c t i v a m e n te en I I I . 3 y l I l . 4 . Una vez d e f i n i d o el sistema de e c u a c i o n e s , es n e c e s a r i o r e s o l v e r l o . El m é todo e l e g i d o p a r a esta r e s o l u c i ó n es el del g r a d i e n t e c o n j u g a d o , que se d e s a r r o l l a = en I I I . 5 , completándose el p r o c e s o . Un p r o b l e m a a d i c i o n a l s u r g e cuando el d o m i n i o no es homogeneo, s i n o que está compuesto p o r v a r i o s s u b d o m i n i o s homogéneos y d i f e r e n t e s e n t r e s í , ya que en c a s o de h e t e r o g e n e i d a d más d i s t r i b u i d a el método no es r e n t a b l e , ni c o m p a r a b l e a elementos f i n i t o s . E s t e c a s o es p o s i b l e t r a t a r l o mediante un p r o c e s o de s u b r e g i o n a l i z a c i ó n , - planteando el sistema de e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s p a r a cada una de e s t a s s u b r e g i o n e s , e i n t r o d u c i e n d o a p o s t e r i o r i las c o n d i c i o n e s de e q u i l i b r i o y c o m p a t i b i l i d a d en las interfases correspondientes. - E l p r o c e s o de p l a n t e a m i e n t o de las e c u a c i o n e s p a r a cada s u b r e g i ó n se d e t a l l a en III.1. 3 , m i e n t r a s que la i n t r o d u c c i ó n de las c o n d i c i o n e s en i n t e r f a s e se e x p l i ca en I I I . 3 . I I 1 . 1 . 1 . - A P R O X I M A C I O N DE LA G E O M E T R I A Una de las f a s e s fundamentales de la d i s c r e t i z a c i ó n c o n s i s t í a en la a p r o x i m a c i ó n de la g e o m e t r í a p o r un c o n j u n t o de c a r t a s denominadas elementos que fuesen t r o zos de una s u p e r f i c i e s i m p l e . E n el c a s o que nos ocupa se ha e l e g i d o la a p r o x i m a c i ó n p a r a b ó l i c a , p o r la r a z ó n fundamental de que p e r m i t e a p r o x i m a r exactamente la m a y o r í a de los c a s o s - r e a l e s , y en o t r o s a c e r c a r s e mucho a la r e a l i d a d . Los t r o z o s e l e g i d o s c o r r e s p o n d e n a t r i á n g u l o s y c u a d r i l á t e r o s a l a b e a d o s , d e f i n i d o s r e s p e c t i v a m e n t e p o r s e i s y ocho nodos ( F í g . - II 1.1.1.1). El p r o b l e m a que se-plantea a c o n t i n u a c i ó n es la d e f i n i c i ó n de las c o o r d e n a - das de un punto en el i n t e r i o r de uno de e s t o s elementos , c o n o c i d a s las c o o r d e n a - das de los nodos y la s i t u a c i ó n r e l a t i v a del punto r e s p e c t o a é s t o s . E s t o , q u e a p a r e c e en el p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a como se e x p l i c a en= I 1 1 . 2 , se r e s u e l v e haciendo uso de la a p l i c a c i ó n 2 f = 6 fi — I R , donde fifi co n n r r e s p o n d e a la s u p e r f i c i e del elemento n . A p l i c a c i ó n que evidentemente es f a c t i b l e y c o r r e s p o n d e a un homomorfismo, debido a la e x p r e s i ó n f á c i l e s c o g i d a p a r a 6 , - p o r lo que es d e r i v a b l e , y p a r t i c u l a r m e n t e es p o s i b l e c a l c u l a r el j a c o b i a n o de la - transformación. fi n F i g . I I I .1 .1 .1 P a r a u n i f i c a r c r i t e r i o s en lo que se r e f i e r e a t r i á n g u l o s y c u a d r i l á t e r o s se= han c o n s i d e r a d o a q u e l l o s como c u a d r i l á t e r o s d e g e n e r a d o s en los que se ha condensa^ do un l a d o , c o i n c i d i e n d o p o r tanto las c o o r d e n a d a s de t r e s v é r t i c e s . E l homomorfismo e l e g i d o va a s e r el h a b i t u a l m e n t e u t i l i z a d o en elementos fini_ tos p a r a c u a d r i l á t e r o s planos de lados p a r a b ó l i c o s , que t r a n s f o r m a los lados del e l e 2 mentó en los segmentos £ =± 1 ti = ± 1 en IR . Fig. III.1.1.2 a 2 Fig. I I I.1.1.2 b donde la n u m e r a c i ó n de los nodos r e p r e s e n t a una n u m e r a c i ó n i n t e r n a que no se co r r e s p o n d e r á con la n u m e r a c i ó n f í s i c a de los nodos del elemento - superficial. La e x p r e s i ó n de la t r a n s f o r m a c i ó n v i e n e d e f i n i d a a t r a v é s de las c o o r d e n a d a s nodales x. n n = 1 , 2 , . . . . 8 , y de unas f u n c i o n e s de i n t e r p o l a c i ó n N i das p a r a cada uno de los nodos, como * . ( 5 , Ti) = N n ( c , n ) x n i i i = 1,2,3 ( 5 , n ) definí II 1.1.1.1 donde K , n £ [ - 1 , 1] y se denominan usualmente c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s ó n a t u r a l e s , y las funciones de forma t i e n e n la e x p r e s i ó n s i g u i e n t e con la n u m e r a c i ó n i n d i c a da en la F i g . 1 1 1 . 1 . 1 . 2 .Nodos de v é r t i c e , Nn U,n) = -74 con (1 +K ) (1 +n ) U + n - 1) o o o o n = 1, 2 , 3., 4 II 1.1.1.2 III.1.1.3 n o _ n n nodos i n t e r m e d i o s con 5 J = Cte, n = 5, 6, 7, 8 N n ( c , r , ) = i ( 1 -K h k (1 -K .) oj j = 1, 2 111.1.1.4 k = 2, 1 Dos de estas f u n c i o n e s p a r a un nodo de v é r t i c e y o t r o de lado i n t e r m e d i o s e e n c u e n t r a n r e p r e s e n t a d a s en la F i g . I I I . 1 .1.3. F i g . I I I . 1 .1 .3 E v i d e n t e m e n t e , los elementos pueden s e r alabeados de una o dos c u r v a t u r a s , r e g l a d o s 6 simplemente p l a n o s . E s n e c e s a r i o también el c a l c u l a r el j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n p a r a lo cual h a b r á que c a l c u l a r p r e v i a m e n t e las d e r i v a d a s de las c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s - r e s p e c t o a las n a t u r a l e s . E s t a s d e r i v a d a s se deducen inmediatamente de 1 1 1 . 1 . 1 . 1 , quedando 3 x- a Mn ^n = dZ. 35 . J J III 1 1 5 ' donde las d e r i v a d a s de las f u n c i o n e s de f o r m a son: nodos de v é r t i c e n = 1 , 2, 3, 4 n = J / 5n J 3K o. 4 )(2K .+ C OJ k nodos i n t e r m e d i o s con . .n 3N (1 + K 5 j o, ) k j = 1, 2 II 1.1.1.6 L. k = 92 ,11 = Cte n, 2. = 1 e . (1 - 5 ) n = 1 , 2, 3, 4 J j = 1, 2 k = 2, 1 3 NP - - - - - = C . (1 + K .) k OJ 35 k con lo que en d e f i n i t i v a el j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n q u e d a r í a I I 1 . 1 .1 .7 j .3x + ( 9y 3x 3y^2 35 3n 3n 3? 3 y 3z 3y_ _3JL)2 3n 3n 35 35 + ^3x 35 3 z_ 3n _3_x 3n donde cada una de las d e r i v a d a s ha sido d e f i n i d a p r e v i a m e n t e . _3 z + 35 .1.1.8 I I 1 . 1 . 2 . - A P R O X I M A C I O N DE L A S F U N C I O N E S S O L U C I O N Habíamos i n d i c a d o que el hecho de e s c o g e r un método a p r o x i m a d o p a r a la - r e s o l u c i ó n del s i s t e m a de e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s , i m p l i c a b a p r i n c i p a l m e n t e la aprox_i_ mación de las f u n c i o n e s s o l u c i ó n , m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s , en el c o n t o r n o p o r una i n t e r p o l a c i ó n , d e f i n i d a en l I I .1 .1 , s i e n d o los c o e f i c i e n t e s las i n c ó g n i t a s del p r o b l e ma y N las f u n c i o n e s de i n t e r p o l a c i ó n , que es n e c e s a r i o e l e g i r . Usualmente e s t a s f u n c i o n e s se e l i g e n de a c u e r d o con dos o b j e t i v o s f u n d a m e n t a l e s : m e j o r a r la f o r m a del sistema f i n a l r e s u l t a n t e , y d a r a los p a r á m e t r o s a un i - s e n t i d o f í s i c o . A s í , en elementos f i n i t o s se s u e l e n e s c o g e r f u n c i o n e s s p l i n e que ga r a n t i z a n una m a t r i z en banda y p e r m i t e n i d e n t i f i c a r los c o e f i c i e n t e s c o n los m o v i m i e j i tos de una s e r i e de n o d o s . E n elementos de c o n t o r n o no es p o s i b l e c o n s e g u i r una m a t r i z en banda, ya - que las f u n c i o n e s de p o n d e r a c i ó n ( t e n s o r e s de la s o l u c i ó n fundamental) están definí das en todo el d o m i n i o . S i n embargo con el f i n de mantener la segunda c o n s e c u e n c i a = apuntada, se escogen también f u n c i o n e s s p l i n e como f u n c i o n e s de i n t e r p o l a c i ó n , es d e c i r p o l i n o m i o s de s o p o r t e pequeño, y más c o n c r e t a m e n t e p o l i n o m i o s que tomen el v a l o r 1 en el nodo al que van a s o c i a d a s y c e r o en el r e s t o de los n o d o s , lo que p e r mite una i d e n t i f i c a c i ó n s i m i l a r a la i n d i c a d a en elementos f i n i t o s . E n n u e s t r o c a s o hemos seguido la f i l o s o f í a de elementos i s o p a r a m é t r i c o s y hemos e l e g i d o también f u n c i o n e s p a r a b ó l i c a s p a r a a p r o x i m a r las f u n c i o n e s al igual que h i c i m o s en la g e o m e t r í a . De esta f o r m a , el v a l o r 0 de una de las f u n c i o n e s (u ó t) en un d e t e r m i n a d o - punto a r b i t r a r i o del c o n t o r n o v e n d r á d e f i n i d a p o r 0 = N 0 n = 1 , 2, II1.1.2.1 y r e c o r d a n d o que el s o p o r t e de e s t a s f u n c i o n e s estaba r e d u c i d o a los elementos a los que p e r t e n e c í a el nodo n podemos a s e g u r a r que esta f u n c i ó n 0 va a depender tan s o l o de los v a l o r e s 0 P que tome d i c h a f u n c i ó n en los nodos del elemento al que p e r t e n e c e = ( el punto e l e g i d o . En definitiva tendremos u (k) u (k) = < v (k) > = N . u w (k) III.1.2.2 t t (k) = i X (k) t (k) t (k) z = N . t donde N = N1 0 0 N2 0 0 N8 0 0 0 N1 0 0 N2 0 0 N8 0 0 0 N^ 0 0 N2 0 0 N II1.1.2.3 8 w u n =< . t = w y los v a l o r e s de N v i e n e n d e f i n i d o s en I I . 1 .1 . 2 y 1 1 . 1 . 1 . 4 . III.1.2.4 I 11.1.3.— D I S C R E T I Z A C I O N . F O R M U L A C I O N M A T R I C I A L DEL P R O B L E M A La e c u a c i ó n que r i g e el c o m p o r t a m i e n t o del medio en la s u p e r f i c i e v e n i a da- da como ( 6 ik - C ik T ) u. + i ik u ds = i y U , t ds + ik i y 6 fi 6 fi 6 fi E , X ds + ik i y F, ds k y 6 fi III.1.3.1 C o n s i d e r a n d o que el c u e r p o e l á s t i c o se e n c u e n t r a c o m p u e s t o , p o r u n c o n j u n t o (r) de s u b r e g i o n e s homogéneas S de d i f e r e n t e s p r o p i e d a d e s e l á s t i c a s , la e c u a c i ó n - I I I . 1 . 3 . 1 puede e s c r i b i r s e p a r a cada s u b r e g i ó n en la f o r m a ( 6 ik - C ik T ) u. 4 i (r) 6 fi ik U , t. ds + ik i y u ds = i y K 6 fi (r) 6 fi F (r) E , X ds + ik i y k ds y (r) III.1.3.2 6 fi y deben también t e n e r s e en cuenta las c o n d i c i o n e s de e q u i l i b r i o y c c r r p a t i b i l idad de - tensiones y movimientos en i n t e r f a s e s de s u b r e g i o n e s c o l i n d a n t e s , d e f i n i d a s como (r) u. I (x) (s) = u. I (x) III.1.3.3 . ( R ) I donde x € 6 (X) = - (r) fi A (X) I 6 fi (s) (r) fi de cada s u b r e g i ó n ( r ) , com S u s t i t u y e n d o a h o r a el c o n t o r n o c o n t i n u o 6 - puesto de c o n t o r n o e x t e r n o y de i n t e r f a s e s ccn r e s t a n t e s s u b r e g i o n e s c o l i n d a n t e s , <(r) p o r uno d i s c r e t i z a d o f o r m a d o p o r p ( r ) elementos p a r a b ó l i c o s 6 fi ( c u a d r i l á t e r o s ó k t r i á n g u l o s ) , con n nudos cada uno y numerados de 1 a q ( r ) p a r a cada s u b r e g i ó n , de= (r) f o r m a que d ( b , c ) , r e p r e s e n t a la n u m e r a c i ó n global del nudo c del elemento b de= la s u b r e g i ó n r , con b € [ 1 , 2 ,p ( r ) ] , c € [1,2 , n ] , (r)i q^J d€ (i, 2 y t e n i e n d o en cuenta la i n t e r p o l a c i ó n e s t a b l e c i d a en I I I .1 . 2 , podemos m o d i f i c a r la e x p r e s i ó n I I I .1 . 3 . 2 en la f o r m a p(r) [(« N - C . . ( a ) ] u. ( a ) ik ik i c + (r) Z , , b=1 ( 5 , n ) J (5,n) d^dn = Z c=1 P(r) n z b=1 z c=1 u. ( d ' T.. , [ x a , y ( ik. (b,c)) )] 6 fi, (r) [ t. ( d w ( b , c ) ' ik 1 N ( £,n) J U ) d Sdn + E IK [x ,y( )] X. I , n ) J (5 , n ) d n + H F K [ X A , y ( )] J ( n) d 5 dn ] 6 a, donde a r e p r e s e n t a el número del nodo desde el que se i n t e g r a III.1.3.4 La e x p r e s i ó n I I I . 1 . 3 . 4 r e p r e s e n t a 3 e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s p o r cada nodo p o r cada s u b r e g i ó n , p o r y lo que se d i s p o n d r á de un sistema de 3 q ( r ) e c u a c i o n e s pa_ r a cada s u b r e g i ó n . A g r u p a n d o t é r m i n o s podemos e x p r e s a r la e c u a c i ó n a n t e r i o r en f o r m a m a t r i c í a l como s i g u e . i i L b=1 + B..ik r L c=1 p(r) Z b=1 be u.I (d (b,c)J = ¿ b=1 L c=1 LA ik be t.I (d (b,c)> J + P .1.3.5 donde B B ik ik Ujk[x be ct T , y Ce , n )J N (5 , n ) J ti , n ) ÓK d n a ¿ d N ° ti , n ) J ti , n) d K d n + [« <5 a ik a ik (r) (b,c) 6 fi U¡(<[xa, y (5fn)] be c - C.Ja)] ik = d ^ (b,c) T j k [ x a , y ( z , n)] N ° ( K, n) J ti , n) d C d be 6 fi. [E 6n b ik [xa, y ti , n ) ] X. ( £ , n) + F [ x ' 1 k y ti , n ) ] ] Jfe ,n ) d K d n III.1.3.6 La e x p r e s i ó n I I I .1 . 3 . 5 r e p r e s e n t a un sistema de e c u a c i o n e s p a r a cada s u b r e g i ó n con 3.q ( r ) e c u a c i o n e s y 6 . q ( r ) i n c ó g n i t a s (u y t ) . i i Cada t r i p l e t a de e c u a c i o n e s (k) del s i s t e m a , c o r r e s p o n d e a la i n t e g r a l desde un nodo a , m i e n t r a s que cada t r i p l e t a de columnas r e p r e s e n t a n las i n c ó g n i t a s u ó t del nodo d i (r) . ( b , c ) que se esté considerando, E n d e f i n i t i v a la e c u a c i ó n m a t r i c i a l base del método tiene la f o r m a s i g u i e n t e = p a r a cada s u b r e g i ó n _(r) B u (r) A(r) = A (r) t + P (r) I I I . 1 .3.7 v i n i e n d o los t é r m i n o s de cada una de las m a t r i c e s B , A , P a n t e r i o r e s d e f i n i d o s en - III.1.3.6. A s í , p o r e j e m p l o d i r e m o s que la i n t e g r a l desde un nodo a f i j o s o b r e un ele - mentó b c o n c r e t o p r o d u c e 3 (i) x 3 (k) x 8 ( c ) , es d e c i r 72 c o n s t a n t e s de i n t e g r a c i ó n , p a r a las m a t r i c e s A y B , y s o l o 3 (k) t é r m i n o s del v e c t o r P . E n la e x p r e s i ó n I I I .1 . 3 . 7 los m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s están e x p r e s a d o s en= c o o r d e n a d a s g l o b a l e s . En g e n e r a l , s i n e m b a r g o , los p o s i b l e s datos se e n c o n t r a r á n = en c o o r d e n a d a s e l e m e n t a l e s , p o r lo que en la f o r m u l a c i ó n r e s u l t a c o n v e n i e n t e r e f l e j a r este cambio en u y t . E n g e n e r a l los v e c t o r e s t se pueden e x p r e s a r en f u n c i ó n del v e c t o r local ( a, t I , x ) en la f o r m a . M - = L IIJ.3.1.8 T1 L T2J y análogamente p a r a los m o v i m i e n t o s , donde L r e p r e s e n t a la m a t r i z de cosenos d i r e c t o r e s de la t r a n s f o r m a c i ó n de c o o r d e n a d a s l o c a l e s a g l o b a l e s . j A h o r a b i e n , la e c u a c i ó n I I I . 1 . 3 . 7 se e s t a b l e c e p a r a todos los nudos de cada subregión ( r ) . E s t a b l e c i e n d o todas las e c u a c i o n e s de los nudos de todas las s u b r e g i o n e s , e i n t r o d u c i e n d o en éste las e c u a c i o n e s de e q u i l i b r i o y c o m p a t i b i l i d a d en los nudos de i n t e r f a s e , se obtiene un sistema de e c u a c i o n e s de ú n i c a s o l u c i ó n una vez c o n s i d e r a das las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o . E n f o r m a m a t r i c i a l la e c u a c i ó n del s i s t e m a s e r á B' u = A1 t + P II1.1.3.9 (r) donde B 1 y A ' c o r r e s p o n d e n al e n s a m b l a j e de todas las m a t r i c e s B (r) y A modifica- das p o r la m a t r i z de t r a n s f o r m a c i ó n L a f i n de que u y t puedan v e n i r e s t a b l e c i d a s en coordenadas globales ó locales. p(r) Para terminar hablaremos del cálculo de los términos b L= 1 B a' k b ;c a = d ^ r \ b , c ) es d e c i r los t é r m i n o s en los que hay que a ñ a d i r , el t e n s o r C I I 1.1 . 3 . 6 . E s t o s t é r m i n o s pueden c a l c u l a r s e mediante la ik , como se e x p r e s ó en - c o n s i d e r a c i ó n de un caso p a r t i c u l a r de c a r g a , como es el m o v i m i e n t o del c u e r p o como un s ó l i d o r í g i d o , s i n - f u e r z a s p o r unidad de v o l u m e n . E n este c a s o ¡todas las t e n s i o n e s son n u l a s , p o r lo que la e x p r e s i ó n - I I I .1 . 3 . 7 p a r a cada s u b r e g i ó n q u e d a r á . B (r) (r) u =0 III.1.3.10 S i nos f i j a m o s en una sola e c u a c i ó n de este s i s t e m a ( a y k f i j a s ) t e n d r e m o s B a D1k 11 + B!, 2k u 1 . (r) a ( d y r } ( 1 , 1) + B 0 ( 2k„ ^ 11 u be 2 u_ (d 2 (r) a + B_. 1 k, be (1,1) ufoO-h 1 + B®, , , u ( d ( r ) ( q ( r ) , 8)) = 0 3k ( r ) _ q 8 (a ) + 111.1.3.11 de la que se deduce inmediatamente el c á l c u l o de los t é r m i n o s de la diagonal p r i n c i - p a l . A s í pues,> si damos el m o v i m i e n t o como s ó l i d o r í g i d o u. = (1 , 0 , 0 ) , y d e s p e j a - mos el t é r m i n o : buscado se t i e n e . p(r) n 2 b=1 C=1 p(r) 5 ^ ) « d R H . ; (b,c) B ; K 1kbc = Z b=1 n S c=1 ( 1 - 6 ad (P) (b,c) •) B A 1kbc III.1.3.12 y análogamente p a r a los o t r o s dos t é r m i n o s c o r r e s p o n d i e n t e s a i = 2 e i = 3 , y p a r a el r e s t o de ecuaciones i n t e g r a l e s . I I 1 . 2 . - C A L C U L O DE L A S C O N S T A N T E S DE I 1.2.1 . - INTEGRACION INTRODUCCION Como se v i o en el a p a r t a d o a n t e r i o r , una vez d e s a r r o l l a d o el método y des pues de la r e a l i z a c i ó n de la d i s c r e t i z a c i ó n del c o n t o r n o , una s e r i e de i n t e g r a l e s que podemos A. ik. be B ik be U., N ik ds T , N ik ds r e s u m i r en la es n e c e s a r i o el c a l c u l a r forma siguiente: y 5 fi, III y .2.1.1 5 fi, E , X ds + ik i y F, ds k y 6 fi . N a t u r a l m e n t e , estas i n t e g r a l e s p o d r í a n r e a l i z a r s e a n a l í t i c a m e n t e , como en= l o s c a s o s de a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e o l i n e a l , p e r o debido a la d i f i c u l t a d del elemento p a r a b ó l i c o , la c o n s e c u c i ó n de esas i n t e g r a l e s es c a s i i m p o s i b l e en f o r m a a n a l í t i c a , p o r l l o que se ha d e c i d i d o el r e a l i z a r l a s de f o r m a n u m é r i c a . P o r o t r o l a d o , y r e c o r d a n d o l,a s i n g u l a r i d a d que a p a r e c í a en los t e n s o r e s U ik T , p a r a el caso de que la d i s t a n c i a ik - e n t r e el punto desde el que se i n t e g r a , y - el elemento s o b r e el que se i n t e g r a tendía a c e r o , aunque esa d i f i c u l t a d se salvaba= mediante la c o n s i d e r a c i ó n de las i n t e g r a l e s en el s e n t i d o de Cauchy (I I .4) es obvio= que en una i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a se p r o d u c i r á n malos r e s u l t a d o s cuando se i n t e g r e desde un punto muy p r ó x i m o al e l e m e n t o , y más a u n , p o r s u p u e s t o , cuando el nodo pertenezca a dicho elemento. Se hace p u e s , n e c e s a r i o , el r e a l i z a r una i n t e g r a c i ó n más p r e c i s a a medida que la d i s t a n c i a n o d o - e l e m e n t o es m e n o r , y p a r t i c u l a r m e n t e cuando ésta es c e r o , - es d e c i r , cuando el nodo p e r t e n e c e al elementos ( i n t e g r a c i ó n a d a p t a t i v a ) . El p r o b l e m a de c á l c u l o de e s t a s t r e s ¡ n t e g r a l e s se r e d u c e pues a la i n t e g r a c i ó n de una f u n c i ó n f ( x , y , z) en la s u p e r f i c i e 6 fi de un e l e m e n t o . b R e a l i z a n d o el cambio de c o o r d e n a d a s , de f o r m a que t r a t e m o s el p r o b l e m a en c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s K , n d e n t r o del e l e m e n t o , como se ha i n d i c a d o en el - a p a r t a d o I I I .1 . 3 , la i n t e g r a l q u e d a r á con los l í m i t e s n o r m a l i z a d o s e n t r e - 1 y +1 en la f o r m a 1 f ( x , y , z) ds = y 68 1 1 fU, -1 - 1 n) J U , n) d c d n 1 = F U , - 1 n) dSdn - 1 II1.2.1.2 donde J (£ , n ) es el j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n que en el c a s o de elementos p a r a b ó l i c o s es v a r i a b l e p a r a cada punto del elemento y c u y o cábculo se r e a l i z ó en el a p a r t a d o I I I . 1 .1 . El p r o c e d i m i e n t o que se ha s e g u i d o p a r a r e s o l v e r las ¡ n t e g r a l e s del t i p o - I I I . 2 . 1 . 2 es el de c u a d r a t u r a de G a u s s , p o r lo que p r e v i a m e n t e al d e s a r r o l l o del p r o c e d i m i e n t o seguido en el c á l c u l o de d i c h a s c o n s t a n t e s d a r e m o s unas muy b r e v e s ¡deas s o b r e este t i p o de i n t e g r a c i ó n . I I 1 . 2 . 2 . - P U N T U A L 1 Z A ' C I O N E S S O B R E LA C U A D R A T U R A DE G A U S S El o b j e t i v o de este a p a r t a d o no r e s p o n d e , a la idea de un t r a t a m i e n t o comple to s o b r e las r e g l a s de i n t e g r a c i ó n de G a u s s , que h a n s i d o s u f i c i e n t e m e n t e t r a t a d a s = p o r m ú l t i p l e s a u t o r e s [ 38 ] , [45] , [i 17] , sino exclusivamente justificar algunos're- s u l t a d o s que se han empleado en el p r o c e s o que s i g u e . Una r e g l a de i n t e g r a c i ó n de Gauss L e g e n d r e que es la que vamos a u s a r co - r r e s p o n d e fundamentalmente a una a p r o x i m a c i ó n de la i n t e g r a l en la f o r m a . 'b n f (x) dx = a Z k=1 w k f (x, ) k I I I .2.2.1 donde w. c o r r e s p o n d e a unos v a l o r e s d e t e r m i n a d o s , denominados pesos de la c u a d r a — k t u r a y x, son también a b c i s a s d e t e r m i n a d a s c o n a < x, < b . k k El e s t u d i o de la c o n v e r g e n c i a de las c u a d r a t u r a s de Gauss cuando n — « - puede v e r s e p o r e j e m p l o en [117]. N a t u r a l m e n t e el i n c r e m e n t o de p r e c i s i ó n en una c u a d r a t u r a del t i p o a n t e r i o r se c o n s i g u e aumentando el número de puntos de G a u s s , ya que e l e g i d o é s t e , quedan= automáticamente d e t e r m i n a d o s pesos y a b c i s a s . El temares pues c o m p l e j o , en un p r o b l e m a g e n e r a l donde e x i s t e n d i s t i n t a s = _. 1 1 n e c e s i d a d e s de a p r o x i m a c i ó n . E n el método de los elementos de c o n t o r n o que nos ocupa es e v i d e n t e que al depender las f u n c i o n e s i n t e g r a n d o de - - - - y — - - , sera ner c e s a r i o un m a y o r número de puntos de i n t e g r a c i ó n cuando se i n t e g r a desde un nodo s o b r e un elemento muy c e r c a n o a é l , ya que el g r a d i e n t e de v a r i a c i ó n de la f u n c i ó n - •» •,• - •" es muy e l e v a d o . La s o l u c i ó n a este p r o b l e m a que se ha adoptado e s j a de s e g u i r un= método de i n t e g r a c i ó n adaptativo en el s e n t i d o de m o d i f i c a r el número de puntos de Gauss en la i n t e g r a c i ó n s o b r e cada elemento de a c u e r d o con las n e c e s i d a d e s - de pne cisión. E s t e p r o c e d i m i e n t o a u t o m á t i c o de i n t e g r a c i ó n genera l o s nodos y pesos s i n i n t e r f e r e n c i a e x t e r i o r . C o n s i g u e también el r e s u l t a d o n u m é r i c o hasta una c i e r t a - exactitud prefijada. La f i l o s o f í a del método pues^consiste fundamentalmente en s u b d i v i d i r el í n t e r v a l o de i n t e g r a c i ó n (elemento) en un c i e r t o número de s u b i n t e r v a l o s ( s u b e l e m e n t o s ) D . , i = 1 . . . . n , número que puede e s p e c i f i c a r s e p o r el u s u a r i o ó p o r el mismo p r o g r a m a , de a c u e r d o con unos c r i t e r i o s de a c o t a c i ó n del e r r o r de i n t e g r a c i ó n , y que= puede s e r v a r i a b l e p a r a cada uno de los i n t e r v a l o s de a c u e r d o c o n las n o r m a s de - exactitud preestablecidas. N a t u r a l m e n t e p a r a p o d e r e s t a b l e c e r e s t o s s i s t e m a s de e r r o r se ha de supo n e r en p r i n c i p i o una c u a d r a t u r a f i j a p a r a la i n t e g r a c i ó n s o b r e cada uno de estos ele m e n t o s , c u a d r a t u r a que n o r m a l m e n t e s u e l e s e r de bajo o r d e n . Se c o n s i p u e a s í , el número de s u b i n t e r v a l o s a p r o p i a d o , es d e c i r aquél en que el e r r o r no es g r a n d e ni demasiado pequeño de a c u e r d o c o n la e x a c t i t u d r e q u e n d a . A s í , si el e r r o r es m a y o r que e / n donde e es el e r r o r p r e f i j a d o p a r a el interva_ lo total^no podremos g a r a n t i z a r la p r e t e n s i ó n i n i c i a l , m i e n t r a s que si el e r r o r es - demasiado pequeño se ha realizado) una s e r i e de c á l c u l o s i n n e c e s a r i o s que aumenten el c o s t o de la o p e r a c i ó n . A c o n t i n u a c i ó n se e s t u d i a cada uno de e s t o s s u b i n t e r v a l o s , ya que puede s e r que en a l g u n o s de e l l o s sea e f e c t i v a m e n t e n e c e s a r i a una i n t e g r a c i ó n c o n e l n ú m e r o de p u n t o s de Gauss i n i c i a l m e n t e f i j a d o , p e r o no en o t r o s ^ p u d i e n d o s e r e b a j a r e s t e núme r o y c o n e l l o a u m e n t a r la v e l o c i d a d del p r o c e s o . E s t e p r o c e s o c o n t i n u a d o p e r m i t e el d i v i d i r todos los e l e m e n t o s y f i j a r el nú_ m e r o de p u n t o s de i n t e g r a c i ó n en cada uno de los s u b e l e m e n t o s de f o r m a que el - e r r o r de i n t e g r a c i ó n se e n c u e n t r e d e b a j o de una c o t a p r e f i j a d a . E s n e c e s a r i o p u e s , d e f i n i r t a n t o la c o t a del e r r o r como el e r r o r m i s m o . La p r i m e r a de e l l a s se f i j a c o n unos c r i t e r i o s d i c t a d o s p o r l a s c a r a c t e r í s t i c a s del mé^ todo de l o s e l e m e n t o s de c o n t o r n o , d e f i n i e n d o s e , en el a p a r t a d o | | | .2.3,mientras= que el e r r o r que se c o n s i g u e en una c u a d r a t u r a de Gauss c o n un n ú m e r o de p u n t o s n se c a l c u l a a c o n t i n u a c i ó n . I I I .2.2.1 ERROR E N UNA C U A D R A T U R A DE G A U S S O l v i d á n d o n o s de los e r r o r e s p r o p i o s del método de los elementos de c o n t o r no como son los debidos a la a p r o x i m a c i ó n de la g e o m e t r í a , al p r o c e s o de d i s c r e tización, y los debidos al r e s t o de los p r o c e s o s que i n t e r v i e n e n en la a p l i c a c i ó n - del método, como son: - A p r o x i m a c i o n e s r e a l i z a d a s en el t r a t a m i e n t o de i n t e r f a s e s (I I 1 . 3 ) . - A p r o x i m a c i o n e s en el t r a t a m i e n t o de c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o ( I I 1 . 4 ) . - E r r o r en la r e s o l u c i ó n del s i s t e m a de e c u a c i o n e s ( I I I . 5 ) . nos c e n t r a r e m o s t a n s o l o en los e r r o r e s quesparecen en el p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n - que son los que nos van a s e r v i r p a r a r e a l i z a r la s u b d i v i s i ó n i n d i c a d a en el aparta-i do a n t e r i o r . E x i s t e n dos c l a s e s de e r r o r e s fundamentales en todo p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n n ü m é r i c a , que c o r r e s p o n d e n a los denominados " e r r o r e s de redondeo y t r u n c a m i e n t o " Los p r i m e r o s son de muy d i f í c i l e v a l u a c i ó n , e x i s t i e n d o toda una t e o r í a p r o b a b i l i s t i c a en el c á l c u l o de éste t i p o de e r r o r . Su t r a t a m i e n t o además es muy com - p i e j o y p r á c t i c a m e n t e se e n c u e n t r a n t o t a l m e n t e e n c u b i e r t o s p o r el r e s t o de e r r o r e s = de r e d o n d e o que a p a r e c e n en el p r o c e s o c o m p l e t o . E l e r r o r de t r j n c c f n i e n t o s i n e m b a r g o c o r r e s p o n d e p r e c i s a m e n t e al e r r o r que se c o m e t e r í a al i n t e g r a r una d e t e r m i n a d a f u n c i ó n en un d e t e r m i n a d o i n t e r v a l o , su - puesto que ésta se r e a l i z a " e x a c t a m e n t e " mediante un p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n n u m e n ca de G a u s s . E s d e c i r el e r r o r f (x) dx - E = Z w k=1 f (x.) ] k x III.2.2.1.1 E s t e e r r o r s f es c a l c u l a b l e , o al menos de f á c i l a c o t a c i ó n , y es el que va - d i r e c t a m e n t e a s o c i a d o al p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n pudiéndose m e j o r a r mediante un a u mento c o n v e n i e n t e del número de puntos de i n t e g r a c i ó n . S e r á pues el que nos s e r v i r á p a r a r e a l i z a r el p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n a n t e r i o r m e n t e d e s c r i t o . El c á l c u l o del e r r o r detruncamiento s u e l e r e a l i z a r s e mediante dos métodos d i s t i n t o s : a c o t a c i ó n mediante las d e r i v a d a s de la f u n c i ó n s u b i n t e g r a n d o , y mediante= la t e o r i a de f u n c i o n e s a n a l í t i c a s . N o s vamosa c e n t r a r e x c l u s i v a m e n t e en el p r i m e r o , p u e s , como se ve en I I I . 2 . 3 , es el más a p r o p i a d o p a r a el t i p o de f u n c i o n e s integra_n do que vamos a m a n e j a r . Un d e t a l l a d o e s t u d i o de ambos t i p o s de e r r o r e s puede v e r s e p o r ejemplo en [38]. 2n Sea f la f u n c i ó n i n t e g r a n d o con f e c [ a , b ] donde n es el numero de p u n - tos de Gauss de la c u a d r a t u r a que vamos a d e f i n i r , y [a, b ] el i n t e r v a l o en el que vamos a i n t e g r a r . D e f i n i r e m o s un e s p a c i o s e m i n o r m a d o x = | fe c [ a, b ] 2 n III.2.2.1.2 } en el que se d e f i n e la s e m i n o r m a b f Sea E £ X 1 | fn+1 (x)| Z dx el f u n c i o n a l l i n e a l d e f i n i d o s o b r e X II1.2.2.1.3 >b (E:X - — I R ) ( E (f) f(x) = a - 2 w. k=1 k f(x ) ) III.2.2.1.4 k donde w, y a < x, < b son f i j o s y c o r r e s p o n d i e n t e s a los pesos y a b c i s a s de la c u a d r a k k — t u r a de Gauss de n p u n t o s , p o r lo que ( E (p (x) = 0) ( V (x) 6 Pn) p III.2.2.1.5 s i e n d o Pn el c o n j u n t o de p o l i n o m i o s de g r a d o n . E n t o n c e s se t i e n e 1 ( V f £ X) (E (f) = f n + l ) (x) K (x) dx 1I 1 . 2 . 2 . 1 . 6 n ! donde K (x) se denomina núcleo de Peano y t i e n e la f o r m a K (x) = — - n ! E III.2.2.1.7 (t - x) t > x 0 t * X MI.2.2.1.8 (t-x) + = La n o t a c i ó n E [ (t - x ) n ] t s i g n i f i c a que el f u n c i o n a l E se a p l i c a a la v a r i a b l e t en ( t - x ) . + E s t e t e o r e m a denominado de Peano es la base de c á l c u l o del e r r o r de truncam i e n t o , y su d e m o s t r a c i ó n puede e n c o n t r a r s e p o r e j e m p l o en E n g e l s El n ú c l e o K (x) es evidentemente de c l a s e C 1 [45]. [a, b] y corresponde a una- f u n c i ó n s p l i n e con s o p o r t e en [ a , b ] S i a p l i c a m o s a la e x p r e s i ó n I I I .2.2.-1>. 6 la d e s i g u a l d a d de S c h w a r t z pode- mos e s c r i b i r E (f)| < fn+1(x) ( | 2 dx)* ( JK (xfdx)* n ! E (f) = — II f II ( E í f ^ - J n ! ( | K (x) | K(x)|2 dx)J dx) 1 .2.2.1.9 III.2.2.1.10 Hemos obtenido pues la norma del o p e r a d o r , a s í como una c o t a p a r a él que= e r a p r e c i s a m e n t e lo que se iba b u s c a n d o . El t e o r e m a de Peano es de g r a n g e n e r a l i d a d , p e r o el p r e c i o que se ha de - p a g a r es el c á l c u l o del n ú c l e o K (x) según la e x p r e s i ó n I l I . 2 . 2 . 1 . 7 . P a r a el caso= de cuadratura de Gauss este núcleo está t a b u l a d o en S t r o u d y S e c r e s t [117 ] . S i n e m b a r g o p a r a este c a s o p a r t i c u l a r puede l l e g a r s e a una s i m p l i f i c a c i ó n que p e r m i t e t r a b a j a r más cbmodamente, p a r t i c u l a r m e n t e con un método a d a p t a t i v o como el p r o p u e s t o en I I . 2 . 1 que n e c e s i t a de una a c o t a c i ó n del e r r o r f á c i l de u s a r . E s t a s i m p l i f i c a c i ó n v i e n e d e f i n i d a p o r el s i g u i e n t e t e o r e m a . - Sea f (x) £ X , entonces 'b f (x) dx E (f) = - £ w k=1 f(x ) k ' a < n < b (2n) ! K K: III.2.2.1.11 La d e m o s t r a c i ó n es s i m p l e y la r e p r o d u c i m o s a c o n t i n u a c i ó n de D a v i s y R a b [ n o w i t z [ 38] . Si h 0 , es el ú n i c o p o l i n o m i o de c l a s e P , p a r a el cual 2n-l 2n-1 h0 (x. ) = f (x. ) 2n-1 k k k = 1,2, . . . . n .2.2.1.12 h' (x ) = f ' ( x . ) 2n-1 k k se puede e s c r i b i r de a c u e r d o con el t e o r e m a elemental de i n t e r p o l a c i ó n de p o l i n o - mios f (x) = h_ . (x) + 2n-1 f(2n)(5) 2 (x — x ) 1 . .. (2/i) 2 (x - x_) 2 I 2 (x - x ) n 1.2.2.1.13 donde es c o n t i n u a pues f C^n. I n t e g r a n d o esta e x p r e s i ó n e n t r e a y b y empleando el teorema del v a l o r rtie(2n) d i o en la i n t e g r a l que c o r r e s p o n d e a f tenemos f (x) h dx = a dx 2n_1 II1.2.2.1.14 + 2n! K 2 n donde K (x - x ) n (x - x ) 2 (x - x j 2 i z dx III.2.2.1.15 que c o r r e s p o n d e al c o e f i c i e n t e de n o r m a l i z a c i ó n del p o l i n o m i o de L e g e n d r e de g r a d o n *Fn e' c a s o de a = - 1 y b = 1 y x 1 x 2 x n las a b c i s a s de la c u a d r a t u r a de - Gauss toma el v a l o r K2 = n .2.2.1.16 _ L 2 n T e n i e n d o en cuenta p o r ú l t i m o que b h dx = Z Wk f ( V III.2.2.1.17 k=1 ya que la r e g l a de Gauss de n puntos i n t e g r a exactamente p o l i n o m i o s de g r a d o hasta= 2n - 1 . Sustituyendo I I 1 . 2 . 2 . 1 - 1 6 y I I I . 2 . 2 . 1 . 1 7 en I I I . 2 . 2 . 1 . 1 4 se obtiene la e x p r e s i ó n f i n a l p a r a el e r r o r en el caso de c u a d r a t u r a de Gauss - L e g e n d r e f(2n)(n) 2n ! 2 de la que se h a r á uso en los a p a r t a d o s s i g u i e n t e s III.2.2.1.18 - I I I . 2 . 3 . - S U B D I V I S I O N E N S U B E L E M E N T O S . C A L C U L O DE I N T E G R A C I O N DE LOS P U N T O S DE I N T E G R A C I O N E N C A D A E L E M E N T O La i n t e g r a l I l I . 2 . 1 . 2 es la que h a b r á que r e a l i z a r n u m é r i c a m e n t e con la - m a y o r p r e c i s i ó n p o s i b l e d e n t r o de la economía y de a c u e r d o c o n las p r e m i s a s a n t e r i o r e s . P a r a c o n s e g u i r esta p r e c i s i ó n se puede s e g u i r un p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n del elemento en d i s t i n t o s s u b e l e m e n t o s , d e f o r m a que d e n t r o de cada uno de e l l o s se r e a l i c e la i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a , c o n lo cual p o d r í a a u m e n t a r s e el n u m e r o de pun tos de i n t e g r a c i ó n en el elemento g l o b a l . Es d e c i r , puede c o n s i d e r a r s e esta i n t e g r a l I como la suma de d i s t i n t a s i n t e g r a l e s p a r c i a l e s en la f o r m a N = 1 Z i=1 donde I ij N. " 2 I I 1.2.3.-1 Z j=1 |J r e p r e s e n t a la i n t e g r a c i ó n s o b r e el subelemento i , j y N y N 0 son el núme> 1 2 - r o de subelementos en la d i r e c c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e a £ y n r e s p e c t i v a m e n t e (Fig. I I I 2.3.1) TI I1.2.3.1 - La i n t e g r a l n u m é r i c a de la f u n c i ó n s o b r e cada subelemento se r e a l i z a r á s e gún el esquema de i n t e g r a c i ó n de G a u s s , con puntos de i n t e g r a c i ó n n o r m a l i z a - dos e n t r e - 1 y 1 . E n n u e s t r o c a s o las c o o r d e n a d a s del elemento global e s t á n norma l i z a d a s , p e r o no las de cada s u b e l e m e n t o . E s pues n e c e s a r i o el r e a l i z a r una según da t r a n s f o r m a c i ó n de c o o r d e n a d a s , de i n t r í n s e c a s elementales a i n t r í n s e c a s sub elementales. E s t a t r a n s f o r m a c i ó n v i e n e d e f i n i d a p o r la e x p r e s i ó n 5 el. 5 sub — N. + Cte. I Ii.2.3 .2 donde la c o n s t a n t e r e p r e s e n t a la c o o r d e n a d a i n t r í n s e c a elemental p a r a el punto del subelemento donde 5 sub = 0 , es d e c i r , el c e n t r o de g r a v e d a d del s u b e l e m e n t o . i E n d e f i n i t i v a , si q u e r e m o s t r a b a j a r en c o o r d e n a d a s s u b e l e m e n t a l e s , de - f o r m a que e s t a s v a r i e n e n t r e - 1 y 1 , p a r a p o d e r a p l i c a r la c u a d r a t u r a de G a u s s , en cada uno de e l l o s , s e r á también n e c e s a r i o el m u l t i p l i c a r cada i n t e g r a l I . . p o r U el j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n que es 3_5_el _ 3 5 sub 3 5 el 3 n sub N. 0 s = N 3 nel 3TI 3 5sub 3 n sub el 2 J N~ III.2.3.3 - Con e l l o la i n t e g r a l I I I . 2 . 3 . 2 N N 1 N N, Z Z4 ¡=1 2 q u e d a r á en la f o r m a I . . ( K s u b , n sub) U >1 donde a h o r a s i es p o s i b l e c a l c u l a r cada i n t e g r a l I III.2.3.4 a p l i c a n d o la c u a d r a t u r a de - X ^ ( i , j) p u n t o s de G a u s s en - |J Gauss u s u a l . A s í , s i p a r a el s u b e l e m e n t o i , j e l e g i m o s la d i r e c c i ó n Z, y X j ) p u n t o s en la d i r e c c i ó n n y l o s pesos de cada punto kl de - la m a l l a d e f i n i d a en e l s u b e l e m e n t o i , j l o s d e n o m i n a r l o s como K'. ^ w I p a r a c a d a una de l a s d i r e c c i o n e s r e s p e c t i v a m e n t e , cada una de" las i n t e g r a l e s i , j q u e d a r á en la f o r m a 1 1 |J F ( £ sub,TI sub) dC s u b d TI s u b = •1 J - 1 X-jOj) X 2<i, j) Z k = 1 = 1 X1 ( í , j ) w. k X 2(¡,j) J k w. . F (£ s u b , n sub) r III.2.3.5 y la i n t e g r a l t o t a l I I I . 2 . 3 . 1 p o r t a n t o F ( £ el, TI el) d £ el d n e l = -1 J-1 .2.3.6 1 Kl • N , Nrt 1 2 I v / Z „ =1 Z . , j=l n 1 " » Z , „ k=1 y¡-j) Z , , =1 x/i.j) w, k k w. I . F ( c sub , TI sub) N a t u r a l m e n t e , p a r a la c u a d r a t u r a de G a u s s , X X , elegida p a r a cada sub e l e m e n t o , v i e n e n f i j a d o s d i r e c t a m e n t e los pesos w. 1 , w a s í como las c o o r d e n a k I , ' das (Z s u b , TI sub) de cada punto de i n t e g r a c i ó n ó lo que es lo mismo también las c o o r d e n a d a s e l e m e n t a l e s de cada punto de i n t e g r a c i ó n que v e n í a n dadas en f u n c i ó n de las a n t e r i o r e s p o r la e x p r e s i ó n I I I . 2 . 3 . 2 . Esta e x p r e s i ó n algo más d e s a r r o l l a d a puede e x p r e s a r s e como K el = 1 + 1 - 2i+ K sub N TI el = 1 + i III.2.3.7 1 - 2 j + n sub N, 2 k I v i n i e n d o K sub y TI sub d e f i n i d a s , como se ha d i c h o , p o r la c u a d r a t u r a de Gauss - correspondiente. E n d e f i n i t i v a , se o b s e r v a que p a r a r e a l i z a r la i n t e g r a c i ó n , es n e c e s a r i o el = c á l c u l o de los v a l o r e s N^ , N 2 , X ^ ( i , j ) , X ( ¡ , j ) y el c á l c u l o de la f u n c i ó n F en cada punto de i n t e g r a c i ó n . El número de subelementos en cada d i r e c c i ó n , y el número de= puntos de i n t e g r a c i ó n a u t i l i z a r en cada d i r e c c i ó n de cada s u b e l e m e n t o , se r e a l i z a - mediante un p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n que se d e t a l l a r á s e g u i d a m e n t e . La f u n c i ó n F p o r o t r o l a d o , v a r i a r á de a c u e r d o con la i n t e g r a l a c a l c u l a r , según sea la c o r r e s p o n d i e n t e a A™ , B ¡j ¡j fe I I 1 . 2 . 4 . ó F ' - y su c á l c u l o se e s t u d i a r á en el e p í g r a El número de subelementos y de puntos de i n t e g r a c i ó n en cada uno de e l l o s se r e a l i z a de a c u e r d o c o n la p r e m i s a de c o n s e g u i r una i n t e g r a c i ó n con un e r r o r i n - f e r i o r a una p r e f i j a d o , igual p a r a todas las i n t e g r a l e s que se r e a l i z a n . E l c r i t e r i o de a c o t a c i ó n del e r r o r de i n t e g r a c i ó n e l e g i d o es el p r o p u e s t o p o r S t r o i r i y S e c r e s t , y c¡ tado en I I I . 2 . 2 . E l p r o c e s o c o n s i s t i r í a pues en e l e g i r una c o t a de e r r o r máxima e i r c a l c u lando las d e r i v a d a s 2 X - esimas del i ñ o r que la c o t a e l e g i d a . inte.grando hasta que una de e l l a s f u e r e m e - E n n u e s t r o c a s o , s i n e m b a r g o , y debido a la c o m p l e j i d a d de los i n t e g r a n d o s es p r á c t i c a m e n t e i m p o s i b l e el c á l c u l o de las d e r i v a d a s 2 X - ésimas p a r a cada i - una de las ¡ n t e g r a l e s p r o p u e s t a s . P o r e l l o , se va a u t i l i z a r una e x p r e s i ó n s i m p l i - cada del i n t e g r a n d o que c o r r e s p o n d e al término de los i n t e g r a n d o s que más r a p i - damente v a r í a en las p r o x i m i d a d e s de la s i n g u l a r i d a d , es d e c i r el o r d e n m a y o r de s i n g u l a r i d a d de las f u n c i o n e s i n t e g r a n d o , que evidentemente c o r r e s p o n d e a la ma y o r fuente de e r r o r en e s t a s ¡ n t e g r a l e s . E s t e t é r m i n o es - - - ^ r r f - p a r a las funciones= s u b i n t e g r a l e s que nos o c u p a n . T r a b a j a r e m o s con este t é r m i n o a p a r t i r de este mo mentó. 1 Aun con esta s i m p l i f i c a c i ó n , las d e r i v a d a s 2 X - esimas r e s p e c t o a ? i y ri s o n muy c o m p l i c a d a s en elementos p a r a b ó l i c o s , p o r lo que es n e c e s a r i o a ñ a d i r - o t r a s e r i e de s i m p l i f i c a c i o n e s . A s í , si suponemos que el elemento no es muy d i s t o r s i o n a d o , lo que o c u r r e n o r m a l m e n t e , ya que en c a s o c o n t r a r i o s i g n i f i c a r í a una mala d i s c r e t i z a c i ó n , y 3 s p o r tanto malos r e s u l t a d o s , el r é g i m e n de v a r i a c i ó n del j a c o b i a n o p a r a cafla 3 d i r e c c i ó n , y en l a s zonas c e r c a n a s a la s i n g u l a r i d a d , s e r á pequeño f r e n t e a la va_ r i a c i ó n de — ~ r ¿ respecto a K i . Considerándolo constante podríamos e s c r i b i r . 8 3 2 X ¡ 1 (—y) r r 3S . i 2 X 3 s i 3 s - ), 2 X ¡ ( a i .2.3.8 i S u p o n i e n d o también que la d e r i v a d a 2 X _ - ésima de ( " y ) r e s p e c t o a fe p en el punto del elemento más c e r c a n o al nodo desde el que se i n t e g r a , nunca es mayor que la d e r i v a d a 2 X - é s i m a con r e s p e c t o a r (vease F i g . i tendría 3 2 X1 , 1 }, <—f r 2X 3 5 .« i 3. 2 X 1 1 ( — 2 » r a rr 3 2 X I I I . 2 . 3 . 2 ) , se= , 3 s > 2 X., < i •i (2 x. + 1) ! i 2X~+2~ i (-- - J 85. I 2 X .2.3.9 1 y el v a l o r m a y o r , de esta d e r i v a d a , c o r r e s p o n d e r á , evidentemente al punto con * i d i s t a n c i a r al nodo desde el que se i n t e g r a m e n o r . A s i . . | 1 F (c» n) d s d r j - ERROR = -1 -1 2 Z Z k=l 1=1 X1 X -1« -1 Z k=1 w w. F (5 , , n ,) - 2 X JdSd,- - Z wk 1=1 1 X W| 2 1 2~~k í~ r U ,r) ) III.2.3.10 (2X\+ 1) ! 2 < = „ ~ • 2GJ 1 z i=1 2 X ! 2 i X• 1 / 8 s x 2A, (-——) ' . 3 f¡ 111,2,3,10 R ' Denominando a h o r a 3C. a.= i III.2.3.11 2R es f á c i l d e d u c i r de la a n t e r i o r 2 ERROR V ¿1 - - — R2 z 2 X. (2 X. + 1) I a. I ' II 1.2.3.12 El e r r o r máximo que puede o c u r r i r queda ya d e t e r m i n a d o p o r la e x p r e s i ó n - I I I . 2 . 3 . 1 2 . E s n e c e s a r i o a h o r a e l e g i r una c o t a de e r r o r de f o r m a que este esté - s i e m p r e debajo de a q u e l l a . E s t a cota se e l e g i r á v a r i a b l e , de f o r m a que sea p r o p o r c i o n a l a l p r o d u c t o del á r e a del e l e m e n t o , ( l o que en p r i n c i p i o i n d i c a que el e r r o r de i n t e g r a c i ó n s e r á menor p a r a elementos más p e q u e ñ o s , y al i n v e r s o del c u a d r a d o de la d i s t a n c i a m í n i m a , ( e r r o r e s m a y o r e s p a r a d i s t a n c i a s m e n o r e s ) , lo que es r a z o n a b l e . En d e f i n i t i v a COTA = K . Area I I 1.2.3.13 R S i a h o r a . e x p r e s a m o s que el e r r o r debe s e r menor que la a c o t a c i ó n a n t e r i o r r tendremos 2 ------R2 i (2 A ¡=i +1)a 2 X ' < K ---R2 1 .Area III.2.3.14 ; y r e c o r d a n d o que el jacobiano se c o n s i d e r a b a c o n s t a n t e , este s e r á p r o p o r c i o n a l al á r e a del elemento (en elcasoplaro q j e e l j a c o b i a n o s í es c o n s t a n t e se t i e n e J = p o r lo que en d e f i n i t i v a se t e n d r á 2 2 X. Z (2 X + 1) a . ' : i 1=1 i • = 2 Cte. III.2.3.15 y si suponemos a p r o x i m a d a m e n t e i g u a l e s los e r r o r e s en cada d i r e c c i ó n , p a r a cada= una de e l l a s la a c o t a c i ó n v e n d r á d e f i n i d a p o r - (2 x 2 . + 1) a . X ¡ s i- • III.2.3.16 c t e E s t a c o n s t a n t e está f i j a d a p o r la e x p e r i e n c i a y está r e l a c i o n a d a con el n ú - m e r o de puntos de Gauss que es n e c e s a r i o s i t u a r en un a r c o de un r a d i á n p a r a c o n s e g u i r un e r r o r igual al d e f i n i d o p o r I I 1 . 2 . 3 . 1 2 , i n t e g r a n d o desde el c e n t r o . E f e c t i v a m e n t e , en el c a s o de este a r c o 3s L R 3 2 2 l r = R p a r a todo punto y - p a r a el a r c o de un r a d i á n . P o r tanto R a. = ( ) - 2 X¡ = 2R - - 4 - - 2 X - ¡ III.2.3.17 C t e = (2 X . + 1) I donde —-12 X. 4 ' es el número de puntos de i n t e g r a c i ó n r e q u e r i d o s p a r a c o n s e g u i r una cota de e r r o r igual a la a n t e r i o r en el a r c o de un r a d i a n . R e s u m i e n d o , p a r a l l e g a r a la e x p r e s i ó n 1 I I . 2 . 3 . 1 6 se han seguido una s e - r i e de s i m p l i f i c a c i o n e s , e n t r e las que se e n c u e n t r a n ( 1 ) . - Se e s t a b l e c e el e r r o r máximo p a r a la f u n c i ó n ( — q u e r a la m a y o r s i n g u l a r i d a d de las f u n c i o n e s i n t e g r a l e s . corresponde: ( 2 ) . - El j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s - c o o r d e n a das n a t u r a l e s se c o n s i d e r a c o n s t a n t e en las p r o x i m i d a d e s del punto más c e r c a n o del elemento a! nodo desde el que se i n t e g r a . ( 3 ) . - Se supone que la v a r i a c i ó n de r r e s p e c t o a s es i n f e r i o r a la v a r í a c i ó n r e s p e c t o a r , lo que es c i e r t o p a r a elementos poco d i s t o r s i o n a d o s . E n cuanto a la c o t a e l e g i d a p a r a el e r r o r les supuestos son: ( 1 ) . - Es igual en ambas d i r e c c i o n e s . ( 2 ) . - E s p r o p o r c i o n a l al p r o d u c t o de -- p o r el á r e a del e l e m e n t o . R Una vez d e f i n i d a la a c o t a c i ó n del e r r o r , es n e c e s a r i o p r o c e d e r á ! cálculode puntos de i n t e g r a c i ó n . en cada d i r e c c i ó n que cumple I I I . 2 . 3 . 1 6 . P a r a e l l o se ha de c a l c u l a r p r e v i a m e n t e la d i s t a n c i a mínima del punto al e l e m e n t o , R y el v a l o r de a s 3 C. que a p a r e c e n en I I I . 2 . 3 . 1 6 ( n a t u r a l m e n t e supues ta f i j a d a la c o n s t a n t e ) , y a c o n t i n u a c i ó n se p r o c e d e a la s u b d i v i s i ó n . E n los epí g r a f e s s i g u i e n t e s , se e s t u d i a r á b r e v e m e n t e el p r o c e d i m i e n t o de c á l c u l o de las - magnitudes a n t e r i o r e s y a c o n t i n u a c i ó n el p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n , tanto en nodos s i t u a d o s f u e r a del elemento s o b r e el que se i n t e g r a como s i t u a d o s en é l . I I I .2.3.1 C A L C U L O D E LA D I S T A N C I A M I N I M A DE UN P U N T O A UN ELEMENTO El p r o c e s o de c á l c u l o es de f o r m a i t e r a t i v a , t r a t a n d o de e n c o n t r a r el punto= del e l e m e n t o , que es i n t e r s e c c i ó n de la n o r m a l a la s u p e r f i c i e del e l e m e n t o , t r a z a d a desde el punto de i n t e g r a c i ó n , en d i c h o e l e m e n t o , que , evidentemente s e r á el punto de d i s t a n c i a mínima al nodo s i n g u l a r , con la s a l v e d a d de c o n s i d e r a r elementos poco= degenerados. En el c a s o más usual de que la n o r m a l a la s u p e r f i c i e p a r a b ó l i c a , que defi - nen los nodos del e l e m e n t o , no «¡ntersecte s o b r e é l , se c o n s i d e r a r á el punto del e l e mento más c e r c a n o al punto i n t e r s e c c i ó n ideal (vease F i g . I I 1 . 2 . 3 . 1 . 1 ) P l a n o tangente al elemento en el CDG Fig. | 1 | .2.3.1.1 El p r o c e s o comienza c a l c u l a n d o la d i s t a n c i a del nodo a un punto i n i c i a l del e l e m e n t o , p o r ejemplo el c e n t r o de g r a v e d a d de este ( 5 = 0 , n = 0 ) , así como el - v e c t o r u n i t a r i o de d i c h a d i s t a n c i a . A c o n t i n u a c i ó n , se c a l c u l a la d i r e c c i ó n , en c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s de la - p r o y e c c i ó n de la d i s t a n c i a D s o b r e el p l a n o tangente al elemento en el punto a n t e r i o r P ( CDG en la F i g . I I I . 2 . 3 . 1 . i). N a t u r a l m e n t e , esto se r e d u c e a c a l c u l a r las c o o r denadas del v e c t o r d i s t a n c i a D , en las d i r e c c i o n e s i n t r í n s e c a s en el punto a n t e r i o r , mediante la r e a l i z a c i ó n de los p r o d u c t o s e s c a l a r e s . ° K = 9 • i III.2.3.1.1 D n = D . n donde los v e c t o r e s ? y n son los v e c t o r e s tangentes a las d i r e c c i o n e s i n t r í n s e c a s en el punto c o n s i d e r a d o , cuyo c á l c u l o se e s t u d i a en I I I . 2 . 3 . 2 . Una vez r e a l i z a d o este c á l c u l o , se p r o c e d e a un cambio de la s i t u a c i ó n del = punto i n i c i a l de t a n t e o , de f o r m a que se c o n s i d e r e el punto P , o en su d e f e c t o al i - punto del elemento más p r o x i m o a P en la d i r e c c i ó n de la p r o y e c c i ó n de la d i s t a n c i a (punto P ' ) . En el c a s o de que el cambio en c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s a r e a l i z a r sea muy g r a n d e , se c o n s i d e r a que la a p r o x i m a c i ó n del elemento p o r el plano tangente no es= buena, y se p r o c e d e a un cambio g r a d u a l , cambiando el punto i n i c i a l a o t r o punto - • en la d i r e c c i ó n de la p r o y e c c i ó n , p e r o en el que el cambio de c o o r d e n a d a s sea pe , queño. Una vez m o d i f i c a d a en este f o r m a la s i t u a c i ó n del punto i n i c i a l , se r e p i t e el p r o c e s o tomando este nuevo punto como i n i c i a l , hasta l l e g a r a un punto s a t i s f a c t o r i o , entendiendo como t a l , aquél en el que el cambio p r o d u c i d o en la d i s t a n c i a - por= la m o d i f i c a c i ó n a un nuevo punto es i n s i g n i f i c a n t e . N a t u r a l m e n t e , s i el punto P se e n c u e n t r a d e n t r o del e l e m e n t o , la p r o y e c c i ó n de la d i s t a n c i a D s o b r e el plano tangente es nula y f i n a l i z a el p r o c e s o . I I 1 . 2 . 3 . 2 . - C A L C U L O DE L A S V A R I A C I O N — ES -a- ^- - i Y DEL J A C O B I A N O J P a r a c a l c u l a r estas v a r i a c i o n e s que a p a r e c í a n en la e x p r e s i ó n ! I I . 2 . 3 . 1 6 , es n e c e s a r i o el c á l c u l o p r e v i o de los v e c t o r e s £ y n tangentes a las d i r e c c i o n e s i n t r í n s e c a s en un punto del e l e m e n t o , ya u t i l i z a d o s en el e p í g r a f e a n t e r i o r . E s t o s v e c t o r e s v i e n e n dados p o r 1 x ~¿Ti7 i ¡ ( P ) = < < <2 J J L 3 K. 3 ) .2.3.2.1 Z I T " K. i d e r i v a d a s que v e n í a n d e f i n i d a s en I I I . 1 .1 . 6 y I I I . 1 .1 . 7 i El c á l c u l o de la n o r m a l ál elemento en c u e s t i ó n en el punto c o n s i d e r a d o se r e a l i z a r á s i n más que e f e c t u a r el p r o d u c t o v e c t o r i a l de los dos v e c t o r e s tangentes •L 9 ü ' Con e s t o s c á l c u l o s p r e v i o s ya es p o s i b l e la c o n s e c u c i ó n de los v a l o r e s b u s cados, éstos son. 3s £ . - i i n | = \ III.2.3.2.2 i x J? | es d e c i r los módulos de los v e c t o r e s a n t e r i o r m e n t e c a l c u l a d o s . Una vez c o n o c i d o s 9 s y R es p o s i b l e el e s t u d i o de la s u b d i v i s i ó n del ele- mentó según el esquema i n d i c a d o en I I I . 2 . 3 . 3 . I I I . 2 . 3 . 3 . - P R O C E S O DE S U B D I V I S I O N DE UN E L E M E N T O C U A N D O EL NODO D E S D E EL QUE S E I N T E G R A NO P E R T E N E C E A D I C H O E L E M E N T O E s t e p r o c e s o que p a r t e cié el c r i t e r i o de a c o t a c i ó n del e r r o r de i n t e g r a c i ó n d e s c r i t o en I I I . 2 . 3 y c u y o r e s u l t a d o fue la e c u a c i ó n I I I . 2 . 3 . 1 6 c a l c u l a el número= de subelementos a d i v i d i r el elemento i n i c i a l y el número de puntos de i n t e g r a c i ó n - a i n t r o d u c i r en cada uno de e l l o s . E v i d e n t e m e n t e , lo p r i m e r o que se hace es d e f i n i r los v a l o r e s que a p a r e c e n en I I I . 2 . 3 . 1 6 . A s í , la Cte e s t a r á dada i n i c i a l mente, y el c á l c u l o de la d i s t a n c i a - mínima del nodo al e l e m e n t o , R , y el punto del elemento que se e n c u e n t r a a esta 3 s d i s t a n c i a m í n i m a , y al mismo tiempo los v a l o r e s de en ese p u n t o , y con e l l o 3 £. a . , en cada d i r e c c i ó n , se r e a l i z a n según I I I . 2 . 3 . 1 y I I I .2.3.2. i r A c o n t i n u a c i ó n se supone un número máximo de puntos de i n t e g r a c i ó n en c a da d i r e c c i ó n ( c o n s i d e r a m o s 6 , p o r e j e m p l o , en el p r o g r a m a p r e s e n t a d o ) y se c a l c u 2X• la (2 X + 1) o 1 . S i este v a l o r es i n f e r i o r a la c o n s t a n t e p r e f i j a d a , se p r o d r í a = c o n s e g u i r un e r r o r i n f e r i o r al p e r m i t i d o con un s o l o subelemento en esa d i r e c c i ó n y 6 puntos de i n t e g r a c i ó n o menos. En c a s o c o n t r a r i o es n e c e s a r i o aumentar el númer o de columnas de subelementos en la d i r e c c i ó n t r a t a d a , con lo cual se c o n s e g u i r í a aumentar el número de puntos de i n t e g r a c i ó n ( r e c u é r d e s e que el máximo número dees tos puntos f p e r m i t i d o s es de 6 en cada d i r e c c i ó n y p o r subelemento). En una p r i m e r a s u b d i v i s i ó n se c o n s i d e r a n dos columnas de con lo que £. = 2 £ . 'sub c o n lo que a . + K según I I I . 2 . 3 . 2 , y 'el = \ a . sub 3s 9 ^sub subelementos 3 s i 8 • - ^ el , d i s m i n u y e n d o p o r tanto el e r r o r cometido en la i n t e g r a el c i ó n , pudiéndose c o n s e g u i r que este sea i n f e r i o r a la C t e . E n c a s o c o n t r a r i o sigue s u b d i v i d i e n d o s e en subelementos c o n s i d e r a n d o s i e m p r e e l l o s , hasta que el e r r o r sea i n f e r i o r a Cte ó hasta X = 6 p a r a cada uno de i - que se llega a un número máxi_ mo p e r m i t i d o de columnas (20 en el p r o g r a m a que nos o c u p a ) . Análogamente se r e a l i z a en la o t r a d i r e c c i ó n obteniendose N y N . Natural 1 2 ~ m e n t e , el número máximo de s u b e l e m e n t o s , 20 x 2 0 , s o l o se d a r á cuando a sea ^ ' 3 s muy g r a n d e , es d e c i r sea muy a l t o (elementos muy g r a n d e s ) ó R sea muy pe queño (punto desde el que se i n t e g r a muy p r ó x i m o al e l e m e n t o ) . A p e s a r de todc^este número se c o n s i d e r a en g e n e r a l se ha impuesto una l i m i t a c i ó n a d i c i o n a l e x c e s i v o , p o r lo que= de 100 subelementos p o r e l e m e n t o , p r o c e - diendose a una r e d u c c i ó n a un número menor que e s t e , en el c a s o de que sea necesa r i o un número s u p e r i o r , p r o p o r c i o n a l al n ú m e r o n e c e s a r i o en cada d i r e c c i ó n . Una vez c a l c u l a d o s N^ y N ^ en la f o r m a i n d i c a d a , se p r o c e d e p a r a cada uno de d i c h o s subelementos al c á l c u l o del número de puntos de i n t e g r a c i ó n que hay que T i n t r o d u c i r en él p a r a que de nuevo el e r r o r de i n t e g r a c i ó n en ese subelemento partj_ c u l a r sea i n f e r i o r al r e q u e r i d o . En d e f i n i t i v a se p r e t e n d e d e t e r m i n a r X^ ( i , j ) y - X ^ ( i , j ) p a r a cada subelemento i , j . El p r o c e d i m i e n t o es análogo al a n t e r i o r . A s í , p a r a cada subelemento se c a l c u l a la d i s t a n c i a mínima y el punto del subelemento que se e n c u e n t r a a esa cfistanc¡a= m í n i m a , lo que es muy f á c i l de r e a l i z a r , pues ese punto s e r á el más p r o x i m o al punto del elemento t o t a l cuya d i s t a n c i a sea m í n i m a , o lo que es igual al punto del sube!#e - mentó - c u y a s c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s se e n c u e n t r e n más p r ó x i m a s a las del punto anterior. APROXIMACION NUMERICA I I I .2 El c á l c u l o de la d i s t a n c i a es inmediato p o r t a n t o , r e d u c i e n d o s e a la d i s t a n c i a e n t r e dos p u n t o s . P a r a el subelemento en el que se e n c u e n t r e d i c h o punto de d i s t a n c i a m í n i m a , lógicamente la d i s t a n c i a y el punto más p r ó x i m o c o i n c i d i r á n con los c a l c u l a d o s p a r a el elemento g l o b a l . Una vez c a l c u l a d a d i c h a d i s t a n c i a se c a l c u l a 3 s 3 5. y a k con lo que p r o c e - d i e n d o de f o r m a i t e r a t i v a se puede c a l c u l a r el mínimo n ú m e r o de puntos de i n t e g r a c i ó n en la d i r e c c i ó n k que cumplen la c o n d i c i ó n de a c o t a c i ó n del e r r o r . Con e l l o queda d e f i n i d a t o t a l m e n t e la s u b d i v i s i ó n de un elemento i n t e g r a n d o desde un nodo que no p e r t e n e c e a é l . I I I . 2 . 3 - . 4 . - S U B D I V I S I O N E N EL C A S O DE QUE EL NODO P E R T E N E Z C A AL ELEMENTO Como se i n d i c ó en el a p a r t a d o de g e n e r a l i d a d e s , el hecho de que las f u n c i o a a 1 1 » B.. y P, dependan de y — - - para r nes i n t e g r a n d o de A . 0, ik ku r 2 'Ju be be b r hace que las i n t e g r a l e s sean s i n g u l a r e s . S i b i e n esta d i f i c u l t a d se s a l v a matemáticamente mediante de la i n t e g r a l en el s e n t i d o de Cauchy la c o n s i d e r a c i ó n (vease I I . 4 ) , no p o r e l l o deja de e x i s t i r un= g r a d i e n t e muy g r a n d e de la f u n c i ó n s u b i n t e g r a l en las p r o x i m i d a d e s de la s i n g u l a r i d a d , con los p r o b l e m a s de o r d e n n u m é r i c o que ello implica. P a r a s a l v a r l o , se t r a t a de d i s p o n e r de una g r a n c a n t i d a d de puntos de i n t e g r a c i ó n en las p r o x i m i d a d e s de la s i n g u l a r i d a d , p a r a lo cual se d i v i d e el cuadriláte_ r o i n i c i a l en dos t r i á n g u l o s f o r m a d o s p o r el nodo desde el que se i n t e g r a y los la dos opuestos ( F i g . I I I.2.3.4.1). Lado 2 Fig. I I I .2.3.4.1 Lado 1 - La s u b d i v i s i ó n en cada uno de e l l o s , se r e a l i z a c o n s i d e r á n d o l o s como cua d r ¡ l a t e r o s d e g e n e r a d o s , donde el lado d e g e n e r a d o c o r r e s p o n d e p r e c i s a m e n t e al c o r r e s p o n d i e n t e al nodo desde el que se integra. N a t u r a l m e n t e , al i n t e g r a r s o b r e elementos t r i a n g u l a r e s h a b r á que r e a l i z a r un cambio de c o o r d e n a d a s , de las " l o c a l e s " del d r i l á t e r o en la f o r m a indicada p o r la F i g . t r i á n g u l o a las " g l o b a l e s " del c u a - I I I .2.3.4.2. TI = 1 K. = - 1 n = -1 Fig. III.2.3.4.2 E s t e c a m b i o de c o o r d e n a d a s es l i n e a l , y tiene la f o r m a K . U.) ig I = N n U ,) I 5 " ig I.2.3.4.1 donde 5 ( £,) son las c o o r d e n a d a s " g l o b a l e s " de un punto del t r i á n g u l o en f u n c i ó n ig I de las " l o c a l e s " , £ son las c o o r d e n a d a s g l o b a l e s de los nodos del t r i á n g u l o y <g n * N es la m a t r i z de f u n c i o n e s de f o r m a l i n e a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s al c u a d r i l á t e r o , c u - ya e x p r e s i ó n es .2.3.4.2 y evidentemente 5 ^ ig = c o r r e s p o n d i e n t e s al lado d e g e n e r a d o , Con e l l o , la c o l o c a c i ó n de puntos de i n t e g r a c i ó n de Gauss s o b r e el t r i á n g u lo impl ica mediante I I 1 . 2 . 3 . 4 . 1 la c o l o c a c i ó n en el c u a d r i l á t e r o t o t a l . El j a c o b i a n o de esta t r a n s f o r m a c i ó n se c a l c u l a r í a como 35 35 Tz 3n III.2.3.4.3 A-^D 3n 3n 3 5, 3 n, o lo que es igual 35 A — • g_ 3 5, 3n 3n g_ 35 3n 3n . 3 5, .2.3.4.4 donde las d e r i v a d a s pueden o b t e n e r s e de las e x p r e s i o n e s I I 1 . 2 . 3 . 4 . 1 y I I 1 . 2 . 3 . 4 . 2 en la f o r m a Una vez efectuado el cambio de c o o r d e n a d a s , el p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n en cada uno de los t r i á n g u l o s es t o t a l m e n t e análogo al ya e x p l i c a d o p a r a c u a d r i l á t e - r o s s a l v o las p a r t i c u l a r i d a d e s . ( 1 ) . - La d i s t a n c i a mínima R , e v i d e n t e m e n t e , i no puede s e r la d i s t a n c i a n o d o e l e m e n t o , que es n u l a , s i n o la d i s t a n c i a del nodo al lado opuesto del t r i á n g u l o , c a l c u l á n d o s e ésta de una f o r m a i d é n t i c a a como se i n d i c ó p a r a el elemento, p e r o c o n - s i d e r a n d o a h o r a una sola d i r e c c i ó n v a r i a b l e , pues una c o o r d e n a d a está f i j a . ( 2 ) . - Se s i t ú a n el mismo n ú m e r o de puntos de i n t e g r a c i ó n en todos los s u b elementos de una misma columna F i g . I I I .2.3.4.3, , número que c o r r e s p o n d e a la a c o t a c i ó n del e r r o r en el punto del lado o p u e s t o , c o r r e s p o n d i e n t e a la columna que se esté t r a t a n d o y de d i s t a n c i a mínima al nodo desde el que se i n t e g r a . Columna De a c u e r d o con e l l o , se c o n s i g u e una d i s t r i b u c i ó n de puntos de i n t e g r a c i ó n f tal como la i n d i c a d a en la F i g . # I I I . 2 . 3 . 4 . 4 o b s e r v á n d o s e la g r a n c o n c e n t r a c i ó n de puntos de i n t e g r a c i ó n en las p r o x i m i d a d e s del nodo desde el que se i n t e g r a , mejo r a n d o s e o s t e n s i b l e m e n t e los r e s u l t a d o s . Un p r o b l e m a a d i c i o n a l que s u r g e en este c a s o , y que no o c u r r e cuando el - nodo no p e r t e n e c e al e l e m e n t o , se p r e s e n t a cuando el elemento es un t r i á n g u l o , es= d e c i r un c u a d r r l á t e n o d e g e n e r a d o ya p o r s í . E n este c a s o , cuando se i n t e g r a desde el nodo que p e r t e n e c e al lado d e g e n e r a d o se r e a l i z a un p r o c e s o exactamente igual al a n t e r i o r , s a l v o que a h o r a lógicamen te s o l o e x i s t e un t r i á n g u l o s o b r e el que i n t e g r a r y no dos o t r e s , aunque con la d i f e r e n c i a r e s p e c t o al caso ya a p l i c a d o de que p a r a c u b r i r toda la s u p e r f i c i e no puede 3 4 , ya que r e a l m e n t e en el c u a d r i l á t e r o d e g e n e r a d o el lado con h a c e r s e K, . = S . densado r e p>9 r e s e n t a '9dos nodos en g l o b a l e s F i g . I 1 1 . 2 . 3 . 4 . 5 Fig. III.2.3.4.4 Fig. III.2.3.4.5 Con e l l o p u e s , estamos i n t e g r a n d o r e a l m e n t e s o b r e un c u a d r i l á t e r o y no so b r e un t r i á n g u l o , como en el c a s o a n t e r i o r , es d e c i r i n t e g r a m o s s o b r e todo-el ele mentó. El p r o b l e m a s u r g e cuando el nodo desde el que se i n t e g r a no c o i n c i d e con el lado d e g e n e r a d o , ya que en este c a s o no puede e f e c t u a r s e una i n t e g r a c i ó n s o b r e t o do el t r i á n g u l o que r e a l i c e üna d i s t r i b u c i ó n de puntos de G a u s s , tal como 1a i n d i c a - da en F i g . I I I . 2 . 3 . 4 . 4 . E f e c t i v a m e n t e , p a r a c o n s e g u i r una d i s t r i b u c i ó n de este t í 3 4 po e r a n e c e s a r i o h a c e r K =5 c o i n c i d e n t e s con el nodo desde el que se i n t e g r a I I b a . S i r e a l i z a m o s e s t o , los o t r o s dos nodos del c u a d r i l á t e r o t e n d r á n p o r c o o r d e n a d a s , uno las del nodo d e g e n e r a d o y o t r o \as del o t r o nodo no d e g e n e r a d o , lo que s u pone no i n t e g r a r s o b r e toda el á r e a del t r i á n g u l o (vease F i g . I I I . 2 . 4 . 3 . 6 ) . Nodo b" Sf < t* Lado degenerado A r e a no c u b i e r t a por ta i n t e g r a c i ó n Punto desde el que se i n t e g r a Lado d e g e n e r a d o Nodo Lado degenerado Punto desde el que se i n t e g r a Lado d e g e n e r a d o Fig. III.2.3.4.6 P a r a c u b r i r toda el á r e a es n e c e s a r i o r e a l i z a r una t r a n s f o r m a c i ó n de c o o r d e n a d a s , que c o r r e s p o n d e a una c o m b i n a c i ó n no l i n e a l de las dos t r a n s f o r m a c i o n e s = a n t e r i o r e s d e f i n i d a s p o r la F i g . I I I . 2 . 3 . 4 . 6 . E s t a t r a n s f o r m a c i ó n v i e n e d e f i n i d a p o r la e x p r e s i ó n 5 . ( 5 .,) ig il = * ( 5 k i il ) fk (5.,) il III.2.3.4.5 donde f1 (5 ..) il f 2 ( 5 .,) 11 = (1 + g (5 . , ) ) il = i (1 - g ( 5 . . ) ) 11 x 5.,) = r r g ( i K2\ 2 k ¥ . = i donde 5 la F i g . k 5. ig ( " c 5 I I 1.2.3.4.6 11 1 | - Si 5.,) il III.2.3.4.7 son las c o o r d e n a d a s g l o b a l e s d e f i n i d a s p o r las dos t r a n s f o r m a c i o n e s de I II.2.3.4.6. E n d e f i n i t i v a p u e s , la 5 v i e n e dada p o r una t r a n s f o r m a c i ó n no l i neal de= íg dos t r a n s f o r m a c i o n e s l i n e a l e s . El j a c o b i a n o de esta t r a n s f o r m a c i ó n s e r í a « 35. '9 . k 35.. il i / \ ( 5 ..) il 3fkU..) i 35 il + 3¥.kU.,) i il 3 5 .. il . Pk f , U v ..) ,.. « „ III.2.3.4.8 donde 1 v JLf 5 3_f 3K 3K 'l < 2 - ' | - l 2 » ' (2 " 51 2.'' .2.3.4.9 _3__f 3 j 3 Z, 3 En d e f i n i t i v a p u e s , una vez r e a l i z a d a la s u b d i v i s i ó n s o b r e cada uno de ías= dos zonas de las f i g u r a s F i g . I I I . 2 . 3 . 4 . 6 , de a c u e r d o con la c u a d r a t u r a de Gauss= definida p o r el e r r o r de i n t e g r a c i ó n p r e f i j a d o , se r e a l i z a el cambio de c o o r d e n a d a s a n t e r i o r , c o n lo cual se r e a l i z a la i n t e g r a c i ó n c o m p l e t a . • I I 1 . 2 . 4 . - C A L C U L O DE L A S F U N C I O N E S S U B I N T E G R A L E S C O R R E S P C N D I E N T E S A — A" ik, be B0 Y P a E N L O S P U N T O S DE ik, k, be b INTEGRACION — El ú l t i m o paso una vez d e f i n i d a s las c a r a c t e r í s t i c a s N^ , N ^ y * ^(i>j)» X ^ (i > j ) de - - ' a c u a d r a t u r a de Gauss d e f i n i d a , es el c á l c u l o de la f u n c i ó n F ( £ , n ) - p a r a cada punto de i n t e g r a c i ó n . E s t a f u n c i ó n v a r f a p a r a cada una de las m a t r i c e s a= calcular. ( 1 ) . - Constantes A.°| ik be La f u n c i ó n s u b i n t e g r a l F en este c a s o es F = U ik ( a , d ( r ) ( b , c) ) N ° J I I 1.2.4.1 con U d e f i n i d o en 1 1 . 2 . 1 , N ° en I I I . 1 .1 . 2 y I I I . 1 .1 . 4 y J es el j a c o b i a n o de la ik , t r a n s f o r m a c i ó n c a l c u l a d o en I I I . 2 . 3 . 2 . 2 . a ( 2 ) . - C o n s t a n t e s B., ik. be Ahora, F = T ik (r) ( a , dT ' ( b , c) ) ; N c donde T , v i e n e dado p o r I I . 4 . 5 y N ik c J III.2.4.2 y J son las a n t e r i o r e s , E s c o n v e n i e n t e en este momento h a b l a r del c á l c u l o de los t é r m i n o s de la ma - t r i z B que p e r t e n e c e n a las t r e s e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s de un nodo y que m u l t i p l i c a n a los m o v i m i e n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s a ese nodo, o lo que es igual las c o n s t a n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s a un c a s o s i n g u l a r . E s t a s c o n s t a n t e s , y según la e x p r e s i ó n de S o m i g l i a n a se c a l c u l a n sumándole a la i n t e g r a l I I I . 2 . 4 . 2 c o r r e s p o n d i e n t e a los v a l o r e s C ik d e f i n i d o s en I l . 4 . 1 0 , v a - l o r e s que en el c a s o p a r a b ó l i c o y p a r a c u a l q u i e r t i p o de s i t u a c i ó n del nodo es compH cado c a l c u l a r . E s t a d i f i c u l t a d se salva i n t r o d u c i e n d o el concepto de movimiento como s ó l i d o r í g i d o , que se d e f i n i ó en I I I . 1 . 3 y que p e r m i t e c a l c u l a r estos t é r m i n o s como= suma de t é r m i n o s c o r r e s p o n d i e n t e s a la misma i n c ó g n i t a y a la misma e c u a c i ó n inte g r a l de la m a t r i z B . ( 3 ) . - V e c t o r P." k b r P o r ú l t i m o e x i s t e n en el p r o g r a m a dos a p o r t a c i o n e s c l a r a m e n t e d e f i n i d a s de= f u e r z a s de v o l u m e n que c o r r e s p o n d e n a f u e r z a s de peso p r o p i o y f u e r z a s de pretens_a do. Las e x p r e s i o n e s y el c á l c u l o de la e x p r e s i ó n s u b i n t e g r a l de cada una vienen= dadas en I I I .1 . 3 . 6 p o r lo que no es n e c e s a r i o i n s i s t i r más s o b r e e l l o . Con e l l o , queda d e f i n i d o el c á l c u l o de las c o n s t a n t e s en el c o n t o r n o p r e t e n d í ^ do 1 1 1 . 3 . - F O R M A C I O N DEL S I S T E M A DE E C U A C I O N E S Una vez i n t r o d u c i d a s las c o n d i c i o n e s de c o m p a t i b i l i d a d y de e q u i l i b r i o en los nodos de i n t e r f a s e ^ e l sistema d e f i n i d o en I I I .1 . 3 . 9 , éste queda r e d u c i d o a un p r o blema c o n Z^ - p ( r ) x 3 e c u a c i o n e s , donde R e r a el número total de s u b r e g i o n e s , y p ( r ) el número t o t a l de nudos de cada s u b r e g i ó n r , y p o r ú l t i m o el 3 a p a r e c e como consecuencia de las t r e s p o s i b l e s e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s , p a r a las t r e s d i r e c c i o n e s c o o r d e n a d a s , que se pueden e s t a b l e c e r p a r a cada nodo. El número de i n c ó g n i t a s es m a y o r en p r i n c i p i o y vamos a t r a t a r de d e t e r m i n a r l o en p r i n c i p i o . Sea l el número t o t a l de i n t e r f a s e s e n t r e s u b r e g i o n e s , cada una= con p ( r ) n u d o s , y C el número de t r o z o s de s u b r e g i ó n que p e r t e n e c e n al c o n t o r n o ex t e r i o r del d o m i n i o , y que evidentemente c o i n c i d e con el número R de s u b r e g i o n e s (vease F i g . 1II.3.1) Fig. III.3.1 - El número de i n c ó g n i t a s de cada nodo s e r á de 6 p a r a los nodos de i n t e r f a s e (movimientos y t e n s i o n e s ) y t r e s p a r a los nodos de c o n t o r n o , supuesto como siem p r e que conocemos 3 c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , y que el c o n t o r n o tiene una sola no_r mal (en c a s o s más c o m p l i c a d o s es n e c e s a r i o el r e a l i z a r un c u i d a d o s o t r a t a m i e n t o de las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o (vease I 11 . 4 ) p a r a l l e g a r a d i c h a s i t u a c i ó n ) . En d e f i n i t i v a el número total de i n c ó g n i t a s s e r á de I I 6 p (i) + i=1 C Z 3 p (c), c=1 que como se v e r á en la m a y o r í a de l o s c a s o s es m a y o r que el número de e c u a c i o n e s . El p r i m e r p r o b l e m a p a r a r e s o l v e r el sistema s e r á c o n s e g u i r el mismo núme r o de e c u a c i o n e s que de i n c ó g n i t a s , p a r a lo cual s e r á n e c e s a r i o el r e a l i z a r un e s tudio de los d i s t i n t o s t i p o s de nudos que se pueden p r e s e n t a r en un p r o b l e m a , f i j a n do el número de e c u a c i o n e s y el número de i n c ó g n i t a s que a p a r e c e n en cada uno de e l l o s , p a r a a c o n t i n u a c i ó n p r o c e d e r a una c i e r t a c o n d e n s a c i ó n ¡ del exceso de in - c ó g n í t a s que a p a r e c e n en algunos de e l l o s . La t i p o l o g í a de los nudos se t r a t a en - I I I . 3 . 1 y el p r o c e s o de c o n d e n s a c i ó n en III.3.2. El segundo p r o b l e m a que se plantea c o n s i s t e en c o n s e g u i r que la e s t r u c t u r a de la m a t r i z de c o e f i c i e n t e s del sistema a r e s o l v e r sea la más a p r o p i a d a , tanto p a r a el p r o c e s o de f o r m a c i ó n de la p r o p i a m a t r i z , como p a r a la p o s t e r i o r r e s o l u - c i ó n del sistema de e c u a c i o n e s . La e s t r u c t u r a que se ha adoptado es la que o f r e c e m a y o r e s v e n t a j a s en el c o n j u n t o de f a c t o r e s a c o n s i d e r a r como s o n , el sistema de almacenamiento de la ma t r i z , la c a n t i d a d de almacenamiento a h o r r a d o p o r zonas a g r u p a d a s de t é r m i n o s n u - i los y., método de r e s o l u c i ó n u t i l i z a d o . B á s i c a m e n t e puede d e c i r s e que los o b j e t i v o s a c o n s e g u i r son: ( a ) . - O r d e n a c i ó n de f i l a s y columnas de la m a t r i z que p e r m i t a n un montaje - s i s t e m á t i c o , d e f i n i e n d o tantas i n c ó g n i t a s como e c u a c i o n e s . ( b ) . - A g r u p a c i ó n de los t é r m i n o s n u l o s en f o r m a c o n o c i d a " a p r i o r i " , es de_ c i r antes del a l m a c e n a m i e n t o , que p e r m i t a su e l i m i n a c i ó n en las p r e v i s i o n e s de al macenamiento de la m a t r i z . ( c ) . - E s t r u c t u r a f i n a l de la m a t r i z adecuada al Método del G r a d i e n t e C o n j u gado, e l e g i d o p a r a r e s o l u c i ó n . i I I I .3.1 T I P O L O G I A DE L O S N O D O S P o r cada nodo pueden p l a n t e a r s e t a n t a s ecuaciones como número de s u b r e giones a las que p e r t e n e c e m u l t i p l i c a d a p o r t r e s , p e r o el número de i n c ó g n i t a s a él a s o c i a d a s depende de la g e o m e t r í a y del número de i n t e r f a s e s a las que p e r t e n e c e . La c l a s i f i c a c i ó n que se r e a l i z a es la s i g u i e n t e . - Nodo t i p o A - C o r r e s p o n d e a un nodo del c o n t o r n o e x t e r i o r que p e r t e n e c e e x c l u s i v a m e n t e a una s u b r e g i ó n ( F i g III.3.1.1). El número de e c u a c i o n e s que en él se pueden p l a n t e a r es de 3 , igual al n ú m e r o de i n c ó g n i t a s (movimientos y t e n s i o n e s en el c o n t o r n o ) supuestas dadas t r e s = c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o . No es n e c e s a r i o pues p r o c e d e r a c o n d e n s a c i ó n de i n c ó g nítas. Fig. III.3.1.1 - Nodo t i p o B - P e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , y se e n c u e n t r a en dos s u b r e g i o n e s (Fig. - III.3.1.1) El número de e c u a c i o n e s d e f i n i d a s es de 6 , y el de i n c ó g n i t a s también de - s e i s (movimientos ó t e n s i o n e s en el c o n t o r n o más t e n s i o n e s en la i n t e r f a s e ) . No es n e c e s a r i a la c o n d e n s a c i ó n . - Nodo t i p o C1 - P e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r y a más de dos s u b r e g i o n e s , cumpliéndose - además que el número de i n t e r f a s e s (N I) a las que p e r t e n e c e es igual al número de= s u b r e g i o n e s menos u n o . ( F i g . 111.3.1.2). El número de e c u a c i o n e s es de 3 x N S (número de s u b r e g i o n e s ) y el número= de i n c ó g n i t a s d e 3 + 3 N I = 3 + 3 ( N S - 1 ) = 3 x N S (movimientos ó t e n s i o n e s en el J c o n t o r n o más t e n s i o n e s en las i n t e r f a s e s ) . No es n e c e s a r i a la c o n d e n s a c i ó n . La d i f e r e n c i a c i ó n e n t r e nodos B y C1 v i e n e c o n d i c i o n a d a p o r el p r o c e s o de montaje. - Nodo t i p o C2 - P e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r y a más de dos s u b r e g i o n e s , cumpliéndose - además que el número de i n t e r f a s e s a las que p e r t e n e c e es igual al número de s u b r e giones. (Fig. II1.3.1.3). El numero de ecuaciones es como s i e m p r e 3 x N S , m i e n t r a s que el número de i n c ó g n i t a s es de 3 + 3 N I = 3 + N S . En este c a s o e x i s t e n t r e s i n c ó g n i t a s más que e c u a c i o n e s , p o r lo que si se desea mantener la p r o p o r c i ó n p a r a no i n t r o d u c i r i n c ó g n i t a s a d i c i o n a l e s , s e r á n e c e s a r i o e l i m i n a r las s o b r a n t e s , mediante el p r o c e s o de c o n d e n s a c i ó n que se expone en I I 1 . 3 . 2 . F i g . I I I . 3 . 1 .2 - - Nodo t i p o C3 - P e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , c u m p l i é n d o s e que el numero de i n t e r f a s e s es m a y o r que el número de s u b r e g i o n e s a las que p e r t e n e c e en un p o r c e n t a j e no l i m i t a d o . Al igual que en el c a s o a n t e r i o r e x i s t e n más i n c ó g n i t a s que e c u a c i o n e s , p o r lo que s e r á n e c e s a r i o r e a l i z a r la c o n d e n s a c i ó n ( F i g . Fig. - I I I .3.1.4). III.3.1.4 - Nodo t i p o D - No p e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , s i n o que se e n c u e n t r a en cbs s u b r e g i o n e s y una i n t e r f a s e • ( F i g . I I I .3 .1 . 5>. El n ú m e r o de e c u a c i o n e s es de s e i s , igual al de i n c ó g n i t a s (movimientos y t e n s i o n e s en la i n t e r f a s e ) . - - Nodo t i p o E - No p e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , y p e r t e n e c e a tantas i n t e r f a s e s como - subregiones ( F i g . 1 I I . 3 . 1 . 5 ) . E x i s t e n 3 x N S e c u a c i o n e s y 3 + 3 N S i n c ó g n i t a s , s i e n d o n e c e s a r i a la con - densación. - Nodo t i p o F - No p e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , e n c o n t r á n d o s e en un número m a y o r de i n t e r f a s e s que de s u b r e g i o n e s ( F i g . ¡ 1 1 . 3 . 1 . 5 ) . T a m b i é n . e s n e c e s a r i a la c o n d e n s a c i ó n de las t e n s i o n e s s o b r a n t e s . - I I I . 3 . 2 . - C O N D E N S A C I O N DE T E N S I O N E S DE I N T E R F A S E La p r i m e r a c u e s t i ó n en el p r o c e s o , ya a p u n t a d o , de e l i m i n a c i ó n de i n c ó g n i - t a s , c o n s i s t e p r e c i s a m e n t e en la e l e c c i ó n de e s t a s i n c ó g n i t a s . P a r a el c a s o de s o l o t r e s i n c ó g n i t a s a e l i m i n a r se escogen las t e n s i o n e s de= i n t e r f a s e e n t r e la p r i m e r a y ú l t i m a s s u b r e g i o n e s conectadas p o r el nodo en c u e s t i ó n . N a t u r a l m e n t e suponemos que esta i n t e r f a s e e x i s t e , lo que i m p l i c a el que la numera c i ó n de e s t a s s u b r e g i o n e s no puede s e r a r b i t r a r i a , s i n o que tiene que s e r de tal f o r ma que e x i s t a d i c h a i n t e r f a s e . A s í l a s n u m e r a c i o n e s quehey en las F i g . III .3.2.1 (a)y II I . 3 . 2 . 1 (b) son v á l i d a s , m i e n t r a s que no lo es la de la F i g . I I I . 3 . 2 . 1 ( c ) . (a) (b) Fig. (c) III.3.2.1 P a r a nodos en los que se n e c e s i t e ~ la c o n d e n s a c i ó n de más de una i n t e r f a s e se e l i m i n a r á n p r e c i s a m e n t e las t e n s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a las ú l t i m a s i n t e r f a s e s , es d e c i r 1 , n ; n , n - 1 ; n - 1 ; n - 2 , e t c , s i e n d o n el número de s u b r e g i o n e s c o n e c t a d a s . La misma c o n s i d e r a c i ó n hecha a n t e r i o r m e n t e en cuanto a n u m e r a c i ó n , es ne c e s a r i o h a c e r a h o r a , también deduc i endose en d e f i n i t i v a , que es n e c e s a r i o s e g u i r - una n u m e r a c i ó n c í c l i c a en los nudos a c o n d e n s a r . Una vez e l e g i d a s las i n c ó g n i t a s a c o n d e n s a r , el p r o b l e m a que se plantea es el p r o c e d i m i e n t o a s e g u i r p a r a e l i m i n a r l a s . El método seguido c o n s i s t e en e x p r e s a r estas i n c ó g n i t a s en f u n c i ó n de o t r a s que no v a y a n a s e r e l i m i n a d a s , y que p o r tanto sí a p a r e c e n en la f o r m u l a c i ó n f i n a l . P a r a e l l o , es p r e c i s o e l e g i r estas i n c ó g n i t a s s o b r e las que vamos a t r a b a j a r , y d e f i n i r la r e l a c i ó n que e x i s t e e n t r e las v a r i a b l e s a c o n d e n s a r y las no c o n d e n s a d a s . - En c u a l q u i e r c a s o , es p r e c i s o e s t a b l e c e r una h i p ó t e s i s que d i s t o r s i o n e lo menos po s i b l e el p r o c e s o g e n e r a l y que p o r o t r a p a r t e sea s e n c i l l a de a p l i c a r p r á c t i c a m e n t e . E x i s t e n en p r i n c i p i o una g r a n c a n t i d a d de p o s i b i l i d a d e s p a r a d e f i n i r d i c h a - h i p ó t e s i s . La p r i m e r a p o s i b l e se r e f i e r e a la c o n s i d e r a c i ó n de las t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s en ese nodo como v a r i a b l e del p r o b l e m a y e x p r e s a r las i n c ó g n i t a s a c o n d e n s a r en f u n c i ó n de e l l a s . P a r a el r e s t o de i n c ó g n i t a s en t e n s i o n e s a s o c i a d a s a ese nodo pueden m a n t e n e r s e las p r o p i a s que ya e x i s t í a n p r e v i a m e n t e , si bien también s e r í a - p o s i b l e d e f i n i r l a s lógicamente en f u n c i ó n de las t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s . E s t a s v a r i a bles podrían p o r e j e m p l o i r a s o c i a d a s a las i n c ó g n i t a s de t e n s i ó n de la p r i m e r a i n t e r f a s e , que p r e v i a m e n t e se h a b r í a d i s p u e s t o en f u n c i ó n de e l l a s . E x i s t e n dos i n c o n v e n i e n t e s fundamentales p a r a el empleo deeste-método. El p r i m e r o es que i m p l í c i t a m e n t e se c o n s i d e r a que el t e n s o r de t e n s i o n e s es i d é n t i c o = p a r a todas las s u b r e g i o n e s que i n c i d e n en ese p u n t o , lo que evidentemente no es # - c i e r t o p a r a s u b r e g i o n e s con p r o p i e d a d e s d i f e r e n t e s . La segunda es aún más d e c i s i v a , ya que no se conocen las d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s , ni p r e s u m i b l e m e n t e , una f o r - ma f á c i l de h a l l a r l a s lo que impide el d i s p o n e r el v e c t o r t e n s i ó n en ( X , Y , Z ) en - una i n t e r f a s e en f u n c i ó n de las t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s . E s t e segundo i n c o n v e n i e n t e d e t e r m i n ó el abandono del m é t o d o . O t r a p o s i b i l i d a d se r e f i e r e a la u t i l i z a c i ó n de la r e l a c i ó n de Cauchy ( I I 1.4) p a r a e l i m i n a r las t e n s i o n e s a c o n d e n s a r , en f u n c i ó n de las i n t e r f a s e s d i s t i n t a s no a c o n d e n s a r . Aunque esto es p o s i b l e en la m a y o r í a de los c a s o s , e x i s t e n o t r o s en los que no puede a p l i c a r s e , como p o r e j e m p l o cuando s o l o e x i s t e n dos i n t e r f a s e s no a c o n d e n s a r . A l mismo tiempo sigue suponiéndose la c o n t i n u i d a d del t e n s o r t e n s i ó n en_ tre subregiones. La f a l t a de g e n e r a l i d a d a d u c i d a , y t a m b i é n , de f o r m a i m p o r t a n t e , la d i f i c u l t a d que supone su i m p l e m e n t a c i ó n p r á c t i c a en el montaje de la m a t r i z a c o n s e j ó d e s e c h a r l a . E f e c t i v a m e n t e , con este método a p a r e c e n t é r m i n o s en las columnas de ten ; s i o n e s , del nodo a c o n d e n s a r no s o l o cuando se i n t e g r a en s u b r e g i o n e s que f o r m a n una i n t e r f a s e , s i n o que a p a r e c e n también cuando se i n t e g r a en s u b r e g i o n e s que s i n f o r m a r una i n t e r f a s e c o i n c i d e n en el nodo, lo que n a t u r a l m e n t e d i f i c u l t a el p r o c e s o . La ú l t i m a p o s i b i l i d a d d e s e c h a d a , y q u i z á s la más exacta y g e n e r a l , se r e f i e r e a la e l e c c i ó n como i n c ó g n i t a s , a d s c r i t a s a las dos p r i m e r a s i n t e r f a s e s que i n c i den en un nudo, de l a s componentes del t e n s o r t e n s i ó n , p o r ejemplo ( cr p a r a la p r i m e r a i n t e r f a s e y ( T , T , T xy yz zx , o , o ) x y z ) p a r a la segunda. N a t u r a l m e n t e el - r e s t o de las i n t e r f a s e s que no se condensan c o n s e r v a n sus p r o p i a s i n c ó g n i t a s , míen t r a s que en la p r i m e r a y segunda i n t e r f a s e s , así como en a q u e l l a s a c o n d e n s a r se - e x p r e s a el v e c t o r t e n s i ó n en f u n c i ó n de las i n c ó g n i t a s a n t e r i o r e s . E x i s t e p o r tanto - una c i e r t a r e d u n d a n c i a , ya que el r e s t o de v e c t o r e s t e n s i ó n también p o d r í a n haber se d i s p u e s t o en f u n c i ó n de d i c h a s i n c ó g n i t a s , s i n e m b a r g o , d r í a s e r v i r i n c l u s o de c o m p r o b a c i ó n . dicha r e d u n d a n c i a po - La r a z ó n p o r la que se abandonó la idea a n t e r i o r , independientemente del he cho de c o n s i d e r a r de nuevo la c o n t i n u i d a d en el t e n s o r de t e n s i ó n , fue la misma que en el c a s o a n t e r i o r , es d e c i r la i n t r o d u c c i ó n de g r a v e s p r o b l e m a s en el p r o c e s o de= montaje. El p r o c e d i m i e n t o e l e g i d o c o n s i s t e en r e l a c i o n a r las t e n s i o n e s i n c ó g n i t a s a= c o n d e n s a r c o n las t e n s i o n e s del r e s t o de los nodos del elemento c o n s i d e r a d o . La d i f i c u l t a d e s t r i b a en la s e l e c c i ó n de los nodos en los que a p o y a r e m o s esta e x t r a p o l a c i ó n , dado que en un mismo elemento pueden e x i s t i r más de un nodo al que haya que a p l i c a r la c o n d e n s a c i ó n . E n el c a s o más g e n e r a l de que s ó l o uno de los nodos del elemento sea a c o n d e n s a r , lo que hacemos s e r á e l e g i r una f u n c i ó n de a p r o x i m a c i ó n de t e n s i o n e s en el n n e l e m e n t o , de un g r a d o menor a la i n i c i a l , t = N t , de f o r m a que cumpla que p a r a i i todos los nodos de t e n s i o n e s c o n o c i d a s , é s t a s c o i n c i d e n con las p r e d i c h a s p o r la i n terpolación. E x t r a p o l a n d o ésta f u n c i ó n de a p r o x i m a c i ó n al nodo d e s c o n o c i d o , puede obten e r s e la t e n s i ó n de este nodo en f u n c i ó n de l a s t e n s i o n e s en el r e s t o de los n u d o s . (Fig. III.3.2.2) Fig. III.3.2.2 En p a r t i c u l a r p a r a un c u a d r i l á t e r o escogemos una f u n c i ó n de i n t e r p o l a c i ó n de t e n s i o n e s en f u n c i ó n de las c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s en la f o r m a t i = a o + a l 1. i i + a 0 TI + a . K 2. 3. i i donde se ha e l i m i n a d o el t é r m i n o en 2 +' a 4. i r\ 2 + a o. i £TI 2 +a 2 I i;i . 3 . 2 . 1 o. i c o r r e s p o n d i e n t e a la f o r m u l a c i ó n o r i g i n a l pa_ r a s a l v a g u a r d a r la s i m e t r í a . Particularizando ( n) p a r a los s i e t e nodos c o n o c i d o s se pueden o b t e n e r 1 7 los v a l o r e s de a a en f u n c i ó n de t. , . . . . t. , con lo cual i n t r o d u c i é n d o os 6. 1 1 en I I 1 . 3 . 2 . 1 las c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s del nodo a c o n d e n s a r se puede c a l c u l a r 1 7 la t e n s i ó n t de éste en f u n c i ó n de t. t. . P a r a el nodo 1 p o r ejemplo se obtie i 1 1 ne t 1 2 = t. 1 t 4 + t. 1 - 3 t. 1 .3.2.2 que o b s e r v a n d o atentamente c o r r e s p o n d e a la e x t r a p o l a c i ó n l i n e a l de e s t o s v a l o r e s tal como i n d i c a la F i g . I I 1.3.2.3. ! 1 t1 ¡ Fiq. III.3.2.3 2 9 = t 2 = t 1 2 1 4 + + 2 (—'—L 2 4 3 + t . - t. 1 1 . t 3 7 1 >= El p r o b l e m a s i n e m b a r g o , aumenta cuando alguno de los nudos 2 , 3 , ó 4 sea también a c o n d e n s a r , lo que p o r o t r a p a r t e es bastante probable. En g e n e r a l la p o s i b i l i d a d de que los nudos 2 y 4 sean a c o n d e n s a r es bastan te a l t a , ya que las l i n e a s 162 y 154 es p o s i b l e que sean l i n e a s de s e p a r a c i ó n e n t r e i n t e r f a s e s (compuestas p o r nodos E y F ) . P a r a e v i t a r este p r o b l e m a , y s i e m p r e con el e j e m p l o del - nodo 1 , se e l i g e n como nodos de i n t e r p o l a c i ó n los nodos 7 , 3 , 8 cuya p r o b a b i l i d a d de c o n d e n s a c i ó n es mucho m e n o r . O b s e r v a n d o la F i g . I I I . 3 . 2 . 4 (a) se deduce que la e x p r e s i ó n a a p l i c a r es I I 113.2.3 N a t u r a l m e n t e r e a l i z a n d o las p e r m u t a c i o n e s p e r t i n e n t e s se puede c o n s e g u i r los v a l o r e s de las t e n s i o n e s en todos los v é r t i c e s del c u a d r i l á t e r o . P a r a un nodo= i n t e r m e d i o , p o r ejemplo el 6 se r e a l i z a una i n t e r p o l a c i ó n p a r e c i d a ( F i g . I I I . 3 . 2 . . 4 (b)) d e f i n i d a p o r la s i g u i e n t e e x p r e s i ó n . 6 t . = t. 5 7 + t. - t 8 III.3.2.4 t « Fig. III.3.2.4 N a t u r a l m e n t e en todas las e x p r e s i o n e s es n e c e s a r i o h a c e r la s a l v e d a d antes apuntada de la p o s i b i l i d a d de que alguno de los nodos que i n t e r v i e n e n en la e x p r e - s i ó n a n t e r i o r sea también nodo a c o n d e n s a r . P a r a nodos de v é r t i c e s o l o se c o n s i d e r a el c a s o de que uno s o l o de los no dos s o p o r t e sea no a c o n d e n s a r . E s t a c o n s i d e r a c i ó n es r a z o n a b l e p o r q u e los nodos a c o n d e n s a r se a g r u p a n en l i n e a s de s e p a r a c i ó n e n t r e i n t e r f a s e s , p o r lo que si el nodo 7 p o r ejemplo en el c a s o d e l nodo 1 es a c o n d e n s a r lo e s p e r a b l e es que también lo sea el nodo 3 . La a p r o x i m a c i ó n seguida en este c a s o ( F i g . I I I . 3 . 2 . 5 ) es la más= s i m p l e , es d e c i r 1 8 t . = t. I I I 1.3.2.5 I t Fig. P a r a nodos i n t e r m e d i o s soporte a condensar ( F i g . III.3.2.5 es p o s i b l e que e x i s t a uno s o l o de los t r e s nodos I I I . 3 . 2 . 6 ) . La h i p ó t e s i s que se r e a l i z a en este c a s o es que en la linea media en c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s del elemento p a r a l e l a al lado d©n_ de se e n c u e n t r a el nodo a c o n d e n s a r (nodo 6 ) , la t e n s i ó n es c o n s t a n t e , c o n s i g u i e n do la e x p r e s i ó n 6 5 8 t. = 2 t . - t. i i i I.3.2.6 Fig. III.3.2.6 P a r a nodos i n t e r m e d i o s en los que s o l o e x i s t a un s ó l o nodo s o p o r t e s i n c o n d e n s a c i ó n , se sigue también la a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e d e f i n i d a en I l I . 3 . 2 . 5 . E n d e f i n i t i v a , dependiendo del c a s o p a r t i c u l a r , r e s o l v e r e m o s la e x t r a p o l a c i ó n de a c u e r d o con los c a s o s a n t e r i o r e s , que engloban todas las p o s i b i l i d a d e s , sa_[ vo el caso muy e s p e c í f i c o de que todos los nodos del elemento sean a c o n d e n s a r , - que c o r r e s p o n d e r í a a la d i s c r e t i z a c i ó n de toda una i n t e r f a s e p o r un s o l o elemento, lo que evidentemente se s o s l a y a p o r s i m p l e d i s c r e t i z a c i ó n de una i n t e r f a s e en al me nos dos e l e m e n t o s . El p r o c e s o de montaje es ya i n m e d i a t o , puesto q u e , c o n o c i d o s , p o r la i n t e ' g r a c i ó n p r e v i a los f a c t o r e s que a f e c t a n a cada una de las v a r i a b l e s , así como su - c o n d i c i ó n de i n c ó g n i t a o d a t o , podemos a d i c i o n a r t a l e s a p o r t a c i o n e s , bien a la ma - t r i z de c o e f i c i e n t e s , bien al v e c t o r de t é r m i n o s i n d e p e n d i e n t e s , según se i n d i c a en= el a p a r t a d o s i g u i e n t e . I I I . 3 . 3 . - O R D E N A C I O N DE LA M A T R I Z DE C O E F I C I E N T E S DEL S I S T E M A La o r d e n a c i ó n de la m a t r i z supone la d e f i n i c i ó n de la s i t u a c i ó n de las f i l a s - ( o r d e n de i n t e g r a c i ó n de los nodos) y p o r o t r o la s i t u a c i ó n de las columnas ( o r d e n de las i n c ó g n i t a s ) . En lo que se r e f i e r e a la p r i m e r a o r d e n a c i ó n no e x i s t e d i f i c u l t a d , siguiéndo- se una o r d e n a c i ó n p o r s u b r e g i o n e s , y d e n t r o de cada una de e l l a s p o r i n t e r f a s e s de= menor a m a y o r , c o n s i d e r a n d o a e s t o s e f e c t o s , que la i n t e r f a s e n - n , s i e n d o n la - s u b r e g i ó n c o n s i d e r a d a , c o r r e s p o n d e a los nodos que s o l o p e r t e n e c e n a d i c h a s u b r e g i ó n . T o d o e l l o i m p l i c a que no e s t a r á n j u n t a s todas las e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s a s o c i a das a un n o d o , s i n o a g r u p a d a s de t r e s en t r e s y s i t u a d a s en cada una de las c o r r e s p o n d i e n t e s s u b r e g i o n e s a l a s que p e r t e n e c e d i c h o n o d o . La s i t u a c i ó n de las c o l u m n a s , que están a s o c i a d a s evidentemente a la ordena c i ó n de las i n c ó g n i t a s , es mucho más a r b i t r a r i a , y la e l e c c i ó n se r e a l i z ó basandose en dos o b j e t i v o s (Lachat y Watson). El p r i m e r o de e l l o s se r e f i e r e a la c o n s e c u c i ó n = de una m a t r i z tendiendo a m a t r i z en banda, y el segundo a t r a t a r de c o n s e g u i r que la diagonal p r i n c i p a l de la m a t r i z s i e m p r e esté l l e n a y p r e f e r i b l e m e n t e con v a l o r e s s u p e r i o r e s a los del r e s t o de la f i l a , lo que m e j o r a las c a r a c t e r í s t i c a s del sistema a la h o r a de la r e s o l u c i ó n . Ambos o b j e t i v o s se c o n s i g u e n d i s p o n i e n d o las i n c ó g n i t a s , s i g u i e n d o un p a r a l e l i s m o t o t a l con la o r d e n a c i ó n usada p a r a las f i l a s . E s d e c i r agrupamos las i n c ó g - n i t a s p o r s u b r e g i o n e s y d e n t r o de e l l a s p o r i n t e r f a s e s , de tal f o r m a que las i n c ó g n i tas de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e a p a r e z c a n s i e m p r e en las columnas a interfases n, i mientos i > n , siendo n la s u b r e g i ó n correspondientes= c o n s i d e r a d a , y análogamente los movj_ (en c a s o de nodos i n t r í n s e c o s ) ó i n c ó g n i t a s de c o n t o r n o , se s i t u a r á n en las columnas n j j < n. Como e j e m p l o p r á c t i c o podemos t o m a r el de la F i g . I I I . 3 . 3 . 1 en el que se i n d i c a n la s i t u a c i ó n de f i l a s y columnas p a r a la d i s c r e t i z a c i ó n i n d i c a d a , con la no menclatura: u , n j m o v i m i e n t o s de nodos de la i n t e r f a s e n , j n > j. u , m o v i m i e n t o s o t e n s i o n e s i n c ó g n i t a s del c o n t o r n o de la s u b r e g i ó n n, n n t n , J' t e n s i o n e s en los nodos de la i n t e r f a s e n , j j> n, Fig. III.3.3.1 V,2 U2,1 U1,1 3 2,4 i 13 ' ': "í »3 u2,2 u U3,2 1 '4,4 u 3,4 4 ' U 4.3 2 J 5, 8 i( 8 ,, 3 i 13 i*' j : . - • . 8 — li. 3 ) !- 13o 1 J '3 8 r y ¿ . > ] \ • - Fig. rr 3 III.3.3.2 Podemos a h o r a v e r la s i t u a c i ó n de las i n c ó g n i t a s y ecuaciones i n t e g r a l e s par a cada uno de los t i p o s de nodos c o n s i d e r a d o s en I I I . 3 . 1 . ; i - Nodo t i p o A ( F i g . I I 1 . 3 . 1 . 1 ) - P e r t e n e c e a la s u b r e g i ó n i . 3 i n c ' o g n i t a s de c o n t o r n o en la i n t e r f a s e i - i. - Nodo t i p o B ( F i g . I 1 1 . 3 . 1 . 1 ) - P e r t e n e c e a las s u b r e g i o n e s i , j (i < j) 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e i , j en i - j 3 i n c ó g n i t a s de c o n t o r n o en j - i. - Nodo t i p o C1 ( F i g . I I 1 . 3 . 1 . 2 ) - P e r t e n e c e a las s u b r e g i o n e s i , j , k (i < j < 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e i , j k). en i - j . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e j , k en j - k . 3 i n c ó g n i t a s de c o n t o r n o en k - i. - Nodo t i p o C2 ( F i g J I I . 3 . 1 . 3 ) - Pertenece a i , j , k, I (i < j < k< I). 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e i , j en i - j . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e j , k en j - k . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e k , I en k - I . Se condensan las t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e i , k . 3 i n c ó g n i t a s de c o n t o r n o en I - - Nodo t i p o C3 ( F i g . i. I 11.3.1,4)- P e r t e n e c e a i , j , k , I , m, n (i < j < k < I < V i < n) 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e i , j en i - j . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e j , k en j - k . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e k , I en k - I . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e I , m en I - m . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e m , n en m - n . Se condensan las t e n s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a las i n t e r f a s e s i , k ; j , m. - Nodo tipo D ( F i g . Pertenece a i, j II 1 . 3 . 1 . 5 ) - (¡<j). 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e i , j en i 3 i n c ó g n i t a s de m o v i m i e n t o s en j - - Nodo tipo E ( F i g . j. i. II 1 . 3 . 1 . 5 ) - P e r t e n e c e a las subregiones i , j , k , I (i < j < k < 3 i n c ó g n i t a s de t e n s o r e s de la i n t e r f a s e i , j en i I). j. 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e j , k e n ' j - k. 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e k , I en k - I. S e c o n d e n s a n l a s t e n s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a la i n t e r f a s e I , 3 i n c ó g n i t a s de m o v i m i e n t o s e n I - - Nodo tipo F ( F i g . i. í. I I I . 3 . 1 .5) - P e r t e n e c e a las subregiones i , j , k , I , m, n, o , p 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e (i< j < k < l <m<n<o<p) i , j en i - j • 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e j , k en j - k . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e k , 1 en k - 1. 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e I , m e n 1 - m . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e m , n e n m - n . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e n , o e n n - o . 3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e o , p en o - P . S e c o n d e n s a n l a s t e n s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s i n t e r f a s e s j , o ; k , n; I , i ; m, p; i , p. 3 i n c ó g n i t a s de m o v i m i e n t o s e n p - i. I I I . 4 . - A P L I C A C I O N DE LAS C O N D I C I O N E S DE CONTORNO La i m p o s i c i ó n de l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , es o t r o de l o s a p a r t a d o s im p o r t a n t e s en el p r o c e s o a s e g i r en la r e s o l u c i ó n de un p r o b l e m a m e d i a n t e c u a l q u i e r método. E n n u e s t r o c a s o es a b s o l u t a m e n t e n e c e s a r i o t a m b i é n , en o r d e n a c o n s e g u i r = d o s o b j e t o s , e l p r i m e r o , e v i d e n t e m e n t e , el e v i t a r la s i n g u l a r i d a d de la m a t r i z de - c o e f i c i e n t e s , y el s e g u n d o el c o n s e g u i r el m i s m o n ú m e r o de e c u a c i o n e s que de i n c ó ^ n i t a s . E s t a n e c e s i d a d ya s e c o m e n t ó en el e p ' i g r a f e a n t e r i o r , en lo r e f e r e n t e a la p o s i b i l i d a d de a p a r i c i ó n de u n m a y o r n ú m e r o de e c u a c i o n e s que de i n c ó g n i t a s en u n nudo en el q u e i n t e r s e c t a b a n v a r i a s s u b r e g i o n e s , s i e n d o n e c e s a r i a la c o n d e n s a c i ó n de a l g u n a s de e s t a s i n c ó g n i t a s , m e d i a n t e la i n t r o d u c c i ó n de una h i p ó t e s i s c o m p l e - mentaría. E n el c a s o d e i n c ó g n i t a s del c o n t o r n o , v u e l v e a a p a r e c e r es p r o b l e m a , sol- v e n t á n d o s e m e d i a n t e la a d e c u a d a i m p o s i c i ó n de l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , e ¡n - t r o d u c i e n d o , en l o s c a s o s que sea n e c e s a r i o , l a s a p r o x i m a c i o n e s ó r e l a c i o n e s p r e c i s a s p a r a e v i t a r u n n ú m e r o m a y o r de i n c ó g n i t a s , q u e de e c u a c i o n e s . P l a n t e a d o - el p r o b l e m a , p o d e m o s p a s a r a e x p l i c a r c o m o s e ha r e s u e l t o . S o b r e el c o n t o r n o e x t e r i o r d e l d o m i n i o en e s t u d i o p u e d e n p r o d u c i r s e t r e s s i t u a c i o n e s d i f e r e n t e s , en c u e n t o a c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o s e r e f i e r e . ( 1 ) . - S e c o n o c e el m o v i m i e n t o ( l o s t r e s c o m p o n e n t e s ) s o b r e el c o n t o r n o . En F i g . III.4.1 u = u en 3 D 3 D ( 2 ) . - S e c o n o c e la t e n s i ó n ( l o s t r e s c o m p o n e n t e s s o b r e el c o n t o r n o ) . En f i g . I I I .4.1 t . t en 3 D ( 3 ) . - S e c o n o c e p a r t e de l o s c o m p o n e n t e s de m o v i m i e n t o y el r e s t o en t e n s«on. En F i g . I I I .4.1 t i = t . ... i - en u. = u. J J 3 D E v i d e n t e m e n t e s e ha de c u m p l i r que 3 D I U 3 D ¿d U 3D O = 3 D (contorno total) O con i j, - p u d i e n d o p r o d u c i r s e que a l g u n o de l o s 3 D K (k = 1 , 2 , 3) no e x i s t a . E s p r e c i s o ha - c e r n o t a r que u n o de e s t o s c a s o s p a r t i c u l a r e s ( 3 D K = 0 k = 1 k = 3 ) p r e s e n t a al - g u n o s p r o b l e m a s . E s t e c a s o de c o n d i c i o n e s d e c o n t o r n o en t e n s i ó n e q u i v a l e n t e al p r o b l e m a de N e u m a n n en la T e o r í a d e l P o t e n c i a l , p r e s e n t a i n f i n i t a s s o l u c i o n e s p u e s se i n c o r p o r a la p o s i b i l i d a d de m o v i m i e n t o c o m o s ó l i d o r í g i d o . P a r a - eliminar- la c a b e n d o s s o l u c i o n e s d e s d e el p u n t o de v i s t a o p e r a t i v o . La p r i m e r a c o n s i s t e en= s u s t i t u i r l a s c o n d i c i o n e s en t e n s i ó n p o r c o n d i c i o n e s en m o v i m i e n t o que no " a l t e r e n " la c o n f i g u r a c i ó n d e f o r m a d a d e l d o m i n i o y que i m p i d a n l o s m o v i m i e n t o s como s ó l i d o = r í g i d o . La s e g u n d a c o n s i s t i r í a en d a r l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en t e n s i o n e s y - una v e z o b t e n i d o el s i s t e m a de e c u a c i o n e s y a n t e s de p r o c e d e r a r e s o l v e r l o , se - a n u l a n l o s m o v i m i e n t o s de c i e r t o s p u n t o s q u e a l i g u a l que a n t e s no a l t e r a n la c o n f i g u r a c i ó n d e f o r m a d a e impiden los m o v i m i e n t o s como s ó l i d o r í g i d o . P a r a a c l a r a r - e s t a s i d e a s , n o s r e f e r i m o s al c a s o s e n c i l l o de la F i g 1 I I . 4 . 2 , que r e p r e s e n t a u n c u b o s o m e t i d o a t r a c c i ó n en l a s c a r a s 3) y 4) y l i b r e de t e n s i o n e s en el resto. La p r i m e r a de l a s o p c i o n e s e n u n c i a d a s e x i j i r í a d a r l a s c o n d i c i o n e s r e a l e s en c a r a s 3 ) , 1) y 2)y o n 5 ) , 6) y 7 ) , e l i m i n a r c i e r t a s t e n s i o n e s y s u s t i t u i r l a s p o r c o n d i c i o n e s de d e s p l a z a m i e n t o que i m p i d a n el m o v i m i e n t o c o m o s ó l i d o r í g i d o y que se- r í a n : desplazamiento n u l o s e g ú n z en l a - c a r a 6 ) . d e s p l a z a m i e n t o n u l o s e g ú n x en la - c a r a 5) y d e s p l a z a m i e n t o n u l o s e g ú n y en la c a r a 4 ) . E s t o ú l t i m o , e q u i v a l d r í a a e l i m i n a r l a s t e n s i o n e s n o r m a l e s en d i c h a c a r a , v a l o r e s que d e b e n a p a r e c e r en l a s - r e a c c i o n e s en la m i s m a al r e s o l v e r el s i s t e m a de e c u a c i o n e s . C u a l q u i e r o t r a concU c i ó n , no s i m é t r i c a de la a n t e r i o r , m o d i f i c a r í a la d e f o r m a d a del c u b o . La s e g u n d a o p c i ó n s e r í a d a r l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en t e n s i o n e s y f i j a r c o n d i c i o n e s de - a p o y o en a l g u n o s de l o s nodos P o r e j e m p l o , s i e x i s t i e r a n n o d o s en l o s c e n t r o s de l a s c a r a s , b a s t a r í a c o n i m p e d i r l o s m o v i m i e n t o s n o r m a l e s de l o s n o d o s c e n t r a l e s - de l a s c a r a s 4 ) , 5) y 6 ) . La f o r m a en que o p e r a t i v a m e n t e se i m p o n d r í a e s t a c o n d i - c i ó n s o b r e el s i s t e m a de e c u a c i o n e s , p o d r í a s e r s i m p l e m e n t e a n u l a n d o la f i l a y c o lumna de la m a t r i z c o r r e s p o n d i e n t e al g r a d o de l i b e r t a d que se d e s e a e l i m i n a r , ex- c e p t o el e l e m e n t o de la d i a g o n a l p r i n c i p a l que se h a r í a i g u a l a u n o , y el t é r m i n o - c o r r e s p o n d i e n t e d e l v e c t o r de c a r g a s se h a c e i g u a l al v a l o r d e l m o v i m i e n t o p r e s - crito. P a r a el r e s t o de l a s s i t u a c i o n e s , la c o m p l e j i d a d d e l t r a t a m i e n t o de ! s s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o e s t á i n t i m a m e n t e l i g a d a a la h i p ó t e s i s de v a r i a c i ó n de l a s f u n c i o n e s s o b r e l o s e l e m e n t o s de la d i s c r e t i z a c i ó n , p u d i e n d o d i f e r e n c i a r s e d o s c a s o s , s e g ú n que la v a r i a c i ó n sea c o n s t a n t e o n o , y a que el que e s t a v a r i a c i ó n sea l i n e a l = p a r a b ó l i c a , c ú b i c a , e t c , n o a f e c t a al t r a t a m i e n t o , p u e s t o que el p r o b l e m a r a d i c a - en la c o e x i s t e n c i a en u n nodo de v a r i o s e l e m e n t o s . # E n e f e c t o , p u e s t o q u e en c a d a nodo s ó l o p u e d e n a p l i c a r s e 3 e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s , no es p o s i b l e a d m i t i r más de t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a é l . E s t o r e s u l ta i n m e d i a t o en el c a s o de v a r i a c i ó n c o n s t a n t e s o b r e el e l e m e n t o , s e g ú n s e r e p r e - s e n t a en la F i g . I I I . 4 . 3 ( a u n q u e el e l e m e n t o es u n t r i á n g u l o p l a n o , el r a z o n a m i e n - to s e r í a v á l i d o p a r a t r i á n g u l o s ó r e c t á n g u l o s , c o n una d e f i n i c i ó n de la g e o m e t r í a - de o r d e n s u p e r i o r ) . (v o T Fig. I I I .4.3 E s e v i d e n t e que s e a n c u a l e s s e a n l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , en l a s t r e s = d i r e c c i o n e s l o c a l e s d e l t r i á n g u l o 1 , 2 y 3 , se c o n o c e r á n t r e s de l a s s e i s v a r i a b l e s asociadas a él: u, v , w , a T^ y n u n c a d o s de e l l a s en la m i s m a d i r e c c i ó n . P o r * t a n t o , l a s t r e s r e s t a n t e s , c o n s t i t u y e n l a s i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a y e s t á s i e m p r e d e t e r m i n a d o . B a s t a r á c o n o c e r la p o s i c i ó n de l a s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al t r i á n g u l o = en e s t u d i o en el s i s t e m a de e c u a c i o n e s p a r a i d e n t i f i c a r la c o l u m n a a la c u a l v a n - l a s c o n s t a n t e s de i n t e g r a c i ó n . La f i l a v i e n e d e t e r m i n a d a p o r la p o s i c i ó n que o c u p a la e c u a c i ó n i n t e g r a l d e l n o d o d e s d e el que se r e a l i z a la i n t e g r a c i ó n en el s i s t e m a de e c u a c i o n e s . E n c a m b i o , en el c a s o en q u e la e v o l u c i ó n e s de o r d e n s u p e r i o r al constan_ t e , s u r g e el h e c h o de q u e l o s n o d o s p e r t e n e c e n a d o s ó más e l e m e n t o s , p u d i e n d o a p a r e c e r un n ú m e r o no a c o t a d o de i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a u n n o d o , s u p e r i o r al - n ú m e r o de e c u a c i o n e s q u e en él se p u e d e n p l a n t e a r . P a r a f i j a r l a s i d e a s , mos l a s d o s s i t u a c i o n e s de la F i g . considere I I I . 4 . 4 , en el c a s o p l a n o (a) (b) Fig. III.4.4 E n la ( a ) , en l o s e l e m e n t o s ( k - 1 ) y ( k ) a d y a c e n t e s al n o d o k , se c o n o c e la e v o l u c i ó n de l a s t e n s i o n e s , y p o r t a n t o , l a s d o s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al nodo k s e r í a n = l o s m o v i m i e n t o s de d i c h o n o d o . P u e s t o q u e en él se p u e d e n a p l i c a r d o s E c u a c i o n e s = , I n t e g r a l e s , el p r o b l e m a e s t á d e t e r m i n a d o . E n la ( b ) , se c o n o c e la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s s o b r e ( k - 1 ) y ( k ) , y - p o r t a n t o , las t e n s i o n e s s o b r e d i c h o s elementos c o n s t i t u y e n las i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a . E n c o n c r e t o , al nodo k a p a r e c e n a s o c i a d a s 4 i n c ó g n i t a s , o T (k), —1- T k , ( k ) , o (k), k-1 k - ( k ) , d o n d e el í n d i c e e n t r e p a r é n t e s i s r e p r e s e n t a el nodo del c u a l e s t á n - a s o c i a d o s y el s u b í n d i c e el e l e m e n t o s o b r e el que se d e f i n e n . Una c o m p l e t a i n f o r m a c i ó n s o b r e la c a s u í s t i c a d e l c a s o p l a n o p u e d e e n c o n t r a r s e en la r e f f J f E n el c a s o t r i d i m e n s i o n a l que n o s o c u p a el p r o b l e m a s e c o m p l i c a , p a r a v a r i a c i ó n lineal o s u p e r i o r , p o r dos r a z o n e s f u n d a m e n t a l e s . La p r i m e r a de e l l a s es i n h e r e n t e a la d i m e n s i ó n d e l p r o b l e m a que e s t a m o s e s t u d i a n d o , p u e s t o q u e c a d a nodo l l e v a a s o c i a d a s t r e s v a r i a b l e s en l u g a r de d o s . - La s e g u n d a , y de más g r a v e d a d , es que el n ú m e r o de e l e m e n t o s q u e c o n c u r r e n en u n n o d o y p o r t a n t o d e v a r i a b l e s a s o c i a d a s a él no e s t á a c o t a d o . E n 2D en u n nodo s o l o p o s t a n c o n c u r r i r 2 e l e m e n t o s y p o r t a n t o el n ú m e r o m á x i m o de v a r i a b l e s q u e a él se a s o c i a b a n e r a de s e i s (dos m o v i m i e n t o s y d o s t e n s i o n e s p o r e l e m e n t o ) , q u e d a n d o - p o r t a n t o r e d u c i d o a 4 (al m e n o s 2 v a r i a b l e s se c o n o c e n ) el n ú m e r o m á x i m o de incóc¿ n i t a s a s o c i a d a s el n o d o ( F i g . I I I .4.4). D O © A • C Fig. © • B © III.5.4 i ^ / E n el c a s o 3 D , c o n a p r o x i m a c i ó n p a r a b ó l i c a , el n ú m e r o 1 ' m í n i m o d e e l e rhéntoé' Q u e c o n c u r r e n en un n o d o e s de 2 , c a s o del nodo A de la F i g . I I 1.4.5 - c o n 9 v a r i a b l e s a s o c i a d a s (3 m o v i m i e n t o s y 6 t e n s i o n e s , 3 de c a d a e l e m e n t o ) y s ó lo 3 E c u a c i o n e s I n t e g r a l e s que a p l i c a r . T a m b i é n p u e d e n e x i s t i r n o d o s c o m o el B q u e p e r t e n e c e n a 3 e l e m e n t o s c o n 12 v a r i a b l e s a s o c i a d a s o c o m o el C o el D que p e r t e n e c e n a 4 e l e m e n t o s y t i e n e n p o r t a n t o 15 v a r i a b l e s a s o c i a d a s . En muchas ocasiones, e s t e n ú m e r o de v a r i a b l e s , se r e d u c e c o n s i d e r a b l e - mente p o r la c o n f i g u r a c i ó n g e o m é t r i c a del c o n t o r n o d e l p u n t o en e s t u d i o . A s í , p o r e j e m p l o , en el n o d o C de la F i g . I I I . 4 . 5 que p e r t e n e c e a l o s e l e m e n t o s 1 ) , 2 ) , 3 ) , - 4 ) , el v e c t o r t e n s i ó n es c o n t i n u o y p o r t a n t o , l a s 12 v a r i a b l e s de t e n s i ó n se r e d u - c e n a 3 . P u e d e e v i d e n t e m e n t e h a b e r una d i s c o n t i n u i d a d en la a p l i c a c i ó n de l a s c a r g a s , p e r o en e s e c a s o é s t a s s o n d a t o s y p o r t a n t o s ó l o a p a r e c e n l a s 3 i n c ó g n i t a s - del m o v i m i e n t o . P u e d e n a p a r e c e r , no o b s t a n t e en d i c h o n o d o , c o n d i c i o n e s m i x t a s - que c o m p l i c a r í a n el p r o b l e m a . P l a n t e a d a la n a t u r a l e z a d e l p r o b l e m a y v i s l u m b r a d a su d i f i c u l t a d , se h a c e = p r e c i s o c l a s i f i c a r los d i f e r e n t e s c a s o s que se puedan p r e s e n t a r . E s t a c l a s i f i c a c i ó n p u e d e s e r h e c h a d e s d e d o s p u n t o s de v i s t a g e n e r a l e s : La p r i m e r a , - presentan- d o l a s d i f e r e n t e s c o n d i c i o n e s que p u e d e n a p a r e c e r , y la s e g u n d a a t e n d i e n d o al t i po de s o l u c i ó n o a p r o x i m a c i ó n q u e se v a a d a r . E s e v i d e n t e que l a s d o s c o r r e p o n d e n a la m i s m a s i t u a c i ó n , s ó l o que c o n t e m p l a d a s d e s d e d o s p u n t o s de v i s t a d i s t i n t o s , que c o r r e s p o n d e n e v i d e n t e m e n t e a d o s i n s t a n t e s d i f e r e n t e s de la r e s o l u c i ó n del p r o b l e m a . .. A n t e s de e s p e c i f i c a r e s t a s c l a s i f i c a c i o n e s es p r e c i s o p u n t u a l i z a r la t e r m i n o l o g í a q u e se v a a u t i l i z a r . - L o s e l e m e n t o s s e r á n r e f e r i d o s p o r el n ú m e r o de m o v i m i e n t o s que se d e s c o n o c e n e n el m i s m o . E v i d e n t e m e n t e , en l o s n o d o s de u n e l e m e n t o l a s c o n d i c i o n e s = de c o n t o r n o s o n c u a l i t a t i v a m e n t e l a s m i s m a s , s i b i e n p u e d e n e v o l u c i o n a r l o s v a l o res de l a s v a r i a b l e s . L L a m a r e m o s e l e m e n t o s l i b r e s a a q u e l l o s en que no h a y i m p u e s t a n i n g u n a c o n d i c i ó n de m o v i m i e n t o . E n la F i g . u n e l e m e n t o de e s t a s c a r a c t e r í s t i c a s . - I I l . 4 . 6 a , se ha r e p r e s e n t a d o D e n o m i n a r e m o s e l e m e n t o s de b o l a s a a q u e l l o s que t e n g a n d o s m o v i m i e n t o s p o s i b l e s y el o t r o f i j a d o . F i g . I I I . 4 . 6 (b). Fig. III.4.6 E l e m e n t o s de r o d i l l o s e r á n a q u e l l o s q u e t e n g a n u n m o v i m i e n t o p o s i b l e y l o s = otros fijados F i g . I I I . 4 . 6 (c). L L a m a r e m o s f i n a l m e n t e e l e m e n t o e m p o t r a d o a aquel q u e no t i e n e l i b e r t a d de= movimiento en ningún s e n t i d o que los t r e s componentes del mismo c o n s t i t u y e n las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o . E n la F i g . I I I . 4 . 6 , se h a n r e p r e s e n t a d o l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o s o b r e l o s e l e m e n t o s . S o b r e l o s c a s o s (b) y (c) h a y q u e h a c e r a l g u n a p u n t u a l i z a c i ó n . Siem p r e que e x i s t a u n o ó d o s d a t o s en m o v i m i e n t o , u n o de e l l o s s e r á el m o v i m i e n t o n o r mal al e l e m e n t o . A s í , en el c a s o que h e m o s l l a m a d o de b o l a s , la ú n i c a r e p r e s e n t a c i ó n q u e s e c o n s i d e r a e s la de la F i g . - I I I . 4 . 6 ( b ) . E n el c a s o que h e m o s l l a m a d o - d e r o d i l l o , t a m b i é n p o d r í a c o n s i d e r a r s e la p o s i b i l i d a d de c o n o c e r w , T ^ , v, pero - no s e r í a v á l i d a a , u , v . De a h í la d e n o m i n a c i ó n de e s t o s c a s o s c o m o b o l a s y r o d i l l o s p o r q u e ambos= d i s p o s i t i v o s f í s i c o s r e p r e s e n t a n e x a c t a m e n t e l a s c o n d i c i o n e s que s e v a n a a d m i t i r . - E n el e s t u d i o de l a s d i f e r e n t e s s i t u a c i o n e s en que a p a r e z c a u n r o d i l l o , - c o n s i d e r a r e m o s q u e é s t e es r í g i d o , es d e c i r que s ó l o s o n p o s i b l e s m o v i m i e n t o s - como el i n d i c a d o en la F i g . I I I . 4 . 7 ( a ) , y no s o n p o s i b l e s l o s i n d i c a d o s en la - Fig. - I I I . 4 . 7 ( b ) . E n la r e s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a se r a z o n a r á c o m o s i s ó l o f u e r a p o s i b l e la p r i m e r a s i t u a c i ó n s i b i e n é s t o no s i g n i f i c a que no se p u e d e n a d m i t i r ro- d i l l o s no r í g i d o s , a u n q u e en e s t e c a s o , la f o r m a de r a z o n a r s u p o n g a una e v i d e n t e aproximación. (a) Fig. II1.4.7 (b) - A p a r t i r d e e s t e m o m e n t o v a m o s a i n c l u i r el t é r m i n o de c a r a en l u g a r - d e l e l e m e n t o . A q u é l c u b r e a é s t e . A l r e f e r i r n o s a u n n o d o , l l a m a r e m o s c a r a al - c o n j u n t o de e l e m e n t o s que c o n c u r r e n en d i c h o n o d o y que e s t a n d o en el m i s m o p l a no t a n g e n t e t i e n e n l a s m i s m a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o . C o m o a c l a r a c i ó n n o s r e f e r i r e m o s a la F i g . I I I .4.8 E n la F i g . I I I . 4 . 8 ( a ) , en el n o d o P c o i n c i d e n t r e s e l e m e n t o s 1 ) , 2 ) , 3) c o n l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o e s p e c i f i c a d a s . E n la F i g . I I I . 4 . 8 (b), con las mismas= c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , se han i n t r o d u c i d o en la d i s c r e t i z a c i ó n s e i s e l e m e n t o s . S i n e m b a r g o , e x i s t e n l a s m i s m a s c a r a s que en la d i s c r e t i z a c i ó n de la F i g . - I I 1.4.8 (a), y a que l o s e l e m e n t o s a) y b) p o r e j e m p l o c o n s t i t u y e n una c a r a . S i n e m b a r g o s i = la d i s c r e t i z a c i ó n de la F i g . t o r n o d e la F i g . I I I . 4 . 8 f u e r a a c o m p a ñ a d a de l a s c o n d i c i o n e s de c o n - I I I . 4 . 9 el n ú m e r o de c a r a s s e r í a 4 , ya que l o s e l e m e n t o s e y f no t i e n e n l a s m i s m a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o . C a r a 1 , e l e m e n t o s a) y b ) . C a r a 2 , elementos c) y d ) . C a r a 3, elemento e). C a r a 4, elemento f ) . La d i s t i n c i ó n h e c h a e n t r e c a r a s y e l e m e n t o s es d e b i d a a que al e s t a b l e c e r - el n ú m e r o de i n c ó g n i t a s que están a s o c i a d a s al n o d o , d o s e l e m e n t o s q u e p e r t e n e z c a n = a la m i s m a c a r a no a p o r t a n nada más que 3 v a r i a b l e s . P o r e s o , a p a r t i r de e s t e mo_ m e n t ó y en e s t e a p a r t a d o h a b l a r e m o s s ó l o de c a r a s y l a s r e p r e s e n t a r e m o s en f o r m a s i m p l e t a l y c o m o s e i n d i c a en la F i g . I I l . 4 . 1 0 , en la que t a m b i é n se e s p e c i f i c a - l a s i n c ó g n i t a s de c a d a c a s o . c. libre c . de b o l a s c . de r o d i l l o ó a Fig. , T , c. empotrada v III.4.10 - E n l o q u e s i g u e t r a t a r e m o s t o d o s l o s d a t o s s o b r e l o s e l e m e n t o s en c o o r d e n a d a s l o c a l e s . L o s d a t o s s o b r e l o s e l e m e n t o s p u e d e n v e n i r en c o o r d e n a d o s g l o b a - l e s , l o c a l e s ó i n t r í n s e c a s , que v a n a s o c i a d a s a la n u m e r a c i ó n de l o s n o d o s . E n - c u a l q u i e r c a s o , una s e n c i l l a t r a n s f o r m a c i ó n p e r m i t e e x p r e s a r é s t a s en c o o r d e n a d a s l o c a l e s , p o r lo que e s t a b l e c e r e m o s todo el r a z o n a m i e n t o s o b r e d i c h o s i s t e m a . E s t a b l e c i d a s estas p r e m i s a s , vamos a plantear d i f e r e n t e s c l a s i f i c a c i o n e s « - q u e p e r m i t i r á n a b o r d a r el p r o b l e m a de l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , en el c a s o q u e n o s o c u p a . Una p o s i b l e c l a s i f i c a c i ó n , a t e n d i e n d o al t i p o de c o n d i c i o n e s e x i t e n t e s en l o s e l e m e n t o s ( p u r o s ó m i x t o s ) y al t i p o de i n c ó g n i t a s , sería: 1 . - N o h a y c o n d i c i o n e s m i x t a s s o b r e n i n g ú n e l e m e n t o a d y a c e n t e al n o d o . 1 . 1 . - T o d a s l a s c a r a s q u e c o i n c i d e n en el n o d o t i e n e n d a t o s en moví - miento. 1 . 2 . - T o d a s l a s c a r a s c o n d a t o s en t e n s i o n e s . 1 . 2 . - T o d a s l a s c a r a s c o n d a t o s p u r o s (no m i x t o s ) p e r o m e z c l a d o s . 2 . - En algunos elementos hay c o n d i c i o n e s m i x t a s . 2.1 N o h a y ' i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o . 2 . 1 . 1 . - A l m e n o s en una c a r a se c o n o c e n t o d o s l o s m o v i m i e n t o s . 2 . 1 . 2 . - E n n i n g u n a c a r a se c o n o c e n l o s m o v i m i e n t o s , p e r o e s tan fijadas t r e s d i r e c c i o n e s linealmente - independientes. 2 . 2 . - E x i s t e n i n c ó g n i t a s e n m o v i m i e n t o (no e x i s t e , p o r t a n t o , n i n g u n a c a r a complet¿menté f i j a en m o v i m i e n t o s ) . 2 . 2 . 1 . - H a y 2 ó m e n o s c a r a s c o n c o n d i c i o n e s en m o v i m i e n t o . 2 . 2 . 2 . - H a y 3 ó más c a r a s p e r o a l g u n a s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n dientes. Evidentemente, esta c l a s i f i c a c i ó n engloba todos los casos p o s i b l e s , si bien s e r í a p r e c i s o s e g u i r e s t a b l e c i e n d o s u b a p a r t a d o s d e n t r o d e l o s ya e s p e c i f i c a d o s , - h a s t a l l e g a r a c a s o s muy c o n c r e t o s en l o s que se p u d i e r a e s t a b l e c e r la h i p ó t e s i s - p a r a r e s o l v e r el p r o b l e m a . * Una f o r m a más s i s t e m á t i c a , a u n q u e m e n o s f í s i c a d e r e s o l v e r el p r o b l e m a s e r í a e s t a b l e c e r una c l a s i f i c a c i ó n en c u a n t o al n ú m e r o y t i p o de c a r a s que c o i n c i - d a n en u n n o d o . Si llamamos: n = N ú m e r o de c a r a s que c o i n c i d e n en el nodo c o n 3 d a t o s en t e n s i ó n ( c a o ras n - libres). = N ú m e r o de c a r a s q u e c o i n c i d e n en el nodo c o n 2 d a t o s en t e n s i ó n ( c a - r a s de b o l a s ) . n = Idem, con 1 dato en t e n s i ó n ( c a r a s de r o d i l l o s ) . n = I d e m , c o n 0 d a t o s en t e n s i ó n ( c a r a e m p o t r a d a ) . O r d e n a n d o l o s t r e s n ú m e r o s en el o r d e n n_ n_ n n , h a b r í a que e s t u d i a r 3 2 1 o c a d a p o s i b l e c o m b i n a c i ó n , p o r l o q u e la c l a s i f i c a c i ó n s e r í a en la f o r m a : - 0 0 1 n - 0 1 0 n - 1 0 0 n - 0 1 1 n - 1 0 1 n - 1 1 0 n - o o o o o o E l v a l o r de n o no a p a r e c e e s p e c i f i c a d o , p o r q u e s e a c u a l s e a s u v a l o r , n o — -— a f e c t a a la s o l u c i ó n a a d o p t a r , ya que no a p o r t a n u e v a s i n c ó g n i t a s , p u e s al s e r s u s t r e s d a t o s en t e n s i o n e s s ó l o a p o r t a i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o s , d e p e n d i e n d o p u e s - de l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o s o b r e el r e s t o de l a s c a r a s no l i b r e s . * A l i g u a l q u e s u c e d í a e n la c l a s i f i c a c i ó n a n t e r i o r e x i s t e n p a r a c a d a c a s o - una s e r i e de a p a r t a d o s d i f e r e n t e s . P o r e j e m p l o , s i s u p o n e m o s que en u n o o d o c o i ' n a d e n d o s c a r a s de r o d i l l o y una c a r a l i b r e , no s e puede l l e g a r a la m i s m a s o l u c i ó n , - s i la d i s p o s i c i ó n de l o s r o d i I l o s e s la m o s t r a d a e n la F i g . Fig. I I I . 4 . 1 1 ( a ) , que en la - 1 11.4.11 Una a l t e r n a t i v a a e s t a s f o r m a s de c l a s i f i c a r e s , t a l y c o m o se ha d i c h o an- r t e r i o r m e n t e , a g r u p a r t o d a s a q u e l l a s c a r a s q u e t e n g a n una s o l u c i ó n s i m i l a r . E s t a c l a s i f i c a c i ó n es la que se s e g u i r á , p e r o c o n a n t e r i o r i d a d s e r e c o r d a - r á n d o s p r o b l e m a s g e n e r a l e s , de la T e o r í a de e l a s t i c i d a d ya que c o m o se v e r á más a d e l a n t e l a s s i t u a c i o n e s que se v a n a p r e s e n t a r en l o s n o d o s , se r e d u c e n a t r e s y en d o s de e l l o s s e r á p r e c i s o r e c u r r i r a l o s a r t i f i c i o s que a c o n t i n u a c i ó n s e e x p l i - can. E l p r i m e r o c o r r e s p o n d e a la d e t e r m i n a c i ó n de l a s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s - de t e n s i ó n y d e f o r m a c i ó n c o n o c i d a la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s en t r e s d i r e c c i o nes d e f i n i d a s , l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . N o s r e f e r i r e m o s a u n s i s t e m a de e j e s c a r t e s i a n o s x , y , z , ( F i g . « I I I .4.12) y a un sistema local V , 2 , 3 c o r r e s p o n d i e n t e a las d i r e c c i o n e s sobre las cuales co - n o c e m o s la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s que v e n d r á n d e f i n i d a s p o r Fig. v 1 , v 2 , 3 1 I 1 .4.12 LLamando u , v , w a l o s c a m p o s de m o v i m i e n t o s e g ú n l o s e j e s x , y , z d e f i n i d o s en el e n t o r n o del o r i g e n , podemos e s c r i b i r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s : u, = vu. v 1 v, v2 v , 2 u » 3 = vu. v^ V , 3= u,2=vu. = V v. v = V V * VV* V w, 1 = V w. v ^ 2 V3 W , 2 = V W ' V 2 Hl.4.1 w , 3 = Vw. v 3 A n t e s de c o n t i n u a r el p r o c e s o g e n e r a l , hay que h a c e r n o t a r que en la m a y o r í a de l o s c a s o s , se c o n o c e r á n l o s d a t o s en m o v i m i e n t o en c o o r d e n a d a s l o c a l e s (Jí »v^ , w ^ ) , en t a l c a s o , una t r a n s f o r m a c i ó n de e j e s de la f o r m a - donde L o es la m a t r i z u s u a l de c o s e n o s d i r e c t o r e s , p e r m i t e e n c o n t r a r l a s d e r i v a d a s de l o s m o v i m i e n t o s g l o b a l e s en l a s d i r e c c i o n e s 1,2,3. Las d e r i v a d a s u , ^ se o b t i e n e n como la t a n g e n t e a una p a r á b o l a d e f i n i d a p o r t r e s p u n t o s ( l o s t r e s nodos de la d i r e c c i ó n que se c o n s i d e r a ) L a s e c u a c i o n e s I I I . 4 . 1 , se pueden p o n e r t a m b i é n en la f o r m a : 1 U, 1 > U,2 U V V _ 1X 2x V 3x '3 V ly V V 2y 3y V V V > u, 1z 2z 3z < U, u, X y ' = u III.4.2 z v, = v, v . v III.4.3 . w III.4.4 v, w, w, w, 3 V a m o s a i n t e n t a r c a l c u l a r l a s e v o l u c i o n e s de l o s m o v i m i e n t o s x , y , z , en f u n c i o n e s de l a s e v o l u c i o n e s s o b r e 1 , 2 , 3 , conocidas. - La r e l a c i ó n b u s c a d a s e p u e d e e x p r e s a r en la f o r m a : u, A = xyz (3,1) .4.5 123 (3,1) (3,3) E f e c t i v a m e n t e , a p a r t i r d e I I I . 4 . 1 y a g r u p a n d o s e puede e s c r i b i r : U) U| V<1 V .1 W donde v '1 2 u. '2 W W '3 x v, '3 V '2 U, f 3 x u, v, . W, i u, y .y W, y x z v, 1 'vi z 1y v W ,JK . . z V 1x V 2x 3x 2y v „ 1z ' 3z v _ 2z .4.6 _ 3z e s la c o m p o n e n t e j d e l v e c t o r u n i t a r i o de la d i r e c c i ó n i ij D e s p e j a n d o la m a t r i z de d e r i v a d a s r e s p e c t o a x , y , z y t r a s p o n i e n d o q u e d a rá i V 1x V 2x V -1 3x V1y V2y V 3y V, V0 V_ 1z 2z T 3z l U ' l V '1 W ' 1 U ' 2 V '2 W ' 2 3 V '3 ü , q u e e s p r e c i s a m e n t e la e x p r e s i ó n I I I . 4 . 6 , W ' 3' con U, U, L U í z X y V, X V, V 'z X y w, w, W í y zJ III.4.7 V, V O 1x 2x v A = v v v 1y 2y v L 1z -1 3x 3y v .4.8 v 2z 3z L o s c o m p o n e n t e s de A t e n d r á n la s i g u i e n t e e x p r e s i ó n : A11 " 12 = ( v " 2y v 3 z " ( v 2x v v3y 3Z" v 2z v 3X v ) / a 2Z ) / a A . _ = ( v 0 v-, - v 0 v 0 ) / A 13 2x 3y 2y 3x A 21 2 2 " A A A v1x ( v (y, 23 3Z" 1 x 31 3 2 A - - (v, v-, " V f v , )/ A 1y 3z 1z 3y y " " 33" ( v ( v v 1 x 1x v vo 3y 2z" v 3XvTZ v — v v o Vi 3x 2y v 2x )/A 1y v'1z)/a 2z"v2xv1" 2y" III.4.9 ) A v 1y z ) A ) / A donde A = v _ 1x V 1z v V 2y v 3z V 2y E s t e v a l o r de 3z A + v _ 2x V v 3y V 3y 2z v V íz íx + v . Ty _ V iy v 2z V v V 2x 3x M I 3z /i 1(1 s e r á n u l o , c u a n d o l a s t r e s d i r e c c i o n e s \> NV V s e a n l i n e a l 1 2 3 m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , lo que i m p l i c a que no es p o s i b l e el e s t a b l e c i m i e n t o de l a s - ecuaciones a n t e r i o r e s . P o r tanto, las r e l a c i o n e s buscadas son: U 'x = A11 u>y = A2l u, U '1 + A u»i + 12 ^22 = A „ , u. + 31 1 z U 32 '2 + A U,2 + u. 2 13 U , 3 ^23 U,^ 111.4.11 + A . ^ u. 33 3 y en f o r m a a n á l o g a s e e s t a b l e c e r á n r e l a c i o n e s s i m i l a r e s p a r a v y w . U n a v e z o b t e n i d o s l o s r e s u l t a d o s l I 1 . 4 . 1 1 se p u e d e n c a l c u l a r l a s d e f o r m a c i o n e s u n i t a r i a s , a t r a v é s d e l t e n s o r de C a u c h y A l . 3 e =u, X e xy e X = I (u, = u, y y 4V, ) x e xz = u, G y = i (u, III.4.12 Z z +w, x ) e yz = j (v, z +w, y ) O b t e n i d o el t e n s o r de d e f o r m a c i o n e s e ¡j , podemos obtener los v a l o r e s de - las d e f o r m a c i o n e s p r i n c i p a l e s ; mediante e x - e xy xz xy xz e - e y yz yz e z = 0 III.4.13 - e R e s o l v i e n d o el d e t e r m i n a n t e o b t e n e m o s una e c u a c i ó n de la f o r m a : 3 2 e + A e + B e + C donde = III.4.14 0 A , B y C s o n las i n v a r i a n t e s del t e n s o r d e f o r m a c i ó n La r e s o l u c i ó n de la 1 1 1 . 4 . 1 4 , p e r m i t e d e t e r m i n a r l o s v a l o r e s e ^, e ^ , ejjj» d e f o r m a c i o n e s p r i n c i p a l e s del e s t a d o de d e f o r m a c i ó n e x i s t e n t e en el e n t o r n o d e l p u n to en e s t u d i e . E x i s t e n v a r i a s s i t u a c i o n e s s e g ú n l o s v a l o r e s r e l a t i v o s de V | , v 11' v 111 * ~ que a n a l i z a r e m o s a c o n t i n u a c i ó n : e \ ¿ e II ¿ e III En este c a s o , están determinadas las d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s v q u e s e o b t i e n e n de la s i g u i e n t e e c u a c i ó n : , v ^ , v^j, e _ e x ^ para e e = e e zx 2 y _ e zy e n = 0 m yz II1.4.15 .n- e _ e z y t e n i e n d o en c u e n t a q u e e I xz xy xy 1 + m 2 + n 2 . =1 obtendríamos t \ mi n. en f o r m a a n á l o g a , s u s t i t u y e n d o e p o r II y por e . obtendríamos: ni III m. m. e. = e e .. = e E n e s t e c a s o , l o s t e n s o r e s de d e f o r m a c i ó n y t e n s i ó n s o n e s f é r i c o s , y c u a l e s q u i e r a 3 d i r e c c i o n e s o r t o g o n a l e s s o n e j e s p r i n c i p a l e s . La s o l u c i ó n más s e n c i l l a es h a c e r v = i e = V e ^ pero £ e ^ !I = J = k (ó s i t u a c i ó n s i m é t r i c a ) E l e s t a d o de t e n s i o n e s se p u e d e r e p r e s e n t a r p o r u n e l i p s o i d e de r e v o l u - c i ó n . P a r a la d e f o r m a c i ó n de v a l o r d i f e r e n t e s e h a l l a s u v e c t o r u n i t a r i o en la f o r ma e x p l i c a d a a n t e r i o r m e n t e y en u n p l a n o p e r p e n d i c u l a r , s e c a l c u l a n d o s e j e s - cualesquiera perpendiculares entre sí. S e a c u a l s e a la s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n I I I . 4 . 1 4 , una v e z c a l c u l a d o s l o s = v a l o r e s de v ^ , v^, v ^ se p u e d e e x p r e s a r el v e c t o r t e n s i ó n a s o c i a d o a una d i r e c - c i ó n c u a l q u i e r a en el e s p a c i o de t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s . F i g . I I I . 4 . 1 3 . A s í , si T r e p r e s e n t a el v e c t o r t e n s i ó n a s o c i a d a a una d i r e c c i ó n c u a l q u i e r a Fig. _v I = 1 o explícitamente R * P v P : III.4.13 0 v l donde eS v V v, 0 11I.4.16 ' r e p r e s e n t a el v e c t o r d i r e c c i ó n en el s i s t e m a de c o o r d e n a d a s p r i n c i p a P | e s 'a c o m Ponente d e - v s o b r e el e j e I ) . E l s e g u n d o p r o b l e m a q u e se v a a r e s o l v e r e s el de e x p r e s a r una c o m p o n e n te d e l v e c t o r t e n s i ó n en una d i r e c c i ó n a p a r t i r del r e s t o , de l a s c o m p o n e n t e s , y - o t r o v e c t o r t e n s i ó n en el m i s m o p u n t o , en o t r a d i r e c c i ó n . E s t o se c o n s i g u e , a p l i c a n d o la r e l a c i ó n de C a u c h y e n t r e l o s p l a n o s , a s o c i a d o s a d i c h a s d i r e c c i o n e s . H a c i e n d o r e f e r e n c i a a la F i g . I I I . 4 . 1 4 , s u p o n g a m o s que q u e r e m o s e x p r e s a r l a - t e n s i ó n n o r m a l s o b r e la c a r a (a) e n f u n c i ó n d e l a s t e n s i o n e s s o b r e la c a r a (b) y el r e s t o de l a s d e la ( a ) . A P R O X I M A C I O N DE N U M E R A C I O N E s e v i d e n t e q u e a u n q u e en la F i g . I I 1.4 I I I . 4 . 1 4 hemos r e p r e s e n t a d o los e j e s en el c e n t r o de l a s c a r a s (a) y (b) n o s e s t a m o s r e f i r i e n d o a d o s v e c t o r e s t e n s i ó n y T v T v a def ¡nidos s o b r e un punto común A . La r e l a c i ó n de C a u c h y e x i g e que: I v a V) b — donde los v e c t o r e s T y v b a v 1 II1.4.17 e s t á n en c o o r d e n a d a s g l o b a l e s , v A h o r a b i e n , t e n i e n d o en c u e n t a q u e : -a x -a TVa= y s. -a z a + l y que a n a l o g a m e n t e r -b x TVb=< -b y -b fc Z 1 r b v » i - k v T t la e x p r e s i ó n I I I . 4 . 1 7 , s e t r a n s f o r m a en: b 1 °i 1 v b v ~ v 2 3 = - 3 "3 (vava v a \ 1 2 3 ' v l3 n b^ 'i b b 2 *2 b b 3 3 que s e p u e d e p o n e r en la f o r m a ( V donde: V A 1 V A 2 V A _ {/ _v b -v b -v b )\ ^ 1 2 3/ ) 3 ' a v _ -va_ - a v 1 1 M B V1 1 V) b « 2 1 3 + xi a n b o 2 2 ~ + b a 1 o 2 3 + y análogamente b v_ 1 1 v a v b III . 4 . 1 8 - b V a 2= V -b V 3 b a b 1 P1 + 2 v a b V1 = n2 a b + V 3 n3 a b 'i V2 + '2 a b + v 3 l 3 de la e x p r e s i ó n I I I . 4 . 1 8 p o d e m o s y a d e s p e j a r el v a l o r de A b = - a v 1 O - b V a -a v 2 + - b V 1 1 T a n + 1 - a v 3 - b V T a t a - b v 2 -b V v b T n 1 - b 3 -b V T b t 1 III.4.19 La e x p r e s i ó n l l 1 . 4 . 1 9 y l a s s i m i l a r e s , p e r m i t e n p u e s , e x p r e s a r una c o m p o n e n t e de la t e n s i ó n en un p u n t o , en f u n c i ó n d e l r e s t o y d e o t r o v e c t o r t e n s i ó n a s o c i a do a e s e p u n t o en o t r a d i r e c c i ó n . La e x p r e s i ó n I I I . 4 . 1 9 , d e f i n i d a e s t á en c o o r d e n a d a s l o c a l e s ( l a s t e n s i o n e s ) porque éstas serán n o r m a l m e n t e l a s c o m p o n e n t e s de l o s v e c t o r e s t e n s i ó n que se - m a n e j a r á n en l o s p r o b l e m a s , t a n t o s i s o n v a l o r e s c o n o c i d o s , c o m o s i c o n s t i t u y e n - las i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a . La ú n i c a s a l v e d a d q u e es n e c e s a r i o h a c e r e s que d e b i d o a que l a s c o o r d e n a d a s l o c a l e s s o n d i f e r e n t e s p a r a c a d a e l e m e n t o , e s n e c e s a r i o h a c e r una t r a n s f o r m a c i ó n de l a s n o r m a e l s v a y : v b p a r a e x p r e s a r l a s en c o m p o n e n t e s i n r í n s e c a s d e l v e l e m e n t o c o n t r a r i o , p a r a p o d e r r e a l i z a r el p r o d u c t o e s c a l a r p o r la T - correspon- diente. F i n a l i z a d o s l o s d o s d e s a r r o l l o s a n t e r i o r e s , v a m o s a v e r que t o d a s l a s p o s i - APROXIMACION NUMERICA I I I .4 b i l i d a d e s de a c t u a c i ó n en la d e t e r m i n a c i ó n de l a s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a u n n o d o s e p u e d e n r e s u m i r en t r e s , que l l a m a m o s : de a p l i c a c i ó n r e c t a , de a p l i c a c i ó n de la c o n d i c i ó n de C a u c h y y de u s o de l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s . - I I 1.4.1APLICACION DIRECTA E n e s t e c a s o , s o l o e x i s t e n t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al n o d o , p o r lo q u e el ú n i c o p r o b l e m a e s t r i b a en d e t e r m i n a r c u a l e s s o n , s e g ú n l a s c o n d i c i o n e s q u e - e x i s t e n s o b r e c a d a u n o de l o s e l e m e n t o s que c o n c u r r e n en é l . V a m o s a c o n s i d e r a r = i n d e p e n d i e n t e m e n t e t o d a s l a s c a r a s a u n q u e el n ú m e r o de i n c ó g n i t a s e s de 3 . Utiliza mos p a r a i d e n t i f i c a r c a d a c a r a , un n ú m e r o de 4 c i f r a s n , n , n . n_ que r e p r e s e n 3 ~ o 1 2 t a , c o m o y a se d i j o , el n ú m e r o de c a r a s l i b r e s , de b o l a s , de r o d i l l o s y e m p o t r a d a s . 1 . - T o d a s l a s c a r a s que c o i n c i d e n en el nodo s o n l i b r e s (0 0 0 n ). En o - e s t e c a s o , l a s t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al n o d o s o n l a s t r e s c o m p o n e n t e s d e l m o v i m i e n t o en c o o r d e n a d a s g l o b a l e s . 2 . - E x i s t e una c a r a de b o l a s y el r e s t o s o n c a r a s l i b r e s (0 Fig. 0 1 n. ) . o I I I . 4 . 1 . 1 , nodo A . E n e s t e c a s o l a s t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al no - do son: - La t e i r f s i ó n n o r m a l en la c a r a de b o l a s (en el n o d o $. - L o s d o s m o v i m i e n t o s en el p r o p i o p l a n o de la c a r a de b o l a s (en el nodo A ) . E n é s t e como en l o s c a s o s que s i g u e n se r e p r e s e n t a n l a s c a r a s s o b r e u n t r i e d r o p o r c o m o d i d a d , s i n que e l l o s i g n i f i q u e p é r d i d a de g e n e r a l i d a d . E n l o s c a s o s en que l o s á n g u l o s j u e g u e n u n p a p e l i m p o r t a n t e s e i n d i c a r á t á c i t a m e n t e . z 3 . - E x i s t e una c a r a de r o d i l l o s y el r e s t o s o n c a r a s l i b r e s (0 do A de la F i g . 1 0 n ) noo I I 1.4.1.2. L a s t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al n o d o s o n : - E l m o v i m i e n t o en la d i r e c c i ó n que p e r m i t e el r o d i l l o ( d i r e c c i ó n x en el no d o A en la F i g . I I I .4.1 .2. - La t e n s i ó n n o r m a l y la t e n s i ó n en la d i r e c c i ó n l o n g i t u d i n a l , al r o d i l l o en - d i c h a c a r a ( d i r e c c i o n e s y , z r e s p e c t i v a m e n t e en la c a r a de r o d i l l o s (a) de la f i g u r a III.4.1.2. 4 . - E x i s t e una s o l a c a r a e m p o t r a d a y el r e s t o s o n c a r a s l i b r e s (1 nodo A de la F i g . III.4.1.3. 0 0 n ) o ( E l h e c h o de u s a r el t é r m i n o e m p o t r a d o no s i g n i f i c a que l o s m o v i m i e n t o s s e a n n u l o s en d i c h a c a r a , s i n o s i m p l e m e n t e que se c o n o c e n . - A l g o a n á l o g o p u e d e d e c i r s e de l a s c a r a s d e b o l a s y de l a s de r o d i l l o ) . . Fig. 1 I I . 4 . 1 .3 L a s t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al n o d o s o n l a s t r e s t e n s i o n e s del nodo. A en la c a r a e m p o t r a d a . N o h a y i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o y a que p o r p e r t e n e c e r el n o d o A a la c a r a e m p o t r a d a , se c o n o c e n s u s t r e s m o v i m i e n t o s . 5 . - E x i s t e n d o s c a r a s de b o l a s y el r e s t o de l a s c a r a s s o n l i b r e s (0 0 0 n ) o P u n t o A de la F i g . II 1.4.1.4. z L a s c a r a s de b o l a s , i m p i d e n d o s m o v i m i e n t o s en el nodo A , p o r e l l o l a s i n c ó g n i t a s d e l nodo s o n : - U n m o v i m i e n t o (no c o n t e n i d o en el p l a n o d e f i n i d o p o r l a s n o r m a l e s a l a s - c a r a s de b o l a s ) . - L a s d o s t e n s i o n e s n o r m a l e s a l a s c a r a s de b o l a s . E l v a l o r del á n g u l o no i n f l u y e en el t r a t a m i e n t o del p r o b l e m a . 6 . - E x i s t e una c a r a de b o l a s y una c a r a de r o d i l l o s que no s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n , e s t a n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s N o d o A d e la Fig. III.4.1.5. P a r a c u a l q i i e r v a l o r de ex y s i e m p r e que 3 £ 9 0 2 l o s t r e s m o v i m i e n t o s del - nodo A e s t á n d e t e r m i n a d o s . P o r t a n t o , no h a c e f a l t a m a n i p u l a r l o s d a t o s , ya que - las i n c ó g n i t a s son: - T e n s i ó n n o r m a l en la c a r a de b o l a s . - T e n s i ó n n o r m a l en el r o d i l l o y t a n g e n c i a l en su d i r e c c i ó n . S i 3 = 9 0 g en el n o d o A el m o v i m i e n t o s e g ú n z e s una i n c ó g n i t a , s i e n d o ne c e s a r i o e l i m i n a r una de l a s t e n s i o n e s r e l a c i o n á n d o l a c o n l a s d e m á s ( v e a s e I I I . 4 . 2 ) 7 . - E x i s t e n t r e s c a r a s de b o l a s s i e n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s , nodo A de la F i g . I II.4.1.6. • A l e s t a r f i j a d o s l o s m o v i m i e n t o s en t r e s d i r e c c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n - d i e n t e s ( l a s n o r m a l e s a l a s c a r a s de b o l a s ) no h a y i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o . L a s - t r e s i n c ó g n i t a s d e l nodo A s o n l a s t e n s i o n e s n o r m a l e s a l a s c a r a s de b o l a s . Fig. III.4.1.6 I I I . 4 . 2 . - A P L I C A C I O N DE LA R E L A C I O N DE C A U C H Y E n l o s c a s o s d e s c r i t o s a n t e r i o r m e n t e , no ha s i d o p r e c i s o m a n i p u l a r l o s d a t o s e x i s t e n t e s , p u e s en t o d o s e l l o s no e x i s t í a n más de t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al = n o d o . E n l o s c a s o s que s i g u e n , e x i s t e un e x c e s o d e v a r i a b l e s a s o c i a d a s a l nodo y s e r á p r e c i s o u s a r la r e l a c i ó n de C a u c h y , de una u o t r a f o r m a p a r a r e d u c i r e l n ú m e r o = de i n c ó g n i t a s a 3 . E l g r a d o de a p r o x i m a c i ó n que se i n t r o d u c e es d i f e r e n t e en c a d a = c a s o , s e g ú n el t i p o de s u p o s i c i ó n que se e s t a b l e z c a y que se i r á d e s c r i b i e n d o a - c o n t i n u a c i ó n p a r a c a d a u n o de e l l o s . 1 . - E x i s t e n d o s c a r a s de r o d i l l o s y el r e s t o de l a s c a r a s que c o n c u r r e n en el nodo s o n l i b r e s ( 0 , 2 , 0 n ) . o P u e s t o que c a b e n d i f e r e n t e s d i s p o s i c i o n e s en l a s c a r a s e n t r e sí y de l o s - r o d i l l o s c o n r e s p e c t o a la a r i s t a c o m ú n e s t u d i a r e m o s v a r i o s c a s o s . 1 . 1 . - L o s r o d i l l o s no s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n , (nodo A F í g . I 1 I.4.2.1). a ¿ 90- « Fig. III.4.2.1 E n e s t e c a s o , el m o v i m i e n t o e s t á t o t a l m e n t e i m p e d i d o en el nodo A y en p r i n c i p i o e x i s t e n 4 i n c ó g n i t a s ( d o s p o r c a d a r o d i l l o ) , p o r lo que de la e c u a c i ó n I I l . 4 . 1 8 se p u e d e d e s p e j a r d o n d e s e ha p u e s t o T s u p u e s t a n la d i r e c c i ó n de l o s r o d i l l o s e n la c a r a b ) . n T b n en f u n c i ó n T a n y T b t ( d a t o s ) y de ° a n , ° D , n T a t que q u e d a n c o m o l a s i n c ó g n i t a s d e l nodo A . L o s r o d i l l o s se h a n p r e s e n t a d o c o m o p a r a l e l o s ^ p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s - tas común, p e r o pueden t e n e r d i r e c c i ó n c u a l q u i e r a . 1 . 2 . - Los r o d i l l o s son p e r p e n d i c u l a r e s t a l c o m o se a p r e c i a en la F i g . a la a r i s t a c o m ú n . E n e s t e c a s o , I I I . 4 . 2 . 2 , e x i s t e p o s i b i l i d a d de m o v i m i e n t o en la ó]_ r e c c i ó n de la a r i s t a c o m ú n . P o r e l l o h a y en p r i n c i p i o 5 i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a u n nodo t a l c o m o el A de la F i g . rodillo. - - I I I . 4 . 2 . 2 : el m o v i m i e n t o y l a s d o s t e n s i o n e s p o r c a d a P a r a r e d u c i r el n ú m e r o de i n c ó g n i t a s a t r e s , a n u l a m o s una de l a s t e n s i o n e s t a n g e n c i a l e s , l o q u e c o n s t i t u y e una e v i d e n t e a p r o x i m a c i ó n ^ y la o t r a la c a l c u l a r e m o s e m p l e a n d o la r e l a c i ó n de C a u c h y . 2 . - E x i s t e una c a r a d e r o d i l l o s y una c a r a de b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de - l a s c a r a s l i b r e s . A d e m á s l o s r o d i l l o s s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n . N o d o A de la F i g . I I I . 4 . 2 . 3 . (0 1 1 n ). E x i s t e n c u a t r o i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a u n nodo de e s t a s c a r a c t e r í s t i c a s . m o v i m i e n t o (en la d i r e c c i ó n z en la F i g I I I . 4 . 2 . 3 ) y t r e s t e n s i o n e s (dos d e l Un rodillo y una de la b o l a ) . La r e l a c i ó n de C a u c h y p e r m i t e e l i m i n a r una de l a s t e n s i o n e s i n c ó g n i t a s . P o r e j e m p l o , la t e n s i ó n t e n g e n c i a l en el rodillo donde A Y A „ B y T y t s o n l a s i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a j u n t o c o n l o s m o v i m i e n t o s y T » T N 1 son d a t o s . 3 . - E x i s t e una c a r a e m p o t r a d a y una c a r a d e b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s . (1 0 1 n ) n o d o A de la F i g . I I . 4 . 2 . 4 o Aunque c o n c e p t u a l r r e n t e i d é n t i c o s o p e r t i v a m e n t e podemos d i s t i n g u i r dos casos: 3 . 1 . - L a s c a r a s e r r p o t r a d a s y de b o l a s no s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í . ( a ¿ 9 0 ^ en la F i g . I I I .4.2.4. E x i s t e n 4 i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n ( t r e s de la c a r a e m p o t r a d a y una de la c a r a de b o l a s ) . La r e l a c i ó n de C a u c h y p e r m i t e e l i m i n a r la t e n s i ó n n o r m a l en e s t a ú l t i m a cara. -a -a -a - b -b • donde a a , T a n , T a t , son las i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a y T b n y T b datos, t 3 . 2 . - L a s c a r a s e m p o t r a d a s y de b o l a s s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í (a = 9 0 9 en la F i g . I II.4.2.4). E x i s t e n l a s m i s m a s i n c ó g n i t a s , p e r o no e s p o s i b l e e l i m i n a r la t e n s i ó n n o r m a l de la c a r a de b o l a s , p u e s t o q u e la r e l a c i ó n d e C a u c h y en e s t e c a s o , i d e n t i f i c a s o l o t e n s i o n e s n o r m a l e s a la a r i s t a c o m ú n . S e r á p r e c i s o p o r t a n t o , e l i m i n a r la t e n s i ó n - t a n g e n c i a l de la c a r a e m p o t r a d a que sea n o r m a l a la a r i s t a c o m ú n ( d i r e c c i ó n n en la= Fig. I II.4.2.4). T -b v 1 a n b O -a. v • 2 donde a b a a , T + -b v 2 - a v b T n + 2 a t - b v 3 - a v - a v 1 b T t - a v 2 , son las i n c ó g n i t a s del nodo y C 2 T b n a - a v - a v 3 T a t 2 y T b t son datos. 4 . - E x i s t e una c a r a de r o d i l l o s y d o s de b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s (0 1 2 n ) . N o d o A de la F i g . o I I I .4.2.5 Fig. II i . 4 . 2 . 5 - N o e x i s t e n i n c ó g n i t a s e n m o v i m i e n t o y h a y c u a t r o i n c ó g n i t a s en t e n s i o n e s (dos d e l r o d i l l o y una p o r c a d a c a r a de b o l a s ) . E l i m i n a m o s la t e n s i ó n t a n g e n c i a l del r o d i l l o , a p l i c a n d o la r e l a c i ó n de C a u c h y e n la c a r a de b o l a s c o n v e n i e n t e . T T rr b V a 1 „ b a V N donde a y a A 2 -V b 2 + V T A b N 2 son incógnitas y las -V b 3 + V A T -Vb b 1 V 1 2 a a- V V A 2 - b 3 A T a 1 2 T son todos d a t o s . 5 . - E x i s t e una c a r a e m p o t r a d a y d o s c a r a s de b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s . Nodo. A de la F i g . I I I . 4 . 2 . 6 . (1 0 2 - n ). E l c a s o 3 s i r v e c o m o e x p l i c a c i ó n de la s o l u c i ó n que s e v a a d a r a e s t e c a s o , p u e s t o que c a d a c a r a de b o l a s se t r a t a i n d e p e n d i e n t e m e n t e c o n r e s p e c t o a la c a r a * empott ada c o n a r r e g l o a l o d i c h o en el c a s o 3 . P o r t a n t o , si l a s t r e s c a r a s no s o n = p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , de i d é n t i c a f o r m a se e l i m i n a n l a s t e n s i o n e s de l a s c a r a s = d e b o l a s y n o s q u e d a m o s s ó l o c o n l a s de la c a r a e m p o t r a d a . S i a l g u n a c a r a de b o l a = e s n o r r r a l a la c a r a e m p o t r a d a se e l i m i n a una i n c ó g n i t a de t e n s i ó n t a n g e n c i a l de la c a r a e m p o t r a d a de ( s e g ú n la f o r m a i n d i c a d a en 3 . 2 ) y se i n c l u y e la t e n s i ó n n o r m a l = a la c a r a de b o l a s ^ íii 6 . - E x i s t e una c a r a de b o l a s y d o s c a r a s de r o d i l l o s , c u m p l i é n d o s e que d i c h o s r o d i l l o s no s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n o lio s o n p a r a l e l o s a la c a r a de b o l a s , ( 0 Fig. 2 1 n ) . E l r e s t o de l a s c a r a s e s t á n l i b r e s . N o d o A de la o - I I 1.4.2.7 N o e x i s t e n i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o y se t r a t a de un c a s o de a p l i c a c i ó n de C a u c h y p u e s l a s 5 i n c ó g n i t a s d e t e n s i ó n que e x i s t e n ( d o s p o r c a d a r o d i l l o y una p o r la c a r a de b o l a s se p u e d e n r e d u c i r a t r e s , ( l a s t e n s i o n e s n o r m a l e s en l a s t r e s c a r a s a p l i c a n d o d o s v e c e s la r e l a c i ó n ) . S i n i n g u n a de l a s c a r a s de r o d i l l o e s p a r a l e la a la c a r a de b o l a s , se e l i m i n a n l a s t e n s i o n e s t a n g e n c i a l e s de l o s r o d i l l o s . A s í p a r a la c a r a a) de la F i g . I I I .4.2.7. • S i el r o d i l l o es p a r a l e l o a la c a r a de b o l a s , no p u e d e e l i m i n a r s e la t e n s i ó n t a n g e n c i a l en l a f o V m a i n d i c a d a a n t e r i o r m e n t e . E n e s t e c a s o , se e l i m i n a c o n l a s - t e n s i o n e s de la o t r a c a r a d e l r o d i l l o ( e s p o s i b l e que l o s dos r o d i l l o s s e a n perpend_i_ c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n , y en e s e c a s o , no se p o d r í a a p l i c a r la r e l a c i ó n de C a u c h y e n t r e a m b a s , p o r l o q u e se t r a t a c o m o u n c a s o de t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s , t a l - c o m o s e v e r á más a d e l a n t e ) . E n el c a a o de la F i g . • en la c a r a b) de r o d i l l o s , T = n donde a b a y a 1. -b V 2 a 3 - hacemos: - b . b I I l . 4 . 2 . 7 , p a r a e l i m i n a r la t e n s i ó n t a n g e n c i a l T + - -b v _ L t 3 - b n V - b V 2 son incógnitas gun la e x p r e s i ó n a n t e r i o r c o n + T a c y b y T o l o que el p r o b l e m a e s t á d e t e r m i n a d o . - -b v_ L a 2 a T - a v . a _ ___1__ t - b V 2 0 b , - a v _ _3_ - b V T b , t 2 a son datos y T esta r e l a c i o n a d a s e c c a incógnitas y T n T | . y T n d a t o s P o r ~ l l 1.4.3.- CASO DE F E N S I O N E S PRINCIPALES A n t e r i o r m e n t e , se v i o q u e c u a n d o s e c o n o c í a la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n tos según t r e s d i r e c c i o n e s linealmente independientes, e r a posible evaluar las di r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s de t e n s i ó n y d e f o r m a c i ó n , y p o r t a n t o , t o d a s l a s i n c ó g n i t a s - en t e n s i ó n s e p u e d e n e x p r e s a r en f u n c i ó n de l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s que c o n s t i - t u i r á n p o r t a n t o , l a s t r e s i n c ó g n i t a s d e l p r o b l e m a . E n o t r a s o c a s i o n e s no se c o n o c e ra la e v o l u c i ó n de m o v i m i e n t o s a n t e r i o r m e n t e i n d i c a d o s , p e r o s i s e r á p o s i b l e e s t a b l e c e r una h i p ó t e s i s de f o r m a d i r e c t a s o b r e l a s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s , p o r lo - que el p r o b l e m a q u e d a i g u a l m e n t e d e t e r m i n a d o . L o s c a s o s t r a t a d o s de e s t a f o r m a - son: 1 . - D o s ó t r e s c a r a s e m p o t r a d a s y el r e s t o l i b r e s n 0 0 n c o n n 3 3 o nodo A de l a F i g . 2 II 1.4.3.1. z Fig. III.4.3.1 N o h a y i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o s y h a y t a n t a s en t e n s i o n e s c o m o n ú m e r o de c a r a s e m p o t r a d a s m u l t i p l i c a d a s p o r t r e s . S e c o n o c e la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s en 3 d i r e c c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , d i r e c c i o n e s x , y , z , de l a Fig. - I I I . 4 . 3 . 1 . S e s i g u e p o r t a n t o el p r o c e s o e x p l i c a d o a n t e r i o r m e n t e que p e r m i t e e x p r e s a r t o d a s l a s i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n a p a r t i r de l a s t r e s p r i n c i p a l e s . E n el c a s o de que h a y a t r e s c a r a s e m p o t r a d a s , el p r o c e s o es e x a c t a m e n t e el m i s m o . 2 . - T r e s c a r a s de r o d i l l o s . D i s t i n g u i r e m o s d o s c a s o s : 2 . 1 . - T r e s c a r a s de r o d i l l o s s i e n d o d o s de e l l o s p a r a l e l o s y el r e s t o l i b r e (0 3 0 n ) . N o d o A de la F i g . = I I I .4.3.2. E n e s t e c a s o , el nodo A no se p u e d e m o v e r y a d e m á s , h a c e m o s la h i p ó t e s i s = de que la v a r i a c i ó n d e l o s m o v i m i e n t o s a l o l a r g o de t r e s d i r e c c i o n e s e s n u l a , p o r lo q u e el t e n s o r de d e f o r m a c i o n e s e s n u l o y p o r t a n t o e s f é r i c o . L a s d i r e c c i o n e s g l o bales pueden s e r tomadas como d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s e x p r e s a n d o las t e n s i o n e s - i n c ó g n i t a s de c a d a c a r a a p a r t i r de l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s , al i g u a l que en el c a - so anterior.' 2 . 2 . - T r e s c a r a s de r o d i l l o s , c a d a d o s de l a s c u a l e s no s o n p a r a l e l a s (O 3 o n j . N o d o A de la F i g . III.4.3.3. E n e s t e c a s o , s e c o n o c e n l o s m o v i m i e n t o s en el nodo A p e r o hay, e x c e s o d e = i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n . La a p l i c a c i ó n de l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s , r e q u i e r e c e r la v a r i a c i ó n de l o s t r e s m o v i m i e n t o s e n 3 d i r e c c i o n e s l i n e a l m e n t e el c o n o - independien- tes. A q u í se c o n o c e s ó l o la de l o s m o v i m i e n t o s en 3 d i r e c c i o n e s . E n v e z de c o n o c e r el t e r c e r m o v i m i e n t o , se c o n o c e una t e n s i ó n t a n g e n c i a l . La h i p ó t e s i s q u e s e e s t a b l e c e es que la v a r i a c i ó n d e l t e r c e r m o v i m i e n t o s o b r e la c a r a d e l r o d i l l o es i g u a l a la e v o l u c i ó n de la t e n s i ó n t a n g e n c i a l c o n o c i d a . De e s t a m a n e r a , s e p u e d e n = d e t e r m i n a r las d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s . 3 . - Una c a r a e m p o t r a d a y una c a r a de r o d i l l o s , e s t a n d o el r e s t o d e l a s c a - r a s l i b r e s . S e g ú n la p o s i c i ó n r e l a t i v a d e l r o d i l l o c o n r e s p e c t o a la c a r a e m p o t r a d a , podemos c o n s i d e r a r dos c a s o s : 3 . 1 . - R o d i l l o no p a r a l e l o a la a r i s t a c o m ú n (1 Fig. 1 0 n ) . N o d o A de la o - III.4.3.4. Se conocen los t r e s movimientos y hay c i n c o tensiones incógnitas (una se - p o d r í a e l i m i n a r a p l i c a n d o una r e l a c i ó n de C a u c h y , p e r o no la o t r a ) . S e c o n o c e la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s en d o s d i r e c c i o n e s , ( x , z en la F i g . I I 1.4.3.4). E n la d i r e c c i ó n y , se c o n o c e la e v o l u c i ó n s ó l o de d o s m o v i m i e n t o s (el u y el v e n la F i g . - I I I .4.3.4). La e v o l u c i ó n del m o v i m i e n t o w se e s t i m a p o r la e v o l u c i ó n de la t e n s i ó n t a n g e n c i a l c o n o c i d a en la c a r a de r o d i l l o s ( T XZ en la F i g ) E l p r o c e s o una v e z d e t e r m i n a d a s l a s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s e s el u s u a l . 3 . 2 . - R o d i l l o p a r a l e l o a la a r i s t a c o m ú n (1 1 0 n ) . N o d o A de la F i g . o III.4.3.5. E n e s t e c a s o s o l o se c o n o c e la v a r i a c i ó n de m o v i m i e n t o s en l a s d i r e c c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s a r i s t a s de la c a r a e m p o t r a d a . E s n e c e s a r i o p u e s h a c e r otra hipótesis. C o n s i d e r a m o s una d i r e c c i ó n p r i n c i p a l , la d i r e c c i ó n de m o v i m i e n t o d e l r o d i l l o y una s e g u n d a d i r e c c i ó n p r i n c i p a l que s e r í a una de l a s a r i s t a s de la c a r a e m potrada. E v i d e n t e m e n t e , la t e r c e r a d i r e c c i ó n s e c a l c u l a r í a a p a r t i r del p r o d u c t o - v e c t o r i a l de l a s d o s a n t e r i o r e s . 4 . - Una c a r a e m p o t r a d a , una c a r a de r o d i l l o y una c a r a de b o l a s (1 1 1 n O N o d o A de la F i g . I I I .4.3.6. Fig. II1.4. 3.6 N o h a y i n c ó g n i t a s e n m o v i m i e n t o , y l a s i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n se t r a t a n de m a n e r a i d é n t i c a al c a s o a n t e r i o r 3 , o m i t i e n d o la i n f o r m a c i ó n de la c a r a de b o l a s . 5 . - U n a c a r a de b o l a s y d o s c a r a s d e r o d i l l o p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a - común y p a r a l e l a a la c a r a de b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s (0 2 1 n ) N o d o A de la F i g . I I 1.4.3.7 Fig.III.4.3.7 L a s c a r a a de r o d i l l o s s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la de b o l a . N o e x i s t e n i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o y s í c i n c o i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n . N o e s p o s i b l e a p l i c a r la r e í a c i ó n de C a u c h y - p a r a r e d u c i r a t r e s el n ú m e r o de v a r i a b l e s . P o r e l l o , se h a c e la h i p ó t e s i s de que la a r i s t a c o m ú n a l a s c a r a s de r o d i l l o ( d i r e c c i ó n z en la F i g . ) e s = una d i r e c c i ó n p r i n c i p a l . L a s o t r a s d o s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s se e l i g e n en el p l a no n o r m a l a d i c h a d i r e c c i ó n . 6 . - D o s c a r a s e m p o t r a d a s y una c a r a de r o d i l l o s o de b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s (2 y I I I .4.3.9. 1 0 n ) ó (2 o 0 1 n ) . N o d o A de l a s F i g . o I I I .4.2.8 respectivamente. E n e s t o s c a s o s , no h a y i n c ó g n i t a s e n m o v i m i e n t o s y p u e s t o que hay d o s c a - r a s e m p o t r a d a s , se p u e d e c o n o c e r la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s en 3 d i r e c c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ( s i n t o m a r en c u e n t a el r o d i l l o o la b o l a ) , p o r lo que la r e s o l u c i ó n e s s i m i l a r a la d e l c a s o 1 de a p l i c a c i ó n de t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s . 7 . - E x i s t e una c a r a e m p o t r a d a y d o s c a r a s d e r o d i l l o e s t a n d o el r e s t o de - l a s c a r a s l i b r e s (1 2 0 n ). o N o e x i s t e n e v i d e n t e m e n t e i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o y l a s r e l a c i o n e s de C a u c h y no s o n s u f i c i e n t e s c o m o p a r a r e d u c i r el n ú m e r o de i n c ó g n i t a s . A p l i c a m o s el c o n c e p t o d e t e n s i ó n p r i n c i p a l , y a u n q u e l o s d o s r o d i l l o s p e r m i t i r í a n e n c o n t r a r la e v o l u c i ó n e x a c t a en una d i r e c c i ó n que c o m p l e t a r í a l a s d o s de la c a r a e m p o t r a d a Fig. I I I . 4 . 3 . 1 0 , en o t r ó s ^ a s o s , e s t o no r e s u l t a r í a p o s i b l e F i g . I I I .4.3.11 . P o r t a n t o , s e toma p a r a c u a l q u i e r nodo de e s t a s i t u a c i ó n la c a r a e m p o t r a d a y una de l a s de r o d i l l o , s u s t i t u y e n d o la e v o l u c i ó n de m o v i m i e n t o en la d i r e c c i ó n d e s c o n o c i d a p o r la de t e n s i o n e s t a n g e n c i a l e s , al i g u a l q u e se ha h e c h o c o n a n t e r i o r i - dad en l o s c a s o s d e una c a r a e m p o t r a d a y una de r o d i l l o s . 8 . - C u a l q u i e r c o m b i n a c i ó n de c a r a s n_ n 0 n n que c u m p l a : 3 ¿ 1 o n, + n + n > 4 • S e toma v = ¡ I e - 0 p o r lo q u e se a p l i c a t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s c o n : v = ¡ II J v = III k E s t a h i p ó t e s i s e s r a z o n a b l e , y a que la v a r i a c i ó n de l o s d i s t i n t o s m o v i m i e n t o s en t r e s d i r e c c i o n e s e s p r e s u m i b l e m e n t e n u l a . C o m o se ha v i s t o , e l p l a n t e a m i e n t o de c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , es e n g o r r o ^ so y p o d r í a m o s d e c i r que l l e n o de a p r o x i m a c i o n e s . S i n e m b a r g o , y e v i d e n t e m e n t e , es la ú n i c a m a n e r a d e c o n s e g u i r un s i s t e m a c o m p a t i b l e de e c u a c i o n e s lineales. P o r o t r o l a d o , en l o q u e a la a p r o x i m a c i ó n se r e f i e r e , hemos de d e c i r , que no e s t a n t a p o r d o s r a z o n e s f u n d a m e n t a l e s . P r i m e r a el h e c h o de que se han t o m a d o en g e n e r a l , y s a l v o muy c o n t a d o s c a s o s , a p r o x i m a c i o n e s no s o l o r a z o n a b l e s , sino= en la m a y o r í a de l o s c a s o s e x a c t a s , y en s e g u n d o l u g a r , e s t e e f e c t o e s muy l o c a l i z a d o en el nudo t r a t a d o en e s a f o r m a , p o r l o q u e u n a m e j o r a en la d i s c r e t i z a c i ó n - h a c e p r á c t i c a m e n t e d e s a p a r e c e r e s t o s e f e c t o s , a p a r t i r de d i s t a n c i a s muy c e r c a - ñas a la s i t u a c i ó n i n i c i a l d e l n u d o . E s t a a f i r m a c i ó n ha s i d o d e m o s t r a d a f e h a c i e n t e m e n t e no s ó l o en el c a s o bid¡_ m e n s i o n a l , s i n o t a m b i é n e n el t r i d i m e n s i o n a l ( L a c h a t ) con; a p r o x i m a c i o n e s m u c h o más b u r d a s e i n e x a c t a s que l a s q u e a q u í se h a n l l e v a d o a c a b o . - 1 I 1.5.- RESOLUCION DEL S I S T E M A DE ECUACIONES La s o l u c i ó n de l o s p r o b l e m a s p l a n t e a d o s a t r a v é s d e l B . 1 . E . M . t i e n e d o s f a s e s p r e p o n d e r a n t e s en c u a n t o a l c o s t e , q u e s o n la i n t e g r a c i ó n y la r e s o l u c i ó n d e l s i s tema de e c u a c i o n e s r e s u l t a n t e . E s p o r e l l o p o r l o q u e es n e c e s a r i o c u i d a r e s p e c i a l - mente el t r a t a m i e n t o de d i c h o s p r o c e s o s . E n l o q u e se r e f i e r e a la i n t e g r a c i ó n se ha i m p l e m e n t a d o un m é t o d o ó p t i m o , s i g u i e n d o l o s e s q u e m a s de una c u a d r a t u r a de G a u s s adaptativa (I I I . 2 ) . En cuanto al s i s t e m a de e c u a c i o n e s , p o s e e a l g u n a s c a r a c t e r í s t i c a s e s p e c i f i c a s , que p u e d e n - s e r e x p l o t a d a s p a r a c o n s e g u i r una a d e c u a c i ó n ó p t i m a d e l m é t o d o de r e s o l u c i ó n al p r o blema p r o p u e s t o . C o m o s e ha d e s a r r o l l a d o en el a p a r t a d o I I I . 3 , en el c a s o de u t i l i z a r un méto_ do de s u b r e g i o n a l i z a c i ó n , la m a t r i z p o d r á s e r d i v i d i d a en d i v e r s o s g r u p o s , q u e a b a r - c a n un n ú m e r o v a r i a b l e , p e r o c o n o c i d o d e c o l u m n a s . E s t o s g r u p o s p o s e e r á n una c o n f i g u r a c i ó n d e f i n i d a , c o m o s e v i ó en II I . 3 y d e n t r o de e l l a s l a s c o l u m n a s t e n d r á n en - idéntica p o s i c i ó n los elementos iguales a c e r o . A s í p u e s , cada g r u p o p o d r í a s e r d i v i d i d o en d i v e r s o s b l o q u e s de c o e f i c i e n t e s d i s t i n t o s d e c e r o . P o r o t r o l a d o p o r c u e s t i o n e s p r o p i a s d e l m é t o d o , la d i a g o n a l p r e s e n t a r á u n a f r a n j a de t é r m i n o s d i s t i n t o s de c e r o , y p o r s u p u e s t o en g e n e r a l no s e r á s i m é t r i c a . d e f i n i t i v a n o s e n c o n t r a m o s a n t e una m a t r i z En d i s p e r s a con muchos términos iguales a - c e r o en s i t u a c i ó n p e r f e c t a m e n t e c o n o c i d a . S e p r e s e n t a p u e s la p o s i b i l i d a d , d a d a s l a s g r a n d e s d i m e n s i o n e s p r e v i s t a s p a r a el s i s t e m a , de no a l m a c e n a r d i c h o s e l e m e n t o s n u l o s , p a r a a p r o v e c h a r al m á x i m o el d i s p o s i t i v o d e a l m a c e n a m i e n t o . E s t a p o s i b i l i d a d d e s c a r t a i n i c i a l m e n t e l o s m é t o d o s de e l i m i n a c i ó n q u e n e c e s i t a n de m e m o r i a a u x i l i a r p a r a a l m a c e n a m i e n t o de l o s c e r o s , que= p o s t e r i o r m e n t e d e j a r á n de s e r l o . O t r o i n c o n v e n i e n t e a d i c i o n a l c o n s i s t e en el h e c h o de que la i n t e g r a c i ó n se r e a l i z a de f o r m a que se v a n c o n s i g u i e n d o c o l u m n a s de la m a t r i z , p o r lo c u a l se necesita- r í a un p r o c e s o i n i c i a l p a r a a l m a c e n a r la m a t r i z p o r f i l a s que es c o m o se n e c e s i t a r í a - en la r e s o l u c i ó n . E l l o c o n l l e v a u n t i e m p o a d i c i o n a l d e c á l c u l o . E x i s t e n o t r a s d o s c a u s a s a d i c i o n a l e s q u e f a v o r e c e n la d e c i s i ó n en f a v o r de u n método i t e r a t i v o . La p r i m e r a e s t r i b a e n el h e c h o d e la p o s i b i l i d a d de e x t e n s i ó n del p r o c e s o al c a m p o p l á s t i c o , lo que s i g n i f i c a el e s t a b l e c i m i e n t o de un p r o c e d i m i e n t o i n c r e - t m e n t a l ( v e a s e I V . 2 ) que p e r m i t e el p a r t i r de u n v e c t o r i n i c i a l de i t e r a c i ó n , el c o r r e s _ p o n d i e n t e al i n c r e m e n t o a n t e r i o r , muy p r ó x i m o al r e a l y que p o r t a n t o a u m e n t a la r a p | dez en la c o n v e r g e n c i a . La s e g u n d a c a u s a es p r á c t i c a m e n t e i d é n t i c a a la a n t e r i o r p e r o en el c a s o d e - e l a s t i c i d a d , y a que en g e n e r a l es p o s i b l e p a r t i r de u n v e c t o r i n i c i a l p a r e c i d o al r e a l , a u m e n t a n d o en m u c h o la c o n v e r g e n c i a . E l c á l c u l o d e e s t e v e c t o r i n i c i a l se e x p l i c a en III.5.2. C e n t r á n d o n o s ya en l o s m é t o d o s i t e r a t i v o s d i r e m o s que l o s m é t o d o s de G a u s s S e i d e l , S o u t h w e l l ó J a c o b i n e c e s i t a n , p a r a su c o n v e r g e n c i a que la m a t r i z del s i s t e m a sea s i m é t r i c a y d e f i n i d a p o s i t i v a . S i n e m b a r g o una t r a n s f o r m a c i ó n d e l t i p o S = A A no s e r í a p o s i b l e , p u e s d e s t r u í r i a m o s la e s t r u c t u r a del s i s t e m a . T a m p o c o nos es p o s i b l e una a d a p t a c i ó n t a l que nos p e r m i t a una r e a l i z a c i ó n i n t e r n a d e l p r o d u c t o A Así pues, resultan A. * - imposibles. E l m é t o d o en d e f i n i t i v a que se ha d e s a r r o l l a d o e s el m é t o d o del g r a d i e n t e c o n j u g a d o , p u e s a u n q u e la m a t r i z del s i s t e m a d e b e de s e r s i m é t r i c a y d e f i n i d a p o s i t i v a , - podemos r e a l i z a r l a s s e c u e n c i a s p r o p i a s d e l m é t o d o s i n e f e c t u a r la m u l t i p l i c a c i ó n de AT . A , c o m o se v e r á en I I I . 5 . 2 . F r e n t e a e s t e m é t o d o el c o r r e s p o n d i e n t e al g r a d i e n t e d e s c e n d e n t e no p r e s e n ta n i n g u n a v e n t a j a , ya que no es más q u e una v e r s i ó n no p e r f e c c i o n a d a d e l m i s m o , y = el del g r a d i e n t e c o n j u g a d o m o d i f i c a d o t a m p o c o es p o s i b l e p u e s n e c e s i t a una m a t r i z K se \ a p r o x i m a c i ó n de la S ^ = ( A ^ . A) \ m a t r i z que no es c o n o c i d a , - necesitándo- un n ú m e r o m a y o r de o p e r a c i o n e s . E l m é t o d o d e l g r a d i e n t e c o n j u g a d o f u e i n t r o d u c i d o en 1952 S t e i f e l , p a r a r e s o l v e r s i s t e m a s de e c u a c i o n e s por Hestenes y - lineales A x = b III.5.1 d o n d e A e s una m a t r i z n x n s i m é t r i c a y d e f i n i d a p o s i t i v a . E s t e método tiene como - p r o p i e d a d e s p a r t i c u l a r e s el q u e , en a u s e n c i a de e r r o r e s de r e d o n d e o , se o b t i e n e la s o l u c i ó n en n i t e r a c i o n e s c o m o m á x i m o , y o t r a muy i m p o r t a n t e en n u e s t r o c a s o , el h e c h o d e que la m a t r i z no n e c e s i t a e n c o n t r a r s e en m e m o r i a , en c a d a i t e r a c i ó n , s i e n d o t a n s ó l o n e c e s a r i o c a l c u l a r el p r o d u c t o d e A p o r u n v e c t o r z p a r t i c u l a r . O t r a s e r i e de p r o p i e d a d e s i m p o r t a n t e s d e l m é t o d o s o n , el que no r e q u i e r e una e s t i m a c i ó n p r e v i a de p a r á m e t r o s , a p r o v e c h a la d i s t r i b u c i ó n de l o s a u t o v a l o r e s del - o p e r a d o r d e i t e r a c i ó n , y s o b r e t o d o r e q u i e r e muy p o c a s r e s t r i c c i o n e s en la m a t r i z A p a r a un c o m p o r t a m i e n t o ó p t i m o . E n d e f i n i t i v a , e s t a s s o n l a s p r i n c i p a l e s r a z o n e s q u e h a n j u s t i f i c a d o la e l e c - c i ó n , que está ampliamente r e f r e n d a d a p o r d i s t i n t o s a u t o r e s ( G a m b o l a t t i , R e i d , Con cus, Jernings, etc). I I 1 . 5 . 1 E L M E T O D O DEL G R A D I E N T E CONJUGADO L o s m é t o d o s i t e r a t i v o s de r e s o l u c i ó n de s i s t e m a s de e c u a c i o n e s l i n e a l e s , s e - e n c u a d r a n d e n t r o d e l m a r c o más g e n e r a l de l o s m é t o d o s a p r o x i m a d o s de r e s o l u c i ó n - de e c u a c i o n e s d e l t i p o , A x = b donde x £ X , b £Y III.5.1.1 y A e s u n o p e r a d o r l i n e a l , d e f i n i d o en el e s p a c i o E s t o s m é t o d o s t r a t a n de o b t e n e r una s o l u c i ó n x n £ ción real x X L (X). a p r o x i m a d a a la s o l u , de f o r m a que a l g ú n f u n c i o n a l de e r r o r sea m í n i m o , ó nentes del v e c t o r A x R y del v e c t o r b R £ X, A £ bien las compo- Y*"1, en u n c i e r t o e s p a c i o de p r o y e c c i ó n - sean las mismas (métodos p r o y e c t i v o s ) . La f i l o s o f í a de l o s m é t o d o s i t e r a t i v o s , s i b i e n p a r t e de e s t a s p r e m i s a s e s aj_ go d i f e r e n t e , y a que v a n c o n s i g u i e n d o una s e c u e n c i a de e s t e t i p o de s o l u c i o n e s a p r o x i m a d a s en l a f o r m a a n t e r i o r , c u y o l í m i t e c o i n c i d e c o n la s o l u c i ó n r e a l . P o d e m o s - p u e s d e c i r q u e un m é t o d o i t e r a t i v o e s un m é t o d o a p r o x i m a d o a p l i c a d o an c i e r t o núme r o de v e c e s , p o r lo q u e muy b r e v e m e n t e r e c o r d a r e m o s la b a s e de un m é t o d o a p r o x i mado q u e ya s e v i ó e n el c a p í t u l o I . En un método aproximado e x i s t e n t r e s pasos fundamentales: - E l e c c i ó n d e l e s p a c i o X R y del e s p a c i o y " , q u e en la m a y o r p a r t e de l o s problemas coinciden. - E l e c c i ó n d e l e s p a c i o V de p r o y e c c i ó n . - - D e f i n i c i ó n d e l f u n c i o n a l a m i n i m i z a r , ó b i e n del m é t o d o de p r o y e c c i ó n en o r d e n a i g u a l a r l a s c o m p o n e n t e s en V de A x n Los t r e s e s p a c i o s X n y de b n - . n Y y V vienen d e f i n i d o s fundamentalmente p o r su dimen s i ó n y una b a s e d e v e c t o r e s , m i e n t r a s que el m é t o d o de p r o y e c c i ó n c o i n c i d e n o r m a l m e n t e c o n e l p r o d u c t o e s c a l a r p a r t i c u l a r d e f i n i d o en el e s p a c i o de t r a b a j o X , y a que = X n , V C X , y t i e n e n la t o p o l o g í a i n d u c i d a p o r X . A s í , en el c a s o p a r t i c u l a r de s i s t e m a s de e c u a c i o n e s l i n e a l e s a l g e b r a i c a s - X = Y = I R n , y el p r o d u c t o e s c a l a r es el n o r m a l e n t r e v e c t o r e s en I R n . El espacio aproximante X d e p e n d e d e l m é t o d o e l e g i d o , a s í c o m o el e s p a c i o = n de p r o y e c c i ó n , q u e s u e l e s e r un s u b e s p a c i o de X . E n e s t e c a s o p a r t i c u l a r de que V C X P , p o d r e m o s p l a n t e a r el p r o b l e m a en la f o r m a s i g u i e n t e ( m é t o d o s de B u b n o v Galerkin). r Sea u. i = 1 , 2, . . . ' I una b a s e de X y u J j = 1,2, . .. m m < I la b a s e = correspondiente a V . La b a s e a p r o x i m a d a X x = a. podrá e x p r e s a r s e como II.5.1.2 u. i i tal c o m o h e m o s d i c h o a n t e r i o r m e n t e , s u p u e s t o c o n o c i d o b t e a r s e i g u a l a n d o l a s c o m p o n e n t e s s o b r e V de A x ( A x " , u . ) = a . (A u . , u . ) = ( b n , u . ) J i i J J y de b , el p r o b l e m a puede p l a n en la f o r m a III.5.1.3 d o n d e el p a r é n t e s i s s i g n i f i c a p r o d u c t o e s c a l a r , y s e ha h e c h o u s o de I I I . 5 . 1 . 2 y del h e c h o de q u e A es l i n e a l ; La e c u a c i ó n I I I . 5 . 1 . 3 r e p r e s e n t a u n s i s t e m a de m ecuacio_ n e s . A s i , en el c a s o de I = m p o d r a n d e t e r m i n a r s e l a s a. en el s i s t e m a a n t e r i o r , puesto conocido b su- y e v i d e n t e m e n t e l a s u . S i n e m b a r g o , en l o s m é t o d o s i t e r a t i v o s i se s i g u e o t r a t á c t i c a . S e s u p o n e n c o n o c i d a s I - m a i - y se v a n v a r i a n d o t o d o s ó a l a u ~— nos de l o s I - m v e c t o r e s a s o c i a d o s a e s t a s c o n s t a n t e s . E n a l g u n o s m é t o d o s se m o d i f i c a n l o s m v e c t o r e s de la b a s e de V en c a d a i t e r a c i ó n c o n el o b j e t o de a c e l e r a r la - c o n v e r g e n c i a ( m é t o d o s no e s t a c i o n a r i o s ) . H a c i e n d o u n i n c i s o hemos de d e c i r q u e el p r o c e d i m i e n t o a n t e r i o r es e q u i v a l e n te en el c a s o de m a t r i c e s A s i m é t r i c a s y d e f i n i d a s p o s i t i v a s a la m i n i m i z a c i ó n del f u n c i o n a l de R i t z ( v e a s e [ 59 ] Q (x) = i x T ). Ax - x T b III .5.2.4 o b t e n i e n d o s e en c a d a s o l u c i ó n v e c t o r e s x Q (x. ,) < .+1 - i t a l e s que Q (x.) . ; i i I I I .5.1 .5 C e n t r á n d o n o s y a en el m é t o d o del g r a d i e n t e c o n j u g a d o , hemos de d e f i n i r l o s e s p a c i o s X n , V e Y n , y a p l i c a r el m é t o d o p r o p u e s t o . A p a r t i r de a h o r a , y s i n p é r d i - da de g e n e r a l i d a d c o n s i d e r a r e m o s s i m é t r i c a a la m a t r i z A y a que en c a s o i t e r a t i v o una s i m p l e p r e m u l t i p l i c a c i ó n d e l s i s t e m a p o r A ^ p e r m i t i r á t r a t a r l o d e e s t a f o r m a . E l e s p a c i o X*"* de a p r o x i m a c i ó n es una v a r i e d a d l i n e a l de IR de d i m e n s i ó n t r e s , c u y o s v e c t o r e s b a s e s o n : E l v e c t o r a p r o x i m a d o en la i t e r a c i ó n a n t e r i o r x . , el v e c t o r r e s i d u o en d i c h a i t e r a c i ó n r i definido como -r r. = b - Ax. i III.5.1.6 i y un t e r c e r v e c t o r que c o r r e s p o n d e a la d i f e r e n c i a e n t r e l a s d o s ú l t i m a s a p r o x i m a c i o nes p o r u n c i e r t o e s c a l a r x que p o s t e r i o r m e n t e calcularemos V. = (x. - x. ) i-l i i-1 III.5.1.7 E n d e f i n i t i v a es p o s i b l e e x p r e s a r el v e c t o r s o l u c i ó n en la i t e r a c i ó n i + 1 c o m o x. = a i+l x . + a. X ' i i r . + a. v. i , III.5.1.8 i-1 E l e s p a c i o de p r o y e c c i ó n s e e s c o g e p r e c i s a m e n t e el f o r m a d o p o r r a o i y v , , y i-l se s u p o n e i g u a l a 1 . S e o b s e r v a en d e f i n i t i v a que e v i d e n t e m e n t e como d i j i m o s x i va v a r i a n d o en o r d e n a c o n s e g u i r la s o l u c i ó n r e a l , p e r o en el c a s o p a r t i c u l a r de e s t e mé t o d o t a m b i é n c a m b i a n l o s v e c t o r e s b a s e del e s p a c i o p r o y e c c i ó n . E s p u e s un m é t o d o no e s t a c i o n a r i o . E l h e c h o de que r i y v i - ,l s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s en c a d a i t e r a c i ó n y p o r t a n t o g e n e r a n una v a r i e d a d de d i m e n s i ó n d o s e s i n m e d i a t o , y se d e m u e s t r a , más a d e l a n t e . P o r ú l t i m o el v e c t o r b R s e e s c o g e i g u a l a b , es d e c i r que el ú l t i m o v a l o r que se c o n s i g a de x™, s i la s u c e s i ó n ( x . ) e s c o n v e r g e n t e s e r í a la s o l u c i ó n r e a l . P l a n t e e m o s p u e s el p r o b l e m a s e g ú n I I I . 5 . 1 . 3 . I g u a l a n d o l a s c o m p o n e n t e s de A x i+l v de b r e s p e c t o a r . y v . t e n d r e m o s el i i-l s i s t e m a de d o s e c u a c i o n e s A T r T v. A T A x + r i i i A , A x. + v. i-1 T i i - l 1 A T 2 T A a r + r A a v . =r. i i i . i i-l i , A A a 1 T r. + v. I I , i-l A 2 A a. i v. , i-1 U b T = v. , i-l U b y t e n i e n d o en c u e n t a 1 1 1 . 5 . 1 . 5 , y d i s p o n i é n d o l o en f o r m a m a t r i c i a l podemos e s c r i b i r r^ i A r. r^ i i A v „ r i-l = vT , A r. i-l vJ i i-l ^ Resolviendo para a v a. = T T v. i a i .5.1.9 * . T v. i-l r. i 2 se o b t i e n e : i A A v. i v 1 y i-l r i r. i i v A v. T i T , i-l T i-l A . A v r i , con .5.1.10 i-l y h a b i e n d o tomado la v a r i a b l e x de I I I . 5 . 1 . 7 el v a l o r 1 / a ] , 1-11 . A p a r t i r de l a s e x p r e - s i o n e s 1 1 1 . 5 . 1 . 6 y I 1 1 . 5 . 1 . 7 , e i n t r o d u c i e n d o el v a l o r de a. ^ que se puede d e d u c i r de I I I . 5 . 1 . 1 0 se p u e d e , f i n a l m e n t e d e m o s t r a r la o r t o g o n a l i d a d de v . T v . , i-1 r. i = 0 ( U n d e s a r r o l l o c o m p l e t o de l o a n t e r i o r puede e n c o n t r a r s e en [ 7 1 ] y r.: III.5.1.11 C o m o r e s u m e n , u n p r o c e s o de c á l c u l o d e la i t e r a c i ó n i s u p u e s t o c o n o c i d o x • i y r . es c o m o s i g u e , h a s t a la o b t e n c i ó n d e x , y r » i+1 í+1 - S e c a l c u l a el v a l o r d e g . { Se calcula v. = r . + R . i p v- v. i T i - ii „ A v- i -1l II 1.5.1.12 i-I T Se calcula a 1 = a = Vi r i v T AA i y ya se puede c a l c u l a r x x. , i+l r. „ i+1 = x . + a. i = r i , i+l y r v. i i+l v. i i - aí A I v. I t III.5.1.13 I I I .5.2.- ASPECTOS COMPUTACIQNALES La i m p l e m e n t a c i ó n d e l M é t o d o en el o r d e n a d o r p a r a la r e s o l u c i ó n d e l s i s t e m a de e c u a c i o n e s a que c o n d u c e el M é t o d o de l o s e l e m e n t o s de C o n t o r n o , c u y a s c a r a c t e - r í s t i c a s y a s e h a n a n a l i z a d o , p r e s e n t a d o s a s p e c t o s i m p o r t a n t e s que es n e c e s a r i o e s tudiar. E l p r i m e r o se r e f i e r e a la e l e c c i ó n e f e c t i v a de la s e c u e n c i a de o p e r a c i o n e s en una i t e r a c i ó n , de la c u a l h e m o s d a d o a n t e r i o r m e n t e la s e c u e n c i a b a s e . E l s e g u n d o s e = r e f i e r e a la e l e c c i ó n del v e c t o r i n i c i a l p a r a la p r i m e r a iteración. E n c u a n t o al p r i m e r a s p e c t o , h a y q u e t e n e r en c u e n t a que la s e c u e n c i a d e s a r r o l lada en I I 1 . 5 . 1 es v a l i d a p a r a el c a s o de que la m a t r i z A sea s i m é t r i c a . - Puesto- que el M . E . C . da l u g a r a m a t r i c e s no s i m é t r i c a s , una p r i m e r a p o s i b i l i d a d s e r í a p r e m u l t i p l i c a r el s i s t e m a A x AT donde A.x = A A = b por A . b T III.5.2.1 s e r í a s i m é t r i c a y s u p u e s t a d e f i n i d a p o s i t i v a . Una v e z r e a l i z a d a e s t a t r a n s f o r m a c i ó n p o d r í a m o s a p l i c a r la s e c u e n c i a a n t e r i o r m e n t e d e s a r r o l l a d a . A h o r a b i e n , el p r o d u c t o A - s o b r e t o d o c u a n d o el p r o b l e m a sea de g r a n d e s d í m e n s i o n e s = puede r e s u l t a r muy l a b o r i o s o , p o r l o q u e v a m o s a i n t e n t a r i n t r o d u c i r e s t e p r o d u c t o d e n t r o de la s e c u e n c i a de o p e r a c i o n e s de c a d a i t e r a c i ó n . A n t e s de p l a n t e a r e s t a o p c i ó n , p o d e m o s r e f l e x i o n a r s o b r e la s e c u e n c i a p l a n t e a d a en I I I . 5 . 1 . 1 2 p u e s t o q u e no r e s u l t a s e r la más i d ó n e a p a r a a p l i c a r el c á l c u l o = n u m é r i c o . E n e f e c t o , puede v e r s e que en c a d a i t e r a c i ó n se r e a l i z a n d o s p r o d u c t o s de matriz por v e c t o r : A . v. y A . r . . P a r a r e d u c i r estas operaciones hacemos: T v , A V i • v , T i-1 r ¡-1 = — a ¡-l S u s t i t u y e n d o en & .: i a. , v. , i-l i-l T v r i-1 A r. A i . A v . . t-1 = r. i r i-l se tiene p a r a 0 . i r. i 3. = ' (r. - r. ,) i i-l T V i V i Puede d e m o s t r a r s e que r v T i r. T r ¡-1 con lo c u a l , , = 0 i-1 B i-l i = r queda: T i-1 , i-l v i-1 como -a . , i-l a. r i-1 i-1 A v. , r. A i i-l T r i-1 T r. i 1 = r. i " T r ¡-i V i P o r tanto la s e c u e n c i a a h o r a queda en la f o r m a . = T r r. _ i_ _ i _ _ r ¡-i v . = r. + i i r a ¡ r 3 . v. i i-l T r. i i v ¡-i ... II.5.2.2 Av. i i x. , = x. + a v i+1 i i i r. = r. i+1 i a . i A v . i E n este s e c u e n c i a se o b s e r v a que s ó l o se efectúa en cada i t e r a c i ó n el p r o d u c to de una m a t r i z p o r un v e c t o r : A v . S i a h o r a en la I I I . 5 . 2 . 2 , p a r a el c a s o de A no i s i m é t r i c a , s u s t i t u i m o s A p o r E con: E = A A la s e c u e n c i a de o p e r a c i o n e s queda en la f o r m a : I I 1 . 5 . 2«. 3 T r. i 3 . = ' r i T T V i V i v. = r . + & . i i i v. , i-1 T a . = _J | | | .5.2.4 T T v . AA ' AA i x. , i+1 v i = x. + o . v . i i i r. „ i+l = r. - a . i i A v. i Con esta s e c u e n c i a no es p r e c i s o h a c e r ninguna o p e r a c i ó n p r e v i a y en cada i t e r a c i ó n s e r á p r e c i s o h a c e r dos p r o d u c t o s de m a t r i z p o r v e c t o r . A v . i y AT (A v . ) i P o r tanto la s e c u e n c i a I I I . 5 . 2 . 4 s e r á más e f i c i e n t e que la I I I . 5 . 2 . 2 , haciejr do p r e v i a m e n t e la t r a n s f o r m a c i ó n I I I . 5 . 2 . 3 , s i e m p r e que el n ú m e r o de i t e r a c i o n e s seamenor que el tamaño del sistema de e c u a c i o n e s . Se ha e l e g i d o la s e c u e n c i a - I I I . 5 . 2 . 4 y en la j u s t i f i c a c i ó n de esta d e c i s i ó n podemos h a c e r las s i g u i e n t e s conside_ r a c i o n e s . E l método del g r a d i e n t e c o n j u g a d o c o n v e r g e t e ó r i c a m e n t e p a r a el número de i t e r a c i o n e s menor que el número de e c u a c i o n e s . S ó l o los e r r o r e s n u m é r i c o s p u e den h a c e r que el número de i t e r a c i o n e s p r e c i s o p a r a a l c a n z a r la s o l u c i ó n f i n a l sea mayor que el número de e c u a c i o n e s . - - E l método del g r a d i e n t e conjugado es f a v o r a b l e en número de o p e r a c i o n e s f r e n t e a los métodos de e l i m i n a c i ó n , cuando el número de i t e r a c i o n e s n e c e s a r i a s es menor que n / 3 (n = número de e c u a c i o n e s ) p o r t a n t o la d e c i s i ó n a n t e r i o r es congruen_ te con la e l e c c i ó n del método. - Con el empleo de memoria a u x i l i a r (lo que es n e c e s a r i o p a r a g r a n d e s s i s t e mas de e c u a c i o n e s p a r a los que está pensado el p r o g r a m a ) el método del g r a d i e n t e - conjugado r e s u l t a más s i s t e m á t i c o en los a c c e s o s a d i c h a memoria lo que puede h a c e r lo aún más f a v o r a b l e f r e n t e a los métodos de e l i m i n a c i ó n . - La o t r a o p c i ó n de r e a l i z a r el p r o d u c t o A*'* A tiene i n c o n v e n i e n t e s o p e r a t i v o s ya que s e r í a p r e c i s o d i s p o n e r de almacenamiento a u x i l i a r p a r a e f e c t u a r el p r o d u c t o . - E n cuanto al segundo a s p e c t o de la i m p l e m e n t a c i ó n a que antes nos r e f e r í a m o s la e l e c c i ó n del v e c t o r i n i c i a l , es evidente que r e s u l t a de c a p i t a l i m p o r t a n c i a p a r a c o n s e g u i r una m a y o r c o n v e r g e n c i a del a l g o r i t m o . D i f e r e n t e s o p c i o n e s , que pasamos a d i s c u t i r a c o n t i n u a c i ó n , pueden p l a n t e a r s e . i i - E l e c c i ó n del v e c t o r nulo como v e c t o r i n i c i a l . | Las v e n t a j a s de esta e l e c c i ó n son e v i d e n t e s : s e n c i l l e z de e l a b o r a c i ó n y e v i t a c i ó n de r e a l i z a r la p r i m e r a i t e r a c i ó n . Los i n c o n v e n i e n t e s se c e n t r a n en que el número de i t e r a c i o n e s que se a h o r r a p o r la a p r o x i m a c i ó n del v e c t o r u t i l i z a d o a l r e a l es í m p r e visible. # - E l e c c i ó n del v e c t o r r e s u l t a n t e de d i v i d i r los t é r m i n o s independientes e n t r e = los elementos de la diagonal p r i n c i p a l como v e c t o r i n i c i a l . La p r i n c i p a l v e n t a j a de este sistema es que p r o d u c e un a h o r r o de un 4 a un 5% en el número de i t e r a c i o n e s . A s i m i s m o la o b t e n c i ó n d e l v e c t o r es muy d i r e c t a , p e r o - s i n embargo cuando no se t r a b a j a en memoria p r i n c i p a l (y éste es el c a s o ) , la a c c e s i b i l i d a d de los v a l o r e s de la diagonal p r i n c i p a l , puede r e s u l t a r muy c o m p l i c a d a . P o r las e s p e c i a l e s c a r a c t e r í s t i c a s de la o b t e n c i ó n de la m a t r i z del sistema en el Método - de los E l e m e n t o s de C o n t o r n o r e s u l t a s i n embargo inmediata la o b t e n c i ó n de estos - v a l o r e s al f i n a l del p r o c e s o de montaje p o r lo que este sistema no p r e s e n t a s e r i o s i n c o n v e n i e n t e s , si b i e n puesto que la m a t r i z no es monodiagonalmente d o m i n a n t e , la - a p r o x i m a c i ó n que se c o n s i g u e no es muy b u e n a . * - P r e c i s a m e n t e p a r a o b v i a r esta l i m i t a c i ó n se ha c o n s i d e r a d o una t e r c e r a p o s i b i l i d a d que es la de t o m a r como v e c t o r i n i c i a l , la s o l u c i ó n de un sistema de e c u a c i o nes r e d u c i d o f o r m a d o p o r c a j a s solapadas según se i n d i c a en la F i g . I I I . 5 . 2 . 1 , incl_u yendose en d i c h o sistema las s u b d i a g o n a l e s que c o n d i c i o n a n la dominancia en la ma triz. Fig. I l I . 5 . 2 . 1 - Con este método puede l l e g a r s e a a h o r r a r hasta un 8% de i t e r a c i o n e s , p e r o puede v e r s e ampliamente r e d u c i d a esta v e n t a j a p o r la p é r d i d a de tiempo en la búsque_ da i n i c i a l de los datos del s i s t e m a de e c u a c i o n e s r e d u c i d o en el almacenamiento auxj_ liar. | V.1.- INTRODUCCION El a n á l i s i s t e n s i o n a l de c u e r p o s a x i s i m é t r i c o s sometidos a c a r g a s y d e s p l a zamientos en el c o n t o r n o , es de o b v i o i n t e r é s en muchas a p l i c a c i o n e s i n d u s t r i a l e s . El e s t u d i o de d e p ó s i t o s , v a s i j a s de todo t i p o , y más r e c i e n t e m e n t e de v a s i j a s de - r e a c t o r e s n u c l e a r e s , que en muchos c a s o s toman la f o r m a a x i s i m é t r i c a , ha hecho de la r e s o l u c i ó n de este c a s o algo f r e c u e n t e en el c a l c u l o de e s t r u c t u r a s en los ú l t i m o s años. » * Es b i e n c o n o c i d o , que el t r a t a m i e n t o a x i s i m é t r i c o de p r o b l e m a s , p e r m i t e r e d u c i r en un g r a d o la d i m e n s i ó n del p r o b l e m a , así en elementos f i n i t o s la r e s o l u c i ó n de un c a s o t r i d i m e n s i o n a l a x i s i m é t r i c o podría h a c e r s e empleando solo una malla bicU m e n s i o n a l . En el método de los elementos de c o n t o r n o s e r í a pues n e c e s a r i a tan solo= una malla m o n o d i m e n s i o n a l , p a r a la r e s o l u c i ó n del mismo p r o b l e m a , c o n la m i n i m i z a c i ó n de c o s t o que e l l o s u p o n e . S u r g e p u e s , la p o s i b i l i d a d de la c o n s i d e r a c i ó n de la s i m e t r í a a x i a l en el m é todo p r o p u e s t o , p a r a su r e s o l u c i ó n n u m é r i c a debido a las v e n t a j a s , ya a d u c i d a s que= p r e s e n t a f r e n t e a los d e m á s . I V.2.- FORMULACION Como en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , ya e s t u d i a d o , p a r a r e a l i z a r la f o r m u l a c i ó n del método p a r a c u e r p o s de s i m e t r í a axial, es p r e c i s o p a r t i r de la i d e n t i d a d de SorrW g l i a n a I I . 1 .1 p a r a la d e f i n i c i ó n de m o v i m i e n t o s , y de la e c u a c i ó n I 1.3.8 p a r a la defr n i c i ó n de las t e n s i o n e s . L a d i f e r e n c i a lógicamente c o n s i s t e en la d i f e r e n t e s o l u c i ó n fundamental a u t i l i z a r , s o l u c i o n e s que se c a l c u l a r o n en I . 7 . O t r a d i f e r e n c i a , con el c a s o a n t e r i o r , e s t r i b a , en el hecho de que no es p o s i ' ble c o n s e g u i r unas d e f i n i c i o n e s s i m p l e s de los t e n s o r e s c a r a c t e r í s t i c o s en f o r m a - t e n s o r i a l , siendo n e c e s a r i o el e m p l e a r una n o t a c i ó n d e s a r r o l l a d a que c o m p l i c a el ma n e j o , y s o b r e todo la p r e s e n t a c i ó n de los r e s u l t a d o s . La u t i l i z a c i ó n p r o f u s a de las f u n c i o n e s de L e g e n d r e que e n t r a n a f o r m a r p a r te de la f o r m u l a c i ó n hace n e c e s a r i o el e s t a b l e c e r un b r e v e r e c o r d a t o r i o de las - p r i n c i p a l e s p r o p i e d a d e s de e s t a s f u n c i o n e s , o al menos las que más i n t e r e s a n en el d e s a r r o l l o . E s t e r e s u m e n se p r e s e n t a en el A p e n d i c e I I . P a r a t e r m i n a r d i r e m o s que el hecho de u t i l i z a r una g r a n c a n t i d a d de d e r i v a das i n t e r m e d i a s p a r a el c á l c u l o de los t e n s o r e s hace que^por mor de la c l a r i d a d e s tas sé p r e s e n t e n en a p é n d i c e s s u c e s i v o s . « I V . 2 . 1 . - M O V I M I E N T O S EN PUNTOS INTERNOS Ya se ha i n d i c a d o que la e c u a c i ó n que d e f i n e los movimientos es la ecuación: ó i d e n t i d a d de S o m i g l i a n a , que r e p e t i r e m o s p o r c o m o d i d a d . 6 U = ki i u: ds + U , X dfi U , t ds - T ik i y ik i y ik i y 5a a 6a IV.2.1.1 En este c a s o , s i n e m b a r g o , no se ha c a l c u l a d o ninguno de los t e n s o r e s fund_a mentales que a p a r e c e n en e l l a , ya que en I.7 s ó l o se dedujo el t e n s o r de G a l e r k i n , m i e n t r a s que los t e n s o r e s U ik - , y T . a p a r e c e n como c o n s e c u e n c i a de la a p l i c a c i ó n ik de o p e r a d o r e s e l á s t i c o s d i f e r e n c i a l e s a este v e c t o r . R e c o r d a n d o que, según la d i r e c c i ó n k en la que se a p l i c a b a la c a r g a pun - t u a l , el v e c t o r de G a l e r k i n tenía una e x p r e s i ó n d i s t i n t a , podemos e s c r i b i r r \ X 0 r k = r k = z x= < I V.2.1.2 x = 0 £ E s p o s i b l e a g r u p a r estos dos v a l o r e s en un s ó l o t e n s o r x , donde " k " de - nuevo r e p r e s e n t a la d i r e c c i ó n de la c a r g a p u n t u a l , e " i " cada una de las componen - tes del v e c t o r . De esta f o r m a X x .. ik X rr 0 rz I V.2.1.3 = zr Las e x p r e s i o n e s de X r = 1 2 _ 87T G Rr x y X se o b t u v i e r o n en I .7 1 Q,1 2 (y) , en la f o r m a IV.2.1.4 X 1 = 8 ir Z donde Q 1 ^ y Q 2 Rr | / Y 2 - 1 V G \ ^ [ T ~ = Q i , (Y) IV.2.1.4 s o n f u n c i o n e s de L e g e n d r e de segunda e s p e c i e , G es el m ' o d u l o - de r i g i d e z , R es la d i s t a n c i a del e j e de s i m e t r í a al a n i l l o x donde se e n c u e n t r a la - c a r g a c o n c e n t r a d a , r es la misma d i s t a n c i a p e r o r e s p e c t o al a n i l l o de campo y , y - p o r ú l t i m o y es la v a r i a b l e de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e , que en e s t e c a s o t i e n e la - expresión J Z z j á Z j i d I V.2.1.5 2 Rr donde Z , y z t i e n e n el m i s m o s i g n i f i c a d o que R y r en lo que se r e f i e r e a la c o o r d e n a d a z (vease Fig.IV.2.7.1). E n la m a y o r í a de l a s o c a s i o n e s , s ' i n e m b a r g o , se p r e f i e r e u t i l i z a r l a s f u n c i O ' nes de L e g e n d r e de o r d e n c e r o , en v e z de l a s de o r d e n - 1 . U t i l i z a n d o la e x p r e s i ó n = ( A 2 . 2 ) del a p ' e n d i c e es p o s i b l e p a s a r de u n a s a o t r a s quedando en d e f i n i t v a . R r l = X 8ir P G 1 2 X 2 _ 1 [ * V " 8 TT G R r \ A 3 2 - 1 _ 1 2 ( Y -1) [ - 4 — (y Q, - Q 1 ,) ] ^ ( Q , - Y Q , ) 1 2 ( Y -1) v y operando = x r 112 ir Rr G ( Y Q, - Q 2 ±) " 2 I V.2.1.6 X = Z Rr 1 12* (Q ± G -yQ±) 2 - 2 IV.2.1.6 E l t e n s o r de G a l e r k i n c o r r e s p o n d e p r e c i s a m e n t e a la s o l u c i ó n del p r o b l e m a = de K e l v i n en c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Los m o v i m i e n t o s de ese mismo p r o b l e m a c o r r e s ponden p r e c i s a m e n t e al t e n s o r U , , p o r lo que s e r á n e c e s a r i o o b t e n e r e s t o s e n fun ik c i ó n de a q u é l . Las e x p r e s i o n e s de los m o v i m i e n t o s en f u n c i ó n del t e n s o r de G a l e r k i n v i e n e n d e f i n i d a s en el apéndice 1 (A 1.10), en f o r m a t e n s o r i a l . D e s a r r o l l a n d o l a s en c o o r d e nadas p o l a r e s , se puede o b t e n e r : 2 (1 - v) U rr =(1 - 2 v )(V 2 1 - - — ) 2 r * 1 6 x 32 X 2 (1 - v ) U = - ( + V z 2 (1 - v ) U . V a 2 r Er 3 z I V . 2 . 1 .7» 3%. Z rz 3r 3z 2 2 (1 - v ) U r 3 2 + zz = v 2 x 2 + S i a h o r a r e c o r d a m o s el v a l o r d e > X r 3X 2 _ 2 v + - i r -.-z- a° r „ en p o l a r e s , p a r a el c a s o a x i s i m e t r i c o y c a l c u l a m o s l a s d e r i v a d a s p r i m e r a s y s e g u n d a s del v e c t o r de G a l e r k i n que v i e n e n d e f i n i d a s en l a s e c u a c i o n e s A l 1 . 2 a A l 1.3 del A p é n d i c e | |, se pueden o b t e n e r l a s e x p r e s i o n e s f i n a l e s p a r a l o s e l e m e n t o s del t e n s o r U 1 U rr r r U Z = (3 z U " 4 V) Q< * + \2 dQ R r ) - r - ~ R ^ 2 ± - T - P Q, - ( Y 16 iT G (1 - v ) p \ / R 7 Z r . ik (y 2~1 16 7T G (1 - v ) ^ R r = - 3 ] I V.2.1.8 U p7 d Q \ f " " " F^ 16 ir G (1 - v) r\ÍRr = PZ ^ Q ii ^ + (Y - ---) R d i 2 U zz = L ] Y dQ_l [ (3 - 4 y ) Q , - — — 16 i? G (1 - v ) \ Í R p ] Rr 2 d y E l c á l c u l o del t e n s o r T , r e q u i e r e la a p l i c a c i ó n de l o s o p e r a d o r e s e l á s t i c o s = \k al t e n s o r de m o v i m i e n t o s U ik , a n t e r i o r m e n t e c a l c u l a d o , tal como se h i z o en el c a s o - t r i d i m e n s i o n a l . S i n e m b a r g o , la e x p r e s i ó n v a r i a de la dada en I I . 2 . 3 ya que h a y que d e f i n i r l o en c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s . E x p r e s á n d o l o en e s t a f o r m a se t i e n e , - que- el t e n s o r t e n s i ó n en un p u n t o del i n t e r i o r del d o m i n i o como c o n s e c u e n c i a de una c a r ga p u n t u a l en el e s p a c i o i n f i n i t o y en c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s s e r í a : Z Z rrr zrr = - v r 2G [ - — 1-2v = i rzr ^ / = G ( 3U rr v —— + ----1-2v 3r 3U . 3z rr 3 U + , , 1 ( r 3 U U rr + R zr. , ) ] 3 z • IV.2.1.9 zr . 3 r x ) r Z = 2G L z z r z 66p I 8rr Z rrz I - 3U v ,1 -02 v Z = Z r©r r = 2G [ ^^ r 1 - v = 2G [ 1-2 v zrz = G + + zz 3 z Z r 6z = Z 9 zz r = Z rr rr —) 3 r + ] 3U 3 r 3 z =0 v 1-2 v , 1 , ( 3U zz , n + — ) ] 3 U P rZ IV.2.1.9 3 r v + 1-2 v U rZ V - 2G [ + ( 9Qz ~ ~ T - 2 v ~~r + " 1 - 2 " Z = 6rz U 3U —-Z-Z-) 3 z 3U 3U 3U z©r r<z 3 U (—-r-z- Z Z Z 3r = ..1 -_2 v ( 1-2v 3U v , . v + 0 zr z rzz ZZZ rr r 1-2 z + U 1-2v = v 3z i I- v __ r = 2G [ zr z6z , , 1 ( r 3 U U + 3 r rZ 3U rZ 3 r rz ) ]: 3U + + ZZ ) ] 3z =0 y p o r t a n t o , p a r a el t e n s o r T se t i e n e n a p l i c a n d o la e c u a c i ó n Al.2de i e q u i I i b r i c en el = ik contorno, las siguientes expresiones T rr = Z rrr n r +Z rzr n z I V.2.1.10 T zr = Z rzr n r + Z zzr n z e r T rz = 0 = Z rrz n r + z rzz n z IV.2.1.10 T T zz ez = z rzz n r + z zzz n z =0 Las d e r i v a d a s de los m o v i m i e n t o s n e c e s a r i a s p a r a el c á l c u l o de las t e n s i o n e s a n t e r i o r e s v i e n e n d e f i n i d a s en el c u a r t o a p a r t a d o del apéndice | | , siendo p r e f e r í - b l e , debido a la c o m p l i c a c i ó n o p e r a t i v a que p r e s e n t a el c á l c u l o de los t e n s o r e s , el - d e j a r l o s en f u n c i ó n de d i c h a s d e r i v a d a s , y no s e g u i r d e s a r r o l l a n d o . Podemos p l a n t e a r n o s a h o r a la p r e g u n t a d e , si al igual que o c u r r í a en el caso t r i d i m e n s i o n a l , las i n t e g r a l e s de volumen son s i n g u l a r e s . La r e s p u e s t a es a f i r m a t i v a D e b i d o a la n a t u r a l e z a de la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l , e x i s t e también una s i n g u l a r i d a d i n t r í n s e c a en el a n i l l o de a p l i c a c i ó n de las c a r g a s R , Z. E f e c t i v a m e n t e , en el punto x, es d e c i r ( r , z) = ( R , Z ) , y r e c o r d a n d o el v a l o r Y d e f i n i d o en I V.2.1 . 5 , se t i e n e que y = 1 , v a l o r p a r a el cual las f u n c i o n e s de L e - g e n d r e de segunda e s p e c i e son s i n g u l a r e s . E s n e c e s a r i o p u e s , el e x t e n d e r la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a a un d o m i n i o íí como en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , entendiendo las i n t e g r a l e s de volumen de la e c u a G , - c i ó n I V . 2 . 1 . 1 en el senticbdel v a l o r p r i n c i p a l de C a u c h y , p a r a lo cual es n e c e s a r i o d e m o s t r a r que e s t a s e x i s t e n . E s t a d e m o s t r a c i ó n es s i m p l e s i c o n s i d e r a m o s l a s a p r o x i m a c i o n e s de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e c u a n d o "Y t i e n d e a u n o . L a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e de segunda e s p e c i e ( v e a s e E r d e r l y i , [ 4 6 ] ) toman para y — 1 ^ una e x p r e s i ó n a s i n t ó t i c a l o g a r í t m i c a , en la f o r m a - ( i i \ ln ( Y"1) — 3 2 " IV.2.1.11 Q, 2 (Y) (Y_-1_) 1 o VY - 2 ll n 2 32 C o n l o que l a s d e r i v a d a s en ese p u n t o s e r á n dQt dy dQ , 1 dy I V.2.1.12 2( Y - 1 ) S u s t i t u y e n d o e s t a s e x p r e s i o n e s en el v a l o r de U ik es p o s i b l e d e d u c i r el o r - den de s i n g u l a r i d a d b u s c a d o . O b s e r v a n d o la ( F i g I V 2 . 1 . 1 ) y r e c o r d a n d o la e x p r e s i ó n de Y , se t i e n e R r » Fig.l V.2.1.1 Y - 1 2 2 = = 2R r 2 __P„ 2Rr In ( y - 1) = 2 In — = O (In p) 2Rr P o r o t r o lado d fi = 2 f r p d 6 dp es d e c i r d fi es O ( p ) , y p o r u l t i m o U es y y ik f u n c i ó n d i r e c t a de las f u n c i o n e s de L e g e n d r e , que son O (In ( y - 1)), con lo que U ik lo s e r á t a m b i é n , o lo que es igual O (In p ) . Con e l l o la s i n g u l a r i d a d de la i n t e g r a l de volumen de nuevo es del t i p o d é b i l , e x i s t i e n d o en el s e n t i d o de C a u c h y . ü, X.díl = X lim ik i y i * e—0 I im E— 0 B e (x) U , d fi = 0 ik y B e IV. 2.1.13 (x) E n c o n s e c u e n c i a , y al igual que o c u r r í a en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , los v a l o r e s p r i n c i p a l e s de Cauchy de las i n t e g r a l e s de volumen e x i s t e n , p o r lo que haciendo de nuevo el c a m b i o , la e c u a c i ó n fundamental de m o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s que da de nuevo i d é n t i c a a laIV.2.1.1 IV.2.1.8 habiéndose d e f i n i d o las e x p r e s i o n e s de U , , T., en ik ik y IV.2.1-10 . La d e m o s t r a c i ó n de que las i n t e g r a l e s T 3B ik u ds , i y (x) son n u l a s , donde a h o r a B U , t. ds ik i y 3B e (x) (x) es la s u p e r f i c i e de un t o r o de r a d i o de la s e c c i ó n e y - c^>curlfier4enc.¡ia c e n t r a l en el a n i l l o R Z , es análoga al c a s o t r i d i m e n s i o n a l y se c a l c u la en IV. 2 . 3 . I V . 2 . 2 . - T E N S I O N E S EN P U N T O S INTERNOS La e x p r e s i ó n de la d e r i v a d a de los m o v i m i e n t o s de un punto i n t e r n o despues de a p l i c a r el concepto de M i k h l i n de d e r i v a d a s de i n t e g r a l e s s i n g u l a r e s v e n i a definí da en | | . 3 . 4 y e r a la s i g u i e n t e 6 . . u.; = ki i m T U , ; t ds ik m i y 6a X (x) i l a r i d a d , y la U X . d n ik m i y 6 S2 U lim e-*0 óB donde de nuevo el ; u ds + ik m i y ik p, m ds I V.2.2.1 y (x) r e p r e s e n t a d e r i v a d a r e s p e c t o al p j n t o donde se c e n t r a la singu r e s p e c t o al punto de c a m p o . Es n e c e s a r i o pues en p r i n c i p i o c a l c u l a r esta ú l t i m a i n t e g r a l , que hay que - a ñ a d i r a la o t r a i n t e g r a l de v o l u m e n , i n t e g r a l que como s i e m p r e hay que e n t e n d e r en el s e n t i d o de C a u c h y . E s t a i n t e g r a l es f á c i l m e n t e c a l c u l a b l e , ya que U se i n d i c ó , p , m es de o r d e n O (1) y ds y ik es de o r d e n O (In p) como = 2i\r p de es de o r d e n O ( p ) , con lo q u e , de n u e v o , el r e s u l t a d o de la i n t e g r a l , es nulo s i e m p r e , como es este c a s o , que X . y U IK sean c o n t i n u a s , y acotadas en fi. U , p, ds = 0 ik m y I im e - * 0 6B e (x) - • V.2.2.2 S i a h o r a se a p l i c a el o p e r a d o r e l á s t i c o C e en c i l i n d r i c a s a la e c u a c i ó n de - m o v i m i e n t o s i n t e r n o s I V . 2 . 1 . 1 se v u e l v e a o b t e n e r la e x p r e s i ó n I I . 3 . 8 que e s c r i t a = de nuevo queda U D (x) = t ijk k ds y 5 - 6a u ijk k ds y D... X + ijk k D N IV.2.2.3 y 6 Si donde los d i s t i n t o s t e n s o r e s t i e n e n e x p r e s i o n e s a n á l o g a s al c a s o t r i d i m e n s i o n a l p e r o en c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s , a s í a p l i c a n d o el o p e r a d o r C ne el t e n s o r D ijk , — 1(- 2 -v LR U 3U D rzr = D QQ p D 9 rr D rrz D = + 1-2 r er = 2G se o b t i e - = D e zr 1 v, r 1- v L = D 3 Z r Z + — — (-1- U 1-2 v R rr + — v J + v 3U (—-r-r- + 3U —-r-r-) 3 R ] J 3U ] + 3R Z 3 =0 z er 3 R 3Z — V 1-2 U rz — 3U = G < — F - D Z3 U r - —- -a Z-) ] r +r 3 R R v 1-2 v = r Z Z U 2G [ - 1 - - - - — r - r - = D ik 3 U = G (-—7zrr 3 Z 3U D = 2G [ - - - - - - — Z - r L zzr 1-2 v 3Z D al t e n s o r U , que d e s a r r o l l a d o queda 3U = 2G [ - 1 = - V - S T rrr 1-2 v 3 R + D e v + , 1-2 v 3U - 2 - ) 3 R , 1 (-1- U R 8 rz + U zz i ---) J 3z IV.2.2.4 D = ZZZ D 3U 2G C - - - - - - — - Z - Z 1-2 v 3Z U _J2. = 2G [ 1-2 v Z D 0rz = D rOz = D 9zz (J- U r Z R 3U — + R = — V — 1-2 v + ( + 1-2 v + 3U —-r-Z-) 3 R 3 U ____ 2 3.) 3 R 3 Z ] ] iv.2.2.4 =0 z6z Las d e r i v a d a s a n t e r i o r e s de los m o v i m i e n t o s r e s p e c t o a R y Z v i e n e n definidas en el a p é n d i c e En c u a n t o al t e n s o r S se d e r i v a r á - a p a r t i r de un t e n s o r a d i c i o n a l Z , ijk ijkl que se c o n s i g u e a p l i c a n d o el o p e r a d o r e l á s t i c o al t e n s o r Z , d e f i n i d o en I V . 2 . 1 . 3 , ¡Jk c o n lo que se t e n d r á . Z rrrr ^^ r = 2G [ 1- v 3 Z 1 -2v rrr + 3 R Z Z rzrr zzrr 68rr - Z G ( zrrr __ r = 2G [ 1- v 0_ r = 2G [ 1- v „ „ 1-2v r r r _ 3 Z 1-2 v _ 3 R rrz v + 3 Z Z rrr „ R ( 3 Z Z R + rrr 3 rrrx , J ) Z i 3 Z r r P 3 2 . 1 1-2 v 3 Z Z , v ) , 1 ( 1-2 v + R 3 Z v ( , „ 1-2 v Z rrz + + „ 3 R IV.2.2.5 Z R 3 Z rrr r r r ¡ . -¡ ) J 3 2 3 rrz Z )J » 3 Z r rrzr = r rrrz , - 2G [ - 1 = - - - — - - r v g R z r + - - - - - (-L v R 3 Z z rzr + — T S ) 3 Z I 3 z Z z rzrz zzrz Z eerz = Z = = =Z zrrz zrzr 1 z v = 2G [ - l l - zzzr Z = Z = G ( rzzr z rrzz rzzz Z = 2G [ - — - - = z zrzz r zzzz Z + 1-2 v „ „ 1-2 v = 2G [ _ / = G ( 1-v , _ 1 -2 v r 1- V = 2G [ mee . „ 1 -2 v ^ , Z = Z = G ( zree rzee ^ - 2G zzee Z eeee = 2G [ --1-2 r 3Z 3Z 1-v 1-2 v + zzr Z + + ---) 1 + zzrNl )] _ 3 R + 3 Z zzz. 3 Z z eeer 3 Z 60 z. -) + , ] 3 Z eez, ) _ 3 R - Z 1-2 eer v 3R J Z 3 Z 3R v 3 Z zzr ZZr „ , 1 ( , „ 1-2 v R + 3 3 Z Z 3Z eer + _ 3R 3 3 - IV.z.2.5 ( V 3Z -- - - - - - + V 3 Z + zzz. ) ^ 3 R 1-2 v _ 3Z 3 R ;V. R eer ] 3 Z R , zzz v , 1 + ( _ , „ „ 3Z 1 -2 v R 1-2 v Z R 3Z ZZr rzr + 3 Z zzr + _ 3 Z Z _ 2G , (-1- Z 1-2 v 3Z z 3Z — v — ( — ™ , 1-2 v 3 R + - 3 R 3 2 — ( - 1 - + 3Z , Z = 2G [ - 1 : - - - — eezr , „ 1-2 v R 3 R , z z 3Z Z ---) 3Z - — ^ „ „ 1-2 v ai --- + V 1-2 v (-1_ R , ( Z 3Z eer _ 3 R eerz + 3 Z + 3 3 Z ----) „ 3 R ee z , J „ Z ] y el r e s t o de términos n u l o s . S u s t i t u y e n d o las e x p r e s i o n e s del t e n s o r , dadas en ( I V . 2 . 1 . 9 ) en fun ¡jk c i ó n del t e n s o r U y o p e r a n d o , es p o s i b l e l l e g a r a las e x p r e s i o n e s s i g u i e n t e s ; d o n de 2 . . a p a r e c e en f u n c i ó n del t e n s o r U y sus d e r i v a d a s , ijkl ik 4_G r r r r " 3 ?U _____11 0 (1-v) 3U 3 + 3U -U rZ ]+ v [ , Z r 3 r 3Z 32U _—Z-Z- 11 32U zr + 3 R U + r r R + , ( 1 - v) [ + 3r3R (l-7v72_ , 2 3 U rZ 3 r 3z3R 9U + R + + rZ 3¿ r + 3 Z ] 3 z 3Z 2 : rzrr = z 2G zrrr 1-2 v 3U 'rr ) + z z r r = + 3 r 3R ] 3U + (1-v) 3 r3 Z + 1 R 3 R 3z 3 R (1-V) 2 r 3r3R 32U 7l-7v72 3 U irr ZZ + 3z 3Z 4G 3U [ _l_(___r_z_ H h 2 3 U ZP + 3 U rr [- 3 r 3Z 2 3 U 3 Z = f(l-v) IV.2.2.6 2 3 U 3 U 3 r r r •, 2r J + v L [r 1 Rr rz 3Z .. U ^ + 32U zz 3z 3 Z 1 3 U zr R 3Z + 4G GGnr = : X ( 1 - 2 v) 32U + rrrz rr o , P l rr > 32U + 3r3 R Z 2 1 r J (y ^ R _ . 1 j 3r3Z rrzr 3U + 3U ^ 3 r ^ 3U 3R + aZ rz 3U rr + rr zz. ¿.z.^ 1 ^ ,, Rr 3 2U rr + 3 z3 R r + zr ^ R 3U 1 zr^ 3U 1 zr 3U + 3 z ^ 3 z xr 3 R 3 1-2 v zr^ 3 U r 2G = Z + 3r rz ^ „ 3 z 32U rz 3Z 3 r 3z 3 Z 3U rr _1__ ^ R zz ^ + 3 z j 3 r IV.2.2.6 Z rzrz = Z + zrrz = Z 3U __9__ ( _ • : Z _ 3R Z zzrz = Z + = Z zrzr 3 U — Í Í ) + 3 z 3 zzzr 3U zr^ 3 r 1-2 v 3R _ 3 Z , ( 3 U rr 3 U + 3 z zir ) + 3 r ] 3 / ( 3Z ^ + [ 3 r /\ ( 1 - v) _2G_ = G rzzr r 3 U rr+ 3 z 3 U zr^ 3r 3U rz 3 z j + 3U zz 3 r r ) + vi , 1 R . ( 3U 3 rr z + IV.2 Z ee r z = z + 2G 06zr v (1 3 U rr -v) [ _ - 1 -2 v j- ^ SU jrf 3R 3 z 3 Uz zr^ + 3 z r r Z Z ( 1 - 2 v) 2 + ^ z r -, 1 _ I R ] _J. 3r R 3U zr 3 Z J 3z 3 R 2 3 U _ 3 r 3R 3z3 Z y + r r Rr J , > __ii) ] ^ 3 nr J 9 U z r + 3R 3U R + 3U _!.JIr r , ,£5|+v2[ rr+ _ + 3z ci_v)[ + ^ 2 3JU 3 + 3 r |(i_v)2 2 3U + R 3r 3 z 3U rr ^ 1 r rz + 3Z 2 IV.2.2.6 aU £5 + + ] 3r 3 Z z rzzz = z + zrzz 3 Ur Z __2<L_ = 2! ) + [ (1-2v ) 32U 3U i i ] + v [ J__ ( _ £ T + 2 Ur Z 3z 3 R 2 a Uz r j 3 r3Z 3 zaR ] 3 Z 3r 3 R 32U 1 v d - v) [ ( r r 2 + r + ] 3 Z 3Z 2 3 r ZR 3 + 2 a U rz 3 2U 1 3 ÜP r (1_v) 32U £T 3 z3 Z 3r3Z 4G + (1_ v) 1-2 v i 3 R ZZZZ f + ^2|- 1 ^ Rr + r r 1 R 3 U." , rz 1 -'-%-- 3 Z R 3 U zn 3 z 3U _r_r + _1 3 r 3 U rr r 3 R ) .+ 2 á r f Z _v) ( 1 ( 1 - 2 v) 66ZZ a 2 2 3U -l-—_- 1 R 3 U Z- + - - Z - ] 3 z3 R 3 z 3Z + „ r (1 - 2 v ) ' zz T °,2 r 1 — 1+v L—R z Z [ + 4G^ + + r (11-2 v ) 2 + 3U P 3 Z r z ]+ 0 [ 3P3R + rz ] 3 r3 Z ^ + 2 ü IV.2.2.6 32U z r 3 zaR 3 z 3Z 2 R 3 z + 3U 3r . - Rr 2 3 U zr 3r 3R rr + íU p rr zz 3 U 3U zr ^ rr , 1 3 r r r + 3 rz 3 r 3Z 3U rr 32U 32U rz H Rr ] 32U O u , /. \2 • rr , v r 1 ( 1 - v; + v (1 —v ) L Rr R , i + 3z 3 R 3z3R 3 Z rr i 2 r 1 J + v l— R 3 R U.. . ^ 3R ! Z + V d_ v)[ 1 32Uz r 2 rz 3 U r 3 UZ Z 3 r 3 R r 9 3 Ur Z 3 ra Z 3U rz 3 Z ] rZ aZ 3Z PP + 2 3 z 3Z d_ v )2z _I1 4G 6696 3 UZ r 3 U 1 3 U r (1-2 v? 1 3 z ^ J- 2 r 3r3Z zzee R + 3U ZP + — 1 1-2 v 2 + 3 U pp 3p r ^ P3 R 3R 2G 3 Ur + r Z r 3 2U r u V (1 -V ) [ 2 3~U n 3U + 3 r3 R /, 3U 32U Z = Z r z ee zree pp 3 r , r r 3 R 3U -- + R Pr + r r r 3U U 2 3~u au [ , 1 , + — rR , + v „ n2 (1 - v) 4G rree 8 z 2 U + v(1-v)[-l- 1 R 3Z3R 3U zr aZ 32U f 3 + _ J l z 3 z ^ a r a Z + ] 1 r a.U aR rr + A h o r a , es p o s i b l e ya el c a l c u l a r el t e n s o r S , en f u n c i ó n del t e n s o r ante ijk r i o r a p a r t i r de las e x p r e s i o n e s s i g u i e n t e s : S S S S rrr rzr zzr eer = Z = S n rrrr zrr r = Z + Z rrzr n rzrr r n z +Z rzzr n z = Z n + Z n zzrr r zzzr z = Z n eerr + Z r n eezr• z IV.2.2.7 S S S S rrz rzz zzz eer = Z = S n rrrz zrz r = Z + Z rrzz n z n + Z n r rzzz z rzrz = Z n + i n zzrz r zzzz z = Z eerz n r + Z eezr n z Las d e r i v a d a s n e c e s a r i a s p a r a el c á l c u l o de los t e n s o r e s a n t e r i o r e s vienen= d e f i n i d a s en el a p é n d i c e ' '• En d e f i n i t i v a , las e x p r e s i o n e s de l a s t e n s i o n e s en un punto i n t e r n o v i e n e n dadas p o r la r e l a c i ó n IV.2. 2.3 ,con l o s t e n s o r e s d e f i n i d o s en IV. 2.2.4 y IV.2.2.7 , sie_n do en todo análoga a la d e s a r r o l l a d a en el a p a r t a d o | | . 3 p a r a el c a s o t r i d i m e n s i o - nal • I V . 2 . 3 . - E C U A C I O N DE S O M I G U A N A P A R A P U N T O S DEL C O N T O R N O Como en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , s e r á a h o r a n e c e s a r i o el p l a n t e a m i e n t o de la e c u a c i ó n de m o v i m i e n t o s p a r a puntos del c o n t o r n o , p a r a lo c u a l , como en el c a s o a n t e r i o r , se hace t e n d e r el punto donde se c e n t r a la s i n g u l a r i d a d al c o n t o r n o del - d o m i n i o . Con e l l o , se r e d u c e a o b t e n e r la e c u a c i ó n I I . 4 . 4 - I V . 2 . 3 . 1 , y donde S de s e c c i ó n de r a d i o e , que r e p e t i m o s en se r e f i e r e en este c a s o a la s u p e r f i c i e de la p a r t e de t o r o , - e y de d i r e c t r i z el a n i l l o s i n g u l a r ( R , Z ) ; que i n t e r s e c t a en el = dominio. En la F i g . I V . 2 . 3 . 1 puede v e r s e el c o r t e de ésta s u p e r f i c i e con un plano de - simetría axial r , z . Fig. 6 ,. u = ki i U , t ds + lim ik i y e—^ 0 lim e —0 - lim e—0 IV.2.3.1 T ik u ds + i v U , t ds - l i m ik i y n U , X d ü ik i y T . , u. ds ik i y IV.2.3.1 P a r a c a l c u l a r las i n t e g r a l e s e x t e n d i d a s a S £ y el l í m i t e c o n s i g u i e n t e se - a d o p t a r á n las a p r o x i m a c i o n e s a s i n t ó t i c a s d e f i n i d a s en IV.2.1.11 con lo que U de o r d e n O (|n g r a l se a n u l a . I im e-*0 e) y ds y será= ik de o r d e n O ( e ) , siendo pues e v i d e n t e que la p r i m e r a inte - U , t. ik i ds y = 0 IV.2.3.2 La segunda i n t e g r a l extendida a S^ en I V . 2 . 3 . 1 no se a n u l a , siendo necesa- r i o r e a l i z a r su c á l c u l o . P a r a e l l o , hay que r e a l i z a r la i n t e g r a c i ó n de T . ^ s o b r e la s u p e r f i c i e del t r o z o de t o r o i n d i c a d o con c e r t r o de la s e c c i ó n de c o o r d e n a d a s R , Z (vease en la F i g . I V . 2 . 3 . 1 ) y haciendo uso de las a p r o x i m a c i o n e s de las f u n c i o n e s de L e g e n d r e d e f i n i d a s en las e x p r e s i o n e s I V . 2 . 1 .1 l y I V . 2 . 1 .1 2 . A s i m i s m o , es n e c e s a r i o el r e a l i z a r o t r a s a p r o x i m a c i o n e s . A s í , o b s e r v a n d o : la F i g . I V . 2 . 3 . 2 se deduce R Fig. IV.2.3.2 dS = 2 ir r e d 6 y R - r = - e sen 6 Z - z = - e eos 6 V-! e = 2 2R V. 2 . 3 . 3 R Q ± ~2 2 = Q ± = - lñ 2 dQ , ~2 d y dQ, 2 d y e r 2 e Todo e l l o s i n más que a p l i c a r la e x p r e s i ó n deY y las a p r o x i m a c i o n e s de Q , ~2 y Q , p a r a el c a s o de la s u p e r f i c i e t ó r i c a que nos o c u p a , y d e s p r e c i a r los i n f i n i t e 2 simos de o r d e n s u p e r i o r , cuando e—•O. R e c o r d a n d o a h o r a la e x p r e s i ó n de T , dadas en IV.2.1.9 ik 2 y Uk y I V . 2 . 1 . 1 0 e n f u n c i ó n de las d e r i v a d a s de I I , se deduce la ne _ ik c e s i d a d de c a l c u l a r los l í m i t e s de cada una de e s t a s d e r i v a d a s de los m o v i m i e n t o s - p a r a a c o n t i n u a c i ó n e n s a m b l a r l a s y c a l c u l a r el l í m i t e de T., . P a r a mayor fac.ilidad= ik y p o r q u e luego s e r á n e c e s a r i o , c a l c u l a r e m o s el l í m i t e del p r o d u c t o de e p o r cada - una de las d e r i v a d a s a n t e d i c h a s , obteniendose a p a r t i r de las e x p r e s i o n e s del apén_ d i c e I l p a r a e s t a s d e r i v a d a s , y de las a p r o x i m a c i o n e s IV.2.1.11 lo s i g u i e n t e « 9 lim e e—»-0 Ur 3 r 3U lim e e —0 e zr zr 3U lim e E-*0 e 4 eos e eos 2 e ^ 64 TT G ( 1 - v) R = - 4 sen ecos 2 6 ^ 64 tt G ( 1 - v) R 2 e - (20 - 1 4 v ) ] IV.2.3.4 - 4 sen ecos 2 6 = 64 TT G ( 1 - v ) R az 3U _ JJ= 3r 64 TT G ( 1 - v ) R zz 3z - eos e = 64 tt G ( 1 - v ) R e rr _ = 0 r t [ 8 eos 64Tr G ( 1 - v ) R rz U 0 r , 0 4 eos ecos 2 6 = 3r U I im e-»'0 = rz 3 U lim e e—>0 2 /.« .^ »i [ 8 eos e - (12 - 16 v ) ] 64 TT G ( 1 - v) R 3z lim e e—0 I im e—0 eos 6 = 3 r 3U nm e—fcO 64 ir G ( 1 - v ) R 3z lim e E—0 0 sen 6 = rr 3 U lim r rz r 0 [ 8 r _ eos e + (12 - 1 6 v ) [ 8 eos o 2 ,. , _ . e + (4 - 1 6 v ) ] ] S i a h o r a ensamblamos todos los l í m i t e s a n t e r i o r e s p a r a el c á l c u l o del l í m i t e de eZ , p a r a p o d e r luego i n t e g r a r se o b t e n d r á , haciendo uso de las e x p r e s i o n e s ijk lo s i g u i e n t e : lim e Z o lim e Z e-*0 rrr = r r r rzr = e-vO 00 r e-*0 l i m eZ e—0 rzz zzz [ ( 1 - 2 v) + 2 s e n 2 6 ] z (1 - v ) ^ 0 eZ zrr R COS 6 = sen 6 8 TT r 2 , . , [ 2 eos e - (3 - 2 v ) ] 2 ,„ , ^ 8 u (1 - v ) R 2 ,, . „ (1 - v) R i r /. « \ ~ 2 , [ 0 - 2 v) - 2 eos 6 ] ' = l i m eZ =0 « 86 z e 0 lim eZ = r r7 e-0 lim eZ lim e l i m eZ = ¿ ~ zzr e-*0 l i m cZ 8TT c o s 8 tt z 6 (1 - v ) IV.2.3.5 r /, « N [ (1 - 2 v ) - 2 sen 2 , 9 J R = l i m eZ = ^ zrz e 0 = „ 2 ,, , ^ 8 TT (1 - v) R ^ 2 ,, N ^ 8 TT (1 - v) R [2 cos 6+ (1 - 2 v) ] [ (1 - 2 v) + 2 cos 6 ] P o r u l t i m o si r e a l i z a m o s las i n t e g r a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s al t e n s o r T s e r v a n d o que - , ob n r = sen n z se tiene por ejemplo para T = eos 6 rr Iv.2.3.6 que - - - + e0 2 T lim 0 rr u r ds y 2 lim = - 2 irR e—*• 0 TT 1 " ~2 + — = - 2* R u r 9 rr u e de r 2 lim (x) TT — 61 T [ e i n rrr r + e2 rzr n z ] d 8 e-»4J --- + e « 2 - 2 ttR u 8 7T (1 - v) R r 2 (x) - sen 1 + eos 2 e [ 1 4 ir(l-v) U r(x) 8 TT (1 - V) 2 eos 2 u r (x) + 9 ] 2 de = 2 2 [(3 - 2 v) eos e + (1-2 v) sen IT 1 ~ ~2 [4 ( 1 - v ) (TT+ 0 - 2 e [(1-2 v) + 2 sen e ] + 2 e - (3 - 2 0 T 2 0 ) + (sen 2 6 1 - 2 sen 2 6 1 ) ] ^ 2 - 2 eos e] d e = O p e r a n d o análogamente p a r a todas los demás t é r m i n o s se puede o b t e n e r el t e n s o r C , , d e f i n i d o en I V . 2 . 9 ik guíente "c rr cuya e x p r e s i ó n p a r a el caso a x i s i m é t r i c o es la si - 4 ( 1 - v ) (rr + 6 - 0 ) + (sen 2 © - sen26 ) w 1 I Lé C rz 1 1 8TT (1 - v ) C zr C - (eos zz - (eos 2 2e - eos 2 6 ) - eos 2 8^) 4 ( 1 - v) (ir + e - e ) - (sen2G ^ - sen 2 e ) I V.2.3.7 E x p r e s i ó n que p a r a s u p e r f i c i e suave ( era presumible, y para 6 ^ ~ 6 -j ~ 71 ~ 6 se hace igual a j í como- ( t o r o completo) se hace c e r o , como ya se a p u n - tó en IV. 2.1 . Con e l l o queda de nuevo t o t a l m e n t e d e f i n i d a la e c u a c i ó n IV.2.3.1 con las i n - t e g r a l e s p o r supuesto entendidas en el s e n t i d o de C a u c h y , tal como se d e s a r r o l l ó en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l . IV.2 I V . 2 . 4 . - T E N S O R DE T E N S I O N E S E N P U N T O S DEL C O N T O R N O Como ya se i n d i c ó en 11.5 , el c á l c u l o del t e n s o r de t e n s i o n e s en un p u n - to del c o n t o r n o r e q u i e r e de la u t i l i z a c i ó n de una c i e r t a a p r o x i m a c i ó n , no pudiéndose r e a l i z a r en f o r m a e x a c t a . E s t a a p r o x i m a c i ó n sigue la misma pauta que la que se si guió en el a p a r t a d o a n t e d i c h o . E l i g i e n d o , un eje local 1 , en el punto donde se p r e t e n d e c a l c u l a r el t e n s o r de t e n s i o n e s , d e f i n i d o según la d i r e c c i ó n tangente al c o n t o r n o en ese p u n t o , y c o n s e n t i d o c o n t r a r i o al de r e c o r r i d o del c o n t o r n o , y un eje 2 según la d i r e c c i ó n y s e n t i d o de la n o r m a l e x t e r i o r al c o n t o r n o en el punto en c o n s i d e r a c i ó n , las componentes del t e n s o r de t e n s i ó n en ese s i s t e m a de e j e s s e r á n IV.2.4.1 donde t y t ^ son l o s datos de c o n t o r n o en t e n s i o n e s de ese p u n t o , c o n o c i d o s ó ya - i n c ó g n i t a s c o n s i d e r a d a s en el p r o b l e m a , y r e s u e l t o este c o n o c i d a s t a m b i é n . S u p o n i e n d o p o s i b l e el c a l c u l a r las v a r i a c i o n e s de los m o v i m i e n t o s según 1 y 2 en la d i r e c c i ó n 1 se t i e n e * 2G v 1-2 v de donde 2 [(1 - 2 u) ( — - - ) 1-v -v ( ^ + ee) ] 6 y como a = 2G e 1 2 G + ,(e v 1-2» 1 + e 1 + e 2 ) 6 se t i e n e o = — 1- v 3u con e 1 = I 3 x, 1 (2G e ^ + 2Gv,;e^+ va r e ) IV.2.4.2 u 6 f = en el punto c o n s i d e r a d o , siendo todo pues dato o - r r e s u l t a d o y p o r lo t a n t o p o s i b l e el c a l c u l o de o .. |J « I V . 2 . 5 . - T R A T A M I E N T O DE L A S F U E R Z A S POR U N I D A D DE V O L U M E N Las e x p r e s i o n e s I I . 6 . 2 3 y I I . 6 . 2 4 p e r m i t i r í a n el paso de la i n t e g r a l de v o l u men c o r r e s p o n d i e n t e a f u e r z a s de volumen a una i n t e g r a l de s u p e r f i c i e en la f o r m a U , X ik I E , X ds + ik i y d fi = y F, ds k y IV.2.5.1 s a 6 Si donde E-| = jF. = k K o 1 - 2 v 2(l-v) X .U>. n- 1 -2 v . K X„ 2 (1-v) o Ik = X.,. i i ' n - X -l» n P + X P "L-' ' n- J J IV.2.5.2 I = Cte. En el c a s o a x i s i m é t r i c o , s e han de d e s a r r o l l a r los t e n s o r e s a n t e r i o r e s t e n i e n do en cuenta la e x p r e s i ó n del t e n s o r de G a l e r k i n d e f i n i d a el E rr en I V . 2 . 1 . 6 . P o r e j e m p l o quedará E r r = i o 1 -2 v 2(1-v ) i o 1 -2 v 2(1-v) y análogamente 3 x r 9X n 3 r 3 * -r 3 r n r 3 r n r r r 3X 3 r n r Z 3 r z 3X n z n + 3 r r I V.2.5^3 EL C A S O A X I S I M E T R 1 C O E ll -o2 v Z r rZ E ZZ = 3 x 3 r 1-2 v 8xz o/"i \ 2(1 - v ) 3z n + z n 1-2 v ofi - v)\ 2(1 * p 3 r n/> \ 2(1 - v ) IV.2 r + 3X. 3 9x n z 3z 3 z 3 n p n p z r V.2.5.4 z n r y análogamente papa F, se t i e n e k F p = - 1-2 v —r K 2(1-v) o x p n p V.2.5.5 F n x Z 2(1-v) ° Z Z El t r a t a m i e n t o de f u e r z a s de peso p r o p i o , bulones de t e n s i ó n y t e m p e r a t u r a es en todo análogo al d e s a r r o l lo en 11.6 p a r a el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , p o r lo que - nos f i j a r e m o s en un c a s o muy f r e c u e n t e en e s t r u c t u r a s a x i s i m ó t r i c a s , como es el de= la f u e r z a s de volumen debidas a la a c e l e r a c i ó n c e n t r í f u g a en una r o t a c i ó n . P o r s i m p l i c i d a d c o n s i d e r a r e m o s r o t a c i ó n a l r e d e d o r del e j e de s i m e t r í a , con= lo que p w X= IV.2.5.6 cuya d i v e r g e n c i a es evidentemente nula (K o bando que d e r i v a n de una f u n c i ó n p o t e n c i a l . = 0) y su r o t a c i o n a l también es n u l o , p r—o E n este c a s o , el v e c t o r c o r r e s p o n d i e n t e a la i n t e g r a l de volumen q u e d a r í a 9X 1 o 1 -2v ~2(Í-~~) E , X . ds = p w' ik i y 6 fi r 6 SI i1 - o2 v 2(1- ) 3 ~r~ n r ~ 3~~z " z 9X X z n + n 3 z r 3 r z 8 ds y IV.2.5.7 donde todas las d e r i v a d a s del v e c t o r de G a l e r k i n se p r e s e n t a n en el apéndice I V . 3 . - A P R O X I M A C I O N N U M E R I C A . C A S O DE A P R O X I M A C I O N C O N S T A N T E I V . 3.1 . - REPRESENTACION DE-LA S Ü F E P F 1C1E DEL D O M I N I O Y DE L A S FUNCIONES La r e p r e s e n t a c i ó n de la s u p e r f i c i e es análoga a la del M . E . F . p a r a el c a s o a x i s i m é t r i c o , u t i l i z á n d o s e el elemento a x i s i m é t r i c o l i n e a l p a r a láminas de elementos f i n i t o s , es d e c i r con s e c c i ó n en el p l a n o r , z un segmento r e c t o d e f i n i d o p o r sus dos e x t r e m o s . Las c o o r d e n a d a s de c u a l q u i e r punto de este segmento F i g . I V . 3 . 1 .1 , pue_ den d e f i n i r s e como x = N a x . i i con ^-j = ^ i Y = a = 1 ,2 ^ 2* b X. x. = i l c"enc^ose tamb¡én a -í* X . i b 5 l X. + i representar por a X. IV.3.U1 « ' Los elementos d i f e r e n c i a l e s p a r a la r e p r e s e n t a c i ó n a n t e d i c h a es d A = 2* r . ~ 2 d K IV.3.1.2 Los v a l o r e s de la f u n c i ó n se suponen c o n s t a n t e s s o b r e cada elemento p o r lo = que el v a l o r r e p r e s e n t a t i v o de la f u n c i ó n s o b r e un elemento en el v a l o r de d i c h a f u n c i ó n en el punto medio del segmento p a r a el c a s o del c o n t o r n o . u t i i = u. i (C D G) = t (C D G) X. = X . i i i (C D G) IV.3.1.3 I V . 3 . 2 . - D I S C R E T I Z A C I ON Y T R A T A M I E N T O D E LA E C U A C I O N INTEGRAL Debido a que p a r a el caso c o n s t a n t e los nodos que a p a r e c e n t r a s la d i s c r e t i z a c i ó n , y donde se suponen c o n c e n t r a d o s los v a l o r e s de la f u n c i ó n y de su d e r i v a d a = están en el c e n t r o del e l e m e n t o , el ángulo i n t e r i o r a b a r c a d o en el c o n t o r n o del punto es de 9 0 2 y p o r t a n t o , el t e n s o r C . = \ ik c o n t o r n o q u e d a r á pues i « .. ik u. i T U., t. ds ik i y = 5 SI 6 , p a r a todos los n o d o s . La e c u a c i ó n de ik 6 ik u ds + i y si E., X ds + ik i y F, ds k y 6a 6 SI - IV.3.2.1 S i d i s c r e t i z a m o s la s u p e r f i c i e en N e l e m e n t o s , la e c u a c i ó n a n t e r i o r (análoga mente al c a s o t r i d i m e n s i o n a l ) , en la f o r m a i N « ik u. \ = 2 n=1 6 SI 6 SI ü , t . ds ik i n E., X . ds ik i n + 5 SI T 6 SI ik u ds + i n F, ds k n IV.3.2.2 T e n i e n d o en cuenta que la a p r o x i m a c i ó n de las f u n c i o n e s es c o n s t a n t e e igual al v a l o r de cada f u n c i ó n en el C D G del e l e m e n t o , la e c u a c i ó n r e p r e s e n t a un sistema de e c u a c i o n e s con 4N i n c ó g n i t a s y al a p l i c a r l a a los N - C D G de los elemen tos del c o n t o r n o se obtiene un s i s t e m a de 2N x 4 N , con lo cual p a r a que pueda reso]_ v e r s e es i m p e r a t i v o el f i j a r 2N de e s t a s i n c ó g n i t a s como c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o . E s t a i n t e g r a l puede d e s a r r o l l a r s e en la f o r m a IV.3 1 i u r r 1 U U rr t zr r (C D G) n N • = i i u E f 6ft n=1 U z T U rz T rr t zz u zr z (C D G) (C D G) r n n ds 6n v T T rz E E rr u zz J X zr (C D G) z r (C D G) n ds E rz X zz z + n n 6 (2 E ds (C D G) rr n + ds 6n z IV.3.2.3 P a r a un nodo a t e n d r e m o s pues un s i s t e m a de 2 e c u a c i o n e s que es el s i g u i e n te: N I n=l a B. ik N n un i = 2 n=1 a (A., ik n n t'.' + p ) i k n IV.3.2.4 IV.3 donde B B ik 6 (2 T T ¡k ik ik (a , n) ds (o:, n) ds para t / n n n + j 6 y para ik t = n 6Q n U., ik ik ( a , n) ds IV.3.2.4 n 5a n » P a = x n E.. (a , n) ds + ik n F. k ( a , n) ds n 5Q u. i = u. (C D G) i n t. i = t. (C D G) i n X. i = X . (C D G) i n E n f o r m a m a t r i c i a l p o r ú l t i m o esta e x p r e s i ó n puede e s c r i b i r s e como B u = A t + P donde B , A son m a t r i c e s de d i m e n s i ó n 2N x 2 N , y IV:3.2.5 t , u y P son v e c t o r e s , - de d i m e n s i ó n 2 N . El c á l c u l o de las m a t r i c e s B , A y P p e r m i t i r á pues la r e s o l u c i ó n del p r o b l e m a , I V . 3 . 3 . - E V A L U A C I O N DE L A S C O N S T A N T E S DE INTEGRACION Es bastante cómodo el r e a l i z a n las i n t e g r a c i o n e s s o b r e elementos a los que no p e r t e n e c e el nodo desde el que se i n t e g r a , es d e c i r p a r a t ^ n, ya que en este caso se puede r e a l i z a r n u m é r i c a m e n t e , con un esquema p o r ejemplo de Gauss monodi mensional p a r a i n t e g r a c i o n e s s o b r e elementos del c o n t o r n o . A s í p o r ejemplo Para t ^ n L f ds n ~2 = 2 TT r f di 2 TTr ( O f ( O - - - = .L 2 d C = -1 N = TT L z k=1 wk r U k ) f U k ) IV.3.3.1 donde w son los pesos de Gauss y K . los puntos de Gauss c o r r e s p o n d i e n t e s a una= k k c u a d r a t u r a monodimensional de N p u n t o s . S i n e m b a r g o p a r a t = n es p r e c i s o t e n e r c u i d a d o en la i n t e g r a c i ó n pues p a r a ( r , z ) — * (R, Z), y — ' Q , ( ^ ) y Q i ( y ) t i e n d e n a <*> con lo cual es e s p e r a b l e 2 ~2 malos r e s u l t a d o s e n la r e a l i z a c i ó n de la i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a . P a r a s o s l a y a r este p r o b l e m a se suele r e a l i z a r la i n t e g r a c i ó n a n a l í t i c a cuando se i n t e g r a s o b r e el p r o p i o e l e m e n t o , al que p e r t e n e c e el nodo s i n g u l a r , ó median te la u t i l i z a c i ó n de un g r a n numero de puntos de G a u s s . En este c a s o la p r i m e r a a p r o x i m a c i ó n t i e n e el i n c o v e n i e n t e de s e r muy d i f í e l I debido a la c o m p l i c a c i ó n en el uso de las f u n c i o n e s de L e g e n d r e , m i e n t r a s que la segunda e x i g e un g r a n t i e m p o en la c o m p u t a c i ó n . E s p o r e l l o que se ha seguido en este t r a b a j o un método , ya u t i l i z a d o p o r Wrobel [129 ] en T e o r í a del P o t e n c i a l , y que c o n s i s t e en la i n t e g r a c i ó n a n a l í t i c a so b r e p a r t e del elemento muy c e r c a de - la s i n g u l a r i d a d , donde las f u n c i o n e s de L e g e n - d r e , como se i n d i c ó t i e n e n una a p r o x i m a c i ó n r e l a t i v a m e n t e s e n c i l l a , y r e a l i z a r una= i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a el e s t i l o de G a u s s , en el r e s t o del elemento . A s í , p a r a elementos del c o n t o r n o se r e a l i z a r á esta i n t e g r a c i ó n s o b r e una Ion g i t u d S , s i t u a d a como i n d i c a la F i g . IV.3.3.1 . -fSBSh -L/2 -S/2 L/2 S/2 Fig. , . . . . . . L S o b r e el r e s t o del d o m i n i o — - - < r á una i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a . S s ¿< y S --- IV.3.3.1 L <s < - - r se r e a l i z a - A n t e s de c o m e n z a r el c á l c u l o de la i n t e g r a c i ó n a n a l í t i c a , es n e c e s a r i o h a c e r algunas c o n s i d e r a c i o n e s y a p r o x i m a c i o n e s p r e v i a s . | En lo s u c e s i v o se s e g u i r á n algunas n o t a c i o n e s y a p r o x i m a c i o n e s que a c o n t i n u a c i ó n vamos a i n d i c a r . O b s e r v a n d o la F i g . I V . 3 . 3 . 2 es f á c i l d e d u c i r que Fig. IV.3.3.2 r - r 2 r - R = t Y 1 z - Z = t s r z V = T + _ ( _ R _r_:L 2 _ _zi2_ = 2Rr 1 + ___s. s z 2 2Rr 2 2 t s ( r + R) - t s r z 3Y 3 r i t 2Rr s z Rr 3 z IV.3.3.2 -t 3Y r s ( r + R) - t z s 2 2 y , 2 3r 3Z 2 3 Y 3 Z3 R t R z + R ) + t t _3 2R2r 3 R 3 2 z Rr 3 z 2 S 2 3 Y 9D2 r 2 2R 3 r 3Z s 3 r 3 z 3Z 2 s 1 z s Rr Y Rr T e n i e n d o en cuenta que la i n t e g r a c i ó n a n a l í t i c a se r e a l i z a r á en puntos donde Y — p o d e m o s h a c e r las s i g u i e n t e s a p r o x i m a c i o n e s 2 i Q = - i (~s- |n ) - 2 64 R r 2 Q = - i ± ln (--) 64 R r "2 d Q i _2__ d Q = dY dy d ? Q * A d y _i _2_ d 2 2 ' °-i A y d ¿ S R r = ___IL IV.3.3.3 s 2R2r2 s _8R3r3 3 d Y 3 ^d Y 6 s~ ~ Con e l l o puede c o m e n z a r s e a c a l c u l a r las i n t e g r a l e s a n a l í t i c a s en el c o n t o r no. « - I n t e g r a c i ó n de la m a t r i z A - Las i n t e g r a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s a esta m a t r i z son: S/2 U dA = 2 TT rr r U rr -1 ds (3-4;v) 8 ttG (1 - v) R -S/2 I 2 + (6 - 8v + t ) I 2 z donde I I eI M U IV.3.3.4 v i e n e n d e f i n i d a s en el apéndice dA = zr „2 8 ir + II . [ 1/41.^1 IV. 3.3.5 -R.5+|J G(1-v)/r v i n i e n d o de nuevo I , I , l e I dadas en el apéndice 3 4 5 6 t U rz dA „ > r 8 *G ( 1 - v) sjR n 0 [- . -1/4 U - * L 3 4 R 'c + 5 6 1 IV.3.3.6 P o r ú l t i m o la i n t e g r a l de U queda en la f o r m a zz U zz IV.3.3.7 dA = PITG (1- 2 1 Z 2 Con e l l o queda totalmente d e t e r m i n a d o el c á l c u l o de la m a t r i z A . IV.3 - I n t e g r a c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a la m a t r i z B - T a m b i é n hay que r e a l i z a r la i n t e g r a c i ó n en el c o n t o r n o , p e r o como se d i j o a n t e r i o r m e n t e , el t e n s o r T ik no está e n s a m b l a d o , p o r lo que c a l c u l a r e m o s l a s i n t e - g r a l e s de los e l e m e n t o s que lo c o m p o n e n , es d e c i r de l a s d e r i v a d a s de U ik , y a con- t i n u a c i ó n el c á l c u l o de T . ^ se r e d u c i r í a a s u m a r l a s c o n v e n i e n t e m e n t e según l a s ex presiones - - I V . 2 . 1 .9 y I V . 2 . 1 .10. U t rr r ds S/2 u = 2 7T -S/2 + (6-8v + t donde I ^ e I 2 ds = ) I [-1--JJL 8TTG O - V J ^ R " Pr 2 IV.3.3.8 ] v i e n e n dadas en el a p é n d i c e U R Z r dLAA = Z [ 1/4 l 3 + R l 4 + ¿ 15 " ' 6 ] íI t /(t 2 r z I V.3,3.( 8ttG ( l - v ) ^ R * -.A dA 3 r -t 1 8 TTG ( 1 - V ) / R ~ + [ ( 3 - 4 v) + ( 3 - 2 v) t 2 - t 4 ] z z 3 "4 I 2 v x) . l 2 + t r,R (/ t 6 r z r +1/41,1 1J 3 "4 2 * x) , I , + ' "4 I V.3.3.10 IV.3 aU -t rr dA = a z r 8 TTG(1- V) \¡R 3U zr dA = a r 8 ttG (1-V) ^R [ (3•+ 2 t 2 - 4 v ) L r r 2 „ , 2 [ t .R. .l ., - t . | _ +. ._ z 4 r 6 (3 + t ( 4 t - 1) t z r a U zr a z 1 dA = 8 ttG 2 I [ (1 - v) ^ R (i_2t 1 2 1 6J IV.3.3.11 t R r 4 , I 7 + 2) z I )t Z 5 I r -3/8 I ] 3J +i(1 +t2) 6 Z IV.3.3.12 1+1/4 2 I ] 11 IV.3.3.13 3 U a rz r dA (1-V)/R~ 8uG t r R . 4 a ü 3 rz Z 8TTG (3 + t + 2 z ) - t2 I r 6 iI _ + 3 / 8 + ( t 2 - 3/4) t i z r 2 I - IV.3.3.14 ] 4 I A dA = [ R t2 I L z 4 [ t (1 - 2 t 2 ) L r z 6 +t2) I z 2 - 1/4 I ] 1J IV. 3 . 3 . 1 5 3 U zz 3 r dA = t 8ttG ( 1 - v) JR . (I _ + R I ) + 1/4 I fi 3 U ZZ 3 Z ^A dA t Z 4 [• 2 t r /R z (t 1 2 z - 2v) | 2 - t ¡2 (3 - 4 v + 2 t ) 2 r z IV.3.3.16 1 J - (3 - 4 v ) ] 8 ttG (1-V) 2 .I 6 IV.3.3.17 C a l c u l a n d o sucesivamente las i n t e g r a l e s de estas d e r i v a d a s en sus p a r t e s - a n a l í t i c a s y n u m é r i c a y luego combinándolas en la f o r m a que se i n d i c a se pueden cono c e r los elementos c o r r e s p o n d i e n t e s a la m a t r i z B que e r a p r e c i s a r r e n t e lo b u s c a d o . - Integrales correspondientes a P - O b s e r v a i c b detenidamente las e x p r e s i o n e s de los t é r m i n o s del v e c t o r P d e f i m do en I V . 2 . 5 y teniendo en cuenta que en un elemento r e c t i l í n e o las componentes de= la normal son c o n s t a n t e s , se deduce que s o l o es n e c e s a r i o c a l c u l a r las i n t e g r a l e s co r r e s p o n d i e n t e s a X. , y sus p r i m e r a s d e r i v a d a s p a r a p o s t e r i o r m e n t e e n s a m b l a r l a s ik en la f o r m a que i n d i c a la e c u a c i ó n a n t e r i o r y c a l c u l a r los t é r m i n o s c o r r e s p o n d i e n t e s del v e c t o r P . N a t u r a l m e n t e esto es p o s i b l e p o r q u e en elementos constantes n K y X K - son c o n s t a n t e s en todo el elemento,) como se ha i n d i c a d o a n t e r i o r m e n t e . En caso con t r a r i o no s e r í a p o s i b l e esta s i m p l i f i c a c i ó n . En d e f i n i t i v a tendremos * S/2 X r r ¥ dA = 2 r dA = -S/2 -----_ o ir G (2 I 1 - 1/R I 2 - 1/4R I ) 3 IV.3.3.18 donde las i n t e g r a l e s I , I , I y las s i g u i e n t e s e s t á n dadas en el a p é n d i c e I O x VR dA = — "--— (-2 1 + 1 /4R 6itG A I ,) 1 IV.3.3.19 3 A s i m i s m o c o n las d e r i v a d a s p r i m e r a s tenemos, 3X r - dA = f L 3 r 3 t - 2 ' I , + i-A . + 4 R I + 2 I ¿ l o 4 . 5 6 5 J IV.3.3.20 3 X Z 3 aX A A dA = — - t dA = 3 z 3 X' A z 3 z 1 4 ti G r r - / r z ttgJR ia dA -t [ -R/2 L [* L - 2 R K + i l 0 lJ 8 6 9 4 7 1 J IV.3.3.21 IV.3.3.22 z 8 tt g / r " IV.3.3.23 P o r ú l t i m o , en lo que se r e f i e r e al c á l c u l o de las m a t r i c e s que a p a r e c e n en la e c u a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e a t e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s , d i r e m o s que no p r e s e n tan ninguna d i f i c u l t a d n u m é r i c a , ya que al i n t e g r a r desde un punto que no pertenece= al c o n t o r n o los n ú c l e o s de las i n t e g r a l e s no son s i n g u l a r e s , pudiéndose c a l c u l a r e s tas i n t e g r a l e s mediante un p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a , como el i n d i c a d o p a r a el c a s o de c o n t o r n o en que el nodo no p e r t e n e z c a al elemento s o b r e el que se i n t e g r a E s n e c e s a r i o también h a c e r una s a l v e d a d en cuanto al c á l c u l o de los t é r m i - .nos de la diagonal p r i n c i p a l . E f e c t i v a m e n t e , así como en el caso t r i d i m e n s i o n a l e r a = p o s i b l e e r a el c a l c u l a r l o s como suma cambiada de s i g n o del r e s t o de los elementos c o r r e s p o n d i e n t e s que se e n c u e n t r a n en una misma f i l a , s i n más que c o n s i d e r a r el - p r o b l e m a s i m p l e de movimiento como s ó l i d o r í g i d o s i n f u e r z a s de v o l u m e n . E n este c a s o , esto no es p o s i b l e en ambas d i r e c c i o n e s , ya que un m o v i m i e n t o como s ó l i d o r í gido en la d i r e c c i ó n r no tiene s e n t i d o , pues s i g n i f i c a aumento d e f r a d i o s i n d e f o r m a c i ó n , lo que es i m p o s i b l e . E s pues n e c e s a r i o en esta d i r e c c i ó n el u t i l i z a r la e x p r e s i ó n usual p a r a los t é r m i n o s de la diagonal p r i n c i p a l , m i e n t r a s que p a r a la d i r e c c i ó n z puede c o n s i d e r a r i se el movimiento como s ó l i d o r í g i d o . I V . 3 . 4 . - A P L I C A C I O N DE L A S C O N D I C I O N E S DE C O N T O R N O Y R E S O L U C I O N DEL S I S T E M A DE E C U A C I O N E S A l igual que en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , la a p l i c a c i ó n de las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o p e r m i t e p o n e r la e c u a c i ó n en el c o n t o r n o en la f o r m a Aa ik u" i n = B ? ik n tn i + F« k IV.3.4.1 n o en f o r m a m a t r i c i a l A u = B t + P IV.3.4.2 y una vez a p l i c a d a s las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o q u e d a r á un s i s t e m a l i n e a l de ecua c i o n e s en la f o r m a K x= F IV.3.4.3 T r e s t i p o s de c o n d i c i o n e s pueden p r e s e n t a r s e en la p r á c t i c a - T i p o 1 . - C o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en m o v i m i e n t o s K?, ik n x. n = B « ik n n = t. N a F. k a = A. tu n n u. i - <* P. k n=1 n 1 T i p o 2 . - C o n d i c i o n e s en t e n s i o n e s a a ik x. ik n n i r = u i a f K n a = B N n ik l n ¡ * n=l + _ a p k n - Tipo 3 . - Condiciones mixtas Pueden e x i s t i r dos casos a su vez n - Datos v , o n a K¡_1 k -1 n = ~ = B a K ¡ k-i n n = u =T n n a i-1 k o 01 = B. , i k n n x. i ¡ k-i A = - A a - U i k n V i a i - 1 k-1 a a ix K1 . i-l k n K A n n n N a F. k-1 . a = - A. i k-1 _ a F k a = - A. i k _ n - Datos u , K n ' a Z P n=1 N n + n Z P n=1 a k-1 n a k n a i-1 k-1 i k-1 n a n n a ¡-i k = n a B ¡-i k 4 n ct i k n n n n X¡-1 n x. i ,F + a i k-1 i k „ a + B i-1 k a n n a K n n T n a + B. „ . , i-1 k-1 n v = B a 1-1 k - 1 v n = T = u n • a = - A k-1 i-1 k a r- a F k Aa A - - ¡-1 k u n n n u n a + B. , , i k-1 + a B ¡ k T N n + n Z , n=1 ^ a P. , k-1 n N n * n + I n=1 p • k n Con e l l o quedan p r o p u e s t a s todas las p o s i b i l i d a d e s de c o n d i c i o n e s de c o n t o r - EL C A S O A X I S I M E T R I C O IV.3 no en el c a s o a x i s i m é t r i c o . E n cuanto a la r e s o l u c i ó n del sistema de e c u a c i o n e s , debido a la magnitud - del p r o g r a m a se ha d e c i d i d o r e a l i z a r l a mediante la u t i l i z a c i ó n de un método s t a n d a r d de e l i m i n a c i ó n de Gauss que p r o p o r c i o n a muy buenos r e s u l t a d o s , s i n ningún p r o b l e m a adicional. I V . 4 . - E X T E N S I O N DEL C A S O P L A S T I C O Se va a d e s a r r o l l a r a c o n t i n u a c i ó n y en f o r m a t o t a l m e n t e p a r a l e l a al c a s o - e l á s t i c o la f o r m u l a c i ó n y a p r o x i m a c i ó n n u m é r i c a a p l a s t i c i d a d a x i s i m é t r i c a , s i bien= no se r e a l i z a r á un d e s a r r o l l o e x h a u s t i v o de la f o r m u l a c i ó n g e n e r a l en p l a s t i c i d a d , - quedando éste como una p o s i b l e e x t e n s i ó n f u t u r a . L a e c u a c i ó n de p a r t i d a p a r a el c á l c u l o de m o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s en= p l a s t i c i d a d es i d é n t i c a a la de S o m i g l i a n a , p e r o c o n un t é r m i n o a d i c i o n a l , c o r r e s p o n diente a las d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s , pudiendo e x p r e s a r s e (vease T e l l e s [ 122] ) c o mo 6, . ú. (x) ki i Ófi U., ( x , y) ik T . , ( x , y) ú. (y) ds ik i y U., ( x , y) t". (y) ds ik i y = X. (y) d i 4fi + 5 fi y + 2 ¡ j k ( x , y) ¿R (y)dfiy IV.4.1 fi donde los puntos s o b r e los d i s t i n t o s v e c t o r e s s i g n i f i c a n i n c r e m e n t o d i f e r e n c i a l , ya que se s i g u e , como es usual en los c a s o s no l i n e a l e s , un p l a n t e a m i e n t o i n c r e m e n t a l , y el t e n s o r z , > t i e n e como s i g n i f i c a d o f í s i c o el c o r r e s p o n d i e n t e a los t é r m i n o s ¡jk del t e n s o r de t e n s i o n e s a que a p a r e c e en un punto y del d o m i n i o , cuando en o t r o ij punto x se a p l i c a una c a r g a u n i d a d en la d i r e c c i ó n k . La e x p r e s i ó n de este t e n s o r c o r r e s p o n d e exactamente al p r e s e n t a d o en I V . 2 . 1 .2 en el c a s o e l á s t i c o . • La e x p r e s i ó n de la d e r i v a d a de los m o v i m i e n t o s r e s p e c t o a la c o o r d e n a d a m del punto s i n g u l a r , c o n el o b j e t o de c a l c u l a r las t e n s i o n e s en un punto i n t e r n o queda r í a (vease IV.2.2.1) $ , . ki u.,ik ; m u.; i m ds t. i T y Z . ; ijk m -ü ú ds i U £. .p d Í2 - X. (x) lim ij y i n e—^O fi "W y + U , ; X dfi + ik m i y 6n 6 Í2 i J /V ; ik m SB e . .P (x) lim 'J e— n ¡jkP,.m 6 B e p, ik1? m ds y - (x) e IV.4.2 dSy (x) El v a l o r de la p r i m e r a i n t e g r a l extendida a <5 B " (x) es nulo como se demos e t r o en I V . 2 . 2 . 2 , m i e n t r a s que si se o b s e r v a las e x p r e s i o n e s Z ¡Jk d e f i n i d a s en - I V . 2 . 1 . 9 se desprende que la segunda i n t e g r a l p r e s e n t a una s i n g u l a r i d a d del t i p o - f u e r t e , siendo n e c e s a r i o su c á l c u l o . P a r a e l l o se van a a p r o v e c h a r los r e s u l t a d o s - obtenidos en I V . 2 . 3 . 5 que c o r r e s p o n d e n a los l í m i t e s de cada uno de los t é r m i n o s - del t e n s o r Z , ¡jk multiplicados por e . Observando en la ecuación I V . 4 . 2 y dondonos cuenta que p , p, H 'z = cos 6 (vease F i g . I V . 2 . 3 . 2 ) , y que Z ee r y Z eez = sen 6 y r son O (In e) cuando ds - y es O ( e ) se tiene Z É . .P (x) IJ 5 B ijr (x) p, r ds - ( 1 - 4x>) ( É P rr y 8 (1-v) + *e P ) zz - P e 8(1-v) rr IV.4.3 Asimismo - - e z.. IJZ IJ 6 B P, R ds y = _3-4 v IV.4.4 rz 4 (1-v) (x) e donde se ha hecho uso de que las i n t e g r a l e s que m u l t i p l i c a n a é P rr les de f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s 0 y 2 t y p o r tanto son c e r o . y *eP son i n t e g r a zz - También - e Z |J p, ijr ds z _3_-4 v y IV.4.5 rz 4~0~-"VT 6 B <x) • e Por último - e Z . . P, ijz z U 6B c ds ( 1 - 4 v) ( é P + rr y 8 (1 - ÉP ) zz 6 - 8 v (x) IV.4.6 El r e s t o de los t é r m i n o s es c e r o pues las i n t e g r a l e s en 6 B como la de Z QJó z zz 8 (1 - v ) v) son c e r o y p , £ (x) de E 66 P así es 0 t a m b i é n . 6 Los r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s pueden d i s p o n e r s e en f o r m a más compacta como si_ gue,donde k y m v a r i a n s ó l o según r y z . - e |J Z .. k •J Pn ,m ds y 8 (1-v) [ (6 - 8 v) e, P - (1 - 4 v) . k m 6 B (x) e II 6 km IV.4.7 IV. 4 que es exactamente igual al c a s o de t e n s i ó n plana s a l v o que el c o e f i c i e n t e de P o i s s o n no es el m o d i f i c a d o ( T e l l e s [122 ] )• S i a h o r a a p l i c a m o s el o p e r a d o r e l á s t i c o C e en p o l a r e s a la e c u a c i ó n de moví ~~ mientos i n t e r n o s se v o l v e r á a o b t e n e r la e c u a c i ó n (27) del a p a r t a d o I I I .1 . 2 p e r o - con el t é r m i n o l i b r e de d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s m o d i f i c a d o . Se t e n d r á pues que en la e c u a c i ó n f i n a l c o r r e s p o n d i e n t e a las t e n s i o n e s a p a r e c e r á un t é r m i n o igual al de - t e n s i ó n p l a n a , quedando en la f o r m a a y (x) = ijk k S y 5a , ijk ú, k ds y + D.., ijk X, d i ) k y + 6 fi v ... •. •e p ad £ .jkl kl y y - G 4(1-v) rL p 92 •e.. ^+ *Ó . . cU p U 'J " • p jnJ e 9 fí IV.4.8 donde los d i s t i n t o s t e n s o r e s t i e n e n e x p r e s i o n e s t o t a l m e n t e análogas al c a s o e l á s t i c o v i n i e n d o d e f i n i d o s en I V . 2 . 2 E v i d e n t e m e n t e el paso al c o n t o r n o no i m p l i c a , en el caso p l á s t i c o , ningún cá_[ c u l o a d i c i o n a l al ya r e a l i z a d o en e l a s t i c i d a d , ya que las ú n i c a s i n t e g r a l e s que p r e sentan p r o b l e m a s son las e x t e n d i d a s en la s u p e r f i c i e y ya se t r a t a r o n en - IV.2.3. E n lo que se r e f i e r e a la a p r o x i m a c i ó n n u m é r i c a también c o n elementos c o n s t a n t e s , es n e c e s a r i o a h o r a la d i s c r e t i z a c i ó n del d o m i n i o en o r d e n a c a l c u l a r las i n t e « g r a l e s de volumen en las que a p a r e c e n las d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s . S e r á n e c e s a r i o pues el a ñ a d i r al segundo m i e m b r o de la e x p r e s i ó n I V . 3 . 2 . 3 un t é r m i n o a d i c i o n a l e n la f o r m a é Z M Z m=1 2 Z rrr 2 Z rrz m Z rzr Z rzz s ee n zzr rr rz (CDG) (CDG) > d fi zzz eP eez zz £ (CDG) m (CDG) IV.4.9 donde M es el número de elementos ( a n i l l o s de s e c c i ó n t r i a n g u l a r p o r ejemplo) en que se d i s c r e t i z a el d o m i n i o p l á s t i c o , ya que el r e s t o del d o m i n i o no es n e c e s a r i o d i s c r e t i z a r l o pues en él las d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s son n u l a s . E v i d e n t e m e n t e si la aprox_i_ mación s o b r e los elementos se supone c o n s t a n t e , e x i s t i r á n M nodos también r e p r e - s e n t a t i v o s de los v a l o r e s de las d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s . C a l c u l a n d o en e s t o s M nodos l o s v a l o r e s de las t e n s i o n e s , é s t a s q u e d a r á n en la f o r m a D ¿ r r (p) o rz N (p) >= 5 zz ee D rzr rrz rzz Z n=1 a D rrr t r (CDG) > ds n (p) D (p H D zzr eer D D zzz ee z t (CDG) ^ z - IV.4 rrr rrz r zr rzz ' ú r (CDG) n rrz rzr rzz ) + 6 fi 6 fi ¿ zzz zzr ee r v. z (CDG) k r (CDG) e ez L ds X z (CDG) + Z 6 fi m m=1 z n rr e rz (CDG) (CDG) n n r ^ rzrr z 2 e G_ zzrr eezz p rr zz n 'e P (CDG) ee n 2 z J eer J eoz 2 rrrz rrzz z rzrz 2z z zzrz 2 ZL as^z rzzz • P II e . p . p - ( e .. - 2 c P ZZ zzzz z- e©zz 2 rrge z rz^e z z ZZGG eee^ • P ) ee rz 4 (1-v) (CDG) 2J zzz M l '*eP rrrr z n J zzr nj Z ^ rrr IV.4.10 - ( eM - e II ee ) y e s c r i t a s en f o r m a m a t r i c i a l se o b t e n d r í a . Í B u = P i - S = A_t ú + P% + P + T + T' IV.4.11 eP donde D y S son m a t r i c e s de 4M x 2 N , T ' e s de 4M x 4M, B y A son m a t r i c e s de dimen - s i ó n 2N x 2 N , T lo es de 2N x 4M y el r e s t o son v e c t o r e s de d i m e n s i ó n 2N s a l v o el vec t o r de d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s cuya d i m e n s i ó n es 4M. El c á l c u l o de las m a t r i c e s a n t e r i o r e s p e r m i t i r á pues la r e s o l u c i ó n del p r o b l e ma. T o d a s e l l a s se han c a l c u l a d o i n i c i a l m e n t e s a l v o las m a t r i c e s T y T ' . El c á l c u l o de estas m a t r i c e s exige el c á l c u l o de las i n t e g r a l e s de 2 ijk y Z ijkl en el d o m i n i o . El p r o c e d i m i e n t o que se s e g u i r á es en todo análogo al d e s a r r o l l o en e l a s t i c i dad. A s í p a r a el c a s o c o r r e s p o n d i e n t e a i n t e g r a c i ó n s o b r e elementos a los que no pe£ tenece el elemento se r e a l i z a r á una i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a de H a m m e r , en la f o r m a Z ... do • ijk-.m • am = k Z - w i Z , ( x , y) ijk IV.4.12 i=1 P a r a el c á l c u l o de los elementos de la m a t r i z c o r r e s p o n d i e n t e a la i n t e g r a c i ó n desde un nodo s o b r e un elemento al que p e r t e n e c e se s e g u i r á la t é c n i c a p r o p u e s t a en= el caso e l á s t i c o , n a t u r a l m e n t e extendida al c a s o del d o m i n i o . P a r a e l l o según que"se= i n t e g r e desde un punto del c o n t o r n o ( m a t r i z T ) ó del d o m i n i o ( m a t r i z T 1 ) se e s t a r á en= una de las s i t u a c i o n e s p r e s e n t a d a s en las F i g s . I V . 4 . 1 y IV.4.2. E n el p r i m e r c a s o se r e a l i z a r á la i n t e g r a l de todo el elemento como suma de - las i n t e g r a l e s s o b r e dos t r i á n g u l o s uno de c u y o s v é r t i c e s es el nodo s i n g u l a r . La si t u a c i ó n es t o t a l m e n t e análoga en el segundo c a s o , s a l v o que a h o r a se d i v i d e el elemen to en t r e s s u b t r i á n g u l o s . En e l l o s se p l a n t e a r á también un p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n m i x t a s i m i l a r al d e s a r r o l l a d o en el caso e l á s t i c o , i n t e g r á n d o s e a n a l í t i c a m e n t e s o b r e una zona de dominio - c e r c a n a al punto s i n g u l a r y que suponemos un t r i á n g u l o semejante al total (zona r a y a da en l a s f i g u r a s ) y n u m é r i c a m e n t e s o b r e el r e s t o con un p r o c e d i m i e n t o de c u a d r a t u r a de Gauss p o r e j e m p l o . E n cuanto al p r o c e s o a n a l í t i c o , y debido a la d i f i c u l t a d de r e a l i z a c i ó n de es - tas i n t e g r a l e s , se a p r o v e c h a r á el hecho de que la s i n g u l a r i d a d d s p e n d e sólo de la d i s t a n c i a s-, r e a l i z a n d o una i n t e g r a c i ó n s e m i a n a l í t i c a ; a n a l í t i c a en cuanto a la d i s t a n c i a s se r e f i e r e y n u m é r i c a en cuanto al ángulo e . A s í si se o b s e r v a la F i g . I V . 4 . 3 se - tendrá Fig. IV.4.3 S (6) 2 f dv = 2 TT sr V f IV.4.13 d e .I = 2* V ] 0 V f dv s f ds dv = 2 ti d e [ l i m e S (Ét) I = lim E—0 IV.4.14 s r f ds El c á l c u l o pues de la i n t e g r a l I es el que hay que a b o r d a r p a r a cada uno de los c a s o s que se p r e s e n t a n . Realmente las f u n c i o n e s f que se van a i n t e g r a r c o r r e s p o n d e n e x c l u s i v a m e n t e a las d e r i v a d a s p r i m e r a s y segundas de los m o v i m i e n t o s que son l a s que a p a r e c e n en los t e n s o r e s 2 . y ijk 2 . ,. Así, ijkl - t - Matriz T P ^ r a el c á l c u l o de esta m a t r i z es n e c e s a r i o el c á l c u l o de las d e r i v a d a s p r i m e r a s , p e r o e x t e n d i d a s al d o m i n i o , donde dv = 2*rr s d e d s . S i r e a l i z a m o s e x c l u s i v a m e n t e a n a l í t i c a m e n t e la p a r t e c o r r e s p o n d i e n t e a s nos = damos cuenta que esta i n t e g r a l r e s p e c t o a s es la misma i n t e g r a l que p a r a el c á l c u l o de la m a t r i z A p e r o m u l t i p l i c a d a s p o r s . P o r lo tanto las i n t e g r a l e s r e s u l t a n t e s s e r á n las mismas que p a r a el c a s o de A p e r o p o r s , y además e x t e n d i d a s e n t r e e y S , y lúe go c a l c u l a n d o el lim . Fig. U —r-r r iV dv IV.4.4 e -1 8 TTG (1 - v) R e [ 3 - 4 v 1 + (6 - 8v + t z ) I 2 ] de IV.4.15 donde I I e I están dadas en el apéndice I I . M 3U zr 1 dv 3 r V 8ir G ( 1 - v ) , / R (4 t 3U zr r R I 4 - t 1 9 . ¿ I + r 6 r R t 1 - 3 / 8 D 8ttG ( 1 - v ) rz 1 1 o de IV.4.16 ! ] FT IV.4.1? de e 8 ir G (1-v)\/R~ tR ,. r 1 t z [ R~t 2 2 z I - t2 I r 6 4 + ( t 2 - 3/4) t z t 3 + 2 + 4 U [ ( 1 - 2 t 2 ) t I + i (1 + t 2 ) I + z r 6 z 2 dv 3r V z 3 + r dv + 1/4 3 U -1)t z [ t r fi 3z V t 4 1 + 3 / 8 D i ] o l0 r 2 IV.4.18 de e. rz dv -T t [ 8 TTG ( 1 - V ) ^ R ~ V 6 z 1/4 i + R t i + t /2 l_ - t l _] de 3 z 4 z 5 z 6 .IV.4.19 3 U V 3r , 2 6 rr de dv . 2 (t t 3-4 v » „ , 2 ) I + t R (t 6 r Z 2 8 TTG ( l - v ) ^ R + [ ( 3 - 4 v ) + (3 - 2 v ) t 2 z - t 4 z ] 1 3 3-4 v . ). y. IV.4.20 IV.4 3 U rr -_1 dv 3 z V t 8 TTG ( 1 - v) 3U [t 8 7r G (1 — v ) V 3 z - 1/4 l ] z (3 + 2t r - 4 v) | 6 d 6 IV.4.21 1 1 dv rz R 6 R r (1-2t2) z I 6 -¿(1 + t ) z 2 de I 2 - IV.4.22 3 U -V dv = 3 r i 8 TTG ( 1 - V ) [ t2 z R . ( I _ - R. I . ) + 1 / 4 6 4 3U V zz 3 z 1 ] 1 8 ir G (1 - v ) 2 z - 2 v) | 2 - t / 2 (3-4v + 2t2) r z t [ 2 t - (3-4v) ] I R z 1 . IV.4k23 de 1 dv (t r 6 de IV.4.24 Con e l l o queda f i n a l i z a d o la i n t e g r a c i ó n p a r a T , s i e m p r e que se r e a l i c e p a r a los dos t r i á n g u l o s P B ' C' y P A'C1. - Matriz T1 E s n e c e s a r i o además el c á l c u l o de las i n t e g r a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s a las d e r i vadas segundas de los m o v i m i e n t o s . • S i g u i e n d o un p r o c e s o totalmente análogo al a n t e r i o r h a c i e n d o las mismas sim p l i f i c a c i o n e s se puede o b t e n e r (vease apéndice II). 32U rr de dV 9 r3R i V [1/2R [ (11 - 4 v) t 8 tt G ( 1 - v)\¡R~ - (21/2 - 8 v ) t 2 - l ] z + (2t - 1) t 2 ] z 2 2 r [ 4 U + l 1 + 1 2 I - 4 t z - 1 / 2 R [ ( 3 - 4 v) t 2 - 2 t 4 + z z + R/2 [ (3-4v) t 2 - 2 t4 z - (3-4v)]t z +(2t2-1)t2 3 I + z r z 3 IV.4.25 , ] 8R Las i n t e g r a l e s a n t e r i o r e s están dadas en el apéndice 5 , O b s e r v a n d o éstas se £ deduce que en l ^ » l ^ a p a r e c e el mismo t é r m i n o ln — q u e e tiende a i n f i n i t o , - cuando & t i e n d e a c e r o , p e r o si se suman las c o n t r i b u c i o n e s de las t r e s i n t e g r a l e s y se i n t e g r a e n t r e O y 2TT se tiene p a r a el l n E 2n \¡Rv i [ (3 - 4 v ) t 2 z + (2 t 2 - 1) t 2 ] - 2 t 4 + (2 t 2 - 1) t 2 ] + i [ z r z + [4 t 2 - (3 - 4 v ) ] t 2 (3 - 4 V ) t d e ln 2 z - 2 t 4 z + — 4R 21T = R ln 4R [(3-4 v) 1 ( t 2 - t 2 ) + 2 t 2 ( t 2 - t2) + ( 4 t 2 -1) t 2 ] d e = 0 z r z r z r z I V ."4.26 Lo rrismo o c u r r e en el r e s t o de las ¡ n t e g r a l e s p o s t e r i o r e s , p o r lo q u e n o e s - p V o b l o r a e l ¡ m i n a r los t é r m i n o s en ln e que a p a r e c e n en la f o r m u l a c i ó n de las i n t e g r a les. 2 3 U rr dV d 9 [t 3r3Z V 8 TT G ( 1 - v ) \ f R + —-2 [ (12 r t (4t z - 5 + 4 v) ] ( l , + R I , ) + 4 3 z - 15) + (20 - 8 v ) t 2 - 8 t 4 z z ] I IV.4.27 6 2 a Uz r de 1/2R (8t - 4t - 1) I + 3z3R V 8 TT G (1 - v ) ^ R ~ + i (8t - 12t zr t 8TT z -1)1 2 + (-16t G (1-v) /R~ [ - 2 (4t z + 4R 1 / 4 R ( 2 t 4 - 4 t 2 - 1) I - 1 / 8 R z z 1 dV 3 z 3Z z 6 + 3)1 , + t / 4 ( 2 t 4 r + 14t 2 - 1) I , ~ + z 10 a2U 2 4 dV 2 z - 3) t I ] I r 4 IV.4.28 5 + i (2t 2 z - 3) . _ V . i 3U —-— V 3 R 3U ( — H + 3 z ( - 5 + 4v + 6t IV.4.29 de 6 —-z-r-) dV 3 r 2 ) I„ + t t z 2 r z 2 1 8irG(1-v) ( - 7 + 4 v + 8t [ (33 - 2 4 v ) + (16v - 49) t 4 + 16 t 4 z z ] I R t e. z t r R 2 3 ) I , + 2t t R I _ + z 4 r z 3 n 10 + —-^ (6t 2 z - 1) I 4R 6 - t 3 r R t ' 12 + t r z 4 (8t 2 7 + 1 ) 1 + ----8R 4R 3t 3t - 4 t t t 16 R 15 ' 2 3t _2 R 4 1 6 l o + 6t - 3) l + z z 11 t I. _ + 4R2 (-2t ' 15 ^ I 2 16 R + 16 i IV.4.30 3U J - ( _ £ r 3 Z V + 3 U _ i T ) 3 z «6 + j [(13-8 v ) - 3r 8 - ( 4 4 - 1 6 v) t 2 + 2 4 t 4 z z - i ] dV t R r ] I 4 TTG (1 - v ) \ J r Je + R/2 [ 8 t 4 - 4 t 2 - 1 ] z z [ 2t2 - 1 ] I 0 12 + i [ -t + 3t 4 2 I + —-. 4 3 + 9/2 ] [16t z 1 + 3 / 8 14 4 -l0t2z I _ ] 18 IV.4.31 a2U J v 3 rz RSR dV t 8 TTG 3 + 2t • z t [ 2 t z I R U + 2t t (2t r 3 z r z z 2 z ) I -1)1,+ 4 10 + - - r t r '2 R t3R (3 - 7t + 3 16R ( 1 - V ) / R * t ._ 4R z 3 t r 2 V (8t 4R 4 - 4t z z 2 • - 5) I + 1 5t I 12 4 + — Z 4 - ( 2 t 2 z - 1 ) l + 6 - 5t t z 2t r 4 z 14 - 22t 2 z '„ 1 - 3 8 R IV.4.32 2 a urz -- dV = 3r V 4 1 3Z 8tt G (1 - v ) \ J R - (4t4 - 2t2 - i) R z z + t V I r e - t d e 8 TTG ( 1 - + t t 0\/R 9 ( - 1 + 4 v - 4t 2 Z " 8 t r ( 4 t 4 - 7 / 2 t 2 + 1/4) I + z z 6 2 1 «10 I IV.4.33 Q 18 2 dV 3 z aR [ —---__ ( - 1 + 4 v - 4t ) I + z 2 i ) I, + 4 'z [ (3 - 12 v) + 8 ( 1 + v ) t 2 2R IV.4.34 ] 2 3 U 3 R (1 / 4 - i t 2 ) I - (2t 4 + 4t 2 ) I - 3/8 z 12 z z 14 r 2 3 U ZZ 2 d e (4t - 6t + 3/2) I , z z 4 ,62 zz 3 z 3Z dV de 8irG(1-v)^R [ (1 - 4 v ) + (4 + 8v ) t 2 z - 8t 4 z ] I 4 . IV.4.35 3 U 3 U de d V 3 R V 3z - (14 + 8 v) t + 8 ir G ( 1 - v ) yjR 3 r a [ -2t 4 + (3 + 16 v) t +3] Z 1+ (24t [ 8t6 - 4R t -— 4R + 1 ] 1+ - 1 - [ -16t 4 Z - (4 + 8v ) t + 6t 2 + 3] I + Z +4)1+1/4 [32t I + R/4 [ 8 t 4 - 8 v t 2 + 2 ] I z z 4R - 4R Z - (28 + 16v ) t 2 z - (6 + 16v)¿] - IV.4.36 3U „9__ (____r.z 3 Z 32 V . t r t z I 4 3U 8 nG ( 1 - v ) \ [ R 3 r + d e [-3+4 -12t dV + [1+4 - 4t2] z t z t r I 3 + ] . e J 1 [ (2 + 6 ) - (7 + 4 ) t 2 + 4 t 4 ] z z I 6 IV.4.37 V.- RESULTADOS V.1 CUBO SOMETIDO A T R A C C I O N E n este e j e m p l o se p r e t e n d e a n a l i z a r un cubo de a r i s t a 6 c m , sometido a c a r 2 ga u n i f o r m e de t r a c c i ó n s o b r e sus dos c a r a s opuestas de v a l o r 1000 k g / c m . Natu r a í m e n t e , e s t o s v a l o r e s - s o n totalmente in-eales, p a r a un p r o b l e m a e l á s t i c o , p e r o tie_ Se va a c o n s i d e r a r un m a t e r i a l que t i e n e de modulo de e l a s t i c i d a d E = 2 , 5 Kg/cm 2 y de c o e f i c i e n t e de P o i s s o n v - = 0,25. « D e b i d o a la s i m e t r í a r e s p e c t o a los p l a n o s x y , x z , y z , se sabe que los d e s - p l a z a m i e n t o s de puntos de e s t o s planos r e s p e c t o a las d i r e c c i o n e s p e r p e n d i c u l a r e s a los mismos son nulos p o r lo que se puede f á c i l m e n t e i n t r o d u c i r estos datos como cotí d i c i o n e s de c o n t o r n o de un octante de c u b o , e l i m i n a n d o así la p o s i b i l i d a d de movi > miento como s ó l i d o r í g i d o del d o m i n i o . El p r o b l e m a se va a a b o r d a r con elementos de d i s c r e t i z a c i ó n r e c t a n g u l a r e s y t r i a n g u l a r e s . La d i s c r e t i z a c i ó n y c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o p a r a ambos c a s o s , a p a r e cen r e p r e s e n t a d a s en las F i g s . V . 1 . 3 y V . 1 . 4 r e s p e c t i v a m e n t e . - 310 b i s - 2 3 F i g . V . l .4 En cuanto a t e n s i o n e s , r e f i r i é n d o n o s de nuevo al caso de d i s c r e t i z a c i ó n en r e c t á n g u l o s , la s o l u c i ó n t e & r i c a c o r r e s p o n d e a la s i g u i e n t e : ELEMENTO 1 a ELEMENTO 2 T ELEMENTO 3 ELEMENTO 4 =1000 X = 0 xy o X T xy = ° -yz"0 "y"0 = - 1000 V * xz = ° L xz = 0 •y"0 o ELEMENTO 5 T yz ELEMENTO 6 T yz 1 = 0 = 0 Las dos s o l u c i o n e s obtenidas con el p r o g r a m a P E C E T p a r a las d i s c r e t i z a c i o n e s ante_ n ó r m e n t e d e f i n i d a s , se van a c o m p a r a r también con las obtenidas con el p r o g r a m a MASCA (ver ref [lOO] y [ l O l ] ). Este programa de elementos de c o n t o r n o u t i l i z a = t r á n g u l o s p l a n o s c o n e v o l u c i ó n c o n s t a n t e de t e n s i o n e s y m o v i m i e n t o s s o b r e e l l o s . - El p r o g r a m a t r a b a j a e x c l u s i v a m e n t e en ememoria p r i n c i p a l p o r lo que el campo de - a p l i c a c i ó n r e s u l t a bastante l i m i t a d o . La d i s c r e t i z a c i ó n u t i l i z a d a p a r a este p r o g r a m a ha sido la s i g u i e n t e . Fig. V.1.5 E n las c o n d i c i o n e s de c a r g a e s p e c i f i c a d a s , la s o l u c i ó n es la c o r r e s p o n d i e n t e a una b a r r a sometida a e s f u e r z o a x i l , es d e c i r : e x o _ £ e ' y _ e z =—_ v e x Los m o v i m i e n t o s p o r t a n t o s e r á n : u = e x x v = e y y w = e z z ya que los c o n d i c i o n a n t e s de c o n t o r n o son u = 0 p a r a x = 0; v = 0 p a r a y = 0; w = 0 pa r a z = 0 . P o r e l l o la t a b l a de m o v i m i e n t o s c o m p l e t a , r e f e r i d a a la d i s c r e t i z a c i ó n con r e c t á n g u l o s es: NODO u V w 1 1.200 0 0 ? 1 .200 - 100 0 3 1.200 - 300 0 4 1.200 - 300 5 1 .200 - 300 - 300 6 1 .200 - 150 - 300 7 1.200 0 - 300 8 1.200 0 - 150 . - 100 0 9 600 - 300 110 600 - 300 11 600 0 12 600 0 13 0 - 300 14 0 - 300 - 150 15 0 - 300 - 300 16 0 - 150 - 300 - 300 - 30 0 0 0 MODO 17 18 19 u V 0 0 - 3C0 0 0 - 150 n 0 20 w 0 0 - 150 0 Los r e s u l t a d o s c o m p a r a t i v o s obtenidos son: SOLUCION PECET. RECT. PECET . T R I A N . EXACTA Nod/Ele Nodo VAR 1200. u V - 180. aw X - 1000. 1 1200. 7 - 150. 8 17/3 - 1000. -.02162 2 a .y 0 12/4 CT 0 3/5 Z Valor .26 18/7 15/1* 9 / 9i MASCA Valor Ele. Vabr 1221 . 17 1226. 22 -998. - 126.5 - 963. 52.98 56. 2 r - 20. - 10. Puede o b s e r v a r s e , como c o n c l u s i ó n que hecha la i n t e r p o l a c i ó n p a r a b ó l i c a , t a n to usando c u a d r i l á t e r o s como t r i á n g u l o s , r e a l i z a d a p o r el grama P E C E T da muchos m e j o r e s r e s u l t a d o s que ia a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e r e a l i z a d a en el p r o g r a m a M A S C A , como e r a de e s p e r a r . Hay que r e c o r d a r que en este s e n c i l l o ejempio el campo de M o v i m i e n t o es l i n e a l y p o r tanto la a p r o x i m a c i ó n p a r a b ó l i c a lo r e p r e s e n t a exactamente, p o r e l l o , un s o l o elemento p o r c a r a ha s i d o s u f i e n t e para obtener excelentes r e s u l - tados. Fuede p o r o t r o lado o b s e r v a r s e que la r e s o l u c i ó n , d e n t r o de la a p r o x i m a c i ó n = p a r a b ó l i c a , obtenida con los r e c t á n g u l o s es s u p e r i o r a la de los t r i á n g u l o s lo que de be i m p l i c a r s e al - c a í c u l o , en el p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n , de datos como r e c t á n g u l o s = d e g e n e r a d o s , lo que p r o d u c e c i e r t a d i s t o r s i ó n en los r e s u l t a d o s , siendo n e c e s a r i o un r e f i n o s u p e r i o r en la malla p a r a c o n s e g u i r la misma p r e c i s i ó n . V . 2 . - CILINDRO SOMETIDO A PRESION INTERNA Se va a a n a l i z a r un c i l i n d r o de p a r e d g r u e s a , sometido a p r e s i ó n i n t e r n a de v a 2 l o r 1000 K g / c m . Las d i m e n s i o n e s del c i l i n d r o son: r a d i o e x t e r i o r 110 cm y r a d i o in - t e r i o r 30 c m . E l a n á l i s i s se va a r e a l i z a r en p r i m e r l u g a r c o n s i d e r á n d o l o como un ejemplo - t r i d i m e n s i o n a l al que a p l i c a r e m o s e! p r o g r a m a P E C E T . E n segundo l u g a r se h a r á el a n á l i s i s como un c a s o a x i s i m é t r i c o mediante el p r o g r a m a A X I E . La s o l u c i ó n t e ó r i c a a este c a s o de e l a s t i c i d a d p l a n o , puede o b t e n e r s e , p o r ejem p í o , en r e f . (52), P á g . 297 como: 1-2v u a r E = 2 P a ,2 2 o - a P a ° t = — siendo 2 J — b —a 2 p a ~2 2 b - a h2 b 2 r (1 L2 (* 0 + , 1 + v r E ) b x " F r » a = r a d i o i n t e r i o r del c i l i n d r o , r a d i o e x t e r i o r del c i l i n d r o . a 2 r b 2 p ~~2 2 b - a V . 2 . 1 . - A N A L I S I S COMO D O M I N I O TRIDIMENSIONAL P o r c o n s i d e r a r s e un c i l i n d r o i n d e f i n i d o , c o r r e s p o n d e a un caso de d e f o r m a c i ó n p l a n a , p o r lo que no e x i s t e d e s p l a z a m i e n t o según el eje z . E s t a s i t u a c i ó n se simula me d i a n t e la i n t r o d u c c i ó n de esta c o n d i c i ó n de c o n t o r n o en los elementos p e r p e n d i c u l a r e s = a la d i r e c c i ó n del eje del c i l i n d r o . La F i g . V . 2 . 1 .1 m u e s t r a el t i p o de c i l i n d r o c o n s i derado. 220 Fig. V.2.1.1 D e b i d o a la s i m e t r í a r e s p e c t o a los p l a n o s xz e y z , los d e s p l a z a m i e n t o s p e r p e n d i c u l a r e s a e s t o s planos en los puntos que p e r t e n e z c a n a e l l o s deben s e r n u l o s , p o r lo que i n t r o d u c i e n d o también esas c o n d i c i o n e s en m o v i m i e n t o s , ei p r o b l e m a r e a l que r e solvemos en el p r o g r m a es el que se i n d i c a en la F i g . V.2.1.2. - La d i s c r e t i z a c i ó n de nodos y elementos usada es la s i g u i e n t e . F i g . 15 >8 LO 17 16 O 18 © 15 14 13 11 Fig. V.2.1.3 V.2.1.3 Los m o v i m i e n t o s r a d i a l e s p a r a los d i f e r e n t e s nodos de la d i s c r e t i z a c i ó n , según la s o l u c i ó n a n a l í t i c a a n t e r i o r m e n t e expuesta e s : u u u r r r (nodos 1 a 8) = 6187,5 (nodos 9 a 1 2 ) = 8070,15 (nodos 13 a 20) = 16687,5 (Se han supuesto los mismos v a l o r e s E y v que en el e j e m p l o V . 1 ) P a r a las t e n s i o n e s se t e n d r á : o ^ = (nodos 1 a 8) = ° = (nodos 9 a 12) = 0160,71 K g / c m 2 278,79 K g / c m 2 o ^ = (nodos 13 a 20) = 1 1 6 0 , 7 1 K g / c m Se e s p e c i f i c a s ó l o { 2 pues es la que se c o r r e s p o n d e d i r e c t a m e n t e con los r e s u l t a d o s del p r o g r a m a . j A c o n t i n u a c i ó n se i n c l u y e una tabla resumen con los r e s u l t a d o s de algunos no dos en m o v i m i e n t o y t e n s i o n e s así como el e r r o r c o m e t i d o . - - NODO VARIABLE 7 u 8 u 11 u 17 u 18 u 7 11 r r r r r t 0 ° t 18 PECET 6187.5 6249. 0.99 6187.5 6336. 2.4 8070.15 7850. - 2.72 16687.5 15920. - 4.59 16687.5 16090. - 3.58 160.71 165.9 278.79 262.7 1160. 17 8 TEORIA a t °t 160.71 1160. ERROR % 3.2 - 1030. 172.2 1051. r 5.77 11.2 7.1 9.39 V . 2 . 2 . - A N A L I S I S COMO C A S O A X i S I M E T R I C O Se ha r e s u e l t o también el p r o b l e m a a n t e r i o r , c o n s i d e r a n d o el c i l i n d r o como un s ó l i d o a x i s i m é t r i c o , i n d e f i n i d o , y p o r tanto c o n d e f o r m a c i ó n nula en la d i r e c c i ó n z - ( d e f i n i c i ó n p l a n a ) . Como c o n s e c u e n c i a de e l l o se ha c o n s i d e r a d o una s i t u a c i ó n de con_ d i c i o n e s de c o n t o r n o análoga a la a n t e r i o r , es d e c i r se suponen nulos los desplaza - mientos de las s e c c i o n e s e x t r e m a s p e r p e n d i c u l a r e s al eje z , en esta d i r e c c i ó n . Las c a r a c t e r í s t i c a s del m a t e r i a l , así como las d i m e n s i o n e s y el v a l o r de la pre_ s i ó n i n t e r n a se han c o n s i d e r a d o i d é n t i c a s a las del ejemplo V . 2 . 1 con el objeto de com parar. E n c u a n t o a la d i s c r e t i z a c i ó n se han efectuado ensayos con 3 d i s c r e t i z a c i o n e s = d i f e r e n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s a 4 0 , 80 y 100 elementos con a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e . D i chas d i s c r e t i z a c i o n e s se m u e s t r a n a c o n t i n u a c i ó n , así como la s i t u a c i ó n de los nodos que v a n a s e r v i r de c o n p a r a c i ó n . s U I i> t i ) 11 t l i 111 i n v > 11111111 n i •)• IIW u n i 87 h 2 + 1 5 JL ::63 13 55 40 M H I II > l I I I | M I I I I H 26 Fie V . 2 . 2 . 1 38 44 •51 NODO VARIABLE 1 u 5 u 13 u 1 u 5 r r r TEORIA A X I E (100) 16687.5 17145.5 16687.5 16599.4 - 0.7 16687.5 15963. - 4.3 0 125.534 u^ z 0 270.0 13 u 0 26 u 38 u 51 u 55 u 63 u 40 44 82 87 z z 15892.7 r r r r r Oz ° z a 0 z z ERROR A X I E % 2.7 -0.71 16993.9 6.9 7701.62 7687.5 - 0.1 6187.5 5907.87 - 4.5 6187.5 5890.91 - 4.7 6187.5 5708.11 - 7.7 40.18 - 37.10 40.18 - 41.83 40.18 40.18 7.6 - 41.77 37.07 4.1 4.0 - 7.7 Asimismo puede h a c e r s e un e s t u d i o de c o m p a r a c i ó n e n t r e las d i s t i n t a s d i s c r e t i z a c i o n e s u t i l i z a d a s , p a r a lo cual se r e f l e j a r á la v a r i a c i ó n de movimiento r a d i a l a lo l a r g o de la linea A B de la F i g . Fig. V.2.2.2 E s p r e c i s o h a c e r n o t a r la d i f e r e n c i a a p r e c i a b l e en lo que se r e f i e r e a movimien tos en la d i r e c c i ó n z . E s t a d i f e r e n c i a es debida a que la m o d e l a c i ó n del estado de de f o r m a c i ó n plana no es p e r f e c t a con las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o que se han i n t r o d u c i d o , s i n o que al p e r m i t i r s e el d e s p l a z a m i e n t o en esta d i r e c c i ó n , debido al efecto P o í s s o n , éste se p r o d u c e . E s t e hecho t i e n e como c o n s e c u e n c i a el que la deformada tenga una a p a r i e n c i a - d i s t i n t a a la e s p e r a d a en d e f o r m a c i ó n plana ( F i g . V . 2 . 2 . 1 ) p e r o totalmente de a c u e r d o con las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o que se imponen. E s t e e f e c t o p r o d u c e también un cambio en los v a l o r e s de la t e n s i ó n realmente apreciable. que es - E s también i m p o r t a n t e r e s a l t a r el hecho de que una m e j o r d i s c r e t i z a c i ó n no modi_ f i c a s u s t a n c i a l m e n t e los r e s u l t a d o s siendo s u f i e n t e con la p r i m e r a de e l l a s p a r a c o n s e guir resultados suficientemente p r e c i s o s . Fig.V.2.2.3 V . 3 . - ESFERA. S O M E T I D A A P R E S I O N INTERNA Como un e j e m p l o de la c a p a c i d a d del p r o g r a m a p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s de g r a n d i m e n s i ó n , así como de la a p r o x i a m c i p n que los elementos p a r a b ó l i c o s consiguen en la r e p r e s e n t a c i ó n de la g e o m e t r í a de un s ó l i d o de g r a n c u r v a t u r a , se ha r e s u e l t o un= p r o b l e m a t i p o muy c o n o c i d o como es la e s f e r a sometida a p r e s i ó n i n t e r n a . E s t e p r o b l e m a posee s o l u c i ó n exacta y v i e n e d e f i n i d a p o r las e x p r e s i o n e s s i g u i e n t e s (vease [ 52 pa 1 u = u T T 3-X+2G" r e 3 = u <t> P. r b a + i • 46 a 3 b b 3 , 2 a = 0 3 , l 3 _3x p. a (b - R ) i ~ 3~7~3 ~3~~ R (a - b ) o e = a <t> p i ^ aJ (2R 3 3 +b ) 2 R"3 ( b 3 - a 3 ) La p r i m e r a d i s c r e t i z a c i ó n que se pensó a p r o v e c h a n d o los e x c e l e n t e s resuj[ tados c o n s e g u i d o s en el ejemplo V . 2 . 1 con una d i s c r e t i z a c i ó n muy g r o s e r a fue la que - se r e p r e s e n t a en la F i g . V . 3 . 1 de s o l o 6 e l e m e n t o s , donde se a p r o v e c h ó el hecho de - que u - = u = 0 y se r e a l i a ó un c o r t e en la e s f e r a mediante una s u p e r f i c i e c ó n i c a 6 4> c o n s i g u i e n d o una c a r a e = 0 y p o r tanto un m o v i m i e n t o nulo p e r p e n d i c u l a r . 7 Fig.V.3.1 I n t r o d u c i e n d o la c o n d i c i ó n de c o n t o r n o p e r t i n e n t e se c o n s i g u i e r o n males r e s u l tados c o n e r r o r e s del o r d e n del 30 %. E s t e hecho es l ó g i c o ya que la geometría de los elementos es más complicada que en los e j e m p l o s a n t e r i o r e s y como consecuencia q u e da p e o r a p r o x i m a d a . P a r a s a l v a g u a r d a r este i n c o n v e n i e n t e se pensó o t r a d i s c r e t i z a c i ó n con 18 ele - mentos y 36 nodos que r e p r e s e n t a b a n mucho m e j o r la geometría del s ó l i d o . El p r o b l e ma a h o r a c o n s i s t í a en las n e c e s i d a d e s de m e m o r i a . E f e c t i v a m e n t e el tamaño de la ma t r i z del s i s t e m a de e c u a c i o n e s es de 1 68 x 1 68 29 K p a l a b r a s . P a r a s a l v a r este p r o b l e m a e x i s t e n dos a l t e r n a t i v a s , la p r i m e r a c o n s i s t e en r e a l i z a r una e x t e n s i ó n de memoria a t r a v é s de s e n t e n c i a s y ó r d e n e s de c o n t r o l a p r o p i a - d a s , y la segunda en u t i l i z a r una m e m o r i a r e d u c i d a haciendo uso e n t e n s i v o del método de las á r e a s b u f f e r m ú l t i p l e s (vease anexo I . 3 ) , con el c o n s i g u i e n t e aumento de - t i e m p o , que el o r d e n a d o r u t i l i z a d o es de g r a n i m p o r t a n c i a , d e b i d o a la i n e f i c i e n c i a en= el t r a t a m i e n t o de los a c c e s o s a m e m o r i a auxtH'ar-.L A p e s a r de e l l o se e l i g i ó esta p o s i b i l i d a d con el o b j e t o de p r o b a r el método a n t e d i c h o . Los r e s u l t a d o s f u e r o n e x c e l e n t e s en c u a n t o a n e c e s i d a d de memoria (solo - 6 K p a l a b r a p a r a la m a t r i z ) p e r o lógicamente muy malos en cuanto a tiempo n e c e s a r i o . De hecho es de p r e v e r que en o r d e n a d o r e s de m a y o r c a p a c i d a d y r a p i d e z , y debido a laenorme f l e x i b i l i d a d del p r o g r a m a p a r a su i m p l e m e n t a c i ó n en c u a l q u i e r a de e l l o s , la= e f i c i e n c i a de éste aumente de f o r m a n o t a b l e . La d i s c r e t i z a c i ó n u t i l i z a d a , así como algunos r e s u l t a d o s obtenidos se p r e s e n t a n a continuación. RESULTADOS V.3 Fig. V.3.2 VARIABLE TEORIA PECET 1 u 6428.57 6401. -0.43 17 u 7164.72 7109 -0.78 23 u 8492.06 8406. -1.01 10928.57 10800. -1.17 15714. 29 15590. - 0.79 NODO 35 u 41 u 1 a 17 o 23 a r r r r r t t t ERROR % 207.5 -3.17 249.48 250.9 0.57 312.17 303.9 -2.65 214.29 i 35 o 41 a t t 435.43 433.5 -0.44 714.29 757.. 5.98 « E n c u a n t o a los tiempos que se n e c e s i t a n p a r a la r e a l i z a c i ó n del problema se p r e s e n t a n en la tabal a d j u n t a . Se c o n c l u y e en d e f i n i t i v a que como en todos los g r a n d e s p r c g r a / n a s numé - r i c o s la c a p a c i d a d y v e r s a t i l i d a d están r e ñ i d a s con el tiempo de e j e c u c i ó n , siendo n e c e s a r i o el uso de g r a n d e s o r d e n a d o r e s p a r a que puedan a f l o r a r j a s que el p r o g r a m a en sí c o n l l e v a . T I E M P O T O T A L DE C P U 24 ' 50 " T I EMPO DE E N T R A D A - S A L I DA 34 ' 49 " T I E M P O DE E S P E R A T I EMPO DE A C C E S O S TIEMPO TOTAL 2 " 6 ' 66 ' 22 " 8 " todas las v e n t a - V.4 V . 4 . - C U B O S O M E T I D O A C A R G A S DE T R A C C I O N E N P U N T O S INTERNOS Con o b j e t o de c o m p r o b a r el t r a t a m i e n t o de f u e r z a s de volumen , se ha c o n s i d e r a do un e j e m p l o c o r r e s p o n d i e n t e a un cubo sometido a c a r g a s de a n c l a j e en puntos i n t e r nos. E s de a d v e r t i r que este e j e m p l o no t i e n e s o l u c i ó n t e ó r i c a , ni ha sido tampoco - p o s i b l e el r e a l i z a r la c o m p a r a c i ó n c o n o t r o s métodos n u m é r i c o s , p o r lo que se p r e s e n ta s i n r e a l i z a r ninguna c o m p a r a c i ó n . S i n embargo las c a r a c t e r í s t i c a s de los r e s u l t a dos p e r m i t e n a v e n t u r a r , si no a s e g u r a r , la f i a b i l i d a d de d i c h o s r e s u l t a d o s . El p r o b l e m a c o n s i s t e en el mismo s ó l i d o p r e s e n t a d o en el ejemplo V . 1 con las mismas c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o s a l v o que no e x i s t e c a r g a de t r a c c i ó n en la c a r a de - l a n t e r a . Las c a r g a s a las que está sometido son dos c a r g a s c o n c e n t r a d a s , a modo de= c a b l e s de a n c l a j e , según i n d i c a la F i g . V . 4 . 1 y de v a l o r 1000. O O O o tj ü y o o o u y Los r e s u l t a d o s c o r r e s p o n d i e n t e s a m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s se p r e s e n t a n en la t a b l e adjunta p a r a algunos de ios nodos i n d i c a d o s en la d i s c r e t i z a c i ó n p r e s e n t a d a en la F i g u r a V.4.2 NODO VARIABLE PECET 1 u 625.2 9 u 0.000659 3 V 319.6 4 V " 3059. A s i m i s m o , la deformada que r e s u l t a se p r e s e n t a en la s i g u i e n t e f i g u r a , pudien dose o b s e r v a r el e f e c t o de las c a r g a s s o b r e la d e f o r m a c i ó n de las c a r a s l a t e r a l e s . V . 5 . - MATERIAL HETEROGENEO SOMETIDO A TRACCION Con o b j e t o de c o m p r o b a r la s u b r e g i o n a l i z a c i ó n en el p r o g r a m a se ha pasado un e j e m p l o c o n dos s u b r e g i o n e s , c o r r e s p o n d i e n t e s a un cubo sometido a t r a c c i ó n . La d i s c r e t i z a c i ó n es la que se m u e s t r a en la F i g . V . 5 . 1 y las c o n d i c i o n e s de con - t o r n o , s i t u a c i ó n y v a l o r e s de l a s c a r g a s son i d é n t i c o s a los del ejemplo V . 1 Subregión 2 Subregión 1 Fig. V.5.1 « E n p r i n c i p i o y p a r a c o m p r o b a r la e x a c t i t u d del método se supuso el mismo m a t e r i a l en las dos s u b r e g i o n e s . Las c a r a c t e r í s t i c a s de éste c o r r e s p o n d i e a n e x a c tamente a las del p r o b l e m a V . 1 . Los r e s u l t a d o s f u e r o n totalmente s a t i s f a c t o r i o s . E f e c t i v a m e n t e en todos los nudos se c o n s i g u i ó la s o l u c i ó n exacta con e r r o r e s infe r i o r e s al 0 , 1 % tanto en t e n s i o n e s como en m o v i m i e n t o s . A c o n t i n u a c i ó n se pasó de nuevo el p r o b l e m a con dos m a t e r i a l e s d i f e r e n t e s . El p r i m e r o de c a r a c t e r í s t i c a s E = 5 y E = 0,25 y e l segundo E = 1 , 5 E = 0,25. La s o l u c i ó n exacta de este p r o b l e m a puede o b t e n e r s e inmediatamente api i - cando las r e l a c i o n e s de e q u i l i b r i o y c o m p a t i b i l i d a d en la i n t e r f a s e , teniendo en a E X cuenta que = — - — , con lo que se puede o b t e n e r el movimiento u . S i n embargo x E los m o v i m i e n t o s t r a n s v e r s a l e s en la i t e r a c i ó n de m a t e r i a l e s es muy c o m p l i c a d o , - e s p e r á n d o s e un v a l o r medio e n t r e los c o r r e s p o n d i e n t e s a los dos mr a t e r i a l e s . N a t u r a l m e n t e el hecho de i m p e d i r el m o v i m i e n t o en las c a r a s o c u l t a s y la p r e s e n c i a de la i n t e r f a s e hace que se p i e r d a la s i m e t r í a o r i g i n a L d e l p r o b l e m a . - A s i m i s m o la p r e s e n c i a de g r a n d e s d e s p l a z a m i e n t o s t r a n s v e r s a l e s no u n i f o r m e s ha_ cen v a r i a r el r e s u l t a d o en m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s i n i c i a l m e n t e p r e v i s t o p o r la - teoría elemental. S i n e m b a r g o i n c l u s o en este c a s o se c o n s i g u e n e x c e l e n t e s r e s u l t a d o s con - una d i s c r e t i z a c i ó n tan g r u e s a como la p r e s e n t a d a . A l g u n o s v a l o r e s c o m p a r a t i v o s se muestran a continuación. NODO 3 u 3 V 10 u 10 V 14 u 15 TEORIA VARIABLE PECET 900 - 300 - 600 - 300 - 300 + 150 V % 917.9 1.99 298.7 0.43 626.1 4.35 264.8 11.72 292.8 300 ERROR - 2.40 - 200.2 11.11 - 1000. - 935.6 6.44 - 1000. - 1096.0 9.60 2 26 0 31 a 1 T X X xy 0 0.5 r- Se o b s e r v a c l a r a m e n t e como el hecho de que las d i f e r e n c i a s aumentan al a c e r c a r n o s a la i n t e r f a s e , como una c o n s e c u e n c i a d i r e c t a de que la s o l u c i ó n t e ó r i ca no es exacta en sus p r o x i m i d a d e s . * V . 6 . - A N A L I S I S DEL DOLO El D o l o es un elemento de p r o t e c c i ó n u t i l i z a d o en e s t r u c t u r a s m a r i n a s ( d i q u e s ) , que c o n s t a de dos cabezas de m a r t i l l o u n i d a s p o r el mango y en d i r e c c i o n e s p e r p e n d i c u l a r e s . La F i g . V . 6 . 1 m u e s t r a un esuqema del m i s m o . -i SLOCK VOLUME» 0.1549 h 5 FIG 1.—Dimensions of Dclos Unít Fig. V.6.1 E l c á l c u l o de un d o l o se l l e v a a cabo i n t r o d u c i e n d o una s e r i e de s i m p l i f i c a c i o n e s en su s u s t e n t a c i ó n y c a r g a s que s o p o r t a , que en p r i n c i p i o r e s u l t a n d i f í c i l e s de p r e v e e r ya que un d o l o puede s e r golpeado a c c i d e n t a l m e n t e p o r o t r o s d o l o s que se desplazan - d u r a n t e una t e m p e s t a d . Los elementos que c o n s t i t u y e n un d o l o t i e n e n e x c e l e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s p a r a e n t r e l a z a r s e y p o r t a n t o , una h i p ó t e s i s bastante común (Ref [ 3 9 ] , ) - es que el d o l o queda f i r m e m e n t e e m p o t r a d o a lo l a r g o de una de las c a r a s l a t e r a l e s de= una de las c a b e z a s según se i n d i c a en la quematicamente el d o l o . F i e . V . 6 . 2 , en la que se ha r e p r e s e n t a d o es Fig.V.6.3 —7* / u / / / / / / // | I1 1 / / / / /\7-r? 1 FIG. 3 . — D o l o s ¡n Posrtion as S h o w n ( S l i g h t l y U p l r f t e d ) a n d Hit b y A n o t h e r Dolos A l o n g One of T w o Directions Fig. V.6.2 S u p o n d r e m o s que la p a r t e c e n t r a l queda en p o s i c i ó n h o r i z o n t a l , que la cabeza - h o r i z o n t a l queda empotrada a lo l a r g o de su c a r a l a t e r a l y la segunda c a b e z a , quedará en p o s i c i ó n v e r t i c a l , l i g e r a m e n t e e l e v a d a , p o r lo que no h a b r á r e a c c i o n e s s o b r e e l l a d u r a n t e una t e m p e s t a d , o t r o s d o l o s pueden g o l p e a r el e x t r e m o s u p e r i o r de estos d o l o s , en c u a l q u i e r a de las d i r e c c i o n e s m o s t r a d a s en la F i g . V.6.3. Los e s f u e r z o s o r i g i n a d o s p o r el p r o p i o d o l o y las a c c i o n e s e x t e r i o r e s han de s e r r e s i s t i d a s p o r la cabeza .conectada r í g i d a m e n t e al s o p o r t e . Las f u e r z a s que actúan s o b r e la s e c c i ó n s e r á n : 1 P e s o del d o l o . 2 . - Momentos f l e c t o r e s debidos al c u e r p o c e n t r a l y a la cabeza v e r t i c a l . * RESULTADOS V.6 3 . - Momentos f l e c t o r e s ó t o r s i o n e s debido a los golpes de o t r o s dol OS • >. P u e s t o que el d o l o admite dos planos de s i m e t r í a y la mayor p a r t e de las c a r g a s a c t u a n t e s no a l t e r a n esta s í m e t r i a , es p o s i b l e e s t u d i a r la c u a r t a p a r t e del d o l o , cuya d i s c r e t i z a c i ó n se e n c u e n t r a en las páginas s i g u i e n t e s . F i n a l m e n t e se i n c l u y e una sali_ da del p r o g r a m a c o n i n d i c a c i ó n de los nodos c r í t i c o s r e s u l t a n t e s de la d i s c r e t i z a c i ó n . - 341 b i s - Gr'RNT 353 **K**CATALOGO DE. NODOS CRITICOS***** NODO NOCRI .3303 4 -1.3330 1 .0308 -1.3333 .0030 44 .8003 2 .3333 -1.3333 3 42 .3333 -1.3333 4 .0333 13 .3333 -4.3330 .3333 44 .3330 5 .0333 -4.0333 .0303 47 ó -1.3330 .3333 7 .3333 22 .0030 .0030 -4.3303 23 8 -1.3333 .0333 9 .8330 24 .3300 -1.3333 .0333 34 40 .3333 -4.3330 .3333 35 41 .0330 -4.0333 .3333 36 12 -1.3330 .3330 37 13 .3333 .0030 -4.0303 33 14 .3333 .0330 -4.3333 .3333 43 15 .0000 -1.0333 44 16 .0333 -4.3333 .3330 45 17 .3330 -4.0303 .0333 55 48 . .0333 .3333 .3333 -4.3333 56 19 .0333 57 23 .0333 -4.3333 .3333 -4.3330 58 21 .3333 .3330 1.3333 .8333 63 22 .3330 -1.3330 64 23 .3333 .0330 -4.0300 .0000 65 24 .3330 .3330 -4.3333 72 25 .0033 .0333 . -4.0333 74 26 -4.3333 .3333 .3333 75 27 .-4.0333 .0300 .3333 76 23 -4.3333 .3330 .3333 81 29 -4.0333 .0333 .0333 82 33 .3333 .3330 -1.3333 83 31 .0330 84 32 .0000 -1.0333 .3330 .3330 -1.3330 85 33 .3330 .0330 -1.0330 86 34 -1.3333 .3333 87 35 .3330 .0330 .0333 83 36 -1.3303 -1.3330. .3333 .3333 S9 37 -4.3333 .0330 .0330 93 33 .3330 .3333 -1.3330 94 39 -1.0030 .0300 .0333 92 40 .0030 .3333 -1.3333 93 44 .0333 .0333 94 42 -1.0333 .3333 .3333 95 43 -1.3333 .0333 -4.0333 .3300 96 44 .3333 .3333 97 45 -4.3333 .3333 .0009 -4.0333 93 46 .3330 .3330 99 47 -4.3333 .3330 .0030 -4.0333 400 48 .3330 -1.3333 .3030 494 49 .0000 -1.0300 .0303 402 50 .3030 .0300 -4.3338 135 54 .0003 .0330 406 52 -1.0003 .3333 -4.3333 .3330 137 53 -1.0333 .0000 .0333 408 Sh .3330 -1.3033 .3333 4S9 55 .0300 .0333 415 56 -4.0033 .3330 -4.3333 .3330 446 57 .0333 .0333 -1.3333 447 58 .3333 .3333 -1.3300 418 59 .0333 .0033 -1.0303 149 60 .3333 -1.3333 .3333 423 61 -1.0333 .0333 .0333 424 62 .3333 -1.3333 .6333 122 63 .0330 -1.0003 .0333 123 64 .3330 .0333 -1.6333 126 65 amo nono _ t nnoia 4-5 7 11 .3300 .9950 .0330 .9383 .3333 .9972 .3333 1.3333 .3333 .9987 .0333 .9572 .3303 .9888 .0033 1.0330 .3333 .9981 .3303 .9890 .3333 .9972 4.0300 .0030 .0330 .9987 .9949 .3003 .3333 .9893 .0000 1.0000 .3333 4.3330 .3030 . .9965 .77 93 .3333 .0033 4.0003 .3333 .9972 .3033 .9965 4.3330 .3333 4.0303 .0033 .3000 .0856 .0330 4.0000 .3333 4.3333 .3330 1.0033 .3333 1.3333 .0033 • 1.0330 .3333 .3330 .0030 .3303 .3330 .3330 .8003 .0003 .3333 .0303 .0330 .0003 .3333 -4.3333 .0330 -1.0003 .0303 -4.3333 .0300 -4.0330 .3333 .3333 .0303 .0330 .3330 .3333 .0033 .0033 .3330 .0333 .0033 .0333 .3333 .3033 .3330 .3333 .3333 .3330 .3333 4.3330 .3330 .3330 .0033 .0333 .3033 .3330 .0333 1.0333 .3333 1.3333 .0000 .0033 .3333 .3303 .0330 .0333 . 3333 .3330 .3330 .0333 .3333 1.3333 .0330 1.3303 1.3333 .0333 .0300 .7418 .3333 .3033 aocw .0300 .0303 .3333 .3333 .3333 .0333 .3330 .0003 .3330 .0030 .3330 .0333 .3333 .0000 .3330 .0033 .0363 .0033 .3333 .0030 .3330 .0333 .3333 .0000 .3330 .0033 .3333 .0333 .3333 .0000 -.8551 -.8785 -.9376 -.7074 -.3333 -1.0333 .3333 .0300 .3333 .0000 -1.3333 .0330 -.9381 -.9376 -.9376 -.8770 -.9283. -.9304 -.8535 .0000 -.9763 -.9560 -4.3333 .0033 .3330 -4.3333 -4.3333 -1.0033 -4.3333 -4.0333 .3333 ' .0033 .3330 .0030 -.9840 _ a n /. A . 1333 -.4495 -.3754 -.3333 .3533 .2394 -.4495 .0303 .3618 - . 4434 -.3747 -.0333 .3538 . 40 4 4 -.4484 .3333 -.3333 -.0340 -.6266 -.e033 -.3749 -.0340 .3333 .0033 .9963 -.3333 -.3333 .0030 .3333 .3333 -.5484 -.4777 -.4198 .7371 1.3330 .0033 .3333 • .3333 .3333 .0333 .3333 1.3033 -.3464 -.4193 -.4198 -.4905 -.3718 -.3673 -.5213 -.0033 -.2176 -.2933 .3333 -.0333 .3333 .0333 .3333 .0333 .3333 .3330 .3333 .3333 .3333 -.6707 - . 1940 _ oe¿ á .3330 .0333 . £333 .3303 .3333 .0333 .3330 .0333 .3300 .3333 .3333 .0330 .3333 .0333 .3333 .3333 .3330 .0333 . 3333 .0333 .3330 .0333 .3333 .0030 .3330 .0333 .3333 .3333 .3383 .3030 .3333 .0030 .3330 .0033 .3330 .0330 .3333 .0333 .3333 .6303 .3330 .3333 .3333 . 8033 .3333 .0030 .3330 .0330 .3333 .3333 .3333 .0003 .3333 .0333 .3333 .0033 .3333 .0333 . 3330 .3333 . £333 .3333 .3330 .0333 .0330 ctcioia .3300 4 43.3333 .0003 443.0000 .3330 413.3333 .0333 4 4 3.0333 .3333 443.3333 .0033 413.0330 .3330 4 43.0339 .0033 4 43.0330 .3330 413.0330 .0330 413.0039 .3330 143.3330 .0303 113.0333 .3333 413.3330 . 3333 113.0003 .3330 4 13.3330 .8030 413.0333 .3333 4 43.3333 .0338 443.0303 .3333 4 43.3333 . 0333 443.0339 .3330 413.3303 .3003 443.0333 . 3033 4 43.3333 .0333 443.0303 .3333 4 43.3303 .0033 443.0333 .3333 1 43.3308 .0330 443.0030 .3333 413.0300 .0333 143.0333 .3330 413.3033 .3033 443.0030 . 3333 443.3330 .0093 143.0333 . 3333 113.3330 . 3333 143.0333 27.3333 223.3380 27.0333 223.0333 28.3333 223.3333 28.0033 223.0330 37.3333 223.3303 . 0333 143.0033 .3333 443.3303 .0333 413.0033 . 3333 113.3333 .3330 143.0303 .3333 4 43.3333 . 6333 413.0303 . 3333 113.3333 . 3833 413.0033 .3533 113.3333 . 3330 1 43.0303 37.3330 223.3303 .3330 113.0330 .3333 1 í3.3330 .3330 413.0033 .3333 » 113.3333 .3333 113.0333 .3333 113.3333 44.3333 223.0003 .3330 143.3330 .3333 113.0303 .3333 113.3303 .0333 443.0003 . 3333 443.3330 actsij tái nnaa o/ 63 69 70 71 72 73 74 75 76 77 73 79 83 81 82 83 34 85 86 87 83 69 9t) 91 92 . 93 94 95 96 97 98 99 103 101 102 103 104 135 106 137 103 109 110 111 112 113 114 1 15 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 123 129 130 131 132 133 IGÍ r'T F . CICOU . ñaua .0000 - i .0000 ,£003 - i .0000 0309 .0000 0300 .0300 0000 .0000 .0003 3S80 6090 .0000 0008 .0003 0000 - i .0000 0000 - i .0000 0000 - i .0000 6003 - i .0333 0000 - i .0000 0030 - i .0000 0000 - i .0000 G000 - i .0000 - i .0300 6333 0000 - i .0000 0000 - i .0000 0S00 - i .0000 0000 . 0303 0000 .0000 0000 .0000 - i .0300 0-303 0300 - i .0000 0033 - i .6000 0003 .0000 0300 .0030 .0009 , 0003 .0303 ,0053 ,0000 .0000 ,0000 .0000 .0300 .0000 ,0000 .0008 .0000 ,0300 .0000 ,0003 .0003 .0033 .0330 .0300 .0000 .0000 .0300 .0000 .0000 . 0000 .0000 .0033 .0300 .0000 .0300 .0008 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0030 .0000 .0000 .0003 .0303 .0303 .0000 .0003 . 0003 .0000 .0,000 .0000 .0000 .SSG3 .0000 .0030 .0003 .0009 .8900 .0000 .0000 .0080 .0000 .0000 .0000 . 0003 . 0030 .0500 .0033 .6630 .0000 .0000 .0000 .0060 .0000 .0000 .G3S0 .oaaa - IN CONTkOL I10DE . uaoa .0009 .0000 .0000 .0000 .0003 .0000 .0009 .0000 .0000 .0000 .0000 .0003 .08G3 .0000 .0000 . 0030 .0000 .0000 .0000 .0000 .0090 . 0000 .0000 .0000 .0030 .0000 .0000 .0000 .0000 .0003 .0000 .0003 .0006 .0000 .0000 .0000 .0003 .0000 .0000 .0000 .0309 .0000 .0000 .0300 .0090 .0Q00 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0300 .0009 .0003 .0000 .0000 .0000 .6000 .0000 .0800 . 0000 .0033 .0000 .0003 .0000 .Ü3S0 . * CJtC l JO .0000 .0000 62.0000 62.3003 . 1000 .0000 .0000 .0030 .0000 .0000 .0003 .0033 . 0003 .0000 .0300 .0000 .0000 .0000 .G000 .2009 .2000 53.2000 . 0300 .0309 .0300 53.0000 . 1000 .0000 1.0000 1.0000 1.0000 .6000 .0000 .0000 59.0000 .2003 .0800 59.0000 59.0000 .2000 . 0000 .0003 .0003 62.0000 62.0300 .0000 .0000 1.0000 1.0000 69.0000 .0000 .0900 .0000 .0000 . 1000 69.0000 .6000 .0000 . 1000 69.0000 69.0300 .0000 .3300 .0000 .0008 • uouu .7418 . 34S9 .0000 .0000 68.3033 .0000 .0000 .0003 -1.0000 1.0003 1.0000 .7418 .9605 .9389 .8944 .8944 .8944 .5447 .7071 .7071 50.3003 50.3000 50.3003 -1.0OG3 -1.0000 -1.0000 .0000 54.3300 .0300 .0000 .0000 .0003 .0003 .0003 .0000 .0003 60.3039 .0000 .0000 '.0003 67.3030 .6000 .0000 .0000 68.0000 .0000 .0000 .0000 .0003 .0300 .0000 .0383 .0003 .0000 . 0000 75.3003 .9000 .0000 .0030 75.O000 .8000 .0000 .0000 .0003 .0003 .G0C0 1 • «JVUW .0000 .0000 .0000 .0300 .0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 .0000 .0330 .0003 .0093 .3000 •. 0033 . 0300 .0003 .0303 .0003 .6363 .0003 .6300 54.3003 .0000 .0903 .3000 .0003 .6303 -1.0903 . 0003 .0000 .0000 -.9983 -1.0000 -.9972 .6060 .9093 -1.0000 .0000 .0003 .0000 -.9990 -1.0003 -.4078 .9090 .3003 -.9890 -1.3000 .0003 .6000 • .0000 -.9688 -.9943 -1.0003 -.9943 .0303 .9909 -.9888 -1.0900 .0300 .9030 . 60G3 -.9838 -.9943 -1.9033 -.9943 .-www .6797 -.9383 .0009 • SSS0 .0003 . 3003 -.0000 .0003 .0000 .0600 -.0000 -.6707 .2783 -.3443 -.4472 -.4472 -.4472 -.8386 .7071 .7071 .3323 .0303 .0003 .0333 .0033 - .£630 .0003 .6300 .0309 .6000 .0000 .0030 -.0640 .3030 -.0749 .0300 .0999 .6000 .0003 . 6663 .9009 -.3451 .0030 .9131 .0000 .6330 -.1481 .6000 . .0033 .3333 .0000 - . 1495 -.1064 . 3330 . 1064 .0003 .0399 1495 .6300 .0303 .0003 .0033 - . 1495 - „ 1364 .9909 . 1364 . _ .9999 .0308 .0033 .3200 .9030 .0380 .0090 .0030 .9333 .6333 . 0030 .0330 .0309 .6300 . 0003 . 3330 . 6309 . 6333 .0000 .3600 .9300 .0000 .0000 .6300 .0030 .3333 • . 6000 . 6339 .0003 1.6363 1.0333 1.3330 .0030 .6330 .0030 .6060 .8303 .6603 .0300 .6303 .0003 .6603 .0003 .3563 .0803 . 6333 .0003 .6303 1.9003 1.6333 .0039 .6330 .0303 . 6333 .6000 .3333 .0000 .6366 .6000 .6030 .9000 .6280 .0363 .0009 .3630 ... .0909 113.0093 .8330 113.3603 .830010333.0098 .6366'.6632.3S33 .000318132.9330 .0663 113.66B3 . 0O33 113.9300 .3668 113.9G3Q 48.6323 223.0033 .0303 113.6663 .0003 113.O3O0 .6663 113.3363 .0300 113.0333 .£•383 1 i 3.6600 .0003 113.0003 .6003 113.6603 .0303 113.0003 .6063 113.8003 .0003 113.0009 .3330 113.3683 .000010132.0033 .606010132.6330 .000010232.0000 56.6365 223.6360 50.0303 223.0039 48.6333 222.3330 . 600010033.0033 .6306 13132.6663 .0300 113.0033 .6£3e26631.36S3 .630020031.G30S .£¿5323031.3603 .0000 113.0333 .6623 112.6663 . 0033 113.0030 .660313333.6060 .003018132.0033 .6663 113.603B .000018033.0000 .660310333.6063 .300010132.9933 . 6003 113.6603 .0003 113.0390 .6603 113.6333 .000310132.0033 .666316333.0660 .0033 113.0333 .6633 113.0000 .030029031.0333 .666323331.3063 .0030 ¡0033.0000 .6603 113.6063 .3003 113.9330 .0603 113.6603 .6003 113.0300 .666313132.6633 .800313233.0003 .6639 113.3630 .0003 113.9330 .660013132.3000 .000310833.0000 .5663 ',6033.6800 .060-3 113.0033 .6663 113.6633 .0003 113.0303 .6633 115.3SG3 V . 7 . - C I L I N D R O CON F I S U R A Con el o b j e t o de c a l c u l a s el f a c t o r de c o n c e n t r a c i ó n de t e n s i o n e s en un c¡ - l i n d r o con una g r i e t a se ha pasado este e j m p l o , c o n s i d e r á n d o l o como un caso a x i s i m é t r i c o , s o m e t i d o a una c a r g a a x i l de v a l o r 1000, y con una f i s u r a e x t e r i o r de l o n g i t u d igual a 1 / 3 del e s p e s o r del c i l i n d r o y evidentemente a x i s i m é t r i c a . E n un m a t e r i a l con f i s u r a , la d i s t r i b u c i ó n g e n e r a l de t e n s i o n e s (Brock es del t i p o 1978). 1 c = ij i— y r * f oij /ex (6) + N r z n=1 r (n-1 ) / 2 _ f .. nij _ , V.5.1 e x p r e s i ó n que r e p r e s e n t a un d e s a r r o l l o en s e r i e de p o t e n c i a s de la d i s t n a c i a r c u yos c o e f i c i e n t e s dependen de la d i r e c c i ó n c o n s i d e r a d a a t r a v é s del ángulo La c a r a c t e r í s t i c a más destacada de este d e s a r r o l l o es la e x i s t e n c i a de t é r m i n o s i n g u l a r en r 2, un= que s e r á el que domina la d i s t r i b u c i ó n de t e n s i o n e s , p a r a v a l o r e s pequeños de r , es d e c i r en las p r o x i m i d a d e s del b o r d e de la f i s u r a . E n - esa z o n a , p o r t a n t o , p o d r í a n d e s p r e c i a r s e los r e s t a n t e s t é r m i n o s , con lo que las tensiones uqedarian reducidas a »'J v V.5.2 o»j Las f u n c i o n e s f oij son u n i v e r s a l e s y pueden v e r s e p o r ejmplo en V a l i e n t e , C e n t r á n d o n o s en el c a s o de un c i l i n d r o con g r i e t a e x t e r i o r ( F i g . V . 7 . 1 ) la = d i s t r i b u c i ó n de t e n s i o n e s en la d i r e c c i ó n de la g r i e t a queda o z = 1 KjJlttr V.7.3 donde K^ es el f a c t o r de c o n c e n t r a c i ó n de t e n s i o n e s que v i e n e d e f i n i d o p a r a este ca so p o r Venthern y K o i t e r ( 1 9 7 3 ) , en la f o r m a K 1 = OJTT (D - d) — 2 / T (d/D)"3/2 - o . 3 6 3 ' ( d / D ) 3 + 0.731 ( d / D ) 4 (1+i d/D + 3/8 (d/D)2- ) V,74. E n el c a s o que nos ocupa los v a l o r e s a n t e i o r e s son: d = 180 D= 240 = 1000 y a p l i c á n d o l o s a la e x p r e s i ó n a n t e r i o r se obtiene K^ = 1 2 4 3 6 . 2 . E l c á l c u l o mediante el método de los elementos de c o n t o r n o se ha r e z l i z a d o con la d i s c r e t i z a c i ó n que se i n d i c a en en la F i g . la F i g . V . 7 . 2 y los r e s u l t a d o s p e r t i n e n t e s = V.7.3. Fig.V.7.1 C a r a sometida a t r a c c i ó n r 1». N l M M i l M U 11 1 \ H U U » M \\ M Fisura 1—i—l—<—i— Las t e n s i o n e s en los 10 p r i m e r o s nodos más c e r c a n o s a la f i s u r a son: NODO r c z o z v / 2 7v r v 1 1,5 6431,11 19743,38 2 4,5 2877,3 15299 3 7,5 2335,8 16171,82 4 10,5 2000,5 16248,87 5 13,5 1817,009 16734,46 6 10,5 1667,20 16973,35 7 13,5 1 5 6 3 ,6 2 17307,66 8 22,5 1483,05 17633,44 9 25,5 1418,314 17948,83 10 28,5 1270,71 18332,97 E x t r a p o l a n d o los r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s y c a l c u l a n d o el f a c t o r de c o n c e n t r a c i ó n de t e n s i o n e s se obtiene ción K^ = 13886 f observándose suficiente aproxima a p e s a r de la r e l a t i v a m e n t e g r o s e r a d i s c r e t i z a c i ó n u t i l i z a d a . i- VI . - CONCLUSIONES Y POSIBLES EXTENSIONES V I .1 . - R E S U L T A D O S Y C O N C L U S I O N E S Se ha d e s a r r o l l a d o la f o r m u l a c i ó n de un método n u m é r i c o de c á l c u l o , desde el punto de v i s t a de los métodos v a r i a c i o n a l e s en e s p a c i o s de S o b o l e v , que p e r m i t e i n - t e r p r e t a r l o como un método h í b r i d o e n t r e los a p r o x i m a d o s , así como e s t a b l e c e r l a s - a f i n i d a d e s y d i f e r e n c i a s con o t r o s métodos n u m é r i c o s ( E l e m e n t o s F i n i t o s ) . Se ha p r e s e n t a d o la f o r m u l a c i ó n y a n á l i s i s n u m é r i c o c o m p l e t o s del Método d é los E l e m e n t o s de C o n t o r n o en e l a s t i c i d a d a x i s i m é t r i c a , así como una e x t e n s i ó n de e s te p r o b l e m a al c a s o p l á s t i c o , que c o n s t i t u y e el p r i m e r t r a t a m i e n t o c o n s i s t e n t e c o n el planteamiento i n i c i a l . Se ha d e s a r r o l l a d o también una nueva f o r m u l a c i ó n de paso al c o n t o r n o de la in t e g r a l de f u e r z a s de volumen y p r e t e n s a d o en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l y a x i s i m é t r i c o . Se ha p l a n t e a d o y r e s u e l t o un método e f e c t i v o de s u b r e g i o n a l i z a c i ó n y t r a t a - miento de i n t e r f a s e s , que p e r m i t e la r e s o l u c i ó n de medios de c o n t o r n o e l á s t i c o s y h e terogéneos a t r o z o s . A s i m i s m o se han r e s u e l t o , con la máxima g e n e r a l i d a d las d i f e r e n t e s c o n d i c i o nes de c o n t o r n o que se pueden p r e s e n t a r en la r e s o l u c i ó n de un p r o b l e m a t r i d i m e n s i o n a l , mediante el método que nos o c u p a . Se ha d e s a r r o l l a d o también una m o d i f i c a c i ó n del método del g r a d i e n t e c o n j u gado, p a r a la r e s o l u c i ó n de s i s t e m a s de e c u a c i o n e s l i n e a l e s , que p e r m i t e la u t i l i z a - c i ó n ópt : ma de éste en el c a s o del método de los elementos de c o n t o r n o . P o r ú l t i m o se han implementado dos p r o g r a m a s de o r d e n a d o r , uno p a r a el c a s o a x i s i m é t r i c o en e l a s t i c i d a d l i n e a l , ( P r o g r a m a A X I E ) que c o r r e s p o n d e a un p r o g r a m a = elemental y v e r s á t i l ( * 550 s t e n c i a s F O R T R A N ) , que p e r m i t e la e x t e n s i ó n s i m p l e en= casos más c o m p l e j o s (caso p l á t i c o ) , y un p r o g r a m a t r i d i m e n s i o n a l ( F E C E T ) ( - 10000 s e n t e n c i a s F O R T R A N ) , con las s i g u i e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s : - R e a l i z a un t r a t a m i e n t o e s p e c i a l i z a d o de la e s t r u c t u r a de d a t o s , mediante un método de s i m u l a c i ó n de Memoria V i t u a l , al que se ha denominado Método de las A r e a s B u f f e r M ú l t i p l e s , y que p e r m i t e la r e s o l u c i ó n de c u a l q u i e r p r o b l e m a s i n l i m i t a c i o n e s , haciendo uso de un tamaño de m e m o r i a v a r i a b l e y f i j a d o p o r el u s u a r i o . - Posee una o r g a n i z a c i ó n de la m a t r i z y del montaje de las c o n s t a n t e s de inte g r a c i ó n en el s i s t e m a de e c u a c i o n e s , u t i l i z a n d o las d i s t i n t a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , que c o r r e s p o n d e a la búsqueda del óptimo de esta o r g a n i z a c i ó n tanto en l o que se r e f i e r e al montaje en s í , como a la p o s t e r i o r r e s o l u c i ó n del s i s t e m a . I - U t i l i z a el método del g r a d i e n t e c o n j u g a d o como u n a h e r r a m i e n t a e s p e c i a l m e n te i n d i c a d a p a r a la r e s o l u c i ó n de s i s t e m a s de e c u a c i o n e s muy d i s p e r s a s p e r o a l m a c e nadas en f o r m a c o m p a c t a . P o r ú l t i m o se han p r e s e n t a d o una s e r i e de r e s u l t a d o s c o r r e s p o n d i e n t e s a p r o blemas t i p o que a v a l a n la p o t e n c i a y e x a c t i t u d tanto de la f o r m u l a c i ó n y a p r o x i m a c i ó n n u m é r i c a p r e s e n t a d a s , como de los p r o g r a m a s d e s a r r o l l a d o s p a r a su r e s o l u c i ó n . • E n t r e las c o n c l u s i o n e s que se pueden d e s t a c a r en este t r a b a j o se e n c u e n t r a n : - El p r o g r a m a t r i d i m e n s i o n a l p r e s e n t a d o r e b a s a los l í m i t e s e s t a b l e c i d o s usualmente p a r a la d e f i n i c i ó n de " p r o g r a m a s a c a d é m i c o s " p e r m i t i e n d o a f i r m a r que sus a p l i c a c i o n e s - i n d u s t r i a l e s pueden s e r a m p l i a s e i m p o r t a n t e s . - El p r o c e s o de s u b r e g i o n a l i z a c i ó n s e g u i d o hace que el p r o g r a m a r e s u l t e pa_r t i c u l a r m e n t e apto p a r a su a p l i c a c i ó n a t e r r e n o s , ya sea p a r a la r e s o l u c i ó n de estruc_ t u r a s , como p a r a el e s t u d i o de la i n t e r a c c i ó n t e r r e n o - e s t r u c t u r a en c i m e n t a c i o n e s = s u p e r f i c i a l e s . A d i c i o n a l m e n t e , la c o n o c i d a a p t i t u d del método p a r a el t r a t a m i e n t o de= medios i n f i n i t o s p e r m i t e n también j u s t i f i c a r lo a n t e r i o r . F i n a l m e n t e , puede d e c i r s e , que con este p r o g r a m a se a b r e " y a d e f i n i t i v a m e n t e " el camino p a r a que el método de los elementos de c o n t o r n o deje de a p l i c a r s e ex - e l u s i v a m e n t e a p r o b l e m a s s i m p l e s , con una d i s c r e t i z a c i í n l i m i t a d a , p a r a c o n v e r t i r s e en un c o m p e t i d o r , a la misma a l t u r a , de p r o g r a m a s más g e n e r a l e s de E l e m e n t o s Fini_ tos como S A P I V , A S K A ó S T R U D L en su a p l i c a c i ó n a p r o b l e m a s t r i d i m e n s i o n a l e s . La e l e c c i ó n de una u o t r a a l t e r n a t i v a dependerá en cada c a s o de la n a t u r a l e z a del p r o b l e m a a r e s o l v e r (fundamentalmente de la r e l a c i ó n c o n t o r n o - dominio) y del t i p o de i n f o r m a c i ó n que se r e q u i e r a (todo el d o m i n i o , s ó l o el c o n t o r n o , una p a r t e r e ducida del d o m i n i o , t e c . ) . En cuanto al p r o g r a m a a x i s i m é t r i c o , aun siendo un p r o g r a m a de t i p o académj_ c o , ha p e r m i t i d o c o n s t a t a r el hecho de que en la m a y o r i a de los c a s o s el método vuej_ ve a s e r c o m p e t i t i v o con Elementos F i n i t o s tanto en cuanto a t i e m p o , como a m e m o r i a requerida. ' V I . 2 . - A P L I C A C I O N E S Y DESARROLLO FUTURO Ya se han apuntado en el e p í g r a f e a n t e r i o r algunas de las a p l i c a c i o n e s más - c a r a c t e r í s t i c a s en las que puede a p l i c a r s e cada uno de los p r o g r a m a s p r e s e n t a d o s , - si b i e n , p a r a r e s u m i r , p o d r í a d e c i r s e que el campo de a p l i c a c i ó n r e s p o n d e a cual - quier problema tridimensional heterógeneo a t r o z o s e i s ó t o p o s que t r a b a j e en el cam po e l á s t i c o , p r á c t i c a m e n t e s i n r e s t r i c c i o n e s de tamaño, c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o o - geometría. En cuanto al p r o g r a m a a x i s i m é t r i c o tiene un campo de a p l i c a c i ó n más r e d u c i d o , no s o l o p o r la e s p e c i a l i z a c i ó n p r o p i a que p o s e e , s i n o p o r el p r o g r a m a en sí que= p r e s e n t a r e s t r i c c i o n e s en cuanto a tamaño, y s o b r e todo homogeneidad del s ó l i d o . El d e s a r r o l l o f u t u r o , p o r o t r a p a r t e puede s e r contemplado desde d i f e r e n t e s a s p e c t o s . Desde el punto de v i s t a Matemático se hace n e c e s a r i o un a n á l i s i s r i g u r o s o del e r r o r c o m e t i d o en cada una de las f a s e s del p r o c e s o , así como un e s t u d i o de las p r o p i e d a d e s de la m a t r i z del sistema y de la c o n v e r g e n c i a del método. En cuanto a la a p r o x i m a c i ó n n u m é r i c a una e x t e n s i ó n inmediata s e r í a la u t i l i z a c i ó n de elementos s t a n d a r d , con m a t r i c e s ya d e f i n i d a s , que p e r m i t a n la g e n e r a l i z a c i ó n de esta t i p o l o g í a e l e m e n t a l , al igual que o c u r r e en elementos f i n i t o s . El p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n adolece aún de un e s t u d i o de p o s i b i l i d a d e s que pe_r mitán l l e g a r a una a p r o x i m a c i ó n v a r i a b l e con la máxima e f i c i e n c i a . A s i m i s m o s e r í a n e c e s a r i o un e s t u d i o de c o n v e r g e n c i a , y c o m p a r a c i ó n p a r a l l e g a r al ó p t i m o . t E n cuanto el a n á l i s i s de c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o está aun a b i e r t o , p a r a mejo_ r a s a d i c i o n a l e s en cada uno de los d i s t i n t o s c a s o s que pueden p r e s e n t a r s e y que se= han r e s u e l t o . P o r ú l t i m o el método de r e s o l u c i ó n empleado n e c e s i t a r í a un a n á l i s i s de e r r o r = y m e j o r a p a r a una m e j o r a d a p t a c i ó n al c a s o p a r t i c u l a r del método aquí p r o p u e s t o . Desde el punto de v i s t a de campos de a p l i c a c i ó n , cabe e s p e r a r la a m p l i a c i ó n a leyes de c o m p o r t a m i e n t o no l i n e a l e s ( p l a s t i c i d a d , v i s c o e l a s t i c i d a d , etc) siendo éste el campo a c t u a l m e n t e en e s t u d i o y p r e s u m i b l e m e n t e de p r o n t a r e s o l u c i ó n , a p e s a r de= los p r o b l e m a s n u m é r i c o s y de p r o g r a m a c i ó n que aún p r e s e n t a (aumento de la dimen - s i ó n del p r o b l e m a , d i s c r e t i z a c i ó n e i n t e g r a c i ó n en el d o m i n i o , e t c ) . A s i m i s m o la i n - t r o d u c c i ó n de c o n d i c i o n e s de a n i s o t r o p í a es también un campo en e s t u d i o , si b i e n se= han c o n s e g u i d o ya algunos r e s u l t a d o s en este cabe en este s e n t i d o d e c i r que en el De p a r t a m e n t o de E s t r u c t u r a s ya se está d e s a r r o l l a n d o la c o n j u n c i ó n de ambos p r o b l e - mas c o n el o b j e t o de un óptimo t r a t a m i e n t o del c o m p o r t a m i e n t o en n u d o s , s i g u i e n d o - los t r a b a j o s r e a l i z a d o s en este campo p o r P r e v o s t , M r o z y Desai u t i l i z a n d o el M é t o do de E l e m e n t o s F i n i t o s . Se hace n e c e s a r i a también la a m p l i a c i ó n al c a s o d i n á m i c o , campo en el cual = es d e s t a c a b l e la f a c i l i d a d y a p t i t u d del método p a r a r e s o l v e r l o , según han i n d i c a d o los r e s u l t a d o s A s i m i s m o , s e r í a muy ú t i l el c o n s e g u i r el a c o p l a m i e n t o Elementos F i n i t o s Elementos de C o n t o r n o , con el o b j e t o de a p r o v e c h a r las v e n t a j a s de ambos en p r o b l e mas p a r t i c u l a r e s , como p o d r í a n s e r las e s t r u c t u r a s e n t e r r a d a s en las que el t r a t a - miento del medio i n f i n i t o mediante el M . E . C . p e r m i t i r í a o b t e n e r una s o l u c i ó n de t e h s i o n e s y m o v i m i e n t o s en el c o n t o r n o de la e s t r u c t u r a , que p o d r í a n c o n s i d e r a r s e c o mo c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o p a r a un e s t u d i o . m á s d e t a l l a d o de c i e r t a s p a r t e s de és t a , mediante elementos F i n i t o s . - E n cuanto al c a s o a x i s i m é t r i c o s e r í a c o n v e n i e n t e un d e s a r r o l l o análogo al d e s a r r o l l a d o en el c a p í t u l o I I en e l a s t i c i d a d p a r a el c a s o p l á s t i c o , s i g u i e n d o la f o r m u l a c i ó n esbozada en I V . 4 , así como la i m p l e m e n t a c i ó n de un p r o g r a m a que s i g u i e n d o d_i_ cha f o r m u l a c i ó n p e r m i t i e r a la r e s o l u c i ó n de p r o b l e m a s en el d i c h o campo. 1 . - A B R A M O W I T Z , M . and S T E G U N , I ( e d i t i o n s ) " H a n d b o o k of Mathe matical f u n c t i o n s " . Applied Mathematical Series N 0 5 5 , N a t i o n a l B . Of S t a n d a r d s ( 1 9 6 5 ) . 2 . - A G M O N . S " l e c t u r e s On E l l e p t i c B o u n d a r y V a l u é P r o b l e m s " . Nostrand, Van= 1965. 3 . - A L A R C O N . E " N o t a s S o b r e el M é t o d o de l o s E l e m e n t o s F i n i t o s " S . P . E . T . S . I. I .M., 4.-ALARCON. - 1978. E "Elasticidad Racional" S . P . E . T . S . I . 1 .M. 1976. 5 . - ALARCON. E, B R E B B I A . C, DOMINGUEZ. J "The Boundary ment M e t h o d i n E l a s t i c i t y " . Ele- I n t . J . of M e c h . S c i e n c e s . Ms 437 P P , 1 - 1 5 , - 1978. 6 . - A L A R C O N . E , D O M I N G U E Z . J , M A R T I N . A y P A R I S . F "Bounda_ r y Methods in S o i l - E s t r u c t u r e I n t e r a c t i o n " . Second International Congress in Microzona - t i o n " . San F r a n c i s c o 1978. 7 . - ALARCON. E , M A R T I N . A y P A R I S . F " l m p r o v e Boundary Ele ments in T o e r s i o n P r o b l e m " . C o n g r e s Recent Advances in B . E . M . Southampton, 1978. - 8 . - A L A R C O N . E , M A R T I N . A y P A R I S , P ' B o u n d a r y E l e m e n t s ¡n P o r t i c a l anda E l a s t i c i t y T h e o n y " . C o m u n i c a t i on C o n g r e s s P r e n d s in Computarize E s t r u c t u r a l Análi- s i s and S y n t e s i s . Washington 1978. 9 . - A L A R C O N . E , M A R T I N . A y P A R I S . F ' E I M é t o d o de l a s E c u a c i o n e s I n t e g r a l e s S i n g u l a r e s en la M e c á n i c a de l o s Me_ d i o s C o n t i n u o s y la T e o r í a del P o t e n c i a l " . 7 5 A n i v e r s a r i o R . S . E . F y Q. Madrid 1978. 1 0 . - A L A R C O N . E , M A R T I N . A y P A R I S . F "Some Minor Problem vith B.I.E.M.". Congress Applied N u m e r i c a l Mode_ l l i n g M a d r i d 1978. r 11 . - A U B I N . J . P " A p p l i e d A b s t r a c t A n a l y s i s " . J o h n W i l i e y 1 9 7 7 . 1 2 . - A Z I Z . A . K " T h e M a t h e m a t i c a l F o u n d a t i o n of F . E . M . " A c a d e m i c Press, - 1972. 1 3 . - B A K E R . C " T h e N u m e r i c a l T r e a t m e n t e of I n t e g r a l E q u a t i o n s " . Oxford University Press. 1977. - 14.- BANERJEE.P.K. " I n t e g r a l E q u a t i o n M e t h o d s f o r A n a l y s i s of Piece-Wise Non-Homogeneous. Three-Dimen s i o n a l E l a s t i c S o l i d s of A r b i t r a r y S h a p e " - Int. J . M e c h . S c i e n c e , 1 9 7 6 , V o l . 18 p p 2 9 3 - 3 0 3 . 1 5 . - B E T T E S , J . A "Adata s t r u c t u r e f o r Finete Element Analysis". I n t . J . N u m . M e t h o d s en E n g i n e e r i n g . V o l I I - 1977. 16.- BOURBAK I " Integration Fascicule X I I I , Paris, HERMANN, 17.- BREBBI A,C.A 2eme é d i t i o n c o r r i g é e . 1965. " B o u n d a r y Elements Method f o r E n g i n e e r s " . Tech P r e s s . London. Pen 1978. r 18.- BREBBI A,C. A. - E D I T - "Recent Advances in Boundary E l e ments Method" Pentech P r e s s , London. 1978. 1 9 . - B R E B B I A , C . A , y D O M I N G U E Z . J " B o u n d a r y Elements Method for Potential Problems" Appl. Math. 1977 V o l - Modelling I. 2 0 . - B U I . H . D " S o m e R e n a r k s A b o u t t h e F o r m u l a t i o n of T h r e e - D i m e n sional T h e r m o e l a s t o p l a s t i c P r o b l e m s by Inte gral Equations". - I n t . J . S o l i d s and S t r u c t u r e s • 14 (1978) pp 9 3 5 - 9 3 9 . 21 . - C A L C O T E . L . R " I n t r o d u c t i o n t o C o n t i n u u m M e c h a n i c s " . V a n N o s t r a d 1967. 2 2 . - C A T H I E . D . N and B A N E R J E E . P . K "Numerical Solutions in A x i - s i m e t r i c E l a s t o p l a t i c i t y by B o u n d a r y Element i Method". - l n o v a t i v e N u m e r i c a l A n a l y s i s in the — Applied Engineering Sciences. Ed. R . P . Shaw et al - 1980 pp 3 3 1 - 3 3 9 . 2 3 . - C I A R L E T . P . G " T h e F i n i t e Element Method f o r E l l i p t i c North Holland, Problems" 1978. 2 4 . - C O U R A N T - H I L B E R T " M e t h o d of M a t h e m a t i c a l P h y s i c s " 2 volume_ nes N e w Y o r k , I n t e r s c i e n c e P u b l i s h i n g 8th E d i r tion 1970. 25.- CRUSE.T.A " T h e D i r e c t P o t e n t i a l Method in T h r e e - D i m e n s i o n a l E l a s t o s t a t i c s " . D e p t . of M e c h . Engineering C a r n e g i e I n s t i t u t e of T e c h n o l o g y P i t t s b u r g h - (1968). 2 6 . - C R U S E . T . A " Numerical solutions in three dimensional tics". elastosta_ I n t . J . S o l . S t r u e c t . 5 . 1258 7 4 ( 1 9 6 9 ) . 2 7 . - C R U S E . T . A " A p p l i c a t i o n of t h e B o u n d a r y I n t e g r a l E q u a t i o n S o l u t i o n Method in S o l i d M e c h a n i c s " . V a r i a t i o n a l Method in E n g i n e e r i n g - d e p t . C i v i l E n g . Southampton Sept. - Univ. 1972. 2 8 . - C R U S E . T . A " N u m e r i c a l E v a l u a t i o n of E l a s t i c S t r e s s I n t e n s i t y - F a c t o r s by the B o u n d a r y I n t e g r a l E q u a t i o n M e t h o d " . T h e W i n t e r A n n u a l M e e t i n g o g the A S M E , Nov. 1972. 2 9 . - C R U S E . T . A " A p p l i c a t i o n of t h e B o u n d a r y I n t e g r a l E q u a t i o n on Method to T h r e e - D i m e n s i o n a l S t r e s s - Analysis" C o m p u t e r s and S t r u c t u r e s . V o l . 3 p p . 509-527. 1973. 3 0 . - C R U S E . T . A and B E S U N E R . P . N "Residual Life Prediction for S u r f a c e C r a c k s in Complex S t r u c t u r a l - Details" A I A A J o u r n a l of A i r c r a f t , A u g u s t 1 9 7 4 . 31 . - C R U S E . T . A . a n d R I Z Z O . F " A D i r e c t F o r m u l a t i o n a n d N u m e r i c a l S o l u t i o n of t h e G e n e r a l T r a n s i e n t Elastody- namic P r o b l e m I I , J . M a t h . A n a l . A p p l . 2 2 , May 1 9 6 8 . - 3 2 . - C R U S E . T . A . a n d R I Z Z O . F " A D i r e c t F o r m u l a t i o n and N u m e r i c a l S o l u t i o n of t h e G e n e r a l T r a n s i e n t <¡\ Elastodyna mlc P r o b l e m I , J . Math. A n a l . A p p l . 22, April 1968. 33.-CRUSE.T.A. S N O W . D . W , and W I L S O N . P . B "Numerical Solu - tion in A s i c i m e t r i c E l a s t i c i t y " . Cpmputers and S t r u c t u r e s 7 (1977) pp 4 4 5 - 4 5 1 . 3 4 . - C R U S E . T . A y VAN BUREN . W"Three-Dimensional Elastic Stress A n a l y s i s of a F r a c t u r e S p e c i m e n w i t h an E d g e = C r a c k " I n t . J . of F r a n c t . M e c h a n i c . V o l 7 , - r\- 1 , 1971 . r 35.- CHAUDONNERET.M " S u r la R e s o l u t i o n du P r o l b e m e de la D i s - c o n t i n u i t e du V e c t e u r C o n t r a i t e d a n s l e s C a l c u lus de S t r u c t u r e p a r la M e t h o d d e s E q u a t i o n s - I n t e g r á i s " . C . R . A c d . des S e . P a r i s , t 284, - s e r i e A , ( 1 9 7 7 ) , p p . 463 a 4 6 6 . 36.- CHAUDONNERET.M " C a l c u l d e s C o n c e n t r a t i o n s de C o n t r a i n t e en Elastovi scoplasticite". O . N . E . R . A . 1978-1. 3 7 . - D A T E . C . J " A n I n t r o d u c t i o n to D a t a b a s e S y s t e m s , A d d i s o n - W e s ley, Reading, Massachusetts (1975). ' 38.- DAV1S.P.J. y R A B I NQW | T Z . P " M e t h o d s of N u m e r i c a l t i o n " . Academic P r e s s Integra - 1975. 3 9 . - P E S A 1 . H . C " V o l u m e a n d S t r e n g t h of a D o l o s " . J o u r n a l of t h e w a t e r w a y s h a r b o r s and coastal e n g i n e e r i n g d i v i sion". A . S . C . E . V o l . 102 F e b . - 1976. 4 0 . - DOM I N G U E Z . J " C a l c u lo de T e n s i o n e s en l a s I n m e d i a c i o n e s de A n c l a j e s . A p l i c a c i ó n del M é t o d o de l o s E l e m e n t o s = de C o n t o r n o " . T e s i s E . T . S . I . I . S e v i l l a 1977. 41 . - D O M I N G U E Z . J " R e s p o n s e of E m b e d d e d F o u n d a t i o n s to T r a v e l l i n g W a y s " . P u b . n^ R 7 8 - 2 4 . M . I . T . 4 2 . - DOM I N G U E Z . J " D y n a m i c S t i f f n e s s of R E c t a n g u l a r 1978. Foundations". M. I . T . R e s e a r c h R e p o r t . R 7 8 - 2 0 C i v i l Engi neering. Dep. - 1978. 4 3 . - D O U G L A S . F . J . (Editor). "The N A S T R A N Programmers Manual", P a r t s I and I I . N A S A S P - 2 2 3 (1969). 44.- DVORNIK.J " G e n e r a l i z a t i o n of t h e C . G . m e t h o d a p p l i e d t o l i n e a r and n o n l i n e a r p r o b l e m s " J . C o m p . S t r . , 217-223. (1979). 10, - 4 5 . - B N G E L S . H " N u m e r i c a l Q u a d r a t u r e and c u b a t u r e " . Academic Press. - 1980. 4 6 . - E R D E R L Y I . A . et al " H i g h e r T r a s c e n d e n t a l F u n c t i o n s " V o l . t e m a n M a n u s c r i p t P r o y e c t , Me G r a w H i l l I Ba_ (1953). 4 7 . - E R G A T O U D I S . J .G " 1 s o p a r a m e t r i c F l n i t e Elements in two and T h r e e D i m e n s i o n a l S t r e s s A n a l y s i s " . Fhi. D - T h e s i s U n i v e r s i t y of S w a n s e a 1 9 6 8 . 4 8 . - F E L I P P A . C " N u m e r i c a l S o l u t i o n s of F i e l d P r o b l e m s i n C o n t i n u u m Physics". S. I . A . M . - A . M . S . 1970. 4 9 . - F E L I P P A . C . A " D a t a base Management in s c i e n t i f i c c o m p u t i n g I . General d e s c r i p t i o n " . Computers and S t r u c t u r.-; r e s V o l . 10 pp 5 3 - 6 1 1 9 7 9 . 5 0 . - F E L I P P A . C . A " D a t a base Management in s c i e n t i f i c c o m p u t i n g - l I . Data S t r u c t u r e s and P r o g r a m a r c h i c t e t u r e " . - C o m p u t e r s a n d S t r u c t u r e s V o l 12 pp 1 3 1 - 1 4 5 - 1980. 51 . - F E N G E L S . W y T R O O S T . A " A n e c o n o m í c a l s t o r a g e o r g a n i z a t i o n f o r l a r g e and small Finite Element systems w i t h r e f e r e n c e t o t h e a p p l i c a t i o n of i t e r a t i v e - a p p r o c i m a t l o n m e t h o d s to n o n l i n e a r m a t e r i a l b e haviour". I n t . J . Num. Methods in E n g i n e e r i n g V o l . 1 5 . (pp 7 0 1 - 7 1 2 ) 1 9 8 0 . 5 2 . - F E O D O S I E V . V . I " R e s i s t e n c i a de M a t e r i a l e s " . M I R 53.- F ICHERA. G " T r e n d s i n a p p l i c a t i o n s of p u r é m a t h e m a t i c s t o me chanics". Pitman Pub. 54.-F ICHERA.G 1972. 1976. " N u m e r i c a l anda C u a n t i t a t i v e A n a l y s i s " P i t m a n 1978 5 5 . - F R I E D R I C H S . K " E i n V e r f a h r e n d e r V a r i a t i o n s r e c h n u n g d a s Mi nimum e i n e s I n t e g r á i s al d a s M á x i m u m a n d e r e n Chisdruckes darzustel len" . Nachrichten der Akademic der Wissenschaf in Gottingen, 13-20 1929. 56.- FUNG.Y.C " F o u n d a t i o n s of S o l i d s M e c h a n i c s " P r e t e n t i c e H a l l 1965. 57._ GAJOV.F.D " P r o b l e m a s de C o n t o r n o " . M I R 1980. 5 8 . - G A M B O L A T I . G " F a s t s o l u t i o n t o f i n i t e e l e m e n t f l o w e q u a t i o n s by Newton i t e r a t i o n and modified conjúgate g r a dient method". 661-675 •- I n t e . J , N u m . Meth. E n g . 15, - (1980). 5 9 . - G A V U R 1 N . M . K . " C o n f e r e n c i a s s o b r e l o s métodps de l o s C á l c u l o s ' . ' MIR (1973. 6 0 . - G E R M A N . - " T h e o r i e des milieux continuos. P a r í s . D U N O D . 61 H A R T M A N N . F " C o m p u t i n g The C - M a t r i x in Non smooth Boundary= Points." Second I n t . Seminar in Recent A d v a n - ces in B . E . M . (229-246) Sou thampton M a r c h 1980. 6 2 . - H A R T M A N N , F " T h e C o m p l e m e n t a r y P r o b l e m of F i n i t e E l a s t i c Bo- dies Second I n . Seminar in Recent Advances in B . E . M . (367-379) Southampton March 1980. 6 3 . - H E L L I N G E R . E " D e r allgemenine: Ansatz der Mecharic d e r Kon - E n z y k l o p a d i e d e r M a t h e m a t i s c h e n Wi s s e n s c h a f ter Vol. 4, Part 4, 602-694. 6 4 . - H O C H S T A D T . H " I n t e g r a l E q u a t i o n s " Wiley 1973. t 65.- HORMANDER.L " O n the T h e o r y G e n e r a l P a r t í al D í f f e r e n t i a l O p e r a t o r s " . A c t a . M a t . V o l . 94 - (1955). 6 6 . - HORMANDER.L "Linear Partíal Dífferential Operators" -Verlag. 67.- HU.H.C Springer 1964. " O n some V a r i a t i o n a l P r i n c i p i e s i n t h e T h e o r y of E l a s t i c i t y and P l a t i c i i y " S c i . S i n i c a 4 , 33-54,1955. 6 8 . - I V A N O V . V . V ' T h e T h e o r y of a p p r o x i m a t e m e t h o d s and t h e i r a p p l i c a t i o n s t o t h e n u m e r i c l a s o l u t i o n of s i n g u l a r ;.:T=' : ! v 'tegraf equations" N o o r c h o f f 1976. 6 9 . - J A N W O N . M . A and P O N T E R . A . R don S e r í e s A . 7 0 . - JAWSON in- (1963). P r o c . R a y . S o c . Lon - 273. y SYMM " I n t e g r a l E q u a t i o n Methods in P o t e n t i a l al T h e o r y and E l a s t o s t a t i c s " . A c a d e m i c P r e s s , - '977. 71 . - J E N N 1 N G S . A " M a t r i x C o m p u t a t i o n f o r E n g i n e e r s a n d S c i e n t i s c s " Wiley ( 1 9 7 7 ) . 7 2 . - J E N N I N G S . A MAL I K . G . M " T h e s o l u t i o n of s p a r s e l i n e a r e q u a t i o n by the c o n j ú g a t e g r a d i e n t m e t h o d " . J . N u m . Meth. E n g . 12, 141-158 (1978). - * 73.- JENSEN.P.S. " A n E n g e n i e e r i n g A n a l y s i s S y s t e m of U t i l i t y - Programé'. Lockaheed M i s s i l e s and S p a c e C o . Internal. Rep. No. LMSC-D556249 Palo Alto California. (1976). 7 4 . - K A M E L . M . D , Me C A B E . M . W . y D E S H A Z O P . G . " o p t i m u m d e s i g n of F i n i t e E l e m e n t S o f t w a v e s u b j e s t r o c o r e res_ t r i c t i o n s " . C o m p u t e r s and S t r u c t u r e s V o l 10. pp 6 3 - 8 0 , 1979. 7 5 . - K A M E L . H . A . and Me C A B E M . W " S y s t e m M a n u a l " D e p a r t a , of Aerospace and Mechanical E n g i n e e r i n g . - Univer. of A r i z o n a . T u c t o n , A r i z o n a ( 1 9 7 8 ) . 76.- KATZAN.H " C o m p u t e r data Management and Data B a s e T e c h n o l o g y " . Van N o s t r a n d R e i n h o l d . New Y o r k (1975). 7 7 . - KERMAN I DI S. T "Numerical Solution for Axially Symetric c i t y p r o b l e m s of E l a s t o p l a s t i c i t y " . Elasti_ Int. J. Sol. a n d S t r u c t u r e s 11 (1975) pp 4 9 3 - 5 0 0 . 7 8 . - K N U T H . D . E " T h e A r t of c o m p u t e r P r o g r a m m i n g " V o l I F u n d a - m e n t a l A l g o r i c h m s . 2nd E d m . A d d i s o n - W e a l e y Reading Massachusetts (1973). 79.-KRASNOV.M.L, MAKARENKO.G. I , KISELIOV.A.I n a c i o n a l " . M I R (1976). " C á l c u l o Va 8 0 . - K U P R A D Z E " D y n a m i c a l P r o b l e m s in E l a s t i c i t y , P r o g r e s s en So lids Mechanics, Vol I I I , e d i t e d by I . N Sneddon and R . M i l i . Wiley (1963). 81 . - L A C H A T . J . C . " A f u t h e r D e v e l o p m e n t of t h e b o u n d a r y i n t e g r a l Technique for elastostatic. Ph. D Thesis . - U n i v e r s i t y of S o u t h a m p t o n 1 9 7 5 . 82.-LACHAT. J.C and W A T S O N . J . O . " I n: B o u n d a r y I n t e g r a l E q u a tion - method." Computational A p p l i c a t i o n s in - applied mechanic. E d . T . A . C R U S E and F . J . R I Z Z O . A M D 11 A S M E N e w Y o r k 8 3 . - L A C H A T . J . C . and W A T S O N . J . O - 1975. "Effective Numerical Treament of B o u n d a r y I n t e g r a l E q u a t i o n : a F o r m u l a t i o n for Three - Dimensional Elastostatics" Int. f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n e n g i n e e r i n g 10 (1976) pp 991 - J. - 1005. 8 4 . - L A X " O n the Cauchy P r o b l e m f o r H y p e r b o l i c E q u a t i o n s , and the D i f f e r e n t i a b i l i t y of S o l u t i o n s of E l l i p t i c E q u a - t i o n s . C o m m u n k a t i o n s of P u r é a n d A p p l i e d M a t h (1955). 8 5 . - LOVE " A T r e a t i s e on t h e M a t h e m a t i c a l T h e o n y of E l a s t i c i t y " - Dover (1944). 86.- LUSTERN IK.L. A y SOBOLEV.V.J " E l e m e n t of F u n d a t i o n a l Analy s i s " 2nd. ed. Wiley 1974. 8 7 . - M A R C H O U K . G " M e t h o d e s de C a l c u l N u m e r i q u e " . M I R ( 1 9 7 7 ) . 8 8 . - M A R I N E S C Ü " S u r l e s s o l u t i o n s d e s e q u a t i o n s de l ' e l a s t i c i t e a s y m e t r i q u e " . I n t . J . E n g . S c i . 1968. 8 9 . - MASSONET . C . E " N u m e r i c a l u s e of i n t e g r a l p r o c e d u r e s . In Stress analysis. Ed. O.C. Zienkiewicz. - Wílwy (1965). 9 0 . - Me C O R N I C K . J . M . y W R 1 G H T . J . Programs". "Manoging Data in F o r t r a n ASCE - 1979. 91 . - M E N D E L S O N . A " P l a t i c i t y : T h e o r y and A p p l i c a t i o n " . Me M i l l a n - London 1968. 92.- MIKHAILOV.L.G " A N e w c l a s s of s i n g u l a r i n t e g r a l equations'. 1 W a l t e r s - N o o r d hoff 1970. 9 3 . - M I J A I L O V . V . P . " E c u a c o n e s D i f e r e n c i a l e s en D e r i v a d a s les" M I R 1978. Parcia - 94.- MIKHLIN " I n t e g r a l Equations" Pergamon 1957. 95.-MIKHLIN " M u í t i d i m e n s i o n a l S i n g u l a r I n t e g r a s and I n t e g r a l Equations" - P e r g a m o n P r e s s (1 9 6 5 ) . 9 6 . - M U S K H E L I S H V I L L " S o m e B a s i c P r o b l e m s of t h e M a t h e m a t i c a l - T h e o r y of E l a s t i t i c y , 4 t h E d . N o o r d h o f f (1953) 9 7 . - Ñ E C A S . J . and H L A V A C E K . I " M a t h e m a t i c i a l T h e o r y of e l a s t i c - and E l a s t i c o - P l a t i a B o d i e s : A n I n t r o d u c t i o n " E l s e v i 1981 . 9 8 . - N E D E L C . J . C " C u r v e d F i n i t e Element Method f o r the s o l u t i o n o f 3 s i n g u l a r i n t e g r a l E q u a t i o n on s u r f a c e s in R " Comp. Met. in A p p . Mech. and E n g . - (61-80) 1.976. 9 9 . - O D E N . J . T "Applied Funtional Analysis" Prentice H a l l . 1 0 0 . - P A R I S . F " E I m é t o d o de l o s e l e m e n t o s de c o n t o r n o en la t e o r í a - del P o t e n c i a l y la e l a s t i c i d a d " T e s i s d o c t o r a l . E . T . S . I . I . de M a d r i d 1 9 7 9 . 101 . - P A R I S . F , DOMINGUEZ.J, M A R T I N . A , ALARCON.E "Numeri - c a l T r a t a m e n t of T h i c k S h e l l s w i t h h o l e s " W o r l C.ongres i n S h e l l a n d S p a t i a l s t r u c t u r e s M a d r i d * 1979. 1 0 2 . - P O G O R Z E L S K I .W " I n t e g r a l E q u a t i o n s and t h e i r A p p l i c a t i o n s " Prentice Hall - 1979. 1 0 3 . - R A L S T O N . A " I n t r o d u c c i ó n al A n á l i s i s N u m é r i c o . " M a d r i d 1 9 7 0 . 1 0 4 . - R E I S S N E R . E " O n a V a r i a t o n a l Theorem in E l a s t i c i t y " J . M a t h e r P h y s . 2 9 , 90 - 9 5 , 1950 105.- REKTORYS.K"Variatonal : - M e t h o d s i n M a t h e m a t i c s , S c i e n c e and engineering". Reidel Publishing Company. - 1975. 1 0 6 . - R E Y P A S T O R . J " L o s p r o b l e m a s L i n e a l e s de la F í s i c a " INTAET 1955. 107.-RICCARDELLA. , ; , P . C . " A n I m p r o v e d i m p l e m e n t a t i o n of t h e Boun_ " d a r y . I n t e g r a l T é c h n i q u é ,for Two" D i m f e n s i o n a l - Elasticity Problems". Varnegie Instituteof - Technology - Pittsburgh Sept. 1972 1 0 8 . - R I Z Z O " A n i n t e g r a l A p p r o a c h t o B o u n d a r y V a l u é P r o b l e m s of C l a s s i c a l E l a s t o s t a t i c s . Q . A p p l . M a t h . 25 - 83-95 (1967). 109.- ROARK.R.J. y YOUNG.W.C " F o r m u l a s f o r S t r e s s and S t r a i r " Me G r a w - H i 1 1 1 9 7 5 . t t O . - R O S E . D . J , B U N C H . J . R "Sparce Matrix Computations" A c . - P r e s s (1976). 111.- SCHREM. E"Computer I m p l e m e n t a t i o n of t h e f i n i t e e l e m e n t p r o - cedure. l n n u m e r i c a l and C o m p u t e r M e t h o d s - in S t r u c t u r a l Mechanixs Ed. m i c P r e s s , pp 112.- SCHWARTZ by S . J . Acade- 97-122 , New Y o r k (1971). " E q u a t i o n s aux d e r i v e s p a r t i e l l e s " S e m i n a i r e s , ln. H . P O I N C A R E , P a r i s 1955. 1 1 3 . - S C H W A R T Z " T h e o r i e des d i c t r i b u t i o n s " P a r i s Hermann 1966. 1 1 4 . - S H W A L T E R . R . E " H i l b e r t Space Methods f o r p a r t i a l E q u a t i o n s " . Pitman 1977. 115.- SNEDDON. I .H. differential " T h e u s e of i n t e g r a l T r a n s f o r m s " Me G r a w H i II - 1972. 1 1 6 . - S T E I N . E . H . " S i n g u l a r I n t e g r a l e s and D i f f e r e n t i a b i I i t y P r o p e r t i e s of f u n c t i o n s " . Princetor Uni. - Press= 1970. 1 1 7 . - S T R O U D . A . H and S E C R E S T . D " G a u s s i a n Q u a d e l a t u r e Formu_ laa " , P r e n t i c e H a l l 1966. 1 1 8 . - S W E D O W . J . L and C R U S E . T . A " F o r m u a l t i o n of B o u n d a r y Inte- gral Equations for Three-Dimensional Elasto plástic Flow, Int. J. Solids Structures 7 1977 pp 1 6 7 3 - 1 6 8 3 . 1 1 9 . - S Y M M . G . T " I n t e g r a l Equation Methods in Potential T h e o r y R o y . S o c . A . 275 - 1963. 1 2 0 . - T E M A M . R " N u m e r i c a l A n a l y s i s " Reidel 121 . - T E L L E S . J . C . F a n d B R E B B I A . C . A Proc. 1973. " O n t h e A p p l i c a t i o n of t h e = B o u n d a r y Element Method to P l a t i c i t y " A p p l . - Math M o d e l l i g 3 (1979) pp 466 - 4 7 0 . r 122.- T E L L E S . J . C . F . and B R E B B I A . C . A " T h e Boundary Element ^ M e t h o d i n P l a s t i c i t y " . P r o c 2nd I nt S e m i n e r i n Recent A d v a n c e s in B o u n d a r y Element Methods ( E d i t e d by C . A . B r e b b i a ) - S o u t h a m p t o n (1980) pp 295 - 3 1 8 . 123.- T IMOSHENKO.S y GOOD1ER.J.N " T e o r í a de la E l a s t i c i d a d " Urmo 1972. 1 2 4 . - T O T T E N H A M . H and B R E B B I A . C " F i n e t e Element Techniques i n S t r u c t u r a l M e c h a n i c s " . P o r c e e d i n g s of a = s e m i n a r at t h e U n i v e r s i t y o s S o u t h a m p t o n . - April-1970. 1 2 5 . - V I L L A G l O . P " Q u a l i t a t i v e M e t h o d s ¡n E l a s t i t i t y " N o o r d h o r f f - 1977. 126.- WASHIZU.K " O n t h e V a r i a t i o n a l P r i n c i p i e s of E l a s t i c i t y and* Plasticity A e r o l a s t i c " . Res. Lab. Mass. T e c h . , TR 25-18 127.- WESTERGAARD .H.M Inst 1055. " T h e o r y of E l a s t i c i t y a n d P l a s t i c i t y " - Cambrige Mass. H a r v a r d University P r e s s - 1952. 128.- W I L S O N . E . L . "Symbolic Matrix Interpretive System" Univer. of C a l i f o r n i a , B e r k e l e y , D e p a r t . of C i v i l - E n g i n e e r i n g , Resport U C S E S M 73-3 (1963). 1 2 9 . - W R O B E L . L . C and B R E B B I A . C . A " A x i s y m e t r i c Potencial - P r o b l e m s " . P r o c 2 n d I nt S e m i n a r i n R e c e n t - Advances in B o u n d a r y Element Methods (ed. by C . A . B r e b b i a ) - S o u t h a m p t o n ( 1 9 8 0 ) pp 7 7 - 9 . 1 3 0 . - Z A B R E Y K O . P . P et al " I n t e g r a l Equation - A Reference Noorhof the N e t h e r l a n d s . Text". 1975. 1 3 1 . - Z I E N K I EW I C Z . O . C . " T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d i n E n g i n e e r i n g S c i e n c e " Me G r a w - H i l l - L o n d o n 1 9 7 1 . A l . - E C U A C I O N E S Q U E R I G E N EL C O M P O R T A M I E N T O ELASTICO S o n b i e n c o n o c i d a s de t o d o s , l a s e c u a c i o n e s f u n d a m e n t a l e s que d e f i n e n el - c o m p o r t a m i e n t o e l á s t i c o d e un m a t e r i a l . P o r e l l o , e s t e e p í g r a f e se l i m i t a r á a r e a l i - z a r una b r e v e , p e r o n e c e s a r i a , e x p o s i c i ó n de e s t a s e c u a c i o n e s , a s í c o m o a r e c o r - d a r l o s t e o r e m a s de B e t t i q u e c o m o se i n d i c ó s o n la b a s e del m é t o d o p r o p u e s t o . - E c u a c i o n e s de e q u i l i b r i o en t e n s i o n e s p a r a el c a s o e s t á t i c o . E n el d o m i n i o en e s t u d i o ft : a donde ¡j»j + X ' = 0 en fi Al .1 a e s el t e n s o r de t e n s i o n e s , X . s o n l a s f u e r z a s p o r u n i d a d de v o l u m e n , y l a 1 U significa derivada. E n el c o n t o r n o d e l d o m i n i o . t donde t i i = a n j» j enSíí Al.2 s o n l a s c o m p o n e n t e s d e l v e c t o r t e n s i ó n en u n p l a n o c o n n o r m a l de c o m p o n e n - tes n.. J - R e l a c i o n e s de c o m p a t i b i l i d a d . • C o n s i d e r a m o s la t e o r í a l i n e a l de p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s , p o r t a n t o la r e l a c i ó n e n t r e d e s p l a z a m i e n t o s y d e f o r m a c i o n e s v e n d r á dada p o r el t e n s o r d e Cauchy. e . . = i (u. . + u . .) U i.J J,i donde e Al.3 es el t e n s o r d e f o r m a c i ó n p a r a p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s y u 'J ¡ e s el v e c t o r de m o v i m i e n t o s en el p u n t o c o n s i d e r a d o . E n c u a n t o a la e c u a c i ó n de c o m p a t i b i l i d a d e n d e f o r m a c i o n e s p u e d e p l a n t e a r se como e + ij» k l kl,ij e e G ik,jl = 0 j l , ik Al.4 - L e y de c o m p o r t a m i e n t o . P a r a el c a s o e l á s t i c o , v a m o s a s u p o n e r q u e el m a t e r i a l es h o m o g e n e o e i s ó t r o p o p o r lo q u e la r e l a c i ó n t e n s i ó n - d e f o r m a c i ó n p u e d e p l a n t e a r s e a p a r t i r de la e c u a c i ó n de L a m e , c o m o a ij = ¡j e kk + 2 G e ij en & Al.5 d o n d e X y G s o n l a s c o n s t a n t e s de L a m e . Una f o r m a más p r e c i s a de e x p r e s a r e s t a r e l a c i ó n e s a p a r t i r d e l t e n s o r de= c u a r t o o r d e n de H o b k e , q u e r e l a c i o n a l a s t e n s i o n e s y d e f o r m a c i o n e s en la f o r m a : IJ siendo ijkl kl # , ¡jkl Ij kl V ik jl; ¡I jV A , ' b P o r o t r o l a d o , la r e l a c i ó n i n v e r s a de d e f o r m a c i o n e s en f u n c i ó n de l a s t e n s i o nes se p u e d e e x p r e s a r c o m o : e = —1 6 _ 2G U U i a 2 G (3 X + 2G) 6 _ k k en fi A l .7 U - C o n d i c i o n e s de c o n t o r n o . E n g e n e r a l t o d o m e d i o c o n t i n u o en e l a s t o p l a s t i c i d a d , p u e d e e s t a r s o m e t i d o a u n a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en m o v i m i e n t o s u. = u en una c i e r t a z o n a de c o n t o r n o = i i Sfi , y a u n a s t e n s i o n e s c o n o c i d a s t = t en o t r a z o n a Sfi . N a t u r a l m e n t e , p a r a = u i i t que el p r o b l e m a e s t é b i e n d e f i n i d o , 5 f i U ó f i = ó f i , d o n d e 6 fi es el c o n t o r n o = u t del d o m i n i o t o t a l . - E c u a c i b r r . de e q u i l i b r i o erx m o v i m i e n t o s . M u c h a s v e c e s se p r e f i e r e p l a n t e a r el p r o b l e m a e l á s t i c o , en m o v i m i e n t o s en= v e z de t e n s i o n e s , p a r a l o c u a l e s n e c e s a r i o u t i l i z a r la e c u a c i ó n de e q u i l i b r i o en - f u n c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s , t a m b i é n d e n o m i n a d a e c u a c i ó n de N a v i e r , y d e f i n i d a en = la f o r m a s i g u i e n t e : J 1 - 2 v u + u + --- X G = 0 en 8 A 1.8 ó en f o r m a m a t r i c i a l + G) v (X donde (v u) + G v e s el o p e r a d o r y v V u + X= 0 el o p e r a d o r en A l .9 S2 laplaciano. E s t a e x p r e s i ó n se s u e l e p o n e r t a m b i é n en f u n c i ó n de un s o l o v e c t o r d e n o m i n a d o v e c t o r de G a l e r k i n ; del que d e r i v a n l o s m o v i m i e n t o s en la f o r m a s i g u i e n t e : u i = X 1 i , kk — 2 (1 - v X Al .10 k , ik ) S u s t i t u y e n d o e s t a e x p r e s i ó n e n la e x p r e s i ó n de N a v i e r se puede o b t e n e r A l .11 i > kkjj o en f o r m a m a t r i c i a l v 4 X = * — G siendo X el v e c t o r de G a l e r k i n . - T e o r e m a de B e t t i . V i e n e d e f i n i d o p o r la e x p r e s i ó n X u • n u d ft + 6 (2 * t ds = X u d fi + t * 6 ft u ds Al.12 donde (u* , t * , es un s i s t e m a c u a l q u i e r a que v a a d e f i n i r l a s c a r a c t e r í s t i c a s del m é t o d o de s o l u c i ó n u t i l i z a d o , y que p a r a el c a s o p a r t i c u l a r del m é t o d o de l o s e l e - m e n t o s d e c o n t o r n o toma la f o r m a de la s o l u c i ó n d e m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a la s o l u c i ó n d e K e l v i n en u n p u n t o del s ó l i d o i n f i n i t o . A l I .1 ALGUNAS P R O P I E D A D E S DE L A S F U N C I O N E S DE L E G E N D R E L a s f u n c i o n e s d e L e g e n d r e s o n l a s s o l u c i o n e s de la e c u a c i ó n de L e g e n d r e d^ w 7 (1 - z ) -d , dw - 2z z + 2 U [ v ( v + 1) - - - - - - r dz T . ] w = 0 All.1.1 1-z E x i s t e n d o s s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s p a r a e s t a e c u a c i ó n , que y n o r m a l m e n t e s e d e n o m i n a n f u n c i o n e s de p r i m e r a e s p e c i e P^ (z) y de s e g u n d a espe_ y cié Q v (z), respectivamente, C o m o en el c a s o a x i s i m e t r i c o ú n i c a m e n t e s e u t i l i z a e s t a ú l t i m a , c o m o se d e d u j o en I . 7 e s t á s e r á la que se e s t u d i a r á , y p a r t i c u l a r m e n t e p a r a l o s c a s o s de v = \ y v = que s o n l o s u t i l i z a d o s . - A l g u n a s r e l a c i o n e s i m p o r t a n t e s p a r a las r e l a c i o n e s de L e g e n d r e . d Q , (Y) Q,1 ( Y ) = J \ 2 - 1 JY 2 - 1 1— d 1 Y d Q , (Y) Q\ -i Q ~2 (Y) = — ( Y) = - d Y V All.1.2 dQ-»- r~2— 4 i/ Y - 1 dY V / Q, 2 (Y ) = 4 / 3 \ / Y V dQ, -1 d y - D e r i v a d a s de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e de o r d e n c e r o . dQ ± —2 (Q, (Y) 2 ( Y2 - 1) dY - Q 2 , (Y)Y) - 2 — dQ, 2 1 2(V2 d Y ( YQ, (Y) - Q ¿y) ) 2 - 1) ~2 All.1.3 d2Q, (3 0 , - 8 4 ( Y 2 -- 1) d y d2Q dQ± 1 2 , dQ -1 —2 dY ) d Y 1 (Q 4 (Y2 - D , + 8 —--— ) * d y - E x p r e s i ó n de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e en f u n c i ó n de l a s f u n c i o n e s e l í p t í cas. Q , (Y) = 1-1 <Y> • dQ i ( Y) -2 dY — ) ^ - VR+1 J ™ - , - N r d Y L K ( . Y+ 1 7 •\J 2 ( Y + 1) r z / 2 \/ Y + 1 r r K ( r ^ " ) - — / V Y + 1 . 1 y 2 ( Y - 1) E « Y - 1 ( I ' V Y 2 + 1 / — E ( ' Al 1.1.4 /V Y + 1 ) P o r último y para motivos computacionales las funciones elípticas suelen a p r o x i m a r s e en la f o r m a K (m) = [ a o + a_ rn + 1 1 + a 4 m i 3 + [ b 0 + b1 V + b 4 m ! ] . l n (—^— ) +e (m) m i a. = 1 , 3 8 6 2 9 4 3 6 1 1 2 o b a b = 0,09666344259 o = 0,5 = 0,12498593597 a 2 = 0,03590092383 b 2 = 0,06880248576 a 3 = 0,03742563713 b 3 = 0,03328355346 a. = 0,01451196212 4 b e (m) E (m) a 4 = 0,00441787012 -8 f 2 x 10 [ 1 + a m + = 0,44325141463 + a 4 1 +t m b 1 4 + b/ m i + 4 b 2 = 0,09200180037 a 3 = 0,04757383546 b 3 = 0,04069697526 a^ = 0,01736506451 b 4 = 0,00526449639 í 2x 1 0 " 8 1 1 ln ( ) + . m. e(m) = 0,24998368310 a 2 =0,06260601220 e (m) Al 1.1.5 m 1 = 1 - m Al 1.1.6 A l I . 2 . - D E R I V A D A S DEL T E N S O R DE G A L E R K I N [ 2 3 r 12 7f G (y Q, - 3r ] = — * z dQ, . (y Q2 - Q_,) 2 JRr --—9-— 12 i f G ( ( I 1 2 3r 3 X 24 * 1 1= i 3y 1+ —— 2 3 r [ 9 2(y ( — - G 2r [ (3/R - 2 / r ) Q, - 1/r Q ] = 3 r 1 r - 12u dY 2 , ^ ^ , - — (Y Q , - Q , ) + -1) yQ, - — 2 2r , Q , + ] G - [ = 3 r - ~ - Q, - — - J J L I ) 3r 2r (Qi - Y Q ,) 2 ~2 ^ + ^ o 2 - — QQl ) ) == —- Í | . LLL 22 Y , Y 3 r YQ, 2r G dQ — d Y + Q, - — — — 2 2(Y - D + fa + 2 {/r7¿ [ 12 tt~ 24 TT ( 3 r _ 2 Y R) Q , - R Q _ , ) G yRr 2 1 A I 1. 2.1 2 d o n d e se ha h e c h o u s o del v a l o r de l a s d e r i v a d a s de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e en f u n c i ó n de e s a s m i s m a s f u n c i o n e s , expresiones A s i mismo, o p e r a n d o análogamente - A l 1.2 3* _ i - Í - ( 12 * G 3 2 dQ, 2 3 z dQ 3 -y dY 3z , 2 dy G 1 2 ( 3z •(Q,, -1) y 3X 3 2 Y Z 12 tt2 G 2 f r o 3 z J J L (Q, 12ttG + + T ' dQ, dQ , ___JL - ___"!_) 3 Z d y d y __,) ( y Q,_ - Q 2 ( Y - 1 ) 2 1 .Qi)] 12 TT '~'2 ._-_i?_=_Zl__ 2 / 8TT G y Rr . 1 3z (-9-I- Q, + -Q ,) 2 3Y v_ 3Y Rr-"_I[ Q, 12 tt YQ, 2 G v ^ - 5 1 3 / 2 0 , 3 Z Q AII.2.2 1 2 También 3* 3 r Z TT 4 L __L_ [ / T r ( Q , - Y Q , ) ] G O ar dQ, S¡R~r ( — d , 4 dQ 2 - 3T Y _L_Q, 2r = --- —9 2 J-I Q 3r - - I - Q , +-3-I 2r 2 3 r 2 3r h L d Z TT G , - i . ) ] Y = [i \¡R/r (Q,- yQ,) + *N _ - i p L 4 * G - ( YQ, - Q ,) - Q , —2 —2 ¿ .N 2 2 ( Y ~ - 1) - Y 2 ( o — - (Qj. - Y Q _ , ) ] 2 2 -1) J v - i ( 1/R - Y / r ) = - - - - - 4 ir G [ Q, - - - 2 2r 2r Q , "2 - Q , ] 3X z 3 r 8 ir (R Q , - r Q , ) 2 ^ Aíi.2.3 G\¡Rr D e l m i s m o modo 9X, , ¿ „ 4 TT G 3 z dQ _ y . , -2 dY 4* 3Y 3Y 3z 3z ( G 1 2( Y - 1) 9z Y2 2 3 z -1 ¿ (Q N 2 ' 2 (y Q Q_±) , 2 \ _ Y Q ) —2 = , -1 = 3Y y Rr Q, _ — -1) 4 — Q 2 (Y —1) 2 Q - 1 1 2 8 u G 3 z 3y d Y , dQ, ( 3z 4tt"G Y _ dQ, z rr (/ 2 \/ / R 1 -i . ¿ 4u G , 2 2 dY 3 z dQ Y - > N dY - r 2 ( Y -1) , -2 Q, 2 Q_1' • 2 A l 1.2 Asimismo y según A l .10 es n e c e s a r i o el c á l c u l o de l a s d e r i v a d a s s e g ú n das del t e n s o r de G a l e r k i n . a2x l ( 3 r - 2 y R) Q , - R Q , ] 24 TT G 3r 24* 8r [ ( 3 r - 2 y R) Q , - R Q , 1 + - - - - - 1 2r^Rr [ [ 3 - 2R ( 1 / R - y/r) dQ1 óQ± - - - R (1/R - y / r ) y/r) d dQ± 2 + 3r/R Q_, - - 5 Q, 2 y - y Q, + dY y /r 2— + i Q± - d Y 2 ] .2 1 2 4 t t R / r dQ, + 2 3 3C r Y G\[R~r y dQ, d Y dY 24tt + Q , + 2 d R/r J -D R/r dQ, — + 2 y (y 2 dQ, d Y R/2r d y 2r 2 ] y R r .1 [ - 3 / 2 Q ± + y R / r Q ± + j rZ ] Q,+ \¡~Rr + ( 3 r - 2 y R) ( 1 / R - - Y G 2 Z 3 Y R / r Q, + [ 3 g / r 7 l 2 dQ^ _ ( / _ ! ) ] ___!. Rr d Y AlI.2.5 dQ_ d o n d e se ha u t i l i z a d o ± , p a r a la s u s t i t u c i ó n de A I I .1 en f u n c i ó n d e Q , 2 dY dQ1 y 1 2 dY D e l m i s m o modo 2 3 x r 3 r 3 z 1 + 2 v 3 3z 3 r 8t (1/R-Y/r) G ( 1 3r dQ<- n -(Z-Z) , (____- Q,) \¡Rr = — y — 2 8ir -1 L G 2r\^Rr 0± + 2 ] d Y \¡Rr 3 a -(Z-Z) = — 2 *r 7-z 2 3 r 3z TT 8 G [_ i Q _± + ( Y - r / R ) 2 \JRr — d Y ] 2 Al 1.2.6 3 3 + £ 9 (Z-z) 8 TT - I Y \ 2 3 z G^R7 dQ, 2 d K Z - Z ) Q ,— ] = — 9 r l 3 O - ( Z - z ) \ [_ Q i 2 + R r 2 [ 1 Operando i G / R r ] 32X< 3 z* 8tt 8TT G/Rr de idéntica q ± + J £ * L 2 forma el 1 ] Al 1.2.7 d Y R r para dQ, caso de Y se tiene. 2 3 X 3 r z -1 Y 8TT2 [ _ _ L _ (R G 3 r (R Q_, - p Q_±) 2 dQ d \JRr 1 + 2 2 d Q [ R ( 1 / R - y / r) ---- G^RP L [ 2 (y + | Q , ) - i Y ~ [ — ___rJ— G l 2r\¡Rr , - p (1/R - y/r) 2 Q ^ -1) , - ( P / R - Y ) R/rQ_, ^ + q i ] + ( 1 _JL5) dY , 1 8 tti T G jyRRrr - Q 2P 2 2 3 r" ' -- dQ y 3 X 8 tt dQf -1 8tt2 ] = _ : J — dy dQ_± ( ,) 2 {Rr , Y _ p Q Q l ± = I _ x2 + dQ + ( / - 1 ) r / p ] Rp 2 ^ I I dj AI 1.2.8 d o n d e a h o p a s e ha h e c h o u s o d e l a s e x p r e s i o n e s A l 1 . 1 y A I I . 2 q u e me p e r m i t e n o b t e dQi dQ_j_ n e r los v a l o r e s de Q , y •-en f u n c i ó n d e Q , Y — . 2 d y -2 d y 2 3 * 3 r 3z + _JL_ 3 2 z 3 z 3r ( 1 / R _ = AZ-z)_ 8 TT2 G y dQ , /r) _ L l a r ( - 1 — Q ,) -_(_Z_-_Z1_ 8ir \¡Rr 2 G [ l l Q 2n/Rr ] dY vRr 21 3 X 3 P3 z 3 Z-z 8TT G r/Rr dQ_± [ i Q , + ( y - r/R) ] AI1.2.9 P o r ú l t i m o se tiene 2 3 _____ _ = a z . ( -1 a _JL_ 8TT G ^ r dQ -(Z-z) Rr , II- [ gz a* a 3 a 2 8 tj G [Q_, dQ Rr 2 4 tt 2 r Z 1 *z *z Z 2 -1 8tt2 ~ z_ [ r Q , - R 2 a ^ 3 z 2 ] Al 1.2.10 A ] A 11.2.11 A11.2.12 2 G^Rr Z ± "2 d y [ (3R - 2 y r ) Q ± - r Q r~ G^Rr Z + — (Z-z) 2 1 a R 3 1 r 3 R 2 j 9 3 z , + (Z-z) d, *z 2 [ - Q 8TT g / r 7 2 2 ax -1 = — - - (z-z) Q ] z — Q Q , ] "2 A l 1.2.13 , '2 Al I .2.34 A l I . 3 . - C A L C U L O DEL T E N S O R U., ik C o n t o d a s l a s e x p r e s i o n e s a n t e r i o r m e n t e o b t e n i d a s es p o s i b l e el c á l c u l o del t e n s o r U . ^ según l a s e c u a c i o n e s I V . 2 . 1 . 8 , en la f o r m a s i g u i e n t e . 2 (1-2 v ) = —1 U , 2 , , 2, ( V - 1/r ) x 2 (1-v) r r 1 + 2(1 - v ) r [ R/r Y Q, 2 (1-v) [ h * Z ¡ L + Xr 2 3 8 ar - ,/ 3 1 2 G^Rr TT ( Y 2 - 1)] - - i - , Rr 2 d y dQ, + Q, - 2/3 Y R / r Q± + 1/3 R / r [ 1 2 (y 2 - 1) d dQ^ 1/r 2 [ Rr (Y 2 - 1). 4 / 3 — 1 __ yí 8 / G / R 7 i + Q, + ^ 2 (1-v) dQ, j_ Rr dY 2 ( 1 - v) (-7 \2 (, - ( Z - z ) Rr 2 ). J, .2 Rr dY + ( dY 3-4 v 8 tt 2 G / R r d Q dQ± —2- - 1«) PR// r 2 ,2 (Z-z)_ 19 1-2 V r - ( y ' 2 dY - 2 ] ] + Q, + 2 [r qn± -y Q±] Y . -1- dY + — 2 2(1-v) ^ R - Rr ^ r ) d X Q , + r[ - ( Z - z ) 2 3 + Rr + - U rr = - T 8n 1 6 = u — Rr t - - - - - 2(1 - v ) — 2 i 2(1-v) [ (3-4v) o , — L 16 TT G (1 —v ) r r Q, Rr -(-Z-Rr Z i 2 ---i dy - - i - + Rr 2 ] ] A l 1 -3-1 d y Asimismo u z r = - - 2 3 1 1 — - 2(1-v) ( - - 1 3 x r 3 z - L + 3 r3z n 1 r _______ J_ 16 TT G ( 1 - V ) r / R r (Z-Z) ^ dQ_, . [1/2. Q , 2 + (y -r/R) , d y - Q, ] 2 dQ, U [ i Q, - ( Y - r / R ) = Z r 16 u G (1-v) r / R r ] Al 1.3.2 dY 2 P o r o t r o lado U -1 rz 2 (1-v) 3 2 x dQ Z-z + z 3T3Z 2 (1-v) 8n G r / R r " 2 - r/R)—- ± 2 dY -] U - ( Z - z) rz 16 [ 1 Q dQ_± ( y _ p/R) + £ ] Al 1.3.3 TT G ( 1 - v ) r / S T " P o r ú l t i m o se t i e n e = Uzz 1 r [ V 2 (1- v) 1-2 v [Q , + 2 xz + 3r -— + (Z-z)2 d Q Rr d 2 (1-v) -¿ 3 x 1 r 3r , Y J + Y R ( Y - D R/r] 1 8TT 2 G/RT í d y - R / r (Y 1 -2 v 2 (1 - u) Q Rr [ Y - D 2( v_ + r (Y R-r)2 + o 8u Rr (Z-z)2 Rr 1 G }¡Rr [ 2(1-v) __ d _ Q _-t d Y + Y 0_± ] + Q_± d y (Z-z)2__ 2(1 - v ) - D] (Z-z)' 8 tt G\fRr Q , + L , d Y [ R/r 1 2 (1-v) dQ 1 dQ__, £ - _3-4_v_ ]= Rr dQ_± + Z ] 2 + _(_Y__R-r) 2 Rr 2 1 - i = ___ U Z Z 16TT G ( 1 - V ) / R T [ (3 - 4 v) Q _ , 2 - C7 \2 -LtlEÍ. Rr dQ i _1I ] D y Al 1.3.4 A l I . 4 . - D E R I V A D A S DEL T E N S O R a L h 1 1 rr_ 3 r + ik 1 -J 16TT2G(1-V) Rr 8 r J 1 ,2 l _1 J__ + z V) H d2Q, £_ (±1 3r = 3z + d Q l - 1 - - d y 3 U _ N2 _ L Rr 3z 2 d $ 3 Y ] , d y - — 2 - ] + 2r 3/2r A l 1.4.1 [ (3 - 4 * d Q l a — 3 z 9 (7 - dy r) Rr d Q — 2 i — + dy ,] df 3Y [ (3 - 4 V ) - - I r 2 I Q_, 3 r °i dy d y i L 16" d 2 + dG, _ d y 3Y . 3r 16 TT G ( l - v ) \ [ R r CZ-z)2 Rr ±1- — R'r [ i I_ ] d Q + 1 d y (3 - 4 Rr (3 _ 4 v ) Q - 16 TT G ( 1 - Z j- 2 r^Rr d Q i [ (3 - 4 v) -±JL — I - - - I - _ U 3 z d Q — i dir Z-z t r % (Z-z) 3 y Rr d Q± - 2 ]J dY Al 1.4.2 8U zr 3 r + 1 6TT 1 - _ Z-z = — J — [ 1 r -3 r _________ G (1-V) 3y Q dQ, , , 4 , - (Y _ P/r) — i - jRr d Q d y l 2 - - (Y - r / R ) - ± 1 - - I/R) _ J - Y/R G (1-v) r ^ R r 3r 8 v d2Qi 3r dy - H d [ i (3 ] + dy 2 Y/r — + 2 16tt ± dQ J j - 3 r r\¡Rr 2r i [ i r _ ] _ J L 4r dy d2Q± (y - r/R) --] Al I .4.3 dY 3 r D e l m i s m o modo 3 U ;z r , 1 dQ [ 2 3 z 16 it G (1-v) r ^ R r dQ, [ _ i J.2. 3z + dy ( Y " " i r / R ) d y 0 1 " ( Z 2 dQ, -LZ- - J L 3 z dy d Q, + ( y ~ r/R) --Y3z ] [ ( z - z ) 16 TT G ( 1 - v ) r j R r " dQ, + (Y -r/R) - I - [ 3 Z ( r / R - Y) — dQ, - dY i — I - ] d Y Q, 2- d y - 3 = dy d2Q, _ _ _ _ _ _ _ _ J_ "z) Al 1.4.4 2 3 U . • •-- = 3 r 16* dQ. 3 y - J — [ 1 UL r^Rr [ G (1 - v) 1 + , [ d Q - d y 3 r 2r i Q , + ( y - p / R ) _ J L _ \J~Rr 3 y 1- - <ÍJL - 1/R) d Q 3 r ] + d2 Qi dY 2 l + y ( T _ p/r) _33_I_ _ dY 3r i_ ] d y 2 16 ir 2 Z-z — — G ( 1 - v) r ^ R r d Q 1 / r ) _l -2— + d 3 Q r [ ( r / R - Y) ay --3 r i + 3y - - 3 r i (3 Y / r - 3 dY _1 -2—] Al 1.4.5 4 r. y dQ__, d o n d e en e s t e c a s o s e ha h e c h o u s o de la e x p r e s i ó n que r e l a c i o n a ma f u n c i ó n Q 2 -~ c o n la mis- dy , y su d e r i v a d a p r i m e r a . ~2 • H dQ, -11- - L 3 z + dY , 2 l _ dQ , — Z L 3z 2 . + (T dY d Q , -3- . r/R) Ü z 3 dY d2Q 2 [ (Z-z) - J L L 1 16 TT G ( 1 - v) r / R r - (r/R) - y) dQ j, dy 3z Q 2 + - - - - ] 2 [ (r/R - y ) 2 dY dQ ± - 3/2 --2- 1 1 d Y Al 1.4.6 P o r ú l t i m o l a s d e r i v a d a s de U i 3 U _ J 5 ! _J = 3 r 16 7r 1 —1— / yRr + [ zz serán i G (1-v) dQ ' ___=£_ 3r + d y [ (3 - 4 v) 16tt2 G (1-V) (Z-z) + . ( Rr [ (3 - 4 v) Q (-7 \2 iZl5> 2 Rr dQ 2r 21 d y 3 r Rr i __ Rr d y 2 + dy . d2Q , JJL Z3L] 2 3r dy Q , - " i - ) dy , =L) ^2 _ dY dQ , (---Y- — " i - - d2Q 1 -2 d Q _-J„ ] 2 3 r 7 3 - ± 2rJ~Rr [ (3 - 4 v) i d Q —-J___ 2r ] Al 1.4.7 7 J y también 3 1 U _„_£z_ _ _ _ _ _ 3 z 1 6tt \2 __ 1 [ _ = £ 3z dy G (1 - v ) ) j R r -z) 3y_ Rr 3 z 1 16 TT G ( l - v ) ^ R r d 2 ° dy i 2 d Q (3 _ 4 V) - i l - 9 (7 1 + ^ 1Í?=5L Rr dQ » — X dy 1 [(3-4v) -3-Y3z dQ , —""JL+ -?=*-[ dy Rr 2 dQ , ^ d2Q / 3 — " I - - (Z-z) - -I- — - J - ] ] dy 3z dy AII.4.8 S i a h o r a d e r i v a m o s r e s p e c t o a l a s v a r i a b l e s R , Z d e l p u n t o d o n d e s e c e n t r a la s i n g u l a r i d a d , se o b t i e n e en la m i s m a f o r m a que a n t e r i o r m e n t e . 3U rr 1 2 3R 16 tt ,7 ,2 + í?l£L_ G (1-v)^Rr d2Q, -2_ [ _?JL Rr 3R 3 U = dQ, L d Y zr 3 Z l _ A l 3 Z + 2R 4w) dQ_, : -==5- - i ü - -?--2- + 3Z Rr 6Q1 ]] , Al 1.4.10 dY dY [ ( r / R - Y) LLA 16 TT G (1 - v) r ^ R r 3R 1- ] dv A l 1.4.9 [ (3 - + 2 = 1 ]] 16 TT G ( 1 - v ) ^ R r ~ 3Z Q. d y , [ (Z-z) - - - 3 U dQ, 2R d2Q± 3U , _ = 3z dQ, ~ — 1 3y --TIR dY 3U . _ E E 3 Z , ,r [ < ! - * > ) [ r * d 2 Q i — f - 3R + i (r/R - ó y a - 3R Q, -2- ] ^ ÜL-). R A l 1.4.11 4R 3 U , 1 zr 3 z 16 TT G ( 1 - v ) r ^ R r dQ^ Q, £_] + — J d y r r - , \ r e /r-> \ [ (Z-z) [ ( r / R - v ) 2 + dQ, (r/R - y) — - - - ] dY „ 9 "Y 3Z 2 d Q, 2 2 dY A l 1.4.12 Z-z 3 U r z 3 R 1 6 TT G d Q J E ) _ R M 31 rP . , . _. [ (r/R _ (1-V = . 3 Z R J R R 3 R 3 U . . __I 16 ir d 3U G 1 6 TT ,2 (3 + R , dQ , — I I - - d2Q , f - ] - H 3R d Q , — - ' I dY d Y 2 + 2R Al 1.4.15 dQ [(3-4v) G (l-v)^Rr + dY AI I .4.14 , 16* , II - dY 1 3 z -ÍL _ 2 y 3R 3 U 3Z ] " dQ , Q , [ (3 - 4 V) ( - 1 2 - _ • - J L _ _ - - J . ) dy [(Z-z)-ÍJ- [ ( r / R - v) Q_± G(1-V)^R7 /2r d2Q a 3 Z (r/R - y) — - d Rr . 3Y 3 (1-v) r / R r y J = 3 Z , , , i ( y/R - 3 dY [ (z-z) dQ ] 3 Z 3U + 4R 3 / 2 --1 + ° -- ii A l 1.4.13 dQ_± _ d 2 + 3 z 3R 3V 3Y i Q dY 3U ) y ) dQ , _„-J_ dY ]] , ^ 3Z ,7 ( Z d y . " Z ) Rr ai i A l 1 - /, 1 /r -16 4 • 2 3 U , , _____J 3 r 3R 16ir A2V + [ ,(1/ 2 (1/r 3Y 3 R o 4Rr 2 3 U d Q ) + * (Z-z)2 + 4Rr óy 3/2 dy Q + 3 r 3y 3R ^ (1/R 3 r 3R Rr 2 d Q, 2 — ^ 1/R J - I - ) + 3R 3r + dY ] A l 1.4.17 _ — r , ~ — - - .!_ _i_i.) 3Z . . __ 3 __ A l ) 2r 3Z a2u = Qi + + 2 dY 3r (Z_2) J-i3r -9-I dQ, - J - 3/5 3 r d'Y , 16 TT G (1-v ) r ^ R r " 3 Z d J _ 3 (. i Z 2 3 Y 3r3Z Y d Rr d Q, j . — j — L — t —f \ JL-lI. d y 2 d Q, — + [ o - 4v) 16 TT G (1 - \>)y¿Rr d 3Z3R 3Y + dY 3z3Z 2r 1 / R + 1/R dY i [ _J?J_ . 1 2 . 4 v ) 3r 3 R 3 dQ, J . I _ l l _ ___J__ + . 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R ] ] Al 1.4.28 A l 1 . 5 . - I N T E G R A L E S A N A L I T I C A S E N EL C O N T O R N O Al I .5.1 I N T E G R A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S AL C A L C U L O DE A S/2 s 2 2 J r In _ -S/2 64 R r - (R-b)3/2 ] •b ) • 3 t / R+b - -JR In 3/2 R 3/2 (R+b) - (R-b)ó/¿ 7 R+b +{r In 2R3/2 2/3) [(R+b) 256 r 3/2 [ ( R + b ) I n - Q (In ds = In ( R - b ) ] - 4R ( { R ^ b /R-b + /R 7R-b ~¡R t b = r - S All.5.1.1 S/2 ^ d s -S/2 = - S --[(R + b) 3 / 2 .3/2 -(R-b)3/2l Al 1.5.1.2 3b V S/2 '3 = [(b-2R)^R+b + (b+2R)/R-b ] -S/2 . í In f T r___ 64 +2/3] Rr - 3 t [(b-2R)/R7b In (R+b) - ( b + 2 R ) N / R - b . In ( R - b ) ] 256 R - 4/3 [(R+b)372 - . (R-b)372] + 4R ( y / F Ü b _ y R l b ) 4R3/2 J (In + /R R+b - In / R+b R y/R-b" +Jr /R-b -/R~ Al 1.5.1.3 S/2 {~ -S/2 ds = - - - - - | (b-2R) ^ R + b ds R+b + (b+2R) y / R - b S/2 '5 = ( - R-b) - R (In S -S/2 v/R-b In =2 | Al I.5.1.4 R+b__+/_R R+b -JR +/R Al I.5.1.5 /R-b 5 / 2 r 3 / 2 . _ ds = 2 / 3 3/2 [ (R+b)372 - ( R - b ) V 2 ] + 2R ( / R + b ) - -S/2 R 3 / 2 ( In 7R+b_+/R /R+b - In ^R-b_+yR A l 1.5.1 .6 Y R - b -V/R -/R C u a n d o el e l e m e n t o e s p a r a l e l o al e j e de s i m e t r í a , t r = 0 y también b = 0 y r = R c o n l o c u a l l a s i n t e g r a l e s a n t e r i o r e s c a m b i a n de v a l o r en la f o r m a s i g u i e n t e : S/2 2 /r~ In — - — 64 R r -S/2 ' s ds = ¡RS (In 2 --- 2) Al 1.5.1.7 256 R S/2 / r ~ ds = . -S/2 S f i Al 1.5.1.8 A l I .5 S/2 In ds Jr~ -S/2 = O Al 1.5.1.9 64 R r S/2 - ds =O A l 1.5.1110 -S/2 S/2 fr '5 = • -S/2 S/2 ds = O * 3/2 ds 'e-S/2 A l 1.5.1.11 =0 Al 1.5.1,12 Al 1.5.2.- I N T E G R A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S AL CALCULO DE B S/2 In —S64 -S/2 ds = — - Rr . | ( R + b ) - ^ / ( R - b : ) ] - [ y R+b (In j / ^ R + b +j¿R \¡R+b - ![ ( I n — t In/R^b - 2) 2 256 R - In^R-b ] + _\/_R-b_+/R In /R-b -]¡R 2R . Al 1.5.2.1 -/R S/2 ds = -S/2 S/2 ( y]R+b - R-b ) Al 1.5.2.2 yr s In '372 ds [ (In 64 R r , -S/2 C ^ R S " - ^ b R - — 2 5 6 R' - 7R+b ln (R"b) 1 + 4 - 2) - J L _ ) - \¡R-b R t 2R + b In ( R + b ) - V R+b - (In ^R+b -V/R In y¡ R - b )] •Al 1 . 5 . 2 . 3 S/2 ds = L r f J-S/2 (In \J R+b - J r - In ¿R-b +_/R_ /R-b - >/R Al 1.5.2.4 S/2 ds "3/2 = 2 t -S/2 2 | _2R_+b_ L " r \/R+b _ _2R - b 'z1^ y/R-b z z r Al 1.5.2.5 i S/2 ds = 2 ( > / R + b -^R-b ) - ^R (l¡ /STb -S/2 - In [ \/R-b +/R /R-b -/R Al 1.5.2.6 S/2 3/2 -S/2 - / r ds = - 2 Al 1.5.2.7 t VR+b ^R-b C u a n d o el e l e m e n t o e s p a r a l e l o al e j e de s i m e t r í a c o n t = 0 se t i e n e S/2 - S/2 ' S/2 -S/2 64 R r _1_ ~¡7 ds -2) (In ds In /r \¡R~ 256 AII.5.2.8 R' Al 1.5!2.9 R A l I .5 S/2 3/2 In ds = O Al 1.5.2.10 64 R' -S/2 S/2 ds -S/2 i = O Al I.5.2.11 = O Al 1.5.2.12 = O Al 1.5.2.13 / F S/2 3/2" ds -S/2 S/2 / T ds -S/2 S/2 "3/2 -S/2 ds = R 3/2 Al 1.5.2.14 A l 1.6 A l 1 . 6 . - I N T E G R A L E S A N A L I T I C A S E N EL D O M I N I O Al I .6.1 CALCULO DE L A S I N T E G R A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A T S „s_. 2 |n ds = 64 - 4/3 (R+b) 3/2 Rr f ( b - 2 R ) J R+b 64 R (R+b) 3 tp I ~ + 4 R \¡ R+b - 4 R 33//22 \/R+7_+/R In \/R+b - 4 R (In 3 / 2 Hs d 5 _2 S —ry9 2 t r . |n 16 i -/R Al 1.6.1.1 + 2/3) 2 = [ ( b - 2 R ) )¡ R + b : 2 i m r S In s 64 _S — 64 R ( R + b ) ( R + b ) 2 - 6 R (R+b) - ds = (R+b) 3/2 + 8/3 - 8/3 R In /R+I 3R2 3 7 R+b Rr 2/9 Al 1.6.1.2 + 2R3/2] -/R 3/2 / R y R+b + 2R (2 In 2 t +5) r 2 1 sj R + b Al 1.5.1.3 A l 1.6 d^ s 1 — 2 = ( - /R) Al 1.6.1.4 fr ds 3/2 2 = ( R _ b ) 2 _ 6 R (R+b) - 3 R 2 3 + 3 / R+b 8 R 3 / 2 nJ 9 Al 1.6.1.5 ds f r (R+b)3/2 - R 3 / 2 ] Al 1.6.1.6 3 t 3/2 Con b = t [ ds 2R + b = - 2 / R ] S E n el c a s o d e que en la p o s t e m o r i n t e g r a c i ó n r e s p e c t o a con lo cual t r Al 1.6.1.7 /R+b se e s c o j a u n = = 0 , se t e n d r í a s2 ln 64 Rr ds = f 2jR ds = S2 2 \Jr (ln - 1) 64 R All.6.1.8 A l 1.6 '3 = ln 3/2 ds = 64 R r 3 R --7-" 3/2 (ln - 2/3) 64 R' Al 1.6.1.10 ds 3/2 — ds Al 1.6.1.11 ds = 3 R 3/2 Al 1.6.1.12 Al 1.6.1.13 = S £ rS '7 = "3/2 ds 2 R 3/2 Al 1.6.1.14 A l 1.6 A l I . 6 . 2 . - CALCULO DE L A S I N T E G R A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A T ' 5 1 v ¿ < £ 2 ^s = d y R+b + 2 R 3 / 2 ] Al 1.6.2.1 3t F k 5 j^(b-2R) 3/2 ds = 2/3 (R+b)3/2 + 2R / R+b - R 3/2 In /R+b 8/3 R 3/2 - R 3/2 V In £ -JR Al 1.6.2.1 4R .1— ds = ^— \/ R + b + / R In t 1 In £ 4R -JR \¡R+b r Al 1.6.2.3 ds = 2 /R+b -Jr In sj R+b +/r JR+b! -/R - 2 / r - ¡ R In — - 4R Al 1.6.2.4 s . In s ds = 64 R r - 4/3 - R (R+b)3/2 3 / 2 In 2 t + 4 R r -8/3 2 , [ (b-2R) / R+b In 64 R (R+b) 3 t 'r R+b R 3 / 2 - 4R3/2 In R+b + R R+b + R S 1_ ¿ d s JL = A 2y¡R ± ^ S 5/2 --2 ds = 3/2 5 (R+b) — t a r + Rb In /RTÍD _2_0 ( R + b ) 3 / 2 R y_R+b__+ 2 5 t R c r Al 1.6.2.6 t / r R 5/2 23 t r R 3/2 -/R 3/2 V e In Al I.6.2.7 4R S 1 '8 = s 2 i— ^ r • ds t + + sJr t 2 r 2 R ds = t r Rb )n 3 / 2 = t 2 R 3/2 -/R" /R+b -^R Al 1.6.2.8 1__ R Rb t In +V /R 4R 3/2 _(R+b)__ r y R+k Ve y? ^R+b In r 2/R 2\[R In ve 4 R y¡R A l 1.6 s[r~ ds = 10 2_(R+b) 3/2 3/2 2_R_ Al 1.6.2.10 3 t 3 t S s2 J 372 * 11 dS = " 2 r 3~ t . r Iu ( R + b ) 2 - 6R ( r + b ) - 3 R 2 3 _/n 3/2 1 7 R+b J Al I.6.2.11 3/2 12 ds = Al 1.6.2.12 (\¡ R + b t Jr 3/2 -— 2 13 ln ds = t jR+b + \¡R_ ^R+b -J R d * * ? ! ? r + Rb; R 3 ^ + b - 3/2 t 4 t e . R 3/2 + f R spR- 3/2 r t / R ln ¿ — - 4R r Al 1.6.2.13 5 14 £ 15 "3/2 r s F 16 - 3 r ^ dS 2R_+_b 2 = d s = " 2 t r _2 Al 1.6.2.14 | y/R+b V L (R+b)2 5 D5/2 R - 2 \¡~R - 2/3 R (R+b) + R' ftub - 2 2 ds 16 64 R r . (R+b) + R 2 ] V R+b (R+b y = - r [ + 20/3 - 2/3 (R+b)5/2 R2 ^R+b - 1/3 -8/15 R 5 / 2 ln R 5/2 , " R 64 R 2 +4/3 R, \j R+b +\JR ln 5 / 2 598 - Í - - . 75 /R+b 2 R 5 ln 64 R ( R + b ) (R+b)3/2 - 1 / 3 + /R 5/2 V 6 R 7 5 4 R Al 1.6.2.16 s 17 2 ln "3/2 . ( R + b ) 2 - 6R ( R + b ) - ds = 3jR+b 64 R r |n - 2/9 (R+b)3/2 64 R (R+b) J l 3 r 3 /2 ,n 3R2 + 8/3 R \/~R+b .2 + 2R' 1 \¡R+b 2 t _ 40/3 R 3 / 2 Al 1.6.2.17 . . In S 2 (2R + B ) 64 R (R+b) + 2 V/R In 2 t r + 4 R In \/R+b y_R+b_+v/R^ \/S+b - 4 \/R~ Al 1.6.2.18 P a r a el c a s o de e l e m e n t o s p a r e l e l o s al e j e r c o n t ^s = d s «é, s = 0 se t i e n e 2 Al 1.6.2.19 3/2 ds 1 '3 = s = R ds 3/2 (In S - In t 1 = r ) Al I.6.2.20 Al 1.6.2.21 (In S - l n ¿ ) {~R ds Al 1.6.2.22 = 0 s t S 2 S t r Vr s '4 = -/R I v - L >/r 2/R 64 R r I r ds = - (In d S s y/R ~ - 1) Al 1.6.2.23 64 R Al I.6.2.24 APENDICE II A l 1.6 5/2 R ds *t Fr ds V ^ ds 10 11 fc r =Jr 5/2 Al 1.6.2.25 , 1 1 \/R S £ = - ^/r ( S 1 1 s £ ) Al 1.6.2.26 Al 1.6.2.27 Al 1.6.2.28 ds 3/2" R -1 = s ' F 5/2 3 R Al 1.6.2.29 3/2 S 12 R Al 1.6.2.30 3/2 Al 1.6.2.31 13 14 ds = 3/2 s 3/2 S ds 2 R ds 3/2 Al 1.6.2.32 Al 1.6.2.33 A l 1.6 s2 -r s2 In S3 ds = 64 R r 2 (In — - — 64 R 3 \¡R 2 2 In s r 64 S - 2/3) 3 —- ds = Rr 2 _ 3 Al I .6.2.34 R (In— S 64 ó / ¿ — -2/3) R2 Al 1.6.2.35 s2 1/2 ó / ¿ ,n 64 R r S2 dS = 2 r 3/2" s2 ( , n — " " o 64 R 2 ~ 1 ) Al 1.6.2.36 BIOGRAFIA BIOGRAFIA Manuel D o b l a r é C a s t e l l a n o n a c i ó en C ó r d o b a en el año 1956 r e a l i z a n d o sus e s t u d i o s de b a c h i l l e r a t o en el I . N . B . Seneca. i C u r s a la c a r r e r a de I n g e n i e r o I n d u s t r i a l en la E . T . S . I . I . de S e v i l l a obtenie_n d o el t í t u l o en el año 1978 c o n el n - 1 de su p r o m o c i ó n . F i n a l i z a d o s los e s t u d i o s de I n g e n i e r í a se i n c o r p o r a a la C á t e d r a de E l a s t i c i d a d y R e s i s t e n c i a de M a t e r i a l e s de d i c h a E s c u e l a , i m p a r t i e n d o c l a s e s de d i c h a m a t e r i a y to mando p a r t e en d i f e r e n t e s c u r s o s de i n v e s t i g a c i ó n y p e r f e c c i o n a m i e n t o ( C á l c u l o M a t r i c i a l y E l e m e n t o s F i n i t o s ) . A s i m i s m o r e a l i z a el P r o y e c t o f i n de C a r r e r a s o b r e el Método de los elementos F i n i t o s . Se i n c o r p o r a a la E . T . S . I . I . de M a d r i d en di. año 1979, i n t e g r á n d o s e en la Cá t e d r a de E s t r u c t u r a s donde ha r e a l i z a d o la p r e s e n t e T e s i s y d i s t i n t o s t r a b a j o s de i n v e s t i g a c i ó n , t a n t o en lo que se r e f i e r e al c a p í t u l o de a r t í c u l o s y c o m u n i c a c i o n e s a C o n g r e s o s , como a I n f o r m e s a d i s t i n t o s e m p r e s a s y e n t i d a d e s p ú b l i c a s . P o r ú l t i m o ha c o l a b o r a d o t a m b i é n en el D p t o . con departamentos e x t r a n j e r o s permaneciendo de I n g e n i e r í a C i v i l de la U n i v e r s i d a d de S o u t h a m p t o n d u r a n t e l o s meses de J u l i o y A g o s t o de 1980.